Tài liệu Bộ đề thi học sinh giỏi toán 8

  • Số trang: 21 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 135 |
  • Lượt tải: 0
hosomat

Tham gia: 10/08/2016

Mô tả:

Bài 1 (4đ): 1/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x +3x +6x+4 . 2/ a,b,c là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: 4a2b2 > (a2 + b2 − c2)2 x 2( x  y ) y 3 2 2 3 Bài 2 (3đ): Chứng minh rằng nếu x + y = 1 và xy ≠ 0 thì : x  1 − y  1 = x y  3 Bài 3 (5đ): Giải phương trình: x 2  24 x 2  22 x 2  20 x 2  18 1, 2001 + 2003 = 2005 + 2007 2, (2x − 1)3 + (x + 2)3 = (3x + 1)3 Bài 4 (6đ): Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài ∆ đó ∆ABD vuông cân tại B và ∆ACE vuông cân tại C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BE. Chứng minh rằng: 1, AH = AK 2, AH2 = BH.CK Bài 5 (2đ): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6). ®Ò thi häc sinh giái Bµi 1:  x2  6 x  5 n n 1 Rót gän biÓu thøc: A = 5 x  x víi /x/ = 1 Cho x, y tháa m·n: x2 + 2y2 + 2xy – 4y + 4 = 0 x 2  7 xy  52 x y TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: B = ( x  y) Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:(x – 2).(x + 2).(x2 – 10) = 72 T×m x ®Ó biÓu thøc:A = ( x – 1).(x + 2).(x + 3)(x + 6) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ? T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã ? Bµi 3: T×m sè tù nhiªn x sao cho: x2 + 21 lµ sè chÝnh ph¬ng ? Chøng minh r»ng: NÕu m, n lµ hai sè chÝnh ph¬ng lÎ liªn tiÕp th×:(m – 1).(n – 1)  192 Bµi 4:Cho ®o¹n th¼ng AB. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy 1 ®iÓm C sao cho AC > BC. Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê AB vÏ hai h×nh vu«ng ACNM, BCEF. Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ BN. Chøng minh: M; H; F th¼ng hµng. Chøng minh: AM lµ tia ph©n gi¸c cña  AHN. VÏ AI  HM; AI c¾t MN t¹i G. Chøng minh: GE = MG + CF Bµi 5: G¶i ph¬ng tr×nh:(x2 + 10x + 8)2 = (8x + 4).(x2 + 8x + 7) 1 1 1   9 Cho a, b, c  R+ vµ a + b + c = 1.Chøng minh r»ng: a b c §Ò sè 1 3   x2 1  1  A   2   :  2 3 x  3 x   27  3 x x  3   Bµi 1: (3 ®iÓm)Cho biÓu thøc a) Rót gän A; b) T×m x ®Ó A < -1. c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. 1 6y 2  2  Bµi 2: (2 ®iÓm)Gi¶i ph¬ng tr×nh: a) 3 y  10 y  3 9 y  1 1  3 y  6 x 1 x 3 x 1  .  3  2  2 4 x 3  2 2 b) 1 2 Bµi 3: (2 ®iÓm) Mét xe ®¹p, mét xe m¸y vµ mét « t« cïng ®i tõ A ®Õn B. Khëi hµnh lÇn lît lóc 5 giê, 6 giê, 7 giê vµ vËn tèc theo thø tù lµ 15 km/h; 35 km/h vµ 55 km/h. Hái lóc mÊy giê « t« c¸ch ®Òu xe ®¹p vµ xe ®¹p vµ xe m¸y. Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD tõ ®iÓm P thuéc ®êng chÐo AC ta dùng h×nh ch÷ nhËt AMPN ( M  AB vµ N AD). Chøng minh: a) BD // MN. b) BD vµ MN c¾t nhau t¹i K n»m trªn AC. Bµi 5: (1 ®iÓm)Cho a = 11…1 (2n ch÷ sè 1), b = 44…4 (n ch÷ sè 4). Chøng minh r»ng: a + b + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng. §Ò sè 2 C©u I: (2®iÓm) 1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 2 a) x  4 x  5 b) ab(a  b)  ac(a  c)  bc(2a  b  c) 1 1 1 1 4  2  2  2  2) Gi¶i ph¬ng tr×nh x  x x  3x  2 x  5 x  6 x  7 x  12 5 2 C©u II: (2 ®iÓm) f ( x )  x 3  2 x 2  ax  b chia hÕt cho ®a thøc g ( x)  x 2  x  1 . 161 37 13 5 2 2) T×m d trong phÐp chia ®a thøc P( x)  x  x  x  x  x  2006 cho ®a thøc Q( x) x  1. 1) X¸c ®Þnh a, b ®Ó da thøc C©u III: (2 ®iÓm) 1) Cho ba sè a, b, c kh¸c 0 vµ a + b + c = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a2 b2 c2 P 2   a  b2  c2 b2  c2  a2 c2  a2  b2 2) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n a  b , b  c, c  a . a 2  bc b 2  ac c 2  ab   0 CMR: (a  b)(a  c) (b  a)(b  c) (c  a)(c  b) C©u IV: (3®iÓm) 1) Cho ®o¹n th¼ng AB, M lµ ®iÓm n»m gi÷a A vµ B. Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê AB kÎ c¸c h×nh vu«ng ACDM vµ MNPB. Gäi K lµ giao ®iÓm cña CP vµ NB. CMR: a) KC = KP b) A, D, K th¼ng hµng. c) Khi M di chuyÓn gi÷a A vµ B th× kho¶ng c¸ch tõ K ®Õn AB kh«ng ®æi. 2) Cho ∆ABC cã ba gãc nhän, ba ®êng cao AA”, BB’, CC’ ®ång quy t¹i H. HA' HB' HC '   CMR: AA' BB' CC ' C©u V: (1 ®iÓm): b»ng mét h»ng sè. Cho hai sè a, b kh«ng ®ång thêi b»ng 0. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt Q a 2  ab  b 2 a 2  ab  b 2 cña biÓu thøc: §Ò sè 3 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a(b  c) 2 (b  c)  b(c  a) 2 (c  a)  c(a  b) 2 (a  b) 1 1 1   0 b) Cho a, b, c kh¸c nhau, kh¸c 0 vµ a b c 1 1 1 N 2  2  2 a  2bc b  2ca c  2ab Rót gän biÓu thøc: Bµi 2: (2®iÓm) M  x 2  y 2  xy  x  y  1 a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 2 4 4 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( y  4,5)  ( y  5,5)  1 0 Bµi 3: (2®iÓm) Mét ngêi ®i xe m¸y tõ A ®Õn B víi vËn tèc 40 km/h. Sau khi ®i ®îc 15 phót, ngêi ®ã gÆp mét « t«, tõ B ®Õn víi vËn tèc 50 km/h. « t« ®Õn A nghØ 15 phót råi trë l¹i B vµ gÆp ngêi ®i xe m¸y t¹i mét mét ®Þa ®iÓm c¸ch B 20 km. TÝnh qu·ng ®êng AB. Bµi 4: (3®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD. M lµ mét ®iÓm trªn ®êng chÐo BD. KÎ ME vµ MF vu«ng gãc víi AB vµ AD. a) Chøng minh hai ®o¹n th¼ng DE vµ CF b»ng nhau vµ vu«ng gãc víi nhau. b) Chøng minh ba ®êng th¼ng DE, BF vµ CM ®ång quy. c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M ®Ó tø gi¸c AEMF cã diÖn tÝch lín nhÊt. Bµi 5: (1®iÓm) 2 2 T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 3x  5 y 345 §Ò sè 4 Bµi 1: (2,5®iÓm)Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x5 + x +1 ;b) x4 + 4;c) x x - 3x + 4 x -2 víi x  0 A Bµi 2 : (1,5®iÓm)Cho abc = 2 Rót gän biÓu thøc: a b 2c   ab  a  2 bc  b  1 ac  2c  2 ab P 2 4a  b 2 Bµi 3: (2®iÓm)Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a  b  0.TÝnh: Bµi 4 : (3®iÓm) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Trªn BC lÊy M bÊt k× sao cho BM  CM. Tõ N vÏ ®êng th¼ng song song víi AC c¾t AB t¹i E vµ song song víi AB c¾t AC t¹i F. Gäi N lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua E F. a) TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF. BiÕt : AB =7cm Chøng minh : AFEN lµ h×nh thang c©n c) TÝnh : ANB + ACB = ? M ë vÞ trÝ nµo ®Ó tø gi¸c AEMF lµ h×nh thoi vµ cÇn thªm ®iÒu kiÖn cña  ABC ®Ó cho AEMF lµ h×nh vu«ng. Bµi 5: (1®iÓm)Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n th× : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hÕt cho 23. §Ò sè 5 M  1 1 1 1  2  2  2 x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 x  11x  30 2 Bµi 1: (2®iÓm) Cho biÓu thøc: 1) Rót gän M. 2) T×m gi¸ trÞ x ®Ó M > 0. Bµi 2: (2®iÓm) Ngêi ta ®Æt mét vßi níc ch¶y vµo bÓ vµ mét vßi níc ch¶y ra ë lng chõng bÓ. Khi bÓ c¹n, nÕu më c¶ hai vßi th× sau 2 giê 42 phót bÓ ®Çy níc. Cßn nÕu ®ãng vßi ch¶y ra më vßi ch¶y vµo th× sau 1giê rìi ®Çy bÓ. BiÕt vßi ch¶y vµo m¹nh gÊp 2 lÇn vßi ch¶y ra. 1) TÝnh thêi gian níc ch¶y vµo tõ lóc bÓ c¹n ®Õn lóc níc ngang chç ®Æt vßi ch¶y ra. 2) NÕu chiÒu cao cña bÓ lµ 2m th× kho¶ng c¸ch tõ chç ®Æt vßi ch¶y ra ®Õn ®¸y bÓ lµ bao nhiªu. 