Tài liệu Về các ideal nguyên tố, cực đại và nguyên sơ (Hỗ trợ dowload tài liệu zalo 0587998338)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN =======***======= PHÙNG THỊ NGÂN VỀ CÁC IDEAL NGUYÊN TỐ, CỰC ĐẠI VÀ NGUYÊN SƠ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS. Đỗ Văn Kiên HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian nghiên cứu miệt mài, nghiêm túc cùng sự hƣớng dẫn, giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, đến nay khóa luận tốt nghiệp của tôi đã đƣợc hoàn thành. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc chân thành, sâu sắc tới các thầy cô giáo đặc biệt là thầy giáo-ThS Đỗ Văn Kiên, ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn tôi hoàn thành khóa luận này. Do còn hạn chế về thời gian và kiến thức của bản thân nên khóa luận của tôi không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận đƣợc sự góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên. Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2015. Sinh viên thực hiện Phùng Thị Ngân LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp “Về các ideal nguyên tố, cực đại và nguyên sơ” đƣợc hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cũng sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo-ThS Đỗ Văn Kiên. Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng với kết quả của các tác giả khác. Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên thực hiện Phùng Thị Ngân. MỤC LỤC MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1 Chƣơng 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VÀNH ........................................ 2 1.1. Vành và các tính chất cơ bản .......................................................... 2 1.2. Vành con và các tính chất cơ bản ................................................... 3 1.3. Miền nguyên, trƣờng ....................................................................... 3 1.4. Iđêan. ............................................................................................... 4 1.5. Vành chính, vành nhân tử hóa, vành Ơclit ..................................... 7 1.6. Vành thƣơng và đồng cấu vành ...................................................... 8 1.7. Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự ................................................... 12 Chƣơng 2: IĐÊAN CỰC ĐẠI VÀ IĐÊAN NGUYÊN TỐ .................... 14 2.1. Iđêan cực đại ................................................................................. 14 2.2. Iđêan nguyên tố ............................................................................. 19 Chƣơng 3: IĐÊAN NGUYÊN SƠ .......................................................... 32 3.1. Iđêan nguyên sơ ............................................................................ 32 3.2. Mối liên hệ giữa iđêan cực đại, iđêan nguyên tố và iđêan nguyên sơ .......................................................................................................... 39 KẾT LUẬN ............................................................................................. 