Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN
1. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
1/ c ' 0 (c là hằng số)
2/ x m ' mx m1
4/ cos x ' sin x
5/ tan x '
3/ sin x ' cos x
1
cos2 x
6/ cot x '
7/ a x ' a x ln a
9/ ln x '
8/ e x ' e x
1
sin 2 x
1
x
2.
a.Bảng công thức tích phân bất định :
1 dx x c
dx
ln x c
x
3
4 e dx e
x
5
x
c
n 1
2 x dx nx 1 c n 1
n
3 '
4 '
dx
1
ln ax b c
ax b a
1
e axb dx eax b c a 0
a
ax
a dx
c
ln a
x
1
6 sin xdx cos x c
6 ' sin ax b dx a cos ax b c
7 cos xdx sin x c
7 ' cos ax b dx a sin ax b c
1
dx
dx
tan x c
9
cot x c
2
cos x
sin 2 x
10 tan xdx ln cos x c 10 ' cot xdx ln sin x c
8
11
12
13
14
dx
1
x 1
ln
c
x 1 2 x 1
2
dx
2
x k
11'
dx
1
x a
ln
c
2
2a
xa
x a
2
ln x x 2 k c
x
1
x 2 1 ln x x2 1 c
2
2
x
k
x2 kdx
x2 k ln x x 2 k c
2
2
x 2 1dx
b. Tính chất nguyên hàm :
f
'
( x) dx f ( x ) C
1
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
k.f(x)dx
( k 0) .
k f ( x ) dx
c. Phương pháp nguyên hàm đổi biến : Tính I f (u ( x )).u ' ( x )dx
Đặt biến t u ( x) dt u ' ( x) dx
Khi đó I f (t )dt F (t ) C
Thay t = u(x) vào F(t)
d. Phương pháp nguyên hàm từng phần : Tính I f ( x ).g ( x ) dx
u f ( x) du f ' ( x ) dx
Đặt :
dv g ( x) dx v G ( x)
Khi đó : I f ( x ).g ( x )dx u.v vdu
Tính : vdu
Kết luận
2. Tích phân :
b
a. Định nghĩa:
f ( x)dx F ( x)
b
a
F (b) F ( a ) ; với F x là một nguyên hàm của f x .
a
b. Tính chất:
a
b
f ( x) dx 0 ;
a
a
a
b
b
( k )
b
f ( x) dx f ( x) dx ;
b
b
f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx
a
a
b
kf ( x)dx k f ( x)dx
a
a
b
;
a
a
c
b
f ( x ) dx f ( x )dx f ( x) dx
a
c
(a c b)
b
c. Phương pháp tích phân đổi biến số: Tính I
f u( x) u '( x)dx .
a
Đặt u u ( x ) du u '( x )dx
Đổi cận: x a u u (a ) ; x b u u (b)
u (b)
Thay vào I ta được I
u (b)
f (u ) du F (u ) u ( a ) F [u (b)] F [u (a )]
u(a)
b
d. Phương pháp tích phân từng phần: Tính I f ( x ) g ( x )dx
a
u f ( x) du f ' ( x) dx
Đặt :
dv g ( x) dx v G ( x)
b
b
b
Khi đó : I f ( x ) g ( x )dx uv a vdu
a
a
2
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
b
Tính : vdu
a
Kết luận
3. Ứng dụng tích phân :
a. Công thức tính diện tích :
Cho hàm số y f ( x) liên tục trên đoạn a; b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
b
y f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b là:
S f ( x ) dx .
a
Cho hai hàm số y f ( x) và y g ( x ) liên tục trên đoạn a; b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
b
các hàm số y f ( x) , y g ( x ) và hai đường thẳng x a , x b là:
S f ( x ) g ( x ) dx .
a
b. Công thức tính thể tích :
Cho hàm số y f ( x) liên tục trên đoạn a; b . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f ( x) , trục
Ox ( y 0 ) và hai đường thẳng x a , x b quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể
b
2
tích là: V f ( x ) dx .
a
I-Phương pháp biến số phụ :
Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn a; b có nguyên hàm là F (x) .
