Tài liệu đề thi đáp án thi học sinh giỏi toán 8

  • Số trang: 38 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 493 |
  • Lượt tải: 0
hosomat

Tham gia: 10/08/2016

Mô tả:

UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ------------------------------ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) A. ĐỀ BÀI Bài 1. ( 2 điểm ): a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3(x2 - 7 )2 - 36x b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh: A= n3(n2 - 7 )2 - 36n chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n. Bài 2. ( 2 điểm ): Cho biểu thức A =  1  x3  1  x2   x  : 2 3  1 x  1 x  x  x với x khác -1 và 1. a, Rút gọn biểu thức A. 2 3 b, Tính giá trị của biểu thức A tại x   1 . c, Tìm giá trị của x để A < 0. Bài 3. ( 1,0 điểm ) Cho ba số a, b, c thỏa mãn abc = 2004. Tính : M = 2004a b c   . ab  2004a  2004 bc  b  2004 ac  c  1 Bài 4. (4 điểm ) : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB , BC. Gọi P giao điểm của AN với DM. a) Chứng minh : tam giác APM là tam giác vuông. b) Tính diện tích của tam giác APM c) Chứng minh tam giác CPD là tam giác cân. Bài 5. ( 1 điểm ): Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho : x2 = y2 + 2y + 13. ----------------------------- HẾT ---------------------------- UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ------------------------Bài Đáp án a) x (x - 7 ) - 36x = x[( x - 7x) - 36] = x(x3 - 7x - 6)( x3 - 7x + 6 ) = x(x3 - x - 6x - 6)( x3 - x - 6x + 6 ) = x[x(x - 1 )( x + 1) - 6( x+ 1)][ x(x - 1 )( x + 1) - 6( x- 1)] = x(x + 1 )(x2 - x - 6)(x - 1 )( x2 + x - 6 ) = x(x + 1 )(x2 - 3x + 2x - 6)(x - 1 )( x2 +3x - 2x - 6 ) = x(x + 1 )(x2 - 3x + 2x - 6)(x - 1 )( x2 + 3x - 2x - 6 ) = x(x + 1 )( x - 1 )[(x(x - 3 ) + 2( x - 3 )][(x(x + 3 ) - 2( x + 3 )] = x(x + 1 )( x - 1 ) (x - 3 )(x + 2 ) ( x - 2 )( x + 3 ) b) Theo phần a ta có : A = n3(n2 - 7 )2 - 36n = n(n + 1 )( n - 1 ) (n - 3 )(n + 2 ) ( n - 2 )( n + 3 ) Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp . Trong 7 số nguyên liên tiếp có : - Một bội của 2 nên A chia hết cho 2. - Một bội của 3nên A chia hết cho 3. - Một bội của 5 nên A chia hết cho 5. - Một bội của 7 nên A chia hết cho 7. Mà 2; 3; 5; 7 đôi một nguyên tố cùng nhau nên: A ( 2.3.5.7 ) Hay A  210. 3 1 HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 2 2 3 Điểm 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a) Với x khác -1 và 1 thì : 2 A= 1  x3  x  x2 (1  x )(1  x ) : 1 x (1  x )(1  x  x 2 )  x(1  x) = (1  x)(1  x  x 2  x) (1  x)(1  x ) : 1 x (1  x )(1  2 x  x 2 ) 1 2 = (1  x ) : = (1  x 2 )(1  x) (1  x) 5 2  5  2 5  b) Tại x =  1 =  thì Acó giá trị là 1  (  )   1  ( )  3   3  3 3  25 5 34 8 272 2 10 = (1  )(1  )  .  