Tài liệu Tong hop kien thuc toan lop 12

BAÛNG TOÙM TAÉT COÂNG THÖÙC TOAÙN 12 COÂNG THÖÙC LUÕY THÖØA Cho caùc soá döông a, b vaø m, n    a0  1 . Ta coù: a.a...........a vôùi n  an * n thöøa soá  (a )  a m n mn  (a n ) m  a .a  a m n m n 1 an  an   am  a mn n a 1  a b  (ab) n n a a   bn  b  n n  n  m an  a  a  a2 n m 1  3 a  a3 COÂNG THÖÙC LOGARIT Cho caùc soá a, b  0, a  1. Ta coù:  log a b    a  b  lg b  log b  log10 b  ln b  log e b  log a 1  0  log a a  1  log a a  b  log a b  n log a b  log am b n   log a (bc)  log a b  log a c b  log a    log a b  log a c c  log a b.logb c  log a c  a loga b  b   log c log a a b  c b 1  log a b  logb a   log am b  1 log a b m b n log a c  logb c log a b n log a b m HAØM SOÁ LUÕY THÖØA – MUÕ – LOGARIT HAØM LUÕY THÖØA  Daïng: y  x yu  vôùi u laø ña ax y a u vôùi a 0 a 1 Neáu ÑK u . Neáu ÑK u 0. ÑK . . u 0. ax y a x ln a y au y a x ln a. u Ñaëc bieät: Neáu a y  x   y   x 1  1 (e x ) ex (eu ) eu . u  Söï bieán thieân: y  Ñaïo haøm: y  u   y   u y treân . u . . ax 1 thì haøm ñoàng bieán . Neáu 0 a 1 thì haøm nghòch bieán treân  Daïng: . y log a x y log a u  Ñaëc bieät: a a  Ñaïo haøm:  Taäp xaùc ñònh:   Daïng: y HAØM SOÁ LOGARIT  Taäp xaùc ñònh: D thöùc ñaïi soá. Neáu HAØM SOÁ MUÕ 10 y e vôùi y log x a 0 a 1 . ln x ; lg x .  Ñieàu kieän xaùc ñònh: u 0 .  Ñaïo haøm: 1 y log a x y x ln a . u y log a u y u ln a 1 (ln x) x Ñaëc bieät: . u (ln u) u  Söï bieán thieân: y log a x Neáu a treân (0; 1 : haøm ñoàng bieán ) . Neáu 0 a haøm nghòch bieán treân (0; 1: ) ÑOÀ THÒ HAØM MUÕ VAØ HAØM LOGARIT ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ MUÕ  Ta thaáy: a x 0  Ta thaáy: cx c a 1; bx 1; dx ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ LOGARIT b 0 d 1. 1.  So saùnh a vôùi b: Ñöùng treân cao, baén muõi teân töø traùi sang phaûi, truùng a x tröôùc neân a b .  So saùnh c vôùi d: Ñöùng treân cao, baén muõi teân töø traùi sang phaûi, truùng c x tröôùc neân c d.  Vaäy 0 b a 1 d c.  Ta thaáy: log a x 0 a 1; logb x  Ta thaáy: log c x c 1; log d x 0 d b 1. 1.  So saùnh a vôùi b: Ñöùng treân cao, baén muõi teân töø phaûi sang traùi, truùng log b x tröôùc: b a.  So saùnh c vôùi d: Ñöùng treân cao, baén muõi teân töø phaûi sang traùi, truùng log d x tröôùc: d c.  Vaäy 0 a b 1 c d. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ LOGARIT Phöông trình muõ  Daïng cô baûn: a f ( x)  a g ( x )  f ( x)  g ( x)  Daïng logarit hoùa: Phöông trình Logarit  Daïng cô baûn: log a f ( x)  log ag( x)  f ( x)  g ( x)  0  Daïng muõ hoùa: log a f ( x)  b  f ( x)  a a f ( x )  b  f ( x)  log a b b (khoâng caàn ñieàu kieän) a f ( x )  b g ( x )  f ( x)  g ( x).log a b BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ LOGARIT Baát Phöông trình muõ Baát Phöông trình Logarit  Daïng cô baûn: a 1  Daïng cô baûn:  a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) a 1  log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)  0 0 a 1  a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) 0 a 1  log a f ( x)  log a g ( x)  0  f ( x)  g ( x) COÂNG THÖÙC ÑAÏO HAØM  k  0 Vôùi k laø haèng soá  e   e    e   e . u  x x u u  ( x )   x   1  (u )   u 1. u  a   a ln a    a   a .ln a. u  x x u u         u   2uu u  1       2 u u     1   x 1  x  2 x  sin x   cos x    sin u   u cos u  1 x2  cos x    sin x    cos u    u sin u 1   1  cot 2 x  2 sin x u    cot u    2   u 1  cot 2 u sin u  tan x   1  1  tan 2 x 2 cos x u    tan u    u 1  tan 2 u 2 cos u      cot x      COÂNG THÖÙC NGUYEÂN HAØM    k. f ( x)dx  k  f ( x)dx 1)  kdx  kx  C  f ( x)dx  F ( x)  C  F ( x)  f ( x)   f ( x)  g ( x)dx     x 1 x dx  C  1 f ( x)dx   g ( x)dx 2dx  2 x  C     kdx  kx  C (3)dx  3x  C 3 x4 x dx   C 4 1 2 x2 2 3   2)  C  x C   xdx   x dx  3/ 2 3 1 (ax  b) 1 MR 1 (1  x)11 (1  x)11 10    (ax  b) dx  . C . C  C   (1  2 x) dx  a  1 2 11 22 1 1 1 1 1 MR 3)  dx  ln x  C     dx  ln ax  b  C dx  ln 1  3x  C x ax  b a 1  3x 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 MR  dx  . C dx  . C   C 4)  2 dx    C    2 2 x x (ax  b) a ax  b (2 x  3) 2 2x  3 4x  6  3 x3 1  2 1 1  x    10 dx   ln x   10 x  C   x x2  3 x 1 MR 5)  e x dx  e x  C    eax b dx  eax b  C a  ax C 6)  a dx  ln a 1 abx c MR bx  c  a dx  . C  b ln a x  7)       1 32 x 5 32 x 5 32 x 5 dx  . C  C 2 ln 3 2ln 3 cos xdx  sin x  C    1 sin(ax  b)  C a  3sin x  2cos x  dx  3cos x  2sin x  C      3 dx   2 .3 dx   9x 9 dx  C ln 9 x 1 1 6x x 2 .3 . dx   6 dx  C 3 3 3ln 6 x x  1    sin  4 x   dx   cos  4 x    C 2 4 2    2 1       cos   x  dx  sin   x   C   sin   x   C 1  3 3   3  a 1; b    2x x 1 x a  4; b   1 dx   1  tan 2 x  dx  tan x  C cos 2 x 1 1 MR   dx  tan  ax  b   C 2 cos  ax  b  a 9)   sin xdx   cos x  C MR    cos(ax  b)dx   5x 5 dx  C ln 5 1 MR    sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C a 8)  x5  1 1 x5  dx    x 4   dx   ln x  C x x 5  1 e x dx  e x  C  e x  C 1 x  ex1  2 ex dx    e2 x1  2ex  dx  12 e2 x1  2e x  C    3 sin 2 xdx   1 1 1 1  cos 2 x  dx   x  sin 2 x   C 2 2 2  (haï baäc)     1  2cos x  1  dx     2  dx  tan x  2 x  C 2 2 cos x  cos x  1 1 dx  tan 3x  C 2 cos 3x 3 2 1 MR    1  tan 2  ax  b   dx  tan  ax  b   C a     1  tan 2   2 x   dx  1 tan   2 x   C   2 a 2; b    x sin 2 x  1 1  x2  dx  x  dx   cot x  C  sin 2 x   sin 2 x  2 1 1   dx   cot 8 x  C 2 sin 8 x 8 1 1 MR 2 2   1  cot  ax  b  dx   a cot  ax  b   C   1  cot 3x  dx   3 cot 3x  C 1 sin 2 x  cos 2 x 1   1   dx   dx     2  dx  tan x  cot x  C 2 2 2 2 2 sin x cos x sin x cos x  cos x sin x  1 2  sin 2 x dx   1  cot x  dx   cot x  C 1 1 MR   dx   cot  ax  b   C 2 sin  ax  b  a 10)  DIEÄN TÍCH VAØ THEÅ TÍCH  Hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng y  f ( x) ,  Hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng y  f ( x) , truïc Ox , x  a, x  b thì coù dieän tích: y  g ( x) , x  a, x  b thì coù dieän tích: b b S   f ( x) dx S   f ( x)  g ( x) dx a a  y  f ( x)  Khi xoay hình phaúng  quanh Ox ,  x  a, x  b ta ñöôïc khoái truï troøn coù theå tích  y  f ( x)   Khi xoay hình phaúng  y  g ( x) quanh Ox ,  x  a, x  b  ta ñöôïc khoái truï troøn coù theå tích b V    f 2 ( x)dx b V    f 2 ( x)  g 2 ( x) dx a a  Xeùt hình khoái ñöôïc giôùi haïn bôûi hai maët phaúng x  a, x  b . Khi caét khoái naøy ta ñöôïc thieát dieän coù dieän tích S ( x) (laø haøm lieân tuïc treân [a;b]). Theå tích khoái naøy treân  a; b laø: V   b a S ( x)dx . COÂNG THÖÙC CHUYEÅN ÑOÄNG Xeùt haøm quaûng ñöôøng S (t ), haøm vaän toác v(t ) vaø haøm gia toác a(t ) . Ba haøm naøy seõ bieán thieân theo t .  S (t )   v(t )dt  v(t )  S (t )  v(t )   a(t )dt  a(t )  v(t ) COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC 1. Heä thöùc cô baûn:  sin 2  cos2  1 2  1  tan   1 cos 2   tan   sin  cos   1  cot 2   cos  sin  sin(  k 2 )  sin    cos(  k 2 )  cos   cot   1 sin 2   tan .cot  1  tan(  k )  tan    cot(  k )  cot  2. Cung lieân keát: Ñoái:  vaø  Buø:  vaø    Phuï:  vaø   2 Khaùc pi:  ;    Khaùc Pi  : ;  2 2   sin      cos  2  sin( )   sin  sin(   )  sin  cos( )  cos  cos(   )   cos  tan( )   tan  tan(   )   tan  cot( )   cot  cot(   )   cot    cot      tan  2  Sin Buø Phuï Cheùo Cos Ñoái sin(   )   sin    cos      sin  2    tan      cot  2    sin      cos  2    cos       sin  2    tan       cot  2  cos(   )   cos  tan(   )  tan    cot       tan  2  cot(   )  cot  Khaùc pi Tang, Cotang Khaùc pi chia 2 Sin baïn cos 3. Coâng thöùc coäng:  sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a  sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a tan(a  b)   cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b  cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b tan a  tan b 1  tan a.tan b tan(a  b)  tan a  tan b 1  tan a.tan b 4. Coâng thöùc nhaân ñoâi, nhaân ba: cos 2  cos 2   sin 2  sin 2  2sin  .cos  tan 2   2cos   1  1  2sin  2 2 cos3  4cos3   3cos  sin 3  3sin   4sin3  tan 3  2 tan  1  tan 2  3tan   tan 3  1  3tan 2  5. Coâng thöùc haï baäc 1  cos 2 sin 2   2 cos 2   1  cos 2 2 tan 2   1  cos 2 1  cos 2 6. Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích: ab a b .cos 2 2 ab a b sin a  sin b  2sin .cos 2 2 sin(a  b) tan a  tan b  cos a.cos b     sin   cos   2.sin      2.cos     4 4   cos a  cos b  2cos ab a b .sin 2 2 ab a b sin a  sin b  2cos .sin 2 2 sin(a  b) tan a  tan b  cos a.cos b cos a  cos b   2sin     sin   cos   2 sin       2 cos      4  4 7. Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång: cos a.cos b  1 cos(a  b)  cos(a  b) 2 Cos.Cos thì Cos coäng coäng Cos tröø  sin a.sin b  1 cos(a  b)  cos(a  b) 2 Sin.Sin thì Cos tröø tröø Cos coäng sin a.cos b  1 sin(a  b)  sin(a  b) 2 Sin.Cos thì Sin coäng coäng Sin tröø PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC u  v  k 2 u  v  k 2 sin u  sin v   (k  )  cos u  cos v   k  u    v  k 2 u  v  k 2  sin u  1  u  Ñaëc bieät:  2  k 2 sin u  1  u   sin u  0  u  k   2 cos u  1  u  k 2 k    k 2 cos u  1  u    k 2 Ñaëc bieät: cos u  0  u  tan u  tan v  u  v  k k     2 k    k k   cot u  cot v  u  v  k TOÅ HÔÏP – XAÙC SUAÁT QUY TAÉC COÄNG QUY TAÉC NHAÂN Neáu pheùp ñeám ñöôïc chia ra nhieàu tröôøng hôïp, ta seõ coäng caùc keát quaû laïi. HOAÙN VÒ  Saép xeáp (ñoåi choã) cuûa n phaàn töû khaùc nhau, ta coù soá caùch xeáp laø Pn  n ! vôùi n  CHÆNH HÔÏP  Choïn k phaàn töû töø n phaàn töû (khoâng saép xeáp thöù töï), ta coù TOÅ HÔÏP  Choïn k phaàn töû töø n phaàn töû (coù saép xeáp thöù töï), ta ñöôïc soá soá caùch choïn laø Cnk . .  Caùch tính: Cnk   Caùch tính: n!  1.2.....  n  1 n . vôùi  Quy öôùc soác: 0!  1.  Coâng thöùc: P( X )  XAÙC SUAÁT Neáu pheùp ñeám ñöôïc chia ra laøm nhieàu giai ñoaïn baét buoäc, ta seõ nhaân caùc keát quaû cuûa moãi giai ñoaïn aáy. n, k 0 k n caùch choïn laø Ank . n!  n  k  !k !  Caùch tính: Ank  vôùi . n( X ) n ( ) n, k 0 k n n!  n  k ! .  Tính chaát: 0  P( X )  1 . Trong ñoù: n( X ) : soá phaàn töû cuûa P()  0; P()  1 . taäp bieán coá X ; n() : soá phaàn töû khoâng gian maãu . P( X ) laø xaùc suaát P( X )  1  P( X ) vôùi X laø bieán coá ñoái cuûa X . ñeå bieán coá X xaûy ra vôùi X   . KHAI TRIEÅN NHÒ THÖÙC NEWTÔN  Khai trieån daïng lieät keâ: Trong caùc coâng thöùc beân, ta luoân coù n  , n  2.  a  b n  Cn0 a n  Cn1a n1b  Cn2 a n2b2  .........  Cnn1abn1  Cnnbn .  Ñaëc bieät: 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  .........Cnn1 x n1  Cnn x n (*). n  Heä quaû 1: Cn0  Cn1  Cn2  .........Cnn1  Cnn  2n (töùc laø thay x  1 vaøo (*)).  Heä quaû 2: Vôùi n chaün, chæ caàn thay x  1 vaøo (*), ta coù: Cn0  Cn1  Cn2  .........  Cnn1  Cnn  0  Cn0  Cn2  Cn4 ......  Cnn  Cn1  Cn3  ......Cnn1 Khai trieån toång quaùt: Trong caùc coâng thöùc beân, ta luoân coù n  , n  2.  Khai trieån: n  a  b    Cnk a nk bk . Soá haïng toång quaùt: Tk 1  Cnk a nk bk n k 0  Phaân bieät heä soá vaø soá haïng: Cnk ( 1)k a n kbk . x . HEÄ SOÁ SOÁ HAÏNG Nhôù raèng soá haïng khoâng chöùa x öùng vôùi 0. CAÁP SOÁ COÄNG – CAÁP SOÁ NHAÂN CAÁP SOÁ COÄNG CAÁP SOÁ NHAÂN 1. Ñònh nghóa: 1. Ñònh nghóa:  Daõy soá  un  ñöôïc goïi laø caáp soá coäng khi vaø  Daõy soá  un  ñöôïc goïi laø caáp soá nhaân khi vaø chæ khi un1  un  d vôùi n  * . chæ khi un 1  un .q vôùi n   Caáp soá coäng nhö treân coù soá haïng ñaàu u1 , * .  Caáp soá nhaân nhö treân coù soá haïng ñaàu u1 , coâng boäi q . coâng sai d . 2. Soá haïng toång quaùt:  un  u1  (n  1)d vôùi n  2. Soá haïng toång quaùt: *  un  u1.q n 1 vôùi n  . 3. Tính chaát caùc soá haïng:  uk 1  uk 1  2uk vôùi k  vaø k  2. * . 3. Tính chaát caùc soá haïng:  uk 1.uk 1  uk2 vôùi k  4. Toång n soá haïng ñaàu tieân: vaø k  2. 4. Toång n soá haïng ñaàu tieân: (u  un )n  Sn  u1  u2  ...  un  1 . 2  Sn  u1  u2  ...  un  u1 (1  q n ) vôùi q  1. 1 q KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ & BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN HAØM BAÄC BA XEÙT TÍNH ÑÔN ÑIEÄU  Böôùc 1: Tìm taäp xaùc ñònh D .  Böôùc 2: Tính y  f ( x) ; cho y  0 Tìm nghieäm x1 , x2 ...  Böôùc 3: Laäp baûng bieán thieân. (Neân choïn giaù trò x ñaïi dieän cho töøng khoaûng thay vaøo y  ñeå tìm daáu cuûa y  treân khoaûng ñoù).  Böôùc 4: Döïa vaøo baûng bieán thieân ñeå keát luaän veà söï ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa haøm soá. ÑIEÀU KIEÄN CÖÏC TRÒ  Haøm soá coù ñieåm cöïc trò laø  y( x0 )  0 ( x0 ; y0 )   .  y ( x0 )  y0  Neáu 0 f ( x0 ) 0 thì haøm soá f ( x) ñaït cöïc ñaïi taïi x  Neáu f ( x0 ) 0 f ( x0 ) 0 x0 . thì haøm soá f ( x) ñaït cöïc tieåu taïi x  Ñaïo haøm y  3ax  2bx  c . x0 . y ax  b (ad  bc  0) cx  d 2  Haøm soá ñoàng bieán treân taäp xaùc ñònh  y  0, x  a  0  .   0  Ñaïo haøm y  ad  bc . (cx  d )2  Haøm soá ñoàng bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh  Haøm soá nghòch bieán treân taäp xaùc ñònh  y  0, x  a  0  .   0  ad  bc  0.  Haøm soá nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh  ad  bc  0. CÖÏC TRÒ HAØM BAÄC BA CÖÏC TRÒ HAØM BAÄC BOÁN y  ax  bx  cx  d (a  0) y  ax4  bx2  c (a  0) 3 2  Ñaïo haøm y  3ax  2bx  c . 