Tài liệu Bộ đề thi học sinh giỏi toán 8 có đáp án cấp huyện

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN HUYỆN CỦ CHI Ngày 04 tháng 04 năm 2016 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ BÀI Câu 1 (2 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử a) x 2  x  6 b) x 3  x 2  14 x  24 3 x 3  14 x 2  3 x  36 3 x 3  19 x 2  33 x  9 a) Tìm giá trị của x để biểu thức A xác định. b) Tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị bằng 0. c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên. Câu 2 (3 điểm): Cho biểu thức A = Câu 3 (5 điểm): Giải phương trình: a) ( x 2  x ) 2  4( x 2  x )  12 x 1 x  2 x3 x4 x5 x6      2008 2007 2006 2005 2004 2003 c) 6 x 4  5 x 3  38 x 2  5 x  6  0 (phương trình có hệ số đối xứng bậc 4) b) Câu 4 (4 điểm): a) Tìm GTNN: x 2  5y 2  2 xy  4 x  8 y  2015 3( x  1) b) Tìm GTLN: 3 x  x2  x 1 Câu 5 (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. a) Tính tổng HA' HB' HC'   AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB. ___*HẾT*___ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN Ngày 04 tháng 04 năm 2016 HUYỆN CỦ CHI Môn thi: TOÁN Câu 1 (2 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử a) x 2  x  6 (1 điểm) = x 2  2 x  3x  6 = x( x  2)  3( x  2) = ( x  3)( x  2) b) = = = = = x 3  x 2  14 x  24 (1 điểm) x 3  2 x 2  x 2  2 x  12 x  24 x 2 ( x  2)  x ( x  2)  12 x( x  2) ( x  2)( x 2  x  12) ( x  2)( x 2  4 x  3 x  12) ( x  2)( x  4)( x  3) 3 x 3  14 x 2  3 x  36 3 x 3  19 x 2  33 x  9 a) ĐKXĐ: 3 x 3  19 x 2  33x  9  0 (1 điểm) Câu 2 (3 điểm): Cho biểu thức A =  x 1 và x  3 3 3 x 3  14 x 2  3 x  36 3 x 3  19 x 2  33 x  9 b) (1 điểm) ( x  3) 2 (3 x  4) (3 x  1)( x  3) 2 3x  4 = 3x  1 = A = 0  3x + 4 = 0 4 ( thỏa mãn ĐKXĐ) 3 4 Vậy với x = thì A = 0. 3  x= 3x  4 3x  1  5 5 = =1+ (1 điểm) 3x  1 3x  1 3x  1 5  Z  3x – 1  Ư(5) Vì x  Z  A  Z  3x  1 c) A = mà Ư(5) = {-5;-1;1;5} 3x – 1 x -5 -4/3 (loại) -1 1 5 0 (nhận) 2/3 (loại) 2 (nhận) Vậy tại x  {0;2} thì A  Z. Câu 3 (5 điểm): Giải phương trình: a) ( x 2  x ) 2  4( x 2  x )  12 (1 điểm) Giải phương trình ta được tập nghiệm S = {-2;1} x 1 x  2 x3 x4 x5 x6      (2 điểm) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 1 x2 x3 x4 x5 x6 1 1 1  1 1 1  2008 2007 2006 2005 2004 2003 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009       2008 2007 2006 2005 2004 2003 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009      0  2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 1 1 1      )0  ( x  2009)( 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 1 1 1       0)  x  2009  0 vì ( 2008 2007 2006 2005 2004 2003 b)  x = -2009 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2009} c) 6 x 4  5 x 3  38 x 2  5 x  6  0 (2 điểm)  Chia cả 2 vế cho x 2 , ta được: 5 6 6 x 2  5 x  38   2  0 x x 1 1 2  6( x  2 )  5( x  )  38  0 (*) x x 1 1 2  Đặt x  = y => x  2 = y 2 x x Thay vào phương trình (*) rồi giải phương trình, ta được Tập nghiệm của phương trình là: {-2; 1 1 ;0; } 2 3 Câu 4 (4 điểm): a) Tìm GTNN: P= x 2  5y 2  2 xy  4 x  8 y  2015 3( x  1) b) Tìm GTLN: Q= 3 x  x2  x 1 a) P = x 2  5y 2  2 xy  4 x  8 y  2015 (2 điểm) P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015 P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + 4 + 4y2 – 4y + 1 + 2010 P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010  2010 3 1 => Giá trị nhỏ nhất của P = 2010 khi x  ; y  2 2 3( x  1) b) Q = 3 (2 điểm) x  x2  x 1 = 3( x  1) x ( x  1)  ( x  1) 2 = 3( x  1) ( x  1)( x  1) Q đạt GTLN  x 2  1 đạt GTNN Mà x 2  1  1 => x 2  1 đạt GTNN là 1 khi x = 0. 2 = 3 x 1 2 => GTLN của C là 3 khi x = 0. Câu 5 (6 điểm): Vẽ hình đúng (0,5điểm) 1 .HA'.BC S HBC HA' 2   a) ; (0,5điểm) 1 S ABC AA' .AA'.BC 2 Tương tự: S HAB HC' S HAC HB'   ; S ABC CC' S ABC BB' (0,5điểm) HA' HB' HC' S HBC S HAB S HAC      1 AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC (0,5điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC  ;  ;  IC AC NB BI MA AI (0,5điểm ) BI AN CM AB AI IC AB IC . .  . .  . 1 IC NB MA AC BI AI AC BI  BI .AN.CM  BN.IC.AM (0,5điểm ) c)Vẽ Cx  CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,5điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,5điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD  BC + CD (0,5điểm) -  BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2  AB2 + AD2  (BC+CD)2 (0,5điểm) AB2 + 4CC’2  (BC+AC)2 4CC’2  (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2  (AB+AC)2 – BC2 4BB’2  (AB+BC)2 – AC2 (0,5điểm) -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2)  (AB+BC+AC)2  ( AB  BC  CA ) 2 4 AA '2  BB'2  CC' 2 (Đẳng thức xảy ra (0,5điểm)  BC = AC, AC = AB, AB = BC  AB = AC =BC   ABC đều)