9 3 27 27 9 3 c) Với x khác -1 và 1 thì A< 0 khi và chỉ khi (1  x )(1  x)  0 (1) 2 Vì 1  x 2  0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1  x  0  x  1 KL Thay 2004 = abc vào M ta có : 3 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a 2bc b c M   2 ab  a bc  abc bc  b  abc ac  c  1 a 2bc b c    ab(1 A ac  c) b(c  M1  ac ) acB c 1 1 1 ac 1 c    P 1  ac  c c  1  ac ac  c  1 ac  c  1  1 Ic N 1  ac  H Vẽ hình đúng cho phần a 0,25 0,25 0,25 0,25 1 D 0,25 C 4 a) Chứng minh ∆ADM =∆BAN ( cgc ) => 0,75 A D  1 1 0,25  M  900 ( ∆ADM vuông tại A ) Mà D 1 1  900 => APM 900 .Hay ∆APM vuông tại P. Do đó: A1  M 1 0,5 4 5 (cm) 5 2 5 AM = (cm) 5 4 SAPM = (cm 2 ) 5 b) Tính được : AP = 0, 5 0,25 c) Gọi I là trung điểm của AD. Nối C với I; CI cắt DM tại H. Chứng minh tứ giác AICN là hình bình hành => AN // CI mà AN  DM nên CI  DM Hay CH là đường cao trong ∆CPD (1) Vận dụng định lý về đường trung bình trong ∆ADP chứng minh được H là trung điểm của DP => CH là trung tuyến trong ∆CPD (2) Từ (1) và (2) suy ra ∆CPD cân tại C. 5 Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng ( x + y + 1)( x - y - 1) = 12 Lập luận để có x + y + 1> x - y - 1 và x + y + 1; x - y - 1 là các ước dương của 12 từ đó có các trường hợp : x+y+1 x-y-1 12 1 x 13 2 9 2 y 6 2 4 1 4 3 7 2 1 2 Mà x; y nguyên dương nên ( x; y) = ( 4; 1) KL. *Chú ý: Ở mỗi phần, học sinh làm đúng theo cách khác vẫn cho điểm tối đa. UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN 0,25 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN: TOÁN 8 Thời gian: 90 phút( Không kể thời gian giao đề) Câu 1. (3 điểm) 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a, x 4  4 b,  x  2   x  3   x  4   x  5   24 a b c a2 b2 c2   1 . Chứng minh rằng: 2. Cho   0 bc ca a b b c ca a b Câu 2: (2 điểm) 3 2 1. Tìm a,b sao cho f  x  ax  bx  10x  4 chia hết cho đa thức g  x  x 2  x  2 2. Tìm số nguyên a sao cho a 4  4 là số nguyên tố Câu 3.( 3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME  AB, MF  AD. a. Chứng minh: DE = CF b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu 4.(1,5 điểm) Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 --------------------------HẾT-------------------------- UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN 8 Đáp án 1a. x + 4 = x + 4x + 4 - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) 1b. ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 4 4 2 Điểm 0,5 0,25 0,25 1 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 0,25 0,25 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) 0,25 0,25 2. Nhân cả 2 vế của: a b c   1 b c ca a b với a + b + c rút gọn  đpcm 2 1. Ta có : g  x  x  x  2=  x  1  x  2  Vì f  x  ax 3  bx 2  10x  4 chia hết cho đa thức 2 0,5 0,5 0,25 g  x  x 2  x  2 Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x)  ax 3  bx 2  10x  4=  x+2  .  x-1 .q  x  0,25 Với x=1  a+b+6=0  b=-a-6  1 Với x=-2  2a-b+6=0  2  Thay (1) vào (2) . Ta có : a=2 và b=4 4 2 2 2. Ta có : a  4=  a -2a+2   a +2a+2  0,25 0,25 0,25 Vì a  Z  a 2 -2a+2  Z ;a 2 +2a+2  Z 2 Có a 2 +2a+2=  a+1  1 1 a 2 Và a 2 -2a+2=  a-1  1 1 a Vậy a 4  4 là số nguyên tố thì a 2 +2a+2=1 hoặc a 2 - 2a+2=1 Nếu a 2 -2a+2=1  a 1 thử lại thấy thoả mãn Nếu a 2 +2a+2=1  a  1 thử lại thấy thoả mãn 0,25 0,25 0,25 0,25 a. Chứng minh: 3 AE FM DF  AED DFC  đpcm b. DE, BF, CM là ba đường cao của EFC  đpcm 0,5 0,5 1 c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi  ME  MF a không đổi  S AEMF ME.MF lớn nhất 0,5 0,25  ME MF (AEMF là h.v) 0,25  M là trung điểm của BD. (a 4 2001 +b 2001 ).(a+ b) - (a 2000 +b 2000 2002 ).ab = a +b 2002 0,25 0,25  (a+ b) – ab = 1 0,25  (a – 1).(b – 1) = 0 0,25  a = 1 hoặc b = 1 0,25 Vì a = 1 => b 2000 =b 2001 => b = 1; hoặc b = 0 (loại) Vì b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1; hoặc a = 0 (loại) 0,25 Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2 0,25 * Chú ý : Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa -----------------HẾT-----------------UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN 8 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (1,5 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) ( x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) – 6 Câu 2: (2,5 điểm) 2x 4 x2 2 x x2  3x Cho biểu thức : A (  2  ):( ) 2 x x  4 2x 2 x 2  x3 a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị của x để A > 0? c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x – 7| = 4. Câu 3: (2 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = 0. a b c x y z x2 y2 z 2    0 b) Cho   1 và . Chứng minh rằng : 2  2  2 1 . x y z a b c a b c Câu 4: (3 điểm) Cho hình thang cân ABCD có góc ACD = 600, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của OA, OD, BC. Tam giác EFG là tam giác gì? Vì sao? Câu 5: (1 điểm) Cho x, y, z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= x y z   yz zx xy --------------Hết ---------------- UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN 8 Đáp án Điểm = 3x2 – 6x – x + 2 = 3x(x – 2) – (x – 2) 0,25 = (x – 2)(3x – 1). b) Đặt a = x2 – 2x 0.25 0.25 Thì x2 – 2x – 1 = a – 1 0.25 Do đó:( x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) – 6 = a2 – a – 6 = (a + 2) (a – 3) 0.25 Vậy: ( x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) – 6 = (x + 1)(x – 3)(x2 – 2x + 2) 0.25  x 0  a) ĐKXĐ :  x 2  x 3  0,25 (2  x) 2  4 x 2  (2  x) 2 x 2 (2  x) 4 x2  8x x(2  x) A .  . (2  x)(2  x) x( x  3) (2  x)(2  x) x  3 0,25 2 a) 3x – 7x + 2 Câu 1 (1.5 điểm)  Câu 2 (2.5 điểm) 4 x( x  2) x(2  x) 4 x2  (2  x)(2  x)( x  3) x  3 0,25 2 4x Vậy với x 0, x 2, x 3 thì A  . x 3 2 b)Với x 0, x 3, x 2 : A  0  4x 0 x 3  x  30 0,25 0,25  x  3(TMDKXD ) 0,25 Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25 0,5  x  7 4  x 11(TMDKXD)   c) x  7 4    x  7  4  x 3( KTMDKXD) Với x = 11 thì A = 121 2 0,25 Câu 3 a) 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 (2.0 điểm)  (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 0,25  9(x – 1)2 + (y – 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,25 