2  Haøm soá coù hai cöïc trò (giaû thieát laø haøm soá lieân tuïc taïi x0 ). f ( x0 ) y  ax3  bx2  cx  d (a  0) HAØM NHAÁT BIEÁN a  0  (*) .  y  0 f ( x) TÌM MAX-MIN TREÂN ÑOAÏN Tìm Max-Min cuûa f ( x) treân ñoaïn  a; b 3  Ñieàu kieän cöïc trò Ba cöïc trò Moät cöïc trò  Ñeå tìm ñieàu kieän cho haøm soá khoâng coù cöïc trò: Böôùc 1: laøm theo coâng thöùc (*). Böôùc 2: phuû ñònh keát quaû.  Phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò: y  Ñaïo haøm y  4ax  2bx . f ( x). f ( x) 18a ab  0 ab  0  2 2 a  b  0 a 2  b2  0 Coù cöïc trò  Cho A, B, C laø ba ñieåm cöïc trò, ta coù: cos BAC  SABC  b3  8a b3  8a b5 . 32a 3 TÌM MAX-MIN TREN KHOAÛNG Tìm Max-Min cuûa f ( x) treân khoaûng (a; b)  Böôùc 1: Tính y  Böôùc 1: Tính y f ( x) . Tìm caùc nghieäm xi (a;b) khi cho f ( x) Tìm caùc nghieäm xi 0. x (neáu coù).  Böôùc 3: So sanh taát caû giaù trò trong böôùc 2 ñeå keát luaän veà giaù trò lôùn nhaát, nhoû nhaát.  Neáu haøm f ( x) ñoàng bieán treân [a; b] thì a f (a) min f ( x) f (a) min f ( x) f (b) x [a;b] x [a;b] TIEÄM CAÄN ÑÖÙNG x x0 TIEÄM CAÄN NGANG (x höõu haïn, y voâ haïn), y ta coù tieäm caän ñöùng x x0 . Löu yù: ñieàu kieän x0 coù theå ñöôïc thay baèng x haïn beân traùi) hoaëc x ax cx x0 laø moät nghieäm b vôùi (c d 0, ad x y bc (x voâ haïn, y höõu haïn), y0 ta coù tieäm caän ngang y Böôùc 2: CALC CALC cuûa maãu soá maø khoâng phaûi laø nghieäm cuûa töû soá thì x x0 chính laø moät TCÑ cuûa ñoà thò.  Ñoà thò haøm soá y  Ñònh nghóa: y0 .  Caùch tìm TCN: Ñôn giaûn nhaát laø duøng CASIO Böôùc 1: Nhaäp haøm soá vaøo maùy. x0 (giôùi x0 (giôùi haïn beân phaûi).  Caùch tìm TCÑ: Neáu x b  Böôùc 3: Laäp baûng bieán thieân vaø suy ra giaù trò lôùn nhaát, nhoû nhaát treân khoaûng.  Neáu haøm f ( x) nghòch bieán treân [a; b] thì max f ( x)  Ñònh nghóa: x x  f (b) x [a;b] 0. baèng (; ) thì ta tính theâm lim y ). max f ( x) x [a;b] x (a;b) khi cho f ( x)  Böôùc 2: Caàn tính lim y, lim y . (Neáu thay (a; b)  Böôùc 2: Tính caùc giaù trò f (a), f (b) vaø f ( xi ),... ÑAËC BIEÄT f ( x) . NEXT X 10 ^ 10 10 ^ 10 NEXT NEXT X NEXT Böôùc 3: Neáu keát quaû thu ñöôïc laø höõu haïn (töùc laø y0 ) thì ta keát luaän TCN: y y0 . 0) coù moät TCÑ: x d , moät TCN: y c a . c  Neân nhôù, ñoà thò coù theå coù nhieàu tieäm caän ñöùng, nhöng chæ coù toái ña laø 2 tieäm caän ngang. TÌM TOÏA ÑOÄ GIAO ÑIEÅM HOAËC SOÁ GIAO ÑIEÅM HAI ÑOÀ THÒ f (x ) vaø (C 2 ) : y g(x ) . Xeùt hai ñoà thò (C1 ) : y  Böôùc 1 : Laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C1 ) & (C2 ) : f ( x) g( x) . (*)  Böôùc 2 : Giaûi phöông trình (*) ñeå tìm caùc nghieäm x1 , x2 ,... (neáu coù), suy ra y1 , y2 ... PHÖÔNG TRÌNH TIEÁP TUYEÁN DAÏNG 1 Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C ) : y  f ( x) taïi DAÏNG 2 Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C ) : y  f ( x) bieát tieáp DAÏNG 3 Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C ) : y  f ( x) bieát tieáp ñieåm M ( x0 ; y0 )  (C ) tuyeán coù heä soá goùc k. tuyeán ñi qua A( xA ; y A ) .  Böôùc 1: Tính ñaïo haøm y , töø  Böôùc 1: Goïi M ( x0 ; y0 ) laø tieáp  Böôùc 1: Tieáp tuyeán coù daïng : y y ( x0 )( x x0 ) y0 (*) vôùi ñoù coù heä soá goùc k y ( x0 ).  Böôùc 2 : Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò daïng y k( x x0 ) y0 . ñieåm vaø tính ñaïo haøm y .  Böôùc 2: Cho y ( x0 ) k , töø ñoù tìm ñöôïc tieáp ñieåm ( x0 ; y0 ).  Böôùc 3: Vieát phöông trình tieáp tuyeán : y0  f ( x0 ).  Böôùc 2: Thay toïa ñoä ñieåm A vaøo (*) ñeå tìm ñöôïc x0 .  Böôùc 3: Thay x0 tìm ñöôïc vaøo y k( x (*) ñeå vieát phöông trình tieáp tuyeán. y0 . x0 ) SOÁ PHÖÙC VAØ CAÙC YEÁU TOÁ LIEÂN QUAN Soá phöùc coù daïng: z a a, b bi vôùi i2 Thaønh phaàn 1 (i: laø ñôn vò aûo). Kyù hieäu taäp soá phöùc: Hình hoïc  Phaàn thöïc: a. Neáu a 0 thì z bi ñöôïc goïi laø soá thuaàn aûo.  Phaàn aûo: b. Neáu b 0 thì z a laø soá thöïc.  Khi a b 0 thì z 0 vöøa laø soá thuaàn aûo vöøa laø soá thöïc. Soá phöùc lieân hôïp – Soá phöùc nghòch ñaûo Cho z a bi . Khi ñoù:  Soá phöùc lieân hôïp cuûa noù laø z a bi .  Soá phöùc nghòch ñaûo laø 1 1 z 1 z a bi a b i. 2 2 2 a b a b2 . Minh hoïa  Ñieåm M (a;b) bieåu dieãn cho z treân heä truïc Oxy.  