Giả sử u (x) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn , và có miền giá trị là a; b thì ta có :
f u( x).u ' ( x)dx F ( x)u ( x) C
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
1
a) I1
0
1
xdx
e x dx
b)
I
2
0 e x 1
x2 1
e
c) I 3
1
1 ln x dx
x
Bài làm :
3
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
dt
a) Đặt t x 2 1 dt 2 xdx xdx
2
x 0 t 1
Đổi cận :
x 1 t 2
2
2
xdx 1 2 dt 1
1
Vậy : I1 2
ln t ln 2
21 t 2
2
1 x 1
1
b) Đặt t e x 1 dt e x dx
x 1 t e 1
Đổi cận :
2
x 2 t e 1
1
e x dx
Vậy : I 2 x
e 1
0
e2 1
e1
e 2 1
dt
ln t
ln(e 1)
t
e1
c) Đặt t 1 ln x tdt
1
dx
x
x 1 t 1
Đổi cận :
x e t 2
e
I3
1
2
2
1 ln x dx
2 3
2
t dt t 2 ( 2 2 1)
x
3 1 3
1
1.Tích phân lượng giác :
Dạng 1 : I sin mx. cos nxdx
Cách làm: biến đổi tích sang tổng .
Dạng 2 : I sin m x. cos n x.dx
Cách làm :
Nếu m, n chẵn . Đặt t tan x
Nếu m chẵn n lẻ . Đặt t sin x (trường hợp còn lại thì ngược lại)
dx
Dạng 3 : I
a. sin x b. cos x c
Cách làm :
2t
sin x
x
1 t2
Đặt : t tan
2
2
cos x 1 t
1 t2
a. sin x b. cos x
Dạng 4 : I
.dx
c. sin x d . cos x
Cách làm :
a. sin x b. cos x
B(c. cos x d . sin x )
Đặt :
A
c. sin x d . cos x
c. sin x d . cos x
4
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
Sau đó dùng đồng nhất thức .
a. sin x b. cos x m
Dạng 5: I
.dx
c. sin x d . cos x n
Cách làm :
a. sin x b. cos x m
B(c. cos x d . sin x )
C
Đặt :
A
c. sin x d . cos x n
c. sin x d . cos x n c. sin x d . cos x n
Sau đó dùng đồng nhất thức.
BÀI TẬP
1.Tính tích phân :
2
2
cos xdx
(sin x 1) 4
0
4
b) I 2 cos 5 xdx
a) I1
c) I 3 tan 6 xdx
0
0
Bài làm :
a) Đặt : t sin x 1 dt cos xdx
x 0 t 1
Đổi cận :
x 2 t 2
2
2
cos xdx
dt
1
Vậy : I 1
4 3
4
3t
0 (sin x 1)
1 t
b) Đặt : t sin x dt cos xdx
2
1
7
24
x 0 t 0
Đổi cận :
x 2 t 1
2
1
2
1
I 2 cos 5 xdx 1 t 2 dt 1 t 4 2t 2 dt
0
Vậy :
0
0
1
1
t5 2
8
t 3 t
5 3
0 15
0
c) Đặt : t tan x dt (tan 2 x 1) dx
x 0 t 0
Đổi cận :
x 4 t 1
4
1
1
t 6 dt
1
t 4 t 2 1 2
dt
2
t 1
0 t 1
0
I 3 tan 6 xdx
Vậy :
0
5
3
1
4
t
t
13
t du
15 4
5 3
0 0
5
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
2.Tính các tích phân sau :
2
a) I1
0
3
sin x. cos x
2
2
2
b) I 2
dx
2
a .sin x b . cos x
cos x
2 cos 2 x
0
dx
Bài làm :
a) Đặt : t a 2 .sin 2 x b 2 . cos 2 x dt 2(b 2 a 2 ) sin x. cos xdx
x 0 t a 2
Đổi cận :
2
x t b
2
Nếu a b
2
Vậy :
sin x. cos x
1
dx
2
2 b a2
a 2 . sin x b 2 . cos x
I1
0
1
t
2
b a2
b
2
a2
ab
2
b a
