https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/
PHÒNG GD&ĐT
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 7
ĐỀ HSG TOÁN 7
NĂM HỌC 2017 – 2018
Ngày thi: 26/3/2018
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Bài 1. (4,0 điểm).
13
19 23
2
8
. 0,5 .3 1 :1
15
15 60 24
20
100
b) So sánh: 16 và 2
a) Tính: A = 1
Bài 2. (3,0 điểm).
1
2
1
2
1 n
b) Tìm số tự nhiên n biết: 3 .3 4.3n 13.35
a) Tìm x biết: 2 x 7 1
Bài 3. (4,5 điểm).
2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d
a
b
c
d
ab bc cd d a
Tính giá trị biểu thức Q, biết Q =
cd d a ab bc
a) Cho dãy tỉ số bằng nhau:
x
y
z
t
với x, y, z, t là các số
x y z x y t y z t x z t
tự nhiên khác 0. Chứng minh M 10 1025 .
b) Cho biểu thức M
Bài 4. (6,5 điểm).
1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc
đoạn BM (D khác B và M). Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với đường
thẳng AD tại H và I. Chứng minh rằng:
= ACM
và BH = AI.
a) BAM
b) Tam giác MHI vuông cân.
2) Cho tam giác ABC có góc  = 900. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Tia
phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB cắt cạnh
BC ở E. Chứng minh rằng AB + AC = BC + DE.
Bài 5. (2,0 điểm).
Cho x, y, z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 0 và 1 x 1 , 1 y 1 ,
1 z 1 . Chứng minh rằng đa thức x 2 y 4 z 6 có giá trị không lớn hơn 2.
-----Hết----Họ và tên thí sinh: …………………………….. Số báo danh: ..............
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài.
https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
Bài 1.
Nội dung
7 47 47
:
5 60 24
7 2
=
5 5
+ Biến đổi: A
a) 2,0 đ
=1
+ Biến đổi: 1620 24.20 280
b) 2,0 đ + Có 280 2100 vì (1 < 2 ; 80 < 100)
Vậy 1620 2100
Bài 2.
1
2
1
=> 2 x 7 1
2
a) 2,0 đ => 2 x 7 1 hoặc 2 x 7 1
+ Ta có 2 x 7 1
=> x 4 hoặc x 3
Vậy x 4 hoặc x 3 .
+ Biến đổi được 3n.(31 4) 13.35
n
6
b) 1,0 đ => 3 3
=> n = 6
KL: Vậy n = 6
Bài 3.
2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d
a
b
c
d
2a b c d
a 2b c d
a b 2c d
a b c 2d
1
1
1
1
a
b
c
d
abcd abcd abcd abcd
a
b
c
d
+ Nếu a + b + c + d 0 thì a = b = c = d => Q = 1 + 1 +1 +1 = 4
Điểm
4,0 đ
1,0
0,50
0,50
0,5
1,0
0,5
3,0 đ
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
4,5 đ
+ Biến đổi:
a)
(2,5 đ)
+ Nếu a + b + c + d = 0
thì a + b = - (c + d); b + c = - (d + a); c + d = - (a + b); d + a = - (b + c)
=> Q = (-1) + (-1) + (-1) +(-1) = - 4
+ KL : Vậy Q = 4 khi a + b + c + d 0
Q = - 4 khi a + b + c + d = 0
0,5
0,25
0,25
1,0
0,25
0,25
https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/
x
x
+ Ta có:
x y z x y
y
y
x yt x y
0,1
z
z
y z t z t
b)
(2,0 đ)
t
t
x z t z t
M < (
x
y
z
t
)(
)
xy xy
zt zt
0,25
=> M < 2
0,5
0,25
+ Có M10 < 210 (Vì M > 0) mà 210 = 1024 < 1025
Vậy M10 < 1025
A
I
Bài 4.
0,25
D
B
M
C
H
1.a/
2,75 đ
1.b/
2,0 đ
ACM
* Chứng minh: BAM
+ Chứng minh được: ABM = ACM (c-c-c)
CAM
450
+ Lập luận được: BAM
ACM 450
+ Tính ra được
ACM
=> BAM
* Chứng minh: BH = AI.
)
ACI (cùng phụ DAC
+ Chỉ ra: BAH
+ Chứng minh được AIC = BHA (Cạnh huyền – góc nhọn)
=> BH = AI (2 cạnh tương ứng)
b) Tam giác MHI vuông cân.
+ Chứng minh được AM BC
+ Chứng minh được AM = MC
ICM
+ Chứng minh được HAM
+ Chứng minh được HAM = ICM (c-g-c)
=> HM = MI
IMC
=> HMB
IMA
(do
+ Do HAM = ICM => HMA
0,5
0,25
0,25
0,25
0,5
0,75
0,25
(*)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/
AMB
AMC 900
900
+ Lập luận được: HMI
(**)
0,25
0,25
Từ (*) và (**) => MHI vuông cân
A
0,25
2)
1,5đ
B
E
H
D
C
+ Chứng minh được :
HAD
DAC
BAE
EAH
HAD
DAC
EAC
AEC
ABC BAE
cùng phụ với BAH
)
(Vì B và HAC
Bài 5.
2,0 đ
Suy ra tam giác AEC cân tại C =>AC = CE
+ Tương tự chứng minh được AB = BD
+ Từ (*) và (**) => AB + AC = BD + EC = ED + BC
+) Trong ba số x, y, z có ít nhất hai số cùng dấu. Giả sử x; y 0
=> z = - x - y 0
+) Vì 1 x 1 , 1 y 1 , 1 z 1 = > x 2 y 4 z 6 x y z
=> x 2 y 4 z 6 x y z
=> x 2 y 4 z 6 2 z
+) 1 z 1 và z 0 => x 2 y 4 z 6 2
KL: Vậy x 2 y 4 z 6 2
Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/
0,25
(*)
(**)
0,25
0,50
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
0,50
0,25
KHÔNG PHẢI LÚC NÀO BẠN CỐ GẮNG CŨNG THÀNH CÔNG
NHƯNG LUÔN PHẢI CỐ GẮNG ĐỂ KHÔNG HỐI HẬN KHI THẤT BẠI
ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THẠCH THÀNH
NĂM HỌC: 2014 – 2015
MÔN: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Ngày thi 02/04/2015
(Đề thi gồm 01 trang)
Thời gian: 120 phút không tính thời gian phát đề
Đề bài
Câu 1: (5,5 điểm).
1.Tính giá trị biểu thức sau:
4
5
a. A (0,8.7 0,8 2 ).(1,25.7 .1,25) 31,64
b. B
45.94 2.69
210.38 68.20
2. Tìm x biết:
( 5x + 2)2 = 25
3. Tìm x, y biết: (4x - 5)2014 + ( 2y + 4 )2016 0
Câu 2: (4,5 điểm).
1. Tìm đa thức M, biết: M 5 x 2 2 xy 6 x 2 9 xy y 2
Bùi Huệ ST
2. Tìm ba số x, y, z , biết:
x y y z
và x y z 49
;
2 3 5 4
y z 1 x z 2 x y 3
1
b.
x
y
z
x yz
a.
Câu 3: (4,0điểm).
2
3
1. Cho hàm số: y x
a. Vẽ đồ thị hàm số trên hệ trục tọa độ xOy.
b. Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm M m;5
2. Tìm giá trị lớn nhất của: H
x2 y2 3
x2 y2 2
Câu 4: (4,0 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài của tam giác ABC tam giác vuông cân
ABE vuông tại B. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC); trên tia đối của AH
lấy điểm I sao cho AI = BC. Chứng minh rằng:
a. Tam giác BEC bằng tam giác ABI.
b. EC vuông góc với BI.
Câu 5: (2,0 điểm).
Cho điểm M nằm bên trong tam giác đều ABC sao cho MA:MB:MC = 3:4:5.
Tính góc AMB?
..............................................Hết.............................................
KHÔNG PHẢI LÚC NÀO BẠN CỐ GẮNG CŨNG THÀNH CÔNG
NHƯNG LUÔN PHẢI CỐ GẮNG ĐỂ KHÔNG HỐI HẬN KHI THẤT BẠI
Họ, tên thí sinh: .................................... Chữ ký của giám thị 1:........................................
Số báo danh:........................................... Chữ ký của giám thị 2:........................................
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC: 2014 - 2015
MÔN: TOÁN
Câu
Hướng dẫn
Điểm
1.Tính giá trị biểu thức sau :
4
a. A (0,8.7 0,8 2 ).(1,25.7 .1,25) 31,64
5
0.5
4
4
= 0,8.1,25(7 + ).(7 - ) + 31,64
5
5
0.5
4 5 39 31 791
= . . .
5 4 5 5
25
0.5
1
2000
=
.(1209 791)
80
Câu 1:
1
25
25
(5.5điểm)
5 4
9
10 8
4 .9 2.6
2 .3 .(1 3)
1
b. 10 8
10 8
8
3
2 .3 6 .20 2 .3 (1 5)
2
2. Tìm x biết :
( 5x + 2) = 25
5x + 2 = 5 hoặc 5x + 2 = -5
0.75
3
7
x = hoặc x =
0.75
5
5
2014
2016
0.5
3. Vì (4x - 5)
0 ; ( 2y + 4 )
0 với x, y
2014
2016
Nên (4x - 5)
+ ( 2y + 4 )
0
0.5
4x - 5 = 0 và 2y + 4 = 0
5
x= và y = -2
0.5
4
1.Tìm đa thức M:
Ta có M= 6x2 + 9xy – y2 – 5x2 + 2xy
0.5
M= x2 + 11xy – y2
0.5
2. Tìm x; y; z
x
y
z
a. Ta có
và x – y + z = - 49
10 15 12
0.75
x
y
z
x yz
49
7
10 15 12 10 15 12
7
0.25
x 70
0.25
Câu 2:
y 105
0.25
(4.5điểm)
z 84
Vậy x 70; y 105; z 84
b.
Bùi Huệ ST
y z 1 x z 2 x y 3
1
x
y
z
x y z
y z 1 x z 2 x y 3
=
2
x yz
=> x + y +z = 0,5
0.5
0.25
0.75
0.5
KHÔNG PHẢI LÚC NÀO BẠN CỐ GẮNG CŨNG THÀNH CÔNG
NHƯNG LUÔN PHẢI CỐ GẮNG ĐỂ KHÔNG HỐI HẬN KHI THẤT BẠI
0,5 x 1 0,5 y 2 0,5 z 3
2
Nên ta có:
x
y
z
1
5
5
Do đó: x = ; y = ; z =2
6
6
1. a. Ta có A(0; 0); B(3; 2)
y
2
1.0
O
Câu 3:
(4.0điểm)
3
x
Bùi Huệ ST
b.Vì đồ thị hàm số đi qua điểm M(m; 5) nên ta có:
2
5= m
3
15
m=
2
2.Tìm giá trị lớn nhất
x2 y2 3
x2 y2 2
1
Ta có H = 2
=
2
2
2
2
x y 2
x y 2 x y2 2
1
x y2 2
H đạt giá trị lớn nhất x2 + y2 +2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2
x = 0 và y = 0
3
Vậy giá trị lớn nhất của H là
x = 0 và y = 0
2
H=1+
2
0.75
0.75
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
KHÔNG PHẢI LÚC NÀO BẠN CỐ GẮNG CŨNG THÀNH CÔNG
NHƯNG LUÔN PHẢI CỐ GẮNG ĐỂ KHÔNG HỐI HẬN KHI THẤT BẠI
I
0.5
A
E
M
Câu 4:
(4.0điểm)
B
H
C
a. Xét tam giác BEC và tam giác ABI
Có: BE = AB; AI = BC (gt)
IAB = 1800 - BAH
= 1800 –(900 - ABC)
= 900 + ABC
IAB = EBC
Suy ra tam giác BEC = tam giác ABI (c.g.c)
b. Vì tam giác BEC = tam giác ABI nên ECB = BIA
Hay ECB = BIH
Gọi giao điểm của CE và IB là M
Ta có: MCB + MBC = BIH + IBH = 900
BMC = 900 hay CE BI
Bùi Huệ ST
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
A
K
M
Câu 5:
(2.0điểm)
C
B
Vẽ tam giác đều BMK ( K và A nằm cùng phía đối với BM )
Đặt MA = 3a ; MB = 4a ; MC = 5a (a N*)
Ta có MB = BK và BC = AB
ABK = CBM
AKB = CMB (c.g.c)
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
KHÔNG PHẢI LÚC NÀO BẠN CỐ GẮNG CŨNG THÀNH CÔNG
NHƯNG LUÔN PHẢI CỐ GẮNG ĐỂ KHÔNG HỐI HẬN KHI THẤT BẠI
AK = MC = 5a
Nhận xét : Trong tam giác AMK có AM2 + MK2 = AK2
Nên : AMK = 900
Do đó AMB = AMK + BMK = 1500
Chú ý:
1. Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
2. Bài hình không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm điểm.
Bùi Huệ ST
0.25
0.25
0.25
UBND HUYỆN KINH MÔN
ĐỀ THI GIAO LƯU OLYMPIC CẤP HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN: TOÁN - LỚP 7
Câu 1: ( 2,0 điểm)
3 3 3
1) Tính M = 4 11 13
5 5 5
4 11 13
1
2
1
3
1
4
2) Tính A= ...
1 1 1
2 3 4
5 5 5
4 6 8
1
1
2
3
2017 2018
A
; B=
. Tính
...
2019
2018 2017 2016
2
1
B
Câu 2: ( 2,0 điểm)
1) Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn: x + 2y = 3xy + 3
2) CMR với n nguyên dương thì 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n chia hết cho 10.
Câu 3: ( 2,0 điểm )
a 2018 b 2018
a c
1) Cho các số dương a,b,c,d; c d và . CMR
b d
c 2018 d 2018
2019
2019
a
c
2019
b 2019
2019
d 2019
2018
2018
2) Cho biết 3x 2 y 5z 7 x ( xy yz xz 500)2018 0 .
Tính giá trị biểu thức
A = (3x - y - z)2019
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam
giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC.
1) Chứng minh rằng: DC = BE.
2) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Tính số đo góc BIK, góc AMN.
3) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE.
Câu 5 (1,0đ)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
ab+bc+ca a 2 b 2 c 2 < 2(ab+bc+ca)
---------------------------Hết--------------------Họ và tên thí sinh::........................................... SBD...................................
Câu
HƯỚNG DẪN CHẤM
Nội dung
Ý
a
3 3 3
4
11 13
A=
5 5 5
4 11 13
A=
1
b B=
Điểm
1 1 1
1 1 1
1 1 1
3.
2 3 4 = 4 11 13 2 3 4
5 5 5
1 1 1 5 1 1 1
.
5.
4 6 8
4 11 13 2 2 3 4
0,5
0,5
3 1
3 2 5
= 1 . Vậy A = 1
5 5 5
5 5
2
1
2
3
2017 2018
...
2018 2017 2016
2
1
0,25
1
2
3
2017
B=
1
1
1 ...
1 1
2018 2017 2016
2
B=
0,25
2019 2019 2019
2019 2019
...
2018 2017 2016
2
2019
1 1 1
1
B = 2019. ...
2 3 4
2019
Do đó
0,25
0,25
A
1
A
1
=
. Vậy =
B 2019
B 2019
Ta có x + 2y = 3xy + 3 3x + 6y = 9xy + 9
( 3x – 9xy ) + ( 6y -2 ) = 7 3x.( 1 - 3y ) -2.( 1-3y ) =7
( 3x – 2 ). ( 1 – 3y ) = 7
0,25
Vì x, y Z nên 3x – 2 ; 1-3y là các số nguyên.
Mà ( 3x - 2 ).( 1 – 3y ) = 7 3x – 2 ; 1-3y là ước của 7.
Ta lại có Ư(7) = 1;7 3x – 2 ; 1-3y 1;7
0,25
a Bảng giá trị
2
3x-2
-7
-1
1
7
1-3y
-1
-7
7
1
x
-5/3
1/3
1
3
y
2/3
8/3
-2
0
KTM
KTM
TM
TM
0,5
Vậy (x,y) 1;2; 3;0
Ta có 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n
b = ( 3n+2 + 3n ) – (2n+2 +2n ) = 3n .( 32 + 1 ) – 2n-1 . ( 23 + 2 )
= 3n .10 - 2n-1.10 = ( 3n - 2n-1 ).10 10
0,5
Vì a,b,c,d là các số dương và c d, mà
a
a 2018
a 2018 b 2018 a 2018 b 2018
2018
c 2018 d 2018 c 2018 d 2018
c
a 2018 b 2018
a 2018.2019
hay 2018.2019
c
c 2018 d 2018
a 2019 b 2019
a 2019.2018
hay 2019.2018
c
c 2019 d 2019
a
Từ (1) và (2)
c
Vậy
a
c
2018
b 2018
2018
d 2018
2019
2018
b 2018
2018
d 2018
2019
a
c
a 2018 b 2018
2018
2018
c d
0,25
2019
0,25
(1)
2018
a 2019 b 2019
2019
2019
c d
2018
2018
2018
2019
a c
a b
nên
b d
c d
2019
a 2019
a 2019 b 2019 a 2019 b 2019
2019 2019 2019
2019
c
d
c d 2019
c
3
2019
0,5
2019
2019
(2)
0,25
a
c
2019
b 2019
2019
d 2019
2019
b 2019
2019
d 2019
2018
2018
2018
2018
0,25
Vì 3x 2 y 0 với x,y; 5 z 7 x 0 với y,z ;
( xy + yz + xz - 500)2018 0 với x,y,z
Do đó 3x 2 y 5 z 7 x ( xy yz xz 500)2018 0 khi
0,25
b
3x 2 y 0
x y
3x 2 y 0
2 3
5 z 7 x 0
5z 7 x 0
xy yz xz 500 0
z x
2018
7 5
xy yz xz 500 0
y
x
x
y
z
10 15
10 15 21
z x
14 10
0,25
Đặt
x
y
z
= k ( k Z ) x= 10 k; y =15 k; z = 14 k
10 15 14
Ta có xy + yz + xz - 500 = 0 150k2 + 210 k2 +140k2 = 500
0,25
k= 1
x 10
x 10
y 15 hoặc y 15
z 14
z 14
x 10
+ Với y 15 thì A= 1
z 14
x 10
+ với y 15 thì A= -1
z 14
0,25
Vậy A = 1 hoặc A= -1
E
A
D
K
I
B
C
0,25
0,5
Ta có: AD = AB; DAC= BAE và AC = AE
a
0,25
Suy ra ADC = ABE (c.g.c) DC=BE ( hai cạnh tương ứng)
Từ ADC = ABE (câu a) => ABE= ADC
mà BKC= AKD (đối đỉnh).
4
Khi đó xét BIK và DKA Có BKC= AKD( CMT)
0,25
KDA= KBI suy ra BIK = DAK=600 (đpcm)
0,25
E
A
D
N
J
K
M
I
C
B
0,25
b
Từ ADC = ABE (câu a) CM = EN và ACM = AEN
0,25
ACM = AEN (c.g.c) AM = AN và CAM = EAN
MAN = CAE = 600Do đó AMN đều. AMN=600
Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB BIJ đều BJ = BI
và
c
0,25
0,25
JBI = DBA = 60suy ra IBA = JBD , kết hợp BA = BD
IBA= JBD (c.g.c)=> AIB = DJB= 1200mà BID =600 0,25
=> DIA = 600. Mà góc DIE = 120
5
0
Suy ra IA là phân giác của góc DIE
0,25
Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác nên ta có:
a
- Xem thêm -
.PDF 
52 
329 
93 