Moâ-ñun: z OM b2 . a2 Caên baäc hai  Caên baäc hai cuûa a  Caên baäc hai cuûa a Phöông trình baäc hai  Phöông trình z2 a. 0 laø 0 laø w x x y 2 xy b yi vôùi 2 0 coù hai nghieäm phöùc z  Phöông trình z a a. a 2 i a.  Caên baäc hai cuûa soá phöùc z a bi laø hai soá phöùc daïng 2 a hai nghieäm phöùc z 0 coù i a.  Phöông trình az bz c 0 0 seõ coù hai nghieäm vôùi 2 . phöùc laø: z1,2 b i 2a . KHOÁI ÑA DIEÄN VAØ THEÅ TÍCH CUÛA CHUÙNG I. MOÄT SOÁ HÌNH PHAÚNG CÔ BAÛN: 1. Tam giaùc vuoâng: A AC ▪ AC2 CH.BC ▪ B C H AC (ñoái/huyeàn) ▪ cos B BC ▪ sin B 1 AH 2 A BC2 1 AB2 AB (keà/huyeàn) BC 1 AC2 ▪ tan B ▪ Ñöôøng cao: AH a a K ▪ AG G H 2 ▪ AB2 BH.BC ▪ AH 2 BH.CH AB.AC AH AB 2 AC 2 AC (ñoái/keà) AB ▪ cot B AB (keà/ñoái) AC Giaû söû tam giaùc ABC ñeàu coù caïnh a; troïng taâm G; caùc ñöôøng cao (truøng vôùi trung tuyeán) goàm AH , BK . 2. Tam giaùc ñeàu: B Pitago ▪ AB2 C a 3. Tam giaùc thöôøng: 2 AH 3 BK 2 a 3 . 3 2 (caïnh) 2 a 3 ; GH 3 (caïnh)2 ABC 4 Giaû söû tam giaùc ABC coù a ▪ Dieän tích: S 3 a 3 . 2 1 AH 3 1 a 3 . 3 2 a2 3 . 4 BC, b AC, c a 3 . 6 3 AB ; caùc ñöôøng cao ha , hb , hc laàn löôït öùng vôùi caïnh a, b, c. Kyù hieäu R, r laàn löôït laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp, noäi tieáp ∆. a sin A ▪ Ñònh lí Coâ-sin: a2 b c 2R . sin B sin C b2 c2 2bc.cos A ; ▪ Ñònh lí Sin: b2 ▪ Dieän tích: S S ABC ABC a2 c2 2ac.cos B; c2 a2 b2 2ab.cosC. 1 1 1 1 1 1 ha .a hb .b hc .c ; S ABC ab.sin C ac.sin B bc.sin A ; 2 2 2 2 2 2 abc a b c (nöûa chu vi). pr ; S ABC p( p a)( p b)( p b) vôùi p 4R 2 Coâng thöùc Heâ Roâng Cho hình vuoâng ABCD coù caïnh a; hai ñieåm M, N laàn löôït laø 4. Hình vuoâng: trung ñieåm cuûa CD, AD; I laø taâm hình vuoâng. ▪ Ñöôøng cheùo: IA IB AC BD AC BD IC (caïnh) ABN a2 ; chu vi: p 4a. ADM , ta chöùng minh ñöôïc: AM Cho hình chöõ nhaät ABCD taâm I coù AB 5. Hình chöõ nhaät: . a 2 neân I laø taâm ñöôøng troøn ñi qua 2 ID boán ñænh hình vuoâng. ▪ Dieän tích: SABCD (caïnh)2 ▪ Vì a 2 2 BN. a, AD b. ▪ Ñöôøng cheùo: AC BD a2 b2 . 1 2 IA IB IC ID a b2 neân I laø taâm ñöôøng troøn ñi 2 qua boán ñieåm A, B, C, D. ▪ Dieän tích: SABCD a.b ; chu vi: p 2(a b). Cho hình thoi ABCD coù taâm I , caïnh baèng a. 6. Hình thoi: ▪ Ñöôøng cheùo: AC ▪ Dieän tích: SABCD BD; AC 2 AI 1 AC.BD ; SABCD 2 2 AB.sin ABI 2S ABC 2S 2a.sin ABI. ACD 2S ABD . Ñaëc bieät: Neáu hình thoi coù goùc B D 600 ( A C 1200 ) thì ACD. ta chia hình thoi ra laøm hai tam giaùc ñeàu: ABC AC a vaø S ABC S ACD a2 3 ; SABCD 4 2S a2 3 . 2 ABC II. THEÅ TÍCH KHOÁI CHOÙP: 7. Hình choùp: 7.1. Hình choùp tam giaùc ñeàu S h ▪ Taát caû caïnh beân baèng nhau. ▪ Ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a. ▪ SH ( ABC) vôùi H laø troïng taâm ∆ ABC. D ▪ A H Sñ SH Sđ a2 3 4 h Theå tích V 1 a2 3 h. 3 4 C B V 1 h.Sñ 3 Goùc giöõa caïnh beân vaø maët Goùc giöõa maët beân vaø maët ñaùy: 7.2. Töù dieän ñeàu: ▪ Ñaây cuõng laø hình choùp tam giaùc ñeàu, ñaëc bieät laø caïnh beân baèng caïnh ñaùy. Theå tích: V a3 2 . 12 ñaùy: SA,( ABC) SAH (SAB),( ABC) SCH . SC,( ABC) (SBC),( ABC) ▪ Goùc giöõa caïnh beân vaø maët 7.4. Hình choùp coù caïnh beân SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy. a2 SO h h SA Sñ S Theå tích SBO . 1 SA.S 3 V ABC SBA SC,( ABC) SCA ABC . . ▪ Ñöôøng cao h SH cuõng laø ñöôøng cao cuûa ∆SAB. ▪ Goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy: SAH SC,( ABC) SCH . SMO SNO . Ñaùy laø töù giaùc ñaëc bieät Ñaùy laø tam giaùc SA,( ABC) 1 h.a2 . 3 V (SBC),( ABCD) ▪ Goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy: SB,( ABC) Theå tích (SAB),( ABCD) Ñaùy laø tam giaùc ▪ 7.5. Hình choùp coù maët beân (SAB) vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy. Sñ Goùc giöõa maët beân vaø maët ñaùy: SAO SB,( ABCD) SNH . ▪ Taát caû caïnh beân baèng nhau. ▪ Ñaùy laø hình vuoâng caïnh a. ▪ SO ( ABCD) vôùi O laø taâm hình vuoâng ABCD. 7.3. Hình choùp töù giaùc ñeàu: ñaùy: SA,( ABCD) SMH ▪ h Sñ SA SABCD Theå tích 1 SA.SABCD . 3 V ▪ Goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy: SB,( ABCD) SBA SC,( ABCD) SCA . Ñaùy laø töù giaùc ñaëc bieät ▪ Ñöôøng cao h SH cuõng laø ñöôøng cao cuûa ∆SAB. ▪ Goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy: SA,( ABCD) SAH SC,( ABCD) SCH . III. THEÅ TÍCH KHOÁI LAÊNG TRUÏ: 1. Hình laêng truï thöôøng:  Hai ñaùy laø hai hình gioáng nhau vaø naèm trong hai maët phaúng song song.  