Tài liệu ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 CHỦ ĐỀ 3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Dạng 1 Tính diện tích hình phẳng 1. Diện tích hình thang cong Dạng 1: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox ( y  0 ) và hai đường thẳng x  a và x  b là: b S � f ( x ) dx a y x a O a x b (C ) : y  f ( x) y 0 x b Phương pháp giải: Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số y  f ( x) trên đoạn  a; b  . b Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân : �f ( x) dx . a b Chú ý: có 2 cách tính tích phân �f ( x) dx a + Cách 1: Nếu trên đoạn  a; b  hàm số f  x  không đổi dấu thì: b b a a f ( x )dx �f ( x ) dx  � + Cách 2: Lập bảng xét dấu hàm số f  x  trên đoạn  a; b  rồi khử trị tuyệt đối. Dạng 2: Cho hàm số x  f  y  liên tục trên  a; b  . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x  f  y  , trục Oy ( x  0 ) và hai đường thẳng y  a và y  b là: b S � f ( y ) dy a y b x 0 a y b (C ) : x  f ( y ) y a x O Trang 1 Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 2. Diện tích hình phẳng Dạng 1: Cho 2 hàm số y  f  x  và y  g  x  liên tục trên  a; b  . Khi đó diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  f  x  và y  g  x  và hai đường thẳng x  a và x  b là: b S � f ( x )  g ( x) dx a y xa (H ) O a xb (C1 ) : y  f ( x ) (C2 ) : y  g ( x) x b Phương pháp giải: Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f  x   g  x  trên đoạn  a; b  . b Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân �f ( x)  g ( x) dx . a Dạng 2: Cho hai hàm số y  f  x  và y  g  x  liên tục trên  a; b  . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  và y  g  x  là: S   �f ( x)  g ( x) dx .  Trong đó  ,  là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f  x   g  x   a �   �b  Phương pháp giải: Bước 1. Giải phương trình f  x   g  x   0 . Giả sử ta tìm được  ,  là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình  a �   �b  . Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số : f  x   g  x  trên đoạn   ;   .  Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân: f ( x)  g ( x) dx . �  Dạng 3: Cho hai hàm số x  f  y  và x  g  y  liên tục trên  a; b  . Khi đó diện tích của hình phẳng (H) y (C ) : x  g ( y ) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số x  f  y  và x  g  y  và hai đường thẳng2 y  a và y  b là: b S � f ( y )  g ( y ) dy y b b a a O (H ) y a x (C1 ) : x  f ( y ) Trang 2 Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 Phương pháp giải: Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f  y   g  y  trên đoạn  a; b  . b Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân �f ( y)  g ( y) dy . a Dạng 4: Cho hai hàm số x  f  y  và x  g  y  liên tục trên  a; b  . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các  g1 ( y )  g 2 ( y ) dy . đường x  f  y  và x  g  y  là: S  �  Trong đó  ,  là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f  y   g  y   a �   �b  Phương pháp giải: Bước 1. Giải phương trình f  y   g  y   0 . Giả sử ta tìm được  ,  là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình  a �   �b  . Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số : f  y   g  y  trên đoạn   ;   .  Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân: �f ( y)  g ( y) dy .  Dạng 5: khi tính diện tích giới hạn 3 hàm số trở lên thì phương pháp chung là vẽ đồ thị rồi dựa vào đồ thị để tính. Cách tính giới hạn của 3 hàm số: Cho 3 hàm số y  f  x  , y  g  x  và y  h  x  liên tục trên  a; b  . Khi đó diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số y  f  x  , y  g  x  và y  h  x  là: S Với: x2 x3 x1 x2 �f  x   g  x  dx  �h  x   g  x  dx + x1 là nghiệm phương trình: f  x   g  x  + x2 là nghiệm phương trình: f  x   h  x  + x3 là nghiệm phương trình: h  x   g  x  Trong đó: a  x1  x2  x3  b Tóm lại khi giải toán ta thường gặp các dạng sau: �y  f ( x ) b � �S � f ( x ) dx 1. Diện tích S của miền giới hạn: � y  0 �x  a; x  b a � �y  f ( x ) b � f ( x )  g( x ) dx 2. Diện tích S của miền giới hạn: �y  g( x ) � S  � �x  a; x  b a � �x  f ( y ) b � f ( y )  g( y ) dy 3. Diện tích S của miền giới hạn: �x  g( y ) � S  � �y  a; y  b a � Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) y  x 2  2 x  3, y  0, x  0, x  4 c) y  x 2  4 x  6, x  2, x  4 , trục Ox. b) y  x 3  4 x , y  0 , x  2 , x  4 d) y  x 3 , y  0, x  2, x  1 Trang 3 Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 e) y  x 1 x 4 , y  0, x  0, x  1 f) y  x 4  x 2  1, y  x 3  3 x , x  1, x  3 2 2 h) y  x  4 x , y  2 x  7  1, x  1; x  2 g) y  2 x 2  2 x , y  x 2  3 x  6, x  0, x  4 i) y  x3  3 x  1 x  1, x  1 , , trục Ox. x2 j) y  4x , y  0 , x  1, x  1 x 1 2 Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2x a) y   x  2  e , y  0 , x  0 , x  3 b) y  1  ln x , y  0, x  1, x  e x 1 e) y  ln x , x  , x  e , trục Ox. e ln x 2 x , x  e, x  1 , trục hoành. d) y  x.ln 2 x; y  0; x  1; x  e. c) y  ln x 1 , y  0, x  , x  e x e 1 h) y  log x , y  0, x  , x  10 10 f) y  g) y  x.e x ; x  1; x  2 ; trục Ox. 1 e i) y  ln x , y  0, x  , x  e j) y 1 x x 2 .e 2 , y  0, x  1, x  2 Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:  , trục Ox. 2 c) y  x  sin x; y  x; x  0; x  2. a) y  sin 2 x.cos3 x , x  0, x  e) y  sin 2 x  sin x  1, y  0, x  0, x  g) y  sin x 2 cos x; y  0; x  0; x   2  2 b) y  sin x  cos2 x, x  0, x   , trục hoành. d) y  x  sin 2 x; y  ; x  0; x  . f) y  sin x  2 cos x , y  3, x  0, x   h) Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) y  4  x 2 , y  x 2  2 x c) y  1 2 1 x , y   x2  3 4 2 e) y  x 2  2, y  4  x   y  tan 3 x; y  0; x   ; x  . 4 4 b) y  x 2  2 x , y  x  2 d) y  x2 1 , y 2 1  x2 f) y  x 2  2 x , y   x 2  4 x g) y  x , y  2  x 2 h) y  x 2  4 x  3 , y  x  3 Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) y  x 3  12 x, y  x 2 b) y  4  4 x 2 , y  1  x 4 c) y   4  x 2 , x 2  3y  0 d) y  1  1  x 2 , y  x 2 e) y  2 1  x 2 , y  2  1  x  f) y  4  x2 x2 ,y 4 4 2 Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) y  x  x  1  x  3 , y  0 c) y  x , x  y  2  0 , trục Ox. e) y  x , y  4  x , trục Ox. b) y  x , y  2  x, y  0 3 x  1 , y  0, x  0 x 1 3 3 f) y  x 2  x  , y  x , trục hoành. 2 2 d) y  Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: Trang 4 Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 1 , y  0, x  e x a) y  5 x 2 ; x  0; y  3  x , trục hoành. b) y  x , y  c) y  e x , y  2, x  1 d) y  ( x  1)5 ; y  e x ; x  1. e) y  e x ; y  e  x ; x  1. f) y  g) y  x 2  2 x  2, y  x 2  4 x  5, y  1 h) y  2 x 2 , y  x 2  2 x  1, y  2 i) y  2 x 2 , y  x 2  4 x  4, y  8 k) y  x 2 , 2 x  y  1  0, y  0 1 e 2 x , y  e x , x  1 Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: x2 27 a) y  x 2 , y  ,y 27 x x  2x  1 8 c) y  ( x  1)2 , y  ,y  8 x 1 2 b) y   x 2  6 x  5, y   x 2  4 x  3, y  3x  15 d) y  8  3 x  2 x 2 , y  2  9 x  2 x 2 , y  x  10 e) y  x 2  4 x  5, y  2 x  4, y  4 x  11 f) Bài 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) y 2  2 x , y  x , y  0, y  3 b) y 2  x  5  0, x  y  3  0 c) y 2  2 y  x  0, x  y  0 d) y 2  2 x  1, y  x  1 e) y  x 2 , x   y 2 f) x 2  y 2  8, y 2  2 x g) y 2  6 x , x 2  y 2  16 Bài 10. Tính diện tích các elip sau: a) x2 y2  1 16 4 b) h) y 2  (4  x )3 , y 2  4 x x2 y2  1 9 4 c) x2 y2  1 25 9 d) x2  y2  1 4 Bài 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) (C ) : y  x 3  3 x 2  3 x  1 , và tiếp tuyến với (C) tại A(0; 1). 2x  1 , y  0 , và tiếp tuyến với (C) tại A(-2; 1). x 1 c) ( P ) : y  x 2  4 x  5 và hai tiếp tuyến với (P) tại A(1;2) và B(4;5). b) (C ) : y  d) (C ) : y  x2  x  2 , trục Ox và tiếp tuyến của (C ) vẽ từ O. x 1 Bài 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) (C ) : y  x 3  2 x 2  4 x  3, y  0 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2. b) (C ) : y  x 3  3 x  2, x  1 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = –2. c) (C ) : y  x 2  2 x và tiếp tuyến với (C) tại điểm O(0 ; 0) và tại A(3; 3) trên (C). 1 3 x  3 x , và tiếp tuyến với (C) tại điểm M thuộc đồ thị có hoành độä x = 2 3 . 4 1 e) (C ) : y  x  , tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3. 2x2 x2  2x  1 f) (C ) : y  , y  0 , tiệm cận xiên của (C), x = –1 và ø x = 2 x2 d) y  Trang 5 Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 Dạng 2 Tính thể tích vật thể tròn xoay y y d f(x) f(x) O a b x c x O Quay quanh trục Ox Quay quanh trục Oy Dạng 1: Thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  , trục Ox và hai b � đường thẳng x  a và x  b  a  b  quay xung quanh trục Ox là: VOx   � �f  x  � �dx . 2 a y xa O x b (C ) : y  f ( x) a y0 Chú ý: Hàm số y  f  x  �0 b x x � a; b  và liên tục trên đoạn  a; b  . Dạng 2: Thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường x  f  y  , trục Oy và hai b � đường thẳng y  a và y  b  a  b  quay xung quanh trục Oy là: VOy   � �f  y  � �dy . a y b x 0 a yb (C ) : x  g ( y ) ya x O Trang 6 2 Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 y � a; b  và liên tục trên đoạn  a; b  . Chú ý: Hàm số x  f  y  �0 Dạng 3: Cho hai hàm số y  f  x  và y  g  x  liên tục, cùng dấu trên đoạn  a; b  . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số trên và hai đường thẳng x  a và x  b tròn xoay có thể tích là: VOx   b  a  b quay xung quanh trục Ox tạo nên một khối � g  x � � �f  x  � � � � � dx 2 2 a Dạng 4: Cho hai hàm số x  f  y  và x  g  y  liên tục, cùng dấu trên đoạn  a; b  . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số trên và hai đường thẳng y  a và y  b khối tròn xoay có thể tích là: VOy   b  a  b quay xung quanh trục Ox tạo nên một � g  y � � �f  y  � � � � � dx 2 2 a Tóm lại khi giải toán ta thường gặp các dạng sau: �y  f ( x ) � 1. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau: � y  0 quanh Ox một �x  a; x  b � b f 2  x  .dx . vòng là : VOx  � a �y  f ( x ) � 2. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau: �y  g( x ) quanh Ox một �x  a; x  b � b f 2  x   g 2  x  .dx . vòng là : VOx   � a �x  f ( y ) � 3. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau: � x  0 quanh Oy một �y  a; y  b � b 2 vòng là : VOy   f  y  .dy . � a �x  f ( y ) � 4. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau: �x  g( y ) quanh Oy một �y  a; y  b � b vòng là : VOy   �f  y   g  y  .dy . 2 2 a Bài 1. Tính thể tích hình khối sinh ra bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox: a) y  4 , x  2, x  1 , trục Ox. 2 x c) y  x 3  3 x  1, y  0, x  0, x  1 e) y  1 1 x 1 , x  2, x  4 , trục hoành. 2 x 1 b) y  1 3 x  x 2 , x  0, x  3 , trục Ox. 3 d) y  x 3  1, x  1, x  1 , trục hoành. 2x , x  0, x  1 , trục Ox. f) y  2 x 1 Trang 7 Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 h) y  x ln x , y  0, x  1, x  e g) y  x ln x , y  0, x  1, x  e Bài 2. Tính thể tích hình khối sinh ra bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox: a) y  sin x , y  0, x  0, x   4 b) y  cos2 x, y  0, x  0, x   c) y  sin 6 x  cos6 x , y  0, x  0, x   2 d) y  sin x, y  cos x, x    , x 4 2 Bài 3. Tính thể tích hình khối sinh ra bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox: a) y  b) y  x 2 , y  x, x  4 x x2 x3 ,y 4 8 c) y   x 2  4 x , y  x  2 d) y  e) y  x 2  4 x  6, y   x 2  2 x  6 f) y  4  x 2 , y  x 2  2 1 4 9 x  2x2  , y  0 4 4 2 x  x h) y  , y0 x 1 g) y   h) y  x 2  2 x , y   x 2  4 x h) ( x  2)2  y 2  9, y  0 Bài 4. Tính thể tích hình khối sinh ra bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox: a) y  x , y  0, x  3 2x  1 , y  0, x  0 x 1 1 e) y   1, y  0, y  2 x x g) y  ln x , y  0, x  2 c) y  b) y  xe x , y  0, x  1 2 d) y  2 x  x , y  0, x  3 f) y  x 3 , y  0, x  1 h) y  e x , y  2, x  1 Bài 5. Tính thể tích hình khối sinh ra bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Oy: a) x  ye y , x  0, y  1 b) y 2  4  x , x  0 c) x  2 , y  1, y  4 y d) y  x 2 , y  4 e) y  e x , x  0, y  e f) y  x 2 , y  1, y  2 Bài 6. Tính thể tích hình khối sinh ra bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox ; Oy: a) y  ( x  2)2 , y  4 c) y  x  1, y  2, y  0, x  0 2 b) y  x 2 , y  4 x 2 , y  4 d) y  2 x  x 2 , y  0 e) x 2   y  2  �1 f)  x �4  2  y 2 �1� g) y  x 2 , y  h) y  x 2 ( x  0), y  3 x  10, y  1 i) x2 y 2  �1 9 4 x j) x  y 2  0, y  2, x  0 Trang 8