Tài liệu Bg_dong_luc_hoc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG HCM KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG BỘ MÔN SỨC BỀN KẾT CẤU PGS.TS. ĐỖ KIẾN QUỐC BÀI GIẢNG MÔN HỌC ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU “DYNAMICS OF STRUCTURES” Tài liệu tham khảo 1. Clough R. W., Penzien J., Dynamics of Structures, McGraw-Hill, 1993 (1975). 2. Chopra A. K., Dynamics of Structures, Prentice-Hall, 2001, (1995). 3. Buchhold H., Structural Dynamics for Engineer, Thomas Telford, 1997. 4. Geradin M., Mechnical vibrations and Structural dynamics, Belgian, 1993. 5. Rao S. S., Mechnical Vibrations, Addison-Wesley Publishing Company, 1990. CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU 1.1 NHIỆM VỤ MÔN HỌC Động lực học kết cấu là một lĩnh vực của cơ học, nghiên cứu các phương pháp phân tích phản ứng (nội lực, ứng suất hoặc chuyển vị, vận tốc, gia tốc…) trong kết cấu khi chịu tác dụng của các nguyên nhân động. 1.2 TẢI TRỌNG ĐỘNG Khái niệm: Tải trọng động là tải trọng thay đổi theo thời gian về trị số, phương, vị trí, gây ra ứng suất, chuyển vị… cũng thay đổi theo thời gian. Phân loại: - Tải trọng tiền định (Deterministic Loads): là tải trọng biết trước được qui luật biến đổi theo thời gian P = P(t). Thí dụ: Tải trọng điều hòa, chu kỳ, không chu kỳ, xung…được mô tả theo qui luật cho trước. - Tải trọng ngẫu nhiên (Random, Stochastic Loads): là tải trọng biết trước được qui luật xác suất và các đặc trưng xác suất như giá trị trung bình, độ lệch chuẩn… Thí dụ: tải trọng gió, sóng biển, lực động đất…. Bài toán ĐLHKC chịu tải trọng ngẫu nhiên được giải quyết bằng lý thuyết dao động ngẫu nhiên (Random Vibration Theory). Các thông tin cần tìm bao gồm ứng suất, chuyển vị, cũng mang tính ngẫu nhiên với các đặc trưng xác suất giá trị trung bình, độ lệch chuẩn… Nói chung, các tải trọng trong thực tế đều mang tính chất ngẫu nhiên ở mức độ khác nhau, và được xác định bằng phương pháp thống kê toán học. Các quan điểm phân tích động lực học: Phân tích tiền định, phân tích ngẫu nhiên và phân tích mờ (Fuzzy Analysis). 1.3 ĐẶC THÙ CỦA BÀI TOÁN ĐỘNG Bài toán tĩnh: nội lực P Tĩnh được xác định từ sự cân bằng với ngoại lực, không P(t) cần dùng đường đàn hồi nên Động mang tính chất đơn giản. Ứng suất và chuyển vị q(t)= r y(t) không phụ thuộc thời gian. Bài toán động: ngoại lực bao gồm lực quán tính phụ thuộc vào đường đàn hồi y = y(x,t). Vì vậy, dẫn tới phương trình vi phân, phức tạp về toán học, khối lượng tính lớn, phải bắt đầu từ việc xác định y(x,t). Nhận xét: Bài toán tĩnh (bao gồm cả