Caùc caïnh beân song song vaø baèng nhau. Caùc maët beân laø caùc hình bình haønh.  Theå tích: V Ñaùy laø tam giaùc Ñaùy laø töù giaùc h.Sñ . V 2. Hình laêng truï ñöùng:  Caùc caïnh beân cuøng vuoâng goùc vôùi hai maët ñaùy neân moãi caïnh beân cuõng laø ñöôøng cao cuûa laêng truï.  Laêng truï tam giaùc ñeàu: Laø laêng truï ñöùng vaø coù hai ñaùy laø hai tam giaùc ñeàu baèng nhau. AH.S ABC h  Theå tích: V AA h.Sñ vôùi BB CC . AH.SABCD AH.SA B C D Ñaùy laø töù giaùc Theå tích: V h AA h.Sñ vôùi BB CC DD . 3.1 Hình hoäp chöõ nhaät:  Laø laêng truï ñöùng coù ñaùy laø hình chöõ nhaät. 3.2. Hình laäp phöông:  Laø hình hoäp chöõ nhaät coù taát caû caùc caïnh baèng nhau.  V  V abc vôùi a,b, c laø ba kích thöôùc khaùc nhau cuûa hình hoäp chöõ nhaät. h.Sñ . V ABC Ñaùy laø tam giaùc  Theå tích: V 3. Hình hoäp:  Laø laêng truï coù taát caû caùc maët laø hình bình haønh. AH.S a3 vôùi a laø caïnh cuûa hình laäp phöông. MAËT TRUÏ – MAËT NOÙN – MAËT CAÀU MAËT NOÙN Caùc yeáu toá maët noùn:  Ñöôøng cao: h S l h l SO . ( SO cuõng ñöôïc goïi laø truïc cuûa hình noùn).  Baùn kính ñaùy: l r OA OB OM . Moät soá coâng thöùc:  Chu vi ñaùy: p  Dieän tích ñaùy: Sđ  Theå tích: V  Ñöôøng sinh: A r O B M Hình thaønh: Quay vuoâng l SA SB 2 r. 1 h.S 3 đ r2 . 1 h. r 2 . 3 (lieân töôûng khoái choùp). SM .  Goùc ôû ñænh: ASB .  Dieän tích xung quanh: Sxq rl . SOM quanh truïc SO , ta ñöôïc maët noùn nhö hình beân vôùi: h SO r OM .  Thieát dieän qua truïc: SAB caân taïi S.  Goùc giöõa ñöôøng sinh vaø maët ñaùy: SAO MAËT TRUÏ SBO  Dieän tích toaøn phaàn: Stp  Ñöôøng cao: h OO .  Ñöôøng sinh: l AD OA BC . h. OB OC O D.  Thieát dieän qua truïc: Laø hình chöõ nhaät ABCD. Moät soá coâng thöùc: IA IB Sxq Stp Laø ñöôøng troøn taâm I , baùn 4 R3 3 Sxq 2Sđ 2 r.h 2 r2 .  Maët caàu noäi tieáp ña dieän laø maët caàu tieáp xuùc vôùi taát caû caùc maët cuûa ña dieän ñoù. kính R .  Theå tích khoái caàu: V 2 r.h .  Maët caàu ngoaïi tieáp ña dieän laø maët caàu ñi qua taát caû ñænh cuûa ña dieän ñoù.  Thieát dieän qua taâm maët caàu: 4 R2 h. r2 . Maët caàu ngoaïi tieáp ña dieän Maët caàu noäi tieáp ña dieän 2R .  Dieän tích maët caàu: S h.Sđ  Dieän tích toaøn phaàn: IM .  Ñöôøng kính AB Hình thaønh: Quay ñöôøng troøn taâm I , baùn kính AB quanh truïc AB , ta coù R 2 maët caàu nhö hình veõ. r2 .  Dieän tích xung quanh:  Taâm I , baùn kính R 2 r.  Dieän tích ñaùy: S đ V hai ñieåm O, O . MAËT CAÀU r2 .  Theå tích khoái truï:  Truïc (∆) laø ñöôøng thaúng ñi qua Hình thaønh: Quay hình chöõ nhaät ABCD quanh ñöôøng trung bình OO , ta coù maët truï nhö hình beân. rl Moät soá coâng thöùc:  Chu vi ñaùy: p  Baùn kính ñaùy: r Sđ SMO . Caùc yeáu toá maët truï: Ta coù: l Sxq CAÙCH TÌM BAÙN KÍNH MAËT CAÀU NGOAÏI TIEÁP HÌNH CHOÙP THÖÔØNG GAËP 1. Hình choùp coù caùc ñænh nhìn moät caïnh döôùi moät goùc vuoâng.  Xeùt hình choùp coù SA ( ABC) vaø  Xeùt hình choùp coù SA ( ABCD) vaø ABCD laø hình chöõ 2. Hình choùp ñeàu.  Xeùt hình choùp tam giaùc ñeàu coù caïnh beân baèng b vaø ñöôøng cao  Xeùt hình choùp töù giaùc ñeàu coù caïnh beân baèng b vaø chieàu cao SO h ABC  Ta coù nhaät hoaëc hình vuoâng. 900 .  Ta coù: SAC SAC SBC 90 neân maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp coù taâm I laø trung ñieåm SC , 0 baùn kính R SC . 2 SBC SDC 900 Suy ra maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp coù taâm I laø trung ñieåm SC ,  Baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp SH h .  Baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp b2 . 2h treân laø R b2 . 2h treân laø R SC . 2 baùn kính R 3. Hình choùp coù caïnh beân vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy.  Khi ñoù maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp coù baùn h 2 kính R 4. Hình choùp coù maët beân vuoâng goùc vôùi maët ñaùy. 2 rñ 2 .  Neáu ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a thì  Xeùt hình choùp coù (ñaùy) vaø SA SA h ; baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp cuûa ñaùy laø rñ . a 3 . 3  Neáu ñaùy laø hình vuoâng rñ a 2 . 2  Neáu ñaùy laø hình chöõ nhaät caïnh a, b thì caïnh a thì rñ a2 rñ b2 2  Xeùt hình choùp coù maët beân (SAB) (ñaùy), baùn kính ngoaïi tieáp ñaùy laø rñ , baùn kính ngoaïi tieáp SAB laø rb , d AB (SAB) (ñaùy).  