Tài liệu 7 đề thi học sinh giỏi toán 7 có đáp án

§Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n: To¸n 7 Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ giao ®Ò) §Ò 1.1 A/ PhÇn ®Ò chung C©u 1 (1,5®iÓm): a. (0,75®) TÝnh tæng B = 1+5+52+53+… +52008+52009 b. (0,75®) Thùc hiÖn phÐp tÝnh    1 1   1   1 :   5 625   25 1   1 25  C©u 2 (2®iÓm): a. (1®) T×m x, y biÕt : 2x  1 3y  2 2x  3y  1   5 7 6x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1     10 11 12 13 14 b. (1®) T×m x biÕt C©u 3 (1,5®iÓm): VÏ ®å thÞ hµm sè: y = - 2 x 3 C©u 4 (3®iÓm): a. (1,5®) HiÖn nay anh h¬n em 8 tuæi. Tuæi cña anh c¸ch ®©y 5 n¨m vµ tuæi cña em sau 8 n¨m n÷a tØ lÖ víi 3 vµ 4. Hái hiÖn nay anh bao nhiªu tuæi? Em bao nhiªu tuæi? b. (1,5®) Cho ABC (gãc A=900). KÎ AH  BC, kÎ HP  AB vµ kÐo dµi ®Ó cã PE = PH. KÎ HQ  AC vµ kÐo dµi ®Ó cã QF = QH. a./ Chøng minh  APE =  APH vµ  AQH =  AQF b./ Chøng minh 3 ®iÓm E, A, F th¼ng hµng. B/ PhÇn ®Ò riªng C©u 5 A (2®iÓm): (Dµnh cho häc sinh chuyªn to¸n) a. (1,5®) TÝnh tæng 3n 1  1 S = 1 + 2 + 5 + 14 + …+ (víi n  Z+) 2 b. (0,5®) Cho ®a thøc f(x) = x4 + 2x3 – 2x2 – 6x + 5 Trong c¸c sè sau: 1, -1, 5, -5 sè nµo lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) C©u 5 B (2®iÓm): (Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn to¸n) a. (1,5®) T×m x  Z ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn A = 5x  2 x2 b. (0,5®) Chøng minh r»ng: 76 + 75 – 74 chia hÕt cho 55 §Ò 1.2 A/ PhÇn ®Ò chung C©u 1 (1,5®iÓm) §Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n: To¸n 7 Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ giao ®Ò) a. (1®) TÝnh tæng: M = - 4 4 4 4     1.5 5.9 9.13  n  4 n b. (0,5®) T×m x biÕt: -4x(x – 5) – 2x(8 – 2x) = -3 C©u 2 (1,5®iÓm) 1 a. (1®) T×m x, y, z biÕt: x3 y3 z3 vµ x2 + y2 + z2 = 14   8 64 216 b. (0,5®) Cho x1 + x2 + x3 + …+ x50 + x51 = 0 vµ x1 + x2 = x3 + x4 = x5 + x6 = … = x49 + x50 = 1 tÝnh x50 C©u 3 (2®iÓm) a. (1®) Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é, cho 2 ®iÓm M(-3;2) vµ N(3;-2). H·y gi¶i thÝch v× sao gèc to¹ ®é O vµ hai ®iÓm M, N lµ 3 ®iÓm th¼ng hµng? b. (1®) Cho ®a thøc: Q(x) = x  x2 1 3 1   1 4 2    2  2 x  2 x  2 x  x       a./ T×m bËc cña ®a thøc Q(x) b./ TÝnh Q     1  2 c./ Chøng minh r»ng Q(x) nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi sè nguyªn x C©u 4 (3®iÓm) a. (1®) Ba tæ c«ng nh©n A, B, C ph¶i s¶n xuÊt cïng mét sè s¶n phÈm nh nhau. Thêi gian 3 tæ hoµn thµnh kÕ ho¹ch theo thø tù lµ 14 ngµy, 15 ngµy vµ 21 ngµy. Tæ A nhiÒu h¬n tæ C lµ 10 ngêi. Hái mçi tæ cã bao nhiªu c«ng nh©n? (N¨ng suÊt lao ®éng cña c¸c c«ng nh©n lµ nh nhau) b. (2®) Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa ®iÓm B bê lµ ®êng th¼ng AD vÏ tia AM (M  CD) sao cho gãc MAD = 200. Còng trªn nöa mÆt ph¼ng nµy vÏ tia AN (N  BC) sao cho gãc NAD = 650. Tõ B kÎ BH  AN (H  AN) vµ trªn tia ®èi cña tia HB lÊy ®iÓm P sao cho HB = HP chøng minh: a./ Ba ®iÓm N, P, M th¼ng hµng b./ TÝnh c¸c gãc cña  AMN B/ PhÇn ®Ò riªng C©u 5 A. (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh chuyªn a. (1®) Chøng minh r»ng: 222333 + 333222 chia hÕt cho 13 b. (1®) T×m sè d cña phÐp chia 109345 cho 7 C©u 5 B. (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn a. (1®) T×m sè nguyªn d¬ng n biÕt 4 5  4 5  4 5  4 5 6 5  6 5  6 5  6 5  6 5  6 5 = 2n  3 5  35  35 25  25 b. (1®) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n th×: 3n+3 + 2n+3 – 3n+2 + 2n+2 chia hÕt cho 6 §Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n: To¸n 7 Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ giao ®Ò) §Ò 1.3 A/ PhÇn ®Ò chung C©u 1 (2,5®iÓm): a. (1,75®) TÝnh tæng: M = 3 1 1 1 761 4 5   4   417 762 139 762 417.762 139 b. (0,75®) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc sau t¹i x = -1 x2 + x4 + x6 + x8 + … + x100 C©u 2 (1®iÓm): 3x  y 3 a. (0,5®) Cho tØ lÖ thøc x  y  4 tÝnh gi¸ trÞ cña x y b. (0,5®) Cho tØ lÖ thøc a  c chøng minh r»ng 2a  3b b d 2a  3b C©u 3 (2,5®iÓm): a. (1,5®) Cho hµm sè y = - 1 x vµ hµm sè y = x -4  2c  3d 2c  3d 3 2 * VÏ ®å thÞ hµm sè y = - 1 x 3 * Chøng tá M(3;-1) lµ giao cña hai ®å thÞ hµm sè trªn * TÝnh ®é dµi OM (O lµ gèc to¹ ®é) b. (1®) Mét «t« t¶i vµ mét «t« con cïng khëi hµnh tõ A  B, vËn tèc «t« con lµ 40km/h, vËn tèc «t« t¶i lµ 30km/h. Khi «t« t¶i ®Õn B th× «t« con ®· ®Õn B tríc 45 phót. TÝnh ®é dµi qu·ng ®êng AB. C©u 4 (2®iÓm): Cho  ABC cã gãc A = 900, vÏ ph©n gi¸c BD vµ CE (D  AC ; E  AB) chóng c¾t nhau t¹i O. a. (0,5®) TÝnh sè ®o gãc BOC b. (1®) Trªn BC lÊy ®iÓm M vµ N sao cho BM = BA; CN = CA chøng minh EN// DM c. (0,5®) Gäi I lµ giao cña BD vµ AN chøng minh  AIM c©n. B/ PhÇn ®Ò riªng C©u 5 A (2®iÓm): Dµnh cho häc sinh chuyªn a. (1®) Chøng minh r»ng ®a thøc sau kh«ng cã nghiÖm: P(x) = 2x2 + 2x + 5 4 b. (1®) Chøng minh r»ng: 2454.5424.210 chia hÕt cho 7263 C©u 5 B (2®iÓm): Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn a. (1®) T×m nghiÖm cña ®a thøc 5x2 + 10x b. (1®) T×m x biÕt: 5(x-2)(x+3) = 1 §Ò thi häc sinh giái huyÖn §Ò 1.4 M«n: To¸n 7 Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ giao ®Ò) A/ PhÇn ®Ò chung C©u 1 (1,5®iÓm): a. (0,75®) TÝnh tæng M = 5 4  27 3  4 3  (5 4 ) 23 47 47 23 b. (0,75®) Cho c¸c sè a1, a2, a3 …an mçi sè nhËn gi¸ trÞ lµ 1 hoÆc -1 BiÕt r»ng a1a2 + a2a3 + … + ana1 = 0. Hái n cã thÓ b»ng 2002 ®îc hay kh«ng? C©u 2 (2 ®iÓm) a. (1®) T×m x biÕt 1  2 y  1  4 y  1  6 y 18 24 6x b. (1®) T×m x, y, z biÕt 3x = 2y; 7y = 5z vµ x – y + z = 32 C©u 3 (1,5®iÓm) Cho h×nh vÏ, ®êng th¼ng OA lµ ®å thÞ hµm sè y = f(x) = ax (a  0) a. TÝnh tØ sè yo  2 xo  4 b. Gi¶ sö x0 = 5 tÝnh diÖn tÝch OBC y B y0 2 1 o A 1 2 C 3 4 5 X0 x C©u 4 (3®iÓm) 3 a. (1®) Mét «t« t¶i vµ mét «t« con cïng khëi hµnh tõ A  B, vËn tèc «t« con lµ 40km/h, vËn tèc «t« t¶i lµ 30km/h. Khi «t« t¶i ®Õn B th× «t« con ®· ®Õn B tríc 45 phót. TÝnh ®é dµi qu·ng ®êng AB. b. (2®) Cho  ABC, gäi M vµ N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AC vµ AB. Trªn tia ®èi cña tia MB lÊy ®iÓm D sao cho MD = MB, trªn tia ®èi cña tia NC lÊy ®iÓm E sao cho NE = NC. Chøng minh r»ng:  Ba ®iÓm E, A, D th¼ng hµng  A lµ trung ®iÓm cña ED B/ PhÇn ®Ò riªng C©u 5 A (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh chuyªn a. (1®) So s¸nh 8 vµ 5 + 1 b. (1®) Cho hai ®a thøc P(x) = x2 + 2mx + m2 vµ Q(x) = x2 + (2m+1)x + m2 T×m m biÕt P(1) = Q(-1) C©u 5 B (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn a. (1®) So s¸nh 2300 vµ 3200 b. (1®) TÝnh tæng A = 1 + 2 + 22 + … + 22010 §Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n: To¸n 7 Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ giao ®Ò) §Ò 1.5 A/ PhÇn ®Ò chung 1 1 1 3 3 3   0,6    25 125 625 C©u 1 (1,5 ®iÓm): (1®) TÝnh tæng: A = 9 7 11 + 4 4 4 4 4 4    0,16   9 7 11 5 125 625 a. (0,5®) T×m c¸c sè a1, a2, a3, … a9 biÕt a 9 a1  1 a2  2 a3  3 vµ a1 + a2 + a3 + … + a9 = 90    ...  9 9 8 7 1 C©u 2 (2 ®iÓm) a. (1®) T×m x, y biÕt 1  3y 1 5y 1  7 y   12 5x 4x b. (1®) ChØ ra c¸c cÆp (x;y) tho¶ m·n x  2 x  C©u 3 (1,5®iÓm) a. (1®) Cho hµm sè y = f(x) = x + 1 víi x ≥ -1 -x – 1 víi x < -1 * ViÕt biÓu thøc x¸c ®Þnh f * T×m x khi f(x) = 2 2 b. (0,5®) Cho hµm sè y = y2  9 =0 2 x 5 * VÏ ®å thÞ hµm sè * T×m trªn ®å thÞ ®iÓm M cã tung ®é lµ (-2), x¸c ®Þnh hoµnh ®é M (gi¶i b»ng tÝnh to¸n). C©u 4 (3®iÓm) a. (1®) Mét «t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B trong mét thêi gian dù ®Þnh víi vËn tèc 40km/h. Sau khi ®i ®îc 1/2 qu·ng ®êng AB th× «t« t¨ng vËn tèc lªn 50km/h trªn qu·ng ®êng cßn l¹i. Do ®ã «t« ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 18 phót. TÝnh qu·ng ®êng AB. b. (2®) Cho  ABC vu«ng c©n ë A, M lµ trung ®iÓm cña BC, ®iÓm E n»m gi÷a M vµ C. KÎ BH, CK vu«ng gãc víi AE (H vµ K thuéc ®êng th¼ng AE). Chøng minh r»ng: * BH = AK *  MBH =  MAK *  MHK lµ tam gi¸c vu«ng c©n B/ PhÇn ®Ò riªng 4 C©u 5 A (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh chuyªn a. (1®) T×m c¸c sè x, y, z tho¶ m·n ®¼ng thøc (x  2 )2 + (y  2) 2 + x  y  z = 0 b. (1®) T×m x, y, z biÕt: x + y = x : y = 3(x – y) C©u 5 B (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn a. (1®) T×m x biÕt: 2x + 2x+1 + 2x+2 + 2x+3 = 120 1 b. (1®) Rót gän biÓu thøc sau mét c¸ch hîp lÝ: A = I. PhÇn ®Ò chung C©u 1 (1,5®) a. (0,75®) - Nh©n 2 vÕ tæng B víi 5 b. (0,75®) 2 ®¸p ¸n 1.1 - LÊy 5B - B rót gän vµ tÝnh ®îc B = 1 1 1   49 49 (7 7) 2 64 4  2  4     2 7 7 343 5 2010  1 4 - Khai c¨n råi quy ®éng 2 ngoÆc - Thùc hiÖn phÐp chia ®îc kÕt qu¶ b»ng -1 2 29 C©u 2 (2®) a. (1®) - ¸p dông tÝnh chÊt d·y TSBN cho tØ sè (1) vµ (2) ®îc tØ sè (4) - Tõ tØ sè (3) vµ tØ sè (4) ta cã 6x + 12  x = 2 tï ®ã tÝnh ®îc y = 3 b. (1®) - ChuyÓn c¸c sè h¹ng ë vÕ ph¶i sang vÕ tr¸i - §Æt thõa sè chung ®a vÒ 1 tÝch b»ng 0 - TÝnh ®îc x = -1 C©u 3 (1,5®) (Mçi ®å thÞ cho 0,75®) y = - 2 x = - 2 x víi x  0 3 3 2 3 x víi x < 0 C©u 4 (3®) a. (1,5®) - Gäi tuæi anh hiÖn nay lµ x (x > 0), tuæi em hiÖn nay lµ y (y>0)  tuæi anh c¸ch ®©y 5 n¨m lµ x – 5 Tuæi cña em sau 8 n¨m n÷a lµ y + 8 Theo bµi cã TLT: x  5  y  8 vµ x - y = 8 3 4 Tõ ®ã tÝnh ®îc: x = 20; y = 12 - VËy tuæi anh hiÖn nay lµ 20 tuæi em lµ 12 b. (1,5®) - APE = APH (CH - CG  ) - AQH = AQF (CH - CG  ) - gãc EAF = 1800  E, A, F th¼ng hµng II. PhÇn ®Ò riªng C©u 5A (2®) a. (1,5®) - BiÕn ®æi S = 1 n 2 +(3 0 2 - §a vÒ d¹ng 3S – S = 2S - BiÕn ®æi ta ®îc S =  3 32 3n 1   ...  ) 2 2 2 2n  3n  1 4 (n  Z  ) b. (0,5®) - NghiÖm l¹i c¸c gi¸ trÞ 1, -1, 5, -5 vµo ®a thøc 5 - Gi¸ trÞ nµo lµm cho ®a thøc b»ng 0 th× gi¸ trÞ ®ã lµ nghiÖm C©u 5 B (2®) a. (1,5®) A=5+ 8 x2 A nguyªn  LËp b¶ng x -2 x 8 x2 -8 -6 nguyªn  x – 2  (8) -4 -2 -2 0 -1 1 1 3 2 4 4 6 8 10 V× x  Z  x = {-6; -2; 0; 1; 3; 4; 6; 10} th× A  Z b. (0,5®) 76 + 75 – 74 = 74 (72 + 7 – 1) = 7 . 55  55 4 ®¸p ¸n 1.2 I. PhÇn ®Ò chung C©u 1 (1,5®) a. (1®)- §a dÊu “ – “ ra ngoµi dÊu ngoÆc - T¸ch mét ph©n sè thµnh hiÖu 2 ph©n sè råi rót gän ®îc A = 1 1 n b. (0,5®) BiÕn ®æi råi rót gän ta ®îc x = - 3 4 C©u 2 (1,5®) a c e a. (1®)- BiÕn ®æi c¸c mÉu díi d¹ng lËp ph¬ng ®a vÒ d¹ng b  d  f - ¸p dông tÝnh chÊt d·y TSBN råi t×m x, y, z b. (0,5®) KÕt qu¶ x50 = 26 C©u 3 (2®) a. (1®) Gäi ®êng th¼ng (d) ®i qua O vµ M(-3;2) lµ ®å thÞ hµm sè d¹ng y = ax (a  0) tõ ®ã tÝnh a ®Ó x¸c ®Þnh hµm sè  OM lµ ®å thÞ hµm sè. - KiÓm tra ®iÓm N(3;-2) cã thuéc ®å thÞ hµm sè kh«ng?  kÕt luËn: O, M, N th¼ng hµng b. (1®) - Thu gän Q(x) = x3  x 2 2  bËc Q(x) lµ 3 1 1 1 1 1 ( ) 3  ( ) 2 - Q(- ) = = 8  4  3 2 2 2 2 2 16 - Q(x) = x 2 ( x  1) 2 lµ mét sè ch½n  Q(x)  Z (0,25®) (0,25®) (0,5®) C©u 4(3®) a. (1®) Gäi sè ngêi tæ A, tæ B, tæ C lÇn lît lµ x, y,z tØ lÖ nghÞch víi 14, 15, 21 1 1 1 ; ; Tõ ®ã tÝnh ®îc x = 30; y = 28; z = 20  x, y, z TLT víi 14 15 21 b. (2®) * BNA = PNA (c.c.c)  gãc NPA = 900 (1) -  DAM =  PAM (c.g.c) 6  gãc APM = 900 (2) Tõ (1) vµ (2)  gãc NPM = 1800  KÕt luËn * Gãc NAM = 450 ; gãc ANP = 650; gãc AMN = 700 II. phÇn ®Ò riªng C©u 5 A (2®) a. (1®) 222333 + 333222 = 111333.2333 + 111222.3222 = 111222[(111.23)111 + (32)111] = 111222 (888111 + 9111) 111 + 9111 = (888 + 9)(888110 – 888109.9 + … - 888.9109 + 9110) V× 888 = 13.69 (888110 – 888109.9 + …- 888109 + 9110)   KL 13 345 = (109345 – 4345) + (4345 – 1) + 1. v× 109345 – 4345 b. (1®) Ta cã 109 7  345 – 1 345 chia hÕt cho 7 d 1 4 7   109 C©u 5 B (2®) §¸p ¸n 2 a. (1®) VT: - §a tæng c¸c luü thõa b»ng nhau díi d¹ng tÝch vµ biÕn ®æi ®îc 212  n = 12 b. (1®) - Nhãm sè h¹ng thø nhÊt víi sè h¹ng thø 3 råi ®Æt TSC. Sè h¹ng thø 2 víi sè hµng thø 4 råi ®Æt TSC - §a vÒ mét tæng cã c¸c sè h¹ng  2 vµ 3 mµ UCLN(2;3) = 1 cho 6  tæng  ®¸p ¸n 1.3 I. PhÇn ®Ò chung C©u 1 (2,5®) 1 ;b= 1 ;c= 1 762 139 417 a. (2®) - BiÕn ®æi M díi d¹ng mét tæng råi ®Æt a = b. (0,5®) - Rót gän råi thay gi¸ trÞ a, b, c vµo ta tÝnh ®îc M = 3 762 (-1)2 + (-1)4 + (-1)6 + … + (-1)100 = 1 + 1 +1 + … + 1 = 50 C©u 2 (1®) a. (0,5®) ¸p dông tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc b. (0,5®) Tõ x 7 a c   ad  bc   y 9 b d a c a b 2a 3b 2a  3b 2a  3b 2a  3b 2c  3d          b d c d 2c 3d 2c  3d 2c  3d 2a  3b 2c  3d C©u 3 (2,5®) a. (1,5®) * VÏ ®å thÞ hµm sè y = - 1 x 3 * Tõ 2 hµm sè trªn ta ®îc ph¬ng tr×nh hoµnh ®é - 1 x = x -4 3 - Thay ®iÓm M(3; -1) vµo ph¬ng tr×nh hoµnh ®é ta ®îc - 1 . 3 = 3 – 4 = -1 3  M(3; -1) lµ giao cña 2 ®å thÞ hµm sè trªn. * Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é ta thÊy OMP vu«ng t¹i P  OM 2  OP 2  PM 2  12  32  OM  b. (1®) 1 9  10 (®v®d) 7 - §æi 45 phót = 45 h  3 h 60 4 - Gäi vËn tèc cña «t« t¶i vµ «t« con lµ v1 vµ v2 (km/h) t¬ng øng víi thêi gian lµ t1 vµ t2 (h). Ta cã v1.t1 = v2.t2 - V× vËn tèc vµ thêi gian lµ hai ®¹i lîng TLN  - TÝnh ®îc t2 = 3 4 v1 t 2  ; t 2 – t1 = 3 v2 t1 4 . 4 = 3 (h) T1 = 3  3  9 ( h ) 4 4 S = v2 . t2 = 3 . 30 = 90km  C©u 4 (2®) a. (0,5®) Cã gãc B + gãc C = 900 0  gãc OBC + gãc BCO = 90  450 (BD, CE lµ ph©n gi¸c) 2  gãc BOC = 1800 – 450 = 1350 b. (1®)  ABD =  MBD (c.g.c)  gãc A = gãc M = 900  DM  BC (1)  ECN =  ECA (c.g.c)  gãc A = gãc N = 900  EN  BC (2) Tõ (1) vµ (2)  EN // DM B I E A c. (0,5®) N M O D C  IBA =  IBM (c.g.c)  IA = IM thay  IAM c©n t¹i I II. PhÇn ®Ò riªng C©u 5 A (2®) a. (1®) P(x) = (x+1)2 + x2 + 1  1 víi  x 4 4 vËy P(x) kh«ng cã nghiÖm b. (1®) 2454 . 5424 . 210 = (23.3)54 . (2.33)24 . 210 = 2196 . 3126 7263 = (23 . 32)63 = 2189 . 3126 Tõ ®ã suy ra 2454 . 5424 . 210 72  63 C©u 5 B (2®) a. (1®) Cho 5x2 + 10x = 0  5x(x + 10) = 0  5 x  0  x  10  0  x  0   x  10 NghiÖm cña ®a thøc lµ x = 0 hoÆc x = -10 8 b. (1®) x  2  0 x  2 5(x-2)(x+3) = 1 = 50  (x-2)(x+3) = 0    x  3  0  x  3 VËy x = 2 hoÆc x = -3 ®¸p ¸n ®Ò 1.4 I. PhÇn ®Ò chung C©u 1 (1,5®) a. (0,75®) - BiÕn ®æi M díi d¹ng mét tæng 1 - §Æt 1  a ; b 23 47 - Rót gän råi thay gi¸ trÞ cña a, b vµo ®îc A = 119 b. (0,75®) XÐt gi¸ trÞ cña mçi tÝch a1a2, a2a3, …ana1  sè tÝch cã gi¸ trÞ b»ng 1 b»ng sè tÝch cã gi¸ trÞ b»ng -1 vµ b»ng v× 2002   n = 2002 2 C©u 2 (2®) n 2 1  2 y (1) 1  4 y ( 2) 1  6 y ( 3)   18 24 6x a. (1®) T×m x biÕt - ¸p dông tÝnh chÊt d·y TSBN cho tØ sè (1) vµ (3) ®îc tØ sè (4) - XÐt mèi quan hÖ gi÷a tØ sè (4) vµ (2)  6x = 2 . 24 = 48  x = 8 a c e b. (1®) - §a vÒ d¹ng b  d  f - ¸p dông tÝnh chÊt d·y TSBN  tÝnh x, y, z C©u 3 (1,5®) a. (0,75®) - Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é ta thÊy ®iÓm B(x0;y0)  ®å thÞ hµm sè y = f(x) = ax y0 =a x0 1 y  a=  0 2 x0 y0 2 y0  2   x0 4 x 0  4  y0 = ax0 Mµ A(2;1) b. (0,75®)  -  OBC vu«ng t¹i C 1 1  S OBC = OC.BC = OC. y0 2 2 1 5  5 2 2 Víi x0 = 5  S OBC = 6,25 (®vdt) C©u 4 (3®) a. (1®) - §æi 45 phót = 45 h  3 h 60 4 - Gäi vËn tèc cña «t« t¶i vµ «t« con lµ v1 vµ v2 (km/h) t¬ng øng víi thêi gian lµ t1 vµ t2 (h). Ta cã v1.t1 = v2.t2 - V× vËn tèc vµ thêi gian lµ hai ®¹i lîng TLN  - TÝnh ®îc t2 = 3 . 4 = 3 (h) 4  S = v2 . t2 = 3 . 30 = 90km t1 = v1 t 2  ; t 2 – t1 = 3 v2 t1 4 3 9  3  ( h) 4 4 9 b. (2®) -  MAD =  MCB (c.g.c)  gãc D = gãc B  AD // BC (1) -  NAE =  NBC (c.g.c)  gãc E = gãc C  AE // BC (2) Tõ (1) vµ (2)  E, A, D th¼ng hµng - Tõ chøng minh trªn  A lµ trung ®iÓm cña ED II. PhÇn ®Ò riªng C©u 5 A (2®) a. (1®) So s¸nh ta cã 2 < b. (1®) 8 vµ 5 E D N M B 5 1  2+6<  8 < ( 5  1) 2 A 5 +6=  8 5 5+ 1 C +5+1 - Thay gi¸ trÞ cña x vµo 2 ®a thøc - Cho 2 ®a thøc b»ng nhau ta tÝnh ®îc m = - 1 4 C©u 5 B (2®) a. (1®) Ta cã 2 300  (2 3 )100 3 200  (32 )100  3200 > 2300 b. (1®) - Nh©n hai vÕ cña tæng víi A víi 2 - LÊy 2A – A rót gän ®îc A = 2 2010  1 2 §¸p ¸n 1.5 I. phÇn ®Ò chung C©u 1 (1,5®: mçi ý ®óng 0,75®) a. A = 1 b. ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y TSBN ta tÝnh ®îc a1 = a2 = … = a9 = 10 C©u 2 (2®iÓm: mçi ý ®óng 1®) a. - ¸p dông tÝnh chÊt d·y TSBN cho tØ sè (1) vµ (3) ®îc tØ sè (4) - Tõ tØ sè (4) vµ tØ sè (2) 12 + 4x = 2.5x x = 2 - Tõ ®ã tÝnh ®îc y = - 1 b. 15 - V× vµ y  9  0 2 + 2x = 0 vµ y2 – 9 = 0 tõ ®ã t×m c¸c cÆp (x;y) x C©u 3 (1,5®) a. (1®) - BiÓu thøc x¸c ®Þnh f(x) = x  1 - Khi f(x) = 2  x  1 = 2 tõ ®ã t×m x b. (0,5®) - VÏ ®å thÞ hµm sè y = 2 x x2  2x  0 2 5 x y 0 0 5 2 O (0;0) A (5;2) 10 - BiÓu diÔn O(0;0); A(5;2) trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é  OA lµ ®å thÞ hµm sè y = - M  ®å thÞ y = 2 x 5 2 2 x  -2 = x  x = -5 5 5 C©u 4 (3®iÓm) a. (1®) 18 phót = 18  3 (h) 60 10 - Gäi vËn tèc vµ thêi gian dù ®Þnh ®i nöa qu·ng ®êng tríc lµ v1; t1, vËn tèc vµ thêi gian ®· ®i nöa qu·ng ®êng sau lµ v2; t2. - Cïng mét qu·ng ®êng vËn tèc vµ thêi gian lµ 2 ®¹i lîng TLN do ®ã: V1t1 = v2t2  v2 v1 v2  v1 100    t1 t 2 t1  t 2 3 B 3 2 (giê)  thêi gian dù ®Þnh ®i c¶ qu·ng ®êng AB lµ 3 giê - Qu·ng ®êng AB dµi 40 . 3 = 120 (km) b. (2®) - HAB = KCA (CH – GN)  BH = AK -  MHB =  MKA (c.g.c)   MHK c©n v× MH = MK (1) Cã  MHA =  MKC (c.c.c)  gãc AMH = gãc CMK tõ ®ã  gãc HMK = 900 (2) Tõ (1) vµ (2)   MHK vu«ng c©n t¹i M II. PhÇn ®Ò riªng C©u 5 A (2®) a. (1®) – V× ( x  2)  0 víi  x (y  2)  0 víi  y x  y  z  0 víi  x, y, z  t1  M K E H A C 2 2  ( x  2) 2  0   §¼ng thøc x¶y ra   ( y  2) 2  0  x yx 0  x  2    y   2 z  0   b. (1®)Tõ x + y = 3(x-y) = x : y  2y(2y – x) = 0 mµ y  0 nªn 2y – x = 0  x = 2y Tõ ®ã  x = 4 ; y = 2 3 3 C©u 5 B (2®) a. (1®) - §Æt 2x lµm TSC rót gän - BiÕn ®æi 120 díi d¹ng luü thõa c¬ sè 2 råi t×m x b. (1®) BiÕn ®æi tö vµo mÉu råi rót gän ®îc A = 1 4 11 ĐỀ THI THÔNG TIN PHÁT HIỆN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP THỊ Xà NĂM HỌC 2008 -2009 Môn: Toán 7 Bài 1: (3 điểm): Tính 1 2 2 3  1   18 6  (0, 06 : 7 2  3 5 .0,38)  : 19  2 3 .4 4      Bài 2: (4 điểm): Cho a) a2  c2 a  b2  c 2 b a c  chứng minh rằng: c b b2  a 2 b  a b) 2 2  a c a Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: 1 5 a) x   4  2 b)  15 3 6 1 x  x 12 7 5 2 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây � Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A  200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y  �biết: 25  y 2  8( x  2009)2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI Bài 1: 3 điểm 1 2 2 3  1   18 6  (0, 06 : 7 2  3 5 .0,38)  : 19  2 3 .4 4  =     6 15 17 38   8 19  109 =   ( :  . )  : 19  .  0.5đ 100 2 5 100   3 4  6 109  3 2 17 19   38  =    .  .  : 19   1đ 3   6  50 15 5 50   109 323  19    =    :  6  250 250  3 2 0.5 12  109 13  3  . =  6 10  19 506 3 253 .  = 30 19 95 = 0.5đ 0.5đ Bài 2: a) Từ a c  suy ra c 2  a.b c b a 2  c 2 a 2  a.b khi đó 2 2  2 b c b  a.b a ( a  b) a = b( a  b )  b 0.5đ 0.5đ 0.5đ a2  c2 a b2  c2 b   2 2  b2  c 2 b a c a 2 2 2 2 b c b b c b từ 2 2   2 2  1   1 a c a a c a 2 2 2 2 b c a c ba  hay 2 2 a c a 2 2 b a ba vậy 2 2  a c a b) Theo câu a) ta có: 0.5đ 1đ 0.5đ 0.5đ Bài 3: a) x 1  4  2 5 1  2  4 0.5đ 5 1 1 1 x   2  x   2 hoặc x   2 5 5 5 1 1 9 Với x   2  x  2  hay x  5 5 5 1 1 11 Với x   2  x  2  hay x   5 5 5 x 1đ 0.25đ 0.25đ b) 15 3 6 1 x  x 12 7 5 2 6 5 3 1 x x   5 4 7 2 6 5 13 (  )x  5 4 14 49 13 x 20 14  0.5đ 0.5đ 0.5đ 13 x 130 343 0.5đ Bài 4: Cùng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s 5.x  4. y  3.z và x  x  y  z  59 Ta có: 1đ x y z x  x  y  z 59      60 hay: 1 1 1 1  1  1  1 59 5 4 3 5 5 4 3 60 0.5đ 0.5đ Do đó: 1 x  60.  12 ; 5 1 x  60.  15 ; 4 1 x  60.  20 3 0.5đ Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m) Bài 5: -Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0.5đ  ADB =  ADC (c.c.c) a) Chứng minh 1đ �  DAC � suy ra DAB � Do đó DAB  200 : 2  100 �  200 (gt) b)  ABC cân tại A, mà A �  (180  20 ) : 2  80 ABC �  ABC đều nên DBC  600 0 0 0.5đ A 200 nên D 0 Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra �  800  600  200 . Tia BM là phân giác của góc ABD ABD nên �  100 ABM M C B Xét tam giác ABM và BAD có: � ABD ABM � AB cạnh chung ; BAM  �  200 ; �  DAB  100 Vậy:  ABM =  BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 6: 25  y 2  8(x  2009) 2 Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2 8(x-2009)2 + y2 =25 (*) 0.5đ 25 Vì y2  0 nên (x-2009)2  , suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1 8 0.5đ Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) ta có y2 =25 suy ra y = 5 (do y  �) 0.5đ 14 Từ đó tìm được (x=2009; y=5) 0.5đ ®Ò thi ¤-lim -pic huyÖn M«n To¸n Líp 7 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) 1 1 1 1    ...  1.6 6.11 11.16 96.101 Bµi 1. TÝnh Bµi 2. T×m gi¸ trÞ nguyªn d¬ng cña x vµ y, sao cho: 1 1 1   x y 5 T×m hai sè d¬ng biÕt: tæng, hiÖu vµ tÝch cña chóng tû lÖ nghÞch víi c¸c sè 20, Bµi 3. 140 vµ 7 Bµi 4. T×m x, y tho¶ m·n: x  1  x  2  y  3  x  4 = 3 Bµi 5. Cho tam gi¸c ABC cã gãc ABC = 500 ; gãc BAC = 700 . Ph©n gi¸c trong gãc ACB c¾t AB t¹i M. Trªn MC lÊy ®iÓm N sao cho gãc MBN = 40 0. Chøng minh: BN = MC. ®Ò thi ¤-lim -pic huyÖn M«n To¸n Líp 7 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: A 212.35  46.9 2  2 .3  8 .3 6 2 4 5  510.73  255.492  125.7  3  59.143 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n  2  2n 2  3n  2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: a. x  1 4 2    3, 2   3 5 5 b.  x  7  x 1   x  7 x 11 0 Bài 3: (4 điểm) a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 3 1 : : . Biết rằng tổng các bình phương của 5 4 6 ba số đó bằng 24309. Tìm số A. b) Cho a c a2  c2 a  . Chứng minh rằng: 2 2  c b b c b Bài 4: (4 điểm) 15 Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng � � c) Từ E kẻ EH  BC  H  BC  . Biết HBE = 50o ; MEB =25o . � � Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) � Cho tam giác ABC cân tại A có A  200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: c) Tia AD là phân giác của góc BAC d) AM = BC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7 Bài 1:(4 điểm): Thang điểm Đáp án a) (2 điểm) 212.35  46.92 510.73  255.492 10 212.35  212.34 510.73  5 .7 4 A   12 6 12 5  9 3 9 3 3 6 3 9 3 2 4 5  2 .3  8 .3  125.7  5 .14 2 .3  2 .3 5 .7  5 .2 .7 0,5 điểm 212.34.  3  1 510.73.  1  7   12 5  2 .3 .  3  1 59.73.  1  23  0,5 điểm 212.34.2 5 .7 .  6   12 5  9 3 2 .3 .4 5 .7 .9 1 10 7    6 3 2 10 3 b) (2 điểm) 3 n + 2 - Với mọi số nguyên dương n ta có: 3n  2  2n  2  3n  2n = 3n  2  3n  2n  2  2n = 3n (32  1)  2n (22  1) = 3n 10  2n 5  3n 10  2 n1 10 = 10( 3n -2n) Vậy 3n  2  2n 2  3n  2n M10 với mọi n là số nguyên dương. 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 1 điểm 0,5 điểm Bài 2:(4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2 điểm) 0,5 điểm 16 x 1 4 2    3, 2    3 5 5 x 1 4 16 2    3 5 5 5 1 4 14   3 5 5  x   x 1 2 1 3 x 2  1  x 2 3  3   x2 1  7  3 3  x21  5 3 3  b) (2 điểm)  x  7 x 1 0,5 điểm 0,5 điểm x 11 0 0,5 điểm 1   x  7  10   0   10  x 1 1   x  7    0   x  7     x  7   x  7 0,5 điểm x 1   x 7 x 10      1( x7)10 0   0,5 điểm    x 70 x 7 10  ( x 7) 1 x8 0,5 điểm Bài 3: (4 điểm) Đáp án a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. Theo đề bài ta có: a : b : c = 0,5 điểm 2 3 1 : : (1) 5 4 6 và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c 2 3 k   Từ (1)  2 3 1 = k  a  k ; b  k ; c  5 4 6 5 4 6 4 9 1 Do đó (2)  k 2 (   )  24309 25 16 36  k = 180 và k = 180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. Thang điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 17 + Với k = 180 , ta được: a = 72 ; b = 135 ; c = 30 Khi đó ta có só A = 72 +( 135 ) + ( 30 ) = 237 . b) (1,5 điểm) Từ 0,5 điểm a c  suy ra c 2  a.b c b a 2  c 2 a 2  a.b khi đó 2 2  2 b c b  a.b 0,5 điểm 0,5 điểm a ( a  b) a 0,5 điểm = b( a  b )  b Bài 4: (4 điểm) Thang điểm 0,5 điểm Đáp án Vẽ hình A I M B C H K E a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) � � AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) AMC = EMB (c.g.c ) Nên : 0,5 điểm  AC = EB � � Vì AMC = EMB  MAC = MEB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt ) � � MAI = MEK ( vì AMC  EMB ) AI = EK (gt ) Nên AMI  EMK ( c.g.c ) 0,5 điểm Suy ra � � AMI = EMK � Mà � + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) AMI � �  EMK + IME = 180o 18  Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) � � Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o o o o o � �  HBE = 90 - HBE = 90 - 50 =40 điểm o o o � � �  HEM = HEB - MEB = 40 - 25 = 15 điểm � BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM � � � Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngoài của tam giác ) 0,5 điểm 0,5 0,5 0,5 điểm Bài 5: (4 điểm) A 200 M D B C -Vẽ hình a) Chứng minh  ADB =  ADC (c.c.c) � � suy ra DAB  DAC � Do đó DAB  200 : 2  100 b)  ABC cân tại A, mà �  200 (gt) nên �  (1800  200 ) : 2  800 ABC A �  ABC đều nên DBC  600 Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra �  800  600  200 . ABD Tia BM là phân giác của góc ABD nên �  100 ABM 1điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Xét tam giác ABM và BAD có: � AB cạnh chung ; BAM  �  200 ; �  DAB  100 ABD ABM � Vậy:  ABM =  BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC 19