Tài liệu CÔNG THỨC TÍNH NHANH TOÁN TRẮC NGHIỆM 12 2017 FULL

GIỚI THIỆU MỘT SỐ THỦ THUẬT CƠ BẢN LÀM NHANH TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN Biên soạn: Nguyễn Phú Khánh - Nguyễn Chiến Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan cực trị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c  b ∆   b ∆  b4 b b với ∆ = b 2 − 4 ac A (0; c ), B − − ; − , C  − ; −  ⇒ AB = AC = − , BC = 2 − 2    2 a 4 a   2a 4 a  16a 2a 2a Gọi BAC = α , ta luôn có: 8a (1 + cosα ) + b 3 (1 − cosα ) = 0 ⇒ cos α = b 3 + 8a 1 b2 b và S = . − 3 b − 8a 4 a 2a 2 ∆ − b 4a 3 cực trị: ab < 0 Phương trình đường tròn đi qua A, B, C : x 2 + y 2 − (c + n ) x + c .n = 0, với n = 1 cực trị: ab ≥ 0 a > 0 : 1 cực tiểu a < 0 : 1 cực đại a > 0 : 1 cực đại, 2 cực tiểu a < 0 : 2 cực đại, 1 cực tiểu Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có 3 cực trị A ∈ Oy, B, C tạo thành: DỮ KIỆN Tam giác vuông cân CÔNG THỨC 8a + b 3 = 0 Tam giác đều 24 a + b 3 = 0 VÍ DỤ m ? để hàm số y = x 4 + (m + 2015) x 2 + 5 có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông cân. S∆ABC = S 0 8a + b 3 . tan 2 α =0 2 32a 3 (S 0 ) 2 + b 5 = 0 m ? để hàm số y = 3 x 4 + (m − 7) x 2 có 3 cực trị tạo thành tam giác có một góc 120 0 . r∆ABC = r0 BC = m0 S0 = − r0 = b5 32a 3 b2  b 3   a 1 + 1 −   a  am02 + 2b = 0 Với a = 3, b = m − 7 . Từ 8a + 3b 3 = 0 ⇒ b = −2 ⇒ m = 5 m ? để hàm số y = mx 4 + 2 x 2 + m − 2 có 3 cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 1 . max (S0 ) 9 4 x + 3(m − 2017) x 2 có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông 8 Với a = 9 / 8, b = 3(m − 2017) . Từ 24 a + b 3 = 0 ⇒ b 3 = −27 ⇒ m = 2016 m ? để hàm số y = đều. BAC = α Với a = 1, b = m + 2015 . Từ 8a + b 3 = 0 ⇒ b 3 = −8 ⇒ m = −2017 Với a = m, b = 2 . Từ 32a 3 (S 0 ) 2 + b 5 = 0 ⇒ m 3 + 1 = 0 ⇒ m = −1 m ? để hàm số y = x 4 − 2(1 − m 2 ) x 2 + m + 1 có 3 cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn nhất. Với a = 1, b = −2(1 − m 2 ) . Từ S 0 = (1 − m 2 )5 ≤ 1 ⇒ m = 0 m ? để hàm số y = x 4 − mx 2 + đường tròn nội tiếp bằng 1 . 3 có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính 2 Với a = 1/ 2, b = −m . Từ r0 ⇒ m = 2 m ? để hàm số y = m 2 x 4 − mx 2 + 1 − m có 3 cực trị mà trong đó có BC = 2 Với a = m 2 , b = −m . Từ am02 + 2b = 0 ⇒ m = 1 vì m ≠ 0 AB = AC = n0 16a 2 n02 − b 4 + 8b = 0 m ? để hàm số y = mx 4 − x 2 + m có 3 cực trị mà trong đó có AC = 0,25 Với a = m, b = −1 . Từ 16a 2 n02 − b 4 + 8b = 0 ⇒ m = 3 do m > 0 B, C ∈ Ox b 2 − 4 ac = 0 m ? để hàm số y = x 4 − mx 2 + 1 có 3 cực trị tạo thành tam giác có B, C ∈ Ox Với a = 1, b = −m, c = 1 . Từ b 2 − 4 ac = 0 ⇒ m = 2 do m > 0 Tam giác cân tại A Phương trình qua điểm cực trị: Tam giác có 3 góc nhọn 8a + b 3 > 0 Tam giác có tr. tâm O b 2 − 6ac = 0 Tam giác có trực tâm O b 3 + 8a − 4 ac = 0 3  −b  ∆  x + c BC : y = − và AB, AC : y = ±  4a  2a  m ? để hàm số y = −x 4 − (m 2 − 6) x 2 + m + 2 có 3 cực trị tạo thành tam giác có 3 góc đều nhọn Với a = −1, b = −(m 2 − 6) . Từ 8a + b 3 > 0 ⇒ b > 2 ⇒ −2 < m < 2 m ? để hàm số y = x 4 + mx 2 − m có 3 cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm. Với a = 1, b = m, c = −m . Từ b 2 − 6ac = 0 ⇒ m = −6 do m < 0 m ? để hàm số y = x 4 + mx 2 + m + 2 có 3 cực trị tạo thành tam giác có trực tâm O. Với a = 1, b = m, c = m + 2 . Từ b 3 + 8a − 4 ac = 0 ⇒ m = −2 do m < 0 Thủ Thuật Giải Nhanh Trắc Nghiệm Toán R∆ABC = R0 R0 = m ? để hàm số y = mx 4 + x 2 + 2m −1 có 3 cực trị tạo thành tam giác nội tiếp b 3 − 8a 8ab Tam giác cùng O tạo hình thoi b 2 − 2ac = 0 Tam giác, tâm O nội tiếp b 3 − 8a − 4 abc = 0 Tam giác, tâm O ngọai tiếp b 3 − 8a − 8abc = 0 Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Chiến trong đường tròn có bán kính R = 9 / 8 b 3 − 8a Với a = m, b = 1 . Từ R0 = ⇒ m = −1 do m < 0 8ab m ? để hàm số y = 2 x 4 + mx 2 + 4 có 3 cực trị cùng gốc tọa độ O lập thành hình thoi. Với a = 2, b = m, c = 4 . Từ b 2 − 2ac = 0 ⇒ m = −4 do m < 0 m ? để hàm số y = mx 4 + 2 x 2 − 2 có 3 cực trị lập tam giác có O là tâm đường tròn nội tiếp. Với a = m, b = 2, c = −2 . Từ b 3 − 8a − 4 abc = 0 ⇒ m = −1 do m < 0 m ? để hàm số y = −mx 4 + x 2 − 2m −1 có 3 cực trị lập tam giác có O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Với a = −m, b = 1, c = −2m − 1 . Từ b 3 − 8a − 8abc = 0 ⇒ m = 0, 25 do m > 0 Hàm số y = ax 4 + 2bx 2 + c có 3 cực trị A ∈ Oy, B, C tạo thành: DỮ KIỆN Tam giác vuông cân tại A Tam giác đều BAC = α S∆ABC = S 0 CÔNG THỨC a + b3 = 0 VÍ DỤ m ? để hàm số y = x + 2(m + 2016) x 2 + 2016m − 2017 có 3 cực trị tạo thành tam 4 Với a = 1, b = m + 2016 . Từ a + b 3 = 0 ⇒ b = −1 ⇒ m = −2017 giác vuông cân. m ? để hàm số y = 9 x 4 + 2(m − 2020) x 2 + 2017m + 2016 có 3 cực trị tạo thành 3a + b 3 = 0 Với a = 9, b = m − 2020 . Từ 3a + b 3 = 0 ⇒ b = −3 ⇒ m = 2017 tam giác đều. a + b 3 .tan 2 m ? để hàm số y = 3x 4 + 2(m − 2018) x 2 + 2017 có 3 cực trị tạo thành tam giác có α =0 2 một góc 120 0 . Với a = 3, b = m − 2018 . Từ a + b 3 .tan 2 60 0 = 0 ⇒ b = −1 ⇒ m = 2017 a 3 (S0 ) 2 + b 5 = 0 m ? để hàm số y = mx 4 + 4 x 2 + 2017m − 2016 có 3 cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 4 2 . R∆ABC = R0 r∆ABC = r0 R0 = r0 = 1 2a Với a = m, b = 2 . Từ a 3 (S0 ) 2 + b 5 = 0 ⇒ m = −1  2 a  b −   b  m ? để hàm số y = mx 4 − 2 x 2 + 2017m 3 − 2016 có 3 cực trị tạo thành tam giác có 1  2 a  bán kính ngoại tiếp bằng 1 . Với a = m, b = −1 . Từ R0 = b −  ⇒ m = 1 2 a  b b2 m ? để hàm số y = x 4 + 2(m + 5) x 2 + 2016m 3 + 2017 có 3 cực trị tạo thành tam  b 3   a 1 + 1 −   a  giác có bán kính nội tiếp bằng 1 . Với a = 1, b = m + 5, r0 = 1 ⇒ b ∈ {−2;1} ⇒ m = −7 ∨ m = −4 Tiệm cận: Tổng khoảng cách từ điểm M trên đồ thị hàm số y = Tương giao: Giả sử d : y = kx + m cắt đồ thị hàm số y = ax + b ad − bc đến 2 tiệm cận đạt min d = 2 cx + d c2 ax + b tại 2 điểm phân biệt M , N . cx + d ax + b cho ta phương trình có dạng: Ax 2 + Bx + C = 0 thỏa điều kiện cx + d ≠ 0 , có ∆ = B 2 − 4 AC cx + d ∆OMN cân tại O ∆OMN vuông tại O k 2 +1 MN = ∆, MN ngắn nhất 2 2 ( x + x )(1 + k ) + 2 km = 0 ( x . x )(1 + k 2 ) + ( x1 + x 2 ) km + m 2 = 0 1 2 1 2 A Với kx + m = khi tồn tại min ∆, k = const Khối đa diện: loại {n, p } có D đỉnh, C cạnh, M mặt thì n.M = p.D = 2.C hoặc Euler : D + M = 2 + C Khối đa diện đều Tứ diện đều Số đỉnh Số mặt 4 Số cạnh 6 Khối lập phương 8 12 6 Khối bát diện đều 6 12 8 Khối thập nhị diện ( 12 ) đều 20 30 12 Khối nhị thập diện ( 20 ) đều 12 30 20 4 Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan thể tích khối chóp Kí hiệu {3,3} {4,3} {3, 4} {5,3} {3,5} Thể tích V = ( 2 /12)a 3 V = a3 V = ( 2 / 3)a 3 V = (15 + 7 5)a 3 / 4 V = (15 + 5 5)a 3 /12 TÍNH CHẤT HÌNH VẼ Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng (SAB ), (SBC ), (SAC ) vuông Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng (SAB ),(SBC ),(SAC ) vuông góc với nhau từng đôi A một, diện tích các tam giác SAB, SBC , SAC lần lượt góc với nhau từng đôi một, diện tích các tam giác SAB, SBC , SAC lần lượt là S1 ,S2 ,S3 . Khi đó: VS . ABC = VÍ DỤ là 15cm 2 , 20cm 2 ,18cm 2 .Thể tích khối chóp là: S C 2S1.S2 .S3 3 B Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với ( ABC ) , hai mặt S SB .sin 2α. tan β 12 B Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng b . S A C 3b 3 .sin β cos 2 β 3 3 = ⇒ Chọn đáp án A. 4 4 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 30 0 . Thể tích khối chóp S.ABC là : a3 a3 a3 3 a3 3 A. . B. . D. . C. . 24 48 24 36 A M S A G M Khi đó: VS . ABC = a 3 tan β a 3 3 = . ⇒ Chọn đáp án D. 12 36 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, và SA = SB = SC = SD = a . Thể tích khối chóp S.ABCD là: S D a 2 4b 2 − 2a 2 6 A M O C B. VSABC = B Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, và SA = SB = SC = SD = b . a3 3 . 24 VS . ABC = B Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β . A. VSABC = S G a 3 .tan β 12 2S1.S 2 .S3 C M B Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β . Khi đó: VS . ABC = a 3 20 . 6 a 3 tan α a 3 3 = ⇒ Chọn đáp án C. 24 24 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên bằng 2 và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 30 0 . Thể tích khối chóp S.ABC là : 3 3 3 3 3 3 D. . C. . A. . B. . 4 4 24 6 S G 3b 3 .sin β cos 2 β 4 D. C M B Khi đó: VS . ABC = a 3 20 . 2 a3 2 a3 2 a3 3 . C. . D. . 12 24 12 a3 2 a = b ⇒ VSABC = ⇒ Chọn đáp án B. 12 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 600. Thể tích khối chóp S.ABC là : a3 a3 a3 3 a3 3 B. . D. . A. . C. . 24 12 48 24 C A G Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc α . a 3 tan α Khi đó: VS . ABC = 24 C. ASB = 30o . Thể tích khối chóp SABC là: 3a 3 a3 2 a3 3 a3 6 A. . B. . D. . C. . 8 8 2 6 SB 3 .sin 2α. tan β 3a 3 VS . ABC = = ⇒ Chọn đáp án A. 12 8 Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng a . Thể tích khối chóp S.ABC là: C A 3 a 2 3b 2 − a 2 12 a 3 20 . 3 (SBC ) vuông góc với nhau, SB = a 3 , BSC = 45o , với nhau, BSC = α, ASB = β . Khi đó: VS . ABC = B. = a 3 20 ⇒ Chọn đáp án A. 3 Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , hai mặt phẳng (SAB ) và VABCD = phẳng (SAB ) và (SBC ) vuông góc Khi đó: VS . ABC = A. a 3 20. B a3 6 a3 2 . B. . 6 2 ⇒ Chọn đáp án C. A. C. a3 2 . 6 D. a3 3 . 3 Thủ Thuật Giải Nhanh Trắc Nghiệm Toán Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là α . a 3 .tan α Khi đó: VS . ABCD = 6 Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Chiến S A D B S có cạnh đáy bằng a, SAB = α , π π  với α ∈  ;   4 2  Khi đó: VS . ABCD = a D tan α −1 6 C S A D (2 + tan α) B phẳng đi qua A song song với BC và vuông góc với (SBC ) , góc giữa F N A với BC và vuông góc với (SBC ) , góc giữa ( P ) với E x G 3 a cot α 24 C M B mặt phẳng đáy là 30 0 . Thể tích khối chóp S.ABC là: a3 3a 3 a3 3 a3 3 D. C. B. A. 8 8 24 8 a 3 cot 300 a 3 3 = ⇒ Chọn đáp án A 24 24 Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình lập phương cạnh a có thể tích là: a3 a3 a3 3 a3 3 A. . C. . B. . . D. 12 6 4 2 ⇒ Chọn đáp án C. VSABC = A' B' O' D' O1 C' O2 O4 A O3 B O D C S Cho khối tám mặt đều cạnh a. Nối tâm của các mặt bên ta được khối lập phương. G2 D A G1 3 2a 2 Khi đó: V = 27 4 3 ⇒ Chọn đáp án B. 27 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua A song song S ( P ) với mặt phẳng đáy là α . Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình lập phương cạnh a. a3 Khi đó: V = 6 VS . ABCD = C Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi ( P ) là mặt Khi đó: VS . ABCD = M O 3 a 3 tan 2 α −1 a 3 2 ⇒ Chọn đáp án B. = 6 6 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng 1, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là 450 .Thể tích khối chóp S.ABCD là: 4 3 4 3 4 3 D. . A. . B. . C. . 27 2 7 27 VSABCD = B 4 a .tan α 3 M O 3 2 bằng a, SAB = 60 0 . Thể tích khối chóp S.ABCD là: a3 a3 2 a3 2 a3 6 D. . B. . A. . C. . 6 12 6 2 A 2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là α với  π α ∈ 0;  .  2  Khi đó: VS . ABCD = VSABCD = C Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD 3 a 3 tan α a 3 = ⇒ Chọn đáp án D. 6 6 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy M O Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là 450 . Thể tích khối chóp S.ABCD là: a3 a3 a3 3 a3 6 A. . D. . B. . C. . 12 6 6 2 N M C B S' Cho khối tám mặt đều cạnh a. Nối tâm của các mặt bên ta được khối lập phương có thể tích bằng V. Tỷ a3 số gần nhất giá trị nào trong các giá trị sau? V A. 9,5. B. 7,8. C. 15, 6. D. 22,6. V= 2a 3 2 a 3 27 2 ⇒ = ≈ 9,5 ⇒ Chọn đáp án A. 27 V 4 GIỚI THIỆU 500 CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC KHÔNG GIAN, OXYZ VÀ 300 CÔNG THỨC GIẢI