Tài liệu Đề cương hàm số lũy thừa mũ và loga bài toán có lời giải

Chủ đề 3: HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT I. HÀM SỐ LŨY THỪA 1. Định nghĩa: Hàm số y  x với   , được gọi là hàm số lũy thừa. 2. Tập xác định Tập xác định của hàm số y  x là:  với  là số nguyên dương  \ 0 với  là số nguyên âm hoặc bằng 0.   0;   với  không nguyên. 3. Đạo hàm Hàm số y  x với   có đạo hàm với mọi x  0 và  x  '   .x 1 4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng  0;    y  x  0  x   0;     Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm 1;1  Khi   0  y '   x  '   .x 1  0  x   0;    hàm số luôn đồng biến Trong trường hợp này lim x  ; lim x  0 do đó đồ thị hàm số không có đường tiệm cận x   x 0 Khi   0  y '   x  '   .x 1  0  x   0;    hàm số luôn nghịch biến Trong trường hợp này lim x  0; lim x   do đó đồ thị hàm số nhận trục Ox là đường tiệm cận x  x 0 ngang và trục Oy là đường tiệm cận đứng. 5. Đồ thị hàm số lũy thừa y  x a trên khoảng  0;  Đồ thị hàm số y  x luôn đi qua điểm I 1;1 . Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với sỗ mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: Hàm số: y  x3  x  Hàm số: y  x 4 Hàm số: y  x 1 3 .  x  0 .  x  0 . II. HÀM SỐ MŨ 1. Định nghĩa a  0 . Hàm số y  a x được gọi là hàm số mũ cơ số a. Cho số thực  a  1 2. Tập xác định Tập xác định của hàm số y  a x là : D  Do y  a x  0; x  suy ra tập giá trị của hàm số y  a x là T   0;   3. Đạo hàm  a   a x x ln a Đạo hàm:  a u   a u ln a.u '   e x   e x . Công thức giới hạn: lim t 0  e   e .u ' u et  1  1. t u Với hàm số y  a x ta có: y '  a x ln a  Với a  1 khi đó y '  a x ln a  0. Hàm số luôn đồng biến Trong trường hợp a  1 ta có lim y  lim a x  0 do đó đồ thị hàm số nhận trục hoành là tiệm cận ngang x   x  Với 0  a  1 khi đó y '  a x ln a  0. Hàm số luôn nghịch biến Trong trường hợp a  1 ta có lim y  lim a x  0 do đó đồ thị hàm số nhận trục hoành là tiệm cân ngang x  x  4. Đồ thị hàm số y  a x Đồ thị hàm số y  a x nhận trục Ox là tiệm cận ngang và luôn đi qua các điểm  0;1 và 1; a  Đồ thị hàm số y  a x nằm phía trên trục hoành  y  a x  0x   III. HÀM SỐ LOGARIT 1. Định nghĩa a  0 Cho số thực  . Hàm số y  log a x được gọi là hàm số lôgarít cơ số a. a  1 2. Tập xác định  Hàm số: y  log a x  0  a  1 có tập xác định: D   0;   Do log a x   nên hàm số y  log a x có tập giá trị là T  . Hàm số y  log a  P  x   điều kiện: P  x   0. Nếu a chứa biến x thì ta bổ sung điều kiện 0  a  1. Đặc biệt: y  log a  P  x   điều kiện: P  x   0 nếu n lẻ; P  x   0 nếu n chẵn. n 3. Đạo hàm u u 1 Đạo hàm:  log a u     log a x   . . Đặc biệt:  log a u   u ln a u ln a x ln a 4. Tính chất Với hàm số y  log a x  y '   1 x   0;    . Do đó: x ln a Với a  1 ta có  log a x  '  1  0  Hàm số luôn đồng biến trên khoảng  0;   . x ln a Trong trường hợp này ta có: lim y   do đó đồ thị hàm số nhận trục tung là tiệm cận đứng. x 0 1  0  Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng  0;   . x ln a  Với 0  a  1 ta có:  log a x  '   Trong trường hợp này ta có: lim y   do đó đồ thị hàm số nhận trục tung là tiệm cận đứng. x 0 5. Đồ thị hàm số y  loga x Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy và luôn đi qua các điểm 1;0  và  a;1 và nằm phía bên phải trục tung vì có xác định là D  0;   . Đồ thị nhận trục tung là tiệm cận đứng. tập  Nhận xét: Đồ thị hàm số y  a x và y  log a x,  0  a  1 đối xứng nhau qua đường thẳng y  x, (góc phần tư thứ nhất và thứ 3 trong hệ trục tọa độ Oxy).  DẠNG 1. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT 1 Ví dụ 1: Tìm tập xác định D của hàm số y   9  x 2  3  log 2  x  1 . A. D  1;   . C. D   3;3 . B. D  1;3 . D. D  1;3. Lời giải: 9  x 2  0 3  x  3   1  x  3. Hàm số đã cho xác định khi  1 x  1 0 x     Vậy D  1;3 . Chọn B Ví dụ 2: Tìm tập xác định D của hàm số y   x 2  x  2  A. D   1; 2  . B. D  \  1; 2  .  log100 C. D  \ 1; 2. D. D  Lời giải: Ta có:  log100  2  Vậy D    hàm số y   x 2  x  2  \ 1; 2. Chọn C.  log100  x  1 . xác định khi x 2  x  2  0   x  2 Ví dụ 3: Tìm tập xác định D của hàm số y   x  x 2   32 x 1 e A. D   1  C. D   ;1 .  2  B. D   0;1 . \ 0;1.  1  D. D   ;1 . 2  Lời giải: Do 32 x1  0  x  nên hàm số y   x  x 2   32 x 1 xác định khi x  x2  0  0  x  1. ; e  e Vậy D   0;1 . Chọn B. Ví dụ 4: Tìm tập xác định D của hàm số y  2019 3  A. D   ; 2 . 2  3  B. D   ; 2  . 2  4 x2  log 2  2 x  3 C. D   2; 2. Lời giải: 4  x 2  0 2  x  2 3    x  2. Hàm số đã cho xác định khi  2 2 x  3  0 2 x  3  0 3  Vậy D   ; 2 . Chọn A. 2  3  D. D   ; 2  2  http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Ví dụ 5: Tìm tập xác định D của hàm số y  2019x 1  1  log 2  x  2  2 A. D   1;   . B. D   1;   \ 2. C. D   1;   \ 2. D. D  0;   \ 2. Lời giải: 2019 x 1  1  0 2019 x 1  20190 x 1  0  x  1 .    Hàm số đã cho xác định khi  x  2 x  2 x  2  0 x  2 Vậy D   1;   \ 2. Chọn B. Ví dụ 5: Tìm tập xác định D của hàm số y  log 2 x 3   4  x x4 A. D   ; 4    3;4  . B. D   ; 4    3;4. C. D   ; 4    3;   \ 4. D. D   ; 4   3;   \ 4. Lời giải:  x  3  x 3 0      x  4  D   ; 4    3; 4  . Chọn A. Hàm số đã cho xác định khi  x  4   4  x  0 x  4 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 8/89 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Ví dụ 6: Tìm tập xác định D của hàm số y  3x  1  log  x  2  B. D   0;   \ 2 A. D   2;   . 2018 C. D  0;   \ 2. D. D   2;   Lời giải: 3x  30 x  0 . Chọn C.  Hàm số đã cho xác định khi  x  2 x  2 Ví dụ 7: Tìm tập xác định D của hàm số y  1 log3  2 x 2  x  1  A. D   ;0   ;   . 2  1   1  B. D   ;0    ;   \  ;1 . 2   2  1   1  C. D   ;0   ;   \  ;1 . 2   2  1  D. D   ;0    ;   . 2  Lời giải:  1  1 x   2  x  2 2 x 2  x  0   Hàm số đã cho xác định khi     x  0 2 x0 log 3  2 x  x   0   2 x 2  x  1  x  1; x  1  2 1   1  Do đó D   ;0    ;   \  ;1 . Chọn B. 2   2  http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 9/89 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Ví dụ 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y   3x 2  2mx  3 2 xác định với mọi x A. 7. B. 6. C. 4. D. 5. Lời giải: Hàm số đã cho xác định với mọi x   3x2  2mx  3  0  x   a  1  0   3  m  3 2  '  m  9  0  Kết hợp với m  có 5 giá trị nguyên của tham số m. Chọn D. Ví dụ 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  100;100  để hàm số y  log 2  x 2  2 x  m  1 xác định với mọi x  A. 199. B. 200. C. 99. D. 100. Lời giải: Hàm số đã cho xác định với mọi x   x 2  2 x  m  1  0  x   a  1  0  m0  '  m  0 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 10/89 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết  m  Kết hợp với   có 99 giá trị nguyên của tham số m. Chọn C.  m   100;100  Ví dụ 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  ln  m  1 x 2  2  m  3 x  1 có tập xác định là . A. 3. B. 5. C. 4. D. 2. Lời giải: 1  TH1: Với m  1  y  ln  4 x  1  TXĐ: D   ;  . 4  TH2: Với m  1. Hàm số đã cho xác định với mọi x    m  1 x2  2  m  3 x  1  0  x   a  m  1  0 m  1     2  m  5.  2 2  '   m  3   m  1  0 m  7m  10  0  Kết hợp với m  có 2 giá trị nguyên của tham số m. Chọn D. Ví dụ 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  10;10  để hàm số y  log 2  x 2  2 x  m  xác định với mọi x   0;   . A. 8. B. 7. C. 9. D. 18. Lời giải: http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 11/89 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Hàm số đã cho xác định với mọi x   0;    x2  2 x  m  0  x   0;     m  x 2  2 x  g  x  x   0;    m  min g  x   0;  Xét g  x   x 2  2 x  x   0;    ta có: g   x   2 x  2  0  x  1 lim g  x   0; lim  ; g 1  1 nên min g  x   1. Do đó m  1 x 0  0;  x   m  Kết hợp với   có 8 giá trị nguyên của tham số m. Chọn A.  m   10;10  Ví dụ 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y  log  x 2   m  2  x  2m xác định với mọi x   3;   . A. 0. B. 3. C. 2. D. 1. Lời giải: Hàm số đã cho xác định với mọi x   3;    x2   m  2  x  2m  0 x   3;      x  m  x  2  0  x   3;     x  m  0 x   3;     x  m  x   3;     m  3. Kết hợp với m    có 2 giá trị của tham số m. Chọn C. http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 12/89 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Ví dụ 13: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  log 2  m  2  x 2  2  m  2  x  (m  3)  có tập xác định là A. m  2 . B. m  2 . C. m  2. D. m  2. Lời giải: Hàm số có tập xác định D   f  x    m  2 x 2  2  m  2 x   m  3  0, x  * .  TH1: m  2  0  m  2  f  x   5  0.  m  2  0 m  2  TH2: m  2  0  m  2  *     m  2. 2   0   m  2    m  2  m  3  0 Kết hợp với 2 TH, suy ra m  2 Chọn C. Ví dụ 14: Để hàm số y  1  log 7  x 2  1  log 7  mx 2  4 x  m  có tập xác định là . Tích tất cả các giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bằng : A. 60. B. 120. C. 36. D. 24. Lời giải: Để hàm số có tập xác định là thì 1  log7  x 2  1  log 7  mx 2  4 x  m   0, x  2 2  7 x  7  mx  4 x  m  2 ,  x   mx  4 x  m  0 2   g1  x    7  m  x  4 x  7  m  0   x  2  g 2  x   mx  4 x  m  0   http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 13/89 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết a  7  m  0; 1  4  ( 7  m )2  0 m  1  2  m  5   m  3;4;5  T  3.4.5  60 0 4 0 a  m  ;    m   2 2 Chọn A.  DẠNG 2. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y  22 x 2  x 1 A. y '  22 x  x. B. y '  22 x 2 C. y '   4 x  1 .22 x 2  x 1 2  x 1 ln 2. D. y '   2 x  1 .22 x ln 2. 2  x 1 ln 2. Lời giải: Ta có: y  22 x 2  x 1  y '  22 x 2 2 .ln 2.  2 x 2  x  1   4 x  1 .22 x  x 1 ln 2. Chọn C.  x 1 Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số y  x.e x A. y '   2 x  1 e x 2 x 2 x . B. y '   2 x 2  x  e x . 2 x . D. y '   2 x 2  x  2  e x C. y '   2 x 2  x  1 e x . 2 x 2 x . Lời giải: Ta có: y '  e x 2 x   x ex 2 x   e x2  x  x.e x 2 x .  2 x  1  e x 2 x  2x 2  x  1 . Chọn C. http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 14/89 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số y  A. y '  C. y '  x 1 4x 1  2  x  1 ln 2 22 x B. y '  1  2  x  1 ln 2 2 D. y '  x2 1  2  x  1 ln 2 22 x 1  2  x  1 ln 2 2x 2 Lời giải: Ta có y '  Hay y '  4 x   4 x  '.  x  1 4  x 2 x 4 x  4 x ln 4.  x  1 4 1  2  x  1 ln 2  1  2  x  1 ln 2    42 x 42 x 4x 1  2  x  1 ln 2 . Chọn A. 22 x Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số y  log 2  x 2  x  1 A. y '  2x 1 . x  x 1 B. y '  2x 1 . log 2  x  x  2  .ln 2 C. y '   2 x  1 ln 2 . D. y '  2x 1 .  x  x  1 ln 2 2 x  x 1 2 2 2 Lời giải: http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 15/89 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Ta có y '  x x 2 2  x  1  x  1 ln 2  2x 1 . Chọn D.  x  x  1 ln 2 2 Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số y  4 2ax 2  bx 4  1 ax  bx3 A. y '  4  2ax 2  bx  1 4 3 4ax  4bx3 C. y '  4  2ax 2  bx  1 4 3 . B. y '  . D. y '  ax  bx3 4 2ax 2  bx 4  1 4ax  4bx3 4 2ax 2  bx 4  1 . . Lời giải: 1 Ta có y  4 2ax 2  bx 4  1   2ax 2  bx 4  1 4  y '  ax  bx3  4  2ax 2  bx  1 4 3 3 1 2 4 2 ax  bx  1   4 . 4ax  4bx3  4 . Chọn A. Ví dụ 6: Cho hàm số f  x   log 2  x 2  x  . Tính f '  2  3 A. f '  2   . 2 3 B. f '  2   log 2 e. 2 C. f '  2   3ln 2 . 2 D. f '  2   2 . 3ln 2 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 16/89 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Lời giải: Ta có f '  x   2x 1 3 3  f '  2   log 2 e. Chọn B. 2ln 2 2  x  x  ln 2 2 Ví dụ 7: Giá trị của tham số m để y '  e   2m  1 với y  ln  2 x  1 là: A. 1  2e . 4e  2 B. 1  2e . 4e  2 C. 1  2e . 4e  2 D. 1  2e . 4e  2 Lời giải: Ta có y '  2 2 2 1  2e 1  2e  y ' e   2m  1   1  2m   2m  m  . 2x 1 2e  1 2e  1 2e  1 2  4e Chọn C. 3 Ví dụ 8: Cho hàm số f  x   ln  2e x  m  thỏa mãn f '   ln 2   . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 2 A. m  1;3 . B. m  5; 2  . C. m 1;   . D. m  1;0  . Lời giải: 1 2e x Ta có: f '  x   x , lại có e ln 2  2 ln e  2 2e  m Do đó f '   ln 2   3 1 3 1    m   . Chọn D. 2 1 m 2 3 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 17/89 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Ví dụ 9: Cho hàm số y  log3  3x  x  , biết y ' 1  B. a  b  7. A. a  b  2. a 1 với a, b  . Giá trị của a  b là:  4 b ln 3 C. a  b  4. D. a  b  5. Lời giải: 3 x  x  3x ln 3  1  Ta có: y '  x 3  x  ln 3 3x  x  ln 3 Suy ra y ' 1  a  3 3ln 3  1 3 1     a  b  7. Chọn B. 4ln 3 4 4ln 3 b  4 Ví dụ 10: Cho hàm số f  x   A. a  b  1. ln  x 2  1 x B. a  b  1. . Biết rằng f ' 1  a ln 2  b với a, b  . Tính a  b. C. a  b  2. D. a  b  2. Lời giải: 2 x2  ln  x 2  1 ln  x 2  1  .x  ln  x 2  1 2   x  1 Ta có: f '  x    x2 x2 a  1  a  b  2. Chọn D. Do đó f ' 1  1  ln 2   b  1 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 18/89 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Ví dụ 11: Cho hàm số y  A. 2 y ' xy "   1 . x2 ln x , mệnh đề nào dưới đây đúng? x B. y ' xy "  1 . x2 C. y ' xy "   1 . x2 D. 2 y ' xy "  1 . x2 Lời giải: Ta có: xy  ln x   xy  '   ln x  '  x ' y  y ' x  1 1  y  xy '  x x Tiếp tục đạo hàm 2 vế ta có: y ' y ' xy "   1 1  2 y ' xy "   2 . Chọn A. 2 x x Ví dụ 12: Tính đạo hàm của hàm số y  log 2  A. 1 .  3x  1 ln 2 B. 3 1 . 3x  1 ln 2 3  3x  1 trên tập xác định của nó C. ln 2 . 3x  1 D. 1 . 3  3x  1 ln 2 Lời giải: Ta có: y  log 2  3  1 1 3 1 3x  1  log 2  3x  1  y '  .  . Chọn A. 3 3  3x  1 ln 2  3x  1 ln 2 Ví dụ 13: Đạo hàm của hàm số y  7 cos x là: http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 19/89 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết A.  sin x 7 8 . B. 7. cos x sin x 7 6 1 C. . 7 6 . 7. cos x 7. cos x D.  sin x 7. 7 cos 6 x . Lời giải: 1 Ta có y  7 cos x   cos x  7  y '  6 1  sin x cos x   7 .  cos x  '  7 6 . Chọn D. 7 7. cos x Ví dụ 14: Tính đạo hàm của hàm số y  ln A. y '  4x . 4 x 1 B. y '  x2  1 x2 1 4 x . x4 1 C. y '  4 x3 . x4 1 D. y '  4 x3 . x4 1 Lời giải: 2 x  x 2  1  x 2  1 4 x x2  1 2x 2x 2 2 Ta có y  ln 2  ln  x  1  ln  x  1  y '  2    . x 1 x  1 x2 1  x2  1 x2 1 x4  1 Chọn B. Ví dụ 15: Đạo hàm của hàm số f  x   3x.log3 x là: 1   A. f '  x   3x  ln x  . x ln 3   1   B. f '  x   3x  ln x  . ln 3   http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 20/89