bài toán ổn định) là trường hợp đặc biệt của bài toán động khi lực quán tính được bỏ qua. 1.4 BẬC TỰ DO CỦA KẾT CẤU Bậc tự do động lực học (Number of dynamics degrees of freedom) của kết cấu là số thành phần chuyển vị phải xét để thể hiện được ảnh hưởng của tất cả các lực quán tính. Bậc tự do được định nghĩa trong sự liên quan đến lực quán tính và do đó liên quan đến khối lượng. Số khối lượng càng nhiều thì càng chính xác nhưng cũng càng phức tạp. Chú ý: Bậc tự do động lực học khác với bậc tự do trong bài toán tĩnh (số chuyển vị nút của kết cấu). Thí dụ: cho kết cấu như hình P bên, nếu P là tải trọng tĩnh thì số bậc tự do là 3, nếu P là tải trọng động thì số bậc tự do là vô cùng. Trong thực tế, các kết cấu đều có khối lượng phân bố nên có vô hạn bậc tự do, việc giải bài toán rất phức tạp nên tìm cách rời rạc hóa hệ. 1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP RỜI RẠC HÓA P(t) m(z) P(t) m1 m2 m3 (a) (b) 1.5.1 Phương pháp khối lượng thu gọn (Lumped Mass) Thay thế hệ có khối lượng phân bố (a) thành các khối lượng tập trung (b) theo nguyên tắc tương đương tĩnh học. Đây là phương pháp thường được dùng trong hệ kết cấu phức tạp. Khối lượng thường được thu gọn về điểm nút (thí dụ như hệ dàn). Số bậc tự do của hệ tùy thuộc vào giả thiết về tính chất chuyển vị của hệ và tính chất quán tính của các khối lượng mi. Chẳng hạn, xét hệ (b) là hệ phẳng: Nếu biến dạng dọc trục và mi có quán tính xoay: 9 BTD (3BTD/mass). Nếu coi mi là một điểm (không có quán tính xoay): 6 BTD (2 chuyển vị thẳng/mass). Bỏ qua biến dạng dọc trục nên chỉ có chuyển vị đứng: 3 BTD (1 chuyển vị đứng/mass). Chú ý: Độ phức tạp của bài toán động lực học phụ thuộc vào số bậc tự do. 1.5.2 Phương pháp dùng tọa độ suy rộng (Generalised Coordinates) Giả sử đường đàn hồi là tổ hợp tuyến tính của các hàm xác định ψi(x) có biên độ Zi như sau: ∞ y ( x, t ) = ∑ Z i (t )ψ i ( x) y(x,t) i =1 (*) trong đó: ψi(x) : Hàm dạng (Shape Functions) Zi(t) : Tọa độ suy rộng (Generalised Coordinates) Hàm dạng ψi(x) được tìm từ việc giải phương trình L Z1 ψ1(x) iπ x Z2 ψ i ( x) = sin L i = 1, 2,..., n ψ2(x) Z3 ψ3(x) vi phân đạo hàm riêng, hoặc do giả thiết phù hợp với điều kiện biên. Khi tính toán thường giữ lại một số số hạng đầu tiên của chuỗi (*) và hệ trở thành hữu hạn bậc tự do (Zi đóng vai trò bậc tự do). 1.5.3 Phương pháp phần tữ hữu hạn (Finite Element Method - FEM) Đây là trường hợp đặc biệt của phương pháp tọa độ suy rộng, trong đó: - Zi là các chuyển vị nút (Tọa độ suy rộng). - ψi(x) là các hàm nội suy (Interpolation Functions) các phần tử - Hàm dạng. Thường các 5 1 2 3 4 hàm nội suy ψi(x) b a c d được chọn giống ψ (c) ψ (b) nhau cho các phần v =1 tử (ứng với cùng một bậc tự do) và là ψ (c) ψ (b) hàm đa thức nên θ =1 việc tính toán được đơn giản. Đặc biệt, do tính chất cục bộ của các hàm nội suy nên các 3v 3v 3 3θ 3θ 3 phương trình ít liên kết (uncoupled) với nhau làm giảm nhiều khối lượng tính toán. 1.6 CÁC PHƯƠNG PHÁP THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG 1.6.1 Nguyên lý D’Alembert Xét khối lượng mi (i=1,n) chịu tác động của lực Pi(t) có chuyển vị vi(t) và gia tốc vi (t ) . Nếu đặt thêm lực quán tính thì khối lượng mi sẽ cân bằng: G G Pi ( t ) − m i vi ( t ) = 0 (1.1) Nếu hệ có n bậc tự do thì sẽ có n phương trình vi phân chuyển động. 1.6.2 Nguyên lý công khả dĩ Cho khối lượng mi (i=1,n) một chuyển vị khả dĩ δvi , công khã dĩ δW của các lực tác dụng lên mi (cân bằng) trên chuyển vị δvi phải triệt tiêu: G G G ∑[Pi (t) − mi vi (t)]δvi = 0 (1.2) Nguyên lí công khả dĩ thích hợp cho hệ phức tạp gồm các khối lượng điểm và khối lượng có quán tính xoay. Các số hạng trong phương trình là các vô hướng (scalar) nên lập phương trình đơn giản so với phương trình vector. Nếu cho hệ các chuyển vị khả dĩ δvi lần lượt theo các bậc tự do sẽ thu được n phương trình vi phân của chuyển động. Ký hiệu công khả dĩ của ngoại lực Pi(t) là δW, từ (1.2) ta có biến phân công khả dĩ: δW = ∑ Pi (t )δvi = ∑ mvi (t )]δvi (1.3) 1.6.3 Nguyên lý Hamilton (page 344, [1]) Xét hệ gồm các khối lượng mi (i=1, n) có các chuyển vị vi(t) ở hai thời điểm t1 và t2, chuyển vị có các trị số vi(t1) và vi(t2) tương ứng với hai đường biến dạng (b) và (c). Đường biến dạng (d) ứng với t = t1 + ∆t < t2. Đường biến dạng thật tuân theo định luật II Newton. Đường lệch trùng với đường thật tại hai thời điểm t1 và t2: δv1(t1) =δv1(t2) =0 (1.4) Động năng của hệ tại thời điểm t: 1 n T= mi vi2 = T (vi ) 2 i =1 ∑ Biến phân của động năng δT tương ứng với biến phân của chuyển vị δvi: n dvi ∂T d      = = v m v v m v m v δ δ δ δ vi ∑ ∑ i∑ i i i i i i i δT= ∑ dt dt i =1 ∂Vi i =1 i i n (1.5) Mặt khác, ta có đồng nhất thức: m v3 v2 v1 m 1 m 2 3 v4 m (a) 4 t=t1 v1 1(t1 ) (b) t=t2 v1 (t 2) d d (viδ vi ) = viδ vi + vi δ vi dt dt Nhân cả hai vế với mi và lấy tổng cho Đường Newton (thật) (c) dv1 (t1+∆t) v1 (t) d v1 thật v(t1 +D t) Đường lệch d v2 t=t1 +∆t < t2 v(t)+ dv1 1 (d) 1 d v3 t1 d v4 v(t +∆t) 1 1 v1(t1) t1 +∆t v1(t 2) t2 t toàn hệ: d d m v v m v v m v δ δ = + ( )     ∑ i ∑ i i i ∑ i i δv i i i i dt i dt d (1.6) ∑ (mi viδvi ) = δT + δW dt i Nhân hai vế với dt và lấy tích phân từ t1 đến t2: ∑ m i v i δv i t2 t1 t2 = ∫ (δT + δW )dt t1 Theo trên vì δvi(t1) = δvi(t2) = 0 với mọi i nên vế trái triệt tiêu: t2 ∫ (δT + δW ) dt = 0 (1.7) t1 Nếu ngoại lực tác dụng trên hệ gồm lực bảo toàn (lực thế) và lực không bảo toàn (thí dụ lực ma sát) thì biến phân của công ngoại lực δW được tách ra hai thành phần: δW = δWc + δWnc (1.8) Đối với lực bảo toàn thì công của lực bằng độ giảm thế năng của hệ nên: δWc = -δV (1.9) với δV là biến phân của thế năng. Thế (1.9) vào (1.8): δW = -δV + δWnc (1.10) Thế vào (1.7): t2 t2 t1 t1 ∫ δ (T − V )dt + ∫ δW nc dt = 0 (1.11) Đây là nguyên lý biến phân của Hamilton, trong đó: T: Động năng của hệ. V: Thế năng của hệ, gồm thế năng biến dạng đàn hồi và thế năng của lực bảo toàn. Wnc : Công của lực không bảo toàn (lực cản, ma sát, ngoại lực...) • Ý nghĩa Công thức (1.7) được viết lại: t2 δ ∫ (T + W )dt = 0 (1.12) t1 Như vậy, trong tất cả các đường chuyển động trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 thì đường làm t2 cho tích phân ∫ (T + W )dt = 0 có giá trị dừng (cực t1 tiểu) là đường chuyển động tuân theo định luật Newton. Bài toán tĩnh T = 0 thì (1.7) trở thành: t2 ∫ δWdt = 0 suy ra δW = 0 hay δ (V − W nc ) = 0 (1.13) t1 Đây là nguyên lý thế năng cực tiểu trong bài toán tĩnh (Nếu một hệ cân bằng ổn định thì thế năng của hệ cực tiểu). Chú ý: Nguyên lý Hamilton cũng là một phương pháp năng lượng, trong đó không dùng trực tiếp đến lực quán tính và lực bảo toàn. Dùng thích hợp cho hệ phức tạp, khối lượng phân bố. Nhận xét: Cả 3 phương pháp D’Alembert, Virtual Work và Hamilton đều dẫn đến phương trình chuyển động giống nhau (đều cùng mang bản chất định luật II Newton). Phương trình Lagrange Gọi q1, q2,...., qn là các tọa độ suy rộng. Trong công thức (1.11) ta có: T = T (q1 , q2 ,...., qn , q1 , q2 ,...., qn ) V = V (q1 , q 2 ,...., q n ) δ Wnc = Q1δ q1 + Q2δ q2 + .... + Qnδ qn với Qi là lực suy rộng không bảo toàn. Thế vào (1.11): t2 ∫( t1 + ∂T ∂T ∂T δ q1 + ... + δ qn + δ q1 + .... ∂q1 ∂q n ∂q1 ∂T ∂V ∂V δ q n − δ q1 − ... − δ qn + Q1δ q1 + ...Qnδ qn ) dt = 0 ∂q n ∂q1 ∂q n (*) Tích phân các số hạng chứa vận tốc δq i từng phần: t2 t2 t 2 ∂T ∂T ∂ ∂T  δ δ ( q dt = q − ∫t ∂qi i ∂qi i ∫t ∂t ∂qi )δ qi dt t 1 1 (1.14) 1 Thế vào biểu thức (*): ⎧ n ⎡ ∂ ∂T ⎤ ⎫ ∂T ∂V ( ) Q + − + − i ⎥δq i ⎬dt = 0 ⎢ ∫t ⎨∑  ∂qi ∂qi i =1 ⎣ ∂t ∂q i ⎦ ⎭ 1 ⎩ t2 (1.15) Vì δqi là tùy ý nên: ∂T ∂V ∂ ∂T + = Qi ( )−  ∂qi ∂qi ∂t ∂qi (1.16) Đây là phương trình Lagrange, dùng được cho hệ tuyến tính và phi tuyến. CHÖÔNG 2. HEÄ MOÄT BAÄC TÖÏ DO 2.1 THIEÁT LAÄP PHÖÔNG TRÌNH CHUYEÅN ÑOÄNG 2.1.1 Moâ hình heä moät baäc töï do Single Degree of Freedom system – SDOF Concentrated Properties v(t) Khoái löôïng: m c Ñoä cöùng: k m p(t) Heä soá caûn: c k Löïc kích ñoäng: Moâ hình SDOFs p(t) Chuù yù: Heä moät baäc töï do coù caùc ñaëc tröng phaân boá m, k, c, p(t) ñeàu coù theå ñöa veà moâ hình coù caùc ñaëc tröng vaät lyù taäp trung (heä moät baäc töï do suy roäng). 