Tài liệu đồ án thiết kế cơ khí thiết kế robot

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ***VIỆN CƠ KHÍ*** ĐỒ ÁN THIẾT KẾ CƠ KHÍ ĐỀ TÀI: THIẾT KẾ ROBOT Mã học phần Họ tên sinh viên MSSV Lớp GVHD : ME4099 : Vũ Công Định : 20100190 : Kỹ thuật Cơ Điện Tử 2 – K55 : PGS.TS.Phan Bùi Khôi Đồ án thiết kế cơ khí MỤC LỤC CHƯƠNG I : Cơ sở tính toán CHƯƠNG II: Thiết kế mô hình 3D CHƯƠNG III: Tính toán động học robot CHƯƠNG IV: Tính toán động lực học robot CHƯƠNG V: Tính chọn động cơ, tỷ số truyền và thiết kế hộp giảm tốc GVHD: PGS.TS.PHAN BÙI KHÔI 1 Đồ án thiết kế cơ khí LỜI NÓI ĐẦU GVHD: PGS.TS.PHAN BÙI KHÔI 2 Đồ án thiết kế cơ khí CHƯƠNG I: Cơ sở tính toán 1.1. Ma trận cosin chỉ hướng và ma trận quay của vật rắn 1.1.1. Ma trận cosin chỉ hướng - Định nghĩa: Cho 2 hệ quy chiếu chung gôc O: + Hệ Oxyz cố định + Hệ Ouvw động Khi đó ma trận cosin chỉ hướng của hệ quy chiếu B đối với hệ quy chiếu A định nghĩa như sau: u i v i w i   u    x A RB   u j v j w j   u y   u  uk vk wk   z vx vy vz wx  wy  wz  ⃑ là 3 véc tơ đơn vị trong hệ quy chiếu cố định A Trong đó : 𝑖, ⃑ 𝑗, ⃑ 𝑘 ⃑⃑⃑ 𝑣, 𝑢, ⃑⃑⃑ 𝑤 ⃑⃑ là 3 véc tơ đơn vị trong hệ quy chiếu động B - P là một điểm trong không gian. Ta có biểu diễn của P trong A, B: A p  px i  p y j  pz k B p  pu u  pv v  pw w Dễ dàng nhận thấy :  px   u x  p   u  y  y  pz  u z vx vy vz wx   pu  wy   pv  wz   pw  Hay Ap = ARB Bp * Nhận xét : Ma trận cosin chỉ hướng mô tả hướng của hệ quy chiếu B đối với hệ quy chiếu A. Nó biến đổi tọa độ của điểm P tùy ý trong hệ quy chiếu động B sang tọa độ của nó trong hệ quy chiếu cố định A GVHD: PGS.TS.PHAN BÙI KHÔI 3 Đồ án thiết kế cơ khí 1.1.2. Ma trận quay - Xét hai hệ quy chiếu chung gốc O liên hệ với nhau bới phép quay một góc 𝛼 quanh trục z. Gọi p, p’ là vecto tọa độ điểm P trong hệ Oxyz và Ox’y’z’. Ta có :  px  cos   p    sin   y   pz   0 cos  Rz ( )   sin   0  sin  0  p 'x  cos  0  p ' y  0 1   p 'z   sin  0 cos  0  là ma trận 0 1  cosin chỉ hướng - Ma trận cosin chỉ hướng Rz(𝛼) biểu diễn hướng của một hệ quy chiếu đối với hệ quy chiếu khác, cũng chính là biểu diễn phép quay một hệ quy chiếu. Vì vậy thông thường người ta gọi ma trận cosin chỉ hướng là ma trận quay. - Các ma trận quay cơ bản (giả thiết các góc quay dương) : + Phép quay 1 góc 𝛼 quay trục x : 0 + Phép quay 1 góc 𝛽 quay trục y : 0 + Phép quay 1 góc 𝛾 quay trục z : 0 0 0  1  Rx 0 ( )  0 cos  sin  0 sin cos   cos  0 sin   Ry 0 (  )   0 1 0    sin  0 cos   cos   sin 0 Rz 0 ( )   sin cos  0   0 0 1  1.2. Định vị, hướng và vị trí của vật rắn -Vị trí của vật rắn trong không gian được xác định bởi vị trí của điểm định vị và hướng của vật rắn đối với hệ quy chiếu đã chọn. Vị trí của điểm định vị P xác định bởi 3 thông số. Hướng của vật rắn đối với hệ quy chiếu cố định A chính là hướng của hệ quy chiếu động B đối với A. GVHD: PGS.TS.PHAN BÙI KHÔI 4 Đồ án thiết kế cơ khí - Có nhiều phương án xác định hướng của vật rắn : + Phương án 1 : Hướng của B đối với A xác định bởi ma trận cosin chỉ hướng: ux A RB  u y  uz wx  wy  wz  vx vy vz + Phương án 2 : Dùng các tọa độ suy rộng ( góc Euler,Cardan,…) 1.2.1. Các góc Euler - Cho hệ tọa độ Ox y z cố định, hệ tọa độ Oxyz gắn chặt vào vật rắn. Giao của 2 mặt phẳng Oxy và Ox y là ON. Khi đó hướng của vật rắn trong hệ quy chiếu cố định có thể được mô tả bởi các góc ψ, 𝜃,𝜑 như hình bên . Các góc này là các góc Euler - Sử dụng 3 góc Euler ta có thể quay hệ Ox y z sang hệ Oxyz như sau : + Quay hệ quy chiếu Ox y z quanh trục Oz một góc ψ, hệ Ox y z chuyển sang hệ Ox y z + Quay hệ quy chiếu Ox y z quanh trục Ox ≡ 𝑂𝑁 một góc θ, hệ Ox y z chuyển sang hệ Ox y z + Quay hệ quy chiếu Ox y z quanh trục Oz một góc 𝜑, hệ Ox y z chuyển sang hệ Oxyz - Hướng của hệ quy chiếu tạo thành được mô tả bởi ma trận tích hợp từ các ma trận mô tả phép quay thành phần: RE=Rz0(ψ) RON(θ) Rz(φ)= 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 1 1 2 cos cos   sin cos  sin  sin cos   cos cos  sin    sin  sin  2  cos sin   sin cos  cos   sin sin   cos cos  cos  sin  cos  sin sin    cos sin    cos  1.2.2. Các góc Cardan - Cho hệ tọa độ Ox y z cố định, hệ tọa độ Oxyz gắn chặt vào vật rắn. Giao của 2 mặt phẳng Oxy và Oy z là ON. Trong mặt phẳng Oxy vẽ OK ┴ ON. Khi đó hướng của vật rắn trong hệ quy chiếu cố định xác định bởi các góc α, β, η như hình bên. Các góc này là các góc Cardan. 0 0 0 0 0 GVHD: PGS.TS.PHAN BÙI KHÔI 5 Đồ án thiết kế cơ khí - Như vậy, ma trận quay biểu diễn hướng của vật đối với hệ cố định được tích hợp từ các ma trận quay mô tả các phép quay thành phần tương ứng: RCD= Rx0(𝛼) Ry1(𝛽)Rz2(η)= cos  cos   sin  sin  cos  cos  sin     cos  sin  cos  sin  sin   cos  sin   sin  sin  sin   cos  cos cos  sin  sin   sin  cos sin    cos  sin   cos  cos   1.2.3. Các góc Roll-Pitch-Yaw - Một loại các phép quay hay được sử dụng trong robot công nghiệp và kỹ thuật hàng hải là các phép quay Roll-PitchYaw. ON là giao của 2 mặt phẳng Ozy và Ox0y0. OK┴ ON (OK 𝜖 mặt phẳng Ox0y0). Các góc Roll-Pitch-Yaw xác định như hình vẽ. Khi đó ta có thể quay hệ Ox y z sang hệ Oxyz như sau : RRPY= Rz(φ) Ry(θ) Rx(ψ)= 0 0 0 cos  cos   sin  cos     sin  cos  sin  sin  sin  cos sin  sin  sin  cos  cos cos  sin cos  sin  cos  sin  sin  sin  sin  cos  cos  sin   cos  cos 1.3. Vận tốc góc và gia tốc góc của vật rắn 1.3.1. Vận tốc góc của vật rắn - Định nghĩa: vận tốc góc của vật rắn là một vecto mà khi ta nhân nó với một véc tơ bất kỳ tùy ý 𝑐 khác không thì được đạo hàm của vecto đó: c  dc dt - Vận tốc góc của vật rắn tồn tại và duy nhất. 1.3.2. Gia tốc góc của vật rắn. - Gia tốc góc của vật rắn B bằng đạo hàm theo thời gian của vecto vận tốc góc của nó:  d  dt 1.3.3. Công thức cộng vận tốc góc và gia tốc góc - Công thức cộng vận tốc góc : a  r  e GVHD: PGS.TS.PHAN BÙI KHÔI 6 Đồ án thiết kế cơ khí Trong đó : a là vận tốc góc tuyệt đối của vật rắn r là vận tốc góc tương đối của vật rắn e là vận tốc góc theo của vật rắn Áp dụng liên tiếp đối với (n+1) hệ quy chiếu ta có: a  r1  r 2  ...  e - Công thức cộng gia tốc góc  a   r   e  e  r Trong đó:  a là gia tốc góc tuyệt đối của vật rắn  r là gia tốc góc tương đối của vật rắn  e là gia tốc góc theo e  r là gia tốc góc Resal 1.4. Phép biến đổi thuần nhất. 1.4.1. Định nghĩa - Cho một điểm P trong không gian 3 chiều Oxyz, vecto định vị điểm T P: p   px p y pz  .Tọa độ thuần nhất của điểm P trong không gian 4 chiều định nghĩa bởi biểu thức sau: P*   px  p y  pz   T Ta thường chọn 𝜎=1, khi đó tọa độ thuần nhất 4 chiều của điểm P được mở rộng từ các tọa độ vật lý 3 chiều của nó bằng cách thêm vào thành phần thứ tư như sau : P*   px py pz 1 T - Cho 2 hệ quy chiếu Oxyz và Quvw như hình vẽ, ta có : rP = ArQ + ARB Bsp A hay  rpx   rQx  u x       rpy    rQy   u y  rpz   rQz   u z     vx vy vz wx   s pu    wy   s pv  wz   s pw  GVHD: PGS.TS.PHAN BÙI KHÔI 7 Đồ án thiết kế cơ khí Phương trình trên có cấu trúc không gọn vì ma trận 3×3 không biểu diễn cho các phép dịch chuyển tịnh tiến. Nếu sử dụng tọa độ thuần nhất thì phương trình trên viết lại như sau :  rpx  u x  r  u  py    y  rpz   u z    1 0 u x u A Trong đó TB=  y uz  0 vx wx vy vz 0 wy wz 0 vx vy vz wx wy wz 0 0 rQx   s pu    rQy   s pv  hay Ap = ATB Bp rQz   s pw    1   1  rQx  rQy  gọi là ma trận biến đổi thuần nhất rQz   1 1.4.2. Các ma trận quay cơ bản thuấn nhất và ma trận tịnh tiến thuần nhất - Ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất cho phép quay cơ bản quanh trục x: 0 1 0 cos  A TB(x,𝛼) =  0 sin   0 0 0  sin  cos  0 0 0  0  1 - Ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất cho phép quay cơ bản quanh trục y:  cos   0 A TB(y,𝛽) =    sin    0 0 sin  1 0 0 cos  0 0 0 0  0  1 - Ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất cho phép quay cơ bản quanh trục z: cos   sin  A TB(z,𝛾) =   0   0  sin  cos  0 0 0 0 0 0  1 0  0 1 - Ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất phép tịnh tiến: 1 0 A TB(x,y,z,a,b,c) =  0  0 GVHD: PGS.TS.PHAN BÙI KHÔI 0 0 a 1 0 b  0 1 c  0 0 1 8 Đồ án thiết kế cơ khí 1.5. Phương pháp Denavit-Hartenberg 1.5.1. Quy ước hệ tọa độ theo Denavit-Hartenberg - Trục zi được chọn dọc theo trục của khớp thứ (i+1). Hướng của phép quay và phép tịnh tiến được chọn tùy ý. - Trục xi được xác định dọc theo đường vuông góc chung giữa trục khớp động thứ i và (i+1), hướng từ khớp động thứ i tới trục (i+1). - Trục yi xác định sao cho hệ Oxiyizi là hệ tọa độ thuận. 1.5.2. Các tham số động học Denavit-Hartenberg Vị trí của hệ tọa độ khớp (Oxyz)i đối với hệ tọa độ khớp (Oxyz)i-1 được xác định bởi bốn tham số 𝜃i, di, ai, 𝛼i như sau: - 𝜃i là góc quay quanh trục zi-1 để trục xi-1 chuyển đến trục x’i (x’i// xi) - di là dịch chuyển tịnh tiến dọc trục zi-1 để gốc tọa độ Oi-1 chuyển đến ’ O i là giao điểm của trục xi và trục zi-1 . - ai là dịch chuyển tịnh tiến dọc trục xi để điểm O’i chuyển đến điểm Oi. - 𝛼i là góc quay quanh trục zi sao cho trục z’i-1 (z’i-1 // zi-1) chuyển đến trục zi. 1.5.3. Ma trận Denavit-Hartenberg Ta có thể chuyển hệ tọa độ khớp (Oxyz)i-1 sang hệ tọa độ khớp (Oxyz)i bằng bốn phép biến đổi cơ bản như sau: - Quay quanh trục zi-1 một góc 𝜃i. - Dịch chuyển tịnh tiến dọc trục zi-1 một đoạn di. - Dịch chuyển tịnh tiến dọc trục xi một đoạn ai. - Quay quanh trục xi một góc 𝛼i. Ma trận của phép biến đổi, ký hiệu là i-1Ai, là tích của bốn ma trận biến đổi cơ bản và có dạng như sau: cos i  sin i i 1 Ai    0   0 sini cos i 0 cos i  i 1 Ai =  sin i  0   0 0 0 0  1 0 0 0  0 1 1 0  0 0  0 1  0 0 0 0  1 0 0  0 1 di   0  0 1  0  sin i cos  i cos i cos  i sin  i sin i sin  i  cos i sin  i cos  i 0 0 GVHD: PGS.TS.PHAN BÙI KHÔI 0 0 ai  1 0   1 0 0  0 cos  i 0 1 0  0 sin  i  0 0 1  0 0 0  sin  i cos  i 0 0 0  0  1 ai cos i  ai sin i  di   1  9 Đồ án thiết kế cơ khí CHƯƠNG II :Thiết kế mô hình 3D 2.1. Khâu đế Mô hình 3D khâu đế Hình chiếu đứng khâu đế 2.2. Khâu 1 Mô hình 3D khâu 1 GVHD: PGS.TS.PHAN BÙI KHÔI 10 Đồ án thiết kế cơ khí Hình chiếu bằng khâu 1 2.3. Khâu 2 Mô hình 3D khâu 2 Các kích thước trên khâu 2 hoàn toàn giống với khâu 1 GVHD: PGS.TS.PHAN BÙI KHÔI 11 Đồ án thiết kế cơ khí 2.4. Khâu thao tác Mô hình 3D khâu thao tác Hình chiếu cạnh khâu thao tác GVHD: PGS.TS.PHAN BÙI KHÔI 12 Đồ án thiết kế cơ khí 2.5. Mô hình 3D robot GVHD: PGS.TS.PHAN BÙI KHÔI 13 Đồ án thiết kế cơ khí CHƯƠNG III: Tính toán động học robot 3.1. Cấu trúc động học robot Ta có mô hình cấu trúc 3 khâu, 3 khớp quay, 3 bậc tự do (3DOF) như hình vẽ : 3.2. Thiết lập hệ phương trình động học của robot 3.2.1. Thiết lập ma trận trạng thái khâu thao tác theo tọa độ thao tác Sử dụng các góc Cardan xác định hướng vật rắn ta xác định ma trận trạng thái khâu thao tác: cos  cos   sin  sin  cos  cos  sin 0 A3 (t )     cos  sin  cos  sin  sin  0   cos  sin  sin  sin  sin  cos  cos cos  sin  sin  sin  cos sin   cos  sin  cos cos  0 0 3.2.2. Thiết lập ma trận trạng thái khâu thao tác theo cấu trúc động học Bảng tham số động học của robot 3 bậc tự do Khâu 𝜃𝑖 𝑑𝑖 𝑎𝑖 𝛼𝑖 1 0 0 𝜃1 𝑎1 2 0 0 𝜃2 𝑎2 3 0 0 𝜃3 𝑎3 GVHD: PGS.TS.PHAN BÙI KHÔI 14 xP  yP  zP   1 Đồ án thiết kế cơ khí Từ đó ta có : cos 1  sin  1 0 A1=   0   0 cos  2  sin  2 1 A2=   0   0 cos 3  sin  3 2 A3=   0   0  sin 1 0 a1 cos 1  cos 1 0 a1 sin 1  0 1 0   0 0 1   sin  2 0 a2 cos  2  cos  2 0 a2 sin  2  0 1 0   0 0 1   sin 3 0 a3 cos 3  cos 3 0 a3 sin 3  0 1 0   0 0 1  Suy ra C123 S 0 0 1 2 A3(q) = 𝐴1 . 𝐴2 . 𝐴3 =  123  0   0  S123 C123 0 0 0 a1C1  a2C12  a3C123  0 a1S1  a2 S12  a3 S123   1 0  0 1  Trong đó : 𝐶1 = cos 𝜃1 𝐶12 = cos(𝜃1 + 𝜃2 ) 𝐶123 = cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 ) S1 = sin 𝜃1 𝑆12 = sin (𝜃1 + 𝜃2 ) 𝑆123 = sin (𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 ) 3.2.3. Hệ phương trình động học robot - Phương trình động học robot dạng ma trận như sau: 0 𝐴3 (q) = 0𝐴3 (t) - So sánh 2 ma trận 0𝐴3 (q) và 0𝐴3 (t) ta được hệ phương trình động học : 𝑓1 = 𝑎1 cos 𝜃1 + 𝑎2 cos(𝜃1 + 𝜃2 ) + 𝑎3 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 ) − 𝑥𝑃 = 𝑓2 = 𝑎1 sin 𝜃1 + 𝑎2 sin(𝜃1 + 𝜃2 ) + 𝑎3 sin(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 ) − 𝑦𝑃 = 𝑓3 = 0 − 𝑧𝑃 = = = 𝑓4 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 ) − cos 𝛽 cos 𝜂 𝑓5 = cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 ) − (− sin 𝛼 sin 𝛽 sin 𝜂 + cos 𝛼 cos 𝜂) = = {𝑓6 = 1 − cos 𝛼 cos 𝛽 GVHD: PGS.TS.PHAN BÙI KHÔI 15 0 0 0 0 0 0 Đồ án thiết kế cơ khí 3.3. Tính toán động học thuận robot. Nhiệm vụ chủ yếu của bài toán động học thuận là xác định vị trí và hướng của khâu thao tác dưới dạng hàm của các biến khớp. 3.3.1. Vị trí điểm thao tác P và hướng của bàn kẹp Từ hệ phương trình động học ở trên, ta rút ra : - Vị trí điểm thao tác P : 0  xP   a1 cos 1  a2 cos 1   2   a3 cos 1   2  3     rP   yP    a1 sin 1  a2 sin 1   2   a3 sin 1   2  3    0  z P   - Hướng của bàn kẹp suy ra từ ma trận cosin chỉ hướng: 0 C123 R3   S123  0  S123 C123 0 0 0 1  - Sử dụng phần mềm maple cho biết a1  a2  a3  0.5m và 1  sin(2t )  3 { 2  2t  5 t  0,2  ta vẽ được đồ thị điểm thao tác P như sau: 3  t 2  1 GVHD: PGS.TS.PHAN BÙI KHÔI 16 Đồ án thiết kế cơ khí 3.3.2. Vận tốc và gia tốc điểm thao tác P - Vận tốc điểm thao tác P: 𝑣𝑃 =𝑟̇𝑃 = 𝐽𝑇𝐸 .𝑞̇ =  a1S1  a2 S12  a3 S123 aC a C a C  1 1 2 12 3 123  0  a2 S12  a3 S123 a2C12  a3C123 0    ˙  a3 S123   1  ˙ a3C123   2  0   ˙  3       a11 sin 1  a2 1   2 sin 1   2   a3 1   2  3 sin 1   2  3      a  cos   a    cos      a      cos        1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3  1 1    0     Ở đây 𝐽𝑇𝐸 gọi là ma trận Jacobian tịnh tiến của khâu thao tác - Gia tốc điểm thao tác P: ̇ .𝑞̇ + 𝐽𝑇𝐸 . 𝑞̈ 𝑎𝑃 =𝑣̇ 𝑃 = 𝑟̈𝑃 =𝐽𝑇𝐸 +) 𝑎𝑃𝑥 = −𝑎1 (𝜃̈1 𝑠𝑖𝑛𝜃1 + 𝜃̇12 𝑐𝑜𝑠𝜃1 ) − 𝑎2 [(𝜃̈1 + 𝜃̈2 )𝑠𝑖𝑛(𝜃1 + 𝜃2 ) + (𝜃̇1 + 𝜃̇2 )2 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 + 𝜃2 )] − 𝑎3 [(𝜃̈1 + 𝜃̈2 + 𝜃̈3 )𝑠𝑖𝑛(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 ) + (𝜃̇1 + 𝜃̇2 + 𝜃̇3 )2 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 ) +) 𝑎𝑃𝑦 =𝑎1 (𝜃̈1 𝑐𝑜𝑠𝜃1 − 𝜃̇12 𝑠𝑖𝑛𝜃1 ) + 𝑎2 [(𝜃̈1 + 𝜃̈2 )𝑐𝑜𝑠(𝜃1 + 𝜃2 ) − (𝜃̇1 + 𝜃̇2 )2 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 + 𝜃2 )] + 𝑎3 [(𝜃̈1 + 𝜃̈2 + 𝜃̈3 )𝑐𝑜𝑠(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 ) − (𝜃̇1 + 𝜃̇2 + 𝜃̇3 )2 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 ) +) 𝑎𝑃𝑧 = 0 3.3.3. Vận tốc góc và gia tốc góc khâu thao tác - Vận tốc góc khâu thao tác : 𝜔 ̃3 = 𝑅̇ 3 .𝑅3𝑇 =         S123 . 1   2  3 C123 . 1   2  3   C .     S123 . 1   2  3  123 1 2 3  0 0   0  1   2  3 0    = 1   2  3 0 0    0 0 0   0      𝜔3 =  0  1   2  3       0   C123 S123 0    S123 C123  0 0   0  0 0  1   GVHD: PGS.TS.PHAN BÙI KHÔI 17 Đồ án thiết kế cơ khí - Gia tốc góc khâu thao tác: d3 dt 0      3  0   1   2  3  3  3.3. Tính toán động học ngược robot. - Nội dung của bài toán động học ngược là xác định chuyển động của các tọa độ khớp khi đã biết quy luật chuyển động của các tọa độ thao tác. 3.3.1. Bài toán 1 Ở bài toán này, ta giả thiết đã biết xP(t), yP(t) và 𝜃(t)=𝜃1 (𝑡) + 𝜃2 (𝑡) + 𝜃3 (𝑡). Nhiệm vụ là xác định 𝜃1 (𝑡), 𝜃2 (𝑡), 𝜃3 (𝑡). - Ta có hệ phương trình : 𝑎 𝐶 + 𝑎2 𝐶12 = 𝑥𝑃 −𝑎3 𝐶123 = 𝑥 (1) { 1 1 𝑎1 𝑆1 + 𝑎2 𝑆12 = 𝑦𝑃 − 𝑎3 𝑆123 = 𝑦 Bình phương 2 vế của các biểu thức trên rồi cộng lại ta được: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎12 + 𝑎22 + 2𝑎1 𝑎2 (𝐶1 𝐶12 + 𝑆1 𝑆12 )  𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎12 + 𝑎22 + 2𝑎1 𝑎2 𝐶2 Từ đó suy ra: { cos  2  x 2  y 2  a12  a22 2a1a2 sin 2   1  cos 22 Vậy 𝜃2 = atan2(sin 𝜃2 ,cos 𝜃2 ) Khi đó, ta viết lại (1) dưới dạng : 𝑥 = 𝑎1 𝐶1 + 𝑎2 (𝐶1 𝐶2 − 𝑆1 𝑆2 ) { 𝑦 = 𝑎1 𝑆1 + 𝑎2 (𝑆1 𝐶2 + 𝑆2 𝐶1 ) 𝑥 = (𝑎1 + 𝑎2 𝐶2 )𝐶1 − 𝑎2 𝑆2 𝑆1 { 𝑦 = 𝑎2 𝑆2 𝐶1 + (𝑎1 + 𝑎2 𝐶2 )𝑆1 (2) Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (2) ta được : Δ=| 𝑎1 + 𝑎2 𝐶2 𝑎2 𝑆2 −𝑎2 𝑆2 |= 𝑎12 + 𝑎22 + 2𝑎1 𝑎2 𝐶2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑎1 + 𝑎2 𝐶2 GVHD: PGS.TS.PHAN BÙI KHÔI 18 Đồ án thiết kế cơ khí Δ1 = | 𝑥 𝑦 −𝑎2 𝑆2 |= 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 (𝑥𝐶2 + 𝑦𝑆2 ) 𝑎1 + 𝑎2 𝐶2 𝑎 + 𝑎2 𝐶2 Δ2 = | 1 𝑎2 𝑆2 𝑥 |= 𝑎1 𝑦 + 𝑎2 (𝑦𝐶2 − 𝑥𝑆2 ) 𝑦 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 (𝑥𝐶2 + 𝑦𝑆2 ) 𝑥2 + 𝑦2 ⟹ 𝑎1 𝑦 + 𝑎2 (𝑦𝐶2 − 𝑥𝑆2 ) sin 𝜃1 = 𝑥2 + 𝑦2 { cos 𝜃1 = ⟹ 𝜃1 = atan2(sin 𝜃1 , cos 𝜃1 ) Lại có : 𝜃=𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 ⟹ 𝜃3 = 𝜃 − 𝜃1 − 𝜃2 3.3.2. Bài toán 2 - Trong bài toán 2, ta giả thiết đã biết tọa độ điểm P nằm trên đường tròn tâm I(a,b) bán kính R và khâu thao tác luôn tạo với tiếp tuyến của đường tròn này góc 𝛼=300 không đổi, nhiệm vụ là xác định 𝜃1 (𝑡), 𝜃2 (𝑡), 𝜃3 (𝑡). - Đầu tiên, vì P nằm trên đường tròn tâm I(a,b) bán kính R nên ta có:  xP  a  hay { 2   yP  b   R 2 2 xP  a  R cos t yP  b  R sin t - Khâu thao tác tạo với trục Ox góc   1  2  3 nên phương trình đường thẳng khâu thao tác có thể viết dưới dạng: sin  .x  cos . y  c  0 (1) - Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm P:  xP  a  x  xP    yP  b  y  yP   0 hay R cos t. x  xP   R sin t. y  yP   0 (2 ) - Ở đây ta giả thiết khâu thao tác luôn chuyển động phía bên ngoài đường tròn tâm I, bán kính R. Do đó hệ số góc của đường (1 ) luôn lớn hơn hệ số góc đường ( 2 ) một góc 30o =>   (t  900 )  300 =>   t  120o Khi đó bài toán trở về bài toán 1 và ta tìm được 𝜃1 (𝑡), 𝜃2 (𝑡), 𝜃3 (𝑡). GVHD: PGS.TS.PHAN BÙI KHÔI 19