2
b2
a2
dt
t
1
ab
Nếu a b
2
I1
Vậy :
2
sin x. cos x
2
2
2
2
a . sin x b . cos x
0
sin x. cos xdx
a
0
dx
2
1 2
1
1
sin
2
xdx
cos
2
x
2a 0
4a
2a
0
b) Đặt : t sin x dt cos xdx
x 0 t 0
Đổi cận :
3
x t
3
2
3
Vậy : I 2
0
cos x
2 cos 2 x
3
2
dx
0
dt
3 2t 2
1
2
3
2
0
dt
3 2
t
2
3
3
cos u dt
sin udu
2
2
t 0 u 2
Đổi cận :
t 3 u
2
4
Đặt : t
6
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
3
3
sin udu
1 2
dt
1 2 2
I2
2 0 3 2
2 3
t
1 cos 2 u
4
2
2
Vậy :
2
4
1
du
2
4
1
2
u
4 2
4
3.Tính các tích phân sau :
2
2
sin x 7 cos x 6
dx
4 sin x 3 cos x 5
0
1
a) I 1
dx
4 sin x 3 cos x 5
0
b) I 2
Bài làm :
x
x
2dt
dt tan 2 1dx dx 2
2
2
t 1
x 0 t 0
Đổi cận :
x 2 t 1
2
1
1
dt
1 t2
I1
dt
2
2
2t
1 t
0
0 t 1
4
3
5
Vậy :
1 t2
1 t 2
a) Đặt : t tan
1
1
1
t2 0 6
sin x 7 cos x 6
4 cos x 3 sin x
C
b)Đặt :
A B
4 sin x 3 cos x 5
4 sin x 3 cos x 5 4 sin x 3 cos x 5
Dùng đồng nhất thức ta được: A 1 , B 1 , C 1
2
Vậy :
I2
0
2
sin x 7 cos x 6
4 cos x 3 sin x
1
dx 1
dx
4 sin x 3 cos x 5
4 sin x 3 cos x 5 4 sin x 3 cos x 5
0
x ln 4 sin x 3 cos x 5 02 I1
9 1
ln
2
8 6
4.Bạn đọc tự làm :
2
a) I1
6
3
cos x
dx
sin 2x
2
b) I 2 cos3 x. sin xdx
0
2
dx
0 sin x 2
c) I 3
7
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
2
c) I 3
0
2
3
2
4 sin x
1
sin x cos x 1
dx d) I 5
dx d) I 6
dx
cos x 1
sin
x
2
cos
x
3
sin
x
2
cos
x
3
0
0
2-Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ
dx
1
1
.
C với a, n C N 0,1 ta có :
n
n 1 x a n1
x a
dx
Nếu n 1 , a R ta có : I
ln x C
xa
, , a, b, c R
x
Dạng 2 : I 2
dx trong đó :
n
2
ax bx c
b 4ac 0
Dạng 1 : I
* Giai đoạn 1 : 0 ,làm xuất hiện ở tử thức đạo hàm của tam thức ax 2 bx c , sai khác một số :
2a
2ax b b
2ax b
2a
dx
I
dx
dx
b
n
n
n
2a
2a ax 2 bx c
2a
ax 2 bx c
ax 2 bx c
* Giai đoạn 2 :
Tính I
n
dx
dt
4a
.
n dx
2
2a 2 ax b 1 t 2
ax bx c
t
n
* Giai đoạn 3 :
1
Tính I
dt có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc đặt t tan
n
2
t 1
P x
Dạng 3 : I m dx
Qn x
Pm x am x m ...... a1 x a0
Ta có :
Qn x bn x n ...... b1 x b0
Nếu : degP degQ thì ta thực hiện phép chia
Pm x
R x
R x
trong đó phân số r
có
Am n x r
Qn x
Qn x
Qn x
degR degQ
Nếu : degP degQ ta có các qui tắc sau :
Pm x
A1
An 1
An
......
*Qt 1:
n
n 1
x a x a
x a
x a n
n
P x
Ai
Vdụ 1a : n m
i
i
i 1 x ai
x
a
i
i 1
Vdụ 1b :
*Qt 2':
Pm x
A
B
C
D
2
( x a )( x b)( x c)
x a x b x c x c 2
Pm x
ax
2
bx c
A1 x B1
An 1 x Bn1
An x Bn
......
