Tài liệu Xây dựng và phân loại một số bài toán thực tế trong chương trình môn toán lớp 12

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TOÁN TIN ----------------------- NGUYỄN THỊ HƯƠNG XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG HỆ THỐNG BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH 12 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán Phú Thọ, 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TOÁN TIN ----------------------- NGUYỄN THỊ HƯƠNG XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG HỆ THỐNG BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH 12 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS. PHAN THỊ TÌNH Phú Thọ, 2018 i LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới các Giảng viên khoa Toán - Tin trường Đại học Hùng Vương. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn tới Giảng viên hướng dẫn là TS. Phan Thị Tình, cô đã dành nhiều thời gian quý báu trực tiếp chỉ bảo, hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Trong thời gian làm việc với Cô, em không ngừng tiếp thu những kiến thức bổ ích và học tập được tinh thần làm việc, thái độ nghiên cứu khoa học nghiêm túc, hiệu quả, đây là những điều rất cần thiết cho em trong quá trình học tập và công tác sau này. Tôi xin gửi cảm ơn tới các bạn sinh viên lớp K12 – ĐHSP Toán, Khoa Toán – Tin, trường Đại học Hùng Vương đã luôn động viên, đóng góp ý kiến và giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận. Mặc dù đã rất cố gắng song khóa luận không khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được sự góp ý của các Thầy giáo, Cô giáo và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Việt trì, tháng 5 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Hƣơng ii DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT Chữ viết tắt Viết đầy đủ ĐC Đối chứng GV Giáo viên HS Học sinh THPT Trung học phổ thông TN Thử nghiệm SGK Sách giáo khoa VD Ví dụ iii DANH MỤC BẢNG Bảng 1.1: Kết quả thăm dò bằng điểm ............................................................ 20 Bảng 1.2: Kết quả thăm dò theo từng bài ....................................................... 21 Bảng 3.1: Bảng phân phối thực nghiệm tần số, tần suất ................................. 57 Bảng 3.2: Bảng nhận xét…………………………………….………………………………..56 iv MỤC LỤC MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 1. Tính cấp thiết................................................................................................. 1 2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn....................................................................... 3 2.1. Ý nghĩa lí luận ............................................................................................ 3 2.2. Ý nghĩa thực tiễn ........................................................................................ 3 3. Mục tiêu khóa luận ........................................................................................ 3 CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN ........................ 4 1.1. Về các bài tập nguyên hàm, tích phân có nội dung thực tiễn .................... 4 1.2. Về yêu cầu dạy học giải bài tập có nội dung thực tiễn về Nguyên hàm tích phân trong chương trình môn Toán THPT ................................................ 8 1.3. Thực trạng vấn đề dạy học chủ đề Nguyên hàm - tích phân ở một số trường THPT trên địa bàn tỉnh Phú Thọ ......................................................... 16 KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 .............................................................................. 23 CHƢƠNG 2: HỆ THỐNG BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN ............................................................................. 24 2.1. Một số nguyên tắc xây dựng hệ thống bài tập nguyên hàm, tích phân có nội dung thực tiễn............................................................................................ 24 2.2. Hệ thống bài tập nguyên hàm, tích phân có nội dung thực tiễn .............. 26 2.3. Hướng dẫn sử dụng hệ thống bài tập ....................................................... 47 KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 .............................................................................. 51 CHƢƠNG 3: THỬ NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................. 52 3.1. Mục đích thử nghiệm ............................................................................... 52 3.2. Nội dung thử nghiệm ............................................................................... 52 3.3. Tổ chức thử nghiệm ................................................................................. 52 3.4. Đánh giá kết quả thử nghiệm ................................................................... 55 KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 .............................................................................. 59 KẾT LUẬN .................................................................................................... 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 61 PHỤ LỤC ....................................................................................................... 63 v 1 MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết Đất nước ta đang bước vào giai đoạn công nghiệp hóa, hiện đại hóa và hội nhập với cộng đồng quốc tế. Nghị quyết đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ XII của Đảng cộng sản Việt Nam (2016) đã khẳng định:“Phát huy nguồn lực con người là yếu tố cơ bản cho sự phát triển nhanh và bền vững của công cuộc công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước”. Đáp ứng yêu cầu phát triển nguồn lực con người của xã hội hiện nay, vấn đề định hướng giảng dạy gắn kiến thức lý thuyết với thực tiễn là một trong những yêu cầu quan trọng được đặt ra cho ngành giáo dục. Định hướng trên đây đã được thể chế hóa trong Luật giáo dục: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh” (Luật giáo dục (2005 - Điều 24. mục 2, chương 2)). Một trong những quan điểm xây dựng và phát triển chương trình môn Toán trung học phổ thông (THPT): “Tăng cường thực hành và vận dụng, thực hiện dạy học toán gắn với thực tiễn”. Theo đó, “tăng cường và làm rõ mạch toán ứng dụng và ứng dụng Toán học” [5] là một trong những tư tưởng cơ bản. Do đó việc dạy học môn Toán cần đảm bảo giúp học sinh sử dụng Toán học đúng nghĩa là công cụ sắc bén để giải quyết một cách hữu hiệu nhiều vấn đề của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống. Như vậy, vấn đề tăng cường rèn luyện khả năng, thói quen ứng dụng kiến thức, kỹ năng, phương pháp Toán học vào các môn học khác, vào những tình huống đa dạng của đời sống thực tiễn là một mục tiêu, một nhiệm vụ quan trọng của giáo dục Toán học. 2 Trong môn Toán ở trường Trung học phổ thông,“Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng của chúng trong thực tế” là một trong những nội dung quan trọng trong chuỗi nội dung về hàm số. Chủ đề kiến thức này không chỉ góp phần tạo lập những kiến thức cơ bản để chuẩn bị cho học sinh tiếp cận nội dung toán cao cấp ở bậc học sau mà còn có tiềm năng trong việc chứng minh giá trị công cụ của môn Toán. Trong đó, các bài tập có nội dung thực tiễn của chủ đề có vị trí đặc biệt quan trọng. Giải các bài tập thuộc dạng này vừa rèn luyện cho học sinh ý thức, thói quen, khả năng tối ưu hóa các hoạt động thực tiễn, vừa củng cố cho học sinh kiến thức vận dụng Toán học vào thực tiễn. Hơn nữa, các bài tập có nội dung thực tiễn phổ quát trên nhiều lĩnh vực thực tiễn còn góp phần định hướng các lĩnh vực nghề nghiệp cho học sinh. Trong lộ trình đổi mới giáo dục hiện nay, thực hiện mục tiêu nâng cao năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn đặt ra cho học sinh việc tiếp cận các bài toán có nội dung thực tiễn thuộc chủ đề một cách có kế hoạch hơn. Trong chương trình sách giáo khoa Giải tích 12 hiện nay, số lượng các bài tập nguyên hàm, tích phân có nội dung thực tiễn chưa nhiều, trình bày chưa được liên tục và hệ thống. Vì vậy, việc thực hiện mục tiêu tăng cường thực hành, vận dụng kiến thức cho học sinh qua môn Toán nói chung, qua chủ đề Nguyên hàm - tích phân lớp 12 nói riêng còn có những hạn chế nhất định. Rõ ràng, vấn đề đặt ra là cần cho học sinh thực hiện giải các bài tập nguyên hàm tích phân có nội dung thực tiễn nhiều hơn nhằm rèn luyện cho học sinh ý thức, thói quen, khả năng tối ưu hóa mọi hoạt động thực tiễn, góp phần thực hiện mục tiêu giáo dục Toán học. Khảo sát thực trạng việc dạy học chủ đề nguyên hàm - tích phân tại một số trường Trung học phổ thông trên địa bàn tỉnh Phú Thọ, chúng tôi nhận thấy: Học sinh tuy được trang bị kiến thức lý thuyết về chủ đề này một cách đầy đủ, logic, hệ thống nhưng khả năng giải quyết các tình huống thực tiễn đơn giản, gần gũi với đời sống qua sử dụng kiến thức về Nguyên hàm - tích phân còn rất hạn chế, thậm chí là không thực hiện được. Như vậy, mặc dù tiềm năng khai thác, vận dụng kiến thức vào thực tiễn của chủ đề là sẵn có nhưng hiệu quả 3 khai thác giá trị vận dụng thực tiễn của kiến thức chủ đề không cao. Điều này gây nên những hạn chế trong thực hiện mục tiêu định hướng hoạt động nghề nghiệp cho học sinh qua môn Toán. Vì những lí do đó chúng tôi chọn: “Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập nguyên hàm, tích phân có nội dung thực tiễn trong dạy học giải tích 12” để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp. 2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 2.1. Ý nghĩa lí luận - Làm rõ vai trò của môn Toán trong việc nâng cao nhận thức của con người tới các lĩnh vực thực tiễn; làm rõ yêu cầu dạy học giải bài tập có nội dung thực tiễn về Nguyên hàm - tích phân trong chương trình môn Toán ở trường THPT. - Xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn thuộc chủ đề Giải Tích 12 THPT, trình bày những chỉ dẫn sử dụng hệ thống bài tập góp phần rèn luyện ý thức, khả năng, thói quen vận dụng kiến thức Toán học trong các hoạt động thực tiễn của học sinh. 2.2. Ý nghĩa thực tiễn Các bài tập thực tiễn đã xây dựng và hướng dẫn sử dụng các bài tập là tư liệu tham khảo cần thiết cho sinh viên ngành Toán, giáo viên toán trong dạy và học Toán ở THPT theo định hướng quan tâm tới vấn đề khai thác nội dung thực tế trong dạy học, tăng cường thực hành, vận dụng, phát triển năng lực, sở trường học sinh. 3. Mục tiêu khóa luận Xây dựng và hướng dẫn sử dụng hệ thống bài tập Nguyên hàm - tích phân có nội dung thực tiễn trong dạy học giải tích 12 nhằm góp phần rèn luyện ý thức, khả năng, thói quen vận dụng kiến thức môn Toán thực tiễn, củng cố kiến thức về nguyên hàm, tích phân cho học sinh lớp 12 THPT. 4 CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN 1.1. Về các bài tập nguyên hàm, tích phân có nội dung thực tiễn 1.1.1. Một số khái niệm cơ bản 1.1.1.1. Thực tế, thực tiễn Theo từ điển Tiếng Việt, “ Thực tế là tổng thể nói chung những gì đang tồn tại, đang diễn ra trong tự nhiên và trong xã hội, về mặt có quan hệ với đời sống con người; thực tế là những hoạt động của con người, trước hết là lao động sản xuất, nhằm tạo ra những điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của xã hội (nói tổng quát)” [8, tr 957]. Như vậy, ta thấy thực tiễn là một tồn tại của thực tế nhưng không chỉ tồn tại khách quan mà trong đó hàm chứa hoạt động của con người cải tạo, biến đổi thực tế với mục đích nào đó. 1.1.1.2. Tình huống thực tiễn Theo từ điển Tiếng Việt, “Tình huống là sự diễn biến của tình hình về mặt cần pải đối phó” [8, tr979]. Theo [5] “Một tình huống được hiểu là một hệ thống phức tạp gồm chủ thể và khách thể, trong đó, chủ thể có thể là con người khách thể có thể lại là một hệ thống nào đó” [8, tr185]. Dựa trên quan điểm này chúng tôi cho rằng: “Tình huống thực tiễn là một tình huống mà trong đó khách thể chứa đựng những phần tử là những yếu tố thực tế”. 1.1.1.3. Bài tập có nội dung thực tiễn Theo quan niệm của L.N. Landa, A. N. Leonchiep thì: Bài tập là mục đích đã cho trong những điều kiện nhất định, đòi hỏi chủ thể (người giải) cần phải hành động, tìm kiếm cái chưa biết trên cơ sở mối liên quan với cái đã biết. Theo Thái Duy Tuyên: Qua nghiên cứu lí luận và sự trải nghiệm thực tiễn có thể hiểu bài tập là một hệ thông tin xác định bao gồm hai tập hợp gắn bó chặt chẽ và tác động qua lại với nhau. 5 Những điều kiện, tức là tập hợp những dữ liệu xuất phát, diễn tả trạng thái ban đầu của bài tập, từ đó tìm ra phép giải; theo ngôn ngữ thông dụng thì đó là “cái cho”, trong Toán học thì người ta gọi là giả thiết. Những yêu cầu là trạng thái mong muốn đạt tới, theo ngôn ngữ thông dụng thì đây là “cái phải tìm”. Hai tập hợp này được gọi là bài tập, nhưng chúng lại không phù hợp với nhau, thậm chí mâu thuẫn với nhau; từ đó xuất hiện nhu cầu biến đổi chúng để khắc phục sự không phù hợp, mâu thuẫn giữa chúng. Tóm lại, có thể hiểu bài tập là một hệ thống thông tin xác định bao gồm những điều kiện và những yêu cầu được đưa ra trong quá trình dạy học, đòi hỏi một người dạy học một lời giải đáp, mà lời giải đáp này là toàn bộ hoặc từng phần không ở trạng thái có sẵn của người giải tại thời điểm mà bài tập được đặt ra. Dựa trên các quan điểm này và trên cách hiểu về thực tế, thực tiễn đã trình bày, chúng tôi quan niệm rằng: Bài tập có nội dung thực tiễn là bài tập mà trong điều kiện về giả thiết hay trong yêu cầu của kết luận có chứa đựng nội dung liên quan đến các hoạt động thực tiễn. 1.1.2. Ý nghĩa và vai trò của các bài tập nguyên hàm, tích phân có nội dung thực tiễn trong dạy học môn Toán ở THPT a) Góp phần củng cố, đào sâu, giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản được quy định trong chương trình Các kiến thức cơ bản được quy định trong chương trình 12 như: Nguyên hàm, tích phân, bất đẳng thức, phương trình và bất phương trình, đạo hàm,… Việc giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản được quy định trong chương trình là một nhiệm vụ quan trọng, đóng vai trò cơ sở để thực hiện các nhiệm vụ giáo dục Toán học khác, tạo điều kiện thuận lợi cho việc giáo dục toàn diện. 6 Thông qua luyện tập, ứng dụng các kiến thức để giải các bài tập nguyên hàm, tích phân có nội dung thực tiễn có thể góp phần đào sâu, củng cố các kiến thức, giúp cho học sinh nắm kiến thức một cách vững chắc. b) Góp phần chủ động rèn luyện có hiệu quả khả năng, thói quen liên hệ và vận dụng các kiến thức, phương pháp toán học vào thực tế Trong bối cảnh của sự bùng nổ thông tin và công nghệ thông tin cùng với những nhu cầu của xã hội hiện đại, trong đó các bộ môn càng thâm nhập vào nhau đòi hỏi con người phải đa năng. Nhiệm vụ chủ yếu của nhà trường là ngoài khía cạnh “kiến thức đơn thuần”, trước hết phải tập chung cố gắng dạy cho học sinh biết sử dụng kiến thức của mình vào những tình huống có ý nghĩa với họ, tức là cần phải phát triển những năng lực sử dụng các nội dung và kỹ năng trong một tình huống. Trong dạy học môn Toán, nhiệm vụ đó chính là phải dạy cho học sinh cách thức vận dụng Toán học vào thực tiễn. c) Góp phần cho học sinh thấy rõ quan hệ gắn bó, mật thiết giữa Toán học với các lĩnh vực khoa học khác cũng như đối với đời sống thực tế sản xuất Để đạt được mục đích đào tạo con người đáp ứng yêu cầu xã hội trong giai đoạn mới, toàn bộ việc dạy học các bộ môn nói chung và dạy toán nói riêng phải quán triệt nguyên lý giáo dục. Ba phương hướng chủ yếu để thực hiện nguyên lý đó là:  Làm rõ mối liên hệ giữa Toán học và thực tế: - Làm rõ nguồn gốc thực tế của Toán học. - Làm rõ sự phản ánh thực tế của Toán học. - Làm rõ những ứng dụng thực tế của Toán học. Muốn vậy cần tăng cường cho học sinh tiếp cận với những bài tập có nội dung thực tiễn khi học lý thuyết cũng như khi làm bài tập. Những ứng dụng của Toán học có khi không thể hiện trực tiếp ở ngay trong thực tiễn mà là ở một lĩnh vực khác gần thực tiễn hơn nó, như vật lý, hóa học,… Làm việc 7 với những ứng dụng của Toán học trong những môn này cũng là một hình thức liên hệ Toán học với thực tiễn.  Truyền thụ tri thức và rèn luyện kĩ năng theo tinh thần sẵn sàng ứng dụng vào thực tế, tức là tiến hành các hoạt động “hành” theo nghĩa rộng - một điều kiện để sẵn sàng tham gia lao động sản xuất và hoạt động xã hội.  Tăng cường vận dụng và thực hành toán học trong nhà trường và ở ngoài nhà trường. Trong nội bộ môn Toán, cần cho học sinh giải những bài tập có nội dung thực tế như giải bài toán bằng cách lập phương trình, nguyên hàm - tích phân,… Rõ ràng là thông qua các bài tập nguyên hàm - tích phân có nội dung thực tiễn tạo ra những điều kiện thuận lợi để góp phần thực hiện nguyên lý giáo dục tốt hơn. Qua các bài tập nguyên hàm - tích phân có nội dung thực tiễn, học sinh thấy được lợi ích to lớn của việc ứng dụng toán học vào thực tiễn; thấy được vai trò “công cụ” không thể thiếu được của toán học trong mọi lĩnh lực hoạt động của con người. Qua đó góp phần nâng cao hứng thú học tập bộ môn, làm cho các em thích, tìm tòi và ứng dụng thành công. d) Góp phần rèn luyện ý thức và khả năng ứng dụng toán học vào thực tiễn, giáo dục cho học sinh thói quen xem xét các vấn đề trong quan điểm “tối ưu” Giải quyết các vấn đề trong thực tiễn bằng phương pháp hợp lý, ngắn gọn, nâng cao năng suất lao động, hạ giá thành sản phẩm, tôn trọng hiệu quả công việc - những yếu tố của “tác phong công nghiệp” của người lao động trong xã hội công nghiệp hóa, hiện đại hóa. Giải các bài tập loại này, ngoài việc củng cố các kiến thức toán học tương ứng, còn có tác dụng đào tạo thế hệ trẻ có đức tính cần thiết của người lao động mới, người quản lý kinh tế. Có thể coi hệ thống bài tập nguyên hàm - tích phân có nội dung thực tiễn như là một cái giá mang để giáo dục ý thức và tư duy ứng dụng, đặc biệt là tư duy về hoạt động tối ưu đồng thời với việc dạy học các kiến thức Toán học. 8 e) Góp phần tăng cường nội dung về ứng dụng toán học trong dạy học toán ở trường phổ thông Chúng ta đều biết rằng những kiến thức và phương pháp toán học được lựa chọn và đưa vào dạy học ở trường phổ thông phải là những kiến thức và phương pháp toán học phổ thông, cần thiết nhất, cơ bản nhất, căn cứ vào mục tiêu của trường phổ thông và phản ánh được tinh thần, quan điểm, ngôn ngữ và phương pháp toán học hiện đại. Vì vậy các bài tập nguyên hàm - tích phân có nội dung thực tiễn không những góp phần quán triệt nguyên lý giáo dục mà còn góp phần phản ánh được tinh thần và sự phát triển của khoa học toán học hiện nay. 1.2. Về yêu cầu dạy học giải bài tập có nội dung thực tiễn về Nguyên hàm - tích phân trong chƣơng trình môn Toán THPT 1.2.1. Mức độ đề cập và yêu cầu kiến thức của các bài tập có nội dung thực tiễn trong chương trình Giải Tích 12 hiện hành Các bài tập nguyên hàm - tích phân có nội dung thực tiễn được đưa vào chương trình Giải tích 12 hiện hành. Chủ đề nguyên hàm, tích phân được đưa vào chương trình Giải tích 12 THPT hiện hành. Theo phân phối chương đổi mới môn Toán của THPT của Bộ Giáo dục và Đào tạo, phần Đại số và Giải tích lớp 12 (theo chương trình chuẩn) gồm 4 chương: Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (20 