2.1.2 Caùc phöông phaùp thieát laäp fD phöông trình chuyeån ñoäng 2.1.2.1 Nguyeân lyù D’Alembert fS p(t) + fS + fI + fD =0 hay mv + cv + kv = p(t ) 2.1.2.2 Nguyeân lyù coâng khaû dó fI p(t) Löïc taùc duïng (2.1) Cho khoái löôïng chuyeån vò khaû dó δv. Coâng khaû dó: δW = p(t)δv + fS δv + fI δv + fD δv = 0 [ − mv − cv − kv + p (t )]δv = 0 hay vì δv ≠ 0 neân thu ñöôïc gioáng nhö (2.1). 2.1.2.3 Nguyeân lyù Hamilton Ñoäng naêng cuûa heä: 1 T = m v 2 , bieán phaân 2 ñoäng naêng δT = mvδv Löïc f = kv s Theá naêng bieán daïng V= 1 2 kv , 2 ñaøn hoài cuûa loø xo: bieán phaân δ V = kv δ v O v Chuyeån vò Bieán phaân coâng cuûa löïc khoâng baûo toaøn p(t) vaø fD (töùc laø coâng khaû dó cuûa hai löïc naøy treân δWnc = p(t )δv − cvδv chuyeån vò khaû dó δv): t2 Theo nguyeân lyù Hamilton: ∫ [δ (T − V ) + δW nc ]dt = 0 t1 t2 ∫[mvδv − kvδv − cvδv + p(t)δv]dt = 0 t1 tích phaân töøng phaàn soá haïng thöù nhaát: (2.2) t2 t2 2    mv δ vdt = mv δ v − ∫ mvδ vdt ∫t t1    t1 1 t (2.3) 0 t2 theá (2.3), (2.2): ∫ [−mv − cv − kv + p(t )]δvdt = 0 t1 (2.4) Nhaän xeùt: Caû 3 phöông phaùp cho cuøng keát quûa vì cuøng döïa treân ñònh luaät quaùn tính cuûa Newton. Trong tröôøng hôïp cuï theå naøy nguyeân lyù D’Alembert laø ñôn giaûn nhaát. 2.1.3 AÛnh höôûng cuûa troïng löïc Phöông trình chuyeån ñoäng: mv + cv + kv = p( t ) + W trong ñoù W laø troïng löôïng cuûa khoái cöùng. Chuyeån vò v goàm toång cuûa chuyeån vò tónh (Static Displacement) ∆ st gaây bôûi troïng löôïng W vaø chuyeån vò ñoäng v v = ∆ st + v , v = v , v = v Thay bieåu thöùc cuûa löïc ñaøn hoài f s = kv = k∆ st + kv vaøo phöông trình chuyeån ñoäng: mv + cv + k∆ st + kv = p (t ) + W Maët khaùc W = k∆ st neân phöông trình cuoái cuøng: mv + cv + kv = p (t ) Aûnh höôûng cuûa troïng löïc fS c k fD f S fD fI m (W) fI W p(t) v(t) p(t) ∆ st W v(t) v (t) p(t) Keát luaän: Neáu laáy vò trí caân baèng tónh hoïc do troïng löôïng P = mg gaây ra laøm moác ñeå tính chuyeån vò thì phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng vaãn coù daïng (2.1). Nhö vaäy, troïng löïc khoâng aûnh höôûng ñeán phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng. 2.1.4 AÛnh höôûng cuûa söï rung ñoäng goái töïa vt v fI 0.5fS vg(t) fD 0.5fS Phöông