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Đại số là một nghành rất quan trọng của Toán học. Kiến thức Đại số rất phong phú, trừu tƣợng và đƣợc xây dựng, phát triển từ những kiến thức cơ sở của của cấu trúc đại số nhƣ: nhóm, vành, trƣờng… Các khái niệm iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan cực đại là những khái niệm trọng tâm cho việc ứng dụng lý thuyết vành giao hoán vào đại số hình học. Tuy nhiên trong chƣơng trình đại học vấn đề này mới chỉ đƣợc trình bày một cách sơ lƣợc gây nhiều khó khăn cho việc tìm hiểu của bạn đọc, đặc biệt là sinh viên khoa Toán. Đƣợc sự giúp đỡ hƣớng dẫn tận tình của thầy giáo-ThS Đỗ Văn Kiên và mong muốn tìm hiểu sâu về đại số giao hoán tôi chọn đề tài “Về các ideal nguyên tố, cực đại và nguyên sơ” để làm khóa luận tốt nghiệp hi vọng giúp ích cho các bạn yêu thích môn Đại số có thêm tài liệu để tham khảo. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu sâu về các iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan cực đại, sự phân tích nguyên sơ và mối liên hệ giữa chúng. 3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu Lý thuyết về iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ và iđêan cực đại trên các vành giao hoán. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp. 5. Cấu trúc khóa luận Khóa luận này đƣợc chia làm 3 chƣơng Chƣơng 1. Kiến thức cơ bản về vành. Chƣơng 2. Iđêan cực đại và iđêan nguyên tố. Chƣơng 3. Iđêan nguyên sơ 1 Chƣơng 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VÀNH Trong chƣơng này ta sẽ trình bày lại một số kiến thức về vành và các tính chất cơ bản về vành, miền nguyên và trƣờng, iđêan, quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự. 1.1. Vành và các tính chất cơ bản Định nghĩa 1.1.1. Cho X là tập khác rỗng, trên X trang bị hai phép toán hai ngôi, ký hiệu là (+), (.) và gọi là phép cộng và phép nhân. X đƣợc gọi là vành nếu thỏa mãn các điều kiện sau i) X cùng với phép cộng là nhóm Aben, ii) X cùng với phép nhân là nửa nhóm, iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là với các phần tử tùy ý x, y, z  X ta có x( y  z )  xy  xz , ( y  z ) x  yx  zx . Chú ý 1.1.2. + Vành X gọi là vành có đơn vị nếu X là vị nhóm nhân. + Vành X đƣợc gọi là vành giao hoán nếu phép nhân có giao hoán. + Vành X gọi là vành giao hoán có đơn vị nếu X là vị nhóm nhân giao hoán. + Phần tử đơn vị của phép cộng kí hiệu là 0. + Phần tử đơn vị của phép nhân (nếu có) ký hiệu là 1. + Trong khoá luận này luôn giả thiết rằng vành là vành giao hoán có đơn vị 1. 2 Định nghĩa 1.1.3. Cho X là vành có đơn vị 1, nếu tồn tại số nguyên dƣơng n nhỏ nhất sao cho n.1  0 thì ta nói X có đặc số là n , ngƣợc lại ta nói X có đặc số bằng 0. Đặc số của vành X ký hiệu là char ( X ) . Định lý 1.1.4. Với mọi x, y , z  X , n  ta có + x.0  0  0.x với mọi x  X ; + Nếu vành X có ít nhất hai phần tử thì 0  1; + (n.x) y  n.x. y  x.(n. y ) với mọi x, y  X , n  ; + ( x  y ) z  xz  yz . Định nghĩa 1.1.5 (Tập con nhân đóng). Cho R là vành có đơn vị 1. Tập con S của R đƣợc gọi là tập con nhân đóng của R nếu thỏa mãn i) 1 S , ii) Với mọi x, y  S thì xy  S . 1.2. Vành con và các tính chất cơ bản Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X là một vành, A là một bộ phận của X , ổn định với hai phép toán trong X , nghĩa là x  y  A , x. y  A với mọi x, y  A . A là một vành con của X nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành. Định lý 1.2.2 . Cho X là một vành, A là một bộ phận khác rỗng của X . Khi đó các điều kiện sau là tƣơng đƣơng i) A là một vành con của X ; ii) x, y  A : x  y  A , x. y  A ,  x  A ; iii) x, y  A : x  y  A , x. y  A . 1.3. Miền nguyên, trƣờng Định nghĩa 1.3.1 (Ƣớc của không). Cho a  X , a  0 , a đƣợc gọi là ước của không nếu tồn tại b  X , b  0 sao cho a.b  0 . 3 Định nghĩa 1.3.2 (Phần tử khả nghịch). Phần tử u  X đƣợc gọi là phần tử khả nghịch nếu u là ƣớc của 1, tức là tồn tại v X sao cho u.v  1 . Định nghĩa 1.3.3 (Phần tử liên kết). Với a, a '  X ta nói a, a ' liên kết với nhau nếu tồn tại u khả nghịch sao cho a  u.a ' hoặc a '  u.a . Ký hiệu: a a ' hoặc a ' a . Định nghĩa 1.3.4 (Ƣớc thực sự). a đƣợc gọi là ước thực sự của b nếu a là ƣớc của b , a không khả nghịch và a không liên kết với b . Định nghĩa 1.3.5 (Phần tử bất khả quy). a  X là phần tử bất khả quy nếu a  0 , a không khả nghịch và a không có ƣớc thực sự. Định nghĩa 1.3.6 (Phần tử nguyên tố). Phần tử a  0 , không khả nghịch đƣợc gọi là phần tử nguyên tố nếu từ a u.v thì a u hoặc a v . Định nghĩa 1.3.7 (Miền nguyên). Một vành giao hoán X có đơn vị có nhiều hơn một phần tử và không có ƣớc của không đƣợc gọi là một miền nguyên. Định nghĩa 1.3.8 (Trƣờng). Một miền nguyên trong đó mọi phần tử khác không đều khả nghịch trong vị nhóm nhân đƣợc gọi là một trường. Nhƣ vậy X là trƣờng thì +  X ,   là nhóm Aben +  X ,  là nhóm Aben, trong đó X * *  X \ 0 + Phép nhân phân phối đối với phép cộng. Nhận xét 1.3.9. Đặc số của một miền nguyên hoặc bằng 0 , hoặc là một số nguyên tố. 1.4. Iđêan. Định nghĩa 1.4.1. Cho R là vành giao hoán, I là tập con của R . I đƣợc gọi là iđêan của R khi nó thỏa mãn các điều kiện sau i) I , 4 ii) Với mọi a, b  I thì a  b  I , iii) Với mọi a  I , r  R thì ra  I . Định lý 1.4.2. Cho X là vành, I  X , I  . Các khẳng định sau tƣơng đƣơng i) I là iđêan của X ; ii) Với mọi a, b  I thì a  b  I và x  X thì a.x  I , x.a  I . Định lý 1.4.3. a) Giao của tất cả các iđêan của X là một iđêan của X . b) Cho X là vành giao hoán có đơn vị là 1, I là một iđêan của X , 1 I thì I  X . Định nghĩa 1.4.4 (Iđêan sinh bởi một tập). Cho U là tập con của vành X . Giao của họ tất cả các iđêan của X chứa U là một iđêan chứa U và đƣợc gọi là iđêan sinh bởi tập U . Ký hiệu: U hoặc XU . Nhận xét 1.4.5. Cho X là vành giao hoán, tập U  X + U là iđêan nhỏ nhất của X chứa U ; + Nếu U là tập con hữu hạn của X thì ta nói I  U là iđêan hữu hạn sinh của X ;  + Nếu U  ui \ i  1, n thì n U   xiui n   i 1 *  , xi  X , ui U  ;  + Nếu U   thì U    0 . Định nghĩa 1.4.6 (Iđêan chính). Cho X là vành, iđêan sinh bởi tập chỉ gồm một phần tử đƣợc gọi là iđêan chính. Biểu diễn: I là iđêan chính sinh bởi phần tử a  X thì I xác định bởi I   xa x  X  . 5 Định nghĩa 1.4.7 (Căn của iđêan). Cho R là vành giao hoán và cho I là iđêan của R . Căn của iđêan I ký hiệu là  I hoặc Rad  I  xác định bởi Rad  I   x  R n  * : xn  I  và cũng là một iđêan của I .  Đặc biệt. 0 là một iđêan của R , Rad 0  x R n  * :x n  0  đƣợc gọi là căn lũy linh của R và ký hiệu là Rad  R  . Định lý 1.4.8. Cho I1, I 2 ,...., I n là các iđêan của R , ta có n Ii  i 1 n Ii (*) i 1 Chứng minh. Ta chứng minh bằng cách quy nạp theo n I1  I 2  I1  I 2 . + Với n = 2 ta cần chỉ ra Thật vậy, với mọi a  I1  I 2 luôn tồn tại m  Suy ra tồn tại m  * * sao cho am  I1  I 2 thỏa mãn  a m  I1  m  a  I 2 Suy ra a  I1  a  I1  I 2  I1  I 2  I1  I 2 .  a  I 2 Mặt khác với mọi b  I1  I 2 thì b  I1  b  I 2 Suy ra tồn tại t , k  * để bt  I1 , bk  I 2 . Giả sử k  t , k  t  q . Khi đó bk  bt q  bt .bq  I1 (do bt  I1 ). 6 Lại có bk  I 2 suy ra bk  I1  I 2  b  I1  I 2  I1  I 2  I1  I 2  I1  I 2  I1  I 2 . n 1 + Giả sử (*) đúng với n-1 tức là có i 1 Ii  n 1 Ii . i 1 Ta chứng minh (*) đúng với n Thật vậy, n 1 Ii  i 1 n 1 n 1 Ii  I n  i 1 I i  I n (theo chứng minh trên) i 1  n 1 I i  I n (theo giả thiết quy nạp) i 1  n Ii i 1 n Vậy i 1 Ii  n Ii . □ i 1 1.5. Vành chính, vành nhân tử hóa, vành Ơclit Định nghĩa 1.5.1 (Vành chính). Miền nguyên X đƣợc gọi là vành chính nếu mọi iđêan của X đều là iđêan chính Ví dụ 1.5.2. Vành các số nguyên là vành chính. Định nghĩa 1.5.3 (Vành nhân tử hóa). Miền nguyên X đƣợc gọi là vành nhân tử hóa nếu và chỉ nếu mọi phần tử khác 0, không khả nghịch đều phân tích đƣợc một cách duy nhất thành tích các phần tử bất khả quy. Nhận xét 1.5.4 + Mọi vành chính đều là vành nhân tử hóa + Nếu K là một trƣờng thì K  x là vành nhân tử hóa. 7 Định nghĩa 1.5.5 (Vành Ơclit). Cho X là miền nguyên, X * là tập các phần tử khác 0 của X . X đƣợc gọi là vành Ơclit nếu tồn tại ánh xạ  : X*  i) thỏa mãn các điều kiện sau Nếu a là bội của b và a  0 thì  (b)   (a) . ii) Với a, b  X và b  0 thì tồn tại q và r thuộc X sao cho a  bq  r và  (r )   (b) nếu r  0 . Ký hiệu: ( X ,  ) trong đó  đƣợc gọi là ánh xạ Ơclit. 1.6. Vành thƣơng và đồng cấu vành Định nghĩa 1.6.1. Cho A là iđêan của vành X . Khi đó nhóm thƣơng X A  x  A x  X  cùng với 2 phép toán (  ),() xác định nhƣ sau, với mọi x, y  X ( x  A)  ( y  A)  x  y  A, ( x  A).( y  A)  xy  A. lập thành một vành gọi là vành thương của X theo iđêan A . Nhận xét 1.6.2 + Nếu X là vành giao hoán thì X cũng là vành giao hoán. A + Nếu X là vành giao hoán có đơn vị là 1 thì X cũng là vành A giao hoán có đơn vị là 1  A . + Đặc biệt, 0, X là 2 iđêan của X nên tồn tại 2 vành thƣơng X X Ví dụ 1.6.3. Ta có n  x  0 x X  X , 0  X   x  X x  X    X   0 . là iđêan của vành các số nguyên có vành thƣơng 8 (n  ) nên n  x  n x    n ,1  n ,..., n  1  n  với hai phép toán (+), () xác định nhƣ sau, với mọi x, y  (x  n )  ( y  n )  x  y  n ( x  n ).( y  n )  xy  n Định lý 1.6.4. Cho R là vành giao hoán, I là iđêan của R . Khi đó i) Nếu J là iđêan của R sao cho J  I thì J là một iđêan của I vành thƣơng R . I ii) Mỗi iđean J của R I đều có dạng K I với K là iđêan của R thỏa mãn K  I . Tồn tại duy nhất iđêan K  a  R a  I  J  của R thỏa mãn điều kiện. iii) Nếu J1, J 2 là các iđêan của R sao cho J1, J 2  I thì J1 I  J2 I khi và chỉ khi J1  J 2 . Chứng minh. i) Ta có J suy ra J I  a  I a  J   r  I r  R  R I là nhóm con của nhóm cộng R . Hơn nữa, với mọi r  R và I I a  J ta có (r  I )(a  I )  ra  I  J suy ra J I I là một iđêan của R . I ii) Lấy  là một iđêan bất kỳ của R , tập K  a  R a  I   . I + Hiển nhiên I  K do a  I  I   với mọi a  I . 