Tài liệu Nhận biết đường bậc hai nhờ các bất biến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2015-2016 NHẬN BIẾT ĐƯỜNG BẬC HAI NHỜ CÁC DẤU HIỆU BẤT BIẾN Thuộc nhóm ngành khoa học : Khoa học Tự nhiên i TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2015-2016 NHẬN BIẾT ĐƯỜNG BẬC HAI NHỜ CÁC DẤU HIỆU BẤT BIẾN Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học Tự nhiên Sinh viên thực hiện: Huỳnh Hương Thảo Nữ Võ Minh Long Nam Trần Chí Công Nam Lớp, khoa: C14TO01, KHTN Năm thứ: 2 Số năm đào tạo: 3 Ngành học: Sư Phạm Toán Học Người hướng dẫn: Ths. Mai Quang Vinh ii UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT Độc lập – Tự do – Hạnh phúc THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI 1. Thông tin chung: - Tên đề tài: Nhận biết đường bậc hai nhờ các bất biến - Sinh viên thực hiện: - Lớp: C14TO01 Huỳnh Hương Thảo Nữ Võ Minh Long Nam Trần Chí Công Nam Khoa: KHTN Năm thứ: 2 Số năm đào tạo: 3 - Người hướng dẫn: Ths. Mai Quang Vinh 2. Mục tiêu đề tài: - Tìm hiểu về đường bậc hai trong mặt phẳng với phương trình tổng quát, và trình bày các bất biến của đa thức bậc hai và cách nhận biết đường bậc hai nhờ các dấu hiệu bất biến. Bên cạnh đó, tự đưa ra ít nhất chín ví dụ về đường bậc hai để minh họa cho các dấu hiệu trên. 3. Tính mới và sáng tạo: - Đây là một đề tài tương đối. Nó lôi cuốn các em bởi vì thông thường để nhận biết các đường bậc, hai chúng ta phải thực hiện qua rất nhiều bước biến đổi thì mới biết được đó là đường gì? Thậm chí đôi khi còn tính toán sai và không biết hướng biến đổi. - Nhưng với cách nhận biết đường bậc hai nhờ các bất biến, chúng ta có thể tính toán một cách nhanh hơn, nhận biết đường bậc hai một cách chính xác. 4. Kết quả nghiên cứu: - Trình bày lại một số kiến thức về vectơ và tọa độ. - Trình bày lại các bất biến của đa thức bậc hai và nhận biết đường bậc hai nhờ các bất biến. - Tự đưa ra các ví dụ về nhận biết đường bậc hai nhờ các bất biến. 5. Đóng góp về mặt kinh tế - xã hội, giáo dục và đào tạo, an ninh, quốc phòng và khả năng áp dụng của đề tài: iii - Đề tài sẽ là một tài liệu tham khảo rất bổ ích cho cho sinh viên ngành sư phạm Toán trong việc học môn học Hình học giải tích. - Và sẽ là tài liệu thú vị cho những ai muốn tìm hiểu về Hình học giải tích phần nhận biết đường bậc hai một cách nhanh nhất Ngày tháng năm 2016 Sinh viên chịu trách nhiệm chính thực hiện đề tài (ký, họ và tên) Huỳnh Hương Thảo Nhận xét của người hướng dẫn về những đóng góp khoa học của sinh viên thực hiện đề tài (phần này do người hướng dẫn ghi): Ngày tháng năm 2016 Xác nhận của lãnh đạo khoa Người hướng dẫn (ký, họ và tên) (ký, họ và tên) Mai Quang Vinh iv UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT Độc lập – Tự do – Hạnh phúc THÔNG TIN VỀ SINH VIÊN CHỊU TRÁCH NHIỆM CHÍNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI I. SƠ LƯỢC VỀ SINH VIÊN: Ảnh 4x6 Họ và tên: Huỳnh Hương Thảo Sinh ngày: 01 tháng 06 năm 1996 Nơi sinh: Bình Dương Lớp: C14TO01 Khóa: 2014 - 2017 Khoa: KHTN Địa chỉ liên hệ: ấp Tân Lập, xã An Điền, thị xã Bến Cát, tỉnh Bình Dương Điện thoại: 01634664279 Email: [email protected] II. QUÁ TRÌNH HỌC TẬP * Năm thứ 1: Ngành học: Sư phạm Toán Học Khoa: KHTN Kết quả xếp loại học tập: Khá Sơ lượt thành tích: Ngày Xác nhận của lãnh đạo khoa (ký, họ và tên) tháng năm 2016 Sinh viên chịu trách nhiệm chính thực hiện đề tài (ký, họ và tên) Huỳnh Hương Thảo v TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN Thủ Dầu Một, ngày tháng năm 2016 Kính gửi: Ban tổ chức Giải thưởng “Tài năng khoa học trẻ Đại học Thủ Dầu Một” Tên chúng em là: 1. Huỳnh Hương Thảo Sinh ngày 01 tháng 06 năm 1996 Sinh viên năm thứ: 2 Tổng số năm đào tạo: 3 Lớp, khoa : Lớp C14TO01, Khoa KHTN Ngành học: Sư phạm Toán Học 2. Võ Minh Long Sinh ngày 16 tháng 05 năm 1996 Sinh viên năm thứ: 2 Tổng số năm đào tạo: 3 Lớp, khoa : Lớp C14TO01, Khoa KHTN Ngành học: Sư phạm Toán Học 3. Trần Chí Công Sinh ngày 25 tháng 2 năm 1996 Sinh viên năm thứ: 2 Tổng số năm đào tạo: 3 Lớp, khoa : Lớp C14TO01, Khoa KHTN Ngành học: Sư phạm Toán Học Thông tin cá nhân của sinh viên chịu trách nhiệm chính: Họ và tên: Huỳnh Hương Thảo Địa chỉ liên hệ: ấp Tân Lập, xã An Điền, thị xã Bến Cát, tỉnh Bình Dương Điện thoại: 01634664279 Email: [email protected] vi Chúng em làm đơn này kính đề nghị Ban tổ chức cho chúng em được gửi đề tài nghiên cứu khoa học để tham gia xét Giải thưởng “Tài năng khoa học trẻ Đại học Thủ Dầu Một” năm 2016. Tên đề tài: Nhận biết đường bậc hai nhờ các bất biến Em (chúng em) xin cam đoan đây là đề tài do em (chúng em) thực hiện dưới sự hướng dẫn của Ths. Mai Quang Vinh; đề tài này chưa được trao bất kỳ một giải thưởng nào khác tại thời điểm nộp hồ sơ và không phải là luận văn, đồ án tốt nghiệp. Nếu sai, em (chúng em) xin chịu trách nhiệm trước khoa và Nhà trường. Xác nhận của lãnh đạo khoa Người làm đơn (ký, họ và tên) Huỳnh Hương Thảo DANH SÁCH NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI STT Họ và tên MSSV Lớp Khoa 1 Võ Minh Long 1411402090046 C14TO01 KHTN 2 Trần Chí Công 1411402090007 C14TO01 KHTN vii MỤC LỤC Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài ...............................................................................................1 2. Mục tiêu của đề tài .............................................................................................1 3. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................................1 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ......................................................................1 5. Bố cục của đề tài ................................................................................................1 Chương 1.Một số kiến thức về vectơ và tọa độ........................................................... 2 1.1 Khái niệm vectơ. Các phép toán đối với vectơ ..................................................2 1.2 Hệ tọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng ..............................................................4 1.3 Hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian .............................................................8 Chương 2.Nhận biết đường bậc hai nhờ các dấu hiệu bất biến ...................................10 2.1 Đường bậc hai trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn ...............................10 2.2 Các bất biến của đa thức bậc hai .....................................................................14 2.3 Nhận biết đường bậc hai nhờ các bất biến...................................................... 21 Một số ví dụ ............................................................................................................. 24 Kết luận và kiến nghị ................................................................................................33 Tài liệu tham khảo ....................................................................................................33 viii ix Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Đường bậc hai là một trong những đối tượng nghiên cứu chính trong học phần Hình học giải tích. Và việc nhận biết các đường bậc hai với phương trình tổng quát là một bài toán quan trọng và cần thiết. Thông thường là phải đưa phương trình tổng quát của đường bậc hai về dạng chính tắc thì mới có thể nhận dạng được nó. Đây là một công việc không đơn giản và khá cồng kềnh mà đa phần người học đều gặp khó khăn. Vì vậy, chúng em thực hiện đề tài nghiên cứu “nhận biết đường bậc hai nhờ các dấu hiệu bất biến” với mục tiêu có thể nhận biết được đường bậc hai với phương trình tổng quát mà không cần đưa về phương trình chính tắc. Nội dung này hầu như người học không được học trong chương trình Hình học giải tích. 2. Mục tiêu của đề tài Tìm hiểu về đường bậc hai trong mặt phẳng với phương trình tổng quát, và trình bày các bất biến của đa thức bậc hai và cách nhận biết đường bậc hai nhờ các dấu hiệu bất biến. Bên cạnh đó, tự đưa ra ít nhất chín ví dụ về đường bậc hai để minh họa cho các dấu hiệu trên. 3. Phương pháp nghiên cứu Đọc thật kĩ các tài liệu liên quan và nắm vững các dấu hiệu nhận biết đường bậc hai. Từ đó, có thể tự đưa ra các ví dụ để minh họa. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu  Đối tượng: Đường bậc hai, các bất biến của đa thức bậc hai, nhận biết đường bậc hai nhờ các dấu hiệu bất biến.  Phạm vi: Đường bậc hai trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn. 5. Bố cục của đề tài Đề tài được chia làm 2 chương: Chương 1. Một số kiến thức về vectơ và tọa độ Chương 2. Nhận biết đường bậc hai nhờ các dấu hiệu bất biến 1 Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ 1.1 Khái niệm vectơ. Các phép toán đối với vectơ 1.1.1 Khái niệm vectơ Định nghĩa 1.1.1. Trong mặt phẳng hoặc trong không gian, cho hai điểm A,B. Đoạn thẳng AB được sắp thứ tự hai điểm mút được gọi là một vectơ (hay một đoạn thẳng có hướng). Một điểm được gọi là điểm đầu, điểm còn lại được gọi là điểm cuối. Đường thẳng (AB) được gọi là giá của vectơ AB. Nếu A là điểm đầu, B là điểm cuối thì vectơ được kí hiệu là ⃗ AB . Độ dài của đoạn thẳng AB được gọi là độ dài hay module của AB và kí hiệu độ dài của AB là |AB|. Suy ra hai vectơ ⃗ AB và ⃗ BA có độ dài bằng nhau. Định nghĩa 1.1.2. Hai vectơ ⃗ AB và ⃗ CD được gọi là hai vectơ cùng phương hay cộng tính nếu các đường thẳng AB và CD song song hoặc trùng nhau. Hai vectơ cùng phương AB và CD được gọi là cùng hướng nếu xảy ra một trong hai trường hợp sau đây (xem hình 1.1). (i) Nếu hai đường thẳng AB và CD song song và hai điểm B và D nằm cùng phía đối với đường thẳng AC. (ii) Nếu hai đường thẳng AB và CD trùng nhau và một trong hai tia AB (gốc A) và tia CD (gốc C) chứa tia kia. D B C A A B C D Hình 1.1: Hai vectơ cùng hướng Hai vectơ cùng phương mà không cùng hướng thì được gọi là hai vectơ ngược hướng. Định nghĩa 1.1.3 Hai vectơ a⃗ ,b⃗ được gọi là bằng nhau, kí hiệu a⃗ = b⃗ , nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài. Vectơ đối của vectơ a⃗ , kí hiệu −a⃗ , là vectơ ngược hướng với a⃗ và có độ dài bằng với độ dài của a⃗ . 2 MM ,... được gọi là Đặc biệt, vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau như: ⃗ AA, ⃗ vectơ - không, kí hiệu 0⃗ . Độ dài của vectơ - không bằng 0. Quy ước: vectơ - không cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ. Từ đó suy ra mọi vectơ - không đều bằng nhau. 1.1.2 Các phép toán đối với vectơ a) Cộng và trừ vectơ Định nghĩa 1.1.4. Tổng của hai vectơ a⃗ và b⃗ là một vectơ được xác định như sau: từ một điểm O tùy ý trong không gian, dựng vectơ ⃗ OA = a⃗ , rồi từ A dựng vectơ ⃗ AB = b⃗ (xem Hình 1.2). Vectơ c⃗ = ⃗ OB được gọi là vectơ tổng của hai vectơ a⃗ và b⃗ . Kí hiệu c⃗ = a⃗ + b⃗ a 1,a⃗ 2 ...⃗ an Tương tự, ta có thể định nghĩa tổng của n vectơ ⃗ A O B Hình 1.2: Cộng vectơ. Từ định nghĩa suy ra phép cộng vectơ có các tính chất sau Mệnh đề 1.1.5 ⃗ ⃗a . (i) Giao hoán: a⃗ + b⃗ =b+ (ii) Kết hợp: (a⃗ + b⃗ )+c⃗ =a⃗ + ( b⃗ +c⃗ ). (iii) Cộng vectơ không: a⃗ + 0 = a⃗ . (iv) a⃗ + (−a⃗ ) = 0⃗ . Nhận xét 1.1.6. Vectơ tổng a⃗ + b⃗ là vectơ đường chéo của hình bình hành nên người ta còn nói phép cộng hai vectơ thực hiện theo quy tắc hình bình hành. Định nghĩa phép cộng hai vectơ như vậy phù hợp với quy tắc hợp hai lực đồng qui trong cơ học. Định nghĩa 1.1.7. Hiệu của hai vectơ a⃗ và b⃗ , kí hiệu a⃗ - b⃗ , là một vectơ ⃗x sao cho b⃗ + ⃗x = a⃗ . Người ta gọi vectơ ⃗x là vectơ hiệu và viết ⃗x = a⃗ - b⃗ . b) Nhân một số với một vectơ Định nghĩa 1.1.8. Tích của một số k với một vectơ a⃗ là một vectơ, kí hiệu k.a⃗ , có độ dài bằng |k|.|a⃗ |, cùng hướng với vectơ a⃗ nếu k > 0, ngược hướng với a⃗ nếu 3 k < 0 (xem hình 1.3). Phép nhân một số với một vectơ có các tính chất sau: → a − → a − → b = k→ a (k > 0) − − )( → b = k→ a (k < − − 0) Hình 1.3: Nhân một số với vectơ. Mệnh đề 1.1.9 (i) a⃗ = a⃗ . (ii) (−1).a⃗ = −a⃗ . (iii) k(la⃗ ) = (kl)a⃗ . (iv) k(a⃗ + b⃗ ) = ka⃗ + kb⃗ . (v) (k + l)a⃗ = ka⃗ + la⃗ . 1.2 Hệ tọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1. Hệ tọa độ affine (O; i⃗ , ⃗j) có cơ sở vectơ { i⃗ , ⃗j } gồm hai vectơ đơn vị trực giao với nhau được gọi là hệ tọa độ trực chuẩn (xem Hình 1.4) y → j − O → i − x Hình 1.4: Hệ tọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng. Hệ tọa độ trực chuẩn còn được gọi là hệ tọa độ Descartes vuông góc. Những tính chất đúng với hệ tọa độ affine cũng đúng với hệ tọa độ trực chuẩn. Tuy nhiên, hệ tọa độ trực chuẩn có những tính chất riêng không còn đúng trong một hệ tọa độ affine bất kì. 1.2.2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng. Đổi hệ tọa độ trực chuẩn Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Mệnh đề 1.2.2. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ u⃗ = (x1, y1),v⃗ = (x2, y2). Khi đó, ta có 4 u⃗ . ⃗v = x1x2+ y1y2. Chứng minh. Ta có u⃗ . v⃗ = ( x1i⃗ + y1 ⃗j ).( x2i⃗ + y2 ⃗j ) = x1x2+ y1y2. Từ Mệnh đề 1.2.2 ta có thể thu được một số công thức sau đây. Mệnh đề 1.2.3. Trong mặt phẳng (Oxy), cho u⃗ = (x1, y1) và v⃗ = (x2, y2). Khi đó, ta có: 2 2 2 2 (i) ⃗ u 2 = x1 + y1 , hay |u⃗ | =√ x 1 + y 1 . (ii) Nếu u⃗ v à ⃗v khác 0⃗ thì cos( u⃗ ,v⃗ ) = x1 x 2 + y 1 y 2 ⃗u ⃗v = 2 2 . ¿ ⃗u ∨¿ ⃗v ∨¿ ¿ √ x 1 + y 1 . √ x 22 + y 22 Đổi hệ tọa độ trực chuẩn Vì hệ tọa độ trực chuẩn cũng là mục tiêu affine nên ta có công thức đổi tọa độ từ hệ tọa độ trực chuẩn (O;i⃗ , ⃗j) sang hệ tọa độ (O’;⃗ i' ,⃗ j ' ) như sau { x=a1 x ' + a 2 y ' +a 0 , y=b1 x ' +b 2 y ' +b0 trong đó ⃗ i ' = (a1, b1), ⃗ j' = (a2, b2) và ⃗ OO ' = (a0, b0) đối với hệ tọa độ (O;i⃗ , ⃗j ). Do các hệ tọa độ là trực chuẩn nên ⃗ i'⃗ . j ' =0. i '2 = ⃗ j ' 2 =1 và ⃗ Hay a 12 + b 12 = 1, a 22 + b 22 = 1, a1a2 + b1b2 = 0. Do vậy, ta có thể tìm được các góc α, β sao cho a1 = cosα, b1 = sinα và a2 = cosβ, b2 = sinβ. Suy ra cos(β – α) = 0 (a1a2 + b1b2 = 0) β=α+  Nếu β = α + π 3π + 2kπ hoặc β = α + + 2kπ . 2 2 π + 2kπ thì 2 ( cosα A = sinα ) −sinα => detA = 1. cosα Do đó, công thức đổi tọa độ {  Nếu thì β = α + x= x' cosα− y ' sinα+ a 0 . y= x ' sin α+ cosα+ b0 (1.5) 3π + 2kπ 2 5 ( cosα sinα ) A = sinα −cosα => detA = -1. Do đó, công thức đổi tọa độ { x= x' cosα+ y ' sinα+ a0 . y=x ' sin α−cosα+ b0 (1.6) Chú ý. Phép đổi tọa độ (1.5) bảo toàn hướng hệ tọa độ ban đầu, còn phép đổi tọa độ (1.6) sẽ làm đảo hướng. Ví dụ 1.2.4. Trong mặt phẳng, cho hai hệ tọa độ trực chuẩn (O; i⃗ , ⃗j ) và (O’;⃗ i ', ⃗ j' ). Biết √ 2 i⃗ – √ 2 ⃗j, ⃗ i' = ⃗ j' = 2 2 √ 2 i⃗ + √ 2 ⃗j , 2 ⃗ OO '=i⃗ −2 ⃗j . 2 a) Hãy viết công thức đổi tọa độ từ hệ tọa độ (O; i⃗ , ⃗j ¿ sang (O’; ⃗ i' ,⃗ j ' ). b) Hãy viết công thức đổi tọa độ từ hệ tọa độ (O’; ⃗ i' ,⃗ j ' ) sang (O; i⃗ , ⃗j ¿. Giải. a) Theo giả thiết, ta có 2 2 2 2 O ' ∨¿(O , ⃗i , ⃗j ) ¿ = (1, -2), ⃗ i '∨¿(O , ⃗i , ⃗j) ¿= ( √ , - √ ) và ⃗ j' ∨¿(O , ⃗i , ⃗j) ¿= ( √ , √ ). 2 2 2 2 Do đó, công thức đổi mục tiêu cần tìm là { ' x= ' √ 2 x + √ 2 y +1 2 2 − 2 2 y= √ x + √ y ' −2. 2 2 ' b) Từ công thức đổi mục tiêu ở câu (a), ta giải x' , y' theo x, y và thu được công thức đổi mục tiêu cần tìm là { 2 2 3 2 x ' = √ x− √ y− √ 2 2 2 2 2 2 y'= √ x + √ y + √ . 2 2 2 1.2.3 Phép quay hệ tọa độ quanh gốc tọa độ Đổi hệ tọa độ trực chuẩn (O; i⃗ , ⃗j) sang hệ tọa độ mới (O; ⃗ i' ,⃗ j ' ) gọi là phép quay hệ tọa độ một góc α, ở đó α=¿), β=¿) với β = α + π 3π + 2kπ hay β = α + + 2kπ . 2 2 6 Áp dụng các công thức (1.5) và (1.6) với a0 = b0 = 0 ta thu được công thức của phép quay.  Nếu β = α + π 3π + 2kπ thì β = α + + 2kπ . 2 2 Do đó, công thức phép quay {  Nếu β = α + x= x' cosα− y ' sinα y= x' sin α +cosα . (1.7) 3π + 2kπ thì 2 ( cosα sinα ) A = sinα −cosα => detA = -1. j 0 i α (a) → i − O (b) → →0 i =i − − O ⃗ j' = - ⃗j Hình 1.5: (a) Minh họa phép quay hệ tọa độ, (b) Các hệ tọa độ trong ví dụ về phép quay hệ tọa độ. Do đó, công thức phép quay { x =x ' cosα+ y ' sinα y=x ' sin α− y ' cosα . (1.8) Ví dụ 1.2.5. Đổi hệ tọa độ trực chuẩn (O; i⃗ , ⃗j ) sang hệ tọa trực chuẩn với i⃗' =i⃗ và ⃗j' = - ⃗j (xem Hình 1.5). Giải. Ta có ¿ (i⃗ , ⃗i )=0 v à ( i⃗ , ⃗j ) = ' ' 3π . Do đó, ma trận của phép quay là 2 ( cosα sinα ) (1 0 ) A = sinα −cosα = 0 −1 . 7 Vậy công thức đổi hệ tọa độ cần tìm là { x=x ' y=− y ' . 1.3 Hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian 1.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.3.1. Nếu mục tiêu affine (O ; i⃗ , ⃗j , ⃗k ¿có cơ sở vectơ (i⃗ , ⃗j , ⃗k ¿ gồm những vectơ đơn vị và đôi một trực giao với nhau, tức lài⃗ 2 =⃗j 2= ⃗k 2 = 1 và i⃗ . ⃗j = i⃗ . ⃗k = ⃗k . ⃗j = 0 thì được gọi là một mục tiêu trực chuẩn hay hệ tọa độ trực chuẩn (còn gọi là hệ tọa độ Descartes vuông góc). 1.3.2 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng. Đổi hệ tọa độ trực chuẩn Mệnh đề 1.3.2. Trong không gian Oxyz, cho u⃗ = (x1, y1, z1) và v⃗ = (x2, y2, z2). Khi đó, ta có u⃗ . ⃗v =¿ x1x2 + y1y2 + z1z2. Chứng minh. Ta có u⃗ . v⃗ =¿ (x1.i⃗ + y1. ⃗j + z1. ⃗k ).( x2.i⃗ + y2. ⃗j + z2. ⃗k ) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Từ mệnh đề 1.3.2, ta có thể thu được một số công thức sau Mệnh đề 1.3.3. Trong không gian Oxyz, cho u⃗ = (x1, y1, z1) và v⃗ = (x2, y2, z2). Khi đó, ta có (i) u⃗ 2= x 21 + y 21+ z 12, hay |⃗u|= √ x 21 + y 21 + z 12. (ii) Nếu u⃗ ≠ 0⃗ và v⃗ ≠ 0⃗ thì →→ cos(u⃗ ,v⃗ ) = uv |u||v | → → = x1 . x 2 + y 1 . y 2 + z 1 . z 2 √x + y +z .√x + y + z 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 . Đổi hệ tọa độ trực chuẩn Trong không gian cho hai hệ tọa độ trực chuẩn (O ; i⃗ , ⃗j , ⃗k ¿ và (O; ⃗ i ' ,⃗ j' ,⃗ k ' ) và điểm M. Gọi (x, y, z) và ( x ' , y ' , z ' ¿ lần lược là tọa độ của điểm M đối với hai hệ tọa độ ( O ; i⃗ , ⃗j , ⃗k ¿ và (O; ⃗ i ' ,⃗ j' ,⃗ k ' ) tương ứng. Sau đây ta sẽ tìm mối liên hệ giữa hai hệ tọa độ trên của điểm M. Giả sử đối với hệ tọa độ (O ; i⃗ , ⃗j , ⃗k ¿, ta có O' ( a o , bo , c o), i⃗ '=(a 1 , b1 , c1 ), ⃗ k '=(a 3 , b3 , c 3). j' =( a 2 , b2 , c 2) và ⃗ 8 Vì (O ; i⃗ , ⃗j , ⃗k ¿ và (O;⃗ i ' ,⃗ j' ,⃗ k ' ) cũng là mục tiêu affine nên ta có công thức đổi mục tiêu là { x=a 1 x ' + a2 x ' + a3 x ' +a 0 y=b 1 x ' +b 2 x' + b3 x ' + b0 z=c1 x ' +c 2 x ' +c 3 x' + c0 . Ma trận của phép đổi hệ tọa độ trên là ( ) ( ) a1 a 2 a3 A= b1 b 2 b3 . c 1 c2 c 3 Và ta có ma trận chuyển vị của A là a1 b1 c 1 A = a 2 b2 c 2 . a3 b3 c 3 T Do (O ; i⃗ , ⃗j , ⃗k ¿ và (O;⃗ i ' ,⃗ j' ,⃗ k ' ) là các hệ tọa độ trực chuẩn nên các điều kiện i⃗ 2 =⃗j 2= ⃗k 2 = 1 và i⃗ . ⃗j = i⃗ . ⃗k = ⃗k . ⃗j = 0 hay { { a 21 +b12+ c12=1 a 1 a 2+ b1 b 2 +c 1 c2 =0 2 2 2 a 2 +b 2+ c 2=1 và a 1 a 3+ b1 b3 +c 1 c3=0 a 2 a 3+ b2 b3 +c 2 c 3=0. a 23 +b32+ c32=1 Theo các điều kiện trên, ta có ( ) 1 0 0 AT A= I 3= 0 1 0 . 0 0 1 Suy ra AT = A−1. 9 Chương 2. NHẬN BIẾT ĐƯỜNG BẬC HAI NHỜ CÁC DẤU HIỆU BẤT BIẾN 2.1 Đường bậc hai trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Giả sử đối với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy, đường bậc hai (C) có phương trình a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a1x + 2a2y + a0 = 0. Khi đó, các vấn đề về giao điểm bậc hai và đường thẳng, tâm, tiếp tuyến, phương tiệm cận, đường tiệm cận và đường kính của đường bậc hai liên hợp với một phương ( khác với phương tiệm cận) được xét hoàn toàn tương tự như đối với đường bậc hai trong mặt phẳng với trục affine. Trong mục này, chỉ xét vấn đề tìm một hệ tọa độ trực chuẩn mới sao cho đối với hệ tọa độ trực chuẩn đó phương trình của (C) đơn giản hơn (dạng chính tắc). Đổi hệ tọa độ từ Oxy thành Ox’y’ với công thức { x= x' cos u− y ' sin u y=x ' sin u+ y' cos u . Ta thu được phương trình của (C) đối với hệ tọa độ Ox'y' như sau: a'11x'2 + 2a'12x'y'+ a'22y'2 + 2a'1x' + 2a'2y' + a'0 = 0, (2.1) trong đó a'11 = a11 cos2 u + 2a12 cos u sin u + a22 sin2 u a'12 = - a11sinucosu + a12cos2u – a12sin2u + a22 sinucosu = 0 a'22 = a11 sin2 u + 2a12 sin u cos u + a22 cos2 u (2.2) ( 2.3) ( 2.4) a'1 = a1cosu + a2sinu ( 2.5) a'2 = - a1sin u + a2cosu ( 2.6) a'0 = a0. ( 2.7) Phương trình ( 2.1) không chứa số hạng chữ nhật x'y' khi và chỉ khi a''12 = 0, tức là a'12 = - a11 sinucosu + a12cos2u – a12sin2u + a22sinucosu 1 2 = (a22 – a11) sin2u + a12cos2u = 0. Suy ra tan2u = 2 a 12 π , nếu a11 = a22 thì ta chọn u = , do đó ta luôn chọn được góc 4 a 11−a 22 u thỏa mãn đẳng thức trên. Biết tan2u ta có thể tìm được sinu, cosu; sau đó thay vào (2.2) - (2.7) ta tìm được 10 các hệ số của phương trình (2.1). Khi đó, phương trình (2.1) có a'12 = 0, hay ta có thể viết a'12 = - ( a11cos u + a12sinu) sinu + (a12cos u + a22sin u) cosu = 0. a 11 cos u+a 12 sinu a cos u+ a 22 sinu = 12 . cos u sinu Suy ra Đặt S= a 11 cos u+a 12 sinu a cosu + a22 sinu = 12 . cos u sinu (2.8) Ta thu được { ( a 11−s ) cosu+ a 12 sinu=0 a 12 cosu + ( a 22−s ) sinu=0. Ta có thể xem hệ trên là một hệ hai phương trình với hai ẩn sinu và cosu. Vì sinu và cosu không thể đồng thời bằng 0 nên hệ có nghiệm khi và chỉ khi | | a11−s a 12 =0 a 12 a 22−s 2 2 hay s −( a11 +a 22 ) s+ a11 a 12−a 12=0. (2.9) Phương trình (2.9) được gọi là phương trình đặc trưng của đường bậc hai (C). Đây là một phương trình bậc hai với ẩn s. Phương trình này luôn có nghiệm vì 2 ∆=( a 11−a 22 ) +4 a12 ≥ 0. Ta xét hai trường hợp (1) ∆ > 0: (2.9) có hai nghiệm thực phân biệt s 1 và s2. Thay các giá trị này vào (2.8), ta suy ra tan u1 = s1−a 11 a 12 s2 −a 11 a 12 = , tan u2 = = . a 12 s1−a 22 a 12 s2 −a 22 Hai phương xác định bởi u1 và u2 trong biểu thức trên được gọi là hai phương chính của đường bậc hai (C). Ta sẽ chứng minh hai phương chính vuông góc với nhau. Ta có tan u1tan u2 = s1 s2 −a 11 ( s 1+ s 2 ) + a112 a 122 . Theo định lý Viét thì s1 + s2 = a11+ a22 và s1s2 = a11a22 – a 212 . 11