Đăng ký Đăng nhập

Tài liệu 60 đề thi học sinh giỏi toán 8

.DOC
47
2616
74

Mô tả:

§Ò thi HsG to¸n 8 ®Ò sè 1 C©u 1: 2 2 2 a 2  (b  c) 2 Cho x = b  c  a ; y = 2 2 (b  c)  a 2bc TÝnh gi¸ trÞ P = x + y + xy C©u 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1 1 1 1 a, = +b+ ab x a x (x lµ Èn sè) 2 2 2 b, (b  c)(1 2 a) + (c  a)(1 2 b) + (a  b)(1 2 c) = 0 xa xb xc (a,b,c lµ h»ng sè vµ ®«i mét kh¸c nhau) C©u 3: X¸c ®Þnh c¸c sè a, b biÕt: (3 x  1) = a 3+ b 2 3 ( x  1) ( x  1) ( x  1) C©u 4: Chøng minh ph¬ng tr×nh: 2x2 – 4y = 10 kh«ng cã nghiÖm nguyªn. C©u 5: Cho  ABC; AB = 3AC TÝnh tû sè ®êng cao xuÊt ph¸t tõ B vµ C §Ò sè 2 C©u 1: Cho a,b,c tho¶ m·n: abc bca ca b = = c a b b a c b TÝnh gi¸ trÞ M = (1 + )(1 + )(1 + a ) c NguyÔn §øc Long - Trêng THCS Cao X¸ - T©n yªn §Ò thi HsG to¸n 8 C©u 2: X¸c ®Þnh a, b ®Ó f(x) = 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x +2 Chia hÕt cho y(x) = x2 – x + b C©u 3: Gi¶i PT: a, (x-4) (x-5) (x-6) (x-7) = 1680. b, 4x2 + 4y – 4xy +5y2 + 1 = 0 C©u 4: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña ph©n sè mµ tö sè lµ mét sè cã 3 ch÷ sè mµ mÉu lµ tæng c¸c ch÷ sè cña nã. C©u 5: Cho  ABC c©n t¹i A, trªn AB lÊy D, trªn AC lÊy E sao cho: AD = EC = DE = CB. a, NÕu AB > 2BC. TÝnh gãc �A cña VABC b, NÕu AB < BC. TÝnh gãc �A cña VHBC . ----------------------- hÕt ---------------------- ®Ò sè 3 C©u 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: a, a3 + b3 + c3 – 3abc b, (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3 C©u 2: 2 2 �1  x 3 � 1  x3 (  x)(  x) � Cho A = x(1  x2 ) : � �1  x 1 x 1 x � a, Rót gän A b, T×m A khi x= - 1 2 c, T×m x ®Ó 2A = 1 C©u 3: a, Cho x+y+z = 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = x2 + y2 + z2 NguyÔn §øc Long - Trêng THCS Cao X¸ - T©n yªn §Ò thi HsG to¸n 8 x b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P = ( x  10) 2 C©u 4: a, Cho a,b,c > 0, CMR: a b c + + <2 ab bc ca b, Cho x,y �0 CMR: 1< x y x2 y 2 + 2 � + 2 y x y x C©u 5: Cho VABC ®Òu cã ®é dµi c¹nh lµ a, kÐo dµi BC mét ®o¹n CM =a a, TÝnh sè ®o c¸c gãc VACM b, CMR: AM  AB c, KÐo dµi CA ®o¹n AN = a, kÐo dµi AB ®o¹n BP = a. CMR VMNP ®Òu. ®Ò sè 4 C©u 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: a, a8 + a4 +1 b, a10 + a5 +1 C©u 2: a, Cho a+b+c = 0, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A= 1 1 1 + 2 2 2 + 2 2 2 2 2 b c a c a b a b c 2 b, Cho biÓu thøc: M = 2 x 3 x  2 x  15 2 + Rót gän M + T×m x �Z ®Ó M ®¹t gi¸ trÞ nguyªn. C©u 3: a, Cho abc = 1 vµ a3 > 36, 2 CMR: a + b2 + c2 > ab + bc + ca 3 b, CMR: a2 + b2 +1 �ab + a + b C©u 4: a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = 2x2 + 2xy + y2 - 2x + 2y +1 NguyÔn §øc Long - Trêng THCS Cao X¸ - T©n yªn §Ò thi HsG to¸n 8 b, Cho a+b+c= 1, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt P = a3 + b3 + c3 + a2(b+c) + b2(c+a) + c2(a+b) C©u 5: a, T×m x,y,x �Z biÕt: x2 + 2y2 + z2 - 2xy – 2y + 2z +2 = 0 b, T×m nghiÖm nguyªn cña PT: 6x + 15y + 10z = 3 C©u 6: Cho VABC . H lµ trùc t©m, ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i B, víi AC t¹i C c¾t nhau t¹i D. a, CMR: Tø gi¸c BDCH lµ h×nh b×nh hµnh. � cña tø gi¸c ABDC. b, NhËn xÐt mèi quan hÖ gi÷a gãc �A vµ D §Ò sè 5 C©u 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2 b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1 C©u 2: a, Cho a, b, c tho¶ m·n: a+b+c = 0 vµ a2 + b2 + c2= 14. TÝnh gi¸ trÞ cña A = a4+ b4+ c4 b, Cho a, b, c �0. TÝnh gi¸ trÞ cña D = x2003 + y2003 + z2003 2 2 2 2 2 2 BiÕt x,y,z tho¶ m·n: x 2  y 2  z2 = x 2 + y2 + z 2 a b c a b c C©u 3: a, Cho a,b > 0, CMR: 1 1 4 + � a b ab b, Cho a,b,c,d > 0 CMR: ad d b bc ca + + + �0 d b bc ca ad C©u 4: a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt: E = x 2  xy  y 2 víi x,y > 0 x 2  xy  y 2 b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt: M = x víi x > 0 ( x  1995) 2 C©u 5: a, T×m nghiÖm �Z cña PT: xy – 4x = 35 – 5y b, T×m nghiÖm �Z cña PT: x2 + x + 6 = y2 C©u 6: NguyÔn §øc Long - Trêng THCS Cao X¸ - T©n yªn §Ò thi HsG to¸n 8 Cho VABC M lµ mét ®iÓm � miÒn trong cña VABC . D, E, F lµ trung ®iÓm AB, AC, BC; A’, B’, C’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua F, E, D. a, CMR: AB’A’B lµ h×nh b×nh hµnh. b, CMR: CC’ ®i qua trung ®iÓm cña AA’ §Ò sè 6 C©u 1: Cho a 169 27 13 = vµ 2 = x y (x  z) ( z  y )(2 x  y  z ) xz 3 2 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A = 2a  12a  17a  2 a2 C©u 2: Cho x2 – x = 3, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 2 C©u 3: a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = x(x+1)(x+2)(x+3) b, Cho x,y > 0 vµ x + y = 0, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña N = 1 1 + x y C©u 4: a, Cho 0 �a, b, c �1 CMR: a2 + b2 + c2 �1+ a2b + b2c + c2a b, Cho 0 0 vµ xyz = 1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt A = 1 1 1 + 3 3 + 3 3 3 x  y 1 y  z 1 z  x 1 3 C©u 3: Cho M = a5 – 5a3 +4a víi a �Z a, Ph©n tÝch M thµnh nh©n tö. b, CMR: M M120  a�Z C©u 4: Cho N �1, n �N a, CMR: 1+ 2+ 3+....+n = n(n  1) 2 b, CMR: 12 +22 + 32 +......+n2 = n(n  1)(2 n  1) 6 C©u 5: T×m nghiÖm nguyªn cña PT: x2 = y(y+1)(y+2)(y+3) C©u 6: 2 2 Gi¶i BPT: x  2 x  2 > x  4 x  5 - 1 x 1 x2 C©u 7: Cho 0 �a, b, c �2 vµ a+b+c = 3 CMR: a2 + b2 + c2 �5 C©u 8: Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã chiÒu dµi BC gÊp 2 lÇn chiÒu réng CD, tõ C kÎ Cx t¹o víi CD mét gãc 150 c¾t AD t¹i E CMR: VBCE c©n. ®Ò sè 8 C©u 1: Cho A = n3  2n 2  1 n3  2n 2  2n  1 a, Rót gän A b, NÕu n�Z th× A lµ ph©n sè tèi gi¶n. C©u 2: Cho x, y > 0 vµ x+y = 1 NguyÔn §øc Long - Trêng THCS Cao X¸ - T©n yªn §Ò thi HsG to¸n 8 1 1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P = (1 - 2 )(1 - 2 ) y x C©u 3: a, Cho a, b ,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña 1 tam gi¸c CMR: a2 + b2 + c2 < 2(ab+bc+ca) b, Cho 0 �a, b , c �1 CMR: a + b2 +c3 – ab – bc – ca �1 C©u 4: T×m x, y, z biÕt: x+y–z = y+z-x = z+x-y = xyz C©u 5: Cho n�Z vµ n �1 2 2 CMR: 13 + 23 +33 +......+n3 = n  (n  1) 4 C©u 6: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: (x-1)(3x+2) > 3x(x+2) + 5 C©u 7: Chia tËp N thµnh c¸c nhãm: 1; (2,3); (4,5,6)....., nhãm n gåm n sè h¹ng. TÝnh tæng c¸c sè trong nhãm 94. C©u 8: Cho h×nh vu«ng ABCD. M, N lµ trung ®iÓm AB, BC, K lµ giao ®iÓm cña CM vµ DN CMR: AK = BC ®Ò sè 9 C©u 1: Cho M = 2 2 2 a b c + + ;N= a + b + c bc ac ab bc ac ab a, CMR: NÕu M = 1 th× N = 0 b, NÕu N = 0 th× cã nhÊt thiÕt M = 1 kh«ng? C©u 2: Cho a, b, c > 0 vµ a+b+c = 2 2 2 2 CMR: a + b + c bc ac ab �1 C©u 3: Cho x, y, z �0 vµ x + 5y = 1999; 2x + 3z = 9998 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña M = x + y + z C©u 4: a, T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó x2 – 2x -14 lµ sè chÝnh ph¬ng. NguyÔn §øc Long - Trêng THCS Cao X¸ - T©n yªn §Ò thi HsG to¸n 8 ab b, T×m c¸c sè ab sao cho lµ sè nguyªn tè a b C©u 5: Cho a, b, c, d lµ c¸c s« nguyªn d¬ng CMR: A = a b c d + + + kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn. abc abd bcd acd C©u 6: Cho VABC c©n (AB=AC) trªn AB lÊy ®iÓm M, trªn phÇn kÐo dµi cña AC vÒ phÝa C lÊy ®iÓm N sao cho: BM = CN, vÏ h×nh b×nh hµnh BMNP CMR: BC  PC C©u 7: Cho x, y tho¶ m·n: 2x2 + 1 y2 + = 4 (x �0) x2 4 T×m x, y ®Ó xy ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ®Ò sè 10 C©u 1: Cho a, b, c > 0 vµ P= a3 b3 c3 + + a 2  ab  b 2 b 2  bc  c 2 c 2  ac  a 2 Q= b3 c3 a3 + + a 2  ab  b 2 b 2  bc  c 2 c 2  ac  a 2 a, CMR: P = Q b, CMR: P � abc 3 C©u 2: Cho a, b, c tho¶ m·n a2 + b2 + c2 = 1 CMR: abc + 2(1+a+b+c+ab+bc+ca) �0 C©u 3: CMR  x, y�Z th×: A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 lµ sè chÝnh ph¬ng. C©u 4: a, T×m sè tù nhiªn m, n sao cho: m2 + n2 = m + n + 8 b, T×m sè nguyªn nghiÖm ®óng: 