Do : ( x  1) 2 0;( y  3) 2 0;( z  1) 2 0 Nên:(*)  x = 1; y = 3; 0,25 z = -1 0,25 Vậy (x,y,z) = (1; 3; -1). b)Từ: a b c ayz+bxz+cxy   0  0  ayz + bxz + cxy x y z xyz 0,25 =0 0,25 x y z x y z   1  (   ) 2 1 Ta có : a b c a b c 2 2 2 x y z cxy  bxz  ayz  2  2  2 2 1 abc a b c x2 y 2 z 2  2  2  2 1( dpcm) a b c 0,25 0,25 - Hình vẽ A - Chứng minh: ACD BDC (c.g.c) B // E // O  và ACD 600  ACD BDC  OCD là các tam giác đều. = 0, 5 0, 5 0,25 0,25 G X F -Trong OCD cân tại C có CF là trung tuyến = 0,25 X  BFC vuông tại F Câu 4 (3.0 điểm) - Xét BFC vuông tại F có: D C 0,25 1 2 BG = GC  FG  BC 0,25 0,25 1 - Chứng minh tương tự: EG  BC 2 0,25 - Xét AOD có: AE = EO và DF = FO (gt) 1 1  EF là đường trung bình của AOD  EF  AD  BC 2 2 - Suy ra EF = EG = FG nên EFG đều Đặt y + z = a ; z + x = b ; x + y = c  x + y + z =  x= 0,25 a bc 2 0,25  a b c a  bc a b  c ;y= ;z= 2 2 2 Câu 5  a b c a  b c a b  c 1 b c a c a b   (1.0 điểm) P = = ( 1    1    1   ) 2a 2b 2c 2 a a b 1 b a c a b c 3 ( 3  (  )  (  )  (  ))  2 a b a c c b 2 3 Min P = Khi và chỉ khi a = b = c  x = y = z 2 = Tổng UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO b c c 0,25 0,25 0,25 10,0 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN THI: TOÁN 8 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) (x – 3y)2 – 3(x – 3y) b) x2 – 12x + 35 c) x3 + 2x2 + 2x + 1 Bài 2: (1,5điểm) Thực hiện phép tính a) (2n3 – 5n2 +1) : (2n – 1)  x2 6 1   10  x 2    : x  2  b)  3    x2   x  4 x 6  3x x  2   c) (1- 3x)2 + 2(3x – 1)(3x +4) + (3x +4)2 Bài 3:( 2,0 điểm) a) Cho a là một số tự nhiên và a > 1. Chứng minh rằng: A = (a2 + a + 1)(a2 + a + 2) – 12 là hợp số 2 4 8 1006 b) Tính B =  2  1  2  1  2  1  2  1   2  1  1 c) Tìm dư khi chia x + x3 + x9 + x27 cho x2 – 1 Bài 4: (2,0 điểm) a b c   a) Cho abc = 1. Rút gọn biểu thức: M = ab+a+1 bc  b  1 ac  c  1 a 2013  b2013  c 2013 3 3 3 b) Cho a +b +c 0 và a + b + c = 3abc. Tính N = 2013  a b  c Bài 5: (3,0 điểm)  = 900, CD = 2AD = 2AB. Gọi H là hình chiếu của D lên Cho hình thang ABCD có A D AC; M, N, P lần lượt là trung điểm của CD, HC và HD. a) Chứng minh tứ giác ABMD là hình vuông và tam giác BCD là tam giác vuông cân. b) Chứng minh tứ giác DMPQ là hình bình hành c) Chứng minh AQ vuông góc với DP d) Chứng minh S ABCD 6S ABC ------------------H ẾT----------------------- UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bài Bài 1 (1,5 đ) Bài 2 (1,5 đ) Bài 3 (2,0 đ) HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN 8 Đáp án a) = (x – 3y)(x – 3y – 3) b) = x2 – 5x – 7x + 35 = x(x – 5) – 7(x – 5) = (x – 5)(x – 7) c) = x3 + 1 + 2x2 +2x = (x + 1)(x2 – x + 1) + 2(x +1) = (x + 1)(x2 – x + 3) a) Thực hiện phép chi theo cột dọc đúng Kết quả (2n3 – 5n2 + 1) : (2n – 1) = n2 – 2n -1  x2 6 1   10  x 2      : x  2    x  x 2  4  3  2  x  x  2   x2    2 b)  x  2  x  2   x  2 : ( x  2)( x  2)  10  x ( x  2)( x  2) x2 6 x2 1 1  .   ( x  2)( x  2) 6 x 2 2 x 2 2 c) = (1- 3x + 3x + 4) = 5 = 25 a) Đặt x = a2 +a +1  a2 +a +2 = x +1 A = x(x + 1) – 12 = x2 + x – 12 = (x +4)(x – 3) Thay x = a2 +a +1 vào A ta có: A = (a2 +a +5) (a2 +a – 2) Vì a  N và a > 1 nên a là số tự nhiên. Ngoài ước là 1 và chính A, nó còn có thêm 2 ước là (a2 +a +5) và (a2 +a – 2) Do đó A là hợp số b) B  2  1  2  1  22  1  24  1  28  1   21006  1  1 Điểm 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,1 0,2 0,2 0,5 0,25 0,25 0,75  22  1  2 2  1  2 4 1  28 1   21006 1 1  24  1  2 4  1  28 1   21006 1 1  2     21006   1  1 2 2012 Bài 4 (2,0 đ) c) Vì đa thức x2 – 1 có bậc là 2, nên đa thức dư có dạng r(x) = ax + b. Gọi thương của phép chia trên là q(x), ta có: x + x3 + x9 + x27 = (x – 1)(x + 1).q(x) + ax + b (1) Đẳng thức (1) đúng với mọi x, với x = 1 ta có : a + b = 4 (2) với x = 2 ta có : - a + b = -4 (3) Từ (2) và (3)  b = 0 và a = - 4 Vậy dư của phép chia x + x3 + x9 + x27 cho x2 – 1 là: – 4x c b a) Thay abc = 1 vào , nhân cả tử và mẫu của với a ta có: ac  c  1 bc  b  1 a ab c M   ab+a+1 a  bc  b  1 ac  c  abc  a ab 1 ab+a+1    1 ab+a+1 ab+a+1 ab+a+1 ab+a+1 B) a3 + b3 + c3 = 3abc 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5  a 3  b 3  c 3  3abc 0  a 3  b 3  3ab (a  b )  c 3  3ab (a  b )  3abc 0 3   a  b   c3  3ab (a  b  c ) 0 0,25  (a  b  c)(a 2  2ab  b 2  ac  bc  c 2 )  3ab(a  b  c) 0  (a  b  c)(a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc) 0 0,25  a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc = 0 ( vì a +b +c  0)  2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2ac –2bc = 0  (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 Vì (a – b)2  0  a, b; (b – c)2  0  b,c; (c – a)2  0  a, c. Nên (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2  0  a, b,c ; Do đó (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0  a, b,c Khi a – b = 0 và b – c = 0 và c – a =0  a=b=c Mà a +b +c  0  a = b = c  0 (*) a 2013  a 2013  a 2013 3a 2013 3a 2013 1 N     Thay (*) vào N ta có: 2013 2013 2013 27 a 9  a  a  a  3a  0,25 0,25 Hình vẽ Bài 5 (3,0đ) a) +/ Chứng minh cho tứ giác ABMD có 4 cạnh bằng nhau lại có A =900 nên ABMD là hình vuông. +/  BMD có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh DC và 1 BM = DC   BMD vuông tại B 2  lại có BDM = 450   BMD vuông cân tại B b) tứ giác DMPQ có PQ // DM và PQ = DM  tứ giác DMPQ là hình bình hành c) Chứng minh Q là trực tâm của tam giác ADP  AQ  DP Chứng minh ABC = AMC (c.c.c)  S ABC S AMC 1 1 2 mà SAMC  AD.MC  AD 2 4 1 3 2 2 2 Lại có S ABCD S ABMD  S BCM  AD  AD  AD 2 2 2 3 AD S ABCD 2  6  S ABCD 6S ABC 1 S ABC AD 2 4 Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho đủ điểm ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI : TOÁN 8 Thời gian: 120’ 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 I. Đề bài: Bài tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử. a) x2 - (a+b) xy + aby2 b) a2- b2 – 2a + 1 