9 + Lấy a, b  K và r  R thì ta có a  I , b  I  . Do đó (a  b)  I   , ra  I   . Suy ra a  b , ra  K và K là một iđêan của R . Từ đó theo định nghĩa của K và K  I suy ra rằng K   . I + Mặt khác, giả sử L là 1 iđêan khác của R cũng có tính chất L  I và L I   . Cho a  L thì a  I  L I   . Suy ra a  K . Suy ra LK. Lại có nếu b  K thì b  I    L . Theo (i) ta có b  L . Suy ra K  L . I Vậy L  K hay K là duy nhất. iii) Theo (i) ta có J1 I , J2 I là các iđêan của R . I Từ (ii) ta có điều phải chứng minh. □ Định nghĩa 1.6.5 (Đồng cấu vành). Cho X , Y là hai vành. Ánh xạ f : X  Y gọi là đồng cấu vành nếu với mọi x, y  X ta có  f ( x  y )  f ( x)  f ( y )   f ( x. y)  f ( x). f ( y) Hơn nữa, + f gọi là đơn cấu nếu f là đồng cấu vành và f là đơn ánh, + f gọi là toàn cấu nếu f là đồng cấu vành và f là toàn ánh, + f gọi là đẳng cấu nếu f vừa là đơn cấu vừa là toàn cấu, +) Cho hai vành X , Y ta nói X đẳng cấu với Y nếu tồn tại một đẳng cấu vành f : X  Y . Định lý 1.6.6. Ta có các khẳng định sau (i). Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành; 10 (ii). Cho f : X  Y là đồng cấu vành, trong đó X là một trƣờng thì f là đồng cấu không hoặc đơn cấu; (iii). Cho f : X  Y là đồng cấu vành; + Nếu f có nghịch đảo trái, tức là tồn tại một đồng cấu vành g : X  Y sao cho g  f  1X thì f là đơn cấu; + Nếu f có nghịch đảo phải, tức là tồn tại một đồng cấu vành g : X  Y sao cho f  g  1Y thì f là toàn cấu; + Nếu f có nghịch đảo trái và nghịch đảo phải thì f là đẳng cấu. (iv). f : X  Y là đồng cấu vành, A là vành con của X , B là iđêan của Y thì + f ( A) là vành con của Y ; + f 1 ( B) là iđêan của X. Đặc biệt, cho f : X  Y là đồng cấu vành. Hạt nhân của f ký hiệu là Kerf , Kerf   x  X f ( x )  0 . Ảnh của đồng cấu f ký hiệu Im f , Im f  f ( X )   f ( x)  Y x  X  . Khi đó + X là vành con của X nên Im f là vành con của Y ; + 0Y  là 1 iđêan của Y nên Kerf là một iđêan của X . Vậy f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf  0 X  , f là toàn cấu khi và chỉ khi Im f  Y . Định lý 1.6.7 (Định lý cơ bản của đồng cấu vành). Cho đồng cấu vành f : X  Y , A, B tƣơng ứng là các iđêan của X , Y sao cho f ( A)  B . 11 Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu vành f : X A Y B sao cho biểu đồ sau giao hoán f X  Y pB pA X  Y f A nghĩa là f p A  pB f với p A : X  X A B , pB : Y  Y B là các toàn cấu chính tắc. Đặc biệt, nếu A  Kerf , B  0Y  thì Y B Y 0Y   Y , khi đó ta có f p  f với p : X  X Kerf là toàn cấu chính tắc. Nếu f là toàn cấu vành thì X Kerf  Y . Hơn nữa, f là đơn cấu và Imf  Im f . Hệ quả 1.6.8. Cho A, B là hai iđêan của vành R thỏa mãn B  A . Khi đó R B  R A B . A 1.7. Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự Định nghĩa 1.7.1. Cho tập X   . Quan hệ hai ngôi “  ” trên X đƣợc gọi là quan hệ thứ tự trên X nếu thỏa mãn 3 tính chất sau i) Phản xạ: với mọi u  X : u  u , ii) u  v Phản xứng: với mọi u, v  X :  thì u  v , v  u u  v iii) Bắc cầu: với mọi u, v, w  X nếu  thì u  w . v  w  12 Khi đó ta viết  X ,   đƣợc gọi là tập sắp thứ tự. Tập sắp thứ tự  X ,   đƣợc gọi là tập sắp thứ tự toàn phần nếu với mọi u  v u  v . Ta viết u  v nếu  . u, v  X luôn có  v  u u  v Định nghĩa 1.7.2 (Phần tử cực đại, cực tiểu, cận trên, cận dƣới). Cho  X ,   là tập sắp thứ tự + Phần tử m  X đƣợc gọi là phần tử cực đại (cực tiểu) của X nếu tồn tại n  X mà m  n  n  m thì m  n . + A X ,  X ,  là tập sắp thứ tự, a0  X gọi là cận trên (cận dưới) của A nếu với mọi a  A thì a  a0 ( a0  a ). Bổ đề 1.7.3 (bổ đề Zorn). Cho tập sắp thứ tự  X ,   khác rỗng. Nếu mọi tập con sắp thứ tự toàn phần (khác rỗng) của X đều chứa một cận trên của X thì X có ít nhất một phần tử cực đại. 13 Chƣơng 2: IĐÊAN CỰC ĐẠI VÀ IĐÊAN NGUYÊN TỐ 2.1. Iđêan cực đại Định nghĩa 2.1.1. Iđêan A của vành giao hoán R đƣợc gọi là iđêan cực đại nếu thỏa mãn hai điều kiện sau A  R, i) ii) Giả sử tồn tại iđêan B của R mà A Ví dụ 2.1.2. Trong vành các số nguyên dạng p B thì B  R . các iđêan cực đại đều có với p là số nguyên tố. Thật vậy, nếu I là một iđêan cực đại tùy ý của I  0, I nên I có dạng I  p thì với p  , p  1 , ta sẽ chỉ ra p là số nguyên tố. Giả sử p không là số nguyên tố thì p  p1. p2 với 1  p1, p2  p . Khi đó với mọi x  p ta có x  px1  p1 p2 x1  p1 , p1  . Suy ra p p1 (trái với giả thiết p là iđêan cực đại). Vậy p là số nguyên tố. Ngƣợc lại, giả sử p là số nguyên tố nhƣng p cực đại thì tồn tại iđêan m của ,m  sao cho p không là iđêan m tức m là ƣớc thực sự của p . Điều này trái với giả thiết p là số nguyên tố. Vậy p là iđêan cực đại. Mệnh đề 2.1.3. Cho R là vành giao hoán có đơn vị. A là iđêan cực đại của R nếu và chỉ nếu R là trƣờng. A Chứng minh. Giả sử A là iđêan cực đại của R . Vì R là vành giao hoán có đơn vị nên R A là vành giao hoán có đơn vị. Ta có A  R nên R có A 14 ít nhất hai phần tử 0  A và 1  A . Xét phần tử x  A  R , x  A  A . A Khi đó x  A . Đặt B  x  A thì B là iđêan của R và B A . Do A là iđêan cực đại nên B  R . Do đó 1 B , suy ra tồn tại x0  R , a  A sao cho 1  xx0  a . Suy ra 1  A  xx0  a  A  xx0  A  ( x  A)( x0  A) Vậy x  A có nghịch đảo trong R Ngƣợc lại, giả sử R A A là x0  A . Do đó R là một trƣờng. A là trƣờng. Khi đó R có ít nhất hai phần A tử là 0  A và 1  A . Suy ra A  R . Nếu B là iđêan của R thỏa mãn A B thì tồn tại x  B \ A . Suy ra x  A  A . Do R A là trƣờng nên tồn tại x0  A  R A sao cho ( x  A)( x0  A)  1  A Suy ra xx0  A  1  A hay xx0  1 A . Vậy tồn tại a  A để a  xx0  1. Suy ra 1  xx0  a  B (vì B là iđêan của R và tập x, a  B ). Vậy B  R hay A là iđêan cực đại của R . □ Định lý 2.1.4. Nếu R là vành giao hoán không tầm thƣờng thì R luôn có ít nhất một iđêan cực đại. Chứng minh. Gọi  là tập tất cả các iđêan thực sự của R . Do R không tầm thƣờng nên 0 là iđêan thực sự của R . Suy ra    . Quan hệ bao hàm là một quan hệ thứ tự bộ phận trên  và iđêan cực đại của R chính là phần tử cực đại của tập sắp thứ tự bộ phận (, ) . Cho  là tập con sắp thứ tự toàn phần của  . Đặt J  I , rõ ràng J   vì 0  J . I  15 + Với mọi a  J , r  R thì ra  J . + Với a, b  J luôn tồn tại I1, I 2  sao cho a  I1, b  I 2 . Do (, ) sắp thứ tự toàn phần nên ta luôn có I1  I 2 hoặc I 2  I1 . Không mất tính tổng quát ta giả sử I1  I 2 . Khi đó a  b  I 2  J . Do vậy J là iđêan của R và là iđêan thực sự (vì với mọi I  thì 1 I suy ra 1 J ). Suy ra J   . Vì vậy J là cận trên của  trong  . Áp dụng bổ đề Zorn ta có tập sắp thứ tự bộ phận (, ) luôn có phần tử cực đại nên R luôn có ít nhất một iđêan cực đại. □ Hệ quả 2.1.5. Cho R là vành giao hoán, I là iđêan thực sự của R . Khi đó luôn tồn tại một iđêan cực đại M của R sao cho M  I . Chứng minh. Do I là iđêan thực sự nên vành thƣơng R không tầm I thƣờng. Theo định lý 2.1.4 thì R có iđêan cực đại và theo định lý I 1.5.4.ii) thì iđêan cực đại đó phải có dạng M I với đúng một iđêan M của R thỏa mãn M  I . Lại có: R I M R I M R I M (theo hệ quả 1.5.8). Mà M là một trƣờng. Suy ra R I M I là iđêan cực đại nên cũng là một trƣờng. Vậy M là iđêan cực đại của R và M  I . □ Hệ quả 2.1.6. Cho R là vành giao hoán và a  R . Khi đó a là phần tử khả nghịch của R nếu và chỉ nếu với mọi iđêan cực đại M của R thì aM . 16