2
n
1
ax bx c
ax 2 bx c
ax 2 bx c
n
n
với 0
8
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
m
n
Pt x
Ai
Ai x B1
*Qt 3:
n
i
m
2
x ax bx c i 1 x k 1 ax2 bx c i
Pt x
A
Bx C
2
( x ) ax bx c
x
ax2 bx c
Pt x
B1 x C1
B2 x C 2
A
Vdụ 2 :
2
2
2
x ax bx c x ax bx c ax 2 bx c 2
Vdụ 1 :
BÀI TẬP
1.Tính các tích phân sau :
1
dx
a) I 1 2
0 x 3x 2
1
b) I 2
0
dx
x
2
3x 2
2
Bài làm :
1
1
1
dx
dx
1
1
a) I 1 2
dx
x 1x 2 0 x 1 x 2
0 x 3x 2
0
1
4
ln x 1 ln x 2 0 ln
3
1
1
dx
1
1
2
b) I 2
dx
2
0 x 12 x 22 x 1x 2dx
2
0 x 3x 2
1
1
1
2ln x 1 ln x 2 OK
x 1 x 2
0
2.Tính các tích phân sau :
1
dx
a) I1 4
x 3x 2 3
0
1
b) I 2
0
4x 2
dx
x 1 x 2
2
Bài làm :
dx
1
x
arctan C với a 0
2
x a
a
a
1
1
1
dx
dx
1 1
1
I1 4
2
2
2
dx
2
2
x 3 x 3 0 x 1x 3 2 0 x 1 x 3
0
a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh được I 0
2
1
1
1
x
arctan x
arctan
92 3
2
3
30 2
4x 2
A
Bx C x 2 A B x2 B C 2C A
x 2 x 2 1 x 2 x 2 1
x 2 x 2 1
A B 0
A 2
Do đó ta có hệ : 2 B C 4 B 2
2C A 0
C 0
b) Đặt :
9
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
1
4x 2
2
2x
Vậy : I 2 2
dx
2 dx
x 2 x 1
0 x 1 x 2
0
1
4
2 ln x 2 ln x 2 1 2 ln 3 ln 2 ln 2 ln 1 ln
0
9
1
3.Bạn đọc tự làm :
3
x 1
a) I1 2
dx
x x 1
2
2
c) I 3
1
5
b) I 2
2
2
3
x 1
dx
4 x3 x
d) I 3
dx
x 2x 3
x
2
4
3
x
dx
3x 2 2
HD:
x 1
A B
C
1
A
B
2
b) 2
x 1
x x 1 x x
x 2x 3 x 1 x 3
3
x
A
B
C
D
x 1 1
x4
c)
1
d) 4
2
3
4 x x 4 x2 x 12 x 1
x 3x 2 x 1 x 1 x 2 x 2
a)
2
3-Đẳng thức tích phân :
Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét một số đặc điểm
sau .
* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, ….
Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng.
BÀI TẬP
1
1.Chứng minh rằng :
1
n
m
x 1 x dx x 1 x
m
0
n
dx
0
Bài làm :
1
Xét I x m 1 x n dx
0
Đặt : t 1 x dt dx dx dt
x 0 t 1
Đổi cận :
x 1 t 0
1
0
1
Vậy : I x m 1 x n dx 1 t m t n dt 1 t m t n dt (đpcm)
0
1
0
2.Chứng minh rằng nếu f (x) là hàm lẻ và liên tục trên đoạn a, a thì :
10
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
a
I
f x dx 0
a
Bài làm :
a
I
a
0
f ( x)dx f x dx f x dx 1
a
a
0
0
Xét
f x dx
. Đặt t x dt dx dx dt
a
x a t a
Đổi cận :
x 0 t 0
a
0
V ậy :
a
f x dx f t dt f t dt
a
0
0
Thế vào (1) ta được : I 0 (đpcm)
Tương tự bạn đọc có thể chứng minh : Nếu f (x) là hàm chẳn và liên tục trên đoạn a, a thì
a
I
a
f x dx 2 f x dx
a
0
3.Cho a 0 và f x là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R .
Chứng minh rằng :
f x
a x 1 dx 0 f x dx
Bài làm :
0
f x
f x
f x
dx x
dx x
dx
x
1
a 1
a 1
0
a
0
Xét
1
f x
dx . Đặt t x dt dx dx dt
x
1
a
x t
Đổi cận :
x 0 t 0
0
t
f x
f t
a f t
Vậy : x dx t
dt t
a 1
a 1
a 1
0
0
0
f x
a x f x
f x
Thế vào (1) ta được : x
dx x
dx x
dx f x dx (đpcm)
a 1
a 1
a 1
0
0
4.Cho hàm số f x liên tục trên 0,1 . Chứng minh rằng :
0 x. f sin x dx 2 