Tài liệu tóm tắt công thức hình học lớp 12

Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn Hình học 12 5 TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------hoctoancapba.com CÁC DẠNG TOÁN TÓM TẮT LÝ THUYẾT Daïng 1: Chöùng minh A,B,C laø ba ñænh tam giaùc 1. AB  ( x B  x A , y B  y A , z B  z A ) 2. AB  AB    x B  x A  2   y B  y A 2   z B  z A  2  3. a  b  a1  b1 , a 2  b2 , a3  b3  4. k.a  ka1 , ka2 , ka3  5. a  a12  a 22  a32    A,B,C laø ba ñænh tam giaùc  [ AB, AC ] ≠ 0  1  SABC = [AB, AC] 2  Ñöôøng cao AH =  Shbh = [AB, AC]  2.S ABC BC  Daïng 2: Tìm D sao cho ABCD laø hình bình haønh  Chöùng minh A,B,C khoâng thaúng haøng  a1  b1  6. a  b  a 2  b2 a  b 3  3  ABCD laø hbh  AB  DC Daïng 3: Chöùng minh ABCD laø moät töù dieän: 7. a.b  a1 .b1  a 2 .b2  a3 .b3  a1 a 2 a3   b1 b2 b3 8. a // b  a  k .b  a  b  0        12. a, b, c không đồng phẳng  a  b .c  0 13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1  x kxB y A kyB z A kzB  M A , ,  1 k 1 k   1 k 14. M là trung điểm AB  x  xB y A  y B z A  z B  M A , ,  2 2   2 15. G là trọng tâm tam giác ABC  x  x B  xC y A  y B  y C z A  z B  z C  G A , , , 3 3 3   16. Véctơ đơn vị : e1  (1,0,0); e2  (0,1,0); e3  (0,0,1) 17. M ( x,0,0)  Ox; N (0, y,0)  Oy; K (0,0, z )  Oz 18. M ( x, y,0)  Oxy; N (0, y, z )  Oyz; K ( x,0, z )  Oxz 1 1 a12  a 22  a32 19. S ABC  AB  AC  2 2 1 20. V ABCD  ( AB  AC ).AD 6 21. V ABCD. A/ B / C / D /  ( AB  AD).AA /   Ñöôøng cao AH cuûa töù dieän ABCD 1 V  S BCD . AH  AH  3V 3 S BCD 9. a  b  a.b  0  a1 .b1  a 2 .b2  a3 .b3  0  a a3 a3 a1 a1 a 2   10. a  b   2 , ,  b b b b b b 2 3 3 1 1 2   11. a, b, c đồng phẳng  a  b .c  0  [ AB, AC ]. AD ≠ 0   1  Vtd = [AB, AC] . AD 6 Theå tích hình hoäp :   V ABCD. A/ B / C / D /  AB; AD . AA / Daïng4: Hình chieáu cuûa ñieåm M 1. H laø hình chieáu cuûa M treân mp  Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua M vaø vuoâng goùc mp : ta coù a d  n   Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø () 2. H laø hình chieáu cuûa M treân ñöôøng thaúng (d)  Vieát phöông trình mp qua M vaø vuoâng goùc vôùi (d): ta coù n  a d  Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø () Daïng 5 : Ñieåm ñoái xöùng 1.Ñieåm M/ ñoái xöùng vôùi M qua mp  Tìm hình chieáu H cuûa M treân mp (daïng 4.1)  H laø trung ñieåm cuûa MM/ 2.Ñieåm M/ ñoái xöùng vôùi M qua ñöôøng thaúng d:  Tìm hình chieáu H cuûa M treân (d) ( daïng 4.2)  H laø trung ñieåm cuûa MM/ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn Hình học 12 6 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- MẶT PHẲNG TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Vectô phaùp tuyeán cuûa mp :    n ≠ 0 laø veùctô phaùp tuyeán cuûa   n   2. Caëp veùctô chæ phöông cuûa mp :     a // b laø caëp vtcp cuûa   a , b cuøng //        3 Quan heä giöõa vtpt n vaø caëp vtcp a , b : n = [ a , b ]  4. Pt mp qua M(xo ; yo ; zo) coù vtpt n = (A;B;C) CAÙC DAÏNG TOAÙN Daïng 1: Maët phaúng qua 3 ñieåm A,B,C :  qua A ( hay B hay C ) °  ° Caëp vtcp: AB , AC    vtpt n  [ AB , AC ] Daïng 2: Maët phaúng trung tröïc ñoaïn AB : °  qua M trung ñieå m AB   vtpt n  AB Daïng 3: Maët phaúng  qua M vaø  d (hoaëc AB) A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0  () : Ax + By + Cz + D = 0 ta coù n = (A; B; C) 5.Phöông trình maët phaúng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : x y z   1 a b c Chuù yù : Muoán vieát phöông trình maët phaúng caàn: 1 ñieåm vaø 1 veùctô phaùp tuyeán 6.Phöông trình caùc maët phaúng toïa ñoä (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0 7. Chuøm maët phaúng : giaû söû 1  2 = d trong ñoù (1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 (2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0 Pt mp chöùa (d) coù daïng sau vôùi m2+ n2 ≠ 0 : m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 8. Vò trí töông ñoái cuûa hai mp (1) vaø (2) : °  caét   A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 A B C D °  //   1  1  1  1 A2 B2 C2 D2 A B C D °    1  1  1  1 A2 B2 C2 D2 ª     A1 A2  B1 B2  C1C2  0 9.KC từ M(x0,y0,z0) đến () : Ax + By + Cz + D = 0 d(M, )  Ax o  By o  Cz o  D A 2  B2  C2 10.Goùc giữa hai maët phaúng :   n1 . n 2 cos( ,  )    n1 . n 2 qua M °    Vì   (d) neân vtpt n  a ....(AB) d Daïng 4: Mp qua M vaø // : Ax + By + Cz + D = 0 °  qua M  Vì  //  neâ n vtpt n   n  Daïng 5: Mp chöùa (d) vaø song song (d/)  Ñieåm M ( choïn ñieåm M treân (d)) a d  a  Mp chöùa (d) neân Mp song song (d/) neân a d /  b ■  Vtpt n  a d , a d /  Daïng 6 Mp qua M,N vaø   : ■ Mp qua M,N neân MN  a ■ Mp  mp neân n  b qua M (hay N) °    vtpt n  [ MN , n ]  Daïng 7 Mp chöùa (d) vaø ñi qua ■ Mp chöùa d neân a d  a ■ Mp ñi qua M  (d ) vaø A neân AM  b qua A °  (Caùch 2: söû duïng chuøm mp)  vtpt n  [ a , AM] d ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn Hình học 12 7 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN TÓM TẮT LÝ THUYẾT CAÙC DAÏNG TOAÙN 1.Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (d) qua  M(xo ;yo ;zo) coù vtcp a = (a1;a2;a3) Daïng 1: : Ñöôøng thaúng (d) ñi qua A,B (hayB) quaA (d ) ad  AB  Vtcp x  x o  a 1t  (d) : y  y o  a 2 t ; t  R z  z  a t o 3  Daïng 2: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø song song () qua A 2.Phöông trình chính taéc cuûa (d) (d) : x  xo a  y  yo 1 a2  z-z 0 a3 (d ) Qui öôùc: Maãu = 0 thì Tö û= 0 qua A (d ) A x  B1 y  C1z  D1  0 (d) :  1 A 2 x  B 2 y  C 2 z  D 2  0  B1 Veùctô chæ phöông a    B2 C1 C1 , C2 C2 A1 A1 , A2 A2 B1 B2      (d) qua M coù vtcp a d ; (d’) qua N coù vtcp a d /   d cheùo d’  [ a d , a d / ]. MN ≠ 0 (khoâng ñoàng phaúng)   d,d’ ñoàng phaúng  [ a d , a d / ]. MN = 0    /  d,d’ song song nhau  { a d // a d / vaø M  ( d ) }   d,d’ truøng nhau  { a d // a d / vaø M  ( d / ) }  Cho (d) qua M coù vtcp a d ; (d’) qua N coù vtcp a d / Kc từ đieåm ñeán ñường thẳng: d ( A, d )  Kc giöõa 2 ñường thẳng :  n d  d (d ; d / )   Vieát pt mp chöùa (d) vaø vuoâng goùc mp quaM  (d )  (  )  (d )  a  a d           n  b   n   [a d ; n ]  ª (d / ( ) ) (  ) Daïng 5: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø vuoâng goùc (d1),(d2) (d ) qua A   vtcp a  [ a d1  ,a d2 ] Daïng 6: PT d vuoâng goùc chung cuûa d1 vaø d2 :   + Tìm a d = [ a d1, a d2] + Mp chöùa d1 , (d) ; mp chöùa d2 , (d) [a d ; AM ]  d= ad Daïng 7: PT qua A vaø d caét d1,d2 : d =    [a d ; a d / ].MN vôùi mp = (A,d1) ; mp = (A,d2) Daïng 8: PT d //  vaø caét d1,d2 : d = 1  2 vôùi mp1 chöùa d1 //  ; mp2 chöùa d2 //  [a d ; a d / ]   Vì (d)  ( ) neâ n vtcp a   d,d’ caét nhau  [ a d , a d / ]  0 vaø [ a d , a d / ]. MN =0 5.Khoaûng caùch :  Daïng4: PT d’ hình chieáu cuûa d leân  : d/ =    4.Vò trí töông ñoái cuûa 2 ñöôøng thaúng :  d  a Daïng 3: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø vuoâng goùc mp 3.PT toång quaùt cuûa (d) laø giao tuyeán cuûa 2 mp 1 vaø 2   Vì (d) // () neâ n vtcp a  6.Goùc : (d) coù vtcp a d ; ’ coù vtcp a d / ; ( ) coù vtpt n  a d .a d / Goùc giữa 2 ñöôøng thaúng : cos(d,d' )   ad . ad /   ad . n Goùc giữa ñường vaø mặt : sin(d, )    ad . n Daïng 9: PT d qua A vaø  d1, caét d2 : d = AB vôùi mp qua A,  d1 ; B = d2   Daïng 10: PT d  (P) caét d1, d2 : d =    vôùi mp chöùa d1 ,(P) ; mp chöùa d2 ,  (P) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn Hình học 12 8 MẶT CẦU ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CAÙC DAÏNG TOAÙN TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Phương trình maët caàu taâm I(a ; b ; c),baùn kính R S(I,R) : x  a  y  b  z  c  R 2 2 2 2 (1) S(I,R) : x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  0 (2) ( vôùi a  b  c  d  0 ) 2  2 2 2 2 2 Taâm I(a ; b ; c) vaø R  a  b  c  d 2.Vò trí töông ñoái cuûa maët phaúng vaø maët caàu Cho (S) : x  a2  y  b2  z  c2  R2 vaø  : Ax + By + Cz + D = 0 Goïi d = d(I,) : khoûang caùch töø taâm mc(S) ñeán mp :  d > R : (S)   =   d = R :  tieáp xuùc (S) taïi H (H: tieáp ñieåm, : tieáp dieän) *Tìm tieáp ñieåm H (laø hchieáu cuûa taâm I treân mp)  Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc mp : ta coù a d  n   Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø ()  d < R :  caét (S) theo ñöôøng troøn coù pt (S) : x  a2  y  b2  z  c2  R2   : Ax  By  Cz  D  0 *Tìm baùn kính r vaø taâm H cuûa ñöôøng troøn: + baùn kính r  R2  d2 ( I ,  ) + Tìm taâm H ( laø hchieáu cuûa taâm I treân mp)  Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc mp : ta coù a d  n   Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø () 3.Giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø maët caàu x  x o  a1t  d : y  y o  a 2 t (1) vaø z  z o  a 3 t  (S) : x  a  y  b  z  c  R2 (2) + Thay ptts (1) vaøo pt mc (2), giaûi tìm t, + Thay t vaøo (1) ñöôïc toïa ñoä giao ñieåm 2 2 Daïng 1: Maët caàu taâm I ñi qua A ª S(I,R) : x  a  y  b  z  c  R 2 (1) 2 2 2  Theá toïa ñoä A vaøo x,y,z tìm R2 Daïng 2: Maët caàu ñöôøng kính AB  Taâm I laø trung ñieåm AB  Vieát phöông trình maët caàu taâm I (1)  Theá toïa ñoä A vaøo x,y,z tìm R2 Daïng 3: Maët caàu taâm I tieáp xuùc mp Pt maë t caà u taâ m I (S ) R  d(I, )  A.x  B. y  C . z  D I I I A2  B 2  C 2 Daïng 4: Maët caàu taâm I vaø tieáp xuùc () (S ) taâ m I R  d(I, ) Daïng 5: Maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD Duøng (2) S(I,R) : x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  0 A,B,C,D  mc(S)  heä pt, giaûi tìm a, b, c, d Daïng 6:Maët caàu ñi qua A,B,C vaø taâm I € (α) S(I,R) : x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  0 (2) A,B,C  mc(S): theá toïa toïa A,B,C vaøo (2) I(a,b,c) (α): theá a,b,c vaøo pt (α) Giaûi heä phöông trình treân tìm a, b, c, d Daïng 7: Maët phaúng tieáp xuùc maët caàu taïi A   Tieáp dieän  cuûa mc(S) taïi A :  qua A, vtpt n  IA Daïng 8: Maët phaúng  tieáp xuùc (S) vaø   + Vieát pt mp vuoâng goùc  : n  a   ( A, B, C ) + Mp : Ax + By + Cz + D = 0 + Tìm D töø pt d(I ,  ) = R Daïng 9: Maët phaúng  tieáp xuùc (S) vaø // 2 ñt a,b :    n  [ a ,b ]  pt : Ax  By  Cz  D  0 töø d(I,  )  R  D 2 Daïng 10: Mp chöùa  vaø tieáp xuùc mc(S) : thuoä c chuø m mp chöù a   R  d(I, )  m, n ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn Hình học 12 9 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3