tiết) Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số Bài 2: Cực trị của hàm số Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Bài 4: Đường tiệm cận Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Chương II: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit (17 tiết) Bài 1: Lũy thừa Bài 2: Hàm số lũy thừa Bài 3: Lôgarit 9 Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit Bài 5: Phương trình mũ, phương trình lôgarit Bài 6: Bất chương trình mũ và bất phương trình lôgarit Chương III: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (17 tiết) Bài 1: Nguyên hàm Bài 2: Tích phân Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học Chương IV: Số phức (9 tiết) Bài 1: Số thức Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức Bài 3: Phép chia số phức Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực Mục tiêu dạy học chủ đề Nguyên hàm tích phân: Thông qua chương trình môn Toán, góp phần hình thành và phát triển năng lực Toán học với các yêu cầu cần đạt: Sử dụng được các phương pháp lập luận, suy diễn để nhìn ra cách thức khác nhau để giải quyết vấn đề, sử dụng các mô hình toán học để mô tả các tình huống từ đó đưa ra các cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô hình được thiết lập… Hiểu được khái niệm nguyên hàm của một hàm số, hiểu được tính chất cơ bản của nguyên hàm, xác định được nguyên hàm của một hàm số sơ cấp, cơ bản, tìm được nguyên hàm trong những trường hợp đơn giản; biết được định nghĩa và các tính chất của tích phân, tính được tích phân, sử dụng được tích phân để tính diện tích của hình phẳng và thể tích của một số hình khối. Yêu cầu về kiến thức, kĩ năng dạy học chủ đề Nguyên hàm tích phân: Trong chương III yêu cầu người dạy cần truyền đạt cho học sinh về kiến thức: Hiểu khái niệm nguyên hàm của một hàm số; biết khái niệm về diện tích hình thang cong, biết định nghĩa tích phân của hàm số liên tục bằng công thức Niu-tơn - Lai-bơ-nit, biết các tính chất của nguyên hàm, tích phân; biết các công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, thể tích khối tròn xoay nhờ tích phân. Yêu cầu về kĩ năng: Tìm được nguyên hàm của một số 10 hàm tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và cách tính nguyên hàm từng phần, sử dụng được các phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm; tính được của tích phân của một số hàm tương đối đơn giản bằng định nghĩa hoặc phương pháp tính tích phân từng phần, sử dụng được phương pháp đổi biến số để tính tích phân; tính được diện tích hình phẳng và thể tích một số khối tròn xoay nhờ tích phân. 1.2.2. Các dạng bài tập có nội dung thực tiễn về nguyên hàm, tích phân trong chương trình Giải Tích 12 hiện hành Các bài tập nguyên hàm - tích phân là mảng kiến thức mới, học sinh được tiếp cận các kiến thức cơ bản, hệ thống công thức; giúp học sinh có một nền tảng vững chắc để giải các bài tập thông thường, tiền đề cho các bài toán khó cũng như các bài toán liên quan đến thực tế. Tuy vậy, bài tập nguyên hàm - tích phân có nội dung thực tiễn chưa thực sự được chú trọng, số lượng bài tập còn ít. Phần lớn các bài tập nguyên hàm - tích phân có nội dung thực tiễn trong sách giáo khoa chưa nhiều. Trong chương III, Giải tích 12 nâng cao số lượng bài tập áp dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng là 5 trên tổng số 40, tính thể tích vật thể là 10 trên 40 bài. Còn ở Giải tích 12 cơ bản tổng số có 15 bài trong đó có 3 bài tính diện tích hình phẳng và 2 bài tính thể tích vật thể. Các bài tập thực tiễn được đề cập đến chưa nhiều, chưa thấy rõ vai trò của nguyên hàm, tích phân trong thực tiễn. Số lượng bài tập còn hạn chế, chưa được phong phú đa dạng. Như vậy, tính thực tiễn được phản ánh trong nội dung chương trình và SGK môn Toán THPT tuy đã được quan tâm, nhưng chưa thường xuyên, tỉ lệ bài mang nội dung thực tiễn còn thấp. Chính vì nội dung thực tiễn trong SGK toán THPT hiện nay còn ít, thiếu tính phong phú nên không tạo điều kiện để giáo viên khai thác nội dung thực tế trong dạy học một cách thường xuyên. Bởi lẽ đó cần có sự định hướng cụ thể về việc khai thác bổ sung và làm phong phú thêm các nội dung thực tế trong dạy học toán nhằm làm giờ học thêm sinh động, nâng cao giá trị thực tiễn của kiến thức, góp phần đáp ứng yêu cầu, mục tiêu giáo dục Toán học THPT trong giai đoạn hiện nay. 11 Ứng dụng của nguyên hàm - tích phân gồm 2 mảng chính, đó là tính diện tích hình phẳng và tính thể tích vật thể. Sau đây là một số dạng toán thường gặp. Trong chương trình lớp 12 hiện hành, các bài tập có nội dung thực tiễn được tập chung dưới một số dạng bài tập: Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng Bài toán 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  (liên tục trên đoạn  a, b ), hai đường thẳng x  a , x  b và trục Ox . Để giải bài toán này ta thực hiện các bước sau: Bƣớc 1: Gọi S là diện tích cần xác định, ta có: b S   f  x  dx a Bƣớc 2: Xét dấu biểu thức f  x  trên  a, b Từ đó phân được đoạn  a, b thành các đoạn nhỏ, giả sử:  a, b   a, c   c , c   ...  c , b 1 1 2 k Mà trên mỗi đoạn f  x  có một dấu Bƣớc 3: Khi đó: S c1 c2 b a c1 ck  f  x  dx   f  x  dx  ...   f  x  dx. Chú ý: Nếu bài toán phát biểu dưới dạng “ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x  f  y  (liên tục trên đoạn  a, b ), hai đường thẳng y  a, y  b và trục Oy ”. Khi đó công thức tính diện tích là: b S   f  y  dy a Bài toán 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  (liên tục trên đoạn  a, b ), hai đường thẳng x  a, x  b . b Gọi S là diện tích cần xác định, ta có: S   f  x   g  x  dx a 12 Các bước còn lại làm tương tự như phần bài toán 1. Bài toán 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  f  x, y  g  x . Bƣớc 1: Xét phương trình: f  x   g  x   0  nghiệm x1  x2  ...  xk Bƣớc 2: Gọi S là diện tích cần xác định, ta có: xk S   f  x   g  x  dx x1 x2 x3 x1 x2 =  f  x   g  x  dx   f  x   g  x  dx  ...  k  f  x   g  x  dx. xk 1 Bài toán 4: Tính diện tích của hình Elip. x2 y 2 Cho Elip  E  : 2  2  1 a b Suy ra phương trình của  E  trong góc phần tư thứ I là y  b 2 a  x2 . a Gọi S là diện tích cần xác định, ta có: S  4S1  4b a 2 a  x 2 dx.  a 0 (1) Để tính (1) ta thực hiện phép đổi biến Đặt: x  a sin t , với   2 t   2  dx  a cos t.dt . x 0t 0 Đổi cận: với xat   2    2 2 2 0 0 0 Khi đó: S  4ab  a 2  a 2 sin 2 t .costdt  4ab cos t cos tdt  4ab cos2 tdt    1 2  2ab  1  cos 2t  dt  2ab  t  sin 2t    ab.  2 0 0 2 Dạng 2: Tính thể tích vật thể Bài toán 1: Tính thể tích vật thể T . 13 Bƣớc 1: Giả sử vật thể T được giới hạn bởi hai mặt phẳng song song   ,    .  Ox    ,Ox     a Ta chọn trục Ox sao cho:   Ox     , Ox      b Bƣớc 2: giả sử mặt phẳng    Ox và    Ox  x  a  x  b  cắt T theo một thiết diện có diện tích S  x  (là hàm số liên tục theo biến x ). Khi đó: b VT   S  x dx. a Bài toán 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền  D  giới hạn bởi y  f  x  , x  a, x  b, y  0 quay quanh trục Ox . Áp dụng công thức: b b V    y dx    f 2  x  dx. 2 a a Bài toán 3: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền  D  giới hạn bởi x  f  y  , y  a, y  b, x  0, quay quanh trục Oy . Áp dụng công thức: b b a a V    x 2 dy    f 2  y dy. Bài toán 4: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền  D  giới hạn bởi một đường  C  kín. Ta xét hai trường hợp sau: Trƣờng hợp 1: Khi quay quanh trục Ox , ta thực hiện theo hai bước sau: Bƣớc 1: Phân đường cong kín  C  thành hai cung  C1  : y  f1  x   y1 và C  : y  f  x   y 2 2 2 với a  x  b và f1  x  , f 2  x  cùng dấu. Bƣớc 2: Thể tích cần xác định được cho bởi: b V    y12  y22 dx. a Trƣờng hợp 2: Khi quay quanh Oy , ta thực hiện theo hai bước sau: