Bài 1 (4đ):
1/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x +3x +6x+4
.
2/ a,b,c là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: 4a2b2 > (a2 + b2 − c2)2
x
2( x y )
y
3
2 2
3
Bài 2 (3đ): Chứng minh rằng nếu x + y = 1 và xy ≠ 0 thì : x 1 − y 1 = x y 3
Bài 3 (5đ): Giải phương trình:
x 2 24
x 2 22
x 2 20
x 2 18
1, 2001 + 2003 = 2005 + 2007
2, (2x − 1)3 + (x + 2)3 = (3x + 1)3
Bài 4 (6đ):
Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài ∆ đó ∆ABD vuông cân tại B và
∆ACE vuông cân tại C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BE.
Chứng minh rằng:
1, AH = AK
2, AH2 = BH.CK
Bài 5 (2đ): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6).
®Ò thi häc sinh giái
Bµi 1:
x2 6 x 5
n
n 1
Rót gän biÓu thøc: A = 5 x x
víi /x/ = 1
Cho x, y tháa m·n: x2 + 2y2 + 2xy – 4y + 4 = 0
x 2 7 xy 52
x y
TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: B =
( x y)
Bµi 2:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:(x – 2).(x + 2).(x2 – 10) = 72
T×m x ®Ó biÓu thøc:A = ( x – 1).(x + 2).(x + 3)(x + 6) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ? T×m gi¸ trÞ nhá
nhÊt ®ã ?
Bµi 3:
T×m sè tù nhiªn x sao cho: x2 + 21 lµ sè chÝnh ph¬ng ?
Chøng minh r»ng: NÕu m, n lµ hai sè chÝnh ph¬ng lÎ liªn tiÕp th×:(m – 1).(n – 1) 192
Bµi 4:Cho ®o¹n th¼ng AB. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy 1 ®iÓm C sao cho AC > BC. Trªn cïng nöa
mÆt ph¼ng bê AB vÏ hai h×nh vu«ng ACNM, BCEF. Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ BN.
Chøng minh: M; H; F th¼ng hµng.
Chøng minh: AM lµ tia ph©n gi¸c cña AHN.
VÏ AI HM; AI c¾t MN t¹i G. Chøng minh: GE = MG + CF
Bµi 5:
G¶i ph¬ng tr×nh:(x2 + 10x + 8)2 = (8x + 4).(x2 + 8x + 7)
1 1 1
9
Cho a, b, c R+ vµ a + b + c = 1.Chøng minh r»ng: a b c
§Ò sè 1
3 x2
1
1
A 2
:
2
3 x 3 x 27 3 x
x 3
Bµi 1: (3 ®iÓm)Cho biÓu thøc
a) Rót gän A; b) T×m x ®Ó A < -1.
c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
1
6y
2
2
Bµi 2: (2 ®iÓm)Gi¶i ph¬ng tr×nh: a) 3 y 10 y 3 9 y 1 1 3 y
6 x 1
x 3 x
1
.
3 2
2
4
x
3
2
2
b)
1
2
Bµi 3: (2 ®iÓm)
Mét xe ®¹p, mét xe m¸y vµ mét « t« cïng ®i tõ A ®Õn B. Khëi hµnh lÇn
lît lóc 5 giê, 6 giê, 7 giê vµ vËn tèc theo thø tù lµ 15 km/h; 35 km/h vµ 55 km/h. Hái lóc mÊy
giê « t« c¸ch ®Òu xe ®¹p vµ xe ®¹p vµ xe m¸y.
Bµi 4: (2 ®iÓm)
Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD tõ ®iÓm P thuéc ®êng chÐo AC ta dùng h×nh
ch÷ nhËt AMPN ( M AB vµ N AD). Chøng minh:
a) BD // MN.
b) BD vµ MN c¾t nhau t¹i K n»m trªn AC.
Bµi 5: (1 ®iÓm)Cho a = 11…1 (2n ch÷ sè 1), b = 44…4 (n ch÷ sè 4).
Chøng minh r»ng: a + b + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng.
§Ò sè 2
C©u I: (2®iÓm)
1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
2
a) x 4 x 5
b) ab(a b) ac(a c) bc(2a b c)
1
1
1
1
4
2
2
2
2) Gi¶i ph¬ng tr×nh x x x 3x 2 x 5 x 6 x 7 x 12 5
2
C©u II: (2 ®iÓm)
f ( x ) x 3 2 x 2 ax b chia hÕt cho ®a thøc g ( x) x 2 x 1 .
161
37
13
5
2
2) T×m d trong phÐp chia ®a thøc P( x) x x x x x 2006 cho ®a thøc Q( x) x 1.
1) X¸c ®Þnh a, b ®Ó da thøc
C©u III: (2 ®iÓm)
1) Cho ba sè a, b, c kh¸c 0 vµ a + b + c = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
a2
b2
c2
P 2
a b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2
2) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n a b , b c, c a .
a 2 bc
b 2 ac
c 2 ab
0
CMR: (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b)
C©u IV: (3®iÓm)
1) Cho ®o¹n th¼ng AB, M lµ ®iÓm n»m gi÷a A vµ B. Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê AB kÎ c¸c
h×nh vu«ng ACDM vµ MNPB. Gäi K lµ giao ®iÓm cña CP vµ NB. CMR:
a) KC = KP
b) A, D, K th¼ng hµng.
c) Khi M di chuyÓn gi÷a A vµ B th× kho¶ng c¸ch tõ K ®Õn AB kh«ng ®æi.
2) Cho ∆ABC cã ba gãc nhän, ba ®êng cao AA”, BB’, CC’ ®ång quy t¹i H.
HA' HB' HC '
CMR: AA' BB' CC '
C©u V: (1 ®iÓm):
b»ng mét h»ng sè.
Cho hai sè a, b kh«ng ®ång thêi b»ng 0. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt
Q
a 2 ab b 2
a 2 ab b 2
cña biÓu thøc:
§Ò sè 3
Bµi 1: (2 ®iÓm)
a) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a(b c) 2 (b c) b(c a) 2 (c a) c(a b) 2 (a b)
1 1 1
0
b) Cho a, b, c kh¸c nhau, kh¸c 0 vµ a b c
1
1
1
N 2
2
2
a 2bc b 2ca c 2ab
Rót gän biÓu thøc:
Bµi 2: (2®iÓm)
M x 2 y 2 xy x y 1
a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
2
4
4
b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( y 4,5) ( y 5,5) 1 0
Bµi 3: (2®iÓm)
Mét ngêi ®i xe m¸y tõ A ®Õn B víi vËn tèc 40 km/h. Sau khi ®i ®îc 15 phót, ngêi ®ã
gÆp mét « t«, tõ B ®Õn víi vËn tèc 50 km/h. « t« ®Õn A nghØ 15 phót råi trë l¹i B vµ gÆp ngêi
®i xe m¸y t¹i mét mét ®Þa ®iÓm c¸ch B 20 km. TÝnh qu·ng ®êng AB.
Bµi 4: (3®iÓm)
Cho h×nh vu«ng ABCD. M lµ mét ®iÓm trªn ®êng chÐo BD. KÎ ME vµ MF vu«ng gãc
víi AB vµ AD.
a) Chøng minh hai ®o¹n th¼ng DE vµ CF b»ng nhau vµ vu«ng gãc víi nhau.
b) Chøng minh ba ®êng th¼ng DE, BF vµ CM ®ång quy.
c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M ®Ó tø gi¸c AEMF cã diÖn tÝch lín nhÊt.
Bµi 5: (1®iÓm)
2
2
T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 3x 5 y 345
§Ò sè 4
Bµi 1: (2,5®iÓm)Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a) x5 + x +1 ;b) x4 + 4;c) x x - 3x + 4 x -2 víi x 0
A
Bµi 2 : (1,5®iÓm)Cho abc = 2
Rót gän biÓu thøc:
a
b
2c
ab a 2 bc b 1 ac 2c 2
ab
P 2
4a b 2
Bµi 3: (2®iÓm)Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a b 0.TÝnh:
Bµi 4 : (3®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Trªn BC lÊy M bÊt k× sao cho BM CM.
Tõ N vÏ ®êng th¼ng song song víi AC c¾t AB t¹i E vµ song song víi AB c¾t AC t¹i F. Gäi N
lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua E F.
a) TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF. BiÕt : AB =7cm
Chøng minh : AFEN lµ h×nh thang c©n
c) TÝnh : ANB + ACB = ?
M ë vÞ trÝ nµo ®Ó tø gi¸c AEMF lµ h×nh thoi vµ cÇn thªm ®iÒu kiÖn cña ABC
®Ó cho AEMF lµ h×nh vu«ng.
Bµi 5: (1®iÓm)Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n th× : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hÕt
cho 23.
§Ò sè 5
M
1
1
1
1
2
2
2
x 5 x 6 x 7 x 12 x 9 x 20 x 11x 30
2
Bµi 1: (2®iÓm) Cho biÓu thøc:
1) Rót gän M.
2) T×m gi¸ trÞ x ®Ó M > 0.
Bµi 2: (2®iÓm) Ngêi ta ®Æt mét vßi níc ch¶y vµo bÓ vµ mét vßi níc ch¶y ra ë lng chõng bÓ.
Khi bÓ c¹n, nÕu më c¶ hai vßi th× sau 2 giê 42 phót bÓ ®Çy níc. Cßn nÕu ®ãng vßi ch¶y ra më
vßi ch¶y vµo th× sau 1giê rìi ®Çy bÓ. BiÕt vßi ch¶y vµo m¹nh gÊp 2 lÇn vßi ch¶y ra.
1) TÝnh thêi gian níc ch¶y vµo tõ lóc bÓ c¹n ®Õn lóc níc ngang chç ®Æt vßi ch¶y ra.
2) NÕu chiÒu cao cña bÓ lµ 2m th× kho¶ng c¸ch tõ chç ®Æt vßi ch¶y ra ®Õn ®¸y bÓ lµ bao nhiªu.
2
2
Bµi 3: (1®iÓm) T×m x, y nguyªn sao cho: x 2 xy x y 4 y 0
Bµi 4: (3®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD cè ®Þnh, cã ®é dµi c¹nh lµ a. E lµ ®iÓm di chuyÓn trªn
®o¹n CD (E kh¸c D). §êng th¼ng AE c¾t BC t¹i F, ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AE t¹i A c¸t CD
t¹i K.
1) Chøng minh tam gi¸c ABF b»ng tam gi¸c ADK.
2) Gäi I lµ trung ®iÓm KF, J lµ trung ®iÓm cña AF. Chøng minh r»ng:
JA = JB = JF = JI.
3) §Æt DE = x (a x > 0) tÝnh ®é dµi c¸c c¹nh cña tam gi¸c AEK theo a vµ x.
4) H·y chØ ra vÞ trÝ cña E sao cho ®é dµi EK ng¾n nhÊt.
1
1
1
x2 y2 z2
0
N
xy
yz
zx
yz
zx
xy
Bµi 5: (1®iÓm)Cho x, y, z kh¸c 0 tho¶ m·n:
. TÝnh
§Ò sè 6
3
C©u I: (5 ®iÓm) Rót gän c¸c ph©n thøc sau:
x 1 x x
2
1) 3x 4 x 1
(a 1) 4 11(a 1) 2 30
4
2
2) 3(a 1) 18(a 2a) 3
C©u II: (4 ®iÓm)
1) Cho a, b lµ c¸c sè nguyªn, chøng minh r»ng nÕu a chia cho 13 d 2 vµ b chia cho 13 d 3 th×
a 2 b 2 chia hÕt cho 13.
2) Cho a, b, c lµ c¸c sè nguyªn tho¶ m·n abc = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
a
b
c
A
1 a ac 1 b bc 1 c ac
x 2 2x 1 x 2 2x 2 7
2
2
3) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 2 x 2 x 2 x 3 6
C©u III: (4 ®iÓm)§Ó thi ®ua lËp thµnh tÝch chµo mõng ngµy thµnh lËp ®oµn TNCS Hå ChÝ
Minh (26/3). Hai tæ c«ng nh©n l¾p m¸y ®îc giao lµm mét khèi lîng c«ng viÖc. NÕu hai tæ lµm
chung th× hoµn thµnh trong 15 giê. NÕu tæ I lµm trong 5 giê, tæ 2 lµm trong 3 giê th× lµm ®îc
30% c«ng viÖc. NÕu c«ng viÖc trªn ®îc giao riªng cho tõng tæ th× mçi tæ cÇn bao nhiªu thêi
gian ®Ó hoµn thµnh.
C©u IV: (3 ®iÓm)Cho h×nh b×nh hµnh ABCD (AC > BD). Gäi E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña B,
D lªn AC; H, K lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña C trªn AB vµ AD.
1) Tø gi¸c DFBE lµ h×nh g× ? v× sao ?
2) Chøng minh tam gi¸c CHK ®ång d¹ng víi tam gi¸c BCA.
2
3) Chøng minh AC AB. AH AD. AK
x 2002
2002
x 2003
2003
1
C©u V: (2 ®iÓm)Gi¶i ph¬ng tr×nh:
§Ò sè 7
C©u I: (2®iÓm)
4
3
2
2
1. Thùc hiÖn phÐp chia A 2 x x x x 2 cho B x 1 . T×m x Z ®Ó A chia hÕt cho B.
2. Ph©n tÝch ®a thøc th¬ng trong c©u 1 thµnh nh©n tö.
C©u II: (2®iÓm)
2
4
8
16
32
1. So s¸nh A vµ B biÕt: A 5 1 vµ B 6(5 1)(5 1)(5 1)(5 1)
2. Chøng minh r»ng: 1919 + 69 69 chia hÕt cho 44.
C©u III: (2®iÓm)
2
1. Cho mét tam gi¸c cã ba c¹nh lµ a, b, c tho¶ m·n: (a b c) 3(ab bc ca) . Hái tam gi¸c
®· cho lµ tam gi¸c g× ?
100
99
2
2. Cho ®a thøc f(x) = x x ... x x 1 . T×m d cña phÐp chia ®a thøc f(x) cho ®a thøc
x2 1.
C©u IV: (3®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH. Gäi E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu
cña H lªn AB vµ AC. Gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ CE.
1. Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g× ? T¹i sao ?
2. Chøng minh AB. CF = AC. AE
3. So s¸nh diÖn tÝch tø gi¸c AEMF vµ diÖn tÝch tam gi¸c BMC.
C©u V : (1 ®iÓm)Chøng minh nghiÖm cña ph¬ng tr×nh sau lµ mét sè nguyªn:
x 2 x 3 x 4 x 2005 x 2004 x 2003
2005 2004 2003
2
3
4
§Ò sè 8
C©u 1: (2®iÓm)
4
2
N
2
3x 2 y 1
4 xy
a) Cho x 2 xy 2 y 2 x 6 y 13 0 .TÝnh
b) NÕu a, b, c lµ c¸c sè d¬ng ®«i mét kh¸c nhau th× gi¸ trÞ cña ®a thøc sau lµ sè d¬ng.
A a 3 b 3 c 3 3abc
C©u 2: (2 ®iÓm)Chøng minh r»ng nÕu a + b + c = 0 th×:
a
b
a b b c c a c
A
9
a
b a b b c c a
c
C©u 3: (2 ®iÓm)
Mét « t« ph¶i ®i qu·ng ®êng AB dµi 60 km trong thêi gian nhÊt ®Þnh.
Nöa qu·ng ®êng ®Çu ®i víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc dù ®Þnh lµ 10km/h. Nöa qu·ng ®êng sau ®i
víi vËn tèc kÐm h¬n vËn tèc dù ®Þnh lµ 6 km/h.
TÝnh thêi gian « t« ®i trªn qu·ng ®êng AB biÕt ngêi ®ã ®Õn B ®óng giê.
C©u 4: (3 ®iÓm)
Cho h×nh vu«ng ABCD trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E. Tõ A kÎ ®êng th¼ng
vu«ng gãc v¬i AE c¾t ®êng th¼ng CD t¹i F. Gäi I lµ trung ®iÓm cña EF. AI c¾t CD t¹i M. Qua
E dùng ®êng th¼ng song song víi CD c¾t AI t¹i N.
a) Chøng minh tø gi¸c MENF lµ h×nh thoi.
b) Chøng minh chi vi tam gi¸c CME kh«ng ®æi khi E chuyÓn ®éng trªn BC.
6
2
4
C©u 5: (1 ®iÓm) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x 3x 1 y
§Ò sè 9
Bµi 1: (2 ®iÓm)
6
1 6 1
x x 6 2
x
x
M
3
1
1
3
x x 3
x
x
Cho
a) Rót gän M.
b) Cho x > 0, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M.
Bµi 2: (2 ®iÓm)
3
3
3
a) T×m x biÕt : (2 x 5) ( x 2) ( x 3)
b) T×m sè tù nhiªn n ®Ó n + 24 vµ n - 65 lµ hai sè chÝnh ph¬ng.
Bµi 3: (2 ®iÓm)
4 x 2 17 xy 9 y 2 5 xy 4 y 2
a) Cho x vµ y tho¶ m·n:
b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a b c abc
2
2
2
2
2
3
3
.TÝnh H x y xy
2
Chøng minh: a(b 1)(c 1) b(a 1)(c 1) c(a 1)(b 1) 4abc
Bµi 4: (4 ®iÓm)Cho h×nh thang ABCD ®¸y nhá AB, Gäi I lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD. Qua I
vÏ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t AD vµ BC lÇn lît t¹i M vµ N.
a) Chøng minh IM = IN.
1
1
2
b) Chøng minh: AB CD MN
c) Gäi K lµ trung ®iÓm cña DC, vÏ ®êng th¼ng qua M song song víi AK c¾t DC, AC lÇn lît t¹i
H vµ E. Chøng minh HM + HE = 2AK.
d) Cho S(AIB) = a2 (cm2) , S(DIC) = b2 (cm2). TÝnh S(ABCD) theo a vµ b.
§Ò sè 10
C©u 1: (2 ®iÓm)
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
2
2
8
a) x x 12 ; b) x x 1 ; c) ( x 3 x 2)( x 11x 30) 5
C©u 2: (2 ®iÓm)
2
4
8
16
32
1) So s¸nh A vµ B biÕt: A 5 vµ B 24(5 1)(5 1)(5 1)(5 1)
2
2
2) Cho 3a 2b 7 ab vµ 3a b 0 .
2
5
P
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
C©u 3: (2 ®iÓm)
2005a 2006b
2006a 2007b
2
2
1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A 2 x 9 y 6 xy 6 x 12 y 1974
2
x
x 1
2) Gi¶i ph¬ng tr×nh: y 4 2 y 2 2 0
8
8
8
8
2 2 2 2
3) Chøng minh r»ng: a b c d 4a b c d
C©u 4: (3 ®iÓm)
Cho h×nh vu«ng ABCD. Gäi E lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BC (E kh¸c B vµ
C). Qua A kÎ Ax vu«ng gãc víi AE, Ax c¾t CD t¹i F. Trung tuyÕn AI cña tam gi¸c AEF c¾t
CD ë K. §êng th¼ng kÎ qua E, song song víi AB c¾t AI ë G.
a) Chøng minh tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi.
b) Chøng minh AF2 = FK. FC.
c) Khi E thay ®æi trªn BC, chøng minh chu vi tam gi¸c EKC kh«ng ®æi.
C©u 5: (1 ®iÓm)
Cho ®a thøc f(x) cã c¸c hÖ sè nguyªn. BiÕt r»ng f(1) vµ f(2) lµ c¸c sè lÎ.
Chøng minh r»ng ®a thøc f(x) kh«ng cã nghiÖm nguyªn.
§Ò sè 11
C©u 1: (2 ®iÓm)
4 1 4 1 4 1
1 3 ... 19
4
4
4
A
4 1 4 1 4 1
2 4 ... 20
4
4
4
a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
b) Chøng minh r»ng: TÝch cña bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp céng víi 1 lµ mét sè chÝnh ph¬ng.
C©u 2: (2 ®iÓm)
2006 x
y
z
1
a) Cho xyz = 2006.Chøng minh r»ng: xy 2006 x 2006 yz y 2006 xz z 1
b) T×m n nguyªn d¬ng ®Ó A = n3 + 31 chia hÕt cho n + 3.
2
2
2
c) Cho a 2b 3c 14 . Chøng minh r»ng: a b c 14 .
3x 2 3
x 1
1
x 1
. 2
B 3
2
x 1 x x 1 x 1 2 x 5x 5
C©u 3: (2 ®iÓm)Cho ph©n thøc:
a) Rót gän B.
b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña B.
C©u 4: (3 ®iÓm)
Cho M lµ mét ®iÓm bÊt k× trªn ®o¹n th¼ng AB. Trªn cïng mét nöa mÆt
ph¼ng cã bê lµ AB vÏ c¸c h×nh vu«ng AMCD vµ BMEF.
a) Chøng minh: AE BC.
b) Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ BC, chøng minh r»ng: D, H, F th¼ng hµng.
c) Chøng minh r»ng ®êng th¼ng DF lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi M di chuyÓn trªn ®o¹n
th¼ng AB.
C©u 5: (1 ®iÓm)
1
1
1
1
1
3 3 3 ... 3 2
3
2
3
4
5
n
a) Chøng minh r»ng víi n N vµ n > 3 th×:
b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4)
C 1
§Ò sè 12
C©u 1: (2 ®iÓm)
1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
2
4
a) x 7 x 6 ;b) ( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) 24 ;c) x 4
A
2) Rót gän:
C©u 2: (2 ®iÓm)
1
1
1
1
2
2
2
x 5 x 6 x 7 x 12 x 9 x 20 x 11x 30
2
6
1) T×m ®a thøc f(x) biÕt r»ng f(x) chia cho x-2 th× d 2, f(x) chia cho x-3 th× d 7,
f(x) chia cho x2 - 5x + 6 th× ®îc th¬ng lµ 1-x2 vµ cßn d.
2) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lµ sè nguyªn.
A
2x3 x 2 2x 5
2x 1
C©u 3: (2 ®iÓm)Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 1 x 3 x 5 x 2 x 4 x 6
97
95
98
96
94
a) 99
2
2
2
b) ( x x 1) ( x x 1) 12 0
C©u 4: (3 ®iÓm)Mét ®êng th¼ng d ®i qua ®Ønh A cña h×nh b×nh hµnh ABCD c¾t BD, BC, DC
lÇn lît t¹i E, K, G. Chøng minh r»ng:
2
1) AE EK . EG
1
1
1
2) AE AK AG
3) Khi ®êng th¼ng d xoay quanh ®iÓm A. Chøng minh: BK. DG = const.
C©u 5: (1 ®iÓm)
16 x 2 4 x 1
B
2x
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt nÕu cã cña biÓu thøc sau:
§Ò sè 13
(víi x > 0)
C©u 1: (6 ®iÓm)Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö;
2
2
2
2
2
a) 2 x 2 y x 2 xy y ;b) 2 xy 2 x y y ;c) x 2 xy y 3x 3 y 10
C©u 2 (4 ®iÓm)Cho a b c 0 vµ abc 0 . Chøng minh r»ng:
C©u 3 (4 ®iÓm)Cho biÓu thøc
Q
x4 x
2 x 2 3x 1
1
x 1
x2 x 1
( x 1 )
a) Rót gän biÓu thøc Q.
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña Q.
C©u 4: (6 ®iÓm)
VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c nhän ABC c¸c tam gi¸c ®Òu ABD vµ ACE.
Gäi M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AD vµ CE. H lµ h×nh chiÕu cña N trªn AC, tõ H kÎ ®êng
th¼ng song song víi AB c¾t BC t¹i I.
a) Chøng minh tam gi¸c AMN ®ång d¹ng víi tam gi¸c HIN.
b) TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c MNI.
c) Gi¶ sö gãc BAC = 900 , AB = a, AC = b. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c MIN theo a, b.
§Ò sè 14
C©u 1: (2 ®iÓm)
3
3
3
3
a) Ph©n tÝch thµnh thõa sè: (a b c) a b c
2 x 3 7 x 2 12 x 45
3
2
b) Rót gän: 3x 19 x 33x 9
3
2
2
C©u 2: (2®iÓm)Chøng minh r»ng: A n (n 7) 36n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè t/ nhiªn n.
C©u 3: (2 ®iÓm)
a) Cho ba m¸y b¬m A, B, C hót níc trªn giÕng. NÕu lµm mét m×nh th× m¸y b¬m A hót hÕt níc
trong 12 giê, m¸y b¬m B hót hÕtníc trong 15 giê vµ m¸y b¬m C hót hÕt níc trong 20 giê.
Trong 3 giê ®Çu hai m¸y b¬m A vµ C cïng lµm viÖc sau ®ã míi dïng ®Õn m¸y b¬m B.
TÝnh xem trong bao l©u th× giÕng sÏ hÕt níc.
2 x a x 2a 3a
b) Gi¶i ph¬ng tr×nh:
(a lµ h»ng sè).
C©u 4: (3 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C (CA > CB), mét ®iÓm I trªn c¹nh AB. Trªn nöa
mÆt ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm C ngêi ta kÎ c¸c tia Ax, By vu«ng gãc víi AB. §êng th¼ng
vu«ng gãc víi IC kÎ qua C c¾t Ax, By lÇn lît t¹i c¸c ®iÓm M, N.
a) Chøng minh: tam gi¸c CAI ®ång d¹ng víi tam gi¸c CBN.
7
b) So s¸nh hai tam gi¸c ABC vµ INC.
c) Chøng minh: gãc MIN = 900.
d) T×m vÞ trÝ ®iÓm I sao cho diÖn tÝch ∆IMN lín gÊp ®«i diÖn tÝch ∆ABC.
22499
..........
9100
..........
...09
C©u 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng sè:
§Ò sè 15
P
n-2 sè 9
n sè 0
lµ sè chÝnh ph¬ng. ( n 2 ).
a 3 4a 2 a 4
a 3 7a 2 14a 8
C©u 1: (2 ®iÓm)Cho
a) Rót gän P.
b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
C©u 2: (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph¬ng cña
chóng chia hÕt cho 3.
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc:
P ( x 1)( x 2)( x 3)( x 6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã.
C©u 3: (2 ®iÓm)
1
1
1
1
2
2
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 9 x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18
2
b) Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng;
A
a
b
c
3
b c a a c b a b c
C©u 4: (3 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ®Òu ABC, gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Mét gãc xMy
b»ng 600 quay quanh ®iÓm M sao cho hai c¹nh Mx, My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn lît t¹i D
vµ E. Chøng minh:
BC 2
BD.CE
4
a)
b) DM, EM lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED.
C©u 5: (1 ®iÓm)T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d¬ng vµ sè
®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi.
§Ò sè 16
Bµi 1: (2 ®iÓm)
2
3
2 3
3
a, Gi¶i ph¬ng tr×nh. ( x 6 x 9) (1 x ) (6 x 10) 0
2
2
b) Cho x, y tho¶ m·n: x 2 y 2 xy 6 x 2 y 13 0 .
H
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
x 2 7 xy 52
x y
x2 3y
y 2 3x
1
x, y
3 ; x y .
Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho x(1 3 y ) y (1 3x) víi x, y 0 ;
1 1
8
x y
3.
Chøng minh r»ng: x y
y
4x 3
x 2 1
Bµi 3: T×m x nguyªn ®Ó biÓu thøc y cã gi¸ trÞ nguyªn.Víi
Bµi 4: (3 ®iÓm)
Cho ∆ABC c©n t¹i A (AB = AC > BC). Trªn c¹nh BC lÊy M sao cho MB
< MC. Tõ M kÎ ®êng th¼ng song song víi AC c¾t AB ë E, kÎ ®êng th¼ng song song víi AB
c¾t AC ë F. Gäi N lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua ®êng th¼ng EF.
a) Cho AB =1002,5 cm. TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF.
b) Chøng minh tø gi¸c ANEF lµ h×nh thang c©n.
c) AN c¾t BC t¹i H. Chøng minh HB. HC = HN. HA
3
2
Bµi 5: (1 ®iÓm)Cho ®a thøc f ( x) x ax bx c
8
T×m a, b, c biÕt f (1) 5 ;
§Ò sè 17
f ( 2 ) 7
; f (3) 9
Bµi 1: (2 ®iÓm)
1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
8
7
a) x x 1 ;b) (4 x 1)(12 x 1)(3x 2)( x 1) 4
2
2
2
4
4
4
2) Cho a b c 0 vµ a b c 1 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M a b c
M
x2
y2
x2 y2
( x y )(1 y ) ( x y )(1 x) (1 x)(1 y )
Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc:
a) Rót gän M.
b) T×m cÆp sè nguyªn (x, y) ®Ó biÓu thøc M cã gi¸ trÞ b»ng -7.
Bµi 3: (2®iÓm)Ngêi ta ®Æt mét vßi níc ch¶y vµo bÓ vµ mét vßi níc ch¶y ra ë lng chõng bÓ. Khi
bÓ c¹n, nÕu më c¶ hai vßi th× sau 2 giê 42 phót bÓ ®Çy níc. Cßn nÕu ®ãng vßi ch¶y ra më vßi
ch¶y vµo th× sau 1giê rìi ®Çy bÓ. BiÕt vßi ch¶y vµo m¹nh gÊp 2 lÇn vßi ch¶y ra.
1) TÝnh thêi gian níc ch¶y vµo tõ lóc bÓ c¹n ®Õn lóc níc ngang chç ®Æt vßi ch¶y ra.
2) NÕu chiÒu cao cña bÓ lµ 2m th× kho¶ng c¸ch tõ chç ®Æt vßi ch¶y ra ®Õn ®¸y bÓ lµ bao nhiªu.
Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD. Gäi E lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BC (E kh¸c B vµ C).
Qua A kÎ Ax vu«ng gãc víi AE, Ax c¾t CD t¹i F. Trung tuyÕn AI cña tam gi¸c AEF c¾t CD ë
K. §êng th¼ng kÎ qua E, song song víi AB c¾t AI ë G.
a) Chøng minh AE = AF vµ tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi.
b) Chøng minh AKF ®ång d¹ng víi CAF vµ AF2 = FK. FC
c) Khi E thay ®æi trªn BC, chøng minh chu vi tam gi¸c EKC kh«ng ®æi.
Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho a lµ mét sè gåm 2n ch÷ sè 1, b lµ mét sè gåm n + 1 ch÷ sè 1, c lµ mét sè
gåm n ch÷ sè 6 (n lµ sè tù nhiªn, n 1 ).Chøng minh r»ng: a b c 8 lµ sè chÝnh ph¬ng.
§Ò sè 18
C©u 1: (2 ®iÓm)
Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
4
2
a) x 4 x 5 ;b) x 1 2 x 3 5
A
x4 x
x2 x
C©u 2: (2 ®iÓm)Cho biÓu thøc:
a) Rót gän biÓu thøc A.
b) T×m x ®Ó A > 1.
C©u 3: (2 ®iÓm)
Hai anh em Trung vµ Thµnh cïng cuèc mét m¶nh vên, vµ sÏ hoµn thµnh
trong 5 giê 50 phót. Nhng sau 5 giê lµm chung Trung bËn viÖc kh¸c nªn kh«ng lµm n÷a, mét
m×nh anh thµnh ph¶i lµm tiÕp trong 2 giê n÷a míi cuèc xong m¶nh vên.
Hái nÕu lµm mét m×nh th× mçi anh ph¶i lµm trong bao l©u?.
C©u 4: (3 ®iÓm)Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y lín CD. Qua A vÏ ®êng th¼ng AK song song
víi BC. Qua B vÏ ®êng th¼ng BI song song víi AD c¾t AC ë F, AK c¾t BD ë E. Chøng minh
r»ng:
a) EF song song víi AB.
b) AB2 = CD. EF
n
C©u 5: (1 ®iÓm)Chøng minh r»ng biÓu thøc: 10 18n 1 chia hÕt cho 27 víi n lµ sè tù nhiªn.
§Ò sè 19
C©u 1: (2 ®iÓm)
4
2
a) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: x 3x 4 x 12
1
1
1
1
A
...
1.3 3.5 5.7
2003.2005
b) TÝnh:
C©u 2: (2 ®iÓm)
2
2
a) Cho a, b, c lµ hai sè kh¸c nhau vµ kh¸c 0 tho¶ m·n: 3a b 4ab .
9
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
A
a b
a b
x 2 1 3
b) Gi¶i ph¬ng tr×nh:
3
2
C©u 3: (2 ®iÓm)Cho A n 3n 2n (n N)
a) Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 3.
b) T×m n víi n < 10 ®Ó A chia hÕt cho 15.
C©u 4: (3 ®iÓm)Cho ABC vu«ng t¹i A vµ ®iÓm H di chuyÓn trªn BC. Gäi E, F lÇn lît lµ ®iÓm
®èi xøng cña H qua AB, AC.
a) Chøng minh E, A, F th¼ng hµng.
b) Chøng minh BEFC lµ h×nh thang.
c) T×m vÞ trÝ cña H trªn BC ®Ó BEFC lµ h×nh thang vu«ng, h×nh b×nh hµnh.
C©u 5: (1 ®iÓm)
§Ò sè 20
Cho
a 3 3ab 2 14
3
b 3a 2 b 13
2
2
TÝnh gi¸ trÞ cña : P a b
.
Bµi 1: (2 ®iÓm)
2
2
a) Cho x > 0, y > 0 tho¶ m·n: x 2 xy 3 y .TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
b) Víi x 1 . Rót gän biÓu thøc:
B
A
x y
xy
x 2 6x 5
5 x n x n 1
Bµi 2: (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ nguyªn cña x th× biÓu thøc
P ( x) 1985.
x3
x2
x
1978. 5.
3
2
6
cã gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 3: (2 ®iÓm) Mét ngêi ®i xe ®¹p, mét ngêi ®i xe m¸y, mét ngêi ®i « t« cïng ®i tõ A vÒ B
khëi hµnh lÇn lît lóc 6 giê, 7 giê, 8 giê víi vËn tèc thø tù lµ 10 km/h, 30 km/h,
40 km/h. Hái lóc mÊy giê « t« c¸ch ®Òu ngêi ®i xe ®¹p vµ xe m¸y.
Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC nhän (AB AC ) cã O lµ giao ®iÓm cña ba ®êng trung
trùc, vÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c hai h×nh vu«ng ABDE, ACGH. BiÕt OE = OH.
TÝnh sè ®o gãc BAC ?
2
2
2
Bµi 5: (1 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( x 6 x 11)( y 2 y 4) z 4 z 2
§Ò sè 21
C©u 1: (2 ®iÓm)
A
a 2 a 2 (a 2) 2 a 2
3
.
2
n 1
n
2
a 3a 4a 4
a a
a) Rót gän biÓu thøc:
19
18
17
16
2
b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: B x 5 x 5 x 5 x ... 5 x 5 x 1886 víi x = 4.
C©u 2: (2 ®iÓm)
3
a) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh x 5 x 12 y 4 .
b) Cho a, b, c lµ c¸c sè tù nhiªn kh«ng nhá h¬n 1.
1
1
2
2
2
Chøng minh r»ng: 1 a 1 b 1 ab
C©u 3: (2 ®iÓm) Mét « t« vËn t¶i ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 45 km/h. Sau ®ã mét thêi gian mét
« t« con còng ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 60 km/h vµ nÕu kh«ng cã g× thay ®æi th× ®uæi kÞp « t«
t¶i t¹i B. Nhng ngay sau khi ®i ®îc nöa qu·ng ®êng AB, xe t¶i gi¶m bít 5 km/h nªn hai xe gÆp
nhau t¹i C c¸ch B 30 km. TÝnh qu·ng ®êng AB.
C©u 4 : (3 ®iÓm) Mét ®êng th¼ng d ®i qua ®Ønh A cña h×nh b×nh hµnh ABCD c¾t BD, BC, DC
theo thø tù ë E, K, G. Chøng minh r»ng:
10
1
1
1
b, AE AK AG
a, AE2 = EK. EG;
c, Khi ®êng th¼ng th¼ng d thay ®æi vÞ trÝ nhng vÉn ®i qua A th× tÝch
BK.DG = Const
C©u 5: (1 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
§Ò sè 22
M
x 2 2 x 2005
x2
C©u 1: (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng ta cã:
x5
x 4 7 x3 5x 2 x
A
120 12 24
12 5
24
20
lu«n lu«n lµ sè nguyªn d¬ng.
16
x x x .... x 4 1
B 26
x x 24 x 22 .... x 2 1
b) Rót gän:
C©u 2: (2 ®iÓm)B¹n A hái b¹n B: “ n¨m nay bè mÑ cña anh bao nhiªu tuæi ?” B tr¶ lêi: “ bè
t«i h¬n mÑ t«i 4 tuæi. Tríc ®©y khi tæng sè tuæi cña bè mÑ t«i lµ 104 tuæi th× tuæi cña ba anh
em chóng t«i lµ 14; 10 vµ 6. HiÖn nay tæng sè tuæi cña bè mÑ t«i gÊp 2 lÇn tæng sè tuæi cña ba
anh em t«i”. TÝnh xem tuæi cña bè mÑ b¹n B lµ bao nhiªu ?
C©u 3: (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng nÕu: x y z t (x, y, z, t Z ) th× sè :
A x 2 y 2 z 2 t 2 lµ tæng c¸c b×nh ph¬ng cña ba sè nguyªn.
b) T×m sè tù nhiªn N tõ ba ®iÒu kiÖn sau: Trong ®ã cã 2 ®iÒu kiÖn ®óng, 1 ®iÒu kiÖn sai:
1. N + 45 lµ b×nh ph¬ng cña mét sè tù nhiªn.
2. N cã ch÷ sè tËn cïng lµ 7.
3. N - 44 lµ b×nh ph¬ng cña mét sè tù nhiªn.
C©u 4: (3 ®iÓm)
Hai ®êng chÐo AC vµ BD cña h×nh thoi ABCD c¾t nhau t¹i O. §êng
trung trùc cña AB c¾t BD vµ AC t¹i O1 vµ O2 . §Æt O2A = a ; O1B = b .
TÝnh diÖn tÝch ABCD theo a, b.
x
2
C©u 5: (1 ®iÓm) T×m x, y, z Z tho¶ m·n: (2 x 5 y 1)(2 y x x) 105
§Ò sè 23
C©u 1: (2 ®iÓm)
3k 2 3k 1
( k 2 k ) 3 víi k N*.TÝnh tæng S = a1 a2 a3 .... a2007
a) Cho
3
2
2
b) Chøng minh r»ng: A n (n 7) 36n chia hÕt cho 7 víi mäi n nguyªn.
ak
C©u 2: (3 ®iÓm)
a) Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n ®ång thêi:
x 2 2 y 1 0 ;
y 2 2 z 1 0
2005
z 2 2 x 1 0
;
2006
2007
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A x y z
b) Chøng minh r»ng víi x, y Z th×
P ( x y )( x 2 y )( x 3 y )( x 4 y ) y 4 lµ mét sè chÝnh ph¬ng.
c) T×m sè d trong phÐp chia:
( x 1)( x 3)( x 5)( x 7) 2007 cho x 2 8 x 1
C©u 3: ( 2 ®iÓm)Ph¬ng vµ Hng cã 110.000 ®ång. Hai ngêi cïng rñ nhau ®i chî. Ph¬ng tiªu
mÊt 1/5 sè tiÒn cña m×nh. Hng tiªu mÊt 1/6 sè tiÒn cña m×nh. Sè tiÒn cßn l¹i cña Hng nhiÒu
h¬n sè tiÒn cßn l¹i cña Ph¬ng lµ 10.000 ®ång. Hái mçi ngêi cã bao nhiªu tiÒn.
C©u 4: (3 ®iÓm)Cho h×nh b×nh hµnh ABCD (AC > BD). Gäi E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña B, D
lªn AC; H, K lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña C trªn AB vµ AD.
1) Tø gi¸c DFBE lµ h×nh g× ? v× sao ?
11
2) Chøng minh tam gi¸c CHK ®ång d¹ng víi tam gi¸c BCA.
2
3) Chøng minh AC AB. AH AD. AK
§Ò sè 24
C©u 1: (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh:
1
1 1 1
...
. x
2005
2 3 4
2005
2004 2003 2002
1
....
2
3
2004
a) 1
x 1 x 3 4
b)
C©u 2: (2 ®iÓm)
T×m tØ lÖ ba ®êng cao cña mét tam gi¸c. BiÕt nÕu céng lÇn lît ®é dµi
tõng cÆp hai c¹nh cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ lµ 5 : 7 : 8.
C©u 3: (2 ®iÓm)
a) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc:
P( x) (2004 2005 x x 2 ) 2004. (2004 2005 x x 2 ) 2005
4
2
b) T×m sè tù nhiªn n ®Ó n n 1 lµ sè nguyªn tè.
C©u 4: (3 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC. KÎ ®êng cao AH. Gäi C’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña H
qua AB, B’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua AC. Gäi giao ®iÓm cña B’C’ víi AC vµ AB lµ I vµ K.
Chøng minh IB, CK lµ ®êng cao cña tam gi¸c ABC.
C©u 5: (1 ®iÓm)Cho a, b, c 0; 1 vµ a b c 2 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc
P a 2 b 2 c 2
§Ò sè 25
C©u 1: ( 2 ®iÓm)
9
7
6
5
4
3
2
a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x x x x x x x 1
1
3y2
y
x2
2
4
3
. y
3
2
2
x
xy
x
xy
x
x
y
xy
x
y
b) Rót gän biÓu thøc:
C©u 2: (2 ®iÓm)
4
4
a) Cã tån t¹i mét cÆp sè tù nhiªn (x, y) nµo ®Ó sè 4 x y lµ mét sè nguyªn tè kh«ng.
y2 2 y 3
6
x 2x 4
2
b) Gi¶i ph¬ng tr×nh:
C©u 3: (2 ®iÓm) Mét ngêi ®i tõ A ®Õn B råi ®i tö B vÒ A mÊt 3 giê 17 phót, ®o¹n ®êng AB dµi
8 km gåm mét ®o¹n lªn dèc, tiÕp ®ã lµ mét ®o¹n ®êng b»ng, cuèi cïng lµ mét ®o¹n xuèng
dèc. Hái ®o¹n ®êng b»ng dµi bao nhiªu km. NÕu vËn tèc cña ngêi ®ã lóc lªn dèc lµ 4km/h,
lóc ®i ®o¹n ®êng b»ng lµ 5 km/h, lóc xuèng dèc lµ 6 km/h.
C©u 4: (3 ®iÓm)Cho h×nh vu«ng ABCD, M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn ®êng chÐo BD. KÎ ME
vu«ng gãc víi AB, MF vu«ng gãc víi AD.
a) Chøng minh: DE = CF vµ DE CF.
b) Chøng minh r»ng 3 ®êng th¼ng DE, BF, CM ®ång quy.
c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn BD ®Ó diÖn tÝch tø gi¸c AEMF lín nhÊt.
C©u 5: (1 ®iÓm)Cho a, b, c lµ ba sè d¬ng. Chøng minh r»ng:
§Ò sè 26
A
x 4 x3 x 2 2 x 2
x4 2x3 x2 4 x 2
C©u 1: (2 ®iÓm) Cho ph©n thøc:
a) Rót gän A.
b) X¸c ®Þnh x ®Ó A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt.
C©u 2: (2 ®iÓm)
12
1
a
b
c
2
a b bc c a
(víi x Z)
2
2
a) Cho x, y, z lµ c¸c sè nguyªn kh¸c 0.Chøng minh r»ng nÕu: x yz a ; y zx b
;
2
z xy c Th× tæng ax by cz chia hÕt cho tæng a b c .
b) Cho ®a thøc f(x) khi chia cho x-2 th× d 5, khi chia cho x-3 th× d 7, cßn khi chia cho
x 2 5 x 6 th× ®îc th¬ng lµ 1 x 2 vµ cßn d. T×m ®a thøc f(x).
x3 x2 x
1
3
C©u 3: (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh:
C©u 4: (3 ®iÓm)Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Trªn tia ®èi cña tia AD lÊy ®iÓm F sao cho
AF = AB. Trªn tia ®èi cña tia AB lÊy ®iÓm E sao cho AE = AD. Gäi N lµ giao ®iÓm cña FC
víi AB vµ M lµ giao ®iÓm cña EC vµ AD.
a) Chøng minh MD = BN.
b) KÎ BH AC, gäi I lµ trung ®iÓm cña AH, K lµ trung ®iÓm cña CD. Chøng minh r»ng BH
IK.
C©u 5: (1 ®iÓm)
T×m tÊt c¶ c¸c sè cã ba ch÷ sè sao cho tæng c¸c nghÞch ®¶o cña c¸c ch÷
sè cña mçi sè b»ng 1.
§Ò sè 27
C©u 1: (2 ®iÓm)
x 2 y 2 10
xy
3 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc
y
x
0
a) Cho
vµ
4 1 4 1 4 1
1 3 .... 11
4
4
4
A
4 1 4 1 4 1
2 4 .... 12
4
4
4
b) Rót gän biÓu thøc
M
x y
xy
C©u 2: (2 ®iÓm)
4
3
2
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 4 x 19 x 106 x 120 0
x 2004 y 2004
2
x4 y4
1
1002
1002
2
2
b
(a b)102
b) Cho a b a b vµ x y 1 .Chøng minh r»ng: a
C©u 3: (2 ®iÓm) Lóc 8 giê, An rêi nhµ m×nh ®Ó ®i ®Õn nhµ b×nh víi vËn tèc 4 km/h. Lóc 8 giê
20 phót, B×nh còng rêi nhµ m×nh ®Ó ®i ®Õn nhµ An víi vËn tèc 3 km/h. An gÆp B×nh trªn ®êng
råi c¶ hai cïng ®i vÒ nhµ B×nh. Khi trë vÒ ®Õn nhµ m×nh An tÝnh ra qu·ng ®êng m×nh ®i dµi
gÊp bèn lÇn qu·ng ®êng B×nh ®· ®i. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ nhµ An ®Õn nhµ B×nh.
C©u 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD, mét gãc vu«ng xAy qoay quanh ®Ønh A cña h×nh
vu«ng, c¹nh Ax c¾t c¸c ®êng th¼ng BC, CD lÇn lît t¹i M, N; c¹nh Ay còng c¾t c¸c ®êng th¼ng
®ã t¹i P vµ Q.
a) Chøng minh r»ng ANP vµ AMQ vu«ng c©n.
b) BiÕt QM c¾t PN ë R; I, K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña PN, QM. Tø gi¸c AKRI lµ h×nh g× ?
c) Chøng minh 4 ®iÓm: B, D, K, I cïng thuéc mét ®êng th¼ng, tõ ®ã suy ra ®êng th¼ng IK cè
®Þnh khi gãc vu«ng xAy quay quanh ®Ønh A.
3
3
C©u 5: (1 ®iÓm)Cho p q 2 . Chøng minh r»ng: 0 p q 2
§Ò sè 28
C©u 1: (2 ®iÓm)
2
3
2 3
3
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( x 4 x 4) (2 x ) (4 x 6) 0
4
2
b) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: x 2004x 2003x 2004
a b c
0
x
y z
x
y
z
0
a
b
c
0
C©u 2: (2 ®iÓm) Cho
;
;
2
2
2
Chøng minh: ax by cz 0
13
C©u 3: (2 ®iÓm) T×m sè nguyªn d¬ng A; Cho biÕt trong ba mÖnh ®Ò P, Q, R díi ®©y chØ cã duy
nhÊt mét mÖnh ®Ò sai:
P = “A+ 45 lµ b×nh ph¬ng cña mét sè tù nhiªn”.
Q = “A tËn cïng lµ ch÷ sè 7”.
R = “A - 44 lµ b×nh ph¬ng cña mét sè tù nhiªn”.
C©u 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD; M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn BD, ME AB; MF AD
(E AB, F AD).
a) Chøng minh DE, BF, CM ®ång quy.
b) T×m M trªn BD ®Ó diÖn tÝch tø gi¸c AEMF lµ lín nhÊt.
Bµi 5: (1 ®iÓm)T×m x nguyªn ®Ó y nguyªn:
y
2x 3
x2 1
§Ò sè 29
C©u 1: (2 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc:
A
x 2 x x
3x 2 8 x 4
2
3
4
1
B 2
2
2
x 2 x x 7 x 10 x 14 x 15 x 9
b)
a)
C©u 2: (2 ®iÓm)
2
2
a) Cho 3a b 4ab vµ b > a > 0. TÝnh
2
P
a b
a b
2
b) T×m x, y biÕt: x y xy 3x 3 0
C©u 3: (2 ®iÓm)
a) Cho a, b lµ c¸c sè nguyªn. Chøng minh r»ng nÕu a chia cho 19 d 3, b chia cho 19 d 2 th×
a 2 b 2 ab chia hÕt cho 19.
b) Chøng minh r»ng tÝch cña bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp céng 1 lµ sè chÝnh ph¬ng.
C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC nhän. C¸c ®êng cao AA’, BB’ , CC’ c¾t nhau t¹i H, gäi M
lµ trung ®iÓm cña BC vµ G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. Trªn tia HG lÊy ®iÓm O sao cho
1
OG = 3 OH; AO vµ HM c¾t nhau t¹i D.
a) Chøng minh OM BC.;b) Tø gi¸c BHCD lµ h×nh g× ?
c) Gäi A1 , B1 , C1 lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng cña H qua c¸c c¹nh BC, CA, AB. TÝnh
AA1 BB1 CC1
AA' BB ' CC '
4
4
C©u 5: (1 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P ( x 8) ( x 6)
§Ò sè 30
2 2
2 2
2 2
4
4
4
C©u 1: (2 ®iÓm) Cho ®a thøc A 2a b 2b c 2a c a b c
a) Ph©n tÝch ®a thøc A thµnh nh©n tö.
b) Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c th× A> 0.
C©u 2: (2 ®iÓm)
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x
2
y2
2
4 xy 1
a
b
c
0
b) Cho a, b, c ®«i mét kh¸c nhau vµ b c c a a b
.
a
b
c
P
2
2
(b c)
(c a )
( a b) 2
TÝnh
14
C©u 3: (2 ®iÓm)
2
2
a) Cho m, n lµ c¸c sè tho¶ m·n: 3m n 4m n .
Chøng minh (m-n) vµ (4m + 4n + 1) ®Òu lµ sè chÝnh ph¬ng.
b) Cho x, y, z lµ c¸c sè kh¸c 0 tho¶ m·n x y z xyz
A
1 1 1
m
vµ x y z
.
1
1
1
2 2
2
x
y
z theo m.
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
C©u 4: (3 ®iÓm)Cho ABC , träng t©m G, trªn BC lÊy ®iÓm P, ®êng th¼ng qua P theo thø tù
song song CG vµ BG c¾t AB, AC t¹i E, F; EF c¾t BG, CG theo tø tù t¹i I, J.
a) Chøng minh: EI = IJ = JF
b) Chøng minh PG ®i qua trung ®iÓm cña EF.
c) Mét ®êng th¼ng P ë ngoµi tam gi¸c. Chøng minh r»ng tæng kho¶ng c¸ch tõ ba ®Ønh cña tam
gi¸c ABC xuèng ®êng th¼ng d gÊp 3 lÇn kho¶ng c¸ch tõ träng t©m ®Õn ®th¼ng d.
C©u 5: (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c sè cã hai ch÷ sè ab sao cho:
ab
a b
2
M
lµ sè nguyªn tè.
2
x
y
x2 y2
( x y )(1 y ) ( x y )(1 x) (1 x)(1 y )
§Ò sè 31C©u 1: (2 ®iÓm)Cho biÓu thøc:
a) Rót gän M.
b) T×m cÆp sè nguyªn (x, y) ®Ó biÓu thøc M cã gi¸ trÞ b»ng -7.
C©u 2: (3 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng víi n lµ sè tù nhiªn ch½n th× biÓu thøc:
A 20 n 16 n 3n 1 chia hÕt cho 323
b) Cho x, y, z kh¸c 0 vµ x y z 0 . Chøng minh r»ng:
1 1 1
1
1
1
1
1
2007 2007 2007
2007
2007
y
z
x
y
z 2007
NÕu x y z x y z th× x
C©u 3: (2 ®iÓm) Trong mét cuéc ®ua m« t« cã ba xe cïng khëi hµnh mét lóc. Mét xe trong
mét giê ch¹y chËm h¬n xe thø nhÊt lµ 15 km vµ nhanh h¬n xe thø ba 3 km, ®Õn ®Ých chËm
h¬n xe thø nhÊt 12 phót vµ sím h¬n xe thø ba 3 phót. Kh«ng cã sù dõng l¹i trªn ®êng ®i.
T×m vËn tèc mçi xe, qu·ng ®êng ®ua vµ xem mçi xe ch¹y mÊt bao nhiªu thêi gian.
C©u 4: (2 ®iÓm)Cho h×nh vu«ng ABCD, gäi K, O, E, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, BC, CD
vµ DA. C¸c ®o¹n th¼ng AO, BE, Cn vµ DK c¾t nhau t¹i L, M, R, P.
TÝnh tØ sè diÖn tÝch S(MNPR) : S(ABCD).
1
1
1
1
S
....
1.2.3 2.34 3.4.5
n(n 1)(n 2)
C©u 5: (1 ®iÓm)TÝnh tæng
§Ò sè 32
C©u 1: (2 ®iÓm)
4
a) Ph©n tÝch a 4 thµnh nh©n tö.
A
2 4 4 6 4 4 10 4 4 14 4 4 184 4
.
.
.
.
4 4 4 84 4 12 4 4 16 4 4 20 4 4
b) TÝnh :
C©u 2: (2 ®iÓm)
15
14
13
2
2
a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A x 7 x 7 x 7 x ... 7 x 7 x 5 víi x = 6
2
b) T×m n nguyªn ®Ó n - 1 chia hÕt cho n n 1
C©u 3: ( 2 ®iÓm)
100
99
2
2
a) Cho ®a thøc f ( x) x x ... x x 1 .T×m d cña phÐp chia f(x) cho x 1
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau:
B xy( x 2)( y 6) 12 x 2 24 x 3 y 2 18 y 2004
15
C©u 4: (3 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH. Gäi E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu
cña H lªn AB vµ AC. Gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ CE.
a) Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g× ? T¹i sao ?
b) Chøng minh AB. AE = AC. AF.
c) So s¸nh diÖn tÝch tø gi¸c AEMF vµ diÖn tÝch tam gi¸c BMC.
2
2
C©u 5: (1 ®iÓm) Cho x y xy x y
3
3
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A x y
§Ò sè 33
C©u 1: (2 ®iÓm)
1. Ph©n tÝch thµnh nh©n tö:
10
2
a) x x 1
2
2
b) ( x 3x 2)( x 7 x 12) 15
2
2
2. Cho a, b lµ c¸c sè tho¶ m·n a b ab 2005 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
P
a 4 b 4 ( a b) 4
a 2 b 2 ( a b) 2
C©u 2: ( 2 ®iÓm)
) Cho p vµ p2 + 2 lµ c¸c sè nguyªn tè. Chøng minh r»ng p3 + 2 lµ sè nguyªn tè.
b) T×m c¸c sè d¬ng x, y, z tho¶ m·n: x y xyz vµ x y z 4
C©u 3: (2 ®iÓm) Trªn qu·ng ®êng AB cña mét thµnh phè, cø 6 phót l¹i cã mét xe buýt ®i theo
chiÒu tõ A ®Õn B vµ còng cø 6 phót l¹i cã mét xe buýt ®i theo chiÒu ngîc l¹i. C¸c xe nµy
chuyÓn ®éng ®Òu víi cïng vËn tèc nh nhau. Mét kh¸ch du lÞch ®i bé tõ A ®Õn B nhËn thÊy cø
5 phót l¹i gÆp mét xe buýt ®i tõ B vÓ phÝa m×nh.
Hái cø bao nhiªu phót l¹i cã mét xe ®i tõ A vît qua ngêi ®ã.
C©u 4: (3 ®iÓm)
a) Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. LÊy E thuéc BD, Gäi F lµ ®iÓm ®èi xøng víi C qua E. Qua F kÎ
Fx song song víi AD, c¾t AB t¹i I, Fy song song víi AB, c¾t AD t¹i K. Chøng minh r»ng ba
®iÓm I, K, E th¼ng hµng.
b) Cho ®o¹n th¼ng AB song song víi ®êng th¼ng d. T×m ®iÓm M (d vµ M n»m kh¸c phÝa víi
AB) sao cho c¸c tia MA, MB t¹o víi ®êng th¼ng d mét tam gi¸c cã diÖn tÝch nhá nhÊt.
C©u 5: (1 ®iÓm)Gi¶i ph¬ng tr×nh:
§Ò sè 34
x a2 x
b2
x2
a
b2 x2
x2 b2
C©u 1: (2 ®iÓm)
2
a) Cho x 4 x 1 0 .TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
A
x4 x2 1
x2
x2 8
b) T×m sè tù nhiªn x ®Ó x 8 lµ sè chÝnh ph¬ng.
C©u 2: (2 ®iÓm)
2
2
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 1 4 x 1
x 1
1
b) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 2 x
C©u 3: ( 2 ®iÓm)ViÖt (hái): B¹n ë sè nhµ bao nhiªu ?
Nam (tr¶ lêi): M×nh ë sè nhµ lµ mét sè cã ba ch÷ sè, mµ hai ch÷ sè ®Çu còng nh hai ch÷ sè
cuèi lËp thµnh mét sè chÝnh ph¬ng vµ sè nµy gÊp bèn lÇn sè kia ?
ViÖt: Sau mét lóc suy nghÜ ®· t×m ra sè nhµ cña Nam.
Hái sè nhµ cña Nam lµ bao nhiªu ?
C©u 4: ( 3 ®iÓm)
16
1) Cho hai ®iÓm A vµ B n»m cïng phÝa ®èi víi ®êng th¼ng a. H·y t×m trªn ®êng th¼ng a mét
®iÓm P sao cho tæng ®é dµi AP + PB lµ bÐ nhÊt.
2) Cho gãc nhän xOy vµ 1 ®iÓm A ë miÒn trong gãc ®ã. H·y t×m trªn hai c¹nh Ox, Oy c¸c
®iÓm t¬ng øng B vµ C sao cho chu vi tam gi¸c ABC bÐ nhÊt.
2
2
2
2
C©u 5: (1 ®iÓm)T×m c¸c sè x, y, z, t tháa m·n: x y z t x( y z t )
§Ò sè 35
C©u 1: ( 2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
3
3
3
3
a) (a b c) (a b c) (b c a) (c a b)
2
2 3
2
2 3
2
2 3
b) ( x y ) ( z x ) ( y z )
C©u 2: (2 ®iÓm)
2
a) Cho f(x) = ax bx c .Chøng minh r»ng: f(x) + 3f(x + 2) = 3f(x + 1) + f(x + 3)
2
2
b) T×m c¸c sè x, y nguyªn d¬ng tho¶ m·n: x y 2 y 13
C©u 3: ( 2 ®iÓm)
5
3
a) Chøng minh r»ng n 5n 4n chia hÕt cho 120 víi mäi n nguyªn.
b) Cho tam gi¸c cã ®é dµi hai ®êng cao lµ 3 cm vµ 7 cm. H·y t×m ®é dµi ®êng cao thø ba, biÕt
r»ng ®é dµi ®êng cao ®ã lµ mét sè nguyªn.
C©u 4: (3 ®iÓm)
a) Chøng minh tæng ®é dµi c¸c c¹nh cña mét ngò gi¸c låi bÐ h¬n tæng ®é dµi c¸c ®êng chÐo
cña ngò gi¸c ®ã.
b) Cho tam gi¸c ABC . Trong c¸c h×nh ch÷ nhËt cã hai ®Ønh n»m trªn c¹nh BC vµ hai ®Ønh cßn
l¹i lÇn lît n»m trªn hai c¹nh AB vµ AC, h·y t×m h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch lín nhÊt.
C©u 5: (1 ®iÓm).T×m tÊt c¶ c¸c sè thùc d¬ng x, y tho¶ m·n:
§Ò sè 36
x 3 y 3 xy
1
27
C©u 1: ( 2 ®iÓm)
5
a) Chøng minh r»ng: n n chia hÕt cho 30 víi mäi sè nguyªn n.
3
3
b) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: x y 6 xy 8
C©u 2: (2 ®iÓm)
1 1 1
x y z 2
2 1 4
xy z
a) T×m x, y, z tho¶ m·n:
b) Cho a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ ®«i mét kh¸c nhau. Chøng minh r»ng:
A
1
1
1
2
2
( a b)
(b c)
(c a ) 2
lµ mét sè h÷u tØ.
C©u 3: ( 2 ®iÓm)
2
2
1
1
25
x y
x
y
2
a) Cho x, y > 0 tho¶ m·n x + y =1. Chøng minh r»ng:
1 1
1
1
.... 2
2
n ( n 1)
2
b) Chøng minh r»ng: 5 13
4
3
2
C©u 4: (2 ®iÓm)Cho ®a thøc P(x) x ax bx cx d víi a, b, c , d lµ h»ng sè.
BiÕt P(1) = 10; P(2) = 20 ; P(3) = 30 . TÝnh P(12) + P(-8).
2 2
2
2
C©u 5: ( 2 ®iÓm)T×m c¸c sè x, y nguyªn tho¶ m·n: x y x 8 y 2 xy
17
§Ò sè 37
Bµi 1: (4 ®iÓm)
4
a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: A x 4
b) T×m sè nguyªn a ®Ó biÓu thøc
P
a2 a 3
a 1
nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 2: (4 ®iÓm) §a thøc P(x) khi chia cho x -3 d 7, khi chia cho x + 5 d -9 cßn khi chi cho
x2 - 5x + 6 th× ®îc th¬ng lµ x2 + 1 vµ cßn d. T×m ®a thøc P(x).
Bµi 3: (6 ®iÓm)
x ab x ac x bc
a b c
a) BiÕt x lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: a b a c b c
T×m x ë d¹ng thu gän.
(23 1)(33 1)(43 1)....(503 1)
M 3
(2 1)(33 1)(43 1)....(503 1)
b) Rót gän biÓu thøc:
Bµi 4: (6 ®iÓm)
a) Trªn tia Ox cña gãc xOy cho tríc mét ®iÓm A. H·y t×m trªn tia Oy cña gãc ®ã mét ®iÓm B
sao cho OB + BA = d (víi d lµ ®é dµi cho tríc.
b) Cho tam gi¸c ABC cã 2 trung tuyÕn kÎ tõ B vµ C lµ BE vµ CF. Chøng minh r»ng BE vu«ng
gãc víi CF khi vµ chØ khi: AC2 + AB2 = 5BC2 .
§Ò sè 38
Bµi 1: (2 ®iÓm)
4
2
a) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: x 3x 2 x 3
3
2
b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 3x 3x 1 0
Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc:
a) Rót gän P.
b) T×m a ®Ó P nguyªn.
Bµi 3: (3 ®iÓm)
a 2 a 2 a 1
P
.
a 1 a 1 a
y z 1 x z 2 x y 3
1
x
y
z
xyz
a) T×m c¸c sè nguyªn x, y, z biÕt r»ng:
2
b) Cho ®a thøc f(x) = ax bx c víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ. BiÕt r»ng f(0), f(1), f(2) cã gi¸ trÞ
nguyªn. Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 4: (2 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC nhän víi ba ®êng cao AA’, BB’, CC’. Gäi H lµ trùc
HA' HB' HC '
1
t©m cña tam gi¸c ABC.
Chøng minh r»ng: AA' BB' CC '
2
Bµi 5: (1 ®iÓm)
T×m c¸c h»ng sè a vµ b sao chob ®a thøc x ax b chia cho (x + 1) th× d 7,
chia cho (x-3) th× d -5.
§Ò sè 39
Bµi 1: (2 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc:
2
2
2
2
a) P (a b c) (a b c) (a b c) (b c a)
Q
1
1
1
2
x y x y x y2
b)
Bµi 2: ( 2 ®iÓm)
a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: (a b c)(ab bc ca) abc
18
b) T×m x, y biÕt:
x2 y2 x 3y
5
0
2
2
c) Cho A (n 1)(n 3n 1) . T×m sè tù nhiªn n ®Ó gi¸ trÞ cña A lµ mét sè nguyªn tè.
Bµi 3: ( 2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 13 x 11 x 9 x 7 x 5 x 117 x 119 x 121 x 123 x 125
117
119
121
123
125
13
11
9
7
5
Bµi 4: (2 ®iÓm)
Mét « t« khëi hµnh ®i tõ A ®Õn C, hai giê sau mét « t« kh¸c ®i tõ B ®Õn
2
3
C. Sau 5 giê tÝnh tõ khi « t« thø nhÊt lhëi hµnh th× hai « t« gÆp nhau. TÝnh vËn tèc cña mçi «
t«. BiÕt r»ng B n»m trªn ®êng tõ A ®Õn C vµ qu·ng ®êng AB b»ng 78 km, vËn tèc cña « t« ®i
tõ A lín h¬n vËn tèc cña « t« ®i tõ B lµ 5 km/h.
Bµi 5: (2 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC cã ba ph©n gi¸c trong lµ AD, BE vµ CF. Gäi M, N, P
theo thø tù lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng cña B, A vµ C qua AD, BE , AD. Q lµ ®iÓm ®èi xøng cña A
qua CF. Chøng minh MN // PQ.
§Ò sè 40
Bµi 1: ( 2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
4
3
2
a) x 1 2 x x
3
3
3
3
3
3
b) a (b c ) b(c a ) c(a b )
Bµi 2: (4 ®iÓm)
3
3
2
a) Rót gän biÓu thøc sau: (a b 1) (a b 1) 6(a b)
3
2
2
b) X¸c ®Þnh a, b ®Ó ®a thøc x ax 2 x b chia hÕt cho ®a thøc x 1
2005
2004
2002
2
c) T×m d cña phÐp chia ®a thøc f ( x) 2004 x 2005x x 1 cho ®a thøc x 1
d) T×m x nguyªn tho¶ m·n: 2 x 1 5
Bµi 3: (2,5 ®iÓm)Cho tø gi¸c ABCD cã AD = BC. Gäi M, N, P vµ Q lÇn lît lµ trung ®iÓm cña
AB, CD, BD vµ AC.
a) Chøng minh MN lµ ph©n gi¸c cña gãc PMQ.
b) T×m ®iÒu kiªn cña tø gi¸c ABCD ®Ó MN = PQ.
c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm I trªn CD ®Ó AIB cã chu vi nhá nhÊt.
Bµi 4: (1,5 ®iÓm)
2
2
2
2
a) TÝnh nhanh: 998 999 1001 1002
2
2
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A x xy y 3x 3 y 2004
§Ò sè 41
Bµi 1: (2 ®iÓm)
4
3
2
a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x x 2 x 3x 1
2
2
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A 2 x 9 y 6 xy 6 x 12 y 2006
Bµi 2: (2 ®iÓm)
a) T×m th¬ng vµ phÇn d trong phÐp chia ®a thøc:
f ( x ) 1 x x 2 x 3 ... x1997
2
cho x 1
b) §a thøc f(x) khi chia cho x-3 th× d 10, khi chia cho x+5 th× d 2 cßn khi chia cho (x-3)(x+5)
2
th× ®îc th¬ng lµ x 1 vµ cßn d. T×m ®a thøc f(x).
1999
1997
Bµi 3: (2 ®iÓm)T×m sè tù nhiªn x sao cho M x x 1 cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn tè.
Bµi 4: (3 ®iÓm)Cho h×nh vu«ng ABCD vµ mét ®iÓm M trªn ®êng chÐo AC. Tõ M h¹ MH, MK
thø tù vu«ng gãc víi AB vµ BC.
a) Chøng minh r»ng: AK, CH vµ DM ®ång quy.
1
HK 2 KD 2
b) TÝnh c¸c gãc cña ∆DHK nÕu biÕt diÖn tÝch cña ∆ ®ã b»ng 4
.
19
Bµi 5: (1 ®iÓm)T×m a ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt:
§Ò sè 42
2x a 1 x 3
Bµi 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
5
4
3
2
a) x 2 x 2 x 4 x 3x 6
3
2
b) x x 4
1
m m2 m 1
2m 1
: 2
P
3 .
m 1 m 1 m 1 m 2m 1
Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc:
a) Rót gän P.
m
2001
1999
b) TÝnh P khi
Bµi 3: (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n th× ph©n sè:
15n 2 8n 6
30n 2 21n 13
tèi gi¶n.
2
b) T×m sè nguyªn n ®Ó n 7 chia hÕt cho n 64
Bµi 4: (3 ®iÓm)
Cho h×nh vu«ng ABCD, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E. Tõ A kÎ ®êng th¼ng
vu«ng gãc víi AE, c¾t ®êng th¼ng CD t¹i F. Gäi I lµ trung ®iÓm cña EF, AI c¾t CD t¹i M. Qua
E dùng ®êng th¼ng song song víi CD c¾t AI t¹i N.
a) Chøng minh tø gi¸c MENF lµ h×nh thoi.
b) Chøng minh r»ng chi vi tam gi¸c CEM kh«ng ®æi khi E chuyÓn ®éng trªn BC.
Bµi 5: (1 ®iÓm)T×m a ®Ó P = a4 + 4 lµ mét sè nguyªn tè.
§Ò sè 43
Bµi 1: ( 2®iÓm) h©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
2
a) ( x y ) ( x y ) 6
2
2
2
b) ( x x 1)( x 3x 1) x
5
4
3
2
Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho ®a thøc P( x) x ax bx cx dx e vµ cho biÕt
P(1) = 3 ; P(2) = 9;
P(3) = 19;
P(4) = 33 ; P(5) = 51.
TÝnh P(6) ; P(7) ; P(8).
Bµi 3: (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x2
4x 2
5
x 2 4x 4
a)
5
4
3
2
b) x x x x 2
Bµi 4: (2 ®iÓm)Dïng hai can 4 lÝt vµ 2,5 lÝt lµm thÕ nµo ®Ó ®ong ®îc 3 lÝt rîu tõ mét can 6 lÝt
®ùng ®Çy rîu (c¸c can kh«ng cã v¹ch chia ®é).
100
10
Bµi 5: (2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = x 10 x 10
§Ò sè 44
Bµi 1: (2 ®iÓm)
5
4
a) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: x x 1
b) T×m c¸c cÆp sè (x, y) ®Ó biÓu thøc sau ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt:
P x 2 y 2 xy 2 x 2 y
Bµi 2: ( 2®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2
3
4
a) x 2 x 3 x 4 2
b)
x 2 1 x 2 4 x 2 2x 4
20
- Xem thêm -