Tài liệu Sự suy hao năng lượng biên độ do va chạm của hai sóng gaussian trong hệ schrödinger tuyến tính có nhiễu

BỘ Y TẾ ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CHƯƠNG TRÌNH KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ BÁO CÁO TỔNG HỢP KẾT QUẢ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SỰ SUY HAO NĂNG LƯỢNG BIÊN ĐỘ DO VA CHẠM CỦA HAI SÓNG GAUSSIAN TRONG HỆ SCHRöDINGER TUYẾN TÍNH CÓ NHIỄU Cơ quan chủ trì nhiệm vụ: Khoa Khoa Học Cơ Bản Chủ trì nhiệm vụ: Huỳnh Thanh Toàn Thành phố Hồ Chí Minh - 2019 . ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CHƯƠNG TRÌNH KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ BÁO CÁO TỔNG HỢP KẾT QUẢ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ SỰ SUY HAO NĂNG LƯỢNG BIÊN ĐỘ DO VA CHẠM CỦA HAI SÓNG GAUSSIAN TRONG HỆ SCHRöDINGER TUYẾN TÍNH CÓ NHIỄU (Đã chỉnh sửa theo kết luận của Hội đồng nghiệm thu ngày .................) Cơ quan chủ quản (ký tên và đóng dấu) Chủ trì nhiệm vụ (ký tên) Huỳnh Thanh Toàn Cơ quan chủ trì nhiệm vụ (ký tên và đóng dấu) . Mục lục Danh sách hình vẽ 2 Tóm tắt 3 Phần mở đầu 4 Chương 1. Va chạm của sóng trong mô hình ống dẫn sóng tuyến tính 6 1.1 Sự thay đổi biên độ do va chạm . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Các mô phỏng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Chương 2. Va chạm của sóng trong mô hình sóng khuếch tán tuyến tính 16 2.1 Sự thay đổi biên độ do va chạm . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Các mô phỏng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Kết luận 23 Tài liệu tham khảo 24 1 . Danh sách hình vẽ 1.1 Hình dạng sóng tại z = 0 (a), z = zi = 2 (b) và z = zf = 4 (c) trong một va chạm nhanh giữa hai sóng Gaussian trong ống dẫn sóng tuyến tính có nhiễu suy hao tuyến tính và suy hao bậc ba. Vận tốc nhóm của hai sóng d1 = 15. Các hình tam giác xanh dương và hình tròn xanh lá cây minh họa cho sóng 1 và 2 tại z = 0 và minh họa cho sóng 1 và 2 theo dự đoán lý thuyết tại z = zi (b) và z = zf (c). Các đường cong liền nét màu đỏ và đường cong đứt nét màu tím trong (b) và (c) tương ứng với sóng 1 và 2 thu được từ giải số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 Sự suy hao biên độ do va chạm của sóng 1 ∆A(c) 1 vs vận tốc nhóm d1 trong va chạm nhanh giữa hai sóng Gaussian trong ống dẫn sóng tuyến tính có nhiễu suy hao tuyến tính và suy hao bậc ba. Hình tròn màu đỏ tương ứng với kết quả thu được từ giải số với phương trình (1.18). Đường cong liền nét màu xanh dương tương ứng với kết quả thu được từ dự đoán lý thuyết bởi phương trình (1.28). 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1 Hình dạng sóng tại t = 0 (a), t = ti = 2 (b) và t = tf = 4 (c) trong một va chạm nhanh giữa hai sóng Gaussian được mô tả bởi hệ phương trình sóng khuếch tán tuyến tính có nhiễu suy hao tuyến tính và suy hao bậc ba. Vận tốc nhóm của hai sóng vd = 15. Các hình tam giác xanh dương và hình tròn xanh lá cây minh họa cho sóng 1 và 2 tại t = 0 và minh họa cho sóng 1 và 2 theo dự đoán lý thuyết tại t = ti (b) và t = tf (c). Các đường cong liền nét màu đỏ và đường cong đứt nét màu tím trong (b) và (c) tương ứng với sóng 1 và 2 thu được từ giải số. . . . . . . . 21 2.2 Sự suy hao biên độ do va chạm của sóng 1 ∆A(c) 1 vs vận tốc nhóm vd trong va chạm nhanh giữa hai sóng Gaussian được mô tả bởi hệ phương trình sóng khuếch tán tuyến tính có nhiễu suy hao tuyến tính và suy hao bậc ba. Hình tròn màu đỏ tương ứng với kết quả thu được từ giải số với phương trình (2.9). Đường cong liền nét màu xanh dương tương ứng với kết quả thu được từ dự đoán lý thuyết bởi phương trình (2.19). 3 . . . . . 22 Tóm tắt Chúng tôi nghiên cứu sự thay đổi biên độ trong va chạm nhanh của hai sóng tuyến tính được mô tả bởi hệ phương trình đạo hàm riêng tuyến tính có nhiễu phi tuyến. Chúng tôi đưa ra biểu thức sự thay đổi biên độ do va chạm nhanh của hai sóng được mô tả bởi hai trường hệ sau: (1) hệ phương trình Schrödinger tuyến tính có nhiễu tuyến tính và nhiễu bậc ba; (2) hệ phương trình sóng khuếch tán tuyến tính có nhiễu tuyến tính v nhiễu bậc hai. Các tính toán lý thuyết được chúng tôi kiểm chứng bằng các mô phỏng số trên hệ phương trình đạo hàm riêng tương ứng với điều kiện ban đầu là hai sóng dạng Gaussian. Từ khóa: soliton, sóng Gaussian, động lực biên độ va chạm, phương trình Schrödinger tuyến tính, phương trình Schrödinger phi tuyến 4 . Phần mở đầu Sóng phi tuyến rất phổ biến trong tự nhiên và khoa học kỹ thuật. Chúng xuất hiện nhiều trong các mô hình sóng nước, Tsunami, động lực học chất lỏng và khí, và quang học phi tuyến [1, 2, 3, 4]. Trong mô hình sóng khuếch tán phi tuyến, sự cân bằng của quá trình khuếch tán (dispersion) và quá trình phi tuyến (nonlinearity) làm cho soliton có thể truyền tải ở khoảng cách xa mà không bị biến dạng và không bị mất năng lượng. Nhờ tính chất bảo toàn hình dạng trong quá trình va chạm, soliton được dùng để biểu diễn các bit thông tin [5, 6]. Trong công nghệ truyền tin bằng sợi quang, dưới tác động của các nhiễu phi tuyến gây ra do vật liệu như nhiễu suy hao bậc ba (cubic loss) hoặc tán xạ Raman, soliton có thể thay đổi biên độ và tần số trong quá trình va chạm [7, 8]. Các kết quả tính toán về sự thay đổi biên độ do vam chạm của soliton đã được ứng dụng trong nghiên cứu truyền tải ổn định soliton trong hệ quang dẫn đa kênh [9, 10]. Sự truyền tải của sóng tuyến tính cũng được nghiên cứu rộng rãi trong các mô hình như mô hình Schrödinger tuyến tính (linear Schrödinger), mô hình sóng khếch tán tuyến tính (linear diffusion-advection models),... Các nghiên cứu về sóng tuyến tính có nhiều ứng dụng quan trọng trong kỹ thuật quang học, ví dụ như trong kỹ thuật truyền Laser [6, 11, 12]. Tuy nhiên, một cách tổng quát thì sóng tuyến tính không có tính chất bảo toàn hình dạng trong truyền tải như soliton. Vì vậy, các nghiên cứu về sự thay đổi biên độ sóng do va chạm là những bài toán mở quan trọng cần giải quyết. 5 . Đề tài của chúng tôi tiến hành nghiên cứu bài toán mở trên. Chúng tôi nghiên cứu tác động của nhiễu suy hao tuyến tính (linear loss) và nhiễu suy hao bậc ba (cubic loss) lên sự va chạm nhanh của hai sóng Gaussian được mô tả bởi hệ phương trình Schrödinger tuyến tính và hệ phương trình sóng khuếch tán tuyến tính có nhiễu suy hao tuyến tính và nhiễu suy hao phi tuyến. Các kết quả tính toán lý thyết sẽ được kiểm chứng bởi mô phỏng giải số cho các hệ phương trình đạo hàm riêng tương ứng với điều kiện đầu là hai sóng dạng Gaussian. 6 . Chương 1 Va chạm của sóng trong mô hình ống dẫn sóng tuyến tính 1.1 Sự thay đổi biên độ do va chạm Chúng tôi nghiên cứu sự va chạm nhanh của sóng trong ống dẫn sóng tuyến tính có nhiễu suy hao bậc ba. Động lực va chạm của sóng được mô tả bởi hệ phương trình sau [12]: i∂z ψ1 − sgn(β˜2 )∂t2 ψ1 = −i1 ψ1 − i3 |ψ1 |2 ψ1 − 2i3 |ψ2 |2 ψ1 , i∂z ψ2 + id1 ∂t ψ2 − sgn(β˜2 )∂t2 ψ2 = −i1 ψ2 − i3 |ψ2 |2 ψ2 −2i3 |ψ1 |2 ψ2 , (1.1) trong đó ψ1 và ψ2 là các sóng 1 và 2, z khoảng cách truyền sóng, t là thời gian, d1 là hệ số vận tốc nhóm, β˜2 là hệ số tán sắc bậc hai, 1 là hệ số nhiễu tuyến tính thỏa mãn 0 < 1  1 và 3 là hệ số nhiễu bậc ba thỏa mãn 0 < 3  1. Trước tiên, chúng tôi nghiên cứu động lực biên độ của sóng được mô tả bởi phương trình sau: i∂z ψ2 + id1 ∂t ψj − sgn(β˜2 )∂t2 ψj = −i1 ψj − i3 |ψj |2 ψj . (1.2) Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu sự va chạm của hai sóng có hình dạng ban đầu là sóng Gaussian. Như vậy hình dạng ban đầu của sóng được 7 . cho bởi phương trình sau: " # (t − xj0 )2 exp(iαj (0)), j (t, 0) = Aj (0) exp − 2 2Wj0 (1.3) trong đó Aj (0) là biên độ ban đầu, xj0 là vị trí ban đầu, Wj0 là độ rộng ban đầu, và αj (0) là pha ban đầu của sóng thứ j . Để đơn giản, chúng tôi xét trường hợp sgn(β̃2 ) = 1. Khi đó nghiệm của phương trình (1.2) v (1.3) khi không có nhiễu là: # " 2 Wj0 (t − xj0 − d1 z)2 Aj (0)Wj0 Ψj (t, z) = . exp − 4 ) + 4z 2 4 + 4z 2 )1/4 2(Wj0 (Wj0 Từ phương trình (1.2), chúng ta thu được: Z ∞ Z ∞ Z ∞ 2 2 ∂z |ψj | dt = −21 |ψj | dt − 23 |ψj |4 dt. −∞ −∞ (1.4) (1.5) −∞ Chúng tôi tìm nghiệm của phương trình (1.5) dưới dạng j0 (t, z) = Aj (z)ψ̃j0 (t, z), trong đó Aj (z) là tham số biên độ và ψ̃j0 (t, z) = Ψ̃j0 (t, z) exp[iχj0 (t, z)] l nghiệm của phương trình (1.2) khi không có nhiễu và với Aj (0) = 1. Thế biểu thức ψj0 (t, z) = Aj (z)ψ̃j0 (t, z) vào phương trình (1.5), ta được:  d  I2j (z)A2j (z) = −23 I4j (z)A4j (z), dt (1.6) trong đó Z ∞ I2j (z) = −∞ Ψ̃2j0 (t, z)dt = π 1/2 Wj0 , v Z ∞ I4j (z) = −∞ Ψ̃4j0 (t, z)dt 3 π 1/2 Wj0 = . 4 + 4z 2 )]1/2 [2(Wj0 Thay I2j (z) và I4j (z) vào phương trình (1.6), chúng ta thu được phương trình vi phân Bernoulli: 2 4 21/2 3 Wj0 Aj d 2 2 Aj + 21 Aj = − . 4 + 4z 2 )1/2 dz (Wj0 8 . (1.7) Giải phương trình vi phân (1.7), chúng ta thu được phương trình mô tả động lực biên độ của sóng đơn trên đoạn [0, z] như sau: Aj (0)e−1 z Aj (z) = h i1/2 , 2 2 1/2 ˜ 1 + 2 3 Wj0 Ij (0, z)Aj (0) trong đó I˜j (z1 , z2 ) = Z z2 z1 (1.8) 0 e−21 z dz 0 . 4 02 1/2 (Wj0 + 4z ) Tiếp theo, chúng tôi tính toán mức suy hao biên độ do va chạm của hai sóng Gaussian. Chúng tôi giả hai sóng tách nhau tại z = 0 và tại z = zf (kết thúc va chạm). Thêm nữa, chúng tôi giả sử W10 = W20 = W0 cho đơn giản và gọi zc là khoảng cách truyền sóng mà hai sóng va chạm v ∆zc = W0 /d1 là khoảng diễn ra sự va chạm. Chúng tôi có một điều kiện cho va chạm nhanh như sau [12]: W0 d1 /2  1. (1.9) Vận dụng kỹ thuật tính nhiễu được phát triển bởi [7], chúng tôi tìm nghiệm của phương trình (1.1) dưới dạng: j (t, z) = ψj0 (t, z) + φj (t, z), (1.10) trong đó φj (t, z) mô tả ảnh hưởng của nhiễu và ψj0 (t, z) thỏa i∂z ψ10 − sgn(β˜2 )∂t2 ψ10 = −i1 ψ10 − i3 |ψ10 |2 ψ10 , (1.11) v i∂z ψ20 + id1 ∂t ψ20 − sgn(β˜2 )∂t2 ψ20 = −i1 ψ20 −i3 |ψ20 |2 ψ20 . (1.12) Thế phương trình (1.10) vào phương trình (1.1) và sử dụng các phương trình (1.11) và (1.12), chúng ta có thể thu được phương trình theo φj . Ở đây, chúng tôi tập trung các tính toán vào φ1 bởi vì các tính toán cho φ2 9 . là tương tự. Bằng cách tập trung vào các ảnh hưởng chính của va chạm, chúng ta có thể thu được phương trình sau cho φ1 : i∂z φ1 − sgn(β˜2 )∂t2 ψ1 = −2i3 |ψ20 |2 ψ10 , (1.13) Thế biểu thức ψj0 (t, z) = Ψj0 (t, z) exp[iχj0 (t, z)] và biểu thức φj (t, z) = Φj (t, z) exp[iχj0 (t, z)] vào phương trình (1.13), ta có:  i∂z Φ1 − (∂z χ10 ) Φ1 − sgn(β̃2 ) ∂t2 Φ1 + 2i (∂t χ10 ) ∂t Φ1 i
2 2 +i ∂t χ10 Φ1 − (∂t χ10 ) Φ1 = −2i3 Ψ220 Ψ10 . (1.14) Bằng cách tập trung vào các tác động chính và bỏ qua các tác động bậc cao ở phương trình (1.14), chúng ta thu được phương trình cho Φ1 như sau: ∂z Φ1 = −23 Ψ220 Ψ10 . (1.15) Trong va chạm nhanh, quá trình va chạm chỉ diễn ra trong khoảng [zc − ∆zc , zc + ∆zc ]. Lấy tích phân hai vế của phương trình (1.15) trên đoạn [zc − ∆zc , zc + ∆zc ] và sử dụng các xấp xỉ Ψj0 (t, z) = Aj (z)Ψ̃j0 (t, z), ta có Z zc +∆zc ∂z Φ1 dz = −23 zc −∆zc Z zc +∆zc zc −∆zc A1 (z)A22 (z)Ψ̃220 Ψ̃10 dz. (1.16) Sử dụng kỹ thuật tính toán xấp xỉ tích phân theo các thành phần biến đổi nhanh và ký hiệu Aj (zc− ) := limz→zc− Aj (z), phương trình (1.16) có thể được viết lại dưới dạng [12]: ∆Φ1 (t, zc ) = −23 A1 (zc− )A22 (zc− )Ψ̃10 (t, zc ) Z zc +∆zc × Ψ̄220 (y, zc )dz, (1.17) zc −∆zc trong đó y = t − x20 − d1 z và Ψ̄20 (y, zc ) là một xấp xỉ của Ψ̃20 (t, z). Do tính chất đặc trưng của hình dạng sóng, chúng ta có thể mở rộng miền lấy 10 . tích phân của tích trong phương trình (1.17) từ −∞ đến ∞. Thực hiện phép đổi biến y = t − x20 − d1 z , chúng ta thu được: 23 A1 (zc− )A22 (zc− )Ψ̃10 (t, zc ) ∆Φ1 (t, zc ) = − |d1 | Z ∞ × Ψ̄220 (y, zc )dy. (1.18) −∞ Bên cạnh đó, dưới tác động của nhiễu lên các sóng trong quá trình va chạm, chúng ta có: + 1 (t, zc ) = ψ1 (t, zc− ) + ∆φ1 (t, zc ). (1.19) trong đó ψj (t, zc+ ) là sóng sau va chạm, ψj (t, zc− ) là sóng trước va chạm, và ∆φj (t, zc ) là tác động của nhiễu lên va chạm. Chúng tôi xét Z ∞ Z ∞ + 2 ∆P = |ψ1 (t, zc )| dt − |ψ1 (t, zc− )|2 dt. −∞ (1.20) −∞ Đầu tiên, chúng ta chú ý rằng, theo định nghĩa của ψ10 (t, z) và Ψ̃10 (t, z) thì − 1 (t, zc ) ≈ ψ10 (t, zc− ) ≈ A1 (zc− )Ψ̃10 (t, zc ) exp[iχ10 (t, zc )]. Vì vậy, chúng ta thu được Z ∞ −∞ trong đó C1 = |ψ1 (t, zc− )|2 dt = C1 A21 (zc− ), R∞ 2 −∞ Ψ̃10 (t, zc )dt. (1.21) Từ phương trình (1.19), chúng ta thu được: Z ∞ −∞ ≈ |ψ1 (t, zc+ )|2 dt C1 A21 (zc− ) + Z ∞ = −∞ 2A1 (zc− ) Z [A1 (zc− )Ψ̃10 (t, zc ) + ∆Φ1 (t, zc )]2 dt ∞ Ψ̃10 (t, zc )∆Φ1 (t, zc )dt. (1.22) −∞ Thế phương trình (1.21) và (1.22) vào phương trình (1.20), chúng ta có Z ∞ ∆P = 2A1 (zc− ) Ψ̃10 (t, zc )∆Φ1 (t, zc )dt. (1.23) −∞ 11 . R∞ (c) Tiếp theo, chúng ta có thể biểu diễn −∞ |ψ1 (t, zc+ )|2 dt theo ∆A1 như sau Z ∞ Z  2 ∞ 2 + 2 − |ψ1 (t, zc )| dt = A1 (zc ) + ∆A1 (c) Ψ̃10 (t, zc )dt −∞ ≈ −∞ C1 A21 (zc− ) + (c) 2C1 A1 (zc− )∆A1 , (1.24) (c) trong đó ∆A1 là lượng thay đổi biên độ do va chạm của sóng 1. Thế phương trình (1.21) và (1.24) vào phương trình (1.20), ta có (c) ∆P = 2C1 A1 (zc− )∆A1 . Từ phương trình (1.23) và (1.25), ta thu được Z ∞ 1 (c) ∆A1 = Ψ̃10 (t, zc )∆Φ1 (t, zc )dt. C1 −∞ (1.25) (1.26) Từ phương trình (1.18) và (1.26), chúng ta tìm được biểu thức mô tả sự thay đổi biên độ do va chạm của sóng 1 như sau: Z 23 A1 (zc− )A22 (zc− ) ∞ 2 (c) Ψ̄20 (y, zc )dy. ∆A1 = − |d1 | −∞ (1.27) Với điều kiện đầu là sóng dạng Gaussian, thì ta có (c) ∆A1 2π 1/2 3 W20 A1 (zc− )A22 (zc− ) =− . |d1 | (1.28) Phương trình (1.28) có cùng dạng với phương trình mô tả sự thay đổi biên độ do va chạm của hai soliton trong hệ quang dẫn phi tuyến dưới tác động của nhiễu suy hao bậc ba [7]: (c) ∆η1 43 η1 (zc− )η2 (zc− ) =− . |∆β| Thật vậy, với Wj = 1/ηj , chúng ta có thể biểu diễn phương trình (1.28) dưới dạng: (c) ∆η1 1.2 43 W2 (zc− )η1 (zc− )η22 (zc− ) . =− |∆β| (1.29) Các mô phỏng số Trong phần này, chúng tôi tiến hành kiểm chứng kết quả tính toán lý thuyết cho biểu thức (1.27) mô tả sự suy hao biên độ do va chạm của 12 . sóng Gaussian bằng các mô phỏng số với phương trình (1.1). Phương trình (1.1) được giải số bằng phương pháp tách bước Fourier (split-step Fourier method) với điều kiện biên tuần hoàn [6, 13, 14]. Không mất tính tổng quát, chúng tôi trình bày các kết quả mô phỏng số với 3 = 0.01 v 1 = 0.01. Các tham số cho điều kiện đầu của sóng Gaussian được chọn như sau: A1 (0) = A2 (0) = 1, W10 = W10 = W0 = 4, α1 (0) = α2 (0) = 0. Chúng tôi nhấn mạnh rằng các kết quả mô phỏng số với các tham số khác là tương tự. Chúng tôi tính toán sự suy hao biên độ của sóng 1 từ giải số của phương trình (1.29) bởi (num)(c) ∆A1 = A1 (zc+ ) − A1 (zc− ), (1.30) trong đó A1 (zc− ) và A1 (zc+ ) tương ứng được xác định bởi A1 (zc− ) =h A1 (z1 )e−1 zc i1/2 , (1.31) A1 (z2 )e−1 zc A1 (zc+ ) = h i1/2 , 2 I˜ (z , z )A2 (z ) e−21 z2 − 21/2 3 W10 1 c 2 1 2 (1.32) e−21 z1 + 2 I˜ (z , z )A2 (z ) 21/2 3 W10 1 1 c 1 1 v trong đó A1 (z1 ) và A1 (z2 ) được tính từ giải số. Trong phương trình (1.31) và (1.32), z1 và z2 là khoảng cách truyền dẫn mà tại đó sự va chạm tương ứng là bắt đầu và kết thúc. Chúng tôi xác định xấp xỉ các giá trị z1 và z2 bởi z1 = zc − a/|d1 | và z2 = zc + a/|d1 |, trong đó a > 0 là hằng số có cùng bậc với Wj0 . Trước tiên, chúng tôi tiến hành minh họa bằng giải số sự va chạm của hai sóng trong ống dẫn sóng tuyến tính. Các tham số vị trí ban đầu cho hai sóng được chọn như sau: x10 = 0 và x20 = −25. Hình (1.1) minh họa hình dạng ban đầu của các sóng và hình dạng sóng thu được bằng giải số với d1 = 15 tại khoảng cách trung gian trong va chạm zi = 2 > zc v tại khoảng cách kết thúc va chạm zf = 4. Cùng minh họa đồng thời trên 13 . hình (1.1) là các sóng thu được từ dự đoán lý thuyết được tính bởi phương trình (1.10). Như quan sát trong hình (1.1), sự trùng khớp là rất tốt giữa các kết quả thu được từ lý thuyết và giải số tại z = zi và tại z = zf . (c) Tiếp theo, chúng tôi minh họa sự phụ thuộc của ∆A1 vào d1 bởi hình (1.2). Các tham số vị trí cho sóng ban đầu được chọn như sau: x10 = 0 v x20 = ±20. Các giá trị cho d1 được chọn trong khoảng −60 ≤ d1 ≤ −2 v 2 ≤ d1 ≤ 60. Như quan sát trong hình (1.2), sự trùng khớp giữa các kết quả thu được từ lý thuyết và giải số là rất tốt. Cụ thể, sai số tương đối (c) trong xấp xỉ ∆A1 nhỏ hơn 10% với d1 > 10 và nhỏ hơn 2% với d1 > 20. Tại |d1 | ≈ 4, sai số tương đối là 25%. 14 . Hình 1.1: Hình dạng sóng tại z = 0 (a), z = zi = 2 (b) và z = zf = 4 (c) trong một va chạm nhanh giữa hai sóng Gaussian trong ống dẫn sóng tuyến tính có nhiễu suy hao tuyến tính và suy hao bậc ba. Vận tốc nhóm của hai sóng d1 = 15. Các hình tam giác xanh dương và hình tròn xanh lá cây minh họa cho sóng 1 và 2 tại z = 0 và minh họa cho sóng 1 và 2 theo dự đoán lý thuyết tại z = zi (b) và z = zf (c). Các đường cong liền nét màu đỏ và đường cong đứt nét màu tím trong (b) và (c) tương ứng với sóng 1 và 2 thu được từ giải số. 15 . (c) Hình 1.2: Sự suy hao biên độ do va chạm của sóng 1 ∆A1 vs vận tốc nhóm d1 trong va chạm nhanh giữa hai sóng Gaussian trong ống dẫn sóng tuyến tính có nhiễu suy hao tuyến tính và suy hao bậc ba. Hình tròn màu đỏ tương ứng với kết quả thu được từ giải số với phương trình (1.18). Đường cong liền nét màu xanh dương tương ứng với kết quả thu được từ dự đoán lý thuyết bởi phương trình (1.28). 16 . Chương 2 Va chạm của sóng trong mô hình sóng khuếch tán tuyến tính 2.1 Sự thay đổi biên độ do va chạm Chúng tôi nghiên cứu sự va chạm nhanh của sóng trong mô hình sóng khuếch tán tuyến tính có nhiễu phi tuyến. Động lực va chạm của sóng được mô tả bởi hệ phương trình sau: ∂t u1 = ∂x2 u1 − 1 u1 − 2 u21 − 2 u1 u2 , ∂t u2 = ∂x2 u2 − vd ∂x u2 − 1 u2 − 2 u22 − 2 u1 u2 , (2.1) trong đó u1 và u2 là nồng độ của chất 1 và 2, t là thời gian, x là tọa độ không gian, vd là hệ số vận tốc nhóm, 1 là hệ số nhiễu tuyến tính thỏa mãn 0 < 1  1 và 2 là hệ số nhiễu bậc hai thỏa mãn 0 < 2  1. Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu sự va chạm của hai sóng có hình dạng ban đầu là sóng Gaussian. Như vậy hình dạng ban đầu của sóng được cho bởi phương trình sau: # (x − xj0 )2 uj (x, 0) = Aj (0) exp − , 2 2Wj0 " (2.2) trong đó Aj (0) là biên độ ban đầu, xj0 là vị trí ban đầu, và Wj0 là độ rộng ban đầu. Tương tự như các tính toán trong phần 1, chúng tôi thu được phương trình động lực biên độ của sóng khi truyền tải đơn trên đoạn [0, t] 17 . như sau: Aj (0)e−1 t , Aj (t) = 1 + 2 Wj0 J˜j (0, t)Aj (0) (2.3) trong đó J˜j (t1 , t2 ) = Z t2 t1 e−1 t dt. 2 + 4t)1/2 (2Wj0 Tiếp theo, chúng tôi tính toán mức suy hao biên độ do va chạm của hai sóng Gaussian. Chúng tôi giả hai sóng tách nhau tại t = 0 và tại t = tf (kết thúc va chạm). Thêm nữa, chúng tôi giả sử W10 = W20 = W0 cho đơn giản và gọi tc là thời điểm hai sóng va chạm và ∆tc = W0 /vd là khoảng thời gian diễn ra va chạm. Chúng ta có một điều kiện cho va chạm nhanh W0 vd  1 [12]. Tương tự như phần 1, chúng tôi tìm nghiệm của phương trình (2.1) dưới dạng: uj (x, t) = uj0 (x, t) + φj (x, t), (2.4) trong đó φj (t, z) mô tả ảnh hưởng của nhiễu và uj0 (t, z) thỏa ∂t u10 = ∂x2 u10 − 1 u10 − 2 u210 , ∂t u20 = ∂x2 u20 − vd ∂x u20 − 1 u20 − 2 u220 . (2.5) Thế phương trình (2.4) vào phương trình (2.1) và sử dụng phương trình (2.5), chúng ta có thể thu được phương trình theo φj . Ở đây, chúng tôi tập trung các tính toán vào φ1 bởi vì các tính toán cho φ2 là tương tự. Bằng cách tập trung vào các ảnh hưởng chính của va chạm, chúng ta có thể thu được phương trình sau cho φ1 : ∂t φ1 = −22 u10 u20 , (2.6) Trong va chạm nhanh, quá trình va chạm chỉ diễn ra trong khoảng [tc − ∆tc , tc + ∆tc ]. Lấy tích phân hai vế của phương trình (2.6) trên đoạn 18 .