Tài liệu ổn định truyền tải soliton trong hệ phương trình schrödinger phi tuyến bằng mô hình lai ghép với nhiễu raman và các nhiễu phi tuyến khác

. BỘ Y TẾ ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CHƯƠNG TRÌNH KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ BÁO CÁO TỔNG HỢP KẾT QUẢ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC ỔN ĐỊNH TRUYỀN TẢI SOLITON TRONG HỆ PHƯƠNG TRÌNH SCHRöDINGER PHI TUYẾN BẰNG MÔ HÌNH LAI GHÉP VỚI NHIỄU RAMAN VÀ CÁC NHIỄU PHI TUYẾN KHÁC Cơ quan chủ trì nhiệm vụ: Khoa Khoa Học Cơ Bản Chủ trì nhiệm vụ: Huỳnh Thanh Toàn Thành phố Hồ Chí Minh - 2019 . . ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CHƯƠNG TRÌNH KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ BÁO CÁO TỔNG HỢP KẾT QUẢ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ỔN ĐỊNH TRUYỀN TẢI SOLITON TRONG HỆ PHƯƠNG TRÌNH SCHRöDINGER PHI TUYẾN BẰNG MÔ HÌNH LAI GHÉP VỚI NHIỄU RAMAN VÀ CÁC NHIỄU PHI TUYẾN KHÁC (Đã chỉnh sửa theo kết luận của Hội đồng nghiệm thu ngày .................) Cơ quan chủ quản (ký tên và đóng dấu) Chủ trì nhiệm vụ (ký tên) Huỳnh Thanh Toàn Cơ quan chủ trì nhiệm vụ (ký tên và đóng dấu) . . Mục lục Danh mục các chữ viết tắt 2 Danh sách hình vẽ 3 Tóm tắt 5 Phần mở đầu 6 Chương 1. Mô hình NLS và mô hình Lotka–Volterra 8 1.1 Mô hình Schrödinger phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Mô hình Lotka–Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 2. Phân tích tính ổn định cho mô hình Lotka–Volterra 11 2.1 Phân tích quá trình ổn định truyền tải . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.1 Phân tích tính ổn định cho mô hình với L1 (|ψj |2 ) . . . . 11 2.1.2 Phân tích tính ổn định cho mô hình với L2 (|ψj |2 ) . . . . 13 2.2 Phân tích quá trình truyền tải tắt kênh dẫn sóng . . . . . . . 13 Chương 3. Kết quả mô phỏng số 16 3.1 Mô phỏng số trong truyền tải ổn định soliton . . . . . . . . . 16 3.2 Mô phỏng số trong truyền tải tắt kênh dẫn sóng . . . . . . . . 17 3.3 Mô phỏng số trong truyền tải bật kênh dẫn sóng . . . . . . . 21 3.4 Mô phỏng số cho mô hình lai ghép tắt/bật kênh dẫn sóng nhiều lần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Kết luận 26 Tài liệu tham khảo 27 1 . . Danh mục các chữ viết tắt NLS: Schrödinger phi tuyến. GL: Ginzburg-Landau. ODEs: Hệ phương trình vi phân thường. 2 . . Danh sách hình vẽ 3.1 Sự phụ thuộc vào khoảng cách truyền tải z của biên độ soliton ηj trong quá trình truyền tải ổn định với mô hình NLS (1.1) cho N = 4. Hình (b) là phần phóng lớn của hình (a) tại khoảng cách truyền tải ngắn. Các hình tròn đỏ, hình vuông xanh lá cây, tam giác thuận xanh dương v tam giác ngược tím thể hiện η1 (z), η2 (z), η3 (z), và η4 (z) tương ứng, thu được từ mô phỏng số với phương trình (1.1). Các đường cong liền nét nâu, đứt nét xám, đứt nét đen có chấm, và đường nét chấm cam lần lượt thể hiện η1 (z), η2 (z), η3 (z), và η4 (z) thu được từ tính toán lý thuyết với phương trình (1.5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2 Hình dạng sóng tại khoảng cách truyền tải z = zr trước khi có kênh sóng bị biến dạng và z = zf sau khi có kênh sóng bị biến dạng cho N = 4 với các tham số được sử dụng trong hình 3.1. Hình (a) thể hiện |ψj (t, z)| tại z = zr và hình (b)|ψj (t, z)| tại z = zf với j = 1, 2, 3, 4. Các đường cong liền nét đỏ, đứt nét xanh lá cây có chấm, nét chéo xanh dương, và đường đứt nét tím lần lượt thể hiện |ψj (t, z)|, j = 1, 2, 3, 4, thu được từ mô phỏng số với phương trình (1.1). Các khoảng cách truyền tải l z = zr = 5300 (a), và z = zf = 5350 (b). . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 19 . 3.3 Sự phụ thuộc vào khoảng cách truyền tải z của biên độ soliton ηj trong quá trình truyền tải với mô hình A1-A2 cho N = 4. Các hình tròn đỏ, hình vuông xanh lá cây, tam giác thuận xanh dương, và tam giác ngược tím thể hiện η1 (z), η2 (z), η3 (z), và η4 (z) tương ứng, thu được từ mô phỏng số với phương trình (1.1). Các đường cong liền nét nâu, đứt nét xám, đứt nét đen có chấm, và đường nét chấm cam lần lượt thể hiện η1 (z), η2 (z), η3 (z), và η4 (z) thu được từ tính toán lý thuyết với phương trình (1.5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.4 Sự phụ thuộc vào khoảng cách truyền tải z của biên độ soliton ηj trong quá trình truyền tải với mô hình (A2-B-A1) cho N = 4. Các hình tròn đỏ, hình vuông xanh lá cây, tam giác thuận xanh dương, và tam giác ngược tím thể hiện η1 (z), η2 (z), η3 (z), và η4 (z) tương ứng, thu được từ mô phỏng số với phương trình (1.1). Các đường cong liền nét nâu, đứt nét xám, đứt nét đen có chấm, và đường nét chấm cam lần lượt thể hiện η1 (z), η2 (z), η3 (z), và η4 (z) thu được từ tính toán lý thuyết với phương trình (1.5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.5 (a) Sự phụ thuộc vào khoảng cách truyền tải z của biên độ soliton ηj trong quá trình truyền tải với mô hình A1-(A2-B-A1)-,...-(A2-B-A1) lặp lại 6 vòng cho N = 4. Các hình tròn đỏ, hình vuông xanh lá cây, tam giác thuận xanh dương, và tam giác ngược tím thể hiện η1 (z), η2 (z), η3 (z), và η4 (z) tương ứng, thu được từ mô phỏng số với phương trình (1.1). Các đường cong liền nét nâu, đứt nét xám, đứt nét đen có chấm, và đường nét chấm cam lần lượt thể hiện η1 (z), η2 (z), η3 (z), và η4 (z) thu được từ tính toán lý thuyết với phương trình (1.5). (b) Hình dạng sóng tại khoảng cách truyền tải z = zf = 5000. Các đường cong liền nét đỏ, đứt nét xanh lá cây có chấm, nét chéo xanh dương, và đường đứt nét tím lần lượt thể hiện |ψj (t, z)|, j = 1, 2, 3, 4, thu được từ mô phỏng số với phương trình (1.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 . . Tóm tắt Chúng tôi nghiên cứu bài toán truyền tải soliton được mô tả bởi hệ phương trình Schrödinger phi tuyến có nhiễu. Chúng tôi đề xuất mô hình lai ghép nhằm truyền tải nhiều chuỗi soliton ổn định biên độ đến khoảng cách xa gồm: mô hình Schrödinger phi tuyến có nhiễu Raman và thành phần Ginzburg-Landau và mô hình Schrödinger phi tuyến có nhiễu Raman và nhiễu suy hao bậc ba. Đề tài tiến hành mô hình hóa động lực biên độ soliton và tính hệ số bồi thường năng lượng của máy khuếch đại năng lượng do tác hại của các nhiễu phi tuyến. Các tính toán lý thuyết đều được kiểm chứng bằng các mô phỏng giải số trên các phương trình đạo hàm riêng tương ứng bằng phương pháp tách bước Fourier dựa trên ngôn ngữ lập trình C++ và Matlab. Từ khóa: Soliton, Schrödinger phi tuyến, Ginzburg-Landau, Raman, nhiễu suy hao, lợi nhiễu 5 . . Phần mở đầu Năm 1973, tại phòng thí nghiệm Bell, Hasegawa và Tappert đã mô tả sự truyền tải soliton trong sợi quang bằng phương trình Schrödinger phi tuyến. Trong phương trình Schrödinger phi tuyến, soliton có thể truyền tải đến khoảng cách xa mà không thay đổi hình dạng và năng lượng [1, 2, 3, 4, 5]. Nhờ vào tính chất này, soliton được ứng dụng trong công nghệ truyền tin và tạo nên sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ truyền tin bằng sợi quang trong hơn ba thập kỷ gần đây [1, 4]. Trong kỹ thuật thông tin quang, tốc độ truyền tin thông qua ống dẫn sóng trên miền băng thông rộng có thể được tăng lên đáng kể nhờ phương pháp ghép kênh theo bước sóng (wavelength-division-multiplexed (WDM) method) [1, 4]. Phương pháp này cho phép truyền nhiều chuỗi pulse trong cùng một ống dẫn sóng. Ứng dụng của WDM hay truyền tải đa kênh được dùng trong đường truyền cáp quang [4], truyền dữ liệu giữa các bộ vi xử lý máy tính thông qua ống dẫn sóng silicon [6], và trong công nghệ laser đa bước sóng [7]. Trong hệ quang dẫn đa kênh, tùy vào vật liệu của ống dẫn sóng, quá trình nhiễu phi tuyến xuất hiện và có thể làm thay đổi biên độ và tần số soliton, dẫn đến sai số truyền dẫn [1, 2]. Do đó bài toán nghiên cứu tác động của nhiễu phi tuyến lên sự truyền sóng đóng vai trò rất quan trọng trong công nghệ truyền tin. Vì vậy, vấn đề này đã và đang thu hút sự chú ý của rất nhiều nhà khoa học trong thời gian gần đây. Bài toán mô hình hóa động lực biên độ soliton đã được nhiều tác giả nghiên cứu trong thời gian gần đây. Cụ thể, đó là các nghiên cứu về sự truyền tải soliton dưới tác động của nhiễu suy hao bậc ba (cubic loss)[8], nhiễu raman [9], và dạng Ginzburg-Landau [10, 11]. 6 . . Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu mô hình lai ghép nhằm truyền tải nhiều chuỗi soliton ổn định đến khoảng cách xa gồm mô hình phương trình Schrödinger phi tuyến có nhiễu Raman và thành phần Ginzburg-Landau (GL) và mô hình Schrödinger phi tuyến có nhiễu Raman và nhiễu suy hao bậc ba. Đề tài tiến hành mô hình hóa động lực biên độ soliton và tính hệ số bồi thường năng lượng của máy khuếch đại năng lượng do tác hại của các nhiễu phi tuyến. Các tính toán lý thuyết được kiểm chứng bằng các mô phỏng giải số trên các phương trình đạo hàm riêng tương ứng bằng phương pháp tách bước Fourier dựa trên ngôn ngữ lập trình C++ và Matlab. 7 . . Chương 1 Mô hình NLS và mô hình Lotka–Volterra 1.1 Mô hình Schrödinger phi tuyến Chúng tôi nghiên cứu tác động của nhiễu Raman và các nhiễu suy hao/lợi nhiễu lên sự truyền tải soliton trong sợi quang được mô tả bởi hệ phương trình NLS ghép (the system of coupled-NLS equations) [12] như sau: i∂z ψj + ∂t2 ψj 2 2 + 2|ψj | ψj + 4 −εR ψj ∂t |ψj | − εR N X N X i (1 − δjk )|ψk |2 ψj = gj ψj + iL(|ψj |2 )ψj 2 k=1 (1 − δjk ) h 2 j ∂t |ψk | + i ψk ∂t (ψj ψk∗ ) , (1.1) k=1 trong đó ψj là hàm sóng j với 1 ≤ j ≤ N , ψj∗ là liên hợp của ψj , z l khoảng cách truyền dẫn sóng, t là thời gian, gj là hệ số gain/loss tuyến tính của kênh thứ j , εR là hệ số nhiễu Raman, và L(|ψj |2 ) là đa thức theo |ψj |2 . Đa thức L(|ψj |2 ) có thể được nghiên cứu ở dạng tổng quát. Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu L(|ψj |2 ) ở dạng sau: (1) L1 (|ψj |2 ) = ε3 |ψj |2 ψj − ε5 |ψj |4 ψj , (1.2) v (2) L2 (|ψj |2 ) = −ε3 |ψj |2 ψj . (1.3) Trong phương trình (1.2) và (1.3), 3 là hệ số nhiễu bậc ba và 5 là hệ số nhiễu bậc năm. 8 . . 1.2 Mô hình Lotka–Volterra Chúng tôi khảo sát sự truyền tải của N chuỗi soliton được mô tả bởi hệ NLS (1.1) trong vòng sợi khép kín và giả sử rằng hiệu tần số ∆β giữa các kênh dẫn sóng là lớn và bằng hằng số, tức là: ∆β = |βj+1 (z) − βj (z)|  1, ∀j, 1 ≤ j ≤ N − 1. (1.4) Chúng tôi giả sử thêm rằng: (1) độ rộng của soliton T  1. Thêm nữa, biên độ của các soliton trong cùng một chuỗi soliton (cùng kênh dẫn sóng) là bằng nhau trong khi biên độ của các soliton trong các chuỗi soliton khác nhau (khác kênh dẫn sóng) có thể khác nhau; (2) tương tác của các soliton trong cùng một kênh dẫn sóng và ảnh hưởng bậc cao của các bức xạ gây ra do các nhiễu này là rất nhỏ và được bỏ qua trong các tính toán xấp xỉ. Bằng cách tính toán sự thay đổi biên độ của soliton khi truyền dẫn v va chạm, chúng tôi thu được phương trình mô tả động lực biên độ của chuỗi soliton như sau (xem trong [8, 9] cho các tính toán tương tự): " # N X dηj = ηj gj + F (ηj ) + C (k − j)ηk , (1.5) dz k=1 trong đó C = 4εR ∆β/T , βj là tần số của chuỗi soliton thứ j , và hàm F (ηj ) được xác định như sau: 4 (1) 16 F1 (ηj ) = ε3 ηj2 − ε5 ηj4 , 3 15 (1.6) 4 (2) F2 (ηj ) = − ε3 ηj2 , 3 (1.7) ứng với L1 (|ψj |2 ), v ứng với L2 (|ψj |2 ). Trong kỹ thuật thông tin quang, các chuỗi soliton thường được yêu cầu có biên độ bằng nhau cho tất cả các kênh và bằng hằng số. Vì vậy, chúng (eq) ta cần tìm một trạng thái cân bằng của hệ (1.5) dạng ηj = η > 0 với 1 ≤ j ≤ N . Cho vế phải của (1.5) bằng 0, ta thu được: gj = −F (η) − Cη N X k=1 9 . (k − j). (1.8) . Khi đó, phương trình (1.5) được viết dưới dạng: # " N X dηj = ηj F (ηj ) − F (η) + C (k − j)(ηk − η) . dz (1.9) k=1 Hệ phương trình vi phân thường (ODEs) (1.9) là mô hình dạng thú-con mồi (Lotka–Volterra model) [13]. 10 . . Chương 2 Phân tích tính ổn định cho mô hình Lotka–Volterra 2.1 Phân tích quá trình ổn định truyền tải Trong phần này, chúng tôi tìm điều kiện cho giá trị của các tham số vật lý nhằm truyền tải nhiều chuỗi soliton ổn định tới khoảng cách xa trong hệ quang dẫn. 2.1.1 Phân tích tính ổn định cho mô hình với L1 (|ψj |2 ) Đầu tiên, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định của trạng thái cân bằng (η, η, ..., η). Chúng tôi xét hàm VL (~η ) = N X [ηj − η + η ln(η/ηj )], (2.1) j=1 trong đó ~η = (η1 , ..., ηj , ..., ηN ). Ta có VL (~η ) ≥ 0 với mọi ~η thỏa ηj > 0 với 1 ≤ j ≤ N và VL (~η ) = 0 khi và chỉ khi ηj = η với 1 ≤ j ≤ N . Như vậy, VL (~η ) là một hàm Lyapunov cho phương trình (1.9). Từ phương trình (1.9) và (1.6), ta có đạo của VL theo biến z thỏa: N 16 X 5 dVL = − 5 (ηj + η)(ηj − η)2 (ηj2 + η 2 − κ), dz 15 j=1 4 (2.2) trong đó 5 6= 0 và κ = 3 /5 . Chú ý rằng dVL /dz = 0 với ηj2 + η 2 − 5κ/4 = 0, 1 ≤ j ≤ N , tức là ηj = (5κ/4 − η 2 )1/2 , 1 ≤ j ≤ N . Chúng ta xét các trường hợp sau: (1) Để điểm cân bằng (η, η, ..., η) là ổn định tiệm cận, chúng ta cần dVL /dz < 0. Khi η 2 − 5κ/4 ≥ 0, tức là κ ≤ 4η 2 /5, từ phương 11 . . trình (2.8), ta có dVL /dz < 0 với mọi ηj > 0, 1 ≤ j ≤ N , nên điểm cân bằng (η, η, ..., η) là ổn định tiệm cận toàn cục. Khi ηj2 + η 2 − 5κ/4 > 0, tức là ηj > (5κ/4 − η 2 )1/2 ≥ 0, 1 ≤ j ≤ N , ta có dVL /dz < 0. Đặt (0) = (5κ/4 − η 2 )1/2 . Khi đó, để điểm cân bằng (η, η, ..., η) là ổn định
thì khoảng η (0) ), ∞ cần chứa η , 1 ≤ j ≤ N , tức là (5κ/4 − η 2 )1/2 < η ηj và 5κ/4 − η 2 ≥ 0. Như vậy, khi 4η 2 /5 ≤ κ < 8η 2 /5 thì điểm cân bằng (η, η, ..., η) là ổn định tiệm cận. Miền thu hút (basin of attraction) của
(η, η, ..., η) trong trường hợp này được xác định bởi (5κ/4 − η 2 )1/2 , ∞ , 1 ≤ j ≤ N . (2) Để điểm cân bằng (η, η, ..., η) là không ổn định, chúng ta cần dVL /dz > 0. Khi ηj2 + η 2 − 5κ/4 < 0, tức là 0 < ηj < (5κ/4 − η 2 )1/2 = (0) ηj , 1 ≤ j ≤ N, ta có dVL /dz > 0. Để (η, η, ..., η) là không ổn định thì (0) khoảng 0, ηj cần chứa η , tức là (5κ/4 − η 2 )1/2 > η và 5κ/4 − η 2 ≥ 0. Như vậy, khi κ > 8η 2 /5 thì điểm cân bằng (η, η, ..., η) là không ổn định. Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định của trạng thái cân bằng (0, 0, ..., 0). Từ phương trình (1.8), ta được   1 4 2 16 4 gj = − ε3 η + ε5 η − CN (N + 1) − j η. 3 15 2 (2.3) Để điểm cân bằng (0, 0, ..., 0) là ổn định, ta cần gj < 0 với 1 ≤ j ≤ N . Vì gj tăng khi j tăng, nên ta có điều kiện đủ cho gj là gN < 0. Thế phương trình (2.3) vào bất phương tình này, ta thu được điều kiện ổn định cho điểm cân bằng (0, 0, ..., 0) như sau: 4 3C κ > η2 + N (N − 1). 5 85 η (2.4) Như vâỵ, với κ thỏa điều kiện (2.4), ta có gj < 0 với 1 ≤ j ≤ N , nên điểm cân bằng (0, 0, ..., 0) là ổn định. Tóm lại, ta thu được điều kiện để các điểm cân bằng (η, η, ..., η) v (0, 0, ..., 0) là ổn định như sau: 4 2 3C 8 η + N (N − 1) < κ < η 2 . 5 85 η 5 (2.5) 4 2 3C 8 η + N (N − 1) < η 2 . 5 85 η 5 (2.6) Từ (2.5), ta có 12 . . Khi đó, ta thu được điều kiện cho giá trị 5 như sau: 5 > 2.1.2 15 CN (N − 1). 32η 3 (2.7) Phân tích tính ổn định cho mô hình với L2 (|ψj |2 ) Chúng tôi xét hàm Lyapunov cho bởi phương trình (1.9). Từ phương trình (1.9) và (1.7), ta có đạo của VL theo biến z thỏa: N dVL 4 X = − 3 (ηj + η)(ηj − η)2 < 0, dz 3 j=1 (2.8) cho mọi nj > 0 và 1 ≤ j ≤ N . Như vậy, điểm cân bằng (η, η, ..., η) là ổn định tiệm cận toàn cục, với bất kỳ giá trị của η , R , 3 , và N . Tuy nhiên, phân tích tính ổn định cũng chỉ ra rằng điểm cân bằng (0, 0, ..., 0) là không ổn định. Điều này làm cho soliton không thể truyền tải xa trong ống dẫn sóng, vì tác hại của nhiễu Raman và suy hao bậc ba sẽ bị khuếch đại trong quá trình tuyền tải. Nhằm giảm thiểu tác hại của nhiễu trong mô hình này, chúng tôi thay thế h i −1 số hạng igj ψj /2 trong phương trình (1.1) bởi iF g(ω, z)ψ̂j /2, trong đó ψ̂j là biến đổi Fourier của ψj và F −1 là ký hiệu biến đổi Fourier ngược. Hàm g(ω, z) được chọn sao cho có thể giảm được tác hại của nhiễu ở vùng bên ngoài độ rộng W của tần số trung tâm của soliton. Cụ thể, hàm g(ω, z) có thể được chọn như sau: ( gj , nếu βj (z) − W/2 < ω ≤ βj (z) + W/2 với g(ω, z) = gL , nơi khác. 2.2 1 ≤ j ≤ N, Phân tích quá trình truyền tải tắt kênh dẫn sóng Trong phần này, chúng tôi phân tích tính ổn định của truyền tải tắt M kênh dẫn sóng với 1 ≤ M < N . Điều này yêu cầu điểm cân bằng (η, ..., η) là không ổn định, điểm cân bằng (0, ..., 0) là ổn định tiệm cận, và một điểm cân bằng khác với M thành phần nhỏ hơn giá trị ηth và N − M thành phần lớn hơn giá trị ηth là ổn định tiệm cận. Trong phân tích ở phần 2.1, 13 . . ta thu được điều kiện cho điểm cân bằng (η, ..., η) là không ổn định v điểm cân bằng (0, ..., 0) là ổn định tiệm cận như sau: κ > max{8η 2 /5, 4η 2 /5 + 3CN (N − 1)/(85 η)}. (2.9) Đầu tiên, chúng tôi nghiên cứu tắt N − 1 kênh dẫn sóng. Giả sử rằng chúng ta cần tắt các kênh dẫn sóng với 1 ≤ k ≤ j − 1 và j + 1 ≤ k ≤ N . Điều này cần (0, 0, ..., ηsj , 0, ..., 0) là điểm cân bằng ổn định của mô hình (1.9). Từ phương trình (1.5), giá trị ηsj là nghiệm của phương trình: 4 2 ηsj − 5κηsj /4 − 15gj /(165 ) = 0. (2.10) Vì (0, ..., 0) được yêu cầu là điểm cân bằng ổn định nên theo phân tích ở mục 2.1, ta có gj < 0 với 1 ≤ j ≤ N . Vì phương trình (2.10) cần có nghiệm hai nghiệm dương nên chúng ta có 5 > 12|gj |/(5κ2 ). (2.11) Từ phương trình (2.3), ta có g1 < g2 < ... < gN < 0. Như vậy, bài toán tắt N − 1 kênh dẫn sóng ở tần số thấp là dễ thực hiện nhất trong việc xác định các giá trị nhỏ hơn cho 5 . Từ bất phương trình (2.11), chúng ta thu được điều kiện sau: κ > (8η/5)[5κ/4 − η 2 − 15CN (N − 1)/(325 η)]1/2 . (2.12) Như vậy, bài toán tắt N − 1 kênh dẫn sóng, 1 ≤ j ≤ N − 1, được thực hiện khi điều kiện (2.9) và (2.12) được thỏa mãn. Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu trường hợp tắt M kênh dẫn sóng tổng quát. Như đã phân tích ở trên, việc tắt các kênh dẫn sóng ở tần số thấp là dễ thực hiện hơn. Điều này được kiểm chứng bằng các mô phỏng giải số trên mô hình Lotka-Volterra (1.9) và mô hình NLS (1.1). Vì vậy, chúng tôi thực hiện nghiên cứu tắt M kênh dẫn sóng với 1 ≤ j ≤ M . Điều này cần điểm cân bằng (0, ..., 0, ηs(M +1) , ..., ηsN ) của mô hình (1.9) là ổn định tiệm cận. Các giá trị của ηs(M +1) , ..., ηsN được xác định bởi hệ: 4 2 ηsj − 5κηsj /4 − 15gj /(165 ) −15C/(165 ) N X k=M +1 14 . (k − j)ηsk = 0, (2.13) . trong đó M + 1 ≤ j ≤ N . Hệ phương trình (2.13) được viết lại dạng: 4 ηsj − 2 5κηsj /4 − 15C/(165 ) N X (k − j)ηsk k=M +1 4 2 −η + 5κη /4 + 15CN [(N + 1)/2 − j]η/(165 ) = 0. 15 . (2.14) . Chương 3 Kết quả mô phỏng số Trong phần này, chúng tôi thực hiện kiểm chứng các tính toán lý thuyết thu được từ mô hình Lotka–Volterra (1.5) bằng các mô phỏng giải số trên hệ NLS (1.1). Hệ NLS (1.1) được giải số bằng phương pháp tách bước Fourier (split-step Fourier method) với điều kiện biên tuần hoàn [1, 14, 15]. Chúng tôi xét điều kiện ban đầu của các mô phỏng số như sau: j (t, 0) = K−1 X ηj (0) exp {iβj (0)[t − (k + 1/2)T − δj ]} , cosh {η (0)[t − (k + 1/2)T − δ ]} j j k=−K (3.1) trong đó ∆β = βj+1 (0)−βj (0)  1 với 1 ≤ j ≤ N −1 và δj = (j −1)T /N với 1 ≤ j ≤ N tương ứng với sự dịch chuyển vị trí ban đầu của kênh thứ j. Trong các mô phỏng số, chúng tôi thực hiện trên các tham số sau: T = 15, ∆β = 15 và K = 1. Nhấn mạnh rằng chúng tôi cũng thu được các kết quả tương tự khi thực hiện mô phỏng số với các tham số khác thỏa mãn điều kiện ổn định như trong chương 2. 3.1 Mô phỏng số trong truyền tải ổn định soliton Trong phần này, chúng tôi trình bày kết quả mô phỏng số cho truyền tải ổn định nhiều chuỗi soliton đến khoảng cách xa. Chúng tôi chọn η = 1 để trạng thái cân bằng của các chuỗi soliton là (1, ..., 1). Các tham số vật lý khác được chọn với hệ số nhiễu Raman R = 0.0006 và 5 = 0.25 cho N = 4. Thêm nữa, chúng tôi chọn κ = 1.2 thỏa điều kiện ổn định như trong chương 2 và biên độ ban đầu ηj (0) > (5κ/4 − η 2 )1/2 = 5.7072, 16 . . 1 ≤ j ≤ 4 thỏa mãn thuộc vùng thu hút của điểm cân bằng (1, ..., 1) của mô hình ODEs. Các mô phỏng giải số từ phương trình NLS (1.1) được thực hiện đến khoảng cách truyền tải z = zf khi có một kênh dẫn sóng bị biến dạng. Kết quả của các mô phỏng trên được thể hiện như trong các hình 3.1 và 3.2. Sự phụ thuộc của biên độ soliton vào khoảng cách truyền tải z thu được từ mô hình NLS (1.1) và mô hình ODEs (1.5) được thể hiện ở hình 3.1. Trong hình 3.1, chúng ta quan sát được biên độ các chuỗi soliton dần hội tụ về giá trị η khi khoảng cách truyền tải tăng dần đến zp và biên độ soliton sau đó ổn đinh đến zr cho tất cả các kênh, với zr là khoảng cách truyền tải được trước khi có một kênh dẫn sóng bị biến dạng. Trong các mô phỏng số, chúng tôi quan sát zp = 25, zr = 5300 và zf = 5350 cho N = 4. Thêm nữa, các dự đoán lý thuyết cho biên độ soliton dựa trên mô hình Lotka–Volterra (1.5) là hoàn toàn chính xác khi so với các kết quả giải số thu được từ mô hình NLS (1.1) với 0 ≤ z ≤ zr . Khoảng cách truyền tải ổn định rr thu được từ mô hình NLS (1.1) hiện tại là lớn hơn nhiều so với các mô hình trước đây. Cụ thể, khoảng cách truyền tải ổn định của mô hình hiện tại cho N = 4 lớn gấp 10.6 lần so với mô hình dẫn sóng dưới tác động của tán xạ Raman trong [9]. Hình dạng của các kênh dẫn sóng thu được từ các mô phỏng số trên mô hình NLS (1.1) cho N = 4 tại zr và zf như trong hình 3.2. Chúng tôi quan sát được hình dạng của các soliton vẫn được giữ cho đến khoảng cách truyền tải zr , tức là sau khi chịu ảnh hưởng bởi một số lượng rất lớn các va chạm trong quá trình tuyền tải, và được thể hiện như trong hình 3.2(e) cho N = 4. Chúng ta thấy hình dạng sóng bị biến dạng tại z = zf . 3.2 Mô phỏng số trong truyền tải tắt kênh dẫn sóng Trong phần này, chúng tôi trình bày kết quả mô phỏng số cho truyền tải tắt M kênh dẫn sóng với 1 ≤ M ≤ N − 1. Trong mô phỏng số, soliton được truyền tải ổn định theo mô hình A1 trên [0, zs ), trong đó zs = 250 cho N = 4. Tại z = zs , chúng tôi thay đổi 17 . . Hình 3.1: Sự phụ thuộc vào khoảng cách truyền tải z của biên độ soliton ηj trong quá trình truyền tải ổn định với mô hình NLS (1.1) cho N = 4. Hình (b) là phần phóng lớn của hình (a) tại khoảng cách truyền tải ngắn. Các hình tròn đỏ, hình vuông xanh lá cây, tam giác thuận xanh dương và tam giác ngược tím thể hiện η1 (z), η2 (z), η3 (z), v η4 (z) tương ứng, thu được từ mô phỏng số với phương trình (1.1). Các đường cong liền nét nâu, đứt nét xám, đứt nét đen có chấm, và đường nét chấm cam lần lượt thể hiện η1 (z), η2 (z), η3 (z), và η4 (z) thu được từ tính toán lý thuyết với phương trình (1.5). 18 .