Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8
PhÇn: §¹i sè
Ngµy…….th¸ng………n¨m 201 - TiÕt 1 8
§1
H»ng ®¼ng thøc
A. Môc ®Ých: HS n¾m ®îc ngoµi 7 h»ng ®¼ng thøc vµ n¾m thªm mét sè h»ng ®¼ng thøc bËc
n, nhÞ thøc Niu T¬n. RÌn luyÖn kü n¨ng vËn dông linh ho¹t h»ng ®¼ng thøc vµo bµi tËp, bµi
tËp n©ng cao.
B. Néi dung:
I. C¸c h»ng ®¼ng thøc.
1.
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
A2 + B2 = (A + B)2 - 2AB
2.
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
A2 + B2 = (A - B)2 + 2AB
3.
A2 - B2 = (A – B)(A + B)
4.
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
A3 + B3 = (A + B)3 - 3AB (A + B)
5.
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
A3 - B3 = (A - B)3 + 3AB (A - B)
6.
A3 + B3 = (A + B)( A2- AB + B2)
7.
A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2)
8. (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2AC
(A - B - C)2 = A2 + B2 + C2 - 2AB - 2AC + 2AC
9. (m lÎ) Am + Bm = (A + B)(Am - 1- Am - 2B + Am - 3B2- ...- ABm –-2 + Bm –-1)
10.
An - Bn = (A - B)(An - 1+ An - 2B + An - 3B2 + …..+ ABn - 2 + Bn - 1)
11.
(A + B)n = C n0 An + C n1 An - 1B + C n2 An -- 2B2 + ….. + C nn 1 ABn - 1 + C nn Bn
(NhÞ thøc Niu T¬n)
*) Trong ®ã
C nk
n.!
k .!(n k )!
Quy íc: 0 ! = 1 ;
k! = 1.2.3…k
Hay dïng b¶ng tam gi¸c Pat x Can.
n=0
1
n=1
1 1
n=2
1 2 1
n=3
1 3 3 1
n=4
1 4 6 4 1
n=5
1 5 10 10 5 1
……………………………...
C n0 C n1 C n2 ……….. C nn
II. VËn dông h»ng ®¼ng thøc vµo bµi tËp.
A.So s¸nh: A vµ B
1/ A = 1989 . 1991 ; B = 19902
2/ A = 216
; B = (2+1)(22+1)(24+1)
32
3/ A = 3
; B = (3+1)(32+1)(34+1)(38+1)
4/ A =
x y
xy
; B=
x2 y2
x 2 y2
(x >y > 0)
Hd
-v/d: h®t hiÖu hai b×nh ph¬ng
- (1 = 2-1)
- tÝnh 2B suy ra B vµ so s¸nh
- nh©n c¶ tö vµ mÉu víi x+y
B. Rót gän:
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n Lîi - Trêng THCS Hång Thñy
1
Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8
1/ A = (3x+1)2-2(3x+5)(3x+1)+(3x+1)2
- v/d: h®t (A-B)2
2
2
2/ B = (a-b+c) - (b-c) - 2ab – 2ac
- B®: a-b+c = a- (b-c)
3/ C = (2a2+2a+1)( 2a2-2a+1) - (2a2+1)2
- v/d: h®t A2-B2 vµ (A+B)2
C. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
1/ A = x3 + 3x2 + 3x + 6 víi x = 19
- B®: vÒ d¹ng (A + B)3
3
2/ B = x - 1 víi x = 11
(A - B)3
2
3/ C = x + 0,2x + 0,01 víi x = 0,9
(A + B)2
2
2
4/ D = x +2xy+y - 4x – 4y + 1 víi x+y = 3
- B® vÒ luü thõa (x+y)
3
2
5/ E = x - 30x - 31x+ 1 víi x = 31
- Thay 31 = x
6/ F = (2a-2b-c)2+ (2b+2c-a)2+(2c+2a-b)2
Cho a2 + b2 + c2= m. TÝnh F theo m
Hd: ®Æt a+b+c = x ta cã
F = (2x-3c)2+ (2x-3a)2+(2x-3b)2
= 4x2 - 12xc+9c2 + 4x2 -12xa +9a2 +4x2 -12xb+9b2
= 12x2 - 12x(a+b+c) + 9(a2 + b2 + c2)
= 12x2- 12x2 + 9(a2 + b2 + c2)
= 9m
D/ Chøng minh:
a
b
1/ NÕu (a2 + b2)( x2 + y2) = (ax+by)2 víi x,y 0 - x y ay = bx ay-bx= 0
a
b
Th× x y
vËy b® ®Ó xÐt hiÖu.
2/ NÕu (a2 + b2 + c2)( x2+ y2+ z2) = (ax+by+cz)2 - T¬ng tù bµi a.
a b
c
Th× x y z víi x,y ,z 0
3/ Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc +ac
- v/d: h®t (a+b+c)2. TÝnh hiÖu
c/mr: a = b = c
suy ra (a-b)2+ (b-c)2= 0
2
2
2
2
4/ Cho (a+b+c) = 3(a + b + c )
- T¬ng tù.
c/mr: a = b = c
D.TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc khi biÕt gi¸ trÞ biÓu thøc kh¸c:
1/ Cho x + y = 2 ; x.y = 10
- V/d h®t : (A + B)2
2
2
3
3
TÝnh: a/ x + y ; b/ x + y
- A3+B3 = (A + B)3-3AB(A+B)
4
4
5
5
c/ x + y
; d/ x + y
- c©u d v/d k.qu¶ cña a, b, c.
2/ a. Cho: x + y = 1
TÝnh : x3 + y3- 3xy
- V/d h®t suy ra tÝnh xy.
b. Cho: x - y = 1
- suy ra tÝnh gtrÞ biÓu thøc.
TÝnh : x3 - y3- 3xy
3/ Tæng 3 sè a, b, c b»ng 9 vµ tæng b×nh ph¬ng
cña chóng b»ng 53. TÝnh : ab + bc + ac
- V/d h®t : (A + B + C)2
5/ Cho a + b + c = 0
(1)
a2 + b2 + c2 = 2
(2)
TÝnh : a4 + b4 + c4
Hd: (1) (a+ b + c)2 = 0
a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + ac) = 0
2
+ 2(ab + ac + ac) = 0 ( theo 2)
2(ab + ac + ac) = - 2
(ab + ac + ac) = - 1
(ab + ac + ac)2 = 1
a2b2 + a2c2 + b2c2 + 2abc(a + b + c) = 1
a2b2 + a2c2 + b2c2 + 2abc. 0 = 1 (theo 1)
(3)
a2b2 + a2c2 + b2c2 = 1
2
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n Lîi - Trêng THCS Hång Thñy
Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8
(2) (a2 + b2 + c2)2 = 4
a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + a2c2 + b2c2) = 4
(theo 3)
a4 + b4 + c4 + 2 . 1 = 4
a4 + b4 + c4 = 2
III. Bµi tËp luyÖn tËp:
- Bt 29 31; 46 49 (sncpt8)
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n Lîi - Trêng THCS Hång Thñy
3
Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8
Ngµy……...th¸ng…....n¨m 201
- TiÕt:9 16
§2
ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
A. Môc ®Ých: Hs n¾m c¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. RÌn kü n¨ng vËn
dông phèi hîp linh ho¹t c¸c ph¬ng ph¸p vµo bµi tËp vµ bµi tËp n©ng cao.
B. Néi dung:
I. C¸c ph¬ng ph¸p:
1/ Ph¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö.
Vd: a/ 4x2- 6x = 2x(2x -3)
b/ x - y + (x - y)2 = (x - y)(1 + x - y)
c/ 2x(x-y) + (y-x) = 2x(x-y) - (x-y) = (x-y)(2x-1)
2/ Ph¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc:
Vd: a/ x3- 64 = x3- 23 = (x-2)(x2+2x+4)
b/ 27 + 27x2+ 9x + x3 = (x + 3)3
c/ 10x - x2- 25 = - (x2- 10x + 25) = - (x-5)2
3/ Ph¬ng ph¸p nhãm nhiÒu h¹ng tö:
Vd: a/ x3- 2x2+ 2x - 4 = (x3- 2x2) + ( 2x - 4 )
= x2(x-2) + 2(x-2) = (x-2)(x2+2)
4/ Phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p:
Vd: a/ 2xy - x2 - y2 + 64 = 64 - (x2 - 2xy + y2)
= 82 - (x- y)2
= (8 + x - y)(8 - x + y)
b/ 3x3y2 + 3x2y2 +3xy2 +3y2 = 3y2(x3 + x2 + x +1) = 3y2[(x3 + x2 )+ (x +1)]
= 3y2[x2(x + 1 )+ (x +1)]
= 3y2(x + 1)(x2+1)
5/ Ph¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö:
Vd: a/ x2 + 6x + 5 = x2+ x + 5x + 5
= x (x+1) + 5(x+1) = (x+1)(x+5)
b/ x4 - 7x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 - 9x2
= (x2+1)2 - (3x)2 = (x2+1 + 3x)( x2+1 - 3x)
6/ Ph¬ng ph¸p cïng thªm bít mét h¹ng tö:
Vd: a/
x4 + 4 = (x4 + 4 + 4x2) - 4x2
= (x-2)2 - (2x)2 = (x-2+2x)(x-2- 2x)
8
b/ a + a + 1 = a8 - a2 + a2+ a + 1
= a2(a6-1) + (a2+ a + 1)
= a2(a3-1)(a3+1) + (a2+ a + 1 )
= a2(a-1)(a2+a+1)(a3+1) + (a2+ a + 1 )
= (a2+ a + 1 )[a2(a-1)(a3+1) +1]
= (a2+ a + 1 )(a6- a5 + a3- a2 +1)
4
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n Lîi - Trêng THCS Hång Thñy
Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8
7. Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô:
Vd: x(x+4)(x+6)(x+10) + 128 = x(x+10)(x+4)(x+6) + 128
= (x2+10)(x2+10+24) + 128 §Æt x2+10+12 = y
= (y-12)(y+12) + 128
= y2 – 144 + 128 = y2- 16 = (y+ 4)(y- 4)
= (x2+10+16)( x2+10+8)
= (x+2)(x+8) ( x2+10+8)
8. Ph¬ng ph¸p dïng hÖ sè bÊt ®Þnh:
Vd: x4- 6x3+12x2- 14x + 3
NxÐt: ®a thøc trªn cã hÖ sè bËc 4 cao nhÊt lµ 1. nªn cã thÓ ph©n tÝch thµnh hai ®a thøc bËc
ph©n tÝch thµnh.
x4- 6x3+12x2- 14x + 3 = (x2 + ax + b)( x2 + cx + d)
= x4+ (a+c)x3+(ac+b+d)x2+ (ad+b)x + bd
§ång nhÊt thøc hÖ sè hai vÕ ta ®îc:
a+c=-6
gi¶i t×m ®îc b = 3; d = 1; c = - 4; a = - 2.
ac+d+b = 12
ad+b = - 14
bd = 3
VËy x4- 6x3+12x2- 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)( x2 - 4x + 1)
9. Ph¬ng ph¸p xÐt nghiÖm:
§a thøc: f(x) = an xn + an-1 xn – 1 +...+ a1x + a0
NÕu tån t¹i a mµ f(a) = 0 th× f(x) = (x – a). Q(x)
- Lu ý: NÕu f(x) cã nghiÖm nguyªn th× nghiÖm ®ã lµ: a (a0)
Vd: Cho ®a thøc: x2+ x – 2
Víi x = 1 th× x2+ x – 2 = 12+ 1 – 2 = 0
X = - 2 th× x2+ x – 2 = 22- 2 – 2 = 0
VËy x2+ x – 2 = (x – 1)(x + 2)
II. LuyÖn tËp: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
1/ x4- x2 + 1
Hd: p2 t¸ch -7x = 2x - 9x xuÊt hiÖn h®t: hiÖu a2- b2
2/ 4x4- 12x2 + 1
- T¸ch - 12x2 = 4x2 - 16x2 xuÊt hiÖn h®t: hiÖu a2- b2
4
4
3/ x + 4y
- Thªm bít 4x2y2 xuÊt hiÖn h®t: (a+ b)2 vµ a2- b2
2
2
4/ x - 6x – y – 4y + 5
- T¸ch 5 = 9 - 4 xuÊt hiÖn h®t: (x- 3)2- (y+2)2
2
2
5/ (x + 3) + 16
- T¬ng tù (kÕt hîp nhiÒu p2)
4
6/ x + 3x + 2
7/ (x+3)3- (x+1)3- 56
8/ (x2+ x)2+ 4(x2+ x) – 12
- p2 ®Æt Èn phô: x2+ x = y
3
3
3
3
9/ 4x + 1/2z = 1/2(8x + z ) = 1/2(2x+z)(4x2-2xz+z2)
10/ xm+3 - xm +x - 1
III. Bµi tËp luyÖn tËp:
- Bt 170 177 (sncptt8)
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n Lîi - Trêng THCS Hång Thñy
5
Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8
Ngµy…… th¸ng …….n¨m 201 - TiÕt:17 20
KiÓm tra
A. Môc ®Ých: KiÓm tra c¸c kiÕn thøc h»ng ®¼ng thøc, ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
RÌn luyÖn kü n¨ng lµm bµi tù lËp t duy s¸ng t¹o. Rót kinh nghiÖm.
B. Néi dung:
1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a/ 4x3 + 1 y3
c/ x3- 6x2+ 16
2
b/ xm+4 + xm+3 - x - 1
d/ x3(x2- 7)2- 36x
2. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
a/ A = x3 - 3x2 + 3x + 6 t¹i = 21
b/ B = x3 - 30x2 - 31x+ 1 víi x = 31
3. Cho x + y + z = 0. Chøng minh x3+y3+z3 = 3zyz
4. C¸c sè sau b×nh ph¬ng cña sè nµo:
a/ C = 9 ........
90 ........
025
b/ D = 9 ........
980 ........
01
n
n
n
n
C. §¸p ¸n biÓu ®iÓm:
1. (4 ®iÓm) a/ 4x3 + 1 y3 = 1 (8x3 + y3) = 1 (2x + y)(4x2- 2xy + y2)
2
2
2
b/ xm+4 + xm+3 - x -1 = xm+3 (x+1) - (x+1) = (x+1)(xm+3 - 1)
c/ x3- 6x2+ 16 = x3- 6x2+ 12x - 8 -12x + 24 = (x-2)3- 12(x-2) = (x-2)(x2+4x- 8)
d/ x3(x2- 7)2- 36x = x[x2(x4-14x+49x2) - 36] = x(x6-14x4+49x2-36)
= x[(x6-x4) - (13x4-13x2) + (36x2-36)]
= x[x4(x2-1) - 13x2(x2-1) + 36(x2-1)]
= x(x2-1)(x4-13x2+36) = x(x-1)(x+1)[x2(x2-9) -4(x2-9)]
= x(x-1)(x+1)( x2-4) x2-9) = x(x-1)(x+1(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)
2. (2®iÓm)
a/Víi x = 21 tacã A = x3 - 3x2 + 3x + 6 = (x-1)3+ 5 = (21- 1)3+5 = 203+5 = 8005
b/ víi x = 31 ta cã B = x3 -30x2 - 31x+1 = x3-(x-1)x2 - x.x+ 1 = x3 -x3 + x2 -x2+ 1 = 1
3. (2 ®iÓm) víi x + y + z = 0
XÐt x3+y3+z3 - 3zyz = (x+y)3 + z3 - 3x2y - 3xy2 + -3xyz
= (x+y+z)[(x+y)2-z(x+y)+z2] - 3xyz(x+y+z)
= (x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-xz) = 0.(x2+y2+z2-xy-yz-xz) = 0
3
3
3
Suy ra x +y +z = 3zyz
4.(2 ®iÓm) a/ §Æt 9 ........
9 = a 10n- 1 = a 10n = a + 1
n
C = 9 ........
90 ........
025 = 9 ........
9.10n.100 + 25 = a (a+1) .100 + 25
n
n
n
= 100a + 100a + 25 = (10a + 5)2 = (10.9 ........
9 + 5)2 = (9 ........
95)2
2
n
n
b/D = 9 ........
980 ........
01 = 9 ........
9.10n.100 +8.10n.10 + 1= a (a+1) .100 + 80(a+1)+1
n
n
n
= 100a2 + 180a + 81 = (10a+9)2= (10. 9 ........
9+9)2 = (9 ........
9)2
n
Ngµy…….th¸ng…….n¨m 201
n 1
- TiÕt:21 28
§3
TÝnh chia hÕt, chia cã d ®èi víi ®a thøc
A. Môc ®Ých: HS n¾m ®îc ph¬ng ph¸p c/m chia hÕt trong phÕp chia ®a thøc cho mét sè, ®a
thóc chia hÕt cho ®a thøc. BiÕt t×m sè d trong phÐp chia. RÌn luyÖn kû n¨ng vËn dông linh
ho¹t vµo bµi tËp, bµi tËp n©ng cao.
B. Néi dung:
6
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n Lîi - Trêng THCS Hång Thñy
Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8
I. §/n: Víi hai ®a thøc tuú ý A(x), B(x) (B(x) 0) Tån t¹i duy nhÊt ®a thøc Q(x) vµ R(x)
sao cho A(x) = B(x).Q(x) + R(x) (BËc R(x) < bËc B(x) hoÆc R = 0)
II/ §Þnh lý Bª Du:
§a thøc: f(x) = an xn + an-1 xn – 1 +...+ a1x + a0
f(x) (x- a) f(a) = 0 (Tøc lµ khi a nghiÖm cña f(x))
III. C¸c ph¬ng ph¸p:
1. Chøng minh ®a thøc chia hÕt cho mét sè.
A m A = B.m (Béi sè m) hoÆc A = B.m + C.m
XÐt mäi trêng hîp sè d khi chia A cho m.
Ph©n tÝch A thµnh m thõa sè nguyªn liªn tiÕp
§ång d, quy n¹p, ph¶n chøng.
KÕt hîp c¸c ph¬ng ph¸p trªn
*) Khi chøng minh vÒ tÝnh chia hÕt luü thõa ta thêng sö h»ng ®¼ng thøc:
- (a2- b2) (a- b)
- (a+1)n = B.sè a + 1
3
3
- (a - b ) (a- b)
- (a-1)2n = B.sè a + 1
- (an- bn) (a- b)
- (a-1)2n + 1 = B.sè a - 1
3
3
- (a + b ) (a+ b)
- (a+b)n = B.sè a + bn = an + B.sè b
n
n
- Víi n lÎ th× (a + b ) (a+ b)
*) C¸c vÝ dô:
Vd1: C/m ®a thøc: x2+ x - 2 chia hÕt cho x-1; x+2
Víi x = 1 th× x2+ x - 2 = 12+ 1 - 2 = 0
x = - 2 th× x2+ x - 2 = 22- 2 - 2 = 0
VËy x2+ x - 2 = (x - 1)(x + 2)
Suy ra x2+ x - 2 (x - 1)
x2+ x - 2 (x + 2)
x2+ x - 2 (x - 1)(x + 2)
Vd2: C/m
a/ 251- 1 7
- Hd: 251- 1 = (23)17- 1 23- 1 mµ 23- 1 = 7 vËy 251- 1 7
70
70
b/ 2 + 3 13
270+ 370= (22)35+ (32)35= 435+ 935 4+9 = 13
19
17
c/ 17 + 19 18
1719+ 1917 = (1719+ 1) + (1917- 1) v× 1719+ 1 17+1= 18
1917 - 1 19-1 = 18 suy ra 1719+ 1917 18
3
d/ a - a 3 (a z)
a3- a = a(/ a2- 1) = (a-1)a(a+1) 3 (tÝch lµ 3 sè nguyªn liªn tiÕp
nªn tån t¹i béi cña 3)
2. Ph¬ng ph¸p chøng minh ®a thøc chia hÕt cho ®a thøc:
P21: Ph©n tÝch ®a thøc bÞ chia thµnh nh©n tö trong ®ã cã nh©n tö lµ ®a thøc chia.
Vd: c/m x8+x4+1 chia hÕt cho x4-x2+1
Ta cã x8+x4+1 = x8+2x4+1- x4= (x4+1)2- (x2)2 = (x4-x2+1)(x4+x2+1) (x4-x2+1)
VËy (x8+x4+1) (x4-x2+1)
P22: VËn dông phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng:
f(x) g(x) f(x) - g(x) g(x)
Vd: f(x) = x99 + x88 + x77 +....+ x11 + 1
g(x) = x9 + x8 + x7 +....+ x1 + 1
C/m: f(x) g(x)
Ta cã f(x) - g(x) = (x99- x9) + (x88- x8) +(x77- x7) +....+ (x11- x)
= x9(x90- 1) + x8(x80- 1) + x7(x70- 1) +…+ x(x10- 1)
= x9 [(x10)9- 1] + x8[(x10)8- 1] + x7[(x10)7- 1] +…+ x(x10- 1)
= (x10- 1).Q(x) + (x10- 1).P(x) +....+ (x10- 1).T(x)
= (x10- 1)[Q(x) + P(x) +....+ T(x)]
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n Lîi - Trêng THCS Hång Thñy
7
Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8
= (x - 1)( x + x8 +…+ x1 + 1).K(x) ( x9 + x8 + x7 +....+ x1 + 1)
VËy f(x) g(x)
P23: C/m nghiÖm cña ®a thøc chia ®Òu lµ nghiÖm cña ®a thøc bÞ chia.
Vd: f(x) = (x2+x-1)2 + (x2-x+1)2 - 2 ; g(x) = x2-x
C/m: f(x) g(x)
Hd: §a thøc chia g(x) = x2-x = x(x-1) cã nghiÖm x = 0; x= 1
V× víi x = 0 th× g(x) = 0 ; víi x = 1 th× g(x) = 0
xÐt f(0) = (02+0-1)2 + (02- 0+1)2 - 2 = 1 + 1 -2 = 0
f(1) = (12+1-1)2 + (12-1+1)2 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0
nªn x = 0; x= 1 còng lµ nghiÖm cña f(x).
VËy f(x) g(x)
3. T×m ®iÒu kiÖn chia hÕt :
Vd: T×m sè nguyªn n ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc A chia hÕt cho gi¸ trÞ biÓu thøc B.
A = n3+2n2- 3n + 2 ; B = n2- n
Ta cã A = n3+2n2- 3n + 2 = n3 - n2 + 3n2 - 3n + 2 = n(n2- n) + 3(n2- n) - 2
= (n2- n)(n+3) - 2
2
(n - n)(n+3) - 2 n2- n 2 n2- n = n(n-1), do ®ã 2 n Ta cã:
9
n
n-1
n(n-1)
1
0
0
lo¹i
-1
-2
2
2
1
2
-2
-3
6
Lo¹i
VËy n = -1; n = 2
4. T×m sè d trong phÐp chia ®a thøc A cho ®a thøc B:
*) A = B.Q + R (R < B) Ta nãi A chia B b»ng th¬ng Q d R
Hay A = béi sè B + R
Vd: T×m sè d trong phÐp chia 2100 cho 9
ThËt vËy 23 = 8 = 9-1
Nªn ta cã: 2100 = 2(23)33 = 2(9-1)33 = 2(béi sè 9 - 133) = béi sè 9 - 2 = béi sè9 + 7
VËy 2100 chia cho 9 d 7.
*) §/lý Bª Du: Sè d trong phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x- a b»ng gi¸ trÞ f(x) t¹i x =
a.
Chøng minh: Do ®a thøc chia x - a bËc nhÊt nªn sè d trong phÐp chia f(x) cho x- a lµ mét
h»ng sè r
Ta cã : f(x) = (x- a).Q(x) + r
Víi x = a ta cã : f(a) = 0.Q(x) +r = r. VËy f(a) = r (®pc/m)
Vd: T×m sè d khi chia x7 + x5 + x3 + 1 cho x2 - 1
V× ®a thøc chia x2 - 1 bËc hai nªn ®a thøc d cã d¹ng ax + b. gäi th¬ng lµ Q(x)
Ta cã x7 + x5 + x3 + 1 = (x2 - 1).Q(x) + ax + b víi mäi x
Víi x = 1 ta ®îc 4 = a + b
(1)
Víi x = - 1 ta ®îc -2 = - a + b (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra a = 3; b = 1
D ph¶i t×m lµ 3x + 1
*) Lîc ®å Hoãc Ne: (xem sgk sptt8 Vò H÷u B×nh)
Bµi tËp luyÖn tËp:
1/ Chøng minh: (7.5 2n + 12. 6 n) 19
Ta cã : 7.5 2n + 12. 6 n = 7.25n + 12.6n - 19.6n + 19.6n = 7.25n - 7.6n + 19.6n
= 7(25n- 6n) + 19.6n
8
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n Lîi - Trêng THCS Hång Thñy
Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8
= 7.Q (25 - 9) + 19.6n
= 7.Q.19 + 19.6n
= 19.(7.Q + 6n) 19
2n
n
VËy (7.5 + 12. 6 ) 19
2/T×m ®a thøc f(x) chia cho x- 3 th× d 7, f(x) chia cho x- 2 th× d 5, f(x) chia cho (x-2)(x-3)
th× ®îc th¬ng 3x cßn d.
Hd: f(x) chia cho x- 3 th× d 7 suy ra f(x) = (x- 3).Q(x) + 7 (1)
f(x) chia cho x- 2 th× d 5 suy ra f(x) = (x- 2).Q(x) + 5 (2)
f(x) chia (x-2)(x-3) th× ®îc th¬ng 3x cßn d f(x) = 3x.(x- 2)(x- 3) + ax + b (3)
Víi x = 3 thay vµo (1) ta cã 3a + b = 7 (4)
Víi x = 2 thay vµo (1) ta cã 2a + b = 5 (5)
Tõ (4) vµ (5) suy ra a = 2; b = 1
VËy sè d trong phÐp chia f(x) cho (x-2)(x-3) lµ 2x + 1
Suy ra: f(x) = 3x.(x- 2)(x- 3) + 2x + 1 = 3x3- 15x2+ 20x + 1
*) BT: 230 236 (sptt8)
Ngµy…….th¸ng…....n¨m 201
- TiÕt 29 36
§4
Ph©n thøc ®¹i sè
A. Môc ®Ých: HS n¾m ®îc k/n vµ c¸c tÝnh chÊt ph©n thøc ®¹i sè. C¸c phÐp tÝnh vÒ ph©n
thøc. RÌn luyÖn kû n¨ng vËn dông linh ho¹t vµo bµi tËp, bµi tËp n©ng cao.
B. Néi dung:
I. C¸c kiÕn thøc cÇn nhí:
1. §/n: Ph©n thøc ®¹i sè cã d¹ng A (A, B ®a thøc ; B 0)
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
B
A
§kx® : Ph©n thøc
x¸c ®Þnh (cã nghÜa) B 0
B
TÝnh chÊt: A = AM (M 0) ; A = A : N (N lµ nh©n
B
BM
B
B:N
A.C
A
Rót gän: A =
=
B
B .C
B
A
A
Quy t¾c ®æi dÊu:
=
; A = A = A
B
B
B
B
B
A
A 0
=0
B 0
B
A
> 0 A vµ B cïng dÊu
B
A
< 0 A vµ B tr¸i dÊu
B
Ph©n thøc (ph©n sè) A tèi gi¶n cln(A;B) = 1
B
A
B
A
B
A
B
A
B
tö chung)
0
0
0
0
0
0
0
0
9.
10. C¸c phÐp tÝnh vÒ ph©n thøc
a/ PhÐp céng: A + B = A B (PhÐp céng p/t kh¸c mÉu quy ®ång da vÒ cïng mÉu)
b/ PhÐp trõ:
M
M
M
A
B
A B
=
M
M
M
(PhÐp trõ p/t kh¸c mÉu quy ®ång da vÒ cïng mÉu)
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n Lîi - Trêng THCS Hång Thñy
9
Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8
c/ PhÐp nh©n:
d/ PhÐp chia:
A
B
A
B
.
:
C
D
C
D
A.C
B.D
A D
.
B C
=
=
=
A.D
B.C
II. Bµi tËp luyÖn tËp:
1. T×m ®k ®Ó c¸c ph©n tøc sau ®îc x¸c ®Þnh:
2x
2
x 2 x 15
a.
b.
x 3
2
2x x 1
§¸p sè: a/ x -5 ; x 3 ; b/ x -1; x
2. T×m gi¸ trÞ ®Ó ph©n thøc b»ng 0:
3
2
a. x 3 x x 1
c.
=
5x 2 1
x 2 2x 3
1/2 ; c/ x
c.
3
2
b. x 2 x x 1
x 2x 5
x 3x 2
5
4
3
2
x 2 x 2 x 4 x 3x 6
x 2 2x 8
( x 2)( x 2 3)( x 2 1)
( x 2)( x 4)
1
x 2; x
x 2; x 4
(v× x2+3 0) suy ra x = 1
3. Rót gän ph©n thøc:
a. A = 1000.1004 1002.998 ®Æt 1000 = x
1000.1001 1001.999
x ( x 4) ( x 2)( x 2)
x ( x 1) ( x 1)( x 1)
=
3
b. B =
2
2
= x 2 4 x x2 4 = 4( x 1) 4
3
x x x 1
x 1
3
(b c) (c a) (a b)
a (b c ) b 2 (c a ) c 2 (a b)
2
Hd: Ph©n tÝch mÉu thµnh nh©n tö : a2(b- c) + b2(c- a) + c2(a- b) = (b- c)(c- a)(a- b)
Suy ra: B =
B=
(b c) 3 (c a) 3 (a b) 3
(b c)(c a)(a b)
®Æt b- c = x; c- a = y; a- b = z
x3 y3 z3
3 xyz
3
xyz
xyz
V× x3+y3+z3 - 3zyz = (x+y)3 + z3 - 3x2y - 3xy2 -3xyz
= (x+y+z)[(x+y)2-z(x+y)+z2] - 3xyz(x+y+z)
= (x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-xz)
=0
(v× x+y+z = b- c + c- a + a- b = 0)
Nªn x3+y3+z3 = 3zyz
a
b
2c
c. Cho abc = 2 Rót gän: M =
+
+
ab a 2
bc b 1
ac 2c 2
Hd: T¹o ra cã abc vµ thay abc = 2 hoÆc 2 = abc
a
ab
2c
M=
+
+
M=
M=
d. Cho
10
ab a 2
abc ab a
ac 2c abc
2c
a
ab
+
+
c (a 2 ab)
ab a 2
2 ab a
ab a 2
=1
ab a 2
x
a
=
y
b
=
z
c
, rót gän P =
x2 y2 z2
(ax by cz ) 2
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n Lîi - Trêng THCS Hång Thñy
Hd: x = y = z = k suy
a
b
c
2
2
(ak ) (bk ) (ck ) 2
P=
(a.2 k b 2 k c 2 k ) 2
=
=
Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8
ra: x = ak; y = bk; z = ck thay vµo P ta cã
k 2 (a 2 b 2 c 2 )
k 2 (a.2 b 2 c 2 ) 2
1
2
a b2 c2
4. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc (ph©n thøc):
a. Cho a, b, c c¸c sè tho¶ m¶n a b c =
bc a
= a c b
c
a
b
b
c
a
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = (1+ )(1+ )(1+ )
a
b
c
a b c
bc a
ac b
Hd: (1)
+2=
+2=
+2
c
a
b
a b c
a b c
a b c
=
=
c
a
b
(1)
- NÕu a+b+c 0 suy ra a = b = c P = 2.2.2 = 8
- NÕu a+b+c = 0 suy ra : a + b = - c
b+c=-a
c+a=-b
P=
a b bc c a
a
b
c
= ( c )( a )( b) = - 1
abc
b. Cho x > 0 vµ x2 + 12 = 7 TÝnh x3 + 13 ; x5 + 15
x
Hd: TÝnh x +
Ta cã: (x +
1
x
1
x
x
x3 +
1
x3
; TÝnh x4 +
x
1
x4
)2 = x2 + 12 + 2 = 7 + 2 = 9 x +
x
x5 + 15
x
1
x
= 3 (v× x > 0)
¸p dông h®t an + bn (n lÎ) vµ khai triÓn ta cã :
x3 +
x5 +
1
x3
1
x5
= (x2 +
= (x +
= (x +
1
x2
1
x
1
x
)( x +
1
x
) - (x +
1
x
) = 7.3 - 3 = 18
1
1
) - (x3 + 3 )
4
x
x
1
1
x2 + 2 )2 - 2 ] - (x3 + 3
x
x
)(x4 +
)[(
)
= 3 . (72- 2) - 18 = 123
5. T×m x z ®Ó ph©n thøc cã gi¸ trÞ nguyªn:
a/ A =
2x3 6x 2 x 8
x 3
4
3
2
b/ B = x 2 x2 3x 8 x 1
c/ C =
x 2x 1
4
x 3x 3 2 x 2 6 x 2
x2 2
Hd: T¸ch phÇn nguyªn, cßn phÇn ph©n ®a vÒ tö lµ h»ng
v/d t/c íc ®Ó t×m x.
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n Lîi - Trêng THCS Hång Thñy
11
Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8
6. Chøng minh:
6.1/ Cho a, b, c lµ ba sè kh¸c nhau, c/m:
b c
c a
a b
+
+
= 2 +
( a b)( a c )
Hd: NhËn
(b c )(b a ) (c a)(c b)
b c
xÐt:
= 1 + 1
( a b)( a c )
a b
c a
c a
1
1
= a b+ b c
(b c )(b a )
a b
= 1 + 1
(c a)(c b)
c a b c
a b
2
b x
+
2
c a
Céng vÕ theo vÕ ®iÒu chøng minh.
6.2/ Chøng minh víi mäi n nguyªn d¬ng th×:
2
a/ Ph©n sè: 15n2 8n 6 tèi gi¶n
b/ Ph©n sè:
30n 21n 13
1 n2 n7
kh«ng
1 n 2 n8
Hd: gäi cln(t sè; ms) = d. lý luËn d =1 ¸p/d t/c
tèi gi¶n P/tÝch tö vµ mÉu thµnh nh©n tö cã nh©n tö chung
xy 1
= yz 1 = xz 1 Chøng minh x = y =
y
z
x
1
Hd: Tõ gi· thiÕt suy ra x+ y = y + 1 = z+ 1 do ®ã
z
x
1
y z
1
X+y= 1 - y = yz ; y-z = 1 - 1 = z y ; z-x= y
z
x
z
xz
6.3 Cho
Suy ra: (x-y)(y-z)(z-x) =
z hoÆc xyz = 1.
-
1
x
=
x y
xy
(x - y)(y - z)(z - x)
x2 y2z2
Nªn (x-y)(y-z)(z-x)( x2y2z2 -1) = 0
Tõ ®ã suy ra ®iÒu c/m
*) BT: 120 126 ( sptt8)
12
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n Lîi - Trêng THCS Hång Thñy
Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8
- TuÇn10 , TiÕt:37 40
Ngµy……th¸ng……..n¨m 201
§5 d·y ph©n thøc cã quy luËt
A. Môc ®Ých: Hs n¾m ®îc mét sè c«ng thøc tÝnh tæng, tÝch ¸p dông vµo bµi tËp. RÌn luyÖn
kû n¨ng tÝnh to¸n kû n¨ng vËn dông.
B. Néi dung:
1
1. TÝnh tæng vËn dông c«ng thøc:
= 1- 1
n( n 1)
n n 1
1
a/ S1 = 1 + 1 + 1 +.....+
(
3
n
1
)(
3n 2)
2.5
5.8
8.11
1
1
= 1 ( 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +.....+
)
(3n 1) (3n 2)
3 2 5
5 8
8
11
1
= 1(1 )= n
3 2 (3n 2)
6n 4
5
6
b/ S2 = 5 + 5 +...+
= 5 ( 6 + 6 +....+
)
(
6
n
5
)(
6
n
1
)
(
6
n
5
)(
6n 1)
1.7
7.13
6 1.7
7.13
1
1
1
= 5 (1- 1 1 1 +.....+
) = 5 (1) = 5n
(6n 5) (6n 1)
(6n 1)
6
7 7 13
6
6n 1
2
1
1
2. TÝnh tæng vËn dông c«ng thøc:
=
n(n 1)( n 2)
n( n 1) (n 1)( n 2)
1
S3 = 1 + 1 + 1 +.....+
n(n 1)( n 2)
1.2.3
2.3.4 3.4.5
2
1
2
2
2
= [
+
+
+.....+
]
n(n 1)(n 2)
2 1.2.3
2.3.4 3.4.5
1
1
= 1 [ 1 - 1 + 1 - 1 +.....+
]
n( n 1) (n 1)(n 2)
2 1.2. 2.3. 2.3. 3.4.
n(n 3)
1
= 1[ 1 ]=
4(n 1)(n 2)
2 1.2. (n 1)(n 2)
3. TÝnh tæng vËn dông c«ng thøc:
S4 =
3
(1.2) 2
+
5
( 2.3) 2
+.....+
= 1-
2
2
3
=
1
1
2
(n 1) 2
n
2n 1
[ n( n 1)] 2
1
= 12 12 12 12 .....+ 2 1
2n 1
n (n 1) 2
2
n
1
(n 1) 2
1
n ( n 2)
2 =
( n 1) 2
(n 1)
*) BT: 128 135 (sptt8)
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n Lîi - Trêng THCS Hång Thñy
13
Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8
- TiÕt:41 44
§
kiÓm tra
A. Môc ®Ých: kiÓm tra ®¸nh gi¸ ph©n ph©n thøc ®¹i sè. RÌn luyÖn kû n¨ng lµm bµi.
B. Néi dung: §Ò ra:
C©u 1: n N th× n2 + n + 6 kh«ng chia hÕt cho 5.
Ngµy…....th¸ng….....n¨m 201
C©u 2: Cho A =
a 4 16
a 4 4a 3 8a 2 16a 16
a/ Rót gän A
b/ T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn.
1
C©u 3: C/mr: NÕu x 0, y 0, z 0 vµ x+ y = y+ 1 = z+ 1
z
x
Th× hoÆc x = y = z hoÆc xyz = 1.
C©u 4: Cho S =
x2
xy
+
y2
yz
+
T=
y2
xy
+
z2
yz
+
z2
zx
x2
zx
Chøng minh S = T
C.Híng dÉn, biÓu ®iÓm.
C©u 1: (2®iÓm):
VËn dông dÊu hiÖu kh«ng chia hÕt cho 5. xÐt tËn cïng.
XÐt n2 + n = n(n+1) v× n N Do ®ã ®©y lµ tÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp nªn cã tËn
Cïng 0; 2; 6. Suy ra n2 + n + 6 = n(n+1) + 6 cã tËn cïng 6; 8; 2 nªn kh«ng chia hÕt cho 5.
VËy n2 + n + 6 kh«ng chia hÕt cho 5.
C©u2: (3®iÓm)
a/A =
=
a 4 16
a 4 4a 3 8a 2 16a 16
( a 2)(a 2)
= a2
2
( a 2)
a 2
b/ A =
a2
a 2
a 24
=1+ 4
a 2
a 2
4
nguyªn khi
nguyªn.
a 2
=
§Ó A cã gi¸ trÞ
Khi 4 a -2. Hay a-2 lµ¦(4)
¦(4) ={ 1; 2; 4} Ta cã : a-2 -1 -2 -4 1
2
4
a
1 0 -2 3
4 6
VËy a = {-2; 0; 1; 3; 4; 6 }
C©u3: (3®iÓm)
1
x+ y = y + 1 = z + 1 suy ra
z
x+y=
14
1
z
-
1
y
=
x
y z
yz
; y-z =
1
x
-
1
z
=
z y
xz
; z-x=
1
y
-
1
x
=
x y
xy
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n Lîi - Trêng THCS Hång Thñy
Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8
Suy ra: (x-y)(y-z)(z-x) =
(x - y)(y - z)(z - x)
x2 y2z2
(x-y)(y-z)(z-x)( x2y2z2 -1) = 0
(x-y) = 0 hoÆc (y-z) = 0 hoÆc (z-x) = 0 suy ra x = y = z
HoÆc x2y2z2 -1 = 0 suy ra xyz = 1.
C©u 4: (2 ®iÓm)
XÐt S - T =
=
=
x2
xy
2
2
2
z2
- y - z - x
xy
yz
zx
zx
2
2
2
2
2
2
x y
y z
z x
+
+
xy
yz
zx
( x y )( x y )
( y z )( y z )
+
+ ( z x)( z x)
xy
yz
zx
+
y2
yz
+
=x-y+y-z+z-x
= 0
VËy S - T = 0 suy ra S = T
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n Lîi - Trêng THCS Hång Thñy
15
Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8
Ngµy……th¸ng……..n¨m 201
- TiÕt:45 52
§6 gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt
cña biÓu thøc chøabiÕn
A. Môc ®Ých:Hs n¾m ®îc ph¬ng ph¸p t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt cña biÓu thøc
chøa biÕn. Cã kû vËn dông thµnh th¹o vµo gi¶i to¸n d¹ng nµy.
B. Néi dung:
I. C¸c kiÕn thøc cÇn nhí:
1/ Gi¸ trÞ nhá nhÊt:
- Cho biÓu thøc A(x), ta nãi k lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A(x); kÝ hiÖu Mim A(x)
NÕu tho¶ m¶n 2 ®k:
+) A(x) k (k lµ h»ng sè)
+) x0 sao cho A(x0) = k
*) Ph¬ng ph¸p: - BiÕn ®æi A(x) = X2 + k k (k lµ h»ng sè)
- DÊu ''='' x¶y ra khi X = 0
- KÕt luËn: VËy Min A(x) = k X = 0
2/ Gi¸ trÞ lín nhÊt:
- Cho biÓu thøc A(x), ta nãi k lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A(x); kÝ hiÖu Max A(x)
NÕu tho¶ m¶n 2 ®k:
+) A(x) k (k lµ h»ng sè)
+) x0 sao cho A(x0) = k
*) Ph¬ng ph¸p: - BiÕn ®æi A(x) = X2 + k k (k lµ h»ng sè)
- DÊu ''='' x¶y ra khi X = 0
- KÕt luËn: VËy Max A(x) = k X = 0
II. Bµi tËp:
D¹ng 1: A(x) lµ tam thøc (®a thøc).
BT1: T×m Min cña A, biÕt A = 4x2- 4x - 3 = (2x- 1)2 - 4 - 4
DÊu ''='' x¶y ra khi 2x - 1 = 0 x = 1/2
VËy min A = - 4 x = 1/2
BT2: T×m Max cña B, biÕt
B = 4x - x2 = - (x2- 4x + 4) + 4 = - (x-2)2 + 4 4
DÊu ''='' x¶y ra khi x - 2 = 0 x = 2
VËy max B = 4 x = 2
BT3: T×m Max C, biÕt
C = - x4+6x3-10x2+6x-9 = - (x2-3x)2- (x-3)2 0
DÊu "=" x¶y ra
x=3
VËy Max C = 0 x = 3
*) Chó ý: 1) A(x,y) = X2 Y2 + k
A(x,y) = z2+ k
2) Vd: A = (x-1)2 (x-3)2 0 ,nhng kh«ng kÕt luËn ®îc Min A = 0
x 0
x 2 3 x 0
x( x 3) 0
x 3
x 3 0
x 3
(v× Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x lµm cho A = 0)
Ta lµm nh sau:
A = x2- 2x + 1 + x2- 6x + 9 = 2x2 - 8x + 10 = 2(x-2)2+ 2 2
VËy Min A = 2 khi x = 2
*) Bµi tËp luyÖn tËp:
a/ T×m Min:
T×m Max
1/ 4x2-4x -3
1/ 4x - x2
2/ x2 -3x + 5
2/ 1 -x2 + 3x
2
3/ 2x - 4x + 34
3/ -5x2 - 4x + 1
2
2
4/ 2x - 2xy+ 5y +5
4/ 6 - x2 - 6x
D¹ng 2:
16
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n Lîi - Trêng THCS Hång Thñy
Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8
T×m Min, Max cña ph©n thøc cã tö lµ h»ng sè mÉu lµ tam thøc bËc hai.
Vd1: T×m Max cña M =
Gi¶i: M =
3
4x 4x 5
=
2
3
4
VËy Max M =
Vd2: T×m Min
N=
khi x
3
4x 4x 5
2
3
( 2 x 1) 2 4
= 1
2
2
6x 5 9x 2
=
3
4
V× (2x-1)2+ 4 4
2
(3 x 1) 2 4
1
1
(v× (3x-1)2+
2
(3 x 1) 4
4
2
2 1
Suy ra:
(3 x 1) 2 4
4
2
1
1
VËyMin N =
khi x =
2
3
Ta cã
4 4
D¹ng 3: C¸c d¹ng kh¸c
- BiÕn ®æi ®a vÒ d¹ng 1 hoÆc d¹ng 2.
+) k X2
+) Ph©n thøc tö sè lµ h»ng.
2
Vd1: T×m Min A = x 42x 1 (®k x 0 )
x
2
2
2
2
Ta cã A = x 42x 1 = 4 x 4 x 2 1 3x = (2 x 2 1) 3 x2
x
x
x
x
2
1
DÊu "=" x¶y ra khi (2 x 2 1) = 0 2 x 1 0 x 2
x 0
x
2
2
= (2 x 2 1) 3 -3
x
suy ra x = 2 (t/m®k)
VËy Min A = -3 khi x = 2
Vd2: T×m Max : B =
x
( x 10) 2
®k x -10 . NÕu x = 0 th× B = 0
NÕu x 0 vµ §Æt y =
Th× B =
x
( x 10) 2
= -10y2+ y = -10(y2- 2y.
DÊu "=" x¶y ra khi (yVËy Max B =
1
x 10
1
40
1
20
) = 0 y =
x=
1
10
1
20
+
1
y
- 10
1
)+
400
1
=
x 10
1
40
1
20
= -10(y-
1
20
)2+
1
40
1
40
x = 10 (t/m®k)
khi x = 10
Vd3: T×m Min C =
4x 2 6x 3
( 2 x 1) 2
®k: x 1
2
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n Lîi - Trêng THCS Hång Thñy
17
Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8
2
Ta cã C =
=
4x 6x 3
(2 x 1) 2
(4 x 2 4 x 1) (2 x 1) 1
(2 x 1) 2
(2 x 1) 2 (2 x 1) 1
(2 x 1) 2
1
= 1- 1 +
§Æt y = 1
( 2 x 1) 2
2x 1
2x 1
Suy ra C = 1- y + y2 = (y - 1 )2+ 3 3
2
4
4
1 2
DÊu "=" x¶y ra khi (y - ) = 0 y = 1 1
2
2
2x 1
3
3
VËy Min C =
khi x =
4
2
=
=
1
2
x=
3
2
(t/m®k)
*) BT: 121 123; 301; 302 ( sptt8)
18
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n Lîi - Trêng THCS Hång Thñy
Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8
Ngµy……th¸ng……n¨m 201
TiÕt: 53 60
§7: gi¶i ph¬ng tr×nh
A. Môc ®Ých: Hs n¾m ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn, c¸c d¹ng pt ®a vÒ d¹ng
pt bËc nhÊt mét Èn. RÌn kü n¨ng gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh cã hÖ sè b»ng ch÷. vËn dông
phèi hîp linh ho¹t c¸c ph¬ng ph¸p vµo bµi tËp vµ bµi tËp n©ng cao.
B. Néi dung:
I. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn:
Cã d¹ng:
ax + b = 0 ax = - b (1)
+) a 0 th× (1) x = - b/a lµ nghiÖm cña pt.
+) a = 0
b = 0 th× (1) 0x = 0 Pt cã v« sè nghiÖm.
b 0 th× (1) 0x 0 Pt v« nghiÖm.
Vd: Gi¶i vµ biÖn luËn pt Èn x:
m(mx - 1) = 3(mx - 1)
m2x - 3mx = m - 3
m(m-3)x = m - 3
- NÕu m 0, m 3 th× x = 1/m lµ nghiÖm cña pt.
- NÕu m = 0 th× 0x = -3, pt v« nghiÖm
- NÕu m = 3 th× 0x = 0, pt cã vsn.
II. Ph¬ng tr×nh tÝch:
f(x).g(x).h(x) = 0
f ( x ) 0
g ( x ) 0
h( x ) 0
Vd: (x-3)(x2+1) = 0 x-3 = 0 v× (x2+1) 0
x=3
VËy ph¬ng tr×h cã nghiÖm x = 3.
*) Lu ý: pt bËc hai trë lªn th× ®ua vÒ pt tÝch.
III. Ph¬ng tr×nh chøa biÕn ë mÉu:
C¸c bíc: - T×m ®k.
- Quy ®ång khö mÉu.
- Gi¶i ph¬ng tr×nh võa t×m ®îc.
- NghiÖm ®k.
VÝ dô1: Gi¶i pt:
x
x
2x
2( x 3) 2( x 1) ( x 1)( x 3)
§k: x 3; x -1
x(x+1) + x(x-3) = 4x
x2+ x + x2 - 3x = 4x
2x2 - 2x - 4x = 0
2x(x-3) = 0
2 x 0
x 0. DK
x 3 0 x 3. DK
VËy pt cã nghiÖm: x= 0.
VÝ dô2:
y 5
y 5
y 25
2
§k:
2
2
y 5 y 2 y 10 y 2 y 50
y 5
y 5
y 25
y ( y 5) 2 y ( y 5) 2( y 5)( y 5)
x 0; x 5
2(y+5)2 - (y-5)2 = y(y+25)
2y2+20y+50 - y2+10y-25 = y2 + 25y
30y - 25y = -25
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n Lîi - Trêng THCS Hång Thñy
19
Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8
5y = -25
y = - 5 ®k. VËy pt trªn v« nghiÖm.
IV. Gi¶i ph¬ng tr×nh cã hÖ sè b»ng ch÷,
( Gi¶i vµ biÖn luËn theo tham sè nµo ®ã).
VÝ dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh Èn x: x a x 3 = 2 (®k x -3; x a)
x 3 x a
( x a)( x a) ( x 3)( x 3) 2( x 3)( x a)
( x 3)( x a) ( x 3)( x a)
( x 3)( x a)
(x-a)(x+a) + (x-3)(x+3) = 2(x+3)(x-a)
2(a+3)x = (a-3)2 (1)
a 3
2
- NÕu a 3 th× (1) x =
a
a
3
3
2
3
a
2
a
a
gi¸ trÞ nµy lµ nghiÖm pt ®· cho nÕu
3
3
a -3
- NÕu a = 3 th× (1) 0x = 0 nghiÖm ®óng mäi x tho¶ m¶n (1) tøc lµ x -3; x a.
Do a =3 nªn ®k nµy x 3
VËy: NÕu a 3 th× S =
a 3
2
NÕu a = 3 th× S = x / x 3
NÕu a -3 th× S =
V. Ph¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi:
VÝ dô1: Gi¶i pt x 1 = 2 (1)
- Víi x 1 th× x-1 0 (1) x-1 = 2 x = 3 (T/m ®k x 1)
- Víi x < 1 th× x-1 < 0 (1) x-1 = -2 x = -1 (T/m ®k x < 1)
VËy pt cã nghiÖm lµ x = -1; x = 3
VÝ dô 2: Gi¶i pt: 2 x - x 1 = 2
Ta cã x =
;
x 1 =
x..khi. x 0
x..khi. x 0
x. 1.khi. x 1
x 1..khi. x 1
LËp b¶ng:
-
x
2
x
x 1
2
x
-
x 1
-1
- 2x
-x-1
-x+1
0
- 2x
x+1
- 3x - 1
+
2x
x+1
x-1
VËy ta cã: x < - 1 th× - x + 1 = 2 x = -1 (Lo¹i kh«ng t/m ®k x<- 1)
-1 x 0 th× -3x - 1 = 0 x = -1 ( t/m ®k )
X > 0 th× x - 1 = 2 x = 3 (t/m ®k)
VËy pt cã nghiÖm : x =- 1; x = 3
Bµi tËp luyÖn tËp:
*) Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2
1999
1/ 1 1 1 .....+
2/
20
x( x 1) 2001
3 6 10
x 5 x 4 x 3
x 100 x 101 x 102
100
101
102
5
4
3
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n Lîi - Trêng THCS Hång Thñy
- Xem thêm -
.DOC 
39 
178 
121 
