Tài liệu đẳng thức và bất đẳng thức trong lớp hàm logarit

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC NGUY™N NGÅC QUY˜N NG THÙC V€ B‡T NG THÙC TRONG LÎP H€M LOGARIT LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC THI NGUY–N - 2020 „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC NGUY™N NGÅC QUY˜N NG THÙC V€ B‡T NG THÙC TRONG LÎP H€M LOGARIT Chuy¶n ng nh: PH×ÌNG PHP TON SÌ C‡P M¢ sè: 8 46 01 13 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: GS.TSKH. Nguy¹n V«n Mªu THI NGUY–N - 2020 i Möc löc MÐ †U Ch÷ìng 1. Mët sè ki¸n thùc li¶n quan ¸n h m logarit 1 3 1.1 Mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa h m logarit . . . . . . . . . . . 3 1.2 °c tr÷ng cõa h m tu¦n ho n nh¥n t½nh . . . . . . . . . . 5 1.2.1 H m tu¦n ho n nh¥n t½nh . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 H m ph£n tu¦n ho n nh¥n t½nh 6 1.2.3 C¡c b i to¡n li¶n quan ¸n h m tu¦n ho n nh¥n t½nh 1.3 . . . . . . . . . . . Mët sè ành l½ li¶n quan ¸n lîp h m lçi v  h m lçi logarit . 8 9 Ch÷ìng 2. ¯ng thùc v  ph÷ìng tr¼nh si¶u vi»t d¤ng logarit 14 2.1 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy d¤ng logarit . . . . . . . . . . . 14 2.2 Ph÷ìng tr¼nh si¶u vi»t d¤ng logarit . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 H» ph÷ìng tr¼nh logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.1 Ph²p chuyºn v· h» ¤i sè . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.2 Sû döng t½nh ìn i»u cõa h m sè . . . . . . . . . . 36 Ch÷ìng 3. B§t ¯ng thùc trong lîp h m logarit 3.1 3.2 38 C¡c d¤ng to¡n ÷îc l÷ñng v  b§t ¯ng thùc logarit . . . . . 38 . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.1 B§t ¯ng thùc h m logarit 3.1.2 Ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ¯ng thùc chùa logarit . . . . 44 . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.1 B i to¡n cüc trà li¶n quan ¸n h m logarit . . . . . . 51 3.2.2 B§t ¯ng thùc trong d¢y sè v  giîi h¤n 56 3.2.3 Ùng döng h m lçi, h m logarit trong chùng minh Mët sè t½nh to¡n kh¡c li¶n quan . . . . . . . c¡c b§t ¯ng thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K¸t luªn 60 66 1 Mð ¦u B§t ¯ng thùc câ và tr½ °c bi»t quan trång trong to¡n håc v  l  mët bë phªn quan trång cõa gi£i t½ch v  ¤i sè. ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc trong lîp h m logarit l  mët trong nhúng nëi dung cì b£n v  quan trång cõa ch÷ìng tr¼nh to¡n bªc trung håc phê thæng. Chuy¶n · n¬m trong ch÷ìng tr¼nh bçi d÷ïng HSG ð c¡c lîp THPT phöc vö c¡c ký thi HSG quèc gia v  khu vüc. °c bi»t, trong c¡c k¼ thi håc sinh giäi to¡n c¡c c§p, c¡c b i to¡n li¶n quan tîi c¡c t½nh ch§t cõa h m logarit th÷íng xuy¶n ÷ñc · cªp. Nhúng d¤ng to¡n n y th÷íng ÷ñc xem l  thuëc lo¤i khâ v  ái häi t÷ duy, kh£ n«ng ph¡n o¡n cao, song nâ l¤i luæn câ sùc h§p d¨n, thu hót sü t¼m tái, âc s¡ng t¤o cõa håc sinh. º ¡p ùng nhu c¦u bçi d÷ïng gi¡o vi¶n v  bçi d÷ïng håc sinh giäi v· chuy¶n · h m logarit, tæi chån · t i luªn v«n "¯ng thùc v  b§t ¯ng thùc trong lîp h m logarit". Ti¸p theo, kh£o s¡t mët sè lîp b i to¡n tø c¡c · thi HSG Quèc gia v  c¡c t¿nh th nh trong c£ n÷îc nhúng n«m g¦n ¥y. C§u tróc luªn v«n gçm ba ch÷ìng v  ph¦n mð ¦u, k¸t luªn. Ch÷ìng 1. Mët sè ki¸n thùc li¶n quan ¸n h m logarit. Trong ch÷ìng n y t¡c gi£ tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa h m logarit, °c tr÷ng cõa h m tu¦n ho n nh¥n t½nh v  mët sè ành l½ li¶n quan ¸n lîp h m lçi v  h m lçi logarit. Ch÷ìng 2. Tr¼nh b y v· ¯ng thùc logarit trong lîp h m sè chuyºn êi c¡c ¤i l÷ñng trung b¼nh thæng qua mët sè b i to¡n, sû döng ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy º gi£i ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy d¤ng logarit. Cuèi ch÷ìng d nh º tr¼nh b y c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i ph÷ìng tr¼nh si¶u vi»t d¤ng logarit còng vîi c¡c v½ dö t÷ìng ùng. Ch÷ìng 3. B§t ¯ng thùc trong lîp h m logarit. Ch÷ìng n y tr¼nh b y v· b§t ¯ng thùc h m logarit v  ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ¯ng thùc chùa logarit thæng qua c¡c v½ dö cö thº. Ngo i ra cán tr¼nh b y c¡c ùng döng cõa c¡c ành l½ º gi£i c¡c b i to¡n cüc trà h m logarit công nh÷ c¡c b i 2 to¡n t¼m giîi h¤n v  ùng döng h m lçi, h m logarit trong chùng minh mët lîp c¡c b§t ¯ng thùc kinh iºn. Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n cõa Gi¡o s÷, Ti¸n s¾ khoa håc Nguy¹n V«n Mªu. T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c èi vîi Th¦y, ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, v  truy·n ¤t ki¸n thùc, kinh nghi»m nghi¶n cùu cho t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  ho n th nh luªn v«n. T¡c gi£ công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi c¡c Th¦y Cæ trong khoa To¡n-Tin tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ gi£ng d¤y, gióp ï v  t¤o i·u ki»n cho t¡c gi£ trong suèt thíi gian håc tªp t¤i Tr÷íng. çng thíi, tæi công xin gûi líi c£m ìn tîi gia ¼nh v  b¤n b± çng nghi»p ¢ luæn gióp ï v  ëng vi¶n tæi trong qu¡ tr¼nh ho n th nh luªn v«n. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 03 n«m 2020. T¡c gi£ Nguy¹n Ngåc Quy¸n 3 Ch÷ìng 1. Mët sè ki¸n thùc li¶n quan ¸n h m logarit Möc ½ch cõa ch÷ìng n y l  tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa h m logarit; °c tr÷ng cõa h m tu¦n ho n nh¥n t½nh v  mët sè ành l½ li¶n quan ¸n lîp h m lçi v  h m lçi logarit. C¡c k¸t qu£ ch½nh cõa ch÷ìng ÷ñc tham kh£o tø c¡c t i li»u [1], [2]. 1.1 Mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa h m logarit ành ngh¾a 1.1. a > 0, a 6= 1 f (x) = loga x Cho h m sè logarit . Khi â h m sè ÷ñc a. log x x Tø ành ngh¾a n y ta suy ra: loga a = 1, loga 1 = 0, x = a a , x = loga a . gåi l  cì sè Trong c¡c ph¦n ti¸p theo, ta gi£ sû Nhªn x²t 1.1. D = (0; +∞) i) H m sè logarit câ tªp x¡c ành ii) H m sè f (x) = loga x f (x) = loga x . (T½nh ìn i»u) ln a > 0 a>1 1 . x ln a a > 1. n¶n suy ra f (x) = loga x 0 < a < 1. th¼ - Tr÷íng hñp 2: hìn núa Ta kh£o s¡t t½nh ìn i»u cõa h m sè f 0 (x) = (loga x)0 = Vªy, khi I = R. x > 0, trong 2 tr÷íng hñp. - Tr÷íng hñp 1: Khi â, v  tªp gi¡ trà li¶n töc v  câ ¤o h m vîi måi f 0 (x) = T½nh ch§t 1.1 0 < a 6= 1. 1 > 0, ∀x > 0. x ln a l  h m çng bi¸n tr¶n D. 4 Trong tr÷íng hñp n y loga x f 0 (x) < 0, ∀x ∈ D. Vªy, khi 0 0, a 6= 1, x > 0, (T½nh lçi, lãm) X²t h m sè ta câ f 0 (x) = (loga x)0 = f 00 (x) = - N¸u - N¸u −1 . x2 ln a 1 , x ln a a > 1 tùc ln a > 0 th¼ y 00 < 0 suy ra h m sè lãm tr¶n (0; +∞). 0 < a < 1 tùc ln a < 0 th¼ y 00 > 0 suy ra h m sè lçi tr¶n (0; +∞). T½nh ch§t 1.3. Vîi måi a > 0, a 6= 1 v  T½nh ch§t 1.4. Vîi måi a > 0, a 6= 1 v  x1 , x2 ∈ (0; +∞), ta câ x1 loga (x1 x2 ) = loga x1 + loga x2 , loga = loga x1 − loga x2 . x2 loga xα = αloga x, loga x = T½nh ch§t 1.5. Vîi måi x > 0. Vîi måi 0 < a 6= 1, b 6= 1 v  x > 0, 0 < a 6= 1, 0 < c 6= 1 loga x = T½nh ch§t 1.7. H m sè T½nh ch§t 1.8. Vîi måi α b§t ký, ta câ 1 loga xα = α logaα x = logaα xα . α loga b. logb c = loga c, loga b = T½nh ch§t 1.6. Vîi ta câ 1 . logb a v  x > 0, ta câ logc x . logc a f (x) = loga x (0 < a 6= 1) câ ¤o h m t¤i måi 1 0 . N¸u h m sè u = u(x) câ ¤o h m iºm x ∈ (0; +∞) v  (loga x) = x ln a tr¶n kho£ng J ∈ R th¼ h m sè y = loga u(x), (0 < a 6= 1) câ ¤o h m tr¶n u0 (x) 0 J v  (loga u(x)) = . u(x) ln a i) Khi ii) Khi a>1 th¼ a > 0, a 6= 1 v  x1 , x2 ∈ (0; +∞), loga x1 < loga x2 ⇔ x1 < x2 . 0 x2 . ta câ 5 1.2 °c tr÷ng cõa h m tu¦n ho n nh¥n t½nh Trong ch÷ìng tr¼nh gi£i t½ch ta th÷íng l m quen vîi lîp h m l÷ñng gi¡c l  nhúng h m tu¦n ho n (cëng t½nh) quen thuëc. R§t nhi·u ph÷ìng tr¼nh h m v  c¡c d¤ng to¡n li¶n quan ái häi c¦n t¼m hiºu th¶m c¡c t½nh ch§t v  °c tr÷ng cõa lîp h m tu¦n ho n v  ph£n tu¦n ho n nh¥n t½nh g­n vîi h m logarit. 1.2.1 H m tu¦n ho n nh¥n t½nh ành ngh¾a 1.2. ký a; (a > 1) H m sè M tr¶n n¸u f (x) ÷ñc gåi M ⊂ D(f ) v  l  h m tu¦n ho n nh¥n t½nh chu  ∀x ∈ M suy ra a±1 x ∈ M f (ax) = f (x), ∀x ∈ M. V½ dö 1.1. f (x) = sin(2π log2 x). Khi â f (x) l  h m tu¦n ho n + + ±1 + ký 2 tr¶n R . Thªt vªy, ta câ ∀x ∈ R th¼ 2 x ∈ R v  X²t nh¥n t½nh chu f (2x) = sin(2π log2 (2x)) = sin(2π(1 + log2 x)) = sin(2π log2 x) = f (x). T½nh ch§t 1.9. N¸u ký t÷ìng ùng l  a f (x) v  b v  tr¶n g(x) M v  l  hai h m tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ln |a| m = , m, n ∈ N∗ ln |b| n th¼ F (x) = f (x) + g(x) v  G(x) = f (x).g(x) l  c¡c h m tu¦n ho n nh¥n t½nh tr¶n M . Chùng minh. ln |a| m n m = suy ra |a| = |b| . ln |b| n cõa F (x) v  G(x). Thªt vªy, ta Tø gi£ thi¸t T := a2n = b2m l  chu ký Ta chùng minh câ F (T x) = f (a2n x) + g(b2m x) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ M ; G(T x) = f (a2n x)g(b2m x) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M. ∀x ∈ M, T ±1 x ∈ M . t½nh tr¶n M . Hìn núa, nh¥n T½nh ch§t 1.10. tr¶n tr¶n R th¼ R+ . Do â, F (x), G(x) l  c¡c h m tu¦n ho n f (x) l  h m tu¦n ho n cëng t½nh chu ký a, a > 0 g(t) = f (ln t), (t > 0) l  h m tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký ea N¸u 6 f (x) l  h m tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký a (a > 1) g(t) = f (et ) l  h m tu¦n ho n cëng t½nh chu ký ln a tr¶n R. Ng÷ñc l¤i, n¸u R+ th¼ Chùng minh. Gi£ sû f (x) l  h m tu¦n tr¶n R. X²t g(t) = f (ln t), (t > 0). ho n cëng t½nh chu ký tr¶n a, a > 0 Ta câ g(ea t) = f (ln(ea t)) = f (ln ea + ln t) = f (a + ln t) = f (ln t) = g(t), ∀t ∈ R+ . Vªy g(t) Ng÷ñc (0 l  h m tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký l¤i, gi£ sû f (x) l  < a 6= 1) tr¶n R+ . t X²t g(t) = f (e ), ∀t ∈ R. h m tu¦n ea tr¶n ho n R+ . nh¥n t½nh chu ký a Ta câ g(t + ln a) = f (et+ln a ) = f (et .eln a ) = f (aet ) = f (et ) = g(t), ∀t ∈ R. Vªy g(t) l  h m tu¦n ho n cëng t½nh chu ký ln a tr¶n R. 1.2.2 H m ph£n tu¦n ho n nh¥n t½nh ành ngh¾a 1.3. chu ký f (x) ÷ñc gåi l  h m ph£n tu¦n ho n nh¥n t½nh a (a > 1) tr¶n M n¸u M ⊂ D(f ) v   ∀x ∈ M suy ra a±1 x ∈ M f (ax) = −f (x), ∀x ∈ M. V½ dö 1.2. H m sè f (x) = cos(π log2 x). Khi â f (x) l  h m ph£n tu¦n ho n + ký 2 tr¶n R . X²t nh¥n t½nh chu Thªt vªy, ta câ ∀x ∈ R+ th¼ f (2x) = cos(π log2 (2x)) = cos(π+π log2 x) = − cos(π log2 x) = −f (x), ∀x ∈ R+ . V½ dö 1.3. √ 1 [sin(2π log2 ( 2x)) − sin(2π log2 x)]. 2 √ f (x) l  h m ph£n tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký 2 tr¶n R+ . √ + ±1 + Thªt vªy, ta câ ∀x ∈ R th¼ ( 2) x ∈ R v  √ √ 1 f ( 2x) = [sin(2π log2 (2x)) − sin(2π log2 ( 2x))] 2 X²t f (x) = Khi â 7 √ 1 = [sin(2π(1 + log2 x)) − sin(2π log2 ( 2x))] 2 √ 1 = [sin(2π log2 x) − sin(2π log2 ( 2x))] = −f (x). 2 T½nh ch§t 1.11. Måi h m ph£n tu¦n ho n nh¥n t½nh tr¶n tu¦n ho n nh¥n t½nh tr¶n Chùng minh. M ·u l  h m M. Theo gi£ thi¸t tçn t¤i b > 1 sao cho ∀x ∈ M th¼ b±1 ∈ M v  f (bx) = −f (x), ∀x ∈ M. Suy ra, ∀x ∈ M th¼ b±1 ∈ M v  f (b2 x) = f (b(bx)) = −f (bx) = −(−f (x)) = f (x), ∀x ∈ M. Nh÷ vªy, f (x) l  h m tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký T½nh ch§t 1.12. f (x) tr¶n M khi v  ch¿ khi b2 tr¶n M. l  h m ph£n tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký f (x) b (b > 1) câ d¤ng: 1 f (x) = (g(bx) − g(x)), 2 trong â, g(x) l  h m tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký b2 tr¶n M. Chùng minh. (i) Gi£ sû f l  h m ph£n tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký b tr¶n M . Khi â g(x) = −f (x) l  h m tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký b2 tr¶n M v  (ii) 1 1 (g(bx) − g(x)) = (−f (bx) − (−f (x))) 2 2 1 = (−(−f (x)) + f (x)) = f (x), ∀x ∈ M. 2 1 Ng÷ñc l¤i, f (x) = (g(bx) − g(x)), th¼ 2 1 1 f (bx) = (g(b2 x) − g(bx)) = (g(x) − g(bx)) 2 2 1 = − (g(bx) − g(x)) = −f (x), ∀x ∈ M. 2 ∀x ∈ M tr¶n M . Hìn núa, nh¥n t½nh th¼ b±1 x ∈ M . Do â, f (x) l  h m ph£n tu¦n ho n 8 1.2.3 C¡c b i to¡n li¶n quan ¸n h m tu¦n ho n nh¥n t½nh B i to¡n 1.1. Cho a > 1. X¡c ành t§t c£ c¡c h m f (x) thäa m¢n i·u ki»n f (ax) = f (x), ∀x ∈ R+ . Líi gi£i . °t x = at v  f (at ) = h1 (t). Khi â t = loga x v  f (ax) = f (x) ⇔ h1 (t + 1) = h1 (t), ∀t ∈ R, h(t) = f (at ). x < 0. °t −x = at trong â X²t v  f (−at ) = h2 (t). Khi â t = loga |x| v  f (ax) = f (x) ⇔ h2 (t + 1) = h2 (t), ∀t ∈ R. f (x) = h(loga |x|) ký 1 tr¶n R. K¸t luªn: tòy þ chu B i to¡n 1.2. Cho trong â a < 0, a 6= −1. h(t) l  h m tu¦n ho n cëng t½nh X¡c ành t§t c£ c¡c h m f (x) thäa m¢n i·u ki»n f (ax) = −f (x), ∀x ∈ R. Líi gi£i . Tø i·u ki»n cõa b i to¡n suy ra f (a2 x) = f (x), ∀x ∈ R. Vªy, måi nghi»m cõa b i to¡n câ d¤ng 1 f (x) = [g(x) − g(ax)], 2 trong â g(a2 x) = g(x), ∀x ∈ R. Thªt vªy, n¸u f (x) câ d¤ng tr¶n th¼ ta câ 1 f (ax) = [g(ax) − g(a2 x)] 2 Ng÷ñc l¤i, vîi méi 1 [g(ax) − g(x)] = −f (x), ∀x ∈ R. 2 f (x) thäa m¢n i·u ki»n b i to¡n, Khi â g(a2 x) = g(x), ∀x ∈ R. chån g(x) = f (x). 9 v  1 1 [g(x) − g(ax)] = [f (x) − f (ax)] 2 2 1 = [f (x) + f (x)] = f (x), ∀x ∈ R. 2 Suy ra nghi»m c¦n t¼m l  1 f (x) = [g(x) − g(ax)], 2 trong â vîi    1   h1 log|a| x khi x > 0    2 g(x) = d tòy þ khi x = 0  1     h2 log|a| |x| khi x < 0 2 h1 (t), h2 (t) l  c¡c h m tu¦n ho n cëng t½nh tòy þ chu ký 1 tr¶n R. 1.3 Mët sè ành l½ li¶n quan ¸n lîp h m lçi v  h m lçi logarit ành lþ 1.1 . Cho h m sè f : [a; b] → R thäa m¢n f li¶n töc tr¶n (Rolle) [a; b], câ ¤o h m tr¶n kho£ng (a; b) v  f (a) = f (b) th¼ tçn t¤i c ∈ (a; b) sao cho f 0 (c) = 0. ành lþ 1.2 (Lagrange) . Cho h m sè f : [a; b] → R thäa m¢n f li¶n töc tr¶n o¤n [a; b], kh£ vi tr¶n kho£ng (a; b), khi â tçn t¤i c ∈ (a; b) sao cho f 0 (c) = ành lþ 1.3 . Gi£ sû x > −1. Khi â (B§t ¯ng thùc Bernoulli) ( (1 + x)α ≤ 1 + αx khi 0 ≤ α ≤ 1 (1 + x)α ≥ 1 + αx khi α ≤ 0 ∨ α ≥ 1. ành ngh¾a 1.4. [a, b] f (b) − f (a) . b−a n¸u vîi måi f : [a, b] → R gåi l  h m lçi x, y ∈ [a, b] v  måi λ ∈ [0, 1], ta câ H m sè thüc tr¶n kho£ng f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y). (1.1) N¸u trong (1.1) ta câ b§t ¯ng thùc nghi¶m ng°t (ch°t) th¼ khi â ta nâi lçi. f l  h m lçi thüc sü. Cho h m f ta nâi nâ l  h m lãm n¸u −f l  h m 10 ành lþ 1.4 . Cho f : (a, b) → R l  h m lçi tr¶n (a, b). Cho n ∈ N v  λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ (0, 1) l  c¡c sè thüc thäa m¢n λ1 + λ2 + · · · + λn = 1. Khi â vîi måi x1 , x2 , . . . , xn ∈ (a, b) ta câ ! n n X X f λi xi ≤ λi f (xi ), (B§t ¯ng thùc Jensen) i=1 i=1 ngh¾a l  f (λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λn xn ) ≤ λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 ) + · · · + λn f (xn ). (1.2) ành lþ 1.5 . Cho (B§t ¯ng thùc d¤ng Karamata èi vîi h m logarit) hai d¢y sè {xk , yk ∈ I(a, b), k = 1, 2, . . . , n} vîi 0 < a < b, thäa m¢n c¡c i·u ki»n x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn , y1 ≥ y2 ≥ · · · ≥ yn v     x1 ≥ y1 ,       x1 + x2 ≥ y1 + y2 ,   ......      x1 + x2 + · · · + xn−1 ≥ y1 + y2 + · · · + yn−1 ,      x + x + ··· + x = y + y + ··· + y . 1 2 n 1 2 n Khi â, ùng vîi h m f (x) = logd x vîi d > 1, ta ·u câ f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ≤ f (y1 ) + f (y2 ) + · · · + f (yn ). ành ngh¾a 1.5. i) Vîi c¡c sè d÷ìng Trung b¼nh cëng a, b (Trung b¼nh sè håc): A(a, b) = ii) Trung b¼nh nh¥n a+b . 2 (Trung b¼nh h¼nh håc): √ G(a, b) = iii) ta ành ngh¾a: ab. Trung b¼nh i·u háa : H(a, b) = 2ab 2 = . 1 1 a+b + a b (1.3) 11 iv) Tr÷íng hñp nhi·u bi¸n: Kþ hi»u ¥m. Vîi n a = {ak }nk=1 l  d¢y cõa n sè khæng l  sè nguy¶n d÷ìng cè ành, ta kþ hi»u n n Y n 1X 1/n ak , H(a) = P ak , G(a) = A(a) = . n n k=1 −1 k=1 ak k=1 A(a), G(a), H(a) t÷ìng ùng ÷ñc gåi l  trung b¼nh cëng, trung b¼nh nh¥n v  trung b¼nh i·u háa cõa c¡c sè a1 , a2 , . . . , an . C¡c ¤i l÷ñng ành ngh¾a 1.6. Vîi hai sè khæng ¥m Mr (a, b) ÷ñc gåi l  v  r 6= 0  ar + br  1r Mr (a, b) = ¤i l÷ñng a, b 2 ta kþ hi»u. . trung b¼nh lôy thøa cõa c¡c sè a v  b. èi vîi tr÷íng hñp nhi·u bi¸n chóng ta kþ hi»u a= ¤i l÷ñng {ak }nk=1 (ak Mr (a) ≥ 0), Mr (a) = n 1 X n ark  1r , r 6= 0. k=1 ÷ñc gåi l  trung b¼nh lôy thøa cõa c¡c sè ành lþ 1.6. Vîi d¢y sè d÷ìng a a1 , a2 , ..., an . = {ak }nk=1 , r1 < r2 th¼ Mr1 (a) < Mr2 (a). D§u ¯ng thùc x£y ra khi v  ch¿ khi a1 = a2 = ... = an . ành ngh¾a 1.7. cõa c¡c sè a, b Vîi c¡c sè d÷ìng a, b ta ành ngh¾a trung b¼nh logarit l  biºu thùc L(a, b) = b−a , a 6= b, ln b − ln a L(a, a) = a. Nhªn x²t r¬ng L(a, b) = 1 b−a 1 Z b a dx x 1 = M1 1 x . , (a, b) ành lþ 1.7. Vîi c¡c sè d÷ìng a < b câ c¡c b§t ¯ng thùc H(a, b) < G(a, b) < L(a, b) < A(a, b). Chùng minh. 0 < a < b. H m f (x) = ex l  h m o¤n [ln a, ln b]. Ta câ b§t ¯ng thùc Gi£ sû l  h m lçi tr¶n ln a + ln b Z 2 e (ln b − ln a) < ln b ln a ex dx < (1.4) lçi tr¶n R, ln a + ln b (ln b − ln a). 2 do â 12 Tø ¥y suy ra √ ab < b−a a+b < ⇔ G(a, b) < L(a, b) < A(a, b). ln b − ln a 2 Ta câ √ 2ab < ab ⇔ H(a, b) < G(a, b). a+b Vªy H(a, b) < G(a, b) < L(a, b) < A(a, b), a, b > 0, a 6= b. ành lþ 1.8. Vîi 0 < a < b câ c¡c b§t ¯ng thùc L(a, b) < M1/3 (a, b), L(a3 , b3 ) < A3 (a, b). (1.5) Chùng minh. Theo cæng thùc Simpson, ta câ Z d 3 2c + d
3 c + 2d
1 f (x)dx = f (c)(d − c) + f (d − c) + f (d − c) 8 8 3 8 3 c (c − d)5 (4) 1 f (η), + f (c)(d − c) − 8 6480 c < η < d. Cho c = ln a, d = ln b, f (x) = ex Z ln b b−a= ex dx trong â ta câ ln a 2 ln a + ln b ln a + 2 ln b 3 3 eln a + 3e + 3e + eln b < (ln b − ln a) 8 !3 a1/3 + b1/3 = (ln b − ln a). 2 Tø ¥y suy ra b§t ¯ng thùc thù nh§t trong (1.5). Trong b§t ¯ng thùc thù nh§t, thay a, b t÷ìng ùng bði M»nh · 1.1. Ta câ h» thùc a3 , b3 ta câ b§t ¯ng thùc thù hai. L(x2 , y 2 ) = A(x, y). L(x, y) Chùng minh. Ta câ x2 − y 2 L(x , y ) = ln x2 − ln y 2 2 2 (1.6) 13 (x − y)(x + y) 2(ln x − ln y) x+y = L(x, y) 2 = L(x, y)A(x, y). = Tø ¥y suy ra i·u ph£i chùng minh. V½ dö 1.4. Líi gi£i Cho b > a > 0, chùng minh b§t ¯ng thùc  b + a 2 b 2 − a2 . <2 ln b − ln a 2 . Theo ¯ng thùc (1.6) v  b§t ¯ng thùc (1.4), ta câ L(a2 , b2 ) = L(a, b)A(a, b) < A2 (a, b). Tø â suy ra b§t ¯ng thùc c¦n ph£i chùng minh. 14 Ch÷ìng 2. ¯ng thùc v  ph÷ìng tr¼nh si¶u vi»t d¤ng logarit Nëi dung ch½nh cõa ch÷ìng n y l  tr¼nh b y v· ¯ng thùc logarit trong lîp h m sè chuyºn êi c¡c ¤i l÷ñng trung b¼nh; ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy d¤ng logarit v  ph÷ìng ph¡p gi£i ph÷ìng tr¼nh si¶u vi»t d¤ng logarit còng mët sè v½ dö. C¡c k¸t qu£ ch½nh cõa ch÷ìng ÷ñc tham kh£o tø t i li»u [1, 3, 5]. 2.1 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy d¤ng logarit B i to¡n 2.1 . (Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy) X¡c ành c¡c h m li¶n töc tr¶n R v  thäa m¢n i·u ki»n f (x + y) = f (x) + f (y), Líi gi£i suy ra f : R → R, ∀x, y ∈ R. (2.1) f l  h m sè thäa m¢n · b i, khi â ta câ (2.1). Tø (2.1) f (0) = 0, f (−x) = −f (x) v  vîi x = y th¼ . Gi£ sû f (2x) = 2f (x), Gi£ sû vîi k nguy¶n d÷ìng, ∀x ∈ R. f (kx) = kf (x), ∀x ∈ R, ∀k ∈ N. f ((k + 1)x) = f (kx + x) = f (kx) + f (x) = kf (x) + f (x) = (k + 1)f (x), ∀x ∈ R, ∀k ∈ N. Tø â, theo nguy¶n lþ quy n¤p, ta câ f (nx) = nf (x), ∀x ∈ N. (2.2) Khi â 15 f (−x) = −f (x), K¸t hñp vîi t½nh ch§t ta ÷ñc f (mx) = f (−m(−x)) = −mf (−x) = mf (x), ∀m ∈ Z, ∀x ∈ R. (2.3) Tø (2.2) ta câ f (x) = 2f x 2 2 =2 f x 22 n = ... = 2 f x 2n . Tø â suy ra f x 2n 1 f (x), 2n = ∀x ∈ R, ∀n ∈ N. (2.4) K¸t hñp (2.3) v  (2.4), ta ÷ñc f m 2n = m f (1), 2n Sû döng gi£ thi¸t li¶n töc cõa h m f (x) = ax f, suy ra ∀x ∈ R, a = f (1). f (x) = ax, Thû l¤i, ta th§y h m ∀m ∈ Z, ∀n ∈ N+ . thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh (2.1). Vªy Nhªn x²t 2.1. töc tr¶n R f (x) = ax, vîi a∈R tòy þ. Trong b i to¡n tr¶n, n¸u ta thay gi£ thi¸t h m sè bði h m sè Thªt vªy, n¸u h m sè f f x0 ∈ R th¼ iºm x0 th¼ li¶n töc t¤i li¶n töc t¤i f li¶n k¸t qu£ tr¶n v¨n óng. lim f (x) = f (x0 ) x→x0 v  vîi méi x1 ∈ R ta ·u câ f (x) = f (x − x1 + x0 ) + f (x1 ) − f (x0 ), ∀x ∈ R. Tø â suy ra lim f (x) = lim f (x − x1 + x0 ) + f (x1 ) − f (x0 ) x→x1 x→x1 = f (x0 ) + f (x1 ) − f (x0 ) = f (x1 ). Nh÷ vªy, n¸u h m f x¡c ành tr¶n m¢n ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy th¼ B i to¡n 2.2. T¼m c¡c h m sè R, li¶n töc t¤i iºm x0 ∈ R f li¶n töc tr¶n R. f (x) x¡c ành v  li¶n töc tr¶n R v  thäa v  thäa m¢n i·u ki»n q  f (x)f (y) = f x+y 2  , ∀x, y ∈ R. (2.5) 16 Líi gi£i . f (x) ≥ x ∀x ∈ R. N¸u tçn t¤i x0   q x0 + y f (x0 )f (y) = f , ∀x, y ∈ R 2 Tø i·u ki»n (2.5) suy ra th¼ tùc l  º f (x0 ) = 0 f (x) ≡ 0. f (x) > 0 ∀x ∈ R. Khi â (2.5) t÷ìng ÷ìng   ln f (x) + ln f (y) x+y ln f = , ∀x, y ∈ R 2 2 X²t tr÷íng hñp vîi hay  g x+y 2  = g(x) + g(y) , ∀x, y ∈ R 2 g(x) = ln f (x). Theo ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy th¼ g(x) = ax+b. trong â Suy ra nghi»m cõa b i to¡n câ d¤ng f (x) = eax+b , a, b ∈ R Thû l¤i, ta th§y h m tòy þ. f (x) = eax+b , a, b ∈ R tòy þ thäa m¢n c¡c i·u ki»n cõa b i to¡n °t ra. K¸t luªn. B i to¡n 2.3. Líi gi£i f (x) ≡ 0 f (x) = eax+b , a, b ∈ R T¼m c¡c h m sè f li¶n töc tr¶n R+ tòy þ. v  thäa m¢n i·u ki»n f (x) + f (y) √ f ( xy) = , ∀x, y ∈ R+ . 2 . Gi£ sû h m sè f li¶n töc tr¶n R+ v  thäa m¢n i·u ki»n 1 √ f ( xy) = (f (x) + f (y)), ∀x > 0, y > 0. 2 °t suy x = eu , y = ev v  g(u) = f (eu ). Khi â g(u) li¶n töc ra vîi måi u, v ∈ R, ta câ √  1 f eu ev = (f (eu ) + f (ev )) 2  u + v f (eu ) + f (ev ) ⇒f e 2  = 2   u+v g(u) + g(v) ⇒g = . 2 2 tr¶n (2.6) R. Tø (2.6) 17 Theo ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy th¼ g(u) = au + b, trong â a, b l  c¡c h¬ng sè. Vªy f (eu ) = au + b. °t x = eu ⇒ u = ln x v  ta câ f (x) = a ln x + b, a, b ∈ R Thû l¤i, ta th§y h m tòy þ. f (x) = a ln x + b, a, b ∈ R tòy þ thäa m¢n c¡c i·u ki»n cõa b i to¡n °t ra. B i to¡n 2.4. f li¶n töc tr¶n R+ v  thäa q √ f ( xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R+ . T¼m c¡c h m sè Líi gi£i m¢n i·u ki»n (2.7) . Tø i·u ki»n cõa b i to¡n suy ra sao cho f (x0 ) = 0 f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R+ . N¸u tçn t¤i x0 > 0 th¼ tø (2.8) suy ra √ f ( x0 y) = q f (x0 )f (y) = 0, ∀y ∈ R+ . f (x) = 0. N¸u f (x) > 0 vîi måi x ∈ R+ x = eu , y = ev , f (eu ) = g(u). Khi â g(u) li¶n töc tr¶n R v  (2.8) câ d¤ng √
q g u + v = g(u)g(v), ∀u, v ∈ R. Trong tr÷íng hñp n y th¼ ta °t Theo k¸t qu£ cõa B i to¡n 2.2, ta câ g(u) ≡ 0 Thû l¤i, ta th§y h m ho°c g(u) = eau+b a, b ∈ R tòy þ. f (x) ≡ 0 ho°c f (x) = ea ln x+b = cxa c > 0 thäa m¢n c¡c i·u ki»n cõa b i to¡n °t ra. Vªy f (x) ≡ 0 B i to¡n 2.5. ho°c f (x) = ea ln x+b = cxa c > 0. T¼m c¡c h m sè f li¶n töc tr¶n R+ v  thäa m¢n i·u ki»n 2f (x)f (y) √ f ( xy) = , ∀x, y ∈ R+ . f (x) + f (y) Líi gi£i . Gi£ sû f l  h m li¶n töc v  thäa m¢n i·u ki»n √ f ( xy) = 2 1 1 + f (x) f (y) ∀x > 0, y > 0. (2.8)