Khi ñoù baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp laø R . rñ 2 rb2 d2 . 4 HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG KHOÂNG GIAN 1. Heä truïc toïa ñoä Oxyz:  Heä truïc goàm ba truïc Ox, Oy, Oz ñoâi moät vuoâng goùc nhau.  Truïc Ox : truïc hoaønh, coù vectô ñôn vò i  Truïc Oy : truïc tung, coù vectô ñôn vò j  Truïc Oz : truïc cao, coù vectô ñôn vò k (1;0;0) . (0;1;0) . (0;0;1).  Ñieåm O(0;0;0) laø goác toïa ñoä. 2. Toïa ñoä vectô: Vectô u Cho a  a  ka  a  a.b b (a1 b1 ; a2 b2 ; a3 (a1 ; a2 ; a3 ), b b3 ) b b1 a2 b2 a3 b3 a1 .b1 a2 .b2 a3 .b3 yj zk  a a12 a22 a22 ( x; y; z) . u (b1 ;b2 ;b3 ) . Ta coù:  a cuøng phöông b (ka1 ; ka2 ; ka3 ) a1 xi a1 kb1 a2 kb2 a3 kb3 a1 b1  a2 a kb (k a2 a3 b2 b3 a 2 R) , (b1 , b2 , b3 a12 a22 0). a32  a b a.b a1b1 0 a2b2 3. Toïa ñoä ñieåm: M ( x; y; z)  AB ( xB xA ; yB a3b3 zA )  AB xA 2 xB yA ; 2 yB zA ; 2 zB a a1b1 a2b2 a a . b 2 2 2 3 a3b3 b22 2 1 b32 ( xB x A )2 ( yB yA )2 ( zB zA ) 2  Toaï ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC: x xB xC yA yB yC zA zB zC G A ; ; . 3 3 3  Toaï ñoä trung ñieåm M cuûa ñoaïn thaúng AB: M a.b 2 1 ( x; y; z) . Cho A( xA ; yA ; zA ) , B( xB ; yB ; zB ) , C( xC ; yC ; zC ) , ta coù: OM yA ; zB a.b  cos(a, b) 0 . 4. Tích coù höôùng cuûa hai vectô:  Ñònh nghóa: Cho a (a1 , a2 , a3 ) , b (b1 , b2 , b3 ) , tích coù höôùng cuûa a vaø b laø: a2 b2 a, b [a, b]  Tính chaát: a3 a3 ; b3 b3 [a, b] a  Ñieàu kieän cuøng phöông của hai vectô a & b laø a, b 0 vôùi 0 a1 a1 ; b1 b1 a2 b2 a2b1 . a . b .sin a, b 0.  Dieän tích tam giaùc ABC:  Dieän tích hình bình haønh ABCD:  Theå tích khoái hoäp: VABCD. A'B'C'D' a1b3 ; a1b2 [a, b] b laø [a, b].c ABCD a3b2 ; a3b1  Ñieàu kieän ñoàng phaúng cuûa ba vectô a, b vaø c (0;0;0). S a2b3 S AB, AD . [ AB, AD]. AA'. ABC  Theå tích töù dieän: VABCD 1 AB, AC . 2 1 AB, AC . AD . 6 5. Phöông trình maët caàu: Daïng 1: (S) : ( x Maët caàu ( S) coù a) 2 (y b) 2 (z c)2 R2 Daïng 2: (S) : x2 I (a; b; c) R Maët caàu ( S) coù R2  Phöông trình x2 z2 2ax 2by 2cz d Baøi toaùn 5.1. Vieát phöông trình maët caàu taâm I vaø ñi qua ñieåm M.  Böôùc 1: Tính baùn kính R  IM . 2ax b2 c2 2by 2cz d 0 a2 d 0 laø phöông trình maët caàu  a 2  b2  c 2  d  0 . Baøi toaùn 5.2. Vieát phöông trình maët caàu coù ñöôøng kính AB.  Böôùc 1: Tìm taâm I laø trung ñieåm AB. Baùn kính R  Böôùc 2: Vieát phöông trình maët caàu daïng 1. z2 I (a; b; c) R y2 y2 AB  IA  IB . 2  Böôùc 2: Vieát phöông trình maët caàu daïng 1. 6. Phöông trình maët phaúng:  Maët phaúng ( P) trình ( P) : a( x  Löu yù: Vectô phaùp tuyeán (VTPT) cuûa maët phaúng laø vectô khaùc 0 naèm treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñoù. Baøi toaùn 6.1. Vieát phöông trình maët phaúng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng AB. qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) VTPT n x0 ) b( y (a; b; c) y0 ) thì phöông c( z z0 ) 0 .  Ngöôïc laïi, moät maët phaúng baát kyø ñeàu coù phöông trình daïng ax by cz d 0 , maët phaúng naøy coù VTPT n (a;b; c) . Baøi toaùn 6.2. Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua ba ñieåm A, B, C.  Böôùc 1: Tìm trung ñieåm I cuûa ñoaïn AB vaø tính  AB, AC  .   toïa ñoä AB .  Böôùc 2: Phöông trình mp( P)  Böôùc 1: Tính toïa ñoä AB, AC vaø suy ra qua I VTPT n  AB . Baøi toaùn 6.3. Vieát phöông trình maët phaúng qua M vaø chöùa ñöôøng thaúng d vôùi M d .  Böôùc 2: Phöông trình mp( P)    Böôùc 2: Phöông trình mp( P) ax0  by0  cz0  d a 2  b2  c 2 .  Cho hai maët phaúng (), () coù phöông trình: ( P) : a1 x  b1 y  c1 z  d1  0  (Q) : a2 x  b2 y  c2 z  d 2  0  Goùc giöõa ( P) & (Q) ñöôïc tính: nP . nQ  1. Khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng song song  Cho hai maët phaúng  Goùc giöõa hai maët phaúng  z c ( P) : ax  by  cz  d1  0 . (Q) : ax  by  cz  d 2  0  M ( x0 ; y0 ; z0 ) . mp( P) : ax  by  cz  d  0 nP .nQ y b VTPT n   AM , ud   Cho  cos  ( P), (Q)   x a qua M Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán maët phaúng  Khi ñoù: d  M , ( P)   0.  Phöông trình maët phaúng ñöôïc vieát theo ñoaïn chaén ( P) : Tính  AM , ud  . VTPT n   AB, AC  Baøi toaùn 6.4. Vieát phöông trình maët phaúng caét Ox, Oy, Oz laàn löôït taïi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C (0; 0; c) vôùi a, b, c  Böôùc 1: Choïn ñieåm A  d vaø moät VTCP ud . qua A a1a2  b1b2  c1c2 a  b12  c12 . a22  b22  c22 2 1  0 0  Chuù yù: 0  ( P), (Q)  90 .  