Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán 8

phßng GD-®t bè tr¹ch §Ò giíi thiÖu sè b¸o danh §Ò thi häc sinh giái M«n to¸n líp 9 - N¨m häc: 2009 - 2010 Thêi gian lµm bµi: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Ngêi ra ®Ò: Mai V¨n Phó. §Ò ra: Bµi 1( 1,0 ®iÓm): Cho bèn sè nguyªn d¬ng a, b, c vµ d tháa m¶n a2 + b2 = c2 + d2 Chøng minh r»ng a + b + c + d lµ hîp sè. Bµi 2(1,0 ®iÓm): Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n th× sè: A = n 3 . n 2  7  2  36.n chia hÕt cho 420 Bµi 3(2,0 ®iÓm): T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña a + b + c + d biÕt r»ng : a, b, c, d tháa m¶n : 13  2ac  2bd  3b 2  3c 2 2 2  ad  a 2  d 2 Bµi 4(2,0 ®iÓm): T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã ®é dµi c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d¬ng vµ hai lÇn sè ®o diÖn tÝch b»ng ba lÇn sè ®o chu vi. Bµi 5 (4 ®iÓm): Cho M lµ ®iÓm bÊt kú trªn ®o¹n th¼ng AB. VÏ vÒ mét phÝa cña AB c¸c h×nh vu«ng AMCD, BMEF. a/ Chøng minh r»ng AE vu«ng gãc víi BC. b/ Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ BC. Chøng minh r»ng ba ®iÓm D, H, F th¼ng hµng. c/ Chøng minh r»ng ®êng th¼ng DF lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi M chuyÓn ®éng trªn ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh. *C¸c tµi liÖu tham kh¶o: TuyÓn tËp to¸n chän läc THCS TuyÓn tËp ®Ò thi to¸n THCS Chuyªn ®Ò båi dìng HSG To¸n C¸c bµi to¸n hay ®¹i sè 8, h×nh häc 8 TuyÓn c¸c bé ®Ò chuyªn, chän, HSG phßng GD-®t bè tr¹ch §Ò giíi thiÖu Bµi/ Tæng ®iÓm Híng dÉn chÊm thi hsg - N¨m häc: 2009 - 2010 M«n to¸n líp 9 Tãm t¾t néi dung §iÓm Chi tiÕt Víi mäi sè nguyªn n th× n2 - n = n(n - 1) lµ sè ch½n. Do ®ã a2 + b2 + c2 + d2 - (a + b + c + d) lµ sè ch½n. V× a2 + b2 = c2 + d2 suy ra a2 + b2 + c2 + d2 = 2 (a2 + b2) lµ sè ch½n. Bµi1 (1 ®iÓm): VËy a + b + c + d lµ sè ch½n. V× a, b, c, d  Z+ nªn a + b + c + d lµ hîp sè 0,25 0,25 0,25 0,25 BiÕn ®æi A vÒ d¹ng: A= (n - 3).(n - 2).(n - 1).n.(n + 1).(n + 2).(n + 3) 0,50 Ta biÕt r»ng tÝch cña n sè nguyªn liªn tiÕp lu«n t×m ®îc mét sè chia Bµi 2 0,25 (1 ®iÓm): hÕt cho n. V× thÕ A lu«n chia hÕt cho 5, cho 6, cho 7. C¸c sè nµy ®«i mét nguyªn tè cïng nhau nªn A chia hÕt cho (5.6.7) = 420. 0,25 13  2ac  2bd  3b 2  3c 2 2 2  ad  a 2  d 2 V× mäi a vµ d. Bµi 3 (2 ®iÓm): Tõ 13  2ac  2bd  3b 2  3c 2 2 , 2  ad  a 2  d 2 d 3 2  ad  a 2  d 2 (a  ) 2  d 2  2 > 2 4 0,25 ta cã: 0,75 0,25 0,25  a  b  c  d  2   a  b  2   b  c  2   c  d  2 9 V×  a  b  2  0;  b  c  2  0 ;  c  d  2  0 Do ®ã:  a  b  c  d  2 9 nªn a  b  c  d 3 VËy max(a + b + c + d) = 3 khi a = b = c = d = min(a + b + c + d) = -3 khi a = b = c = d = 3 4 -3 4 0,25 0,25 Gäi x, y, z lÇn lît lµ sè ®o c¸c c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn 0,25 cña tam gi¸c. Theo bµi ra ta cã hÖ ph¬ng tr×nh   0,75     Rót z tõ (2) ta cã: 3z = xy - 3x - 3y, Khi ®ã: 9z2 = (xy - 3x - 3y)2 vµ tõ (1) ta cã: 9z2 = 9x2 + 9y2 Suy ra: (xy - 3x - 3y)2 = 9x2 + 9y2 BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh nµy, cuèi cïng ®îc: (x - 6)(y - 6) = 18 0,5 Do x, y nguyªn d¬ng nªn (x - 6)  -5; (y - 6)  -5 XÐt c¸c trêng hîp x¶y ra ta cã c¸c c¹nh cña tam gi¸c vu«ng tho¶ m·n ®Ò bµi lµ (7; 24; 25), (18; 15; 17) vµ (9; 12; 0,5 15) x 2  y 2 z 2   xy 3 x  y  z Bµi 4 (2®iÓm) 0 víi 1 2 D C Bµi 5 (4 ®iÓm): H I F VÎ h×nh, ®óng rá: 0,5 E O A a/( 1®iÓm) XÐt tam gi¸c CAB cã: CM  AB, BE AC (v× BE MF, MF//AC) suy ra AE BC. OO O’ I’ M b/(1®iÓm) Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ DM. V×  AHC = 90 (C©ua), nªn OH= AC  OH  DM  GãcMHD = 90 0 2 2 (1) Chøng minh t¬ng tù gãc MHF = 90 0 Tõ (1) vµ (2) suy ra: H, D, F th¼ng hµng. B 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0 0,25 (2) 0,25 0,5 c/ (1,5 ®iÓm) Gäi I lµ giao ®iÓm cña DF vµ AC. Tam gi¸c DMF cã DO= MO, OI// MF nªn I lµ trung ®iÓm cña DF. 0,5 KÎ I I’ AB th× I’ lµ trung ®iÓm cña AB vµ 0,5 I I’ = AD  BF  AM  MB  AB 2 2 2 Do ®ã I lµ ®iÓm cè ®Þnh: I n»m trªn ®êng trung trùc cña AB vµ c¸ch AB mét kho¶ng b»ng AB . 2 Lu ý : - - NÕu häc sinh gi¶i theo c¸ch kh¸c vµ ®óng th× vÉn cho ®iÓm tèi ®a. NÕu häc sinh kh«ng vÏ h×nh hoÆc vÏ h×nh sai kh«ng chÊm ®iÓm bµi h×nh. Häc sinh lµm sai ®Ò so víi ®Ò th× kh«ng chÊm ®iÓm bµi ®ã.