2 2 Bµi 3: (1®iÓm) T×m x, y nguyªn sao cho: x  2 xy  x  y  4 y 0 Bµi 4: (3®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD cè ®Þnh, cã ®é dµi c¹nh lµ a. E lµ ®iÓm di chuyÓn trªn ®o¹n CD (E kh¸c D). §êng th¼ng AE c¾t BC t¹i F, ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AE t¹i A c¸t CD t¹i K. 1) Chøng minh tam gi¸c ABF b»ng tam gi¸c ADK. 2) Gäi I lµ trung ®iÓm KF, J lµ trung ®iÓm cña AF. Chøng minh r»ng: JA = JB = JF = JI. 3) §Æt DE = x (a x > 0) tÝnh ®é dµi c¸c c¹nh cña tam gi¸c AEK theo a vµ x. 4) H·y chØ ra vÞ trÝ cña E sao cho ®é dµi EK ng¾n nhÊt. 1 1 1 x2 y2 z2   0 N   xy yz zx yz zx xy Bµi 5: (1®iÓm)Cho x, y, z kh¸c 0 tho¶ m·n: . TÝnh §Ò sè 6 3 C©u I: (5 ®iÓm) Rót gän c¸c ph©n thøc sau: x 1 x x 2 1) 3x  4 x  1 (a  1) 4  11(a  1) 2  30 4 2 2) 3(a  1)  18(a  2a)  3 C©u II: (4 ®iÓm) 1) Cho a, b lµ c¸c sè nguyªn, chøng minh r»ng nÕu a chia cho 13 d 2 vµ b chia cho 13 d 3 th× a 2  b 2 chia hÕt cho 13. 2) Cho a, b, c lµ c¸c sè nguyªn tho¶ m·n abc = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a b c A   1  a  ac 1  b  bc 1  c  ac x 2  2x 1 x 2  2x  2 7  2  2 3) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  2 x  2 x  2 x  3 6 C©u III: (4 ®iÓm)§Ó thi ®ua lËp thµnh tÝch chµo mõng ngµy thµnh lËp ®oµn TNCS Hå ChÝ Minh (26/3). Hai tæ c«ng nh©n l¾p m¸y ®îc giao lµm mét khèi lîng c«ng viÖc. NÕu hai tæ lµm chung th× hoµn thµnh trong 15 giê. NÕu tæ I lµm trong 5 giê, tæ 2 lµm trong 3 giê th× lµm ®îc 30% c«ng viÖc. NÕu c«ng viÖc trªn ®îc giao riªng cho tõng tæ th× mçi tæ cÇn bao nhiªu thêi gian ®Ó hoµn thµnh. C©u IV: (3 ®iÓm)Cho h×nh b×nh hµnh ABCD (AC > BD). Gäi E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña B, D lªn AC; H, K lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña C trªn AB vµ AD. 1) Tø gi¸c DFBE lµ h×nh g× ? v× sao ? 2) Chøng minh tam gi¸c CHK ®ång d¹ng víi tam gi¸c BCA. 2 3) Chøng minh AC  AB. AH  AD. AK x  2002 2002  x  2003 2003 1 C©u V: (2 ®iÓm)Gi¶i ph¬ng tr×nh: §Ò sè 7 C©u I: (2®iÓm) 4 3 2 2 1. Thùc hiÖn phÐp chia A 2 x  x  x  x  2 cho B x  1 . T×m x  Z ®Ó A chia hÕt cho B. 2. Ph©n tÝch ®a thøc th¬ng trong c©u 1 thµnh nh©n tö. C©u II: (2®iÓm) 2 4 8 16 32 1. So s¸nh A vµ B biÕt: A 5  1 vµ B 6(5  1)(5  1)(5  1)(5  1) 2. Chøng minh r»ng: 1919 + 69 69 chia hÕt cho 44. C©u III: (2®iÓm) 2 1. Cho mét tam gi¸c cã ba c¹nh lµ a, b, c tho¶ m·n: (a  b  c) 3(ab  bc  ca) . Hái tam gi¸c ®· cho lµ tam gi¸c g× ? 100 99 2 2. Cho ®a thøc f(x) = x  x  ...  x  x  1 . T×m d cña phÐp chia ®a thøc f(x) cho ®a thøc x2  1. C©u IV: (3®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH. Gäi E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña H lªn AB vµ AC. Gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ CE. 1. Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g× ? T¹i sao ? 2. Chøng minh AB. CF = AC. AE 3. So s¸nh diÖn tÝch tø gi¸c AEMF vµ diÖn tÝch tam gi¸c BMC. C©u V : (1 ®iÓm)Chøng minh nghiÖm cña ph¬ng tr×nh sau lµ mét sè nguyªn: x  2 x  3 x  4 x  2005 x  2004 x  2003      2005 2004 2003 2 3 4 §Ò sè 8 C©u 1: (2®iÓm) 4 2 N 2 3x 2 y  1 4 xy a) Cho x  2 xy  2 y  2 x  6 y  13 0 .TÝnh b) NÕu a, b, c lµ c¸c sè d¬ng ®«i mét kh¸c nhau th× gi¸ trÞ cña ®a thøc sau lµ sè d¬ng. A a 3  b 3  c 3  3abc C©u 2: (2 ®iÓm)Chøng minh r»ng nÕu a + b + c = 0 th×: a b   a  b b  c c  a  c A        9 a b  a  b b  c c  a   c C©u 3: (2 ®iÓm) Mét « t« ph¶i ®i qu·ng ®êng AB dµi 60 km trong thêi gian nhÊt ®Þnh. Nöa qu·ng ®êng ®Çu ®i víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc dù ®Þnh lµ 10km/h. Nöa qu·ng ®êng sau ®i víi vËn tèc kÐm h¬n vËn tèc dù ®Þnh lµ 6 km/h. TÝnh thêi gian « t« ®i trªn qu·ng ®êng AB biÕt ngêi ®ã ®Õn B ®óng giê. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E. Tõ A kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc v¬i AE c¾t ®êng th¼ng CD t¹i F. Gäi I lµ trung ®iÓm cña EF. AI c¾t CD t¹i M. Qua E dùng ®êng th¼ng song song víi CD c¾t AI t¹i N. a) Chøng minh tø gi¸c MENF lµ h×nh thoi. b) Chøng minh chi vi tam gi¸c CME kh«ng ®æi khi E chuyÓn ®éng trªn BC. 6 2 4 C©u 5: (1 ®iÓm) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x  3x  1  y §Ò sè 9 Bµi 1: (2 ®iÓm) 6 1  6 1   x   x  6  2 x  x  M  3 1 1  3 x  x  3 x x  Cho a) Rót gän M. b) Cho x > 0, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M. Bµi 2: (2 ®iÓm) 3 3 3 a) T×m x biÕt : (2 x  5)  ( x  2) ( x  3) b) T×m sè tù nhiªn n ®Ó n + 24 vµ n - 65 lµ hai sè chÝnh ph¬ng. Bµi 3: (2 ®iÓm) 4 x 2  17 xy  9 y 2 5 xy  4 y  2 a) Cho x vµ y tho¶ m·n: b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a  b  c abc 2 2 2 2 2 3 3 .TÝnh H  x  y  xy 2 Chøng minh: a(b  1)(c  1)  b(a  1)(c  1)  c(a  1)(b  1) 4abc Bµi 4: (4 ®iÓm)Cho h×nh thang ABCD ®¸y nhá AB, Gäi I lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD. Qua I vÏ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t AD vµ BC lÇn lît t¹i M vµ N. a) Chøng minh IM = IN. 1 1 2   b) Chøng minh: AB CD MN c) Gäi K lµ trung ®iÓm cña DC, vÏ ®êng th¼ng qua M song song víi AK c¾t DC, AC lÇn lît t¹i H vµ E. Chøng minh HM + HE = 2AK. d) Cho S(AIB) = a2 (cm2) , S(DIC) = b2 (cm2). TÝnh S(ABCD) theo a vµ b. §Ò sè 10 C©u 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 2 2 8 a) x  x  12 ; b) x  x  1 ; c) ( x  3 x  2)( x  11x  30)  5 C©u 2: (2 ®iÓm) 2 4 8 16 32 1) So s¸nh A vµ B biÕt: A 5 vµ B 24(5  1)(5  1)(5  1)(5  1) 2 2 2) Cho 3a  2b 7 ab vµ 3a  b  0 . 2 5 P TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: C©u 3: (2 ®iÓm) 2005a  2006b 2006a  2007b 2 2 1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A 2 x  9 y  6 xy  6 x  12 y  1974 2 x x 1 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh: y  4  2 y  2  2 0 8 8 8 8 2 2 2 2 3) Chøng minh r»ng: a  b  c  d 4a b c d C©u 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD. Gäi E lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BC (E kh¸c B vµ C). Qua A kÎ Ax vu«ng gãc víi AE, Ax c¾t CD t¹i F. Trung tuyÕn AI cña tam gi¸c AEF c¾t CD ë K. §êng th¼ng kÎ qua E, song song víi AB c¾t AI ë G. a) Chøng minh tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi. b) Chøng minh AF2 = FK. FC. c) Khi E thay ®æi trªn BC, chøng minh chu vi tam gi¸c EKC kh«ng ®æi. C©u 5: (1 ®iÓm) Cho ®a thøc f(x) cã c¸c hÖ sè nguyªn. BiÕt r»ng f(1) vµ f(2) lµ c¸c sè lÎ. Chøng minh r»ng ®a thøc f(x) kh«ng cã nghiÖm nguyªn. §Ò sè 11 C©u 1: (2 ®iÓm)  4 1  4 1   4 1   1    3  ... 19   4  4  4 A  4 1  4 1   4 1   2    4  ... 20   4  4  4  a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: b) Chøng minh r»ng: TÝch cña bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp céng víi 1 lµ mét sè chÝnh ph¬ng. C©u 2: (2 ®iÓm) 2006 x y z   1 a) Cho xyz = 2006.Chøng minh r»ng: xy  2006 x  2006 yz  y  2006 xz  z  1 b) T×m n nguyªn d¬ng ®Ó A = n3 + 31 chia hÕt cho n + 3. 2 2 2 c) Cho a  2b  3c 14 . Chøng minh r»ng: a  b  c 14 .  3x 2  3 x 1 1  x 1  . 2 B  3  2   x  1 x  x  1 x  1  2 x  5x  5 C©u 3: (2 ®iÓm)Cho ph©n thøc: a) Rót gän B. b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña B. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho M lµ mét ®iÓm bÊt k× trªn ®o¹n th¼ng AB. Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng cã bê lµ AB vÏ c¸c h×nh vu«ng AMCD vµ BMEF. a) Chøng minh: AE  BC. b) Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ BC, chøng minh r»ng: D, H, F th¼ng hµng. c) Chøng minh r»ng ®êng th¼ng DF lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB. C©u 5: (1 ®iÓm) 1 1 1 1 1  3  3  3 ...  3  2 3 2 3 4 5 n a) Chøng minh r»ng víi n  N vµ n > 3 th×: b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4) ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4) C 1  §Ò sè 12 C©u 1: (2 ®iÓm) 1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 2 4 a) x  7 x  6 ;b) ( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)  24 ;c) x  4 A 2) Rót gän: C©u 2: (2 ®iÓm) 1 1 1 1  2  2  2 x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 x  11x  30 2 6 1) T×m ®a thøc f(x) biÕt r»ng f(x) chia cho x-2 th× d 2, f(x) chia cho x-3 th× d 7, f(x) chia cho x2 - 5x + 6 th× ®îc th¬ng lµ 1-x2 vµ cßn d. 2) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lµ sè nguyªn. A 2x3  x 2  2x  5 2x 1 C©u 3: (2 ®iÓm)Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 1 x 3 x 5 x 2 x 4 x 6      97 95 98 96 94 a) 99 2 2 2 b) ( x  x  1)  ( x  x  1)  12 0 C©u 4: (3 ®iÓm)Mét ®êng th¼ng d ®i qua ®Ønh A cña h×nh b×nh hµnh ABCD c¾t BD, BC, DC lÇn lît t¹i E, K, G. Chøng minh r»ng: 2 1) AE  EK . EG 1 1 1   2) AE AK AG 3) Khi ®êng th¼ng d xoay quanh ®iÓm A. Chøng minh: BK. DG = const. C©u 5: (1 ®iÓm) 16 x 2  4 x  1 B 2x T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt nÕu cã cña biÓu thøc sau: §Ò sè 13 (víi x > 0) C©u 1: (6 ®iÓm)Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö; 2 2 2 2 2 a) 2 x  2 y  x  2 xy  y ;b) 2 xy  2 x  y  y ;c) x  2 xy  y  3x  3 y  10 C©u 2 (4 ®iÓm)Cho a  b  c 0 vµ abc 0 . Chøng minh r»ng: C©u 3 (4 ®iÓm)Cho biÓu thøc Q x4  x 2 x 2  3x  1  1  x 1 x2  x 1 ( x  1 ) a) Rót gän biÓu thøc Q. b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña Q. C©u 4: (6 ®iÓm) VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c nhän ABC c¸c tam gi¸c ®Òu ABD vµ ACE. Gäi M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AD vµ CE. H lµ h×nh chiÕu cña N trªn AC, tõ H kÎ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t BC t¹i I. a) Chøng minh tam gi¸c AMN ®ång d¹ng víi tam gi¸c HIN. b) TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c MNI. c) Gi¶ sö gãc BAC = 900 , AB = a, AC = b. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c MIN theo a, b. §Ò sè 14 C©u 1: (2 ®iÓm) 3 3 3 3 a) Ph©n tÝch thµnh thõa sè: (a  b  c)  a  b  c 2 x 3  7 x 2  12 x  45 3 2 b) Rót gän: 3x  19 x  33x  9 3 2 2 C©u 2: (2®iÓm)Chøng minh r»ng: A n (n  7)  36n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè t/ nhiªn n. C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho ba m¸y b¬m A, B, C hót níc trªn giÕng. NÕu lµm mét m×nh th× m¸y b¬m A hót hÕt níc trong 12 giê, m¸y b¬m B hót hÕtníc trong 15 giê vµ m¸y b¬m C hót hÕt níc trong 20 giê. Trong 3 giê ®Çu hai m¸y b¬m A vµ C cïng lµm viÖc sau ®ã míi dïng ®Õn m¸y b¬m B. TÝnh xem trong bao l©u th× giÕng sÏ hÕt níc. 2 x  a  x  2a 3a b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: (a lµ h»ng sè). C©u 4: (3 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C (CA > CB), mét ®iÓm I trªn c¹nh AB. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm C ngêi ta kÎ c¸c tia Ax, By vu«ng gãc víi AB. §êng th¼ng vu«ng gãc víi IC kÎ qua C c¾t Ax, By lÇn lît t¹i c¸c ®iÓm M, N. a) Chøng minh: tam gi¸c CAI ®ång d¹ng víi tam gi¸c CBN. 7 b) So s¸nh hai tam gi¸c ABC vµ INC. c) Chøng minh: gãc MIN = 900. d) T×m vÞ trÝ ®iÓm I sao cho diÖn tÝch ∆IMN lín gÊp ®«i diÖn tÝch ∆ABC. 22499  ..........    9100  ..........    ...09 C©u 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng sè: §Ò sè 15 P n-2 sè 9 n sè 0 lµ sè chÝnh ph¬ng. ( n 2 ). a 3  4a 2  a  4 a 3  7a 2  14a  8 C©u 1: (2 ®iÓm)Cho a) Rót gän P. b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph¬ng cña chóng chia hÕt cho 3. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc: P ( x  1)( x  2)( x  3)( x  6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã. C©u 3: (2 ®iÓm) 1 1 1 1  2  2  a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  9 x  20 x  11x  30 x  13 x  42 18 2 b) Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng; A a b c   3 b c  a a c  b a b  c C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ®Òu ABC, gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh ®iÓm M sao cho hai c¹nh Mx, My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn lît t¹i D vµ E. Chøng minh: BC 2 BD.CE  4 a) b) DM, EM lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED. C©u 5: (1 ®iÓm)T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi. §Ò sè 16 Bµi 1: (2 ®iÓm) 2 3 2 3 3 a, Gi¶i ph¬ng tr×nh. ( x  6 x  9)  (1  x )  (6 x  10) 0 2 2 b) Cho x, y tho¶ m·n: x  2 y  2 xy  6 x  2 y  13 0 . H TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x 2  7 xy  52 x y x2  3y y 2  3x 1  x, y  3 ; x y . Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho x(1  3 y ) y (1  3x) víi x, y 0 ; 1 1 8  x  y  3. Chøng minh r»ng: x y y 4x  3 x 2 1 Bµi 3: T×m x nguyªn ®Ó biÓu thøc y cã gi¸ trÞ nguyªn.Víi Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho ∆ABC c©n t¹i A (AB = AC > BC). Trªn c¹nh BC lÊy M sao cho MB < MC. Tõ M kÎ ®êng th¼ng song song víi AC c¾t AB ë E, kÎ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t AC ë F. Gäi N lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua ®êng th¼ng EF. a) Cho AB =1002,5 cm. TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF. b) Chøng minh tø gi¸c ANEF lµ h×nh thang c©n. c) AN c¾t BC t¹i H. Chøng minh HB. HC = HN. HA 3 2 Bµi 5: (1 ®iÓm)Cho ®a thøc f ( x)  x  ax  bx  c 8 T×m a, b, c biÕt f (1) 5 ; §Ò sè 17 f ( 2 ) 7 ; f (3) 9 Bµi 1: (2 ®iÓm) 1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 8 7 a) x  x  1 ;b) (4 x  1)(12 x  1)(3x  2)( x  1)  4 2 2 2 4 4 4 2) Cho a  b  c 0 vµ a  b  c 1 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M a  b  c M  x2 y2 x2 y2   ( x  y )(1  y ) ( x  y )(1  x) (1  x)(1  y ) Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: a) Rót gän M. b) T×m cÆp sè nguyªn (x, y) ®Ó biÓu thøc M cã gi¸ trÞ b»ng -7. Bµi 3: (2®iÓm)Ngêi ta ®Æt mét vßi níc ch¶y vµo bÓ vµ mét vßi níc ch¶y ra ë lng chõng bÓ. Khi bÓ c¹n, nÕu më c¶ hai vßi th× sau 2 giê 42 phót bÓ ®Çy níc. Cßn nÕu ®ãng vßi ch¶y ra më vßi ch¶y vµo th× sau 1giê rìi ®Çy bÓ. BiÕt vßi ch¶y vµo m¹nh gÊp 2 lÇn vßi ch¶y ra. 1) TÝnh thêi gian níc ch¶y vµo tõ lóc bÓ c¹n ®Õn lóc níc ngang chç ®Æt vßi ch¶y ra. 2) NÕu chiÒu cao cña bÓ lµ 2m th× kho¶ng c¸ch tõ chç ®Æt vßi ch¶y ra ®Õn ®¸y bÓ lµ bao nhiªu. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD. Gäi E lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BC (E kh¸c B vµ C). Qua A kÎ Ax vu«ng gãc víi AE, Ax c¾t CD t¹i F. Trung tuyÕn AI cña tam gi¸c AEF c¾t CD ë K. §êng th¼ng kÎ qua E, song song víi AB c¾t AI ë G. a) Chøng minh AE = AF vµ tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi. b) Chøng minh AKF ®ång d¹ng víi CAF vµ AF2 = FK. FC c) Khi E thay ®æi trªn BC, chøng minh chu vi tam gi¸c EKC kh«ng ®æi. Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho a lµ mét sè gåm 2n ch÷ sè 1, b lµ mét sè gåm n + 1 ch÷ sè 1, c lµ mét sè gåm n ch÷ sè 6 (n lµ sè tù nhiªn, n 1 ).Chøng minh r»ng: a  b  c  8 lµ sè chÝnh ph¬ng. §Ò sè 18 C©u 1: (2 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 4 2 a) x  4 x 5 ;b) x  1  2 x  3 5 A x4  x x2  x C©u 2: (2 ®iÓm)Cho biÓu thøc: a) Rót gän biÓu thøc A. b) T×m x ®Ó A > 1. C©u 3: (2 ®iÓm) Hai anh em Trung vµ Thµnh cïng cuèc mét m¶nh vên, vµ sÏ hoµn thµnh trong 5 giê 50 phót. Nhng sau 5 giê lµm chung Trung bËn viÖc kh¸c nªn kh«ng lµm n÷a, mét m×nh anh thµnh ph¶i lµm tiÕp trong 2 giê n÷a míi cuèc xong m¶nh vên. Hái nÕu lµm mét m×nh th× mçi anh ph¶i lµm trong bao l©u?. C©u 4: (3 ®iÓm)Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y lín CD. Qua A vÏ ®êng th¼ng AK song song víi BC. Qua B vÏ ®êng th¼ng BI song song víi AD c¾t AC ë F, AK c¾t BD ë E. Chøng minh r»ng: a) EF song song víi AB. b) AB2 = CD. EF n C©u 5: (1 ®iÓm)Chøng minh r»ng biÓu thøc: 10  18n  1 chia hÕt cho 27 víi n lµ sè tù nhiªn. §Ò sè 19 C©u 1: (2 ®iÓm) 4 2 a) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: x  3x  4 x  12 1 1 1 1 A    ...  1.3 3.5 5.7 2003.2005 b) TÝnh: C©u 2: (2 ®iÓm) 2 2 a) Cho a, b, c lµ hai sè kh¸c nhau vµ kh¸c 0 tho¶ m·n: 3a  b 4ab . 9 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A a b a b x  2   1 3 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 2 C©u 3: (2 ®iÓm)Cho A n  3n  2n (n  N) a) Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 3. b) T×m n víi n < 10 ®Ó A chia hÕt cho 15. C©u 4: (3 ®iÓm)Cho ABC vu«ng t¹i A vµ ®iÓm H di chuyÓn trªn BC. Gäi E, F lÇn lît lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua AB, AC. a) Chøng minh E, A, F th¼ng hµng. b) Chøng minh BEFC lµ h×nh thang. c) T×m vÞ trÝ cña H trªn BC ®Ó BEFC lµ h×nh thang vu«ng, h×nh b×nh hµnh. C©u 5: (1 ®iÓm) §Ò sè 20 Cho a 3  3ab 2 14  3 b  3a 2 b 13 2 2 TÝnh gi¸ trÞ cña : P a  b . Bµi 1: (2 ®iÓm) 2 2 a) Cho x > 0, y > 0 tho¶ m·n: x  2 xy 3 y .TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: b) Víi x 1 . Rót gän biÓu thøc: B A x y xy  x 2  6x  5 5 x n  x n 1 Bµi 2: (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ nguyªn cña x th× biÓu thøc P ( x) 1985. x3 x2 x  1978.  5. 3 2 6 cã gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 3: (2 ®iÓm) Mét ngêi ®i xe ®¹p, mét ngêi ®i xe m¸y, mét ngêi ®i « t« cïng ®i tõ A vÒ B khëi hµnh lÇn lît lóc 6 giê, 7 giê, 8 giê víi vËn tèc thø tù lµ 10 km/h, 30 km/h, 40 km/h. Hái lóc mÊy giê « t« c¸ch ®Òu ngêi ®i xe ®¹p vµ xe m¸y. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC nhän (AB AC ) cã O lµ giao ®iÓm cña ba ®êng trung trùc, vÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c hai h×nh vu«ng ABDE, ACGH. BiÕt OE = OH. TÝnh sè ®o gãc BAC ? 2 2 2 Bµi 5: (1 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( x  6 x  11)( y  2 y  4)  z  4 z  2 §Ò sè 21 C©u 1: (2 ®iÓm) A a 2  a  2  (a  2) 2  a 2 3  .  2  n 1 n  2 a  3a  4a  4 a  a a) Rót gän biÓu thøc: 19 18 17 16 2 b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: B x  5 x  5 x  5 x  ...  5 x  5 x  1886 víi x = 4. C©u 2: (2 ®iÓm) 3 a) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh x  5 x  12 y 4 . b) Cho a, b, c lµ c¸c sè tù nhiªn kh«ng nhá h¬n 1. 1 1 2   2 2 Chøng minh r»ng: 1  a 1  b 1  ab C©u 3: (2 ®iÓm) Mét « t« vËn t¶i ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 45 km/h. Sau ®ã mét thêi gian mét « t« con còng ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 60 km/h vµ nÕu kh«ng cã g× thay ®æi th× ®uæi kÞp « t« t¶i t¹i B. Nhng ngay sau khi ®i ®îc nöa qu·ng ®êng AB, xe t¶i gi¶m bít 5 km/h nªn hai xe gÆp nhau t¹i C c¸ch B 30 km. TÝnh qu·ng ®êng AB. C©u 4 : (3 ®iÓm) Mét ®êng th¼ng d ®i qua ®Ønh A cña h×nh b×nh hµnh ABCD c¾t BD, BC, DC theo thø tù ë E, K, G. Chøng minh r»ng: 10 1 1 1   b, AE AK AG a, AE2 = EK. EG; c, Khi ®êng th¼ng th¼ng d thay ®æi vÞ trÝ nhng vÉn ®i qua A th× tÝch BK.DG = Const C©u 5: (1 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: §Ò sè 22 M x 2  2 x  2005 x2 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng ta cã: x5 x 4 7 x3 5x 2 x A     120 12 24 12 5 24 20 lu«n lu«n lµ sè nguyªn d¬ng. 16 x  x  x  ....  x 4  1 B  26 x  x 24  x 22  ....  x 2  1 b) Rót gän: C©u 2: (2 ®iÓm)B¹n A hái b¹n B: “ n¨m nay bè mÑ cña anh bao nhiªu tuæi ?” B tr¶ lêi: “ bè t«i h¬n mÑ t«i 4 tuæi. Tríc ®©y khi tæng sè tuæi cña bè mÑ t«i lµ 104 tuæi th× tuæi cña ba anh em chóng t«i lµ 14; 10 vµ 6. HiÖn nay tæng sè tuæi cña bè mÑ t«i gÊp 2 lÇn tæng sè tuæi cña ba anh em t«i”. TÝnh xem tuæi cña bè mÑ b¹n B lµ bao nhiªu ? C©u 3: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu: x  y z  t (x, y, z, t  Z ) th× sè : A x 2  y 2  z 2  t 2 lµ tæng c¸c b×nh ph¬ng cña ba sè nguyªn. b) T×m sè tù nhiªn N tõ ba ®iÒu kiÖn sau: Trong ®ã cã 2 ®iÒu kiÖn ®óng, 1 ®iÒu kiÖn sai: 1. N + 45 lµ b×nh ph¬ng cña mét sè tù nhiªn. 2. N cã ch÷ sè tËn cïng lµ 7. 3. N - 44 lµ b×nh ph¬ng cña mét sè tù nhiªn. C©u 4: (3 ®iÓm) Hai ®êng chÐo AC vµ BD cña h×nh thoi ABCD c¾t nhau t¹i O. §êng trung trùc cña AB c¾t BD vµ AC t¹i O1 vµ O2 . §Æt O2A = a ; O1B = b . TÝnh diÖn tÝch ABCD theo a, b. x 2 C©u 5: (1 ®iÓm) T×m x, y, z  Z tho¶ m·n: (2 x  5 y  1)(2  y  x  x) 105 §Ò sè 23 C©u 1: (2 ®iÓm) 3k 2  3k  1 ( k 2  k ) 3 víi k  N*.TÝnh tæng S = a1  a2  a3  ....  a2007 a) Cho 3 2 2 b) Chøng minh r»ng: A n (n  7)  36n chia hÕt cho 7 víi mäi n nguyªn. ak  C©u 2: (3 ®iÓm) a) Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n ®ång thêi: x 2  2 y  1 0 ; y 2  2 z  1 0 2005 z 2  2 x  1 0 ; 2006 2007 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A x  y  z b) Chøng minh r»ng víi x, y  Z th× P ( x  y )( x  2 y )( x  3 y )( x  4 y )  y 4 lµ mét sè chÝnh ph¬ng. c) T×m sè d trong phÐp chia: ( x  1)( x  3)( x  5)( x  7)  2007 cho x 2  8 x  1 C©u 3: ( 2 ®iÓm)Ph¬ng vµ Hng cã 110.000 ®ång. Hai ngêi cïng rñ nhau ®i chî. Ph¬ng tiªu mÊt 1/5 sè tiÒn cña m×nh. Hng tiªu mÊt 1/6 sè tiÒn cña m×nh. Sè tiÒn cßn l¹i cña Hng nhiÒu h¬n sè tiÒn cßn l¹i cña Ph¬ng lµ 10.000 ®ång. Hái mçi ngêi cã bao nhiªu tiÒn. C©u 4: (3 ®iÓm)Cho h×nh b×nh hµnh ABCD (AC > BD). Gäi E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña B, D lªn AC; H, K lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña C trªn AB vµ AD. 1) Tø gi¸c DFBE lµ h×nh g× ? v× sao ? 11 2) Chøng minh tam gi¸c CHK ®ång d¹ng víi tam gi¸c BCA. 2 3) Chøng minh AC  AB. AH  AD. AK §Ò sè 24 C©u 1: (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1  1 1 1     ...  . x 2005  2 3 4 2005 2004 2003 2002 1    ....  2 3 2004 a) 1 x  1  x  3 4 b) C©u 2: (2 ®iÓm) T×m tØ lÖ ba ®êng cao cña mét tam gi¸c. BiÕt nÕu céng lÇn lît ®é dµi tõng cÆp hai c¹nh cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ lµ 5 : 7 : 8. C©u 3: (2 ®iÓm) a) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc: P( x) (2004  2005 x  x 2 ) 2004. (2004  2005 x  x 2 ) 2005 4 2 b) T×m sè tù nhiªn n ®Ó n  n  1 lµ sè nguyªn tè. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC. KÎ ®êng cao AH. Gäi C’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua AB, B’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua AC. Gäi giao ®iÓm cña B’C’ víi AC vµ AB lµ I vµ K. Chøng minh IB, CK lµ ®êng cao cña tam gi¸c ABC. C©u 5: (1 ®iÓm)Cho a, b, c  0; 1 vµ a  b  c 2 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P a 2  b 2  c 2 §Ò sè 25 C©u 1: ( 2 ®iÓm) 9 7 6 5 4 3 2 a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x  x  x  x  x  x  x  1  1  3y2 y x2   2     4  3 . y 3 2 2   x  xy x  xy x  x y  xy x  y   b) Rót gän biÓu thøc:  C©u 2: (2 ®iÓm) 4 4 a) Cã tån t¹i mét cÆp sè tù nhiªn (x, y) nµo ®Ó sè 4 x  y lµ mét sè nguyªn tè kh«ng. y2  2 y  3  6 x  2x  4 2 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: C©u 3: (2 ®iÓm) Mét ngêi ®i tõ A ®Õn B råi ®i tö B vÒ A mÊt 3 giê 17 phót, ®o¹n ®êng AB dµi 8 km gåm mét ®o¹n lªn dèc, tiÕp ®ã lµ mét ®o¹n ®êng b»ng, cuèi cïng lµ mét ®o¹n xuèng dèc. Hái ®o¹n ®êng b»ng dµi bao nhiªu km. NÕu vËn tèc cña ngêi ®ã lóc lªn dèc lµ 4km/h, lóc ®i ®o¹n ®êng b»ng lµ 5 km/h, lóc xuèng dèc lµ 6 km/h. C©u 4: (3 ®iÓm)Cho h×nh vu«ng ABCD, M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn ®êng chÐo BD. KÎ ME vu«ng gãc víi AB, MF vu«ng gãc víi AD. a) Chøng minh: DE = CF vµ DE  CF. b) Chøng minh r»ng 3 ®êng th¼ng DE, BF, CM ®ång quy. c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn BD ®Ó diÖn tÝch tø gi¸c AEMF lín nhÊt. C©u 5: (1 ®iÓm)Cho a, b, c lµ ba sè d¬ng. Chøng minh r»ng: §Ò sè 26 A x 4  x3  x 2  2 x  2 x4  2x3  x2  4 x  2 C©u 1: (2 ®iÓm) Cho ph©n thøc: a) Rót gän A. b) X¸c ®Þnh x ®Ó A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt. C©u 2: (2 ®iÓm) 12 1 a b c   2 a b bc c a (víi x  Z) 2 2 a) Cho x, y, z lµ c¸c sè nguyªn kh¸c 0.Chøng minh r»ng nÕu: x  yz a ; y  zx b ; 2 z  xy c Th× tæng ax  by  cz chia hÕt cho tæng a  b  c . b) Cho ®a thøc f(x) khi chia cho x-2 th× d 5, khi chia cho x-3 th× d 7, cßn khi chia cho x 2  5 x  6 th× ®îc th¬ng lµ 1  x 2 vµ cßn d. T×m ®a thøc f(x). x3  x2  x  1 3 C©u 3: (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: C©u 4: (3 ®iÓm)Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Trªn tia ®èi cña tia AD lÊy ®iÓm F sao cho AF = AB. Trªn tia ®èi cña tia AB lÊy ®iÓm E sao cho AE = AD. Gäi N lµ giao ®iÓm cña FC víi AB vµ M lµ giao ®iÓm cña EC vµ AD. a) Chøng minh MD = BN. b) KÎ BH  AC, gäi I lµ trung ®iÓm cña AH, K lµ trung ®iÓm cña CD. Chøng minh r»ng BH  IK. C©u 5: (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c sè cã ba ch÷ sè sao cho tæng c¸c nghÞch ®¶o cña c¸c ch÷ sè cña mçi sè b»ng 1. §Ò sè 27 C©u 1: (2 ®iÓm) x 2  y 2 10  xy 3 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc y  x  0 a) Cho vµ  4 1  4 1   4 1   1    3  .... 11   4  4  4 A  4 1  4 1   4 1   2    4  .... 12   4  4  4  b) Rót gän biÓu thøc M x y xy C©u 2: (2 ®iÓm) 4 3 2 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  4 x  19 x  106 x  120 0 x 2004 y 2004 2 x4 y4 1  1002    1002 2 2 b (a  b)102 b) Cho a b a  b vµ x  y 1 .Chøng minh r»ng: a C©u 3: (2 ®iÓm) Lóc 8 giê, An rêi nhµ m×nh ®Ó ®i ®Õn nhµ b×nh víi vËn tèc 4 km/h. Lóc 8 giê 20 phót, B×nh còng rêi nhµ m×nh ®Ó ®i ®Õn nhµ An víi vËn tèc 3 km/h. An gÆp B×nh trªn ®êng råi c¶ hai cïng ®i vÒ nhµ B×nh. Khi trë vÒ ®Õn nhµ m×nh An tÝnh ra qu·ng ®êng m×nh ®i dµi gÊp bèn lÇn qu·ng ®êng B×nh ®· ®i. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ nhµ An ®Õn nhµ B×nh. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD, mét gãc vu«ng xAy qoay quanh ®Ønh A cña h×nh vu«ng, c¹nh Ax c¾t c¸c ®êng th¼ng BC, CD lÇn lît t¹i M, N; c¹nh Ay còng c¾t c¸c ®êng th¼ng ®ã t¹i P vµ Q. a) Chøng minh r»ng ANP vµ AMQ vu«ng c©n. b) BiÕt QM c¾t PN ë R; I, K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña PN, QM. Tø gi¸c AKRI lµ h×nh g× ? c) Chøng minh 4 ®iÓm: B, D, K, I cïng thuéc mét ®êng th¼ng, tõ ®ã suy ra ®êng th¼ng IK cè ®Þnh khi gãc vu«ng xAy quay quanh ®Ønh A. 3 3 C©u 5: (1 ®iÓm)Cho p  q 2 . Chøng minh r»ng: 0  p  q 2 §Ò sè 28 C©u 1: (2 ®iÓm) 2 3 2 3 3 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( x  4 x  4)  (2  x )  (4 x  6) 0 4 2 b) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: x  2004x  2003x  2004 a b c   0 x y z x  y  z  0 a  b  c  0 C©u 2: (2 ®iÓm) Cho ; ; 2 2 2 Chøng minh: ax  by  cz 0 13 C©u 3: (2 ®iÓm) T×m sè nguyªn d¬ng A; Cho biÕt trong ba mÖnh ®Ò P, Q, R díi ®©y chØ cã duy nhÊt mét mÖnh ®Ò sai: P = “A+ 45 lµ b×nh ph¬ng cña mét sè tù nhiªn”. Q = “A tËn cïng lµ ch÷ sè 7”. R = “A - 44 lµ b×nh ph¬ng cña mét sè tù nhiªn”. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD; M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn BD, ME AB; MF  AD (E  AB, F  AD). a) Chøng minh DE, BF, CM ®ång quy. b) T×m M trªn BD ®Ó diÖn tÝch tø gi¸c AEMF lµ lín nhÊt. Bµi 5: (1 ®iÓm)T×m x nguyªn ®Ó y nguyªn: y 2x  3 x2  1 §Ò sè 29 C©u 1: (2 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc: A x 2  x x 3x 2  8 x  4 2 3 4 1 B 2  2  2  x  2 x x  7 x  10 x  14 x  15 x  9 b) a) C©u 2: (2 ®iÓm) 2 2 a) Cho 3a  b 4ab vµ b > a > 0. TÝnh 2 P a b a b 2 b) T×m x, y biÕt: x  y  xy  3x  3 0 C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho a, b lµ c¸c sè nguyªn. Chøng minh r»ng nÕu a chia cho 19 d 3, b chia cho 19 d 2 th× a 2  b 2  ab chia hÕt cho 19. b) Chøng minh r»ng tÝch cña bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp céng 1 lµ sè chÝnh ph¬ng. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC nhän. C¸c ®êng cao AA’, BB’ , CC’ c¾t nhau t¹i H, gäi M lµ trung ®iÓm cña BC vµ G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. Trªn tia HG lÊy ®iÓm O sao cho 1 OG = 3 OH; AO vµ HM c¾t nhau t¹i D. a) Chøng minh OM  BC.;b) Tø gi¸c BHCD lµ h×nh g× ? c) Gäi A1 , B1 , C1 lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng cña H qua c¸c c¹nh BC, CA, AB. TÝnh AA1 BB1 CC1   AA' BB ' CC ' 4 4 C©u 5: (1 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P ( x  8)  ( x  6) §Ò sè 30 2 2 2 2 2 2 4 4 4 C©u 1: (2 ®iÓm) Cho ®a thøc A 2a b  2b c  2a c  a  b  c a) Ph©n tÝch ®a thøc A thµnh nh©n tö. b) Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c th× A> 0. C©u 2: (2 ®iÓm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh:  x 2  y2  2 4 xy  1 a b c   0 b) Cho a, b, c ®«i mét kh¸c nhau vµ b  c c  a a  b . a b c P   2 2 (b  c) (c  a ) ( a  b) 2 TÝnh 14 C©u 3: (2 ®iÓm) 2 2 a) Cho m, n lµ c¸c sè tho¶ m·n: 3m  n 4m  n . Chøng minh (m-n) vµ (4m + 4n + 1) ®Òu lµ sè chÝnh ph¬ng. b) Cho x, y, z lµ c¸c sè kh¸c 0 tho¶ m·n x  y  z xyz A 1 1 1   m vµ x y z . 1 1 1  2 2 2 x y z theo m. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: C©u 4: (3 ®iÓm)Cho ABC , träng t©m G, trªn BC lÊy ®iÓm P, ®êng th¼ng qua P theo thø tù song song CG vµ BG c¾t AB, AC t¹i E, F; EF c¾t BG, CG theo tø tù t¹i I, J. a) Chøng minh: EI = IJ = JF b) Chøng minh PG ®i qua trung ®iÓm cña EF. c) Mét ®êng th¼ng P ë ngoµi tam gi¸c. Chøng minh r»ng tæng kho¶ng c¸ch tõ ba ®Ønh cña tam gi¸c ABC xuèng ®êng th¼ng d gÊp 3 lÇn kho¶ng c¸ch tõ träng t©m ®Õn ®th¼ng d. C©u 5: (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c sè cã hai ch÷ sè ab sao cho: ab a b 2 M  lµ sè nguyªn tè. 2 x y x2 y2   ( x  y )(1  y ) ( x  y )(1  x) (1  x)(1  y ) §Ò sè 31C©u 1: (2 ®iÓm)Cho biÓu thøc: a) Rót gän M. b) T×m cÆp sè nguyªn (x, y) ®Ó biÓu thøc M cã gi¸ trÞ b»ng -7. C©u 2: (3 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng víi n lµ sè tù nhiªn ch½n th× biÓu thøc: A 20 n  16 n  3n  1 chia hÕt cho 323 b) Cho x, y, z kh¸c 0 vµ x  y  z 0 . Chøng minh r»ng: 1 1 1 1 1 1 1 1     2007  2007  2007 2007 2007 y z x y  z 2007 NÕu x y z x  y  z th× x C©u 3: (2 ®iÓm) Trong mét cuéc ®ua m« t« cã ba xe cïng khëi hµnh mét lóc. Mét xe trong mét giê ch¹y chËm h¬n xe thø nhÊt lµ 15 km vµ nhanh h¬n xe thø ba 3 km, ®Õn ®Ých chËm h¬n xe thø nhÊt 12 phót vµ sím h¬n xe thø ba 3 phót. Kh«ng cã sù dõng l¹i trªn ®êng ®i. T×m vËn tèc mçi xe, qu·ng ®êng ®ua vµ xem mçi xe ch¹y mÊt bao nhiªu thêi gian. C©u 4: (2 ®iÓm)Cho h×nh vu«ng ABCD, gäi K, O, E, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, BC, CD vµ DA. C¸c ®o¹n th¼ng AO, BE, Cn vµ DK c¾t nhau t¹i L, M, R, P. TÝnh tØ sè diÖn tÝch S(MNPR) : S(ABCD). 1 1 1 1 S    ....  1.2.3 2.34 3.4.5 n(n  1)(n  2) C©u 5: (1 ®iÓm)TÝnh tæng §Ò sè 32 C©u 1: (2 ®iÓm) 4 a) Ph©n tÝch a  4 thµnh nh©n tö. A 2 4  4 6 4  4 10 4  4 14 4  4 184  4 . . . . 4 4  4 84  4 12 4  4 16 4  4 20 4  4 b) TÝnh : C©u 2: (2 ®iÓm) 15 14 13 2 2 a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A x  7 x  7 x  7 x  ...  7 x  7 x  5 víi x = 6 2 b) T×m n nguyªn ®Ó n - 1 chia hÕt cho n  n  1 C©u 3: ( 2 ®iÓm) 100 99 2 2 a) Cho ®a thøc f ( x) x  x  ...  x  x  1 .T×m d cña phÐp chia f(x) cho x  1 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: B xy( x  2)( y  6)  12 x 2  24 x  3 y 2  18 y  2004 15 C©u 4: (3 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH. Gäi E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña H lªn AB vµ AC. Gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ CE. a) Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g× ? T¹i sao ? b) Chøng minh AB. AE = AC. AF. c) So s¸nh diÖn tÝch tø gi¸c AEMF vµ diÖn tÝch tam gi¸c BMC. 2 2 C©u 5: (1 ®iÓm) Cho x  y  xy  x  y 3 3 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A  x  y §Ò sè 33 C©u 1: (2 ®iÓm) 1. Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: 10 2 a) x  x  1 2 2 b) ( x  3x  2)( x  7 x  12)  15 2 2 2. Cho a, b lµ c¸c sè tho¶ m·n a  b  ab 2005 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P a 4  b 4  ( a  b) 4 a 2  b 2  ( a  b) 2 C©u 2: ( 2 ®iÓm) ) Cho p vµ p2 + 2 lµ c¸c sè nguyªn tè. Chøng minh r»ng p3 + 2 lµ sè nguyªn tè. b) T×m c¸c sè d¬ng x, y, z tho¶ m·n: x  y xyz vµ x  y  z 4 C©u 3: (2 ®iÓm) Trªn qu·ng ®êng AB cña mét thµnh phè, cø 6 phót l¹i cã mét xe buýt ®i theo chiÒu tõ A ®Õn B vµ còng cø 6 phót l¹i cã mét xe buýt ®i theo chiÒu ngîc l¹i. C¸c xe nµy chuyÓn ®éng ®Òu víi cïng vËn tèc nh nhau. Mét kh¸ch du lÞch ®i bé tõ A ®Õn B nhËn thÊy cø 5 phót l¹i gÆp mét xe buýt ®i tõ B vÓ phÝa m×nh. Hái cø bao nhiªu phót l¹i cã mét xe ®i tõ A vît qua ngêi ®ã. C©u 4: (3 ®iÓm) a) Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. LÊy E thuéc BD, Gäi F lµ ®iÓm ®èi xøng víi C qua E. Qua F kÎ Fx song song víi AD, c¾t AB t¹i I, Fy song song víi AB, c¾t AD t¹i K. Chøng minh r»ng ba ®iÓm I, K, E th¼ng hµng. b) Cho ®o¹n th¼ng AB song song víi ®êng th¼ng d. T×m ®iÓm M (d vµ M n»m kh¸c phÝa víi AB) sao cho c¸c tia MA, MB t¹o víi ®êng th¼ng d mét tam gi¸c cã diÖn tÝch nhá nhÊt. C©u 5: (1 ®iÓm)Gi¶i ph¬ng tr×nh: §Ò sè 34 x  a2 x  b2 x2  a  b2  x2 x2  b2 C©u 1: (2 ®iÓm) 2 a) Cho x  4 x  1 0 .TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A x4  x2  1 x2 x2  8 b) T×m sè tù nhiªn x ®Ó x  8 lµ sè chÝnh ph¬ng. C©u 2: (2 ®iÓm) 2 2 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh:  x  1 4 x  1 x 1 1 b) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 2  x C©u 3: ( 2 ®iÓm)ViÖt (hái): B¹n ë sè nhµ bao nhiªu ? Nam (tr¶ lêi): M×nh ë sè nhµ lµ mét sè cã ba ch÷ sè, mµ hai ch÷ sè ®Çu còng nh hai ch÷ sè cuèi lËp thµnh mét sè chÝnh ph¬ng vµ sè nµy gÊp bèn lÇn sè kia ? ViÖt: Sau mét lóc suy nghÜ ®· t×m ra sè nhµ cña Nam. Hái sè nhµ cña Nam lµ bao nhiªu ? C©u 4: ( 3 ®iÓm) 16 1) Cho hai ®iÓm A vµ B n»m cïng phÝa ®èi víi ®êng th¼ng a. H·y t×m trªn ®êng th¼ng a mét ®iÓm P sao cho tæng ®é dµi AP + PB lµ bÐ nhÊt. 2) Cho gãc nhän xOy vµ 1 ®iÓm A ë miÒn trong gãc ®ã. H·y t×m trªn hai c¹nh Ox, Oy c¸c ®iÓm t¬ng øng B vµ C sao cho chu vi tam gi¸c ABC bÐ nhÊt. 2 2 2 2 C©u 5: (1 ®iÓm)T×m c¸c sè x, y, z, t tháa m·n: x  y  z  t x( y  z  t ) §Ò sè 35 C©u 1: ( 2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 3 3 3 3 a) (a  b  c)  (a  b  c)  (b  c  a)  (c  a  b) 2 2 3 2 2 3 2 2 3 b) ( x  y )  ( z  x )  ( y  z ) C©u 2: (2 ®iÓm) 2 a) Cho f(x) = ax  bx  c .Chøng minh r»ng: f(x) + 3f(x + 2) = 3f(x + 1) + f(x + 3) 2 2 b) T×m c¸c sè x, y nguyªn d¬ng tho¶ m·n: x  y 2 y  13 C©u 3: ( 2 ®iÓm) 5 3 a) Chøng minh r»ng n  5n  4n chia hÕt cho 120 víi mäi n nguyªn. b) Cho tam gi¸c cã ®é dµi hai ®êng cao lµ 3 cm vµ 7 cm. H·y t×m ®é dµi ®êng cao thø ba, biÕt r»ng ®é dµi ®êng cao ®ã lµ mét sè nguyªn. C©u 4: (3 ®iÓm) a) Chøng minh tæng ®é dµi c¸c c¹nh cña mét ngò gi¸c låi bÐ h¬n tæng ®é dµi c¸c ®êng chÐo cña ngò gi¸c ®ã. b) Cho tam gi¸c ABC . Trong c¸c h×nh ch÷ nhËt cã hai ®Ønh n»m trªn c¹nh BC vµ hai ®Ønh cßn l¹i lÇn lît n»m trªn hai c¹nh AB vµ AC, h·y t×m h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch lín nhÊt. C©u 5: (1 ®iÓm).T×m tÊt c¶ c¸c sè thùc d¬ng x, y tho¶ m·n: §Ò sè 36 x 3  y 3  xy  1 27 C©u 1: ( 2 ®iÓm) 5 a) Chøng minh r»ng: n  n chia hÕt cho 30 víi mäi sè nguyªn n. 3 3 b) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: x  y  6 xy  8 C©u 2: (2 ®iÓm) 1 1 1  x  y  z 2    2  1 4  xy z a) T×m x, y, z tho¶ m·n: b) Cho a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ ®«i mét kh¸c nhau. Chøng minh r»ng: A 1 1 1   2 2 ( a  b) (b  c) (c  a ) 2 lµ mét sè h÷u tØ. C©u 3: ( 2 ®iÓm) 2 2 1  1 25   x     y    x  y 2 a) Cho x, y > 0 tho¶ m·n x + y =1. Chøng minh r»ng:  1 1 1 1   ....  2  2 n  ( n  1) 2 b) Chøng minh r»ng: 5 13 4 3 2 C©u 4: (2 ®iÓm)Cho ®a thøc P(x) x  ax  bx  cx  d víi a, b, c , d lµ h»ng sè. BiÕt P(1) = 10; P(2) = 20 ; P(3) = 30 . TÝnh P(12) + P(-8). 2 2 2 2 C©u 5: ( 2 ®iÓm)T×m c¸c sè x, y nguyªn tho¶ m·n: x y  x  8 y 2 xy 17 §Ò sè 37 Bµi 1: (4 ®iÓm) 4 a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: A x  4 b) T×m sè nguyªn a ®Ó biÓu thøc P a2  a  3 a 1 nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 2: (4 ®iÓm) §a thøc P(x) khi chia cho x -3 d 7, khi chia cho x + 5 d -9 cßn khi chi cho x2 - 5x + 6 th× ®îc th¬ng lµ x2 + 1 vµ cßn d. T×m ®a thøc P(x). Bµi 3: (6 ®iÓm) x  ab x  ac x  bc   a  b  c a) BiÕt x lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: a  b a  c b  c T×m x ë d¹ng thu gän. (23  1)(33  1)(43  1)....(503  1) M 3 (2  1)(33  1)(43  1)....(503  1) b) Rót gän biÓu thøc: Bµi 4: (6 ®iÓm) a) Trªn tia Ox cña gãc xOy cho tríc mét ®iÓm A. H·y t×m trªn tia Oy cña gãc ®ã mét ®iÓm B sao cho OB + BA = d (víi d lµ ®é dµi cho tríc. b) Cho tam gi¸c ABC cã 2 trung tuyÕn kÎ tõ B vµ C lµ BE vµ CF. Chøng minh r»ng BE vu«ng gãc víi CF khi vµ chØ khi: AC2 + AB2 = 5BC2 . §Ò sè 38 Bµi 1: (2 ®iÓm) 4 2 a) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: x  3x  2 x  3 3 2 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  3x  3x  1 0 Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: a) Rót gän P. b) T×m a ®Ó P nguyªn. Bµi 3: (3 ®iÓm)  a  2 a  2  a 1 P   .  a 1 a  1  a y  z 1 x  z  2 x  y  3 1    x y z xyz a) T×m c¸c sè nguyªn x, y, z biÕt r»ng: 2 b) Cho ®a thøc f(x) = ax  bx  c víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ. BiÕt r»ng f(0), f(1), f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn. Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC nhän víi ba ®êng cao AA’, BB’, CC’. Gäi H lµ trùc HA' HB' HC '   1 t©m cña tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng: AA' BB' CC ' 2 Bµi 5: (1 ®iÓm) T×m c¸c h»ng sè a vµ b sao chob ®a thøc x  ax  b chia cho (x + 1) th× d 7, chia cho (x-3) th× d -5. §Ò sè 39 Bµi 1: (2 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc: 2 2 2 2 a) P (a  b  c)  (a  b  c)  (a  b  c)  (b  c  a) Q 1 1 1   2 x  y x  y x  y2 b) Bµi 2: ( 2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: (a  b  c)(ab  bc  ca)  abc 18 b) T×m x, y biÕt: x2  y2  x  3y  5 0 2 2 c) Cho A (n  1)(n  3n  1) . T×m sè tù nhiªn n ®Ó gi¸ trÞ cña A lµ mét sè nguyªn tè. Bµi 3: ( 2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  13 x  11 x  9 x  7 x  5 x  117 x  119 x  121 x  123 x  125          117 119 121 123 125 13 11 9 7 5 Bµi 4: (2 ®iÓm) Mét « t« khëi hµnh ®i tõ A ®Õn C, hai giê sau mét « t« kh¸c ®i tõ B ®Õn 2 3 C. Sau 5 giê tÝnh tõ khi « t« thø nhÊt lhëi hµnh th× hai « t« gÆp nhau. TÝnh vËn tèc cña mçi « t«. BiÕt r»ng B n»m trªn ®êng tõ A ®Õn C vµ qu·ng ®êng AB b»ng 78 km, vËn tèc cña « t« ®i tõ A lín h¬n vËn tèc cña « t« ®i tõ B lµ 5 km/h. Bµi 5: (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã ba ph©n gi¸c trong lµ AD, BE vµ CF. Gäi M, N, P theo thø tù lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng cña B, A vµ C qua AD, BE , AD. Q lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua CF. Chøng minh MN // PQ. §Ò sè 40 Bµi 1: ( 2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 4 3 2 a)  x  1  2 x  x 3 3 3 3 3 3 b) a (b  c )  b(c  a )  c(a  b ) Bµi 2: (4 ®iÓm) 3 3 2 a) Rót gän biÓu thøc sau: (a  b  1)  (a  b  1)  6(a  b) 3 2 2 b) X¸c ®Þnh a, b ®Ó ®a thøc x  ax  2 x  b chia hÕt cho ®a thøc x  1 2005 2004 2002 2 c) T×m d cña phÐp chia ®a thøc f ( x) 2004 x  2005x  x  1 cho ®a thøc x  1 d) T×m x nguyªn tho¶ m·n: 2 x  1  5 Bµi 3: (2,5 ®iÓm)Cho tø gi¸c ABCD cã AD = BC. Gäi M, N, P vµ Q lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, CD, BD vµ AC. a) Chøng minh MN lµ ph©n gi¸c cña gãc PMQ. b) T×m ®iÒu kiªn cña tø gi¸c ABCD ®Ó MN = PQ. c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm I trªn CD ®Ó AIB cã chu vi nhá nhÊt. Bµi 4: (1,5 ®iÓm) 2 2 2 2 a) TÝnh nhanh: 998  999  1001  1002 2 2 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A  x  xy  y  3x  3 y  2004 §Ò sè 41 Bµi 1: (2 ®iÓm) 4 3 2 a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x  x  2 x  3x  1 2 2 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A 2 x  9 y  6 xy  6 x  12 y  2006 Bµi 2: (2 ®iÓm) a) T×m th¬ng vµ phÇn d trong phÐp chia ®a thøc: f ( x ) 1  x  x 2  x 3  ...  x1997 2 cho x  1 b) §a thøc f(x) khi chia cho x-3 th× d 10, khi chia cho x+5 th× d 2 cßn khi chia cho (x-3)(x+5) 2 th× ®îc th¬ng lµ x  1 vµ cßn d. T×m ®a thøc f(x). 1999 1997 Bµi 3: (2 ®iÓm)T×m sè tù nhiªn x sao cho M  x  x  1 cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn tè. Bµi 4: (3 ®iÓm)Cho h×nh vu«ng ABCD vµ mét ®iÓm M trªn ®êng chÐo AC. Tõ M h¹ MH, MK thø tù vu«ng gãc víi AB vµ BC. a) Chøng minh r»ng: AK, CH vµ DM ®ång quy. 1 HK 2  KD 2 b) TÝnh c¸c gãc cña ∆DHK nÕu biÕt diÖn tÝch cña ∆ ®ã b»ng 4 . 19   Bµi 5: (1 ®iÓm)T×m a ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt: §Ò sè 42 2x  a 1  x  3 Bµi 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 5 4 3 2 a) x  2 x  2 x  4 x  3x  6 3 2 b) x  x  4  1 m m2  m  1  2m  1  : 2 P   3 .  m  1 m  1 m  1  m  2m  1 Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: a) Rót gän P. m 2001 1999 b) TÝnh P khi Bµi 3: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n th× ph©n sè: 15n 2  8n  6 30n 2  21n  13 tèi gi¶n. 2 b) T×m sè nguyªn n ®Ó n  7 chia hÕt cho n  64 Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E. Tõ A kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AE, c¾t ®êng th¼ng CD t¹i F. Gäi I lµ trung ®iÓm cña EF, AI c¾t CD t¹i M. Qua E dùng ®êng th¼ng song song víi CD c¾t AI t¹i N. a) Chøng minh tø gi¸c MENF lµ h×nh thoi. b) Chøng minh r»ng chi vi tam gi¸c CEM kh«ng ®æi khi E chuyÓn ®éng trªn BC. Bµi 5: (1 ®iÓm)T×m a ®Ó P = a4 + 4 lµ mét sè nguyªn tè. §Ò sè 43 Bµi 1: ( 2®iÓm) h©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 2 a) ( x  y )  ( x  y )  6 2 2 2 b) ( x  x  1)( x  3x  1)  x 5 4 3 2 Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho ®a thøc P( x)  x  ax  bx  cx  dx  e vµ cho biÕt P(1) = 3 ; P(2) = 9; P(3) = 19; P(4) = 33 ; P(5) = 51. TÝnh P(6) ; P(7) ; P(8). Bµi 3: (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2  4x 2 5 x 2  4x  4 a) 5 4 3 2 b) x  x  x  x  2 Bµi 4: (2 ®iÓm)Dïng hai can 4 lÝt vµ 2,5 lÝt lµm thÕ nµo ®Ó ®ong ®îc 3 lÝt rîu tõ mét can 6 lÝt ®ùng ®Çy rîu (c¸c can kh«ng cã v¹ch chia ®é). 100 10 Bµi 5: (2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = x  10 x  10 §Ò sè 44 Bµi 1: (2 ®iÓm) 5 4 a) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: x  x  1 b) T×m c¸c cÆp sè (x, y) ®Ó biÓu thøc sau ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt: P  x 2  y 2  xy  2 x  2 y Bµi 2: ( 2®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 3 4 a)  x  2   x  3   x  4  2 b) x 2  1  x 2  4 x 2  2x  4 20
- Xem thêm -