Khi ñoù: d  ( P), (Q)   d1  d 2 a 2  b2  c2 vôùi d1  d 2 . Vò trí töông ñoái giöõa hai maët phaúng Cho hai maët phaúng (), () coù phöông trình: ( P) : a1 x  b1 y  c1 z  d1  0 . Ta coù:  (Q) : a2 x  b2 y  c2 z  d 2  0 a b c d  ( P) (Q)  1  1  1  1 . a2 b2 c2 d2 a b c d  ( P)  (Q)  1  1  1  1 . a2 b2 c2 d 2  ( P) & (Q) caét nhau  a1 : b1 : c1  a2 : b2 : c2 .  ( P)  (Q)  a1a2  b1b2  c1c2  0 .  Löu yù: Caùc tæ soá treân coù nghóa khi maãu khaùc 0. Ví trò töông ñoái giöõa maët phaúng vaø maët caàu Cho maët phaúng ( P) : ax  by  cz  d  0 vaø maët caàu ( S ) coù taâm I vaø baùn kính R.  Tröôøng hôïp 1: d  I , ( P)   R  ( P) vaø ( S ) khoâng coù ñieåm chung.  Tröôøng hôïp 2: d  I , ( P)   R  ( P) vaø ( S ) coù  Tröôøng hôïp 3: d  I , ( P)   R  ( P) caét ( S ) moät ñieåm chung. Khi ñoù ta noùi ( P) tieáp xuùc theo giao tuyeán laø moät ñöôøng troøn. ( S ) hoaëc ( P) laø tieáp dieän cuûa ( S ). Ñöôøng troøn giao tuyeán coù taâm H (laø trung ñieåm AB), baùn kính r  R 2  IH 2 vôùi IH  d  I ,( P)  . Ta coù: IM  ( P) vôùi M laø tieáp ñieåm. 7. Phöông trình ñöôøng thaúng:  Ñöôøng thaúng d qua A( xA ; y A ; z A ) VTCP u  (u1; u2 ; u3 )  x  x A  u1t   Phöông trình tham soá d :  y  y A  u2t vôùi z  z  u t A 3  coù: t laø tham soá.  Phöông trình chính taéc d:  Vectô chæ phöông (VTCP) cuûa ñöôøng thaúng d laø vectô khaùc 0 , coù giaù naèm treân d hoaëc song song vôùi d. x  xA y  y A z  z A   u1 u2 u3 a  d  Löu yù: Neáu coù caëp vectô khaùc 0 khoâng cuøng phöông sao cho  b  d vôùi u1.u2 .u3  0 . thì d coù VTCP laø: ud   a, b  .   7.1. Ví trò töông ñoái giöõa hai ñöôøng thaúng: Xeùt vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng d1 , d2 vôùi d1 Böôùc I  u1 , u2 0 Hai ñöôøng thaúng d1 , d2 song song hoaëc truøng nhau.  u1 , u2 0 Hai ñöôøng thaúng d1 , d2 caét nhau hoaëc cheùo nhau. qua M VTCP u1 Böôùc II  u1 ; MN 0  u1 ; MN 0 qua N , d1 VTCP u2 . Keát luaän d1 d2 (Hai ñöôøng thaúng truøng nhau) d1 d2  u1 ,u2 .MN 0 d1 caét d2  u1 ,u2 .MN 0 d1 & d2 cheùo nhau 7.2. Ví trò töông ñoái giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng: x x0 u1t Xeùt vò trí töông ñoái giöõa ñöôøng thaúng d : y y0 u2 t vaø maët phaúng (P) : ax z z0 u3 t Böôùc I:  Thay phöông trình tham soá d vaøo Böôùc II:Giaûi PT (*), ta gaëp 1 trong 3 tröôøng hôïp sau  PT (*) voâ nghieäm by cz d Keát luaän d ( P) 0 . phöông trình ( P) , ta ñöôïc PT (*): a( x0 u1t) b( y0 u2t) c(z0 u3t) d  x  x0 0  PT (*) coù 1 nghieäm   y  y0 z  z 0  d caét ( P) taïi ñieåm coù toïa ñoä ( x0 ; y0 ; z0 ) . d  PT (*) coù voâ soá nghieäm (P) 7.3. Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán ñöôøng thaúng:  Böôùc 1: Choïn ñieåm A  d vaø moät VTCP ud .  Cho ñieåm M vaø ñöôøng thaúng d (coù phöông trình tham soá hoaëc chính taéc).  Böôùc 2: d  M , d   ud , AM    . ud 7.4. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng:  Cho hai ñöôøng thaúng d1 , d 2 laàn löôït coù VTCP laø u1 , u2 .     Ta coù: cos d1 , d 2  u1.u2 . u1 . u2 7.5. Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng:  Cho ñöôøng thaúng d coù VTCP u vaø maêt phaúng ( P) coù VTPT n .     Ta coù: sin d , ( P)  u.n u.n 8. Hình chieáu vaø ñieåm ñoái xöùng: Baøi toaùn  Tìm hình chieáu cuûa ñieåm A treân maët phaúng (P ) . Phöông phaùp  Goïi d laø ñöôøng thaúng qua A ( P) Vieát pt tham soá cuûa d vôùi VTCP cuûa d cuõøng laø VTPT cuûa (P).  Goïi H  d  ( P) . Thay pt tham soá cuûa d vaøo pt mp (P) ta tìm ñöôïc toïa ñoä H.  Tìm ñieåm A ñoái xöùng vôùi A qua (P ) .  xA  2 xH  xA   Ta coù H laø trung ñieåm AA   y A  2 yH  y A . z  2z  z H A  A Caùch I  Tìm hình chieáu cuûa ñieåm A treân ñöôøng thaúng d.  Goïi H (theo t ) (döïa vaøo pt tham soá cuûa d).  Tìm ñöôïc t  AH  d  AH .ud  0   Goïi ( P) Caùch II qua A ( P) d Vieát pt mp( P) .  Goïi H  d  ( P) . Thay pt tham soá cuûa d vaøo pt mp (P) ta tìm ñöôïc toïa ñoä H.  Tìm ñieåm A ñoái xöùng vôùi A qua ñöôøng thaúng d.  xA  2 xH  xA   Ta coù H laø trung ñieåm AA   y A  2 yH  y A . z  2z  z H A  A Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn Email goùp yù: [email protected] .......   Toïa ñoä H. .