c) a3 – 19a + 30 Bài tập 2: a) Tìm a,b,c sao cho đa thức x4 + a x2 + bx + c chia hết cho đa thức ( x-3)3 b) cho a + b + c = 2012 Chứng minh rằng : a 3  b 3  c 3  3abc = 2012 a 2  b2  c 2  ab  ac  bc Bài tập3: a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào giả trị của biến x2 x 2 8 4   2 ): 2x  4 2x  4 x  2 x  2 2013 2013 2013   Q= 1  x  xy 1  y  yz 1  z  zx P= ( b) Cho Chứng minh rằng Q là số nguyên; biết rằng xyz = 1 Bài tập 4: Cho hình vuông ABCD.Lấy điểm M tuỳ ý trên BD.Từ M kẻ ME  AB; MF  AD.Chứng minh a) CF = DE; CF  DE b) CM = FE ; CM  FE c) CM,BF,DE đồng qui. III.Đáp án: Bài tập Đáp án 2 2 Bài 1 a) = x – a xy – bxy – aby (2,5điểm) = x(x-by) – ay( x-by) = ( x- ay)(x – by) b) = (a2 – 2a + 1) – b2 = ( a – 1)2 – b2 = ( a -1- b)( a – 1 + b) c)= a3-4a -15a -30 = a(a2-4)-(15a-30) = a(a-2)(a+2)-15(a-2) = (a-2) (a2-2a-15) = (a-2)( a2+3a-5a-15a) = (a-2)(a+3)(a-5) Bài 2 a) = x4+a x2+bx+c=(x-3)3(x+d) (1,5điểm) = (x3-9x2+27x-27)(x+d) = x4+(d-9)x2+(27-9d)x2+(27d-27)x-27d cân bằng hệ số ta có d-9=0  d=9 -27d = c  c=-243 27d-27=b  b=216 27-9d=a  a=-54 Vậy a=-54;b=216;c=-243;d=9 thì x4+a x2+bx+c chia hết cho (x-3)3 b)Ta có a3+b3=(a+b)3-3a2b-3ab2  a3+b3+c3-3abc = (a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc = (a+b)3+c3-3ab(a+b+c) 2 2 = (a+b+c)(a +b +c2+2ab –ac-bc)-3ab(a+b+c) = (a+b+c)( a2+b2+c2-ab –ac-bc) Vậy a 3  b3  c 3  3abc (a  b  c)(a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc ) = a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc điểm 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 025đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ = a+b+c = 2013 Bài 3 (2điểm) ( x  2) 2  ( x  2) 2  16 4 8 x  16 4 :  : 2( x  2)( x  2) x  2 2( x  2)( x  2) x  2 a) P= 4 4  : 1 x 2 x 2 2013 2013 2013   b) Q = 1  x  xy 1  y  yz 1  z  zx z xz 1   = 2013( ) 2 z  xz  xyz xz  xyz  z xy 1  z  xz z xz 1   = 2013( ) = 2013 z  xz  1 xz  1  z 1  z  xz 0,75đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ Bài 4 (4 điểm) A F N I D G E 0,5 đ B M C a) AEMF là hình chữ nhật  AF=EM   EBM cân tại E vì EBM = 450  EB =EM  AF= EB mà AB = AD  AE=FD    ADE =  DCF (c,g,c)  FC=DE và AED = CFD  mà AED + ADE =900  CFD + ADE =900 =900  CF  DE   FID   b)  MEF =  GMC(c.g.c)  CM = FE và EFM = MCG   ta lại có MFC = FCD (so le trong)       mà FCD + FCM + MCG =900  EFM + MFC + FCM =900 =900  CM  FE   CNF c)Xét  EFC có EI,CK là đường cao nên FB là đường cao thứ 3 n ên CM,BF,DE đồng qui. UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN 8 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu1 (3,0 điểm): x2  x  2 x 2  5x  6 a- Tìm điều kiện xác định của A, rồi rút gọn A. b- Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. 1) Cho biểu thức: A  2) Giải phương trình: x  3 x  1 Câu 2 (2,0 điểm): a) Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị của biểu thức B = a4 + b4 + c4 b) Tìm số nguyên dương n để n5+1 chia hết cho n3+1 Câui3 (1,0 điểm) Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng biểu thức: P= ( a+ 1)( a+2)( a+3)( a+4)+1 là bình phương của 1 số nguyên. Câu 4 (1,0 điểm): Cho tam giác ABC có diện tích S, trung tuyến AM. Gọi N là trung điểm của AM, BN cắt cạnh AC tại E, CN cắt cạnh AB tại F. Tính diện tích tứ giác AFNE theo S. Câu 5 (3,0 điểm): Cho hình bình hành ABCD. Qua A kẻ một đường thẳng tuỳ ý cắt BD, BC, CD lần lượt tại E, K, G. Chứng minh: a) AE 2  EK .EG 1 1 1   b) AE AK AG c) Khi đường thẳng đi qua A thay đổi thì tích BK.DG có giá trị không đổi. ............................... HẾT................................. UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Yêu cầu nội dung Ý Câu 1a HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN 8 a- ĐKXĐ: x 2  5 x  6 0   x  2 x  3 0  x  2; x  3 Điểm 0,25 đ 2 A x  x  2  x  1 x  2  x  1   x 2  5 x  6  x  2  x  3 x  3 x 1 4 1  x 3 x 3 4 Để A nguyên thì nguyên hay x+3  Ư(4) x 3 Suy ra: x+3 -4 -2 -1 1 2 4 x -7 -5 -4 -2 -1 1 Vì ĐKXĐ: x -2 Vậy x nhận các giá trị: -7;-5;-4;-1;1 A Câu1 3,0đ 1b 0,75 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25đ 2 * Xét khoảng x 0 phương trình đã cho trở thành: x  3 x  1 (1) Với x 3 pt (1) trở thành: x-3=x+1, vô nghiệm 0,25đ Với 0 x  3 pt (1) có nghiệm x=1 thuộc khoảng đang xét 0,25đ * Xét khoảng x< 0 pt đã cho trở thành: x  3  x  1 (2) Với  3 x  0 pt (2) có dạng: x+3= x+1, vô nghiệm 0,25đ Với x   3 pt (2) có nghiệm x=-2 (không thuộc khoảng đang xét) Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S =  1  Câu2 2đ a 0,25 đ 2 Ta có: 14 2  a 2  b 2  c 2   196 a 4  b 4  c 4  2a 2 b 2  2a 2 c 2  2c 2 b 2  a 4 b 4 c 4 196  2 a 2 c 2  a 2 b 2  b 2 c 2  Lại có: a+ b+ c = 0   a  b  c  2 0  a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc 0  ab  ac  bc  7 2   ab  ac  bc  49  a 2 b 2  a 2 c 2  b 2 c 2  2ab 2 c  2bc 2 a  2ca 2 b 49  a 2 b 2  a 2 c 2  b 2 c 2  2abc(a  b  c ) 49 0,25 đ 0,5đ Do đó :  a 2 b 2  a 2 c 2  b 2 c 2 49  B = a4+ b4+ c4 = 196-2.49 = 98    0,25 đ  n 5  1 n3  1  n 2 n 3  1  n 2  1 n 3  1   2   n  1 n  1  n  1 n  n  1 0,5 đ 2  n  1 n  n  1 (vì n  1 0 ) b Nếu n=1 thì được 0 chia hết cho 1 Nếu n> 1thì n-1< n(n-1)+1=n2-n+1 nên (n-1) không thể chia hết cho n2-n+1 Vậy giá trị duy nhất của n tìm được là 1 P= ( a+ 1)( a+2)( a+3)( a+4)+1 = (a 2 5a  4)(a 2  5a  6)  1 Đặt a 2 5a  4  x ta có: P = x( x+ 2)+1= x 2 + 2x + 1= (x + 1) 2 . Thay a 2 2 5a  4  x ta được P = ( a 5a  5) 2 Vì a là số nguyên nên ( a 2 5a  5) 2 là số nguyên, do đó p =( a 2 5a  5) 2 là bình phương của một số nguyên. Suy ra điều phải chứng minh. Câu3 1,0 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ A E F N K Câu4 1đ B C M Vẽ MK//CF  BK  KF  FA S AKM 4 S AFN ; S BKM 2S AFN Câu5 3đ 0,25 đ 0,25 đ S S  S AFN  2 12 S S   S AFNE  12 6  S ABM 6 S AFN mà S ABM  0,25 đ Tương tự có: S ANE 0,25 đ A B E K G D C Do BK//AD, nên EK BE  (1) AE ED Do AB//DG, nên AE BE  (2) EG ED 0,5 đ 0,25 đ EK AE   AE 2  EK .EG AE EG AE DE AE DE    Ta có: (3) EK EB AK DB Từ (1)(2)  Tương tự: AE BE  (4) AG BD 0,25đ 0,25 đ 0,5 đ Công từng vế của (3) và (4) ta có: AE AE DE BE BD 1 1 1     1 hay   AE AK AG AK AG DB BD BD BK a KC CG   Đặt AB=a; AD=b thì: và KC CG b DG Nhân theo từng vế của hai đẳng thức trên, ta được: BK a   BK .DG ab có giá trị không đổi b DG 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ …………………HẾT………………… Ghi chú: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN 8 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2.0 Điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x 2  7 x  6 b) a(x2 +1) – x(a2 + 1) c) x – 1 + xn + 3- xn Bài 2: (3,0 Điểm) 1. Cho đa thức f(x) = 2x3 – 3ax2 +2x + b Xác định a và b để f(x) chia hết cho x – 1 và x + 2 2. So sánh A và B biết: 2 2 4 8 16 A 5 32  1 và B (5  4.5  1)(5  1)(5  1)(5  1)(5  1) 3. Cho a, b, c là các số thỏa mãn abc = 1. Tính giá trị của biểu thức: a b c A   1  a  ab 1  b  bc 1  c  ac Bài 3: (1,5 Điểm) Thực hiện phép tính:  2 xy x  y  2x y a)  x 2  y 2  2 x  2 y . x  y  y  x   1  5 x 2  15 x  2  2 . 2  x  2 x  3x  2 x  5 x  2 b)  Bài 4: (2,5 Điểm) Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của BA lấy một điểm E, trên tia đối của CB lấy một điểm F sao cho AE = CF. 1) Chứng minh tam giác DEF vuông cân. 2) Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình vuông ABCD, gọi I là trung điểm của EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 5: (1,0 Điểm) Một đa giác đều có tổng số đo tất cả các góc ngoài và một góc trong của đa giác bằng 5040 . Hỏi đa giác có mấy cạnh --------------- HẾT --------------- UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN 8 Đáp án a/=x + 6x + x +6 = (x + 6)( x + 1) b/=ax2 + a – a2x – x =ax(x – a) – (x – a) = (x – a)(ax - 1) c/ = (x – 1) + (x3 – 1)(xn) = (x – 1) 1  ( x 2  x  1) x n  = (x – 1)(1 + xn + xn+2 + xn+1) 1/ Để f(x) chia hết cho 2 đa thức x – 1 và x + 2 ta có f(x) = (x – 1)(x + 2). Q(x) + Với x = 1 => 2 – 3a + 2 + b = 0 => b = 3a (1) + Với x = 2 => -1b -12a – 4 + b = 0 => b = 12a + 20 (2) 2 1 + Kết hợp (1) và (2) ta có a = 2  20  20 ;b= 9 3 2/ ta có A = (516 – 1)(516 + 1) = … = 24(52 +1)(54 +1)(58 + 1)(516 + 1) Do 24 > 6 => A > B 3/ Thay abc = 1 vào biểu thức A ta có Điểm 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ a b bc   abc  a  ab 1  b  bc b  bc  abc 1 b bc   1 = bc  b  1 bc  b  1 bc  b  1  2 xy x  y  2x y . a /  2   2 2x  2 y  x  y y  x x  y A= 0,5đ 2  2 xy.2   x  y  2 x y  2 2 x y y x 2x  y  2 x x  y   y x y   1 2 2 x  y   x  y  x  y x  y  0,25đ  2 3 0,5đ  2  5 x( x  3) 1 . 2 b /    x  2 x( x  3)  2 x  5 x  2 2 x( x  3)  ( x  2) 5 x( x  3)  . x( x  2)( x  3) ( x  2)( x  1 ) 2 2 2 x  5x  2 5 x( x  3) 5  . 2  x( x  2)( x  3) 2 x  5 x  2 x  2 E 4 0,25đ 0,5đ I B C F O A D -Vẽ hình đảm bảo a/ Chứng minh  DEF vuông cân  ADF =  CDF (c.g.c) => DE = DF (1) 0,25đ 0,5đ
- Xem thêm -