4x2y = (x2+1)(x2+y2) C©u 5: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = 4x  3 x2  1 NguyÔn §øc Long - Trêng THCS Cao X¸ - T©n yªn §Ò thi HsG to¸n 8 C©u 6: a 2  (b  c) 2 b2  c 2  a 2 Cho x = ;y= (b  c) 2  a 2 2ab TÝnh gi¸ trÞ: M = x y 1  xy C©u 7: Gi¶i BPT: 1  x  a  x (x lµ Èn sè) C©u 8: Cho VABC , trªn BC lÊy M, N sao cho BM = MN = NC. Gäi D, E lµ trung ®iÓm cña AC, AB, P lµ giao cña AM vµ BD. Gäi Q lµ giao cña AN vµ CE. TÝnh PQ theo BC §Ò sè 11 C©u 1: Cho x = a b bc ca ;y= ;z= ab bc ca CMR: (1+x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z) C©u 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt cña A = x4  1 ( x 2  1)2 C©u 3: a, Cho a, b, c > 0 vµ a+b+c = 1 CMR: b+c �16abc b, Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR cã Ýt nhÊt mét bÊt ®¼ng thøc sai trong c¸c bÊt ®¼ng thøc sau: 2a(1-b) > 1 8c(1-d) > 1 3b(1-c) > 2 32d(1-a) > 3 C©u 4: Gi¶i BPT: mx(x+1) > mx(x+m) + m2 – 1 C©u 5: a, T×m nghiÖm nguyªn tè cña PT: x2 + y2 + z2 = xyz b, T×m sè nguyªn tè p ®Ó 4p + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng. C©u 6: T×m sè cã 2 ch÷ sè mµ sè Êy lµ béi sè cña tÝch hai ch÷ sè cña nã. C©u 7: Cho h×nh thang ABCD (BC AD). Gäi O lµ giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo AC, BD; Gäi E, F lµ trung ®iÓm cña AD, BC CMR: E, O, F th¼ng hµng. NguyÔn §øc Long - Trêng THCS Cao X¸ - T©n yªn §Ò thi HsG to¸n 8 ®Ò sè 12 C©u 1: T×m ®a thøc f(x) biÕt: f(x) chia cho x+3 d 1 f(x) chia cho x-4 d 8 f(x) chia cho (x+3)(x-4) th¬ng lµ 3x vµ d C©u 2: a, Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: A = x4 + 2000x2 + 1999x + 2000 2 2 2 b, Cho: x  yz  y  zx  z  xy a CMR: b c a 2  bc b2  ca c 2  ab   x y z C©u 4: CMR: 1 1 1 1 + +.....+ Víi n�N vµ n �1 2 < (2n  1) 9 25 4 C©u 5: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt: M = x 2  xy  y 2 (x≠0; y≠0) x2  y 2 C©u 6: a, T×m nghiÖm nguyªn cña PT: 2x2 + 4x = 19 – 3y2 b, CMR ph¬ng tr×nh sau kh«ng cã nghiÖm nguyªn: x2 + y2 + z2 = 1999 C©u 7: Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn BD lÊy M, tõ M kÎ c¸c ®êng vu«ng gãc AB, AD t¹i E, F. a, CMR: CF = DE; CF  DE b, CMR: CM = EF; CM  EF c, CMR: CM, BF, DE ®ång qui ®Ò sè 13 C©u 1: NguyÔn §øc Long - Trêng THCS Cao X¸ - T©n yªn §Ò thi HsG to¸n 8 4 4 4 a, Rót gän: A = (1- 2 )(1- 2 ).....(1- 2 ) 1 3 199 b, Cho a, b > 0 vµ 9b(b-a) = 4a2 TÝnh M = a b ab C©u 2: a, Cho a, b, c > o 2 2 2 CMR: a + b + c bc ca b, Cho ab �1 CMR: ab � abc 2 1 1 2 + 2 � a 1 b 1 ab  1 2 C©u 3: T×m x, y, z biÕt: x+2y+3z = 56 vµ 2 1 3 = = x 1 y  2 z  3 C©u 4: a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = b, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt A = 2x 1 x2  2 2 6x  5  9x2 C©u 5: Gi¶i BPT: mx2 – 4 > 4x + m2 – 4m C©u 6: a, T×m sè nguyªn d¬ng x tho¶ m·n: x(x+1) = k(k+2) k lµ sè nguyªn d¬ng cho tríc. b, T×m nghiÖm nguyªn cña PT: 2x-5y-6z =4. C©u 7: Cho h×nh vu«ng ABCD, VÒ phÝa ngoµi h×nh vu«ng trªn c¹nh BC vÏ VBCF ®Òu, vÒ phÝa trong h×nh vu«ng trªn c¹nh AB vÏ VABE ®Òu. CMR: D, E, F th¼ng hµng. §Ò sè 14 C©u 1: Cho A = ( x x y y2 1 x  ) : (  ): 2 2 3 2 y  xy x  xy x  xy x y y a, T×m TX§ cña A b, T×m x, y ®Ó A > 1 vµ y < 0. C©u 2: a, Gi¶i PT: x4 + 2x3 – 2x2 + 2x - 3 = 0 NguyÔn §øc Long - Trêng THCS Cao X¸ - T©n yªn §Ò thi HsG to¸n 8 b, Gi¶i BPT: 3 – mx < 2(x-m) – (m+1)2 C©u 3: Cho a, b, c > 0 CMR: a b c 3   � bc a c a b 2 C©u 4: CM: A = n6 – n4 +2n3 +2n2 kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng víi n�N vµ n >1 C©u 5: 1 2 Cho f(x) = x2 + nx + b tho¶ m·n f ( x) � ; x �1 X¸c ®Þnh f(x) C©u 6: Cho x, y > 0 tho¶ m·n xy= 1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt A = x y  2 2 x y x  y4 4 C©u 7: Cho h×nh thang ABCD (AD//BC). M, N lµ trung ®iÓm cña AD, BC. Tõ O trªn MN kÎ ®ëng th¼ng song song víi AD c¾t AB, CD t¹i E vµ F. CMR: OE = OF ®Ò sè 15 C©u 1: Cho xyz = 1 vµ x+y+z = TÝnh gi¸ trÞ M = 1 1 1   =0 x y z x6  y 6  z 6 x3  y 3  z 3 C©u 2: a 1 x 1 x 1 1 2 Cho a ≠ 0 ; �1 vµ x1  a  2 ; x2  x  1 ; x3  x  1 ..... 1 2 T×m a nÕu x1997 = 3 C©u 3: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ©m: m( x  2)  3(m  1) 1 x 1 C©u 4: Víi n�N vµ n >1 NguyÔn §øc Long - Trêng THCS Cao X¸ - T©n yªn §Ò thi HsG to¸n 8 1 1 1 1 CMR:    ....  1 2 n 1 n  2 2n C©u 5: Cho M = 3x2 - 2x + 3y2 – 2y + 6x +1 T×m gi¸ trÞ M biÕt: xy = 1 vµ x  y ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. C©u 6: T×m x, y �N biÕt: 2x + 1 = y2 C©u 7: Cho VABC (AB < AC). AD, AM lµ ®êng ph©n gi¸c, ®êng trung tuyÕn cña VABC . §êng th¼ng qua D vµ vu«ng gãc víi AD c¾t AC t¹i E So s¸nh S VADM vµ S VCEM §Ò sè 16 C©u 1: Cho (a2 + b2 + c2)( x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 CMR: x y z   víi abc ≠ 0 a b c C©u 2: Cho abc ≠ 0 vµ CMR: x y z   a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c a b c   x  2 y  z 2x  y  z 4x  4 y  z C©u 3: Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng vµ nhá h¬n 1 CMR: Trong 3 sè: (1-a)b; (1-b)c; vµ (1-c)a kh«ng ®ång thêi lín h¬n 1 4 C©u 4: Cho x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4xy + 4 = 0 vµ xy > 0 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt A = 1 1  x y C©u 5: a, CMR PT: 3x5 – x3 + 6x2 – 18x = 2001 kh«ng cã nghiÖm nguyªn. b, T×m 4 sè nguyªn d¬ng sao cho tæng cña chóng b»ng tÝch cña chóng NguyÔn §øc Long - Trêng THCS Cao X¸ - T©n yªn §Ò thi HsG to¸n 8 C©u 6: Cho n�N vµ n >1 CMR: 1 + 1 1 1  2  ....  2  2 2 2 3 n C©u 7: Cho VABC vÒ phÝa ngoµi VABC vÏ tam gi¸c vu«ng c©n ABE vµ CAF t¹i ®Ønh A. CMR: Trung tuyÕn AI cña VABC vu«ng gãc víi EF vµ AI = 1 EF 2 C©u 8: CMR: 21n  4 lµ ph©n sè tèi gi¶n (víi n �N). 14n  3 ®Ò sè 17 C©u 1: Ph©n tÝch ra thõa sè: a, (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15 b, x3 + 6x2 + 11x + 6 C©u 2: Cho x > 0 vµ x2 + 1 =7 x2 TÝnh gi¸ trÞ cña M = x5 + 1 x5 C©u 3: Cho x, y tho¶ m·n 5x2 + 8xy + 5y2 = 72 TÝm gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = x2 + y2 C©u 4: a, Cho a, b, c > 0 vµ a+b+c �1 CMR: 1 1 1  2  2 �9 a  2bc b  2ac c  2ab 2 b, Cho a, b, c tho¶ m·n a+b+c = 2; ab+bc+ca = 1. CMR: 0 �a, b, c � 4 3 C©u 5: TÝnh tæng S = 1+2x+3x2+4x3+.....+ nxn-1 (x≠1) C©u 6: T×m nghiÖm nguyªn cña PT: xy xz yz   =3 z y x C©u 7: NguyÔn §øc Long - Trêng THCS Cao X¸ - T©n yªn §Ò thi HsG to¸n 8 � Cho VABC biÕt ®êng cao AH vµ trung tuyÕn AM chia gãc BAC thµnh 3 phÇn b»ng nhau. X¸c ®Þnh c¸c gãc cña VABC §Ò sè 18 C©u 1: a 2  bc b 2  ac c 2  ab Rót gän: M =   (a  b)(a  c) (b  a)(b  c ) (a  c)(a  b) C©u 2: Cho: x = b2  c 2  a 2 (a  b  c)(a  c  b) ;y 2bc (a  b  c )(b  c  a ) TÝnh gi¸ trÞ P = (x+y+xy+1)3 C©u 3: Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR cã Ýt nhÊt mét bÊt ®¼ng thøc sai trong c¸c bÊt ®¼ng thøc sau: 2a(1-b) > 1 8c(1-d) > 1 3b(1-c) > 2 32d(1-a) > 3 C©u 4: Cho P = 5x+y+1; Q = 3x-y+4 CMR: NÕu x = m; y = n Víi m, n � N th× P.Q lµ sè ch½n. C©u 5: a, CMR PT: 2x2 – 4y2 = 10 kh«ng cã nghiÖm nguyªn. b, T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt n > 1 sao cho: A = 12 + 22 +....+n2 lµ mét sè chÝnh ph¬ng. C©u 6: Cho VABC vu«ng c©n ë A, qua A vÏ ®êng th¼ng d sao cho B, C thuéc cïng nöa mÆt ph¼ng cã bê lµ d, vÏ BH, CK cïng vu«ng gãc víi d (H, K lµ ch©n ®êng vu«ng gãc). a, CMR: AH = CK b, Gäi M lµ trung ®iÓm BC. X¸c ®Þnh d¹ng VMHK ®Ò sè 19 C©u 1: Cho a, b, c ≠ 0; a2 + 2bc ≠ 0; b2 + 2ca ≠ 0; c2 + 2ab ≠ 0 NguyÔn §øc Long - Trêng THCS Cao X¸ - T©n yªn §Ò thi HsG to¸n 8 vµ a2 + b2 + c2 = (a+b+c)2 CMR: S = a2 b2 c2   1 a 2  2bc b 2  2ac c 2  2ab M= bc ca ab  2  2 1 a  2bc b  2ac c  2ab 2 C©u 2: a, Cho a, b, c > 0 ab bc ac 1 1 1  2 2 2 2 �   2 2 a b b c a c a b c b, Cho 0 �a, b, c �1 CMR: CMR: a+b+c+ 1 1 1 1 �   + abc abc a b c C©u 3: a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = x  1  2 x  5  3x  8 b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt: M= x 2  xy  y 2 (x,y > 0) x 2  xy  y 2 C©u 4: a,T×m nghiÖm � Z+ cña: 1 1 1   2 x y z b, T×m nghiÖm � Z cña: x4 + x2 + 4 = y2 – y C©u 5: Cho VABC , ®Æt trªn c¸c ®o¹n kÐo dµi cña AB, AC c¸c ®o¹n BD = CE. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, N lµ trung ®iÓm cña DE. CMR: MN // ®êng ph©n gi¸c trong cña gãc �A cña VABC C©u 6: T×m c¸c sè nguyªn d¬ng n vµ sè nguyªn tè P sao cho P= n(n  1) 1 2 ®Ò sè 20 C©u 1: a, Cho a+b+c = 1; a2 + b2 + c2 = 1 vµ x y z   ; abc ≠ 0 a b c CMR: xy + yz + xz = 0 b, Cho x, y, z > 0 vµ 2x2 + 3y2 – 2z2 = 0 CMR: z lµ sè lín nhÊt. C©u 2: NguyÔn §øc Long - Trêng THCS Cao X¸ - T©n yªn §Ò thi HsG to¸n 8 a, Cho a, b, c ≠ 0 2 2 2 CMR: a2  b2  c 2 �a  b  c b c a b c a b, Cho n�N, n > 1 CMR: 1 1 1 1   ....  2  2 5 13 n (n  1) 2 C©u 4: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt víi a, b, c > 0 a, P = b, Q = a b c a b c a bc      bc c a a b c b a a b c d    bc d acd abd a bc C©u 5: T×m c¸c sè chÝnh ph¬ng sao cho chia nã cho 39 ®îc th¬ng sè nguyªn tè vµ d 1 C©u 6: Cho tø gi¸c ABCD, ®êng th¼ng AB vµ CD c¾t nhau t¹i E. Gäi F, G lµ trung ®iÓm cña AC, BD. a, CMR: S VEFG = 1 S ABCD 4 b, Gäi M lµ giao ®iÓm cña AD, BC. Chøng minh FG ®i qua trung ®iÓm ME. §Ò sè 21 C©u 1: Cho a, b, c tho¶ m·n a+b+c = abc CMR: a(b2-1)( c2-1) + b(a2-1)( c2-1) + c(a2-1)( b2-1) = 4abc C©u 2: Cho n lµ sè nguyªn tè CMR: A = n4 – 14n3 +71n2 – 154n + 120 chia hÕt cho 24. C©u 3: T×m nghiÖm nguyªn cña PT: 4x2y = (x2+1)(x2+y2) C©u 4: T×m a, b ®Ó M = x4 - 6x3 +ax2 +bx + 1 lµ b×nh ph¬ng cña mét ®a thøc kh¸c. C©u 5: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña PT: P = x2+y2 vµ biÕt x2+y2+xy = 4 C©u 6: NguyÔn §øc Long - Trêng THCS Cao X¸ - T©n yªn §Ò thi HsG to¸n 8 a, Cho a, b, c > 0 CMR: cã Ýt nhÊt mét B§T sai lµ ®óng. a+b �c+d (a+b)cd �)( c+d)ab (a+b)( c+d) �ab+cd b, T×m c¸c sè a, b, c tho¶ m·n ®ång thêi c¸c B§T: a  b c ; b  a c ; c  a b C©u 7: Cho h×nh thang ABCD (AD//BC), AD > BC. C¸c ®êng chÐo AC vµ BD vu«ng gãc víi nhau t¹i I. Trªn AD lÊy ®iÓm M sao cho AM cã ®é dµi b»ng ®é dµi trung b×nh cña h×nh thang ABCD. CMR: VMAC c©n t¹i M ®Ò sè 22 C©u 1: Cho x3 + x = 1. 4 3 2 TÝnh A = x  25 x 2 x  3x  5 x x x2 C©u 2: Gi¶i BPT: x 2  1  x 2  4  3 C©u 3: Cho 3 sè d¬ng x, y, z tho¶ m·n: x = 1 - 1 2 y y = 1 - 1  2z z = 1 - 1  2x T×m sè lín nhÊt trong ba sè x, y, z. C©u 4: Cho x, y tho¶ m·n: x+y=1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = x3+y3+xy C©u 5: CMR: 1 1 1 5  2  ....  2  2 1 2 n 3 C©u 6: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT sau: x+y+z+t = xyzt NguyÔn §øc Long - Trêng THCS Cao X¸ - T©n yªn §Ò thi HsG to¸n 8 C©u 7: Cho h×nh vu«ng ABCD, lÊy ®iÓm M n»m trong h×nh vu«ng sao cho: � � = MBA = 150 MAB CMR: VMCA ®Òu §Ò sè 23 C©u 1: a, Cho a2 + b2 + c2 = ab  bc  ca . CMR: a = b = c b, Cho (a2 + b2)( x2 + y2) = (ax+by)2. CMR: a b  víi x, y ≠ 0 x y c, Rót gän: A = (x2-x+1)(x4-x2+1)(x8-x4+1)(x16-x8+1)(x32-x16+1) C©u 2: a, T×m sè nguyªn d¬ng n ®Ó n5+1 chia hÕt cho n3+1 b, T×m c¸c sè a, b, c sao cho: ax3+bx2+c chia hÕt cho x+2 vµ chia cho x2-1 thi d x+5. c, NÕu n lµ tæng 2 sè chÝnh ph¬ng th× n2 còng lµ tæng 2 sè chÝnh ph¬ng. C©u 3: a, Cho A = 11.....1 (n ch÷ sè 1), b = 100....05 (n-1 ch÷ sè 0) CMR: ab + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng. b, T×m nghiÖm tù nhiªn cña PT: x+y+1 = xyz C©u 4: a, Cho x, y �N T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = x y  x  y 8  ( x  y) b, Cho x, y, z > 0 x+y+z = 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt B = x y xyz C©u 5: a, MCR: 7 1 1 1 1 1 5  1     ....    12 2 3 4 99 100 6 1 1 1 2 3 4 b, MCR: 1     ....  1 n  (n �N ; n  0) 2 1 2 n C©u 6: NguyÔn §øc Long - Trêng THCS Cao X¸ - T©n yªn §Ò thi HsG to¸n 8 Cho VABC vu«ng t¹i A, c¹nh huyÒn BC = 2AB, D lµ ®iÓm trªn AC sao cho gãc � ABD = 1 � 1 ABC , E lµ ®iÓm trªn AB sao cho gãc � ACE = � ACB . F lµ giao ®iÓm cña 3 3 BD vµ CE, K vµ H lµ ®iÓm ®èi xøng cña F qua BC, CA. CMR: H, D, K th¼ng hµng. ®Ò sè 24 C©u 1: x 2  25 y 2 Cho M = ( 3 ):( 2 ) 2 x  10 x  25 y  y  2 TÝnh gi¸ trÞ M biÕt: x2+9y2-4xy = 2xy- x  3 C©u 2: a, Cho a+b = ab. TÝnh (a3+b3-a3b3)3 + 27a6b6. b, Cho a, b tho¶ m·n: 2a b  2 a b a b T×m c¸c gi¸ trÞ cã thÓ cña N = 3a  b a  5b C©u 3: a, T×m sè tù nhiªn n ®Ó n4+4 lµ sè nguyªn tè. b, T×m sè nguyªn tè p sao cho 2p+1 lµ lËp ph¬ng cña sè tù nhiªn. C©u 4: a, Cho a  1; a  c  1999; b  1  1999 CMR: ab  c  3998 b, Chøng tá cã Ýt nhÊt mét bÊt ®¼ng thøc sau lµ sai: a(a+b) < 0; 2a > b2+1 c, Chøng tá cã Ýt nhÊt 1 B§T sau lµ ®óng a3b5(c-a)7(c-b)9 �0; bc5(c-b)9(a-c)13 �0; c9a7(b-c)5(b-a)3 �0 C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = (x+5)4 + (x+1)4 C©u 6: Cho VABC cã 3 gãc nhän, ®êng cao AH, BK, CL c¾t nhau t¹i I. Gäi D,E,F lµ trung ®iÓm cña BC, CA, AB, Gäi P, Q, R lµ trung ®iÓm cña IA, IB, IC. a, CM: PQRE, PEDQ lµ h×nh ch÷ nhËt. b, CM: PD, QE, RF c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®o¹n th¼ng. c, CM: H,K,L,D,E,F,P,Q,R cïng c¸ch ®Òu mét ®iÓm. ®Ò sè 25 NguyÔn §øc Long - Trêng THCS Cao X¸ - T©n yªn
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan