Tài liệu Đề cương phương trình loga và bài toán có lời giải

http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết CHỦ ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN  Khái niệm: Là phương trình có dạng log a f  x   log a g  x  , (1) trong đó f  x  và g  x  là các hàm số chứa ẩn x cần giải.  Cách giải: a  0; a  1  - Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa  f ( x)  0  g ( x)  0 - Biến đổi (1) về các dạng sau: (1)  f ( x)  g ( x) a 1  Chú ý: - Với dạng phương trình log a f  x   b  f ( x)  a b - Đẩy lũy thừa bậc chẵn: log a x 2 n  2n log a x , nếu x > 0 thì n log a x  loga x n - Với phương trình sau khi biến đổi được về dạng  g  x  0 f  x  g  x   2 f x g x            http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 1/69 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết log a a x  x; - Các công thức Logarit thường sử dụng: a loga x  x x log a    log a x  log a y  y 1 log a b  log b a log a  xy   log a x  log a y; log an x m  m log a x; n Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) log 2  x 2  x  2   3. b) log3  2 x  1  log3  x  3  2. Lời giải: x2 a) Ta có: PT  x 2  x  2  8  x 2  x  6  0    x  3 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2; -3}. b) Điều kiện: x  3 . Khi đó PT  log3  2 x  1 x  3  log3 9  2 x2  5 x  3  9 x  4  2 x 2  5 x  12  0   3 . x   2 Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là x = 4. Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 2/69 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết a) log 2  x  4   3  2log 2 x. b) 3log8  x  2   log 2  3x  2  7  0. Lời giải: a) Điều kiện: x  0 . Khi đó PT  log 2  x  4   log 2 x 2  3  log 2  x 2  x  4   3  x3  4 x 2  8  x  2   x  2   x  2 x  4   0   x  1  5 .   x  1  5 2 Kết hợp ĐK x  0 . Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x  1  5 b) Điều kiện: x  2 . Khi đó PT  3log 23  x  2   log 1  3x  2   7  0 22  log 2  x  2   2 log 2  3x  2   7  0  log 2  x  2   log 2  3 x  2   log 2 27  0  x  10 128  x  2  2 2  log 2  0  128  x  2    3x  2   9 x  116 x  260  0   26  t / m  . 2 x  3 x  2   9  2 Vậy nghiệm của phương trình là x  10; x  26 . 9 Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: a) log 2  x  x  1  1 b) log 2 x  log 2  x  1  1 c) log 2  x  2   6log 1 3x  5  2 d) log 2  x  3  log 2  x  1  3 8 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 3/69 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Lời giải: a) Điều kiện: x  x  1  0  x  1; x  0 . Ta có: PT  x  x  1  2  x2  x  2  0  x  1; x  2 Vậy phương trình có nghiệm là x  1; x  2. b) Điều kiện: x  1 . Ta có phương trình tương đương với log 2  x  x  1  2  x 2  x  2  0  x  1; x  2 Vậy phương trình có nghiệm là x  1; x  2. c) Điều kiện: x  2 . Ta có: PT  log 2  x  2   log 2  3x  5  2   x  2  3x  5  4  3x 2  11x  6  0  x  3; x  2 3 Đối chiếu với đk ta được nghiệm của phương trình là x  3. d) Điều kiện: x  3 . Ta có: PT   x  3 x  1  8  x2  4 x  5  0  x  1; x  5 Đối chiếu với đk ta được nghiệm của phương trình là x  5. Ví dụ 4: Giải các phương trình sau: 2 3 a) lg  x  2   lg  x  3  1  lg 5 b) 2log8  x  2   log8  x  3  c) lg 5x  4  lg x  1  2  lg 0,18 d) log3  x 2  6   log3  x  2   1 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 4/69 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Lời giải: a) Điều kiện:  x2 0  x  3. x 3  0 Ta có: PT  lg  x  2 x  3  lg 2  x 2  5x  4  0  x  1; x  4. Đối chiếu với điều kiện pt có nghiệm là x  4. b) Điều kiện:  x2  x  3. x3 Ta có: PT  log8  x  2 x 3 2  2  x 2  8 x  16  0  x  4 (TM ). 3 Vậy PT có nghiệm là x  4. 5  5 x  c) Điều kiện:  4 x . 4  x  1 Ta có: PT  lg  5x  4  x  1  lg18  5x  4  x  1  18  5 x2  x  328  0  x  8; x   41 . 5 Đối chiếu với điều kiện nên phương trình có nghiệm là x  8.  x2  6  0 d) Điều kiện:  x 6. x  2  0 Ta có: PT  log3  x 2  6   log3 3  x  2   x 2  3x  0  x  0; x  3. Đối chiếu điều kiện PT có nghiệm x = 3. http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 5/69 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Ví dụ 5: Giải các phương trình sau: a) log 2  x  3  log 2  x  1  1 log5 2 c) log5  x  1  log 1  x  2   0 b) log 4 x  log 4 10  x   2 d) log 2  x  1  log 2  x  3  log 2 10 1 5 Lời giải: a) Điều kiện:  x3 0  x  1. x 1  0 Ta có: PT  log2  x  3 x  1  log 2 5  x 2  2 x  8  0  x  2; x  4 Đối chiếu điều kiện nên pt có nghiệm là x  2. b) Điều kiện:  x0  0  x  10. 10  x  0 Ta có: PT  log 4 x 10  x   2  x  2; x  8 Đối chiếu điều kiện nên PT có nghiệm x  8. c) Điều kiện:  x 1  0  x  2. x2 0 Ta có: PT  log5  x  1  log5  x  2   0  log5  x  1 x  2   0  x 2  x  3  0  x  1  13 2 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 6/69 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm là x  d) Điều kiện: 1  13 . 2  x 1  0  x  1. x3 0 Ta có: PT  log2  x  1 x  3  log 2 5  x 2  2 x  8  0  x  2; x  4 Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm x = 2. Ví dụ 6: Giải các phương trình sau: a) log9  x  8  log3  x  26  2  0 b) log3 x  log 3 x  log 1 x  6 3 c) 1  lg  x 2  2 x  1  lg  x 2  1  2lg 1  x  d) log 4 x  log 1 x  log8 x  5 16 Lời giải: a) Điều kiện:  x 8  0  x  8 . x  26  0 Ta có: PT  log9 81 x  8  x  26  2  0  x 2  29 x  28  0  x  1; x  28 Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm là x  1; x  28. b) Điều kiện: x  0 Ta có: PT  log3 x  2log3 x  log3 x  6  log3 x  3  x  27 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 7/69 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Vậy PT có nghiệm x  27. c) Điều kiện: 1  x  0  x  1 . Ta có: PT  1  lg  x  1  lg  x 2  1  lg 1  x   lg  x 2  1  1  x 2  9  x  3 2 2 Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm x  3 . d) Điều kiện: x  0 . 60 1 1 1 60 17 Ta có: PT  log 2 x  log 2 x  log 2 x  5  log 2 x   x  2 (TM ) 2 4 3 17 60 17 Vậy PT có nghiệm là x  2 . Ví dụ 7: Giải các phương trình sau: a) 2  lg  4 x2  4 x  1  lg  x 2  19   2lg 1  2 x  b) log 2 x  log 4 x  log8 x  11 c) log 1  x  1  log 1  x  1  1  log d) log 1  5x 1  25x   2 2 2 1 2 7  x  6 Lời giải: a) Điều kiện: 1  2 x  0  x  1 . 2 Ta có: lg  4 x2  4 x  1  lg  2 x  1  2lg 1  2 x  2 PT  2  lg  x2  19   0  x 2  19  100  x  9 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 8/69 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm là x  9. b) Điều kiện: x  0 1 1 Ta có: PT  log 2 x  log 2 x  log 2 x  11  log 2 x  6  x  64 TM  2 3 Vậy PT có nghiệm x  64. x 1  0  c) Điều kiện:  x  1  0  1  x  7 . 7  x  0 Ta có: PT  log 1  x  1 x  1  log 1 2 2 Kiểm tra điều kiện chỉ có nghiệm x  1 1  73 . 7  x   2 x2  x  9  0  x  2 4 1  73 thỏa mãn. 4 d) Điều kiện: 5x1  25x  0  5x  5  5x   0  0  5x  5  x  1 . Ta có: PT  5 x 1 1  25  6 x 2 2 2  1  5 x  2  x  log5 2   6 2   6   5x   5.5x  6  0   x   x  log5 3 5  3   Vậy PT có nghiệm là x  log5 2 vµ x  log5 3. Ví dụ 8: Giải các phương trình sau: a) log x  2 x 2  7 x  12   2 b) log x  2 x 2  3x  4   2 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 9/69 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết d) log x  x 2  2   1 c) log 2 x  x 2  5 x  6   2 Lời giải: 2 x 2  7 x  12  0 a) Điều kiện:   x 0. x  0  x  3 TM  Ta có: PT  2 x 2  7 x  12  x 2  x 2  7 x  12  0    x  4 ( L) Vậy PT có nghiệm x  3.  3  41  x  4  3  41 2 x 2  3 x  4  0 b) Điều kiện:    x 3  41 4 x  0  x   4  x  0  x  1  L  Ta có: PT  2 x 2  3x  4  x 2  x 2  3x  4  0    x  4 (TM) Vậy PT có nghiệm x  4.  x  3   x2  5x  6  0 x  3 c) Điều kiện:  .    x  2   0 x2  x  0  x  0 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 10/69 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết  5  97 TM  x  6 Ta có: PT  x 2  5 x  6  4 x 2  3x 2  5 x  6  0   5  97   L  x  6 Vậy PT có nghiệm x  5  97 . 6  x  2   x2  2  0    x   2  x  2 . d) Điều kiện:  x  0  x  0   x  1  L  Ta có PT  x 2  2  x  x 2  x  2  0    x  2 (TM ) Vậy PT có nghiệm là x  2. Ví dụ 9: Giải các phương trình sau: a) log3 x5  9 x 2  8x  2   2 b) log 2 x  4  x 2  1  1 15  2 1  2x d) log x2  3  2 x   1 c) log x e) log x2 3 x  x  3  1 f) log x  2 x 2  5 x  4   2 Lời giải: http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 11/69 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 5  9 x 2  8 x  2  0 x   3.  a) Điều kiện: 3x  5  0 4 3x  5  1 x   3  Ta có: PT  9 x 2  8 x  2   3x  5  x   2 Vậy PT có nghiệm là x   23 TM  22 23 . 22  x2  1  0  x  2   b) Điều kiện: 2 x  4  0   3 x    2 2 x  4  1 x  1 Ta có: PT  x 2  1  2 x  4  x 2  2 x  3  0   TM  x  3 Vậy PT có nghiệm x  1; x  3. x  0  15 1 c) Điều kiện:  00 x . 2 1  2 x x  1  1  x  TM   15 5  x 2  15 x 2  2 x  1  0   Ta có: PT  1 1 2x x    L 3  http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 12/69 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 1 Vậy PT có nghiệm là x  . 5  x  0  x2  0   d) Điều kiện: 3  2 x  0   x  1 .  x 2  1  3 x   2  x  1  L Ta có: PT  x 2  2 x  3  0    x  3 (TM ) Vậy PT có nghiệm là x  3.  x 2  3x  0    x  3  13 e) Điều kiện:  x  3  0   . 2 2   x  0  x  3x  1 x 1 Ta có: PT  x 2  2 x  3  0    x  3 Kiểm tra điều kiện thì x  1 là nghiệm cần tìm. x  0 x0  f) Điều kiện: 2 x 2  5 x  4  0  . x 1   x 1   x  1 Ta có: PT  x 2  5 x  4  0   TM  x  4 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 13/69 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Vậy PT có nghiệm là x  1; x  4. Ví dụ 10: Giải các phương trình sau: 2 1 a) log9  x 2  5 x  6   log 2 b) 1 log 2 2  x  3  3 x 1  log 3 x  3 2 1 8 log 4  x  1  log 2 4 x 4 Lời giải: a) Điều kiện: x  1; x  3 . Khi đó PT  log3 x 2  5 x  6  log3  x2  5x  6   x  1 x  3 2   x  2  x  3   x  1 x  3 2 x 1  log3 x  3 2  2 x  2  x 1 1 TH1: x  2 ta có: 1  2 x  4  x  1  x  3 (loại). TH2: 1  x  2 ta có: 1  2 x  4  x  1  x  Vậy x  5  tm  . 3 5 là nghiệm của PT đã cho. 3 b) Điều kiện: x  0; x  1 . Ta có: PT  log 2  x  3  log 2 x  1  log 2 4 x  log 2  x  3 x  1   log 2 4 x   x  3 x  1  4 x.  x  1 (lo¹i) TH1: Với x  1 ta có:  x  3 x  1  4 x  x 2  2 x  3  0   . x  3 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 14/69 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết  x  3  2 3 . TH2: Với 0  x  1 ta có:  x  31  x   4 x  x 2  6 x  3  0   x   3  2 3 ( lo ¹ i )  Vậy x  3; x  3  2 3 là nghiệm của PT đã cho. Ví dụ 11: Giải các phương trình sau: 1 x a) lg  3x  24 x   2  lg16  lg 4 4 2 b) 1 1 lg  x 2  x  5  lg 5 x  lg 2 5x c) log 2  x2  x  1  log 2  x2  x  1  log 2  x 4  x 2  1  log 2  x 4  x 2  1 Lời giải: a) Điều kiện: 3  2 x  3x  2 4  x  200 4 x 2 4 x  0 . Khi đó: PT  lg  3  2 x 4 x   lg100  lg 2  lg 4  3x  24 x  200.2 x  3x  16.2 x  200.2 x  3x  x 2 216  6 x  216  x  3  tm  . x 2 Vậy x  3 là nghiệm duy nhất của PT đã cho. 1  21 x  0 b) Điều kiện:  2 x . 2 x  x  5  0 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 15/69 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết x  2 Khi đó: PT  lg x 2  x  5  lg1  x 2  x  5  1  x 2  x  6  0    x  3  lo¹i  Vậy là nghiệm của PT đã cho là x  2. c) Ta có: PT   x 2  x  1 x 2  x  1   x 4  x 2  1 x 4  x 2  1   x 2  1  x   x 2  1  x    x 4  1  x 2   x 4  1  x 2    x 2  1  x 2   x 4  1  x 4 2 2 x  0  x 4  x 2  1  x8  x 4  1  x8  x 2    x  1 Vậy x  0; x  1 là nghiệm của PT đã cho. Ví dụ 12: Số nghiệm của phương trình log5  x  4   1  2log 25 x là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải: Điều kiện: x  0 . Khi đó PT  log5  x  4  1  2log52 x  log5  x  4   log5 5  log5 x x  1  log5  x  x  4    log5 5  x 2  4 x  5    x  5 Kết hợp điều kiện suy ra PT có nghiệm duy nhất x  1 . Chọn A. Ví dụ 13: Số nghiệm của phương trình ln  x 2  2 x  3  ln  x  3  ln  x  1 là: http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 16/69 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải:  x2  2 x  3  0  Điều kiện:  x  3  0  x  1 . Khi đó PT  ln  x  1 x  3  ln  x  3  ln  x  1  x 1  0 2 2 2  ln  x  1 x  3   ln  x  1   x  1 x  3  x  1   x  1  x  3  1  0     x  1  x 1  0    x  4 2  x  3  1  x  2 Kết hợp điều kiện suy ra PT vô nghiệm. Chọn A. Ví dụ 14: Gọi n là số nghiệm của phương trình log 2  x  2   3log8  3x  5  2  0 . Khi đó: A. n  1 . B. n  2 . C. n  0 . D. n  3 . Lời giải: Ta có: log2  x  2  3log8  3x  5  2  0  log 2  x  2   log 2  3x  5  2   x  2 3x  5  4  3x 2  11x  6  0  x  3; x  2 3 Đối chiếu điều kiện loại nghiệm x  2 , suy ra PT có nghiệm duy nhất x  3  n  1 . Chọn A. 3 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 17/69 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Ví dụ 15: Số nghiệm của phương trình log 2  2x  4   x  log 2  2x  12   3 là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải: PT  log 2  2 x  4   log 2  2 x  12   x  3  log 2 Đặt t  2 x  0  2x  4 2x  4  x  3   2 x 3 2 x  12 2 x  12 t4 t t  8  lo¹i    t 2  4t  32  0   t  12 8 t  4  x  2 Vậy x  2 là nghiệm của PT đã cho. Chọn A. Ví dụ 16: Số nghiệm của phương trình log 2 x  1  log 1  5  x   3log8  x  3 là: 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải: Điều kiện: 5  x  3 . Khi đó PT  log 1 1 22  x  1 2  log 2  5  x   3log 2  x  3 3  log 2  x  1  log 2  5  x   log 2  x  3  5  17 x  2   x  1 5  x   x  3  x 2  5 x  2  0    x  5  17  2 t / m .  lo¹i  http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 18/69 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Vậy nghiệm của PT là x  5  17 . Chọn A. 2 1 Ví dụ 17: Tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình log3  x 2  2 x  3  log 2 A. T = 25. B. T = 26. C. T = 29. 3  x  1  1 là: D. T = 30. Lời giải:  x2  2 x  3  0 Điều kiện:   x  1. x 1  0 x2  2 x  3 Khi đó PT  log3  x  2 x  3  log3  x  1  log3 3  log3  log3 3 x 1 2 x2  2 x  3 x  0   3  x 2  2 x  3  3x  3  x 2  5 x  0   t / m x 1 x  5 Do đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng 25. Chọn A. Ví dụ 18: Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2log 2  2 x  2   log 2  x  3  2 . Tổng các phần tử của tập 2 S bằng: A. 8 . B. 6  2 . C. 4  2 . D. 8  2 . Lời giải: http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 19/69 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết  2 x  2  0 x 1 .  Điều kiện:  2 3 x  3 0 x      Khi đó PT  2log 2  2 x  2   2log 2 x  3  2  log 2  2 x  2   log 2 x  3  log 2 2   2 x  2  x  3  2 x 3 TH1: Với x  3. PT   2 x  2  x  3  2  2 x 2  8x  4  0  x  2  2. TH2: Với 1  x  3. PT   2 x  2  3  x   2  2 x 2  8x  8  0  x  2.   Vậy S  2; 2  2  T  4  2 . Chọn C. Chú ý: log a  f  x  2n  2n log a f  x  . Ví dụ 19: Gọi S là tập nghiệm của phương trình log 4  x  1  2  log 2 4  x  log8  4  x  . Tổng các 3 2 phần tử của tập S bằng: A. 4  2 6. B. 4  2 6. C. 2. D. 4  2 6. Lời giải: Điều kiện: 4  x  4, x  1 PT  log 2 x  1  log 2 4  log 2  4  x   log 2  4  x   4 x  1   4  x  4  x  x  2 TH1: Với 4  x  1 ta có 4 x  4  16  x 2  x 2  4 x  12  0    x  2.  x  6 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 20/69