Tài liệu Nghiên cứu một lớp bất đẳng thức biến phân chứa số hạng phi tuyến dạng logistic

. BỘ Y TẾ ĐẠI HỌC Y DƢỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CHƢƠNG TRÌNH KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ BÁO CÁO TỔNG HỢP KẾT QUẢ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NGHIÊN CỨU MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN CHỨA SỐ HẠNG PHI TUYẾN DẠNG LOGISTIC Cơ quan chủ trì nhiệm vụ: Khoa Khoa Học Cơ Bản Chủ trì nhiệm vụ: TS.Trần Đình Thanh Thành phố Hồ Chí Minh - 2019 1 . . ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CHƢƠNG TRÌNH KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ BÁO CÁO TỔNG HỢP KẾT QUẢ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NGHIÊN CỨU MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN CHỨA SỐ HẠNG PHI TUYẾN DẠNG LOGISTIC Cơ quan chủ quản Chủ trì nhiệm vụ Cơ quan chủ trì nhiệm vụ 2 . Nguyễn Văn B . CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Tp.Hồ Chí Minh, ngày 03 tháng 05 năm 2019. BÁO CÁO THỐNG KÊ KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC I. THÔNG TIN CHUNG 1. Tên đề tài: Nghiên cứu một lớp bất đẳng thức biến phân chứa số hạng phi tuyến dạng logistic Thuộc lĩnh vực : Nghiên cứu cơ bản 2. Chủ nhiệm nhiệm vụ: Họ và tên: ..Trần Đình Thanh.................................................................. Ngày, tháng, năm sinh: 01-07-1956.................. Nam/ Nữ: .Nam.................. Học hàm, học vị: .Tiến sĩ........................................................ Chức danh khoa học: .Giảng viên chính...................Chức vụ..Giảng viên.... Điện thoại: Tổ chức: ................. Nhà riêng: ................ Mobile:0903639060 Fax: ....................................... E-mail: [email protected].................. Tên tổ chức đang công tác: Đại Học Y Dược Tp.Hồ Chí Minh......................... Địa chỉ tổ chức: 217 Hồng Bàng, Phường 11, Quận , Tp.Hồ Chí Minh................ Địa chỉ nhà riêng: 47/19 Trần Hưng Đạo, Phường 6, Quận 5............................. 3. Tổ chức chủ trì nhiệm vụ(1): Tên tổ chức chủ trì nhiệm vụ: Khoa Khoa Học cơ bản....................................... Điện thoại: . 02839509762....................... Fax: .................................................. E-mail: .................................................................................................... Website: ................................................................................................. 1 Tên Khoa hoặc Trung tâm, đơn vị - nơi quản lý trực tiếp cá nhân làm chủ nhiệm đề tài. 3 . . Địa chỉ: 217 Hồng Bàng, Phường 11, Quận , Tp.Hồ Chí Minh........... 4. Tên cơ quan chủ quản đề tài: Đại học Y Dược thành phố Hồ Chí Minh II. TÌNH HÌNH THỰC HIỆN 1. Thời gian thực hiện nhiệm vụ: - Theo Hợp đồng đã ký kết: từ tháng 6 năm 2017 đến tháng 6 năm 2019 - Thực tế thực hiện: từ tháng 6 năm 2017 .đến tháng 6 năm 2019 - Được gia hạn (nếu có): Không gia hạn Từ tháng…. năm…. đến tháng…. năm…. 2. Kinh phí và sử dụng kinh phí: a) Tổng số kinh phí thực hiện: 0 đồng………………, trong đó: + Kính phí hỗ trợ từ ngân sách khoa học của nhà trường: ………………….tr.đ. + Kinh phí từ các nguồn khác: ……………….tr.đ. b) Tình hình cấp và sử dụng kinh phí từ nguồn ngân sách khoa học: Số TT Theo kế hoạch Thời gian Kinh phí (Tháng, (Tr.đ) năm) Thực tế đạt được Thời gian Kinh phí (Tháng, năm) (Tr.đ) Ghi chú (Số đề nghị quyết toán) 1 2 … c) Kết quả sử dụng kinh phí theo các khoản chi: Đơn vị tính: Triệu đồng Theo kế hoạch Số TT Nội dung các khoản chi 1 Trả công lao động (khoa học, phổ thông) Nguyên, vật liệu, năng lượng Thiết bị, máy móc Xây dựng, sửa chữa nhỏ 2 3 4 Tổng NSKH Nguồn khác 4 . Thực tế đạt được Tổng NSKH Nguồn khác . 5 Chi khác Tổng cộng - Lý do thay đổi (nếu có): 3. Tổ chức phối hợp thực hiện nhiệm vụ: Số TT Tên tổ chức Tên tổ chức đã đăng ký theo tham gia thực Thuyết minh hiện Nội dung tham gia chủ yếu Sản phẩm chủ yếu đạt được Ghi chú* 1 2 ... - Lý do thay đổi (nếu có): 4. Cá nhân tham gia thực hiện nhiệm vụ: (Người tham gia thực hiện đề tài thuộc tổ chức chủ trì và cơ quan phối hợp, không quá 10 người kể cả chủ nhiệm) Số TT Tên cá nhân đăng ký theo Thuyết minh Tên cá nhân đã tham gia thực hiện Nội dung tham gia chính Sản phẩm chủ yếu đạt được Ghi chú* 1 2 ... - Lý do thay đổi ( nếu có): 5. Tình hình hợp tác quốc tế: Số TT Theo kế hoạch (Nội dung, thời gian, kinh phí, địa điểm, tên tổ chức hợp tác, số đoàn, số lượng người tham gia...) Thực tế đạt được (Nội dung, thời gian, kinh phí, địa điểm, tên tổ chức hợp tác, số đoàn, số lượng người tham gia...) Ghi chú* 1 2 ... - Lý do thay đổi (nếu có): 6. Tình hình tổ chức hội thảo, hội nghị: Theo kế hoạch Thực tế đạt được Số (Nội dung, thời gian, kinh (Nội dung, thời gian, TT phí, địa điểm ) kinh phí, địa điểm ) 5 . Ghi chú* . 1 2 ... - Lý do thay đổi (nếu có): 7. Tóm tắt các nội dung, công việc chủ yếu: (Nêu tại mục .....của đề cương, không bao gồm: Hội thảo khoa học, điều tra khảo sát trong nước và nước ngoài) Số TT Các nội dung, công việc chủ yếu (Các mốc đánh giá chủ yếu) Thời gian (Bắt đầu, kết thúc - tháng … năm) Theo kế Thực tế hoạch đạt được Người, cơ quan thực hiện 1 2 ... - Lý do thay đổi (nếu có): III. SẢN PHẨM KH&CN CỦA ĐỀ TÀI 1. Sản phẩm KH&CN đã tạo ra: a) Sản phẩm Dạng I: Tên sản phẩm và Số chỉ tiêu chất lượng TT chủ yếu 1 2 ... Đơn vị đo Số lượng Theo kế hoạch Thực tế đạt được - Lý do thay đổi (nếu có): b) Sản phẩm Dạng II: Số TT Tên sản phẩm Yêu cầu khoa học cần đạt Theo kế Thực tế hoạch đạt được 1 2 ... 6 . Ghi chú . - Lý do thay đổi (nếu có): c) Sản phẩm Dạng III: Số TT Tên sản phẩm Yêu cầu khoa học cần đạt Theo Thực tế kế hoạch đạt được Số lượng, nơi công bố (Tạp chí, nhà xuất bản) 1 2 ... - Lý do thay đổi (nếu có): d) Kết quả đào tạo: Số TT Cấp đào tạo, Chuyên ngành đào tạo 1 2 Tiến sỹ Số lượng Theo kế Thực tế đạt hoạch được 01 01 Ghi chú (Thời gian kết thúc) 2018 - Lý do thay đổi (nếu có): đ) Tình hình đăng ký bảo hộ quyền sở hữu công nghiệp: Số TT Tên sản phẩm đăng ký Kết quả Theo Thực tế kế hoạch đạt được Ghi chú (Thời gian kết thúc) 1 2 ... - Lý do thay đổi (nếu có): e) Thống kê danh mục sản phẩm KHCN đã được ứng dụng vào thực tế Số TT Tên kết quả đã được ứng dụng Thời gian Địa điểm (Ghi rõ tên, địa chỉ nơi ứng dụng) 1 2 7 . Kết quả sơ bộ . 2. Đánh giá về hiệu quả do đề tài mang lại: a) Hiệu quả về khoa học và công nghệ: Bất đẳng thức biến phân chứa số hạng phi tuyến dạng Logistic có ý nghĩa khoa học và thực tiển nó kết hợp hai bài quan trọng là phương trình Logistic suy rộng và các bất đẳng thức biến phân . Kết quả đề tài có được là tiếp tục và mở rộng một số nghiên cứu của các nhà toán học trên thế giới. b) Hiệu quả về kinh tế xã hội: Đây là một kết quả mang ý nghĩa nghiên cứu khoa học, học tập và đào tạo, trước mắt chưa thấy đem đế lợi ích về tiền bạc. 3. Tình hình thực hiện chế độ báo cáo, kiểm tra của đề tài: Số TT I II Nội dung Báo cáo tiến độ Lần 1 Báo cáo giám định giữa kỳ Lần 1 Thời gian thực hiện Ghi chú (Tóm tắt kết quả, kết luận chính, người chủ trì…) 01/06/2017→ 30/12/2017 Thu thập tài liệu liên quan đến đề tài, kiến thức chuẩn bị 01/01/2018→ 30/12/2018 Hoàn thành nội dung đề tài về khâu viết …. Chủ nhiệm đề tài Thủ trƣởng tổ chức chủ trì (Họ tên, chữ ký và đóng dấu) Trần Đình Thanh 8 . . Mục lục Trang bìa 1 Trang phụ bìa 2 Báo cáo thống kê 3 Mục lục 9 Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt 10 Đặt vấn đề 12 Chương 1: Tổng quan 12 Chương 2: Đối tượng và phương pháp nghiên cứu 13 Chương 3: Kết quả 14 Kết luận 20 Tài liệu tham khảo 21 9 . . Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắc Các chữ viết tắc đpcm Điều phải chứng minh. e.g Ví dụ như. i.e Nghĩa là. h.k.n Hầu khắp nơi. Ký hiệu tập hợp N R Tập hợp các số tự nhiên. Tập hợp các số thực. R+ = [0, +∞) Tập hợp các số thực không âm. Ω Tập mở, bị chận có biên trơn trong Rn. Ký hiệu các không gian hàm E Ej Không gian Banach. Đối ngẫu của không gian Banach E. K Nón dương trong không gian Banach. Lp(Ω) Không gian các hàm f đo được và |f |p khả tích trên Ω. L+p (Ω) Tập các hàm không âm trong Lp(Ω). L∞(Ω) Không gian các hàm đo được, thực chất bị chận trên Ω. 10 . . W 1,p(Ω) = {f : Ω → R : f, Df ∈ Lp(Ω)} Không gian các hàm thuộc Lp(Ω) có đạo hàm suy rộng thuộc Lp(Ω). C0∞ (Ω) Không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω.. ∆pu = div(|∇u|p−2∇u) Toán tử p-Laplace. (·, ·) Tích đối ngẫu trong Ej và E. B(a, r) = {x ∈ E : "x − a" < r} Quả cầu mở tâm a bán kính r trong E. θ Phần tử không của các không gian Banach 11 . . ĐẶT VẤN ĐỀ Chƣơng 1: TỔNG QUAN Phương trình Logistic u  a  x  u  b  x  u  trong , u  o trên . (0.0.1) được M.Gutin và R.MacCamy đưa vào nghiên cứu năm 1977 nhằm mô tả sự phát triển của các quần thể sinh học trong tự nhiên. Sau này, phương trình (0.0.1) còn được ứng dụng trong nhiều vấn đề của y học, trong bài toán vận tải. Vì những ứng dụng quan trọng của nó mà phương trình (0.0.1) được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học và được mở rộng theo nhiều hướng khác nhau. Gần đây, phương trình (0.0.1) đã được mở rộng thành dạng _  pu   f  x, u, u   g  x, u  trong , u  0 trên .  trong đó  pu  div u p 2 (0.0.2)  u là toán tử p-Laplace. Trong đề tài này chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm không âm, không tầm thường của bất phương trình biến phân sau đây  ( p ) / ( p ) / u  K , g x, u  L  , f x, u ,  u  L           Au, v  u    f  x, u , u   g  x, u    v  u  dx, v  K ,   trong đó Ω là miền bị chặn có biên trơn trong N (0.0.3) ; f, g là các hàm Carotheodory thỏa mãn các điều kiện bổ sung, A là toán tử p – Laplace Au,   u p 2 u , K là nón các hàm  không âm trong W01, p   . Các tác giả trong [9] xét bài toán sau u  K , F  x, u, u   L( p )/    ,    Au, v  u   F  x, u, u  v  u  dx, v  K ,   12 . (0.0.4) . trong đó F là hàm tăng theo biến thứ hai, giảm theo biến thứ ba, nên (0.0.4) có dạng (0.0.3) với g  x, u   F  x, u, o  là hàm tăng. Các tác giả đã sử dụng một kết quả trong [2] để xây dựng toán tử giải cho một bất đẳng thức biến phân phụ để đưa (0.0.4) về bài toán điểm bất động. Sau đó xây dụng nghiệm dưới và sử dụng một định lý điểm bất động của ánh xạ tăng để chứng minh sự tồn tại nghiệm không tầm thường. Trong dề tài chúng tôi cũng áp dụng phương pháp của [9] để đưa (0.0.3) về bài toán điểm bất động, nhưng áp dụng bậc tô pô trong nón kết hợp với việc đánh giá nghiệm và lý luận về thứ tự để thu được nghiệm không tầm thường. Các kết quả chính của bài toán (0.0.3) là: • Chứng minh bài toán có nghiệm không tầm thường trong trường hợp (p-1) – dưới tuyến tính. • Trong trường hợp (p-1) – tuyến tính bài toán có nghiệm không tầm thường khi 0  1 trong đó 0 là giá trị riêng của toán tử  p với hàm trọng được xác định trong bài toán. Chƣơng 2: ĐỐI TƢỢNG VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 2.1. Bản chất nghiên cứu: Định tính 2.2. Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu khác Đưa về bài toán tìm điểm bất động 2.3. Đối tượng nghiên cứu: - Dân số nghiên cứu Bất phương trình biến phân - Tiêu chuẩn chọn vào Số hạng phi tuyến dạng Logistic - Tiêu chuẩn chọn ra Nghiệm dương của bài toán Khoảng giá trị tham số 2.4. Công cụ và vật liệu nghiên cứu: 2.4.1. Phạm vi nghiên cứu - Sự tồn tại nghiệm dương. 13 . . - Số hạng f là (p-1)-tuyến tính hoặc dưới (p-1) - tuyến tính. - Khoảng giá trị tham số để bài toán có nghiệm. 2.4.2 Cách tiếp cận - Phân tích đánh giá các kết quả và phương pháp nghiên cứu bài toán (2) và bàitoán (3), cải tiến thích hợp để tìm ra phương pháp nghiên cứu (4). 2.4.3. Phương pháp nghiên cứu - Sử dựng một kết quả về bất đẳng thức biến phân để đưa (4) vể bài toán điểm bất động. - Sử dụng và đánh giá nghiệm. - Sử dụng phương pháp bậc tôpô kết hợp với phương pháp sử dụng thứ tự để chứng minh tồn tại điểm bất động. 2.5 Các bước tiến hành nghiên cứu (yêu cầu ít nhất 1 bước): - Bước 1 Thu thập tài liệu có liên quan đề tài - Bước 2 Phân tích dự đoán kết quả - Bước 3 Xây dựng và chứng minh các kết quả. 2.6 Quản lý và phân tích số liệu: - Không có phân tích số liệu Chƣơng 3: KẾT QUẢ 3.1 Giới thiệu bài toán Trong chương này ta xét bài toán bất phương trình biến phân sau. Tìm hàm u thỏa mãn  ( p ) / ( p ) / u  K , g ., u  L  , f ., u ,  u  L           Au, v  u   g ., u  v  u    f ., u , u  v  u  , u  K ,    14 . (3.1.1) . trong đó Ω là một miền bị chặn với biên trơn trong RN , f, g là các hàm Caratheodory thỏa các điều kiện được chỉ ra sau, và Au,   u p 2 u. là toán tử p– Laplace, K là nón các hàm không âm  trong không gian W01, p    . Với các điều kiện dưới đây về hàm f và g thì bài toán đã có nghiệm u(x) ≡ 0 và ta cần tìm nghiệm không âm, không đồng nhất bằng 0. Trường hợp đặc biệt của 3.1.1 khi g là hàm tăng, f không phu thuộc ∇u và là hàm tăng, bài toán đã được nghiên cứu trong [9]. Các tác giả của [9] đã xây dựng toán tử giải của một bất đẳng thức biến phân phụ để đưa bài toán về bài toán điểm bất động, sau đó xây dựng nghiệm dưới và sử dụng một định lý điểm bất động của ánh xạ tăng để chứng minh sự tồn tại của nghiệm không tầm thưòng. Chúng tôi cũng sử dụng phương pháp trong [9] để đưa bài toán 3.1.1 về bài toán điểm bất động và sử dụng bậc tôpô trong nón để chứng minh sự tồn tại của nghiệm u ≥ θ, u ≠ θ. Cụ thể bài toán 3.1.1 có ít nhất một nghiệm trong trường hợp (p − 1) dưới tuyến tính và với λ0 < 1 trong trường hợp (p − 1) – tuyến tính, trong đó λ0 là giá trị riêng chính tương ứng với bài toán giá trị riêng có trọng. Đây cũng là kết qủa chính của chương. 3.2 Đƣa bài toán về bài toán điểm bất động Để đưa bài toán bất đẳng thức biến phân trên về bài toán điểm bất động, ta sử dụng các định lý sau (xem [2]) Định lý 3.2.1 Giả sủ hàm Caratheodory g : Ω × R → R thỏa mãn các điều kiện sau 1. g(x, 0) = 0, u → g(x, u) là hàm tăng, vói x ∈ Ω h.k.n; 2. với mọi t > 0 tồn tại hàm ϕt ∈ L1(Ω) sao cho sup u t g  x, u   t  x  . , Khi đó, với mọi z W 1, p    , bài toán 15 . . u  K , g ., u   L1    ,ug ., u   L1        Au, v  u   g ., u  v  u   z , v  u , v  K  L      (3.2.2) có duy nhất nghiệm u thỏa Au, u   g ., u  u  z, u (3.2.3)  Hơn nữa, nếu u1, u2 là hai nghiệm tương ứng với z1, z2 trong (3.2.2) thì u1g(x, u2), u2g(x, u1) ∈ L1(Ω) và Au1  Au2 , u1  u2    g  x, u1   g  x, u2   z1  z2 ,u1  u2 (3.2.4)  Định lý 3.2.2 [9] Cho u0 W01, p    và µ là một độ đo Radon dương. Giả sử rằng h ∈ L1(Ω) thỏa mãn   h W01, p    , u0   , hu0  v  L1   . / Khi đó, ta có hu0  L1    , u0  L1  ,   và   h, u0   u0d    hu0dx.   Bổ đề 3.2.3 Giả sử u là nghiệm của bài toán (3.2.2) thì với v ∈ K, ta có 1. 2. Au  z,  tu  v   Au  z,  tu  v     g  x, u  tu  v   0, t  0;     g  x, u  tv  u   0 nếu vg  x, u   L1    ;   3. Au  z, v u   g  x, u  v  u   0 và vg  x, u   L1    ;  Bổ đề 3.2.4 Giả sử hàm Caratheodory g thỏa mãn các điều kiện sau  g1 g  x,0  0, và g(x,u) là hàm tăng đối với biến u với h.k.n x ; 16 . .  g 2 tôn tại   p  1 và  )/ b  L( p    sao cho  g  x, u   a u  b  x . Khi đó, với mọi z W 1, p    , bài toán / u  K , g x, u  L( p )/         Au, v  u   g  x, u  v  u   z, v  u , v  K .   (3.2.5) có nghiệm duy nhất. Bổ đề 3.2.5 Giả sử hàm g thỏa mãn các điều kiện (g1), (g2) của Bổ đề 3.2.4, P : W 1, p     W01, p    là ánh xạ cho tương ứng mỗi z W 1, p    với / / P  z   u là nghiệm duy nhất của bài toán (3.2.5). Khi đó, các phát biểu sau là đúng: 1. P là ánh xạ tăng. 2. P liên tục và P(M) bị chặn nếu M bị chặn.   3. Nếu   p / thì P : L     W01, p    là compact. Hệ quả 3.2.6  1. Giả sử rằng   p  1,    p p   / /  p  và m  L    với q    sao cho 1     q  f  x, u, v   m  x  u  c v . Khi đó, toán tử Nemytskij N f từ W01, p    đến L    là  p qp  liên tục và bị chặn với   min  ;  p    q  p    /  1   p 2. Giả sử tồn tại   p  1,   p 1    và m  Lq    với q   1  p   p 1      p   17 . . Sao cho f  x, u, v   m  x  u  1  c v . Khi đó, toán tử Nemytskij N  ppq L    là liên tục và bị chặn với     p  pp   pq   p q    f từ W01, p    đến / Nhận xét 3.2.7 Nếu điều kiện (g1) – (g2) và một trong các điều kiện (1) và (2) của hệ quả 3.2.6 được thỏa thì toán tử P N f là hoàn toàn liên tục từ W01, p    đến W01, p    . Do đó,bài toán (3.1.1) được đưa về bài toán điểm bất động u  P N f  u  của ánh xạ hoàn toàn liên tục. 3.3 Các kết quả chính 3.3.1 Trƣờng hợp dƣới tuyến tính Định lý 3.3.1 Giả sử hàm Caratheodory g thỏa điều kiện (g1) – (g2) và hàm Caratheodory f :  R  R   R thỏa mãn các điều kiện sau /  p  q (H0) Tồn tại   p  1, m  x   L    , q    sao cho 1     0  f  x, u, v   m  x  u  cv . (H1) Ít nhất mợt trong hai điều kiện sau được thỏa a.   p  1.  1  b. ug  x, u   a u 1 ,   1 p. 1 (H2) Tồn tại một tập con mở 0   và các số   0, m0  0, m1  0,1  p  1, 2  1 sao cho f  x, u, v   m0u1 , x 0 , u  0,  , v  R N , g  x, u   m1u 2 . Khi đó, bài toán (3.1.1) có ít nhất một nghiệm không tầm thường. 3.3.2 Trƣờng hợp tuyến tính Trong phần nay ta xét toán tử p- Laplace  p với N  1  p  N 18 . . Định lý 3.3.2 Giả sử điều kiện (g1) – (g2) và các điều kiện dưới đây được thỏa (H3) a. ug  x, u   au 2  b  x  với 2  p, b  L1    , b. g  x, u   au p1 và lim  u 0 g  x, u   0, x . u p1  (H4) 0  f  x, u, v   m  x  u p1  C v , u  0, v  R N với p  1    2  1 p 2  p  và m  Lq    , q    .  p (H5) Tồn tại hàm m1  Lr    , m1  x   0, m1  x   0, r  Np  p  1 p  1  N  sao cho a. Với mọi dãy số tn  0 , un  u1 và mọi dãy bị chặn vn  , thì lim f  x, tnun , tnvn  tnp1 n  m1  x .u p1. b. Giá trị riêng chính 0 của bài toán p 2  u trong ,  pu   m1  x  u  tren ,  u  0 thỏa 0  1. Khi đó, bài toán (3.1.1) có ít nhất một nghiệm dương. Định lý 3.3.3 Giả sử các điều kiện (g1) – (g2), (H3) và (H5) trong định lý 3.3.2 được thỏa, và điều kiện (H4) được thay thế bởi điều kiện sau  (H4’) 0  f  x, u, v   m  x  u p1 1  c v   với   p 1  p  , m  x   L  , q 2 q  p p . p  p     p2  Khi đó, bài toán (3.1.1) có ít nhất một nghiệm dương. 19 . . Kết luận I. Đề tài khảo sát bốn lớp phương trình hoặc bất phương trình chứa số hạng phi tuyến dạng logistic và áp dụng một phương pháp thống nhất để nghiên cứu chúng. Đó là xây dựng toán tử giải của một bài toán phụ để đưa bài toán ban đầu về bài toán điểm bất động, sau đó sử dụng bậc tô pô trong nón, các đánh giá nghiệm và các lý luận về thứ tự để chứng minh sự tồn tại của một hoặc hai nghiệm không âm, không tầm thường của bài toán. Các kết qủa chính của đề tài 1.Đối với phương trình logistic suy rộng chứa đạo hàm, các kết qủa thu được là – Trong trường hợp (p−1)- dưới tuyến tính, bài toán có nghiệm với mọi λ > 0. – Trong trường hợp (p − 1)-tuyến tính, bài toán có nghiệm khi λ > λ0, trong đó λ0 được xác định từ các giá trị riêng chính của bài toán giá trị riêng có trọng liên kết. – Trong trường hợp (p − 1)- trên tuyến tính thì bài toán có ít nhất hai nghiệm khi λ đủ lớn. 2.Đối với bất phương trình logistic, đề tài chứng minh được rằng – Bài toán (p − 1)- dưới tuyến tính luôn có nghiệm. – Bài toán (p − 1)- tuyến tính có nghiệm khi λ0 < 1 vói λ0 là giá trị riêng chính của bài toán giá trị riêng có trọng liên kết. II. Các bài toán trong đề tài có thể được nghiên cứu tiếp theo các hướng 1. Hệ phương trình logistic 2. Xét sự duy nhất nghiệm. 2. Xét dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi tham số λ tiến tới 0 hoặc ∞. 20 .