trình caân baèng löïc: f I + f D + f S = 0 f I = mvt vôùi v t = v + v g trong ñoù löïc quaùn tính: laø toång cuûa v laø chuyeån vò uoán vaø vg laø chuyeån vò goái töïa (maët ñaát). mv + mvg + cv + kv = 0 hay: mv + cv + kv = − mvg ≡ Peff (t ) (2.5) Keát luaän: Peff (t ) = − m vg laø taûi troïng do rung ñoäng goái töïa. Nhö vaäy söï rung ñoäng cuûa maët ñaát töông ñöông nhö löïc kích ñoäng P taùc duïng taïi vaät naëng. 2.1.5 Heä moät baäc töï do suy roäng (Generalised SDOF System) z(t) Heä coù ñaëc tröng vaät lyù x N phaân boá (m, EI…), thöïc v (x,t) e(t) chaát coù voâ haïn baäc töï do. v(x,t) Neáu coi heä chæ dao ñoäng l vôùi moät haøm daïng naøo ñoù m(x) x thì heä trôû thaønh 1 baäc töï EI(x) do. Tìm caùc ñaëc tröng taäp O chuyeån vò v (t) trung cho heä 1 DOF. eff t g Giaû söû heä chòu rung ñoäng ngang vg(t) cuûa goái töïa (do ñoäng ñaát chaúng haïn). Duøng nguyeân lyù Hamilton ñeå thieát laäp phöông trình chuyeån ñoäng. Ñaët: (2.6) v(x,t) = ψ(x) Z(t) ψ(x) - Haøm daïng (Shape Function) Z(t)- Toïa ñoä suy roäng (Generalised Coordinate) Ñoäng naêng cuûa heä: [ ] 2 1l T = ∫ m ( x ) v t ( x , t ) dx 20 l δT = ∫ m( x)v t ( x, t )δv t dx 0 Theá naêng uoán: l l 1 2 V f = ∫ EI ( x )[v" ( x , t )] dx 20 δV f = ∫ EI ( x )v" ( x , t )δv" dx (2.8) 0 Ñoä co ngaén cuûa thanh: 1l 2 e(t ) = ∫ [v' ( x, t )] dx 20 (2.9) N VN = − Ne = − Theá naêng löïc doïc: 2 l 2 [ ] v ' ( x , t ) dx ∫ 0 l δVN = − N ∫ v' ( x , t )δv'dx hay 0 (2.10) Vì heä khoâng coù löïc khoâng baûo toaøn (löïc caûn, löïc kích thích) neân: t2 ∫ δ (T − V )dt = 0 (*), vôùi V = Vf + VN t1 Theá (2.7), (2.8) vaø (2.10) vaøo (*): l l ⎡l ⎤ t t ∫ ⎢ ∫ m( x)v ( x, t )δv dx − ∫ EI ( x)v" ( x, t )δv" ( x, t )dx + N ∫ v ' ( x, t )δv ' dx ⎥dt = 0 0 0 t1 ⎣ 0 ⎦ t2 z (2.11) δz Duøng caùc lieân heä: vt v v (t ) = v δv v" + v g vaø =ψ " z v’ = ψ’Z O v =ψZ vg vaø δv(t ) = δv vaø δv" =ψ "δZ vaø δ v ' =ψ ' δZ (2.12) δv =ψ δZ Theá (2.12) vaøo (2.11) l l l ⎡  l ⎤ 2 2 2   Z δ Z m ( x ) ψ dx + δ Z v ( t ) m ( x ) ψ dx − Z δ Z EI ( x ) ψ " dx + NZ δ Z ∫⎢ ∫ ∫ ∫ ∫ (ψ ' ) dx⎥dt = 0 g 0 0 0 0 t1 ⎣ ⎦ t2 (2.13) l Chuù yù raèng tích phaân ∫ f ( x)dx khoâng phuï thuoäc t, 0 neân ñoùng vai troø laø caùc haèng soá khi thöïc hieän tích phaân theo bieán t. Ñeå laøm xuaát hieän caùc thöøa soá δZ trong 2 soá haïng ñaàu, tích phaân töøng phaàn: t2 t2 t2 t t t 2 2 2 dZ d       ∫t Zδ Zdt =∫t Zδ dt dt = ∫t Z dt (δ Z )dt = Zδ Z − ∫t Zδ Zdt = −∫t Zδ Zdt (2.14) 1 1 1 1 1 t 1 t2 t2 ∫ v t1 g (t )δZdt = v g (t )δZ t1 t2 − ∫ vg (t )δZdt t1 (2.15) Theá (2.14) vaø (2.15), phöông trình (2.13) trôû thaønh: