Tài liệu Luận văn nghiệm dừng của hệ phương trình g navier stokes

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHẠM THỊ THU HƯƠNG NGHIỆM DỪNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHẠM THỊ THU HƯƠNG NGHIỆM DỪNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 8 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS. Đào Trọng Quyết Hà Nội, 2018 Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Các không gian hàm và toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến . . . . . . . . 9 1.3. Một số kết quả về sự tồn tại nghiệm của hệ g-Navier-Stokes hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Chương 2. Nghiệm dừng của hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Nghiệm dừng yếu của hệ phương trình g-Navier-Stokes. . . . 13 13 2.1.1. Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2. Tính ổn định của nghiệm dừng yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Nghiệm dừng mạnh của hệ phương trình g-Navier-Stokes . 19 2.2.1. Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.2. Tính ổn định của nghiệm dừng mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Lời cảm ơn Tác giả xin chân thành cảm ơn TS. Đào Trọng Quyết, người đã chỉ bảo tận tình và cho tác giả những nhận xét quí báu để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này một cách tốt nhất. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo ở Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tận tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu, giúp tác giả hoàn thành luận văn một cách thuận lợi. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, các bạn đồng nghiệp trường THPT Xuân Giang - Hà Nội, đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận văn này. Nhân dịp này tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn động viên, cổ vũ, và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn thành khóa học của mình. Hà Nội, tháng 06 năm 2018 Tác giả Phạm Thị Thu Hương i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Đào Trọng Quyết, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Nghiệm dừng của hệ phương trình g-Navier-Stokes" được hoàn thành bởi chính bản thân tác giả. Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2018 Tác giả Phạm Thị Thu Hương ii Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ, . . . , dưới những điều kiện tương đối tổng quát, và chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng không, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma, . . . . Một trong những lớp hệ phương trình quan trọng trong cơ học chất lỏng là hệ phương trình Navier-Stokes có dạng:    ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (x, t), ∂t   ∇ · u = 0, ở đó u = u(x, t) là hàm vận tốc, p = p(x, t) là hàm áp suất, ν = const > 0 là hệ số nhớt và f là ngoại lực. Mặc dù được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1822, cho đến nay đã có hàng vạn bài báo và sách viết về hệ phương trình Navier-Stokes, tuy nhiên những hiểu biết của chúng ta về nghiệm của hệ phương trình này còn khá khiêm tốn. Do nhu cầu của Khoa học và Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes nói riêng và các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng nói chung ngày càng trở nên thời sự và cấp thiết. Bên cạnh hệ phương trình Navier-Stokes, rất nhiều lớp phương trình 1 và hệ phương trình khác trong cơ học chất lỏng cũng thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học bởi ý nghĩa và tầm quan trọng của chúng, cũng như những khó khăn thách thức về mặt toán học đặt ra khi nghiên cứu chúng. Một số đó là lớp hệ phương trình g-NavierStokes, được đưa ra lần đầu tiên bởi Roh (xem [5, 6]). Hệ phương trình g-Navier-Stokes có dạng:    ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (x, t), ∂t   ∇ · (gu) = 0, ở đó g = g(x) là một hàm số dương, thỏa mãn một số điều kiện cho trước. Như được đề cập trong [5, 6], có hai lí do chính dẫn đến việc nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes: • Thứ nhất, về mặt toán học, hệ phương trình này là một dạng tổng quát của hệ phương trình Navier-Stokes cổ điển, cụ thể khi g = const, ta thu lại được hệ phương trình Navier-Stokes cổ điển. Vì vậy nếu có một kết quả đối với lớp phương trình này, thì chỉ cần cho g = 1, ta sẽ nhận được kết quả tương ứng đối với hệ phương trình Navier-Stokes. Ngược lại, việc chuyển những kết quả đã biết đối với hệ phương trình Navier-Stokes cho hệ phương trình g-Navier-Stokes đặt ra những vấn đề toán học lí thú. • Thứ hai, hệ phương trình g-Navier-Stokes 2 chiều xuất hiện một cách tự nhiên khi nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes 3 chiều trong miền mỏng Ωg = Ω × (0, g), ở đó Ω là một miền trong không gian 2 chiều, và các tính chất tốt của hệ phương trình g-NavierStokes 2 chiều sẽ giúp ích cho việc nghiên cứu hệ phương trình 2 Navier-Stokes trong miền mỏng 3 chiều (xem [5, 6]). Những hiểu biết của chúng ta về nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes trong miền mỏng 3 chiều tốt hơn rất nhiều trong miền 3 chiều tổng quát. Chính vì những lí do trên, lớp hệ phương trình g-Navier-Stokes này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước trong những năm gần đây. Những vấn đề cơ bản đặt ra khi nghiên cứu các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng là: • Sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính qui của nghiệm: Nghiệm ở đây có thể là nghiệm yếu hoặc nghiệm mạnh. Tính chính qui ở đây có thể là tính chính qui theo biến thời gian, hoặc tính chính qui theo biến không gian. • Dáng điệu tiệm cận của nghiệm: Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời gian t ra vô cùng. Khi ngoại lực f “lớn”, chúng ta nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút, đó là một tập compact, bất biến, hút của các tập bị chặn và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của nghiệm; còn khi ngoại lực f “nhỏ” và không phụ thuộc thời gian, chúng ta nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng, tức là nghiệm của bài toán dừng tương ứng, và chứng minh nghiệm của hệ đang xét dần đến nghiệm dừng này khi thời gian t ra vô cùng. Đặc biệt, khi trạng thái của hệ phụ thuộc vào cả quá khứ của nghiệm thì ngoại lực sẽ xuất hiện thêm số hạng chứa trễ. Trong trường hợp ngoại lực “nhỏ”, chứa trễ và không phụ 3 thuộc thời gian, dáng điệu tiệm cận của hệ cũng được nghiên cứu thông qua sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng. Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận rất quan trọng vì nó cho phép dự đoán xu thế phát triển trong tương lai của hệ đang xét, từ đó có những điều chỉnh thích hợp để đạt mục đích mong muốn. Với những lí do được phân tích ở trên, tôi chọn đề tài “Nghiệm dừng của hệ phương trình g-Navier-Stokes” làm luận văn thạc sĩ của mình. Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, được chia thành hai chương: Chương 1 chúng tôi trình bày các không gian hàm, các toán tử dùng để nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes. Chương 2 chúng tôi trình bày một số kết quả về sự tồn tại, tính duy nhất cũng như tính ổn định của nghiệm dừng yếu và nghiệm dừng mạnh của hệ phương trình g-Navier-Stokes. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu các kết quả về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng yếu và nghiệm dừng mạnh của hệ phương trình g-NavierStokes. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất của nghiệm dừng; 4 • Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm dừng đối với hệ phương trình g-Navier-Stokes. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Nghiệm dừng (yếu, mạnh) của hệ phương trình g-Navier-Stokes. • Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều, lí thuyết hệ g-Navier-Stokes. 6. Đóng góp của luận văn Luận văn trình bày được các kết quả về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng yếu trong trường hợp miền Ω có thể không bị chặn và các kết quả về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng mạnh trong trường hợp miền Ω là bị chặn của hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều trong [1, 4]. Luận văn là một cuốn tài liệu tham khảo tốt về nghiệm dừng của hệ g-Navier-Stokes hai chiều. 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày các không gian hàm, các toán tử cần dùng để nghiên cứu hệ g-Navier-Stokes, cũng như trình bày một số kết quả bổ trợ và một số bất đẳng thức thường dùng để sử dụng trong chương sau của luận văn. Các kết quả của chương này chủ yếu dựa theo các tài liệu tham khảo [1, 2, 4, 7]. 1.1. Các không gian hàm và toán tử Xét hệ g-Navier-Stokes hai chiều có dạng  ∂u    − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (x, t), trong (0, ∞) × Ω,   ∂t      ∇ · (gu) = 0, trong (0, ∞) × Ω,           u(x, t) = 0, trên (0, ∞) × ∂Ω, u(x, 0) = u0 (x), trên Ω, (1.1) ở đó Ω là miền có thể không bị chặn trong R2 , nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré, tức là tồn lại λ1 > 0 sao cho Z Z 1 2 φ g dx ≤ |∇φ|2 g dx, ∀φ ∈ H01 (Ω). λ1 Ω Ω 6 (1.2) Hàm f thỏa mãn điều kiện f ∈ L2loc (R; Vg0 ) sao cho Z0 eσs kf (s)k2∗ ds < +∞, (1.3) −∞ 1/2 ở đó σ < 2νλ1 γ0 là hằng số cố định và γ0 = 1 − |∇g|∞ /(m0 λ1 ) > 0. Như trong [1, 4], chúng ta cần giả thiết hàm g thỏa mãn điều kiện sau: g ∈ W 1,∞ sao cho 0 < m0 ≤ g(x) ≤ M0 với mọi x = (x1 , x2 ) ∈ Ω và |∇g|∞ < 1/2 m0 λ1 , (G) ở đó λ1 là giá trị riêng đầu tiên của toán tử A (xem phần các toán tử dưới đây). • Các không gian hàm Để nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes, chúng ta dùng các không gian hàm L2 (Ω, g) = (L2 (Ω))2 H01 (Ω, g) = (H01 (Ω))2 và với tích vô hướng tương ứng là Z (u, v)g = u · v g dx, u, v ∈ L2 (Ω, g) (1.4) Ω và ((u, v))g = Z X 2 Ω ∇uj · ∇vj g dx, j=1 ở đó u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 ) ∈ H01 (Ω, g), và chuẩn tương ứng là |u|2 = (u, u)g kuk2 = ((u, u))g . và 7 (1.5) Từ giả thiết (G) của hàm g, ta thấy chuẩn | · | và k · k tương đương với chuẩn thông thường trong (L2 (Ω))2 và trong (H01 (Ω))2 . Đặt n o 2 ∞ V = u ∈ (C0 (Ω)) : ∇ · (gu) = 0 . (1.6) Ký hiệu Hg là bao đóng của V trong L2 (Ω, g), và Vg là bao đóng của V trong H01 (Ω, g). Dễ thấy Vg ⊂ Hg ≡ Hg0 ⊂ Vg0 trong đó các phép nhúng trù mật và liên tục. Ta dùng ký hiệu k · k∗ là chuẩn trong Vg0 , và h·, ·i là cặp đối ngẫu giữa Vg và Vg0 . Ta thấy rằng các không gian trên đều là không gian Hilbert. • Các toán tử Ta định nghĩa các toán tử liên quan đến hệ g-Navier-Stokes như sau. Đặt A : Vg −→ Vg0 là toán tử xác định bởi hAu, vi = ((u, v))g . Kí hiệu D(A) = {u ∈ Vg : Au ∈ Hg } , thì D(A) = H 2 (Ω, g) ∩ Vg và Au = −Pg ∆u, ∀u ∈ D(A), trong đó Pg là toán tử chiếu trực giao từ L2 (Ω, g) xuống Hg . Đặt B : Vg × Vg −→ Vg0 là toán tử xác định bởi hB(u, v), wi = b(u, v, w), 8 trong đó b(u, v, w) = 2 Z X j,k=1 uj w ∂vk wk g dx. ∂xj (1.7) Ta thấy nếu u, v, w ∈ Vg , thì b(u, v, w) = −b(u, w, v). (1.8) Do đó b(u, v, v) = 0, ∀u, v ∈ Vg . Đặt C : Vg −→ Hg là toán tử xác định bởi      ∇g ∇g .∇ u, v = b , u, v , (Cu, v)g = g g g (1.9) ∀v ∈ Vg . (1.10) Vì 1 − (∇ · g∇)u = −∆u − g   ∇g · ∇ u, g (1.11) nên ta có   ∇g · ∇ u, v (−∆u, v)g = ((u, v))g + g   g ∇g = (Au, v)g + · ∇ u, v , ∀u, v ∈ Vg . g g  (1.12) 1.2. Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến Trước hết ta nhắc lại bất đẳng thức Hölder kuvkL2 (Ω) ≤ kukL2 (Ω) kvkL2 (Ω) , ∀u, v ∈ L2 (Ω), và bất đẳng thức Ladyzhenskaya trong trường hợp n = 2, |u|L4 (Ω) ≤ c|u|1/2 |∇u|1/2 , 9 ∀u ∈ H01 (Ω). (1.13) Khi đó, nhờ sử dụng bất đẳng thức Hölder, bất đẳng thức Ladyzhenskaya và bất đẳng thức nội suy, như trong [7], ta có Bổ đề 1.1. Nếu n = 2, thì |b(u, v, w)|     c1 |u|1/2 kuk1/2 kvk|w|1/2 kwk1/2 , ∀u, v, w ∈ Vg ,       c2 |u|1/2 kuk1/2 kvk1/2 |Av|1/2 |w|, ∀u ∈ Vg , v ∈ D(A), w ∈ Hg , ≤    c3 |u|1/2 |Au|1/2 kvk|w|, ∀u ∈ D(A), v ∈ Vg , w ∈ Hg ,       c4 |u|kvk|w|1/2 |w|1/2 |Aw|1/2 , ∀u ∈ Hg , v ∈ Vg , w ∈ D(A), (1.14) trong đó ci , i = 1, . . . , 4 là các hằng số phù hợp. Bổ đề 1.2 ([3]). Cho u ∈ L2 (τ, T ; Vg ). Khi đó hàm Bu xác định bởi hBu(t), vi = b(u(t), u(t), v), ∀v ∈ Vg , h.k t ∈ [τ, T ] , (1.15) thuộc L2 (τ, T, Vg0 ). Bổ đề 1.3. Cho u ∈ L2 (0, T ; D(A)) ∩ L∞ (0, T ; Vg ). Khi đó hàm Bu xác định bởi hBu(t), vi = b(u(t), u(t), v), ∀v ∈ Hg , h.k t ∈ [0, T ] , (1.16) thuộc L4 (0, T ; Hg ), bởi vậy cũng thuộc L2 (0, T ; Hg ). Chứng minh. Từ Bổ đề 1.1, với hầu khắp t ∈ [0, T ], ta có |Bu(t)| ≤ c3 |u(t)|1/2 |Au(t)|1/2 ku(t)k ≤ c,3 ku(t)k3/2 |Au(t)|1/2 < +∞. (1.17) 10 Do đó, ZT |Bu(t)|4 dt ≤ c03 0 ZT ku(t)k6 |Au(t)|2 dt (1.18) 0 ≤ ckuk6L∞ (0,T,Vg ) T Z |Au(t)|2 dt < +∞. 0 Bổ đề 1.4 ([3]). Cho u ∈ L2 (τ, T ; Vg ). Khi đó hàm Cu xác định bởi     
∇g ∇g Cu(t), v g = · ∇ u, v = b , u, v , ∀v ∈ Vg , (1.19) g g g thuộc L2 (τ, T ; Hg ), và do đó cũng thuộc L2 (τ, T ; Vg0 ). Hơn nữa |Cu(t)| ≤ |∇g|∞ ku(t)k, h.k t ∈ (τ, T ), m0 (1.20) và kCu(t)k∗ ≤ |∇g|∞ 1/2 ku(t)k, h.k t ∈ (τ, T ). (1.21) m0 λ1 1.3. Một số kết quả về sự tồn tại nghiệm của hệ gNavier-Stokes hai chiều Để thuận tiện cho việc trình bày các kết quả đối với nghiệm dừng ở chương sau, chúng tôi trình bày lại một số kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ g-Navier-Stokes hai chiều trong [1, 2, 4]. Trước hết ta nhắc lại các định nghĩa về nghiệm của bài toán (1.1). Định nghĩa 1.1 ([1]). Một hàm u được gọi là nghiệm yếu của bài toán (1.1) trên khoảng (τ, T ) nếu u ∈ L∞ (τ, T ; Hg ) ∩ L2 (τ, T ; Vg ), với 11 u(τ ) = u0 và thỏa mãn đẳng thức sau với h.k t ∈ (τ, T ), d u(t) + νAu(t) + B(u(t), u(t)) + νCu(t) = f (t) trong Vg0 . dt Định nghĩa 1.2 ([2]). Cho f ∈ L2 (0, T ; Hg ) và u0 ∈ Vg , một nghiệm mạnh trên khoảng (0, T ) của bài toán (1.1) là một hàm u ∈ L2 (0, T ; D(A))∩ L∞ (0, T ; Vg ) với u(0) = u0 và thỏa mãn đẳng thức sau với h.k t ∈ (0, T ), d u(t) + νAu(t) + B(u(t), u(t)) + νCu(t) = f (t) trong Vg . dt Ta có các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu và nghiệm mạnh của bài toán (1.1) qua các định lí sau. Định lí 1.1 ([1]). Giả sử cho trước u0 ∈ Hg . Nếu các bất đẳng thức (1.2)(1.3) và giả thiết (G) là đúng, thì với bất kì τ ∈ R và T > τ cho trước, bài toán (1.1) có duy nhất nghiệm yếu u trên (τ, T ). Hơn nữa, nghiệm là phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu và ta có đánh giá e−σt |u(t)|2 ≤ e−σ(t−τ ) |u0 |2 + 2ν Zt eσs kf (s)k2∗ ds, −∞ trong đó  > 0 sao cho σ = 2νλ1 (γ0 − ). Định lí 1.2 ([2]). Giả sử rằng f ∈ L2loc (0, ∞; Hg ) và u0 ∈ Vg cho trước. Khi đó, với bất kì T > 0 tồn tại duy nhất nghiệm mạnh u của bài toán (1.1) trên (0, T ). Hơn nữa, ánh xạ u0 7−→ u(t) là liên tục trên Vg với mọi t ∈ [0, T ], tức là nghiệm mạnh phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu. 12 Chương 2 Nghiệm dừng của hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều Trong chương này chúng tôi nghiên cứu nghiệm dừng yếu và nghiệm dừng mạnh của hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều (1.1), tức là nghiên cứu nghiệm yếu và nghiệm mạnh    −ν∆u + (u · ∇)u + ∇p     ∇ · (gu)      u(x) của bài toán dừng tương ứng: = f, x ∈ Ω, = 0, x ∈ Ω, = 0, x ∈ ∂Ω. (2.1) Phần đầu chương chúng tôi trình bày các kết quả về sự tồn tại nghiệm dừng yếu, tính duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng yếu. Phần tiếp đó, chúng tôi trình bày các kết quả về sự tồn tại nghiệm dừng mạnh, cũng như tính duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng mạnh. 2.1. Nghiệm dừng yếu của hệ phương trình g-NavierStokes Trong mục này, miền Ω được xét có thể là không bị chặn nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré (1.2), điều kiện (1.3) và giả thiết (G) của hàm g. Phần này được viết dựa trên tài liệu tham khảo [1]. 13 2.1.1. Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng yếu Trước hết ta có định nghĩa về nghiệm dừng yếu của bài toán (1.1) như sau. Định nghĩa 2.1. Cho trước f ∈ Vg0 , một nghiệm dừng yếu của bài toán (1.1) là một hàm u ∈ Vg thỏa mãn ν((u, v))g + b(u, u, v) = hf, vi (2.2) với mọi hàm thử v ∈ Vg . Ta có kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm dừng yếu của bài toán (1.1) qua định lí sau. Định lí 2.1. Với mỗi f ∈ Vg0 , tồn tại ít nhất một nghiệm dừng yếu của bài toán (1.1). Hơn nữa, nếu f ∈ Hg , thì tất cả các nghiệm dừng yếu thuộc D(A). Nếu điều kiện sau được thỏa mãn  2 |∇g|∞ c1 2 kf k∗ ν 1− > 1/2 1/2 m0 λ1 λ1 (2.3) với c1 là hằng số trong Bổ đề 1.1, thì nghiệm dừng yếu của bài toán (1.1) là duy nhất. Chứng minh. Xét một cơ sở trực giao {wj }∞ j=1 ⊂ V của Hg gồm các hàm riêng của toán tử Stokes trong Ω với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất. Không gian con của Vg được sinh bởi w1 , ..., wm sẽ được kí hiệu là Vm . Xét phép chiếu Pm : Hg → Vm 14 xác định bởi Pm u = m X (u, wi )g wi i=1 và ta đặt m u = m X γmi wi , i=1 trong đó ν((um , wi )) + νb( ∇g m , u , wi ) + b(um , um , wi ) = hf, wi i g (2.4) với mọi v trong Vm . Phương trình (2.4) cũng tương đương với νAum + Pm Bum + νPm Cum = Pm f. (2.5) Sự tồn tại nghiệm xấp xỉ um của (2.4) được đảm bảo nhờ định lí điểm bất động Brouwer như trong trường hợp nghiệm dừng của hệ phương trình Navier-Stokes [7, p.164]. Ta lấy v = um trong (2.4) và do (2.2), nên ta có νkum (t)k2 = hf, um i − νb( ∇g m m |∇g|∞ m 2 , u , u ) ≤ kf k∗ kum k + ν ku k . 1/2 g m0 λ 1 Do đó, ν(1 − |∇g|∞ 1/2 m0 λ1 )kum k ≤ kf k∗ . (2.6) Hay dãy {um } là dãy bị chặn trong Vg . Do đó, ta có thể trích ra từ {um } 0 một dãy um hội tụ yếu trong Vg tới một giới hạn u. Vì miền Ω là bị chặn, nên nhờ phép nhúng Vg vào Hg là compact, ta có 0 um * u trong Vg và 0 um → u trong Hg 15