Tài liệu P nhóm và ứng dụng trong lý thuyết số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRƯƠNG BÁ VẤN P-NHÓM VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRƯƠNG BÁ VẤN P-NHÓM VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. HOÀNG VĂN HÙNG Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lý thuyết các p-nhóm 1.1 3 Nhóm, đồng cấu và đẳng cấu nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Nhóm giao hoán và nhóm xyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Nhóm con và nhóm con chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 1.5 1.6 2 1 Nhóm thương và các định lý đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Tác động của nhóm trên một tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Các p-nhóm và p-nhóm con Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ứng dụng lý thuyết các p-nhóm trong lý thuyết số 17 22 2.1 Bổ đề Burnside và các hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Định lý Fermat bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Định lý Willson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Định lý Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5 Định lý Fermat về tổng hai bình phương . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.6 Luật tương hỗ bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     . . . . . . . . . . . . Về giá trị của ký hiệu Legendre p2 và −1 p 33 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.7 38 1 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết nhóm nói chung và các p-nhóm nói riêng có nhiều áp dụng trong Lý thuyết số. Sở dĩ như vậy vì tập các số nguyên Z với phép cộng là một nhóm giao hoán. Thương của nhóm (Z,+) cho các nhóm con vô hạn của nó sinh ra các nhóm xyclic hữu hạn. Trong các nhóm thương này nhóm Zp (hay Z/p Z) với p là số nguyên tố đóng một vai trò đặc biệt quan trọng trong lý thuyết số. Có thể đưa vào Zp phép tính nhân giữa các lớp đồng dư theo mođun p một cách tự nhiên với phần tử đơn vị là lớp đồng dư 1(mod p) và mọi lớp đồng dư khác 0(mod p) đều có nghịch đảo trong Zp . Với hai phép tính cộng và nhân được định nghĩa, tập Zp trở thành một trường hữu hạn với p phần tử, tập các phần tử khác 0 của nó được ký hiệu là Z∗p . Nhờ các đặc điểm vừa nêu, tập Zp trở thành một công cụ mạnh để chứng minh nhiều sự kiện về tính chia hết trong Lý thuyết số. Luận văn “p-nhóm và ứng dụng trong lý thuyết số” gồm hai chương. Chương I với tiêu đề Lý thuyết các p-nhóm trình bày sơ lược về Lý thuyết nhóm, khái niệm p-nhóm, tác dụng của một nhóm lên một tập và các định lý về p-nhóm con Sylow. Kết quả quan trọng nhất của chương này là công thức về các G-quỹ đạo trong một G-tập, được áp dụng nhiều ở chương II. Chương II với tiêu đề Ứng dụng lý thuyết các p-nhóm trong lý thuyết số trình bày chứng minh các định lý: Fermat bé, Wilson, Lucas, Định lý Fermat về tổng hai bình phương, ký hiệu Legendre và luật tương hỗ bậc hai. Định lý Fermat bé và hệ quả của nó là Định lý Wilson được sử dụng trong tất cả các chứng minh của các định lý kể trên (trừ Định lý Lucas). Tác giả trình bày chứng minh Định lý Fermat bé dựa trên Bổ đề Burnside. Khi áp dụng công thức trong bổ đề Burnside cho p-nhóm ta thu được định lý Fermat bé. Việc áp dụng được tiến hành thông qua một hệ quả của Bổ đề Burnside (Mệnh đề 2.1.4). Chứng minh Định lý Lucas dựa trên công thức Ckpr = 0(mod p) khi 1 ≤ k ≤ pr − 1, p là số nguyên tố, r là số nguyên dương và khai triển nhị thức Newton trong trường đặc số p. Công thức vừa nêu 2 được chứng minh dựa trên công thức về các quỹ đạo áp dụng cho p-nhóm có cấp pr . Tư liệu được sử dụng trong luận văn này được trích từ các tài liệu tham khảo [1-7]. Tác giả xin chân thành cám ơn các thầy cô thuộc Khoa Toán-Tin - Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên, vì sự tận tụy của các thầy cô đối với khóa cao học mà tác giả là một trong các học viên. Tác giả cũng bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn, T.S Hoàng Văn Hùng-giảng viên Đại học Hàng Hải Việt Nam, vì sự quan tâm của thầy đến công việc của tác giả trong suốt quá trình chuẩn bị luận văn. Ngày, 29 tháng 05 năm 2016. Tác giả . Trương Bá Vấn 3 Chương 1 Lý thuyết các p-nhóm 1.1 Nhóm, đồng cấu và đẳng cấu nhóm Định nghĩa 1.1.1: Một tập hợp khác rỗng G với một luật hợp thành trong viết theo lối nhân được gọi là một nhóm nếu các tính chất sau được thỏa mãn: i) (ab)c = a(bc) với mọi a, b, c ∈ G ; ii) ∃e ∈ G có tính chất: ae = ea = a với mọi a ∈ G; iii) Với mỗi a ∈ G, tồn tại phần tử a 0 ∈ G có tính chất: aa 0 = a 0 a = e. Tính chất i) gọi là tính chất kết hợp. Phần tử e trong tính chất ii) được gọi là phần tử trung hòa của G (khi luật hợp thành được viết theo lối nhân ta cũng gọi e là phần tử đơn vị của G, phần tử trung hòa của nhóm với luật hợp thành viết theo lối cộng thường được ký hiệu là 0). Phần tử a 0 trong tính chất iii) được gọi là phần tử nghịch đảo của a khi luật hợp thành trong trên G được viết theo lối nhân và gọi là phần tử đối của a khi luật hợp thành trong trên G được viết theo lối cộng. Thêm nữa, với mỗi a ∈ G phần tử nghịch đảo (tương ứng, phần tử đối) của nó là duy nhất và được ký hiệu bởi a−1 (tương ứng,−a ). Các nhóm có số phần tử hữu hạn được gọi là các nhóm hữu hạn. Số phần tử của một nhóm G được gọi là cấp của G, ký hiệu bởi |G|. 4 Ví dụ về nhóm: Các tập sau đây cùng với các luật hợp thành trong được chỉ ra là các nhóm: - Tập hợp các số thực dương R+ với luật hợp thành trong là phép nhân thông thường. Phần tử đơn vị là 1, nghịch đảo của số dương x là x−1 = x1 . Ta ký hiệu nhóm này bởi (R+ , .) - Tập hợp các số nguyên Z với luật hợp thành trong là phép cộng thông thường. Phần tử trung hòa là số 0. Phần tử đối của số nguyên n là số nguyên -n. Ta ký hiệu nhóm này bởi ký hiệu (Z,+). - Tập hợp các ma trận vuông thực cấp n có định thức khác 0 với luật hợp thành trong là phép nhân ma trận. Phần tử đơn vị là ma trận đơn vị cấp n. Nghịch đảo của ma trận vuông A là ma trận nghịch đảo A−1 . Ta ký hiệu nhóm này bởi GL(n, R). -Tập hợp các song ánh từ một tập S khác rỗng tùy ý lên chính nó với luật hợp thành trong là phép hợp các ánh xạ là một nhóm gọi là nhóm các phép thế của S, ký hiệu là P(S). Phần tử đơn vị là ánh xạ đồng nhất. Nghịch đảo của song ánh f là ánh xạ ngược của nó f −1 . Mỗi song ánh từ S lên chính nó gọi là một phép thế của S. Định nghĩa 1.1.2: Cho G và G’ là hai nhóm với luật hợp thành trong được viết theo lối nhân. Một ánh xạ h từ G vào G’ thỏa mãn tính chất: h(ab) = h(a)h(b)với mọi a, b ∈G được gọi là một đồng cấu nhóm từ G vào G’. Một đồng cấu nhóm từ G vào G’ đồng thời là một đơn ánh được gọi là một đơn cấu; một đồng cấu nhóm từ G vào G’ đồng thời là một toàn ánh gọi là một toàn cấu; một đồng cấu nhóm từ G vào G’ đồng thời là một song ánh gọi là 5 một đẳng cấu. Nếu có một đẳng cấu nhóm từ G vào G’ thì nhóm G gọi là đẳng cấu với nhóm G’, hay G và G’ đẳng cấu với nhau, ký hiệu G≈G’. Nếu j là một đẳng cấu nhóm từ G lên G’ thì ánh xạ ngược j −1 là một đẳng cấu nhóm từ G’ lên G. Nếu G là một nhóm hữu hạn và G≈G’ thì G’ cũng là nhóm hữu hạn và |G|=|G’| . 1.2 Nhóm giao hoán và nhóm xyclic Định nghĩa 1.2.1: Nhóm (G, ∗) được gọi là nhóm giao hoán (hay nhóm Abel) nếu a∗b=b∗a với mọi a,b∈G. Các nhóm (R+ ,.), (Z,+), (R,+), là các nhóm giao hoán. Nhóm GL(n, R) là nhóm không giao hoán. Nhóm P(S) không giao hoán nếu S có từ 3 phần tử trở lên. Định nghĩa 1.2.2: Nhóm (G,.) được gọi là nhóm xyclic nếu tồn tại phần tử a thuộc G sao cho nếu b thuộc G thì tồn tại số nguyên k sao cho b = ak . Phần tử a khi đó được gọi là phần tử sinh của nhóm xyclic G. - Nhóm (Z,+) là nhóm xyclic với phần tử sinh là 1. - Đặt S= {1, −1}. Luật hợp thành trong S là phép nhân thông thường. Khi đó (S,.) là một nhóm xyclic với phần tử đơn vị là 1, phần tử sinh là -1. - Giả sử d là một số nguyên dương > 1 . Với mọi số nguyên r thỏa mãn 0 ≤ r ≤ d-1 ta ký hiệu n = r(modd) nếu có số nguyên k sao cho n = kd+r. Như vậy, với số nguyên n bất kỳ ta sẽ có n = r( mod d) với một số nguyên r nào đó thỏa mãn 0 ≤ r ≤ d-1.Với hai số nguyên m, n đã cho, nếu m − n = 0(modd) ta viết m = n(modd) và nói m, n thuộc vào cùng một lớp đồng dư theo modun d. Với mỗi số nguyên n 6 ta ký hiệu n là tập tất cả các số nguyên m thỏa mãn m = n( mod d) và gọi n là một lớp đồng dư theo modun d. Tập các số nguyên Z được phân hoạch thành d lớp đồng dư theo modun d là 0, 1, ..., d − 1. Một phần tử của lớp đồng dư r được gọi là một đại diện của nó. Ta có các tính chất sau: i) m = n(mod d)&m0 = n0 (mod d) ⇒ m + m0 = n + n0 (mod d); ii) m = n(mod d)&m0 = n0 (mod d) ⇒ mm0 = nn0 (mod d)  Ký hiệu Zd = 0, 1, ..., d − 1 là tập các lớp đồng dư theo modun d. Trên Zd ta có thể định nghĩa hai phép tính cộng và nhân theo quy tắc sau: r + s = r + s; r.s = rs Khi đó nhóm (Zd ,+)là nhóm xyclic với phần tử sinh là 1, phần tử trung hòa  là 0 . Cấp của nhóm (Zd ,+) là d. Ký hiệu Z∗d = 1, ..., d − 1 , nếu d là số nguyên tố thì luật nhân định nghĩa ở trên là một luật hợp thành trong của Z∗d , với luật hợp thành nhân này Z∗d là một nhóm xyclic với phần tử đơn vị là 1. Chứng minh khẳng định này (sẽ được trình bày ở chương sau) là một trong các ứng dụng của lý thuyết các p-nhóm. 1.3 Nhóm con và nhóm con chuẩn tắc Định nghĩa 1.3.1: Cho (G,∗) là một nhóm và H là một tập con khác rỗng của G. Nếu luật hợp thành trong ∗ thu hẹp trên H biến H thành một nhóm thì H được gọi là một nhóm con của G. Mệnh đề 1.3.1: i) Để tập con khác rỗng H của nhóm (G,∗) là một nhóm con của G điều kiện cần và đủ là với mọi phần tử a, b thuộc H ta có a ∗b thuộc H và a−1 7 thuộc H; ii) Giao của một họ tùy ý các nhóm con của G là một nhóm con của G. Ví dụ:- Nhóm (Z,+) là nhóm con của nhóm (R,+). Nhóm (R+ , .) là nhóm con của nhóm (R∗ , .), trong đó R∗ là tập các số thực khác 0. Giả sử H là một nhóm con của nhóm G với luật hợp thành trong viết theo lối nhân, x là một phần tử của G. Tập tất cả các phần tử của G có dạng xy với y là một phần tử của H được ký hiệu là xH và được gọi là một lớp ghép trái theo H trong G. Hai lớp ghép trái theo H trong G hoặc là trùng nhau hoặc là có giao bằng rỗng. Thực vậy, trước hết ta nhận xét rằng nếu u là phần tử của H thì uH=H. Nếu xH và x’H có phần tử chung là z thì có các phần tử y và y’ thuộc H sao cho z = xy = x’y’. Suy ra x0 = xyy 0−1 = xu với u = yy 0−1 thuộc H và x’H=(xu)H=x(uH)=xH. Vậy G được phân hoạch thành các lớp ghép trái theo H trong G. Dễ thấy ánh xạ xu → yu là một song ánh từ lớp ghép trái xH lên lớp ghép trái yH. Do đó, nếu G là nhóm hữu hạn thì cấp của G chia hết cho cấp của nhóm con H bất kỳ của nó, nghĩa là |G|:|H| là một số nguyên dương, hay |H| là một ước số của |G|. Lực lượng của tập các lớp ghép trái theo H trong G gọi là chỉ số của nhóm H trong G và ký hiệu bởi |G:H|. Nếu |G| hữu hạn thì |G:H|=|G|:|H| hay |G|=|H| |G:H|. Các lớp ghép phải theo H trong G được định nghĩa tương tự và G cũng được phân hoạch bởi các lớp ghép phải trong G. Nếu H là nhóm con của nhóm không giao hoán G thì xH và Hx có thể khác nhau, nhưng có một song ánh từ tập các lớp ghép trái theo H lên tập các lớp ghép phải theo H cho bởi tương ứng xH → Hx. Định nghĩa 1.3.2: Nhóm con H của nhóm G với luật hợp thành trong viết theo lối nhân được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G nếu xH=Hx với mọi x thuộc G. Đẳng thức xH=Hx tương đương với xHx−1 = H . Dùng mệnh đề 1.3.1 dễ chứng 8 minh rằng nếu H là một nhóm con của G thì tập hợp xHx−1 cũng là một nhóm con của G, nhóm này gọi là một nhóm con liên hợp của H. Tương ứng H → xHx−1 gọi là phép lấy liên hợp trong G. Vậy nhóm con chuẩn tắc của G là một nhóm con bất biến đối với mọi phép lấy liên hợp trong G. Trong một nhóm bất kỳ G, nhóm con tầm thường chỉ gồm phần tử trung hòa của G và bản thân G là các nhóm con chuẩn tắc của G. Nhóm con bất kỳ của một nhóm giao hoán K là một nhóm con chuẩn tắc của K. Nhóm con U của nhóm GL(n) gồm các ma trận vuông cấp n có định thức bằng 1 là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm GL(n). Trong nhóm S3 các phép thế của tập A = {1, 2, 3}, nhóm con N gồm phép thế đồng nhất và phép thế f của A cho bởi công thức f(1)=2, f(2)=1, f(3)=3 không phải là nhóm con chuẩn tắc. Thực vậy, gọi g là phép thế của A cho bởi g(1)=3,g(2)=2,g(3)=1 ta có g −1 = g và h = gf g −1 là phép thế cho bởi h(1)=1, h(2)=3, h(3)=2 không thuộc N. 1.4 Nhóm thương và các định lý đẳng cấu Giả sử G là một nhóm với luật hợp thành trong viết theo lối nhân và H là một nhóm con chuẩn tắc của G. Khi đó xH=Hx với mọi x thuộc G. Ký hiệu G/H là tập các lớp ghép trái theo H trong G. Dĩ nhiên G/H cũng chính là tập các lớp ghép phải theo H trong G. Nếu x, y là hai phần tử của G thuộc cùng một lớp ghép trái theo H (nói cách khác xy −1 thuộc H) ta viết x = y(modH) và ký hiệu x là tập các phần tử thuộc cùng một lớp ghép trái theo H trong G với x. Ta định nghĩa trên G/H một luật hợp thành trong viết theo lối nhân như sau: x.y = xy . Khi đó G/H với luật hợp thành nhân vừa định nghĩa trở thành một nhóm. Thực vậy, ta chứng tỏ rằng kết quả của phép tính x.y = xy không phụ thuộc vào việc 9 chọn đại diện x, y của các lớp ghép trái x, y . Nếu x = x(modH) và y = y(modH) thì (xy)(x0 y 0 )−1 = x(yy 0−1 )x0−1 . Vì y = y 0 (modH) nên yy 0−1 thuộc H. Do H là nhóm con chuẩn tắc của G nên x(yy 0−1 )x0−1 thuộc H. Vậy xy = x0 y 0 ( mod H) nên xy = x0 y 0 . Các tính chất i), ii), iii) trong định nghĩa 1.1.1 dễ kiểm chứng. Phần tử đơn vị của G:H là e, trong đó e là phần tử đơn vị của G. Chú ý rằng e =H theo nghĩa thuyết tập. Phần tử nghịch đảo của x trong G/H là x−1 . Định nghĩa 1.4.1: Nhóm G/H được xây dựng như trên gọi là nhóm thương của G theo nhóm con chuẩn tắc H. Định nghĩa 1.4.2: Cho f: G →G’ là một đồng cấu nhóm. Gọi e, e’ là các phần tử trung hòa tương ứng của G và G’. Tập hợp f −1 (e0 ) = {x ∈ G : f (x) = e0 } gọi là hạt nhân của đồng cấu f, ký hiệu là Kerf. Tập hợp Imf = f(G) = {y = f (x) : x ∈ G} gọi là ảnh của đồng cấu f. Nếu f là một đồng cấu nhóm thì e∈Kerf. Thực vậy vì e.e=e nên f(e)=f(e)f(e) và f (e) = f (e)f (e)−1 = e0 . Dễ thấy f là đơn cấu tương đương với Kerf = {e}, f là toàn cấu tương đương với Imf=G’. Mệnh đề 1.4.2: Giả sử f: G→G’ là một đồng cấu nhóm. Ảnh Imf của đồng cấu f là một nhóm con của G’. Hạt nhân Kerf là một nhóm con chuẩn tắc của G. Hơn nữa, nếu K là một nhóm con của nhóm G’ thì tập f −1 (K) = {x ∈ G : f (x) ∈ K} là một nhóm con của G (nói chung không chuẩn tắc). Định lý 1.4.3: Cho f: G→G’ là một đồng cấu nhóm và H=Kerf. Khi đó ta có phân tích ánh xạ f thành hợp của dãy các đồng cấu ϕ, λ, j theo sơ đồ sau : f : G → G : H → Imf → G0 trong đó ϕ : G → G : H là đồng cấu chính tắc cho bởi công thức ϕ(x) = xH, λ : (G : 10 H) → Imf là đồng cấu cho bởi công thức λ(xH) = f(x), j: Imf →G’ là phép nhúng Imf vào G’ cho bởi công thức j(y)=y với mọi y∈Imf. Chứng minh. Từ định nghĩa của các ánh xạ ϕ, λ, j rõ ràng ta có f=j oλoϕ. Chỉ cần chứng minh các ánh xạ đó là các đồng cấu. Ánh xạ j là đồng cấu vì đó là phép nhúng Imf vào G’. Ánh xạ ϕ là đồng cấu vì theo định nghĩa ϕ(xy) = (xy)H = (xH)(yH) = ϕ(x)ϕ(y) với mọi x,y thuộc G. Để chứng minh λ là đồng cấu trước hết ta chứng minh rằng λ được xác định đúng đắn, tức ảnh λ(xH) = f (x) không phụ thuộc vào việc chọn đại diện của lớp ghép trái xH. Nếu x = x0 (modH) thì xx−1 ∈ H do đó e0 = f (xx0−1 ) = f (x)f (x0 )−1 và f(x)=f(x’). Vậy λ xác định đúng đắn. Theo định nghĩa, λ ((xH)(yH))=λ(xyH)=f(xy)=f(x)f(y)= λ (xH) λ (yH). Vậy λ là một đồng cấu.  Nhận xét: Từ định nghĩa của các đồng cấu ϕ,λ,j ta suy ra ϕ là toàn cấu và λ là một đơn cấu, do đó có đẳng cấu G/H≈Imf. Thực vậy, khẳng định ϕ là toàn cấu hiển nhiên. Nếu λ (xH)=f(x)=e’ thì x ∈ Kerf=H, do đó xH=H. Vậy Kerλ = {H} và λ là đơn cấu vì H là phần tử trung hòa của nhóm G/H. Định lý 1.4.4: Cho G là một nhóm với luật hợp thành trong viết theo lối nhân, H và K là các nhóm con chuẩn tắc của G và K⊂H. Khi đó nhóm thương H/K là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm thương G/K và ta có đẳng cấu (G/K):(H/K) ≈G/H. Chứng minh. Rõ ràng K là một nhóm con chuẩn tắc của H. Xét ánh xạ f từ G:K vào G:H cho bởi công thức f(xK)=xH. Ta chứng tỏ rằng ánh xạ f được xác định đúng đắn, tức là f(xK) không phụ thuộc vào đại diện của lớp ghép trái xK. Nếu x = x0 (modK) thì xx0−1 ∈ K do đó xx0−1 ∈ H vì K⊂H. Vậy f(xK)=xH=x’H (vì H chuẩn tắc trong G), nghĩa là f(xK)=xH không phụ thuộc vào đại diện của lớp ghép trái xK. Ánh xạ f là đồng cấu. Thực vậy, theo định nghĩa của 11 luật hợp thành trong G/K, G/H và định nghĩa của f ta có f((xK)(yK)) =f(xyK) =xyH=(xH)(yH)=f(xK)f(yK). Rõ ràng ánh xạ f là toàn cấu với hạt nhân là tập hợp Kerf = {yK : y ∈ H} = H/K. Vậy theo nhận xét sau định lý 1.4.3 ta có đẳng cấu (G/K)/Kerf ≈ Imf hay (G/K)/(H/K)≈G/H.  Ví dụ: Nhóm (Z,+) là nhóm giao hoán nên mọi nhóm con của nó đều là nhóm con chuẩn tắc. Ký hiệu nZ là tập các số nguyên là bội của số nguyên dương n. Dễ thấy nZ là một nhóm con của (Z,+). Nếu d là một ước số nguyên dương của n thì ta có nZ⊂dZ. Theo định lý 1.4.4 ta có đẳng cấu (Z/nZ)/(dZ/nZ)≈Z/dZ. Dùng nhận xét sau định lý đồng cấu 1.4.3 dễ thấy Z/dZ ≈ Zd Vậy (Z/nZ)/(dZ/nZ) ≈ Zd . Cho G là một nhóm với luật hợp thành trong viết theo lối nhân, K là một tập con của G. Ký hiệu NK là tập các phần tử thuộc G sao cho xKx−1 = K . Khi đó NK là một nhóm con của của G. Thực vậy, nếu x, y ∈ NK thì (xy)K(xy)−1 = (xy)K(y −1 x−1 ) = x(yKy −1 )x−1 = xKx−1 = K . Vậy x, y ∈ NK . Bởi vì xKx−1 = K ⇔ K = x−1 Kx nên nếu x ∈ NK thì x−1 ∈ NK . Theo mệnh đề 1.3.1 NK là một nhóm con của G. Nhóm NK gọi là cái chuẩn tắc hóa của tập K. Giả sử S là một tập con của G, tập tất cả các phần tử x thuộc G sao cho xy=yx với mọi y thuộc S gọi là cái tâm hóa của S, ký hiệu là ZS . Rõ ràng ZS ⊂ NS và ZG là một nhóm con chuẩn tắc của G. Các khẳng định sau đây dễ được kiểm chứng: i)Nếu K là một nhóm con của G và H là một ước chuẩn của K thì K ⊂ NH ; ii)Nếu H là một nhóm con của nhóm G và K là một nhóm con của NH thì tập hợp KH = {xy : x ∈ K, y ∈ H} là một nhóm con của G và H là ước chuẩn của KH. 12 Định lý 1.4.5: Cho G là một nhóm và K,H là hai nhóm con của G và K ⊂ NH . Khi đó: a)HK=KH; b)K∩H là một nhóm con chuẩn tắc của K; c) Có đẳng cấu K/K∩H≈KH/H. Chứng minh. a)Theo định nghĩa của cái chuẩn tắc hóa của H ta có xH=Hx với mọi x∈K, điều này có nghĩa là KH=HK.

b) Vì K ⊂ NH nên với mọi x thuộc K ta có: x(K ∩ H)x−1 = xKx−1 ∩ xHx−1 = K ∩ H là một nhóm con chuẩn tắc của K. c) Chú ý rằng phần tử bất kỳ của KH/H có dạng (xy)H=xH với x∈K, y∈H. Xét đồng cấuf : K→KH/H cho bởi công thức f (x)=xH. Đồng cấu này rõ ràng là toàn cấu và hạt nhân của nó là Kerf = {x ∈ K : xH = H} = K ∩ H . Theo định lý đồng cấu 1.4.3, rõ ràng ta có đẳng cấu: K/K∩H≈KH/H. 1.5  Tác động của nhóm trên một tập Định nghĩa 1.5.1: Cho S là một tập khác rỗng và G là một nhóm với luật hợp thành trong viết theo lối nhân. Ta nói nhóm G tác dụng trên tập S bởi ánh xạ T nếu có một ánh xạ T:G×S→S đặt tương ứng mỗi phần tử (x,s)∈G×S với phần tử T(x,s)∈S sao cho nếu ký hiệu T(x,s) bởi x(s) thì các tính chất sau đúng: i) x(y(s))=(xy)(s) với mọi x,y∈G và mọi s∈ S; ii) e(s)=s với mọi s∈ S. Nếu G tác động trên S ta cũng nói S là một G-tập. Rõ ràng nếu S là một G-tập thì với mỗi x∈ G ánh xạ x(.): s ∈ S , s → x(s) ∈ S là một phép thế của S vì nó có ánh xạ ngược là ánh xạ x−1 (.) : s ∈ S, s → x−1 (s) ∈ S . Tương ứng x→x(.) xác định một đồng cấu từ nhóm G vào nhóm các phép thế P(S). 13 Ví dụ 1:- Cho G là một nhóm với luật hợp thành trong viết theo lối nhân. Xét tác dụng của G trên chính nó bởi ánh xạ T : G × G (x, s) → xs ∈ G Dễ kiểm chứng rằng ánh xạ này thỏa mãn hai tính chất nêu trong định nghĩa 1.5.1. Với mỗi x cố định thuộc G, ánh xạ Tx : G → G cho bởi Tx (s) = xs là một phép thế của G. Khi G tác dụng trên chính nó bởi ánh xạ T được định nghĩa như trên ta nói G tác dụng trên chính nó bằng các dịch chuyển. Có thể kiểm chứng rằng ánh xạ từ G vào nhóm các phép thế P(G) của nó cho bởi tương ứng: x → Tx là một đơn cấu. Do đó mọi nhóm G đều đẳng cấu với một nhóm con của nhóm P(G). Ví dụ 2: - Giả sử G là một nhóm với luật hợp thành trong viết theo lối nhân. Xét ánh xạ C : G × G (x, s) → xx−1 ∈ G. Cũng dễ kiểm chứng rằng ánh xạ C thỏa mãn hai tính chất nêu trong định nghĩa 1.5.1. Khi G tác dụng trên chính nó bởi ánh xạ C ta nói G tác dụng trên chính nó bởi các phép liên hợp. Ánh xạ Cx : G → G cho bởi Cx (s) = xsx−1 là một phép đẳng cấu từ G lên chính nó và tương ứng x → Cx là một đồng cấu từ nhóm G vào nhóm các tự đẳng cấu của G. Nếu G là một nhóm giao hoán thì tương ứng x → Cx là đồng cấu tầm thường. Ảnh của nó là nhóm con của nhóm các tự đẳng cấu của G gồm duy nhất tự đẳng cấu đồng nhất.Nếu G là nhóm tùy ý thì hạt nhân của đồng cấu x → Cx gồm tất cả các phần tử x thuộc G có tính chất xyx−1 = y với mọi y thuộc G. Tập các phần tử như vậy chính là tâm của nhóm G. Như vậy lý luận này cho một chứng minh của khẳng định rằng tâm ZG của nhóm G là một nhóm con chuẩn tắc của nó. Ký hiệu 2G là tập tất cả các tập con của G, ta đặt x∅x−1 = ∅ với mọi x thuộc  G, còn nếu A là tập con khác rỗng của G thì ta đặt xAx−1 = xyx−1 : y ∈ A . Khi đó G cũng tác dụng trên các tập con 2G của nó bằng các phép liên hợp. Nếu A, B là hai tập con của G thì ta nói B liên hợp với A nếu tồn tại x∈G sao cho B = xAx−1 . 14 Rõ ràng nếu B liên hợp với A thì A liên hợp với B và ta có thể nói A, B là các tập con của G liên hợp nhau. Dễ kiểm chứng rằng quan hệ liên hợp có tính phản xạ và tính truyền ứng nên quan hệ này là một quan hệ tương đương. Vì các phép liên hợp là các tự đẳng cấu của G nên G cũng tác dụng trên tập các nhóm con của nó bằng các phép liên hợp. Khái niệm hai tập con liên hợp vừa định nghĩa ở trên cảm sinh khái niệm hai nhóm con liên hợp. Mệnh đề 1.5.1: Giả sử S là một G-tập và s∈S. Tập hợp Gs = {x ∈ G : x(s) = s} là một nhóm con của G. Chứng minh. Nếu x, y ∈ Gs thì (xy)(s) = x(y(s)) = x(s) = s, do đó x, y ∈ Gs . Nếu x ∈ Gs thì x−1 (s) = x−1 (x(s)) = (x−1 x)(s) = e(s) = s nên x−1 ∈ Gs . Theo mệnh đề 1.3.1 Gs là một nhóm con của G.  Định nghĩa 1.5.2: Nhóm Gs gọi là nhóm con đẳng hướng trong G của phần tử s. Nhận xét: -Khi G tác dụng trên tập các nhóm con của nó bằng các phép liên hợp thì nhóm con đẳng hướng của nhóm con H của G là cái chuẩn tắc hóa NH của nó. Mệnh đề 1.5.2: Giả sử S là một G-tập và s, s’ là hai phần tử thuộc S sao cho tồn tại phần tử x thuộc G thỏa mãn xs = s0 . Khi đó các nhóm con đẳng hướng Gs và Gs0 của hai phần tử s, s’ liên hợp với nhau. Chứng minh. Từ giả thiết suy ra rằng x−1 (s0 ) = s, do đó với mọi y thuộc Gs ta có (xyx−1 )(s0 ) = (xy)(x−1 (s0 )) = (xy)(s) = x(y(s)) = x(s) = s0 . Do đó xyx−1 thuộc
Gs0 . Như vậy xGs x−1 ⊂ Gs0 . Tương tự, với mọi z thuộc Gs0 ta có x−1 zx (s) = (x−1 z)(x(s)) = (x−1 z)(s0 ) = x−1 (z(s0 )) = x−1 (s0 ) = s. Do đó x−1 Gs0 x ⊂ Gs . Từ các 15 bao hàm thức nhận được ta có xGs x−1 = Gs0 và mệnh đề được chứng minh.  Định nghĩa 1.5.3: Cho S là một G-tập, s là một phần tử của S. Tập con G(s) của S xác định bởi G(s) = {x(s) : x ∈ G} được gọi là G-quỹ đạo của phần tử s. Mệnh đề 1.5.3: Tập các G-quỹ đạo của tập S tạo thành một phân hoạch của S. Lực lượng của một quỹ đạo G(s) bằng chỉ số |G :Gs | của nhóm con đẳng hướng của s trong G. Chứng minh. Nếu G(s) và G(s’) có phần từ chung là σ thì tồn tại các phần tử x,y của G sao cho x(s) = y(s’) =σ . Do đó G(s)=(Gx)(s)=G(x(s))=G(σ ), G(s’)=(Gy)(s’)=G(y(s’)) =G(σ ) và G(s)=G(s’). Vậy hai G-quỹ đạo phân biệt phải có giao bằng rỗng. Vì e(s)=s nên mọi phần tử của S đều nằm trong một G quỹ đạo nào đó và tập các G-quỹ đạo tạo thành một phân hoạch của S. Giả sử Gs là nhóm đẳng hướng của s trong G. Khi đó Gs (s) = {x(s) : x ∈ Gs } = {s}. Nếu xGs và yGs là hai lớp ghép trái phân biệt theo nhóm con Gs trong G thì (xGs )(s) = {x(s)} và (yGs )(s) = {y(s)}. Nếu x(s) = y(s) thì (y −1 x)(s) = s và y −1 x ∈ Gs , do đó xGs = yGs .Mâu thuẫn. Vậy phải có x(s) 6= y(s). Bởi vì G được phân hoạch thành các lớp ghép trái theo nhóm con Gs nên lý luận trên chứng tỏ lực lượng của quỹ đạo G(s) bằng chỉ số|G :Gs |.  Mệnh đề 1.5.4: Số các nhóm con liên hợp với một nhóm con H của nhóm G bằng chỉ số |G : NH | của cái chuẩn tắc hóa NH trong G. Nhóm con chỉ số 2 của nhóm G bất kỳ là nhóm con chuẩn tắc của G. Chứng minh. Xét tác dụng của G trên tập các nhóm con của nó bằng các liên hợp. Khi đó nhóm con đẳng hướng của nhóm con H của G là cái chuẩn tắc hóa NH của nó. Do đó theo mệnh đề 1.5.5 ta suy ra lực lượng của G-quỹ đạo của một 16 nhóm con H bằng |G : NH |. Nhưng các nhóm con của G nằm trong cùng G-quỹ đạo với H chính là các nhóm con liên hợp với H. Do đó khẳng định đầu của mệnh đề 1.5.6 được chứng minh. Nếu |G:H|=2 thì |G : NH | chỉ có thể bằng 1 hoặc bằng 2 vì H ⊂ NH . Nếu |G : NH | = 2 thì H không phải là nhóm con chuẩn tắc của G và NH = H , đồng thời G-quỹ đạo của H có đúng 2 phần tử: H và một nhóm con liên hợp H’ của nó. Xét tác dụng của G trên tập {H, H 0 } bằng phép lấy liên hợp. Tác dụng này cảm sinh một đồng cấu từ nhóm G vào nhóm các phép thế của hai phần tử. Hạt nhân của đồng cấu này chính là NH = H , do đó H là nhóm con chuẩn tắc của G. Mâu thuẫn. Vậy phải có |G : NH | = 1, tức là NH = G và H là nhóm con  chuẩn tắc của G. Nếu S là một G-tập hữu hạn thì tập các G-quỹ đạo của nó cũng hữu hạn. Giả sử tập các đại diện của các G-quỹ đạo của S là {si }i∈I , trong đó I là một tập hữu hạn. Từ Mệnh đề 1.5.3 ta suy ra công thức sau: P P card(S) = |G : Gsi | card(G(si )) = i∈I (1.1) i∈I Nếu nhóm G tác dụng trên chính nó bằng các liên hợp thì nhóm con đẳng hướng của mỗi phần tử thuộc tâm ZG là chính G nên G-quỹ đạo của mỗi phần tử thuộc tâm ZG gồm đúng một phần tử. Ký hiệu {si }i∈I là tập các phần tử đại diện cho các G-quỹ đạo mà nhóm con đẳng hướng của mỗi phần tử si khác với G. Khi đó, nếu G là nhóm hữu hạn thì công thức (1.1) cho ta biểu diễn sau: P P card(G) = card(ZG )+ card(G(si )) = card(ZG )+ i∈I |G : Gsi | (1.2) i∈I Các công thức (1.1), (1.2) đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong lý luận ở các phần tiếp theo của luận văn này. 17 1.6 Các p-nhóm và p-nhóm con Sylow Định nghĩa 1.6.1: Cho G là một nhóm hữu hạn. Nếu cấp của G là lũy thừa cấp n(n là số nguyên ≥0) của một số nguyên tố p thì G gọi là một p-nhóm. -Giả sử G là một nhóm hữu hạn và nhóm con H của G là một p-nhóm. Khi đó ta nói rằng H là một p-nhóm con của G. - Nhóm con H của nhóm hữu hạn G gọi là một p-nhóm con Sylow của G nếu H là p-nhóm với cấp là pn và |G| : pn không chia hết cho p. Định nghĩa 1.6.2: Cho G là một nhóm tùy ý với luật hợp thành trong viết theo lối nhân và x là một phần tử của G. Số nguyên dương k gọi là số mũ của x nếu xk = e. Nếu tập các số mũ của x khác rỗng thì số mũ bé nhất của x gọi là chu kỳ của x. Trong trường hợp trái lại ta nói x có chu kỳ vô hạn. Số nguyên dương n gọi là số mũ của nhóm G nếu xn = e với mọi phần tử x thuộc G. Mệnh đề 1.6.1: Mọi phần tử x của một nhóm hữu hạn G đều có chu kỳ hữu hạn. Mọi nhóm hữu hạn đều có số mũ hữu hạn. Nếu số mũ r của G hữu hạn thì chu kỳ của mọi phần tử thuộc G đều là ước của r. Chứng minh. Giả sử x là phần tử của G. Xét ánh xạ f từ nhóm (Z,+) vào nhóm G cho bởi công thức f (n) = xn với mọi số nguyên n. Dễ thấy ánh xạ này là một đồng cấu nhóm. Do đó ảnh của nó là một nhóm con H của nhóm G. Vì G hữu hạn nên nhóm con H hữu hạn. Theo định lý đồng cấu ta có đẳng cấu (Z:Kerf)≈H. Vì H hữu hạn nên ta suy ra hạt nhân của f không tầm thường, tức là tồn tại số nguyên dương n sao cho xn = e. Vậy tập các số mũ của x khác rỗng, do đó x có chu kỳ hữu hạn. Nếu G là nhóm hữu hạn thì theo điều vừa chứng minh, mỗi phần