PGS. TS. NGUYỄN XUÂN THẢO
BÀI GIẢNG
GIẢI TÍCH III
Hà Nội - 2014
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
[email protected]
“Non sông Việt Nam có trở nên tươi
đẹp hay không
Dân tộc Việt Nam có bước tới đài
vinh quang để sánh vai với các cường
quốc năm châu được hay không
Chính là nhờ một phần lớn ở công học
tập của các em ”
9. 1945 Hồ Chí Minh
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
[email protected]
LỜI NÓI ĐẦU
Trong số các môn toán đại cương dành cho sinh viên các trường Đại học
kĩ thuật, Giải tích III là môn học có nội dung kiến thức phong phú nhất và có
nhiều ứng dụng thú vị nhất.
Để tạo điều kiện cho sinh viên học tốt trong quá trình học theo học chế tín
chỉ, bài giảng Giải tích 3 được viết trên cơ sở đề cương Giải tích 3 của Bộ
môn Toán cơ bản cho sinh viên Đại học Bách Khoa Hà Nội. Bài giảng chứa
đựng đầy đủ các kiến thức cơ bản, các dạng toán quan trọng và có minh hoạ
bằng các đề thi cuối kỳ.
Các dạng toán thực hành đều có đáp số kèm theo, tạo điều kiện thuận lợi
cho các em sinh viên tự học, góp phần nâng cao hiệu quả bài giảng trên lớp.
Bài giảng cũng cho nhiều ứng dụng thú vị của Toán học trong cuộc sống. Bài
giảng được in trên một mặt, mặt còn lại dành cho sinh viên ghi chép những
điều cần thiết ở bài giảng trên lớp. Đây là tài liệu có ích cho các em sinh viên
muốn đạt kết quả tốt môn học này.
Mùa xuân năm 2014
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
[email protected]
MỤC LỤC
Bài 1. Chuỗi số, chuỗi số dương ....................................................................... 1
Bài 2. Chuỗi với số hạng có dấu bất kì ........................................................... 11
Bài 3. Chuỗi hàm số ........................................................................................ 15
Bài 4. Chuỗi luỹ thừa ....................................................................................... 20
Bài 5. Chuỗi luỹ thừa, chuỗi Fourier ............................................................... 28
Bài 6. Chuỗi Fourier, phương trình vi phân cấp một ...................................... 34
Bài 7. Phương trình vi phân cấp một .............................................................. 44
Bài 8. Phương trình vi phân cấp hai khuyết ................................................... 55
Bài 9. Phương trình vi phân cấp hai với hệ số biến đổi ................................. 62
Bài 10. Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng số ................................ 66
Bài 11. Phương trình Euler, hệ phương trình vi phân .................................... 71
Bài 12. Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược ................................. 77
Bài 13. Phép biến đổi của bài toán giá trị ban đầu ......................................... 84
Bài 14. Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản ................................................ 91
Bài 15. Đạo hàm, tích phân và tích các phép biến đổi ................................... 96
Tài liệu tham khảo ....................................................................................... 106
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
PH
Email:
[email protected]
NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHU I
BÀI 1. CH
NG I. LÝ THUYẾT CHU I
§ 1. Đại c ng về chu i số
Định nghĩa
Điều kiện cần để chuỗi hội tụ
Các tính chất cơ bản
1 1 1
1
Đặt vấn đề: 1 n 2
2 4 8
2
Có phải là cứ cộng mãi các số hạng của vế trái thì thành vế phải?
1 + (– 1)+1 + (– 1) + .... = ?
1. Chu i số:
Định nghĩa: Với mỗi số tự nhiên n, cho tương ứng với một số thực an, ta có dãy
số kí hiệu là an .
Định nghĩa:
Cho dãy số {an}, ta gọi tổng vô hạn a1 a2 a3 là chuỗi số, ký hiệu là
an ,
n 1
an là số hạng tổng quát.
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an là tổng riêng thứ n. Nếu lim Sn S thì ta bảo chuỗi
an S .
hội tụ, có tổng S và viết:
n 1
Khi dãy {Sn} phân kỳ thì ta bảo chuỗi
Ví dụ 1. Xét sự hội tụ và tính
Sn 1 q q 2 q n
lim Sn
1
, q 1
n
1 q
Phân kỳ khi q 1
qn 1 q ,
n 0
1
qn
an phân kỳ.
n 1
n 0
n 1
1 q
, q 1
1 q
q 1.
Ví dụ 2. Xét sự hội tụ và tính
n n 1
n 1
1
1
n
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email:
[email protected]
1
1
1
1
1
1 1 1 1
1
1
1.2 2.3
n 1
n n 1 1 2 2 3
n n 1
1
lim Sn lim 1
1
n
n
n 1
Sn
n n 1 1
1
n 1
Ví dụ 3. Xét sự hội tụ, phân kỳ
n (Chuỗi điều hoà) Sn 1 2 3 n
n 1
1
1
1
1
Lấy n 2m 1 có
1 1
1
1 1 1 1
1
1
1
Sn 1 m 1 1 m
m 1
2 3
2 3 4 5
8
2
2
2 1
1
1
1
1
1
2. 4. 2m. m 1 m 1
2
4
8
2
2
Do đó Sn có thể lớn bao nhiêu tuỳ ý, nên có lim Sn
n
Chuỗi đã cho phân kỳ
Ví dụ 4. Chuỗi nghịch đảo bình phương:
Sn 1
1
1
1
1
n2
n 1
1
1
1
1
1
1
1
1
2.2 3.3
n.n
1.2 2.3
n 1 n
22 32
n2
1
1
1 1 1 1 1 1
1
1
2 2
n
1 2 2 3 3 4
n 1 n
Sn tăng và dương
lim Sn S
n
n2 S
n 1
1
an 0 (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ)
an hội tụ thì nlim
Nhận xét:
n 1
Chứng minh:
Có an Sn Sn 1 ;
lim an lim Sn Sn 1 0
n
Nếu lim an 0 hoặc không tồn tại thì chuỗi
n
n
an phân kỳ.
n 1
Thay đổi một số hữu hạn số hạng đầu không làm thay đổi tính hội tụ hay phân kỳ của
chuỗi.
2
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email:
[email protected]
n
n 1
n 1
Ví dụ 5.
n
1 0
n n 1
n
phân kỳ
n
1
n 1
lim
Ví dụ 6.
1
n 1
n
1 1 1 1
1
n
Có lim 1
n
1
n =2k,k
n =2k+1.
Không tồn tại lim 1
1
n 1
n
n
n
phân kỳ.
Ví dụ 7. Tìm tổng (nếu có) của chuỗi số sau
1)
n 1
Ví dụ 8.
n
1
n 1
n
2. Tính chất. Giả sử
3 5
2n 1
2
4 36
n 2 n 1
(ĐS:
(PK)
an S1, bn S2,
n 1
n 1
( an bn ) an bn S1 S2
n 1
n 1
Định nghĩa
1. Định nghĩa:
Nhận xét.
an ,
n 1
n 1
§2. Chu
i số d
Các định lí so sánh
an 0
an hội tụ khi và chỉ khi S
n 1
ng
n
bị chặn.
Trong bài này ta giả thiết chỉ xét các chuỗi số dư ng
2. Các định lí so sánh.
3
Các tiêu chuẩn hội tụ
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email:
[email protected]
Định lí 1. Cho hai chuỗi số dương, an bn , n tuỳ ý hoặc từ một lúc nào đó trở đi
bn hội tụ an
n 1
n 1
hội tụ
an phân kỳ bn
n 1
n 1
phân kỳ
Chứng minh.
a1 a2 an b1 b2 bn
0 Sn Tn
Rút ra các khẳng định.
Ví dụ 1.
3n 1
1
n 1
Ví dụ 2.
3n 1
1
3n
n 2
0
1
1
n ln n
1
phân kỳ
n
n 2
1
3n
1
hội tụ
1
n 1
1
3
Chuỗi đã cho hội tụ
Ví dụ 3. a),
n 1
ln n phân kỳ
n 1 sin 2n
n7 2n3 3
n 2
1
, ; (HTTĐ)
a
Định lí 2. Cho hai chuỗi số dương, lim n k 0
n bn
hoặc cùng phân kì.
Nhận xét. Đối với các chuỗi số dương
an
0 và
n bn
1/ Nếu lim
a
2/ Nếu lim n và
n bn
Ví dụ 4.
2n3 3
n 1
1
Chuỗi dương
ln n n
Chuỗi dương
3n 1 3 n
1
ln n
n2
n 1
n 1
n 1
an và bn :
n 1
n 1
bn hội tụ an hội tụ
an và bn cùng hội tụ
n 1
bn phân kì an phân kì
n 1
n 1
Chuỗi dương
4
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email:
[email protected]
1
2
2
1
n2
n
n 1 .
n
.
3
3
2
3
2n 3 2n 1
2n 1 3
2n 3
2n 3
n2 1
lim
: 2 1
n 2n 3
2n
2n 2
n 1
1
hội tụ
2n3 3 hội tụ
n 1
n2
Ví dụ 5.
np ,
p0
1
n 1
1
Khi 0 p 1 có 0 n n p , do
n
n
1
p
m
2
1
2
2
p
1 1
1
1
1
1 p p p p
1
m 1
3 4
7
2
2
4
4
p
2m 1
2m 1
p
1
1
2
p 1
1 am
1
1
, 0 a p 1 1
1 a
1 a
2
Dãy Sn bị chặn trên
np
n 1
1
1
2p 1
2
hội tụ.
KL: Chuỗi hội tụ với p > 1 và phân kì với 0 < p 1.
Ví dụ 6.
n 1
1
n3 3
Chuỗi dương
1
1
1
an
; bn 3/2
n
n 3 3 n 3/2 1 3
3
n
a
lim n 1
n bn
5
1
phân kỳ nên
n
n 1
Khi p 1, n tuỳ ý, chọn m sao cho n 2m , có
Sn S
np
n 1
p
1
2p 1
1
m 1
phân kỳ.
2
1
m
p
1
bn hội tụ
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
n 1
1
hội tụ
3
n 1 n 3
Ví dụ 7
a1)
b1)
c1)
d1)
d3)
ln 1
n 2
n sin
n 1
n 1
2
n 1
n2
2 n
n 1
n 2 n 1
(PK)
n 1
(HT)
sin 3 n7 2n3 3
n 1
1)
3)
4 n5
n 1
ln n
n ln 1 arctan2 2
n 1
f) Xét sự hội tụ
n3
(PK)
3)
(HT)
1
1
sin
n
n
n 1
1
n
n 1
n sin n
n 1
3
n 2
2)
1
1
n
(PK)
1
(PK)
1
1
n 1 arcsin ln n
n
2)
3) Các tiêu chuẩn hội tụ
a) Tiêu chuẩn D’Alembert
a
lim n 1 l
n an
6
n 1
ln n 1
4
n
5
(PK)
(HT)
(PK)
(HT)
1
1)
n 1 ln n
n 1
d2) n e
c2)
(HT)
n 2
n 1 n 1
1
b2)
2
n
n 1
e) Xét sự hội tụ
sin
(HT)
5
n 2
a2)
(PK)
(PK);
n cos n
Email:
[email protected]
(HT)
an
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Khi l 1
Khi l 1
n 1
Email:
[email protected]
hội tụ
an phân kỳ.
n 1
Chứng minh
an 1
a
l , chọn > 0 đủ bé để l + < 1 n 1 < l + , n n0.
n an
an
an 1
a a
n n
Mặt khác có an n . n 1 0 .an0 l 0 an0 0, n
an 1 an 2
an0
l < 1: Từ lim
Do đó lim an l
n
an 1
a
l , chọn đủ bé để l > 1 n 1 l 1 an + 1 > an
n an
an
l > 1: Từ lim
phân kì
Nhận xét. Khi l = 1 không có kết luận gì
Ví dụ 1.
an
n!
n 1
1
1
0
n!
a
1
1
1
n!
lim n 1 lim
:
lim
lim
0 1
n an
n n 1 ! n ! n n 1 !
n n 1
1
hội tụ
n
!
n 1
3n
Ví dụ 2.
n!
n 1
3n
an
0
n!
an 1
3n 1 3n
3
:
an
n 1! n ! n 1
a
lim n 1 0 1
n an
Chuỗi đã cho hội tụ
Ví dụ 3. Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi
7
1.3.5 2n 1
1 1.3 1.3.5
2 2.5 2.5.8
2.5.8 3n 1
an
1.3.5 2n 1
0
2.5.8 3n 1
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email:
[email protected]
an 1 1.3.5 2n 1 2n 1 1.3.5 2n 1 2n 1
:
an
2.5.8 3n 1 3n 2 2.5.8 3n 1 3n 2
an 1 2
1
n an
3
Chuỗi đã cho hội tụ
Ví dụ 4
lim
a1)
a3)
n !3n
n 1
n
n 1
nn
7
n !
2
(HT)
n 2n
32n 1
b1)
n
n 1 4 ln n 1
(PK)
b3)
(HT)
c1)
d1)
n 1
2n 1!!
nn
2n 3n 2
n 1
n 1
a2)
(PK)
3n 2 2n 1
b) Tiêu chuẩn Cauchy
Giả sử lim n an l
n
Nếu l 1
Nếu l 1
an hội tụ
n 1
an
n 1
phân kỳ
Nhận xét. Nếu l = 1, không có kết luận gì
2n 1
Ví dụ 5.
3n 2
n 1
nn
n
2n 1
an
0
3n 2
2n 1
na
n
3n 2
8
(HT)
22n 1
b2)
n
n 1 5 ln n 1
(HT)
b4)
(HT)
d2)
(PK)
nn
n 1
n !2n
(HT)
n !3n
n 1
2n !!
n 1
nn
n ! n
nn
(PK)
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
2
1
n
3
Chuỗi đã cho hội tụ
lim
na
n
Email:
[email protected]
n 1
Ví dụ 6. Xét sự hội tụ, phân kì
n
n 1
Ví dụ 7.
3n 2 n 1
a1)
2
4
cos
n
n
n 1
a3)
n 1 2
n
n 1
n n 4
n3
b2)
n
2
n 1
(HT)
2
n 1 3
n 1
2n 2 n 1
a2)
2
3
sin
n
n
n 1
(HT)
n2
n n 5n
n
(PK)
(HT)
n n 5n
n 2
b1)
n
3
n 1
2n ln n
2
c)
n2
n n 4
3n ln n
(HT)
(PK)
(HT)
n2
c) Tiêu chuẩn tích phơn
Có mối liên hệ hay không giữa:
f ( x ) dx
f ( x ) dx blim
a
và
b
an klim
an
a
k
n 1
n 1
f ( x ) dx a1 a2 an a1 f ( x ) dx ,
n
Hình 14.4
n
Nếu f(x) là hàm liên tục, dương giảm với mọi x 1 và lim f ( x ) 0 , f(n) = an, khi đó
1
1
an và f ( x ) dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
n 1
Ví dụ 8.
f (x)
n ln n
1
n 2
x
1
1
dương, giảm với x 2 và có lim f ( x ) 0
x
x ln x
9
d ln x
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
f ( x ) dx lim
b
b
f ( x ) dx phân kỳ
2
2
ln x
n ln n phân kỳ
1
Email:
[email protected]
lim ln ln x lim ln ln b ln ln2
b
b
2
n
1
n 2
Tổng quát có thể xét
n ln n p
n 2
1
Ví dụ 9. Chứng minh rằng: 1
hội tụ chỉ khi p > 1.
1 1 1
ln2
2 3 4
1 1 1
1
1
1
1 1 1
1
1
2 3 4
2n 1 2n 3
2n 1 2 4
2n
1 1
1
1
1 1
1
1 1
1
1 1
1
2
1
1
2 3
2n
2n
2 3
2n
2 3
n
2 4
S2n 1
1
1
ln2n o(1) ln n o(1), víi lim 1 ln n
n
2
n
ln2 o(1) ln 2 khi n
Mặt khác ta có
1
S2n 1 S2n
2n 1
lim S2n 1 lim S2n ln 2
n
n 1
1n 1 ln2
n
Ví dụ 10. Tương tự nhận được 1
1 1 1 1 1
3
ln2.
3 2 5 7 4
2
Ví dụ 11. Xét sự hội tụ phân kì của chuỗi số sau
1
ln
ln 1 n
ln n
n
a)
b)
(HT)
c)
(HT);
2
2
2
n 1 n 2
n 1 n 3
n 2 3n
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
10
(HT)
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
[email protected]
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHU I
BÀI 2
§ 3. Chu i số với số hạng có dấu bất kì
Chuỗi với số hạng có dấu bất kì
Chuỗi đan dấu
Tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối
1. Đặt vấn đề.
2. Chu i với số hạng có dấu bất kì
Định nghĩa:
an được gọi là hội tụ tuyệt đối an
n 1
n 1
gọi là bán hội tụ
Định lý.
an
an
n 1
hội tụ
n 1
phân kì và
an hội tụ.
an hội tụ.
hội tụ. Chuỗi
an được
n 1
n 1
n 1
Ví dụ 1. Xét sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi số sau
a)
c)
n 2 n
1 2
sin 2
n 1
n
n
2
n 1
;
3
n
b)
(HTTĐ)
d)
Hướng dẫn.
a)
n 1
n 2 n
1 2
+) Xét
2n
n 1
n
b)
2n
n
an 1 1
1
n an
2
+) lim
+)
+)
2n
n 1
n 1
n
n n
( 1) 2
n 1
n 1
sin n
sin n2
n
3
(HTTĐ)
n 1
+) sin n 2
+) Không có lim sin n 2 0
n
Thật vậy, phản chứng có lim sin n 2 0
n
lim sin(2n 1) 0 lim sin(2n 3) 0
n
lim cos(2n 1) 0
hội tụ
2
sin n2
n
lim sin2 (2n 1) cos2 (2n 1) 0 (vô lí)
n
n
2
n
hội tụ
+)
n
sin n2 phân kì.
n 1
11
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
an
Nhận xét.
1/ Nếu
2/
phân kì theo tiêu chuẩn D’Alembert hoặc Cauchy
n 1
an
kì
3. Chu i đan dấu
Định nghĩa.
Chú ý.
an phân kì (đúng hay sai?)
1
n 1
1
n 1
n
an
1
n 1
n 1
n 1
phân
n 1
n 1
an , an 0 được gọi là chuỗi đan dấu
an , an 0 cũng được gọi là chuỗi đan dấu.
Định lí Leibnitz
Dãy
an
phân kì
n 1
[email protected]
giảm,
an 0 ,
lim an 0
n
an a1
1
n 1
n 1
an
hội
tụ
và
có
Chứng minh:
+) n 2m :
Có S2m a1 a2 a3 a4 a2m 1 a2m S2m tăng
S2m a1 a2 a3 a4 a5 a2m 2 a2m 1 a2m a1
Từ đó lim S2m S và có S a1
m
+) n 2m 1:
S2m 1 S2 m a2 m 1
Do lim a2m 1 0 lim S2m 1 S .
m
m
Định lí được chứng minh.
Ví dụ 2.
Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của các chuỗi số sau
1n 1
1n 1
a)
(Bán HT)
(HTTĐ)
c)
3
2
n
1
2
n
1
n 1
n 1
b)
n 1
1n 1
n
(Bán HT)
1n 1 n
d)
(PK)
6
n
5
n 1
12
Ket-noi.com chia se mien phi
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
1n 1 3.5.7 2n 1 (HTTĐ)
e)
2.5.8 3n 1
n 1
f)
1n 1 1.4.7 3n 2 (PK)
7.9.11 2n 5
n 1
1n 1 tan 1 (HTTĐ)
g)
n n
n 1
h)
i)
k)
l)
n 1
1
1
n 1
1
n 1
m)
1)
2n 1
2
2)
n 1
4)
n 1
(HTTĐ)
n
n 1 ln n
n
(Bán HT)
1
n 1
r
1
n 1
Hướng dẫn.
n 1
1n 1
n
là chuỗi đan dấu
1
1
+)
0
giảm và có lim
n
n
n
+) Hội tụ theo Leibnitz
+)
n 1
1
phân kì bán hội tụ
n
n 1
1
1
4
n
nn2
r)1) ( 1)
n
n 1
(1)
ln n
ln 1
(HT)
n
1n 1 ln 1 ln n (HT)
n
n 1
2)
b) +)
n 1
n
1
n 1
3)
1
1 2 1 (HT)
n
n 1
n
ln2
(PK)
n 1
(PK)
n 2
n
1
n 1
n
3
q) Xét sự hội tụ
(PK)
n!
n
1
n 1
n2
n 1 2
n 1 sin 2n
, (HTTĐ)
7
3
n
n
2
3
n 1
n
1
p)
(Bán HT)
n
ln
n
n 1
o)
[email protected]
n 1
n 1
n2
1 (HT)
n2
1.3.5...(2n 1)
3.5.8...(3n 1)
1n 1 n
là chuỗi đan dấu
d) +)
6
n
5
n 1
1
n
+) lim
n 6n 5
6
n 1
+) lim 1
+)
n
n 1
1n
6n 5 phân kì
n 1
n
n
6n 5
n
phân kì.
6n 5
4. Tính chất của chu i hội tụ tuyệt đối
a)
an
n 1
S chuỗi số nhận được từ chuỗi này bằng cách đổi thứ tự các số
hạng và nhóm tuỳ ý các số hạng cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng S
13
an S , an
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
b) Cho
n 1
n 1
[email protected]
phân kì có thể thay đổi thứ tự các số hạng của nó
để chuỗi thu được hội tụ và có tổng là một số bất kì cho trước hoặc trở nên phân
kì.
Định nghĩa. Cho
an , bn , khi đó ta định nghĩa phép nhân chuỗi:
n 1
n 1
n
an bn
ak bn 1k
cn , ở đó cn
k 1
n 1 n 1 n 1
c)
n 1
an S1,
bn S2 an bn S1 S2
n 1
n 1 n 1
1
Ví dụ 3.a) Xét sự hội tụ của tích các chuỗi số sau:
và
n
n
n 1
b) Xét sự hội tụ của chuỗi số
2n 1 .
n 1
1
n
1
k 1
2 n2k
1
tan
.ln
1
n
k
k
k
n 1 k 1
c) Xét sự hội tụ của chuỗi số
n 1
n
k cos(k )
( 1)n1k
,
3
3 7
4
k 1
k k 1 (n 1 k ) 2 ln(n 1 k )
Hướng dẫn.
a) +)
+)
n
n 1
1
n
hội tụ tuyệt đối
2n 1 hội tụ tuyệt đối
n 1
1
1 1
+)
.
hội tụ
n 1
n
n
2
n 1
n 1
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
14
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
[email protected]
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHU I
BÀI 3
§ 4. Chu i hàm số
Đặt vấn đề.
Định nghĩa: Cho dãy hàm số un x xác định trên X , ta định nghĩa chuỗi hàm số
1. Chu i hàm số hội tụ
u1 x u2 x
un x
(1)
n 1
un x hội tụ tại x0 chuỗi số un x0 hội tụ
n 1
n 1
un x phân kì tại x0 chuỗi số un x0 phân kì
n 1
n 1
Tập các điểm hội tụ của (1) gọi là tập hội tụ của nó. Tổng của chuỗi hàm số là
hàm số xác định trong tập hội tụ của nó.
n2 x2
nx
Ví dụ 1. Tìm tập hội tụ của các chuỗi hàm số sau
a)
e)
g)
n 1
n 1
x
n 1
b)
sin 2n 2 4 x
3n 1
n 1
2
n 5n x 3 n
n 1
1
n 1
x n 1
cos nx
c)
( )
f)
( x 3
n 1
( x 1)
1
1
n 1
n 1 n cos x
e
d)
(
xn
n!
n 1
( )
k 2 x k 2 )
2
2
1
)
5
Hướng dẫn.
a)
n 1
+) Xét chuỗi số
x0n 1
n 1
+) (2) hội tụ với x0 1
b)
n2 x2
n 1
(2)
+) Tại x0 1, (2) phân kì
+) Tập hội tụ: x 1
cos nx
+) Xét chuỗi số
+) Tập hội tụ
n2 x02
n 1
cos nx0
(2)
+)
cos nx0
n
2
15
x02
1
n2
(2) hội tụ với mọi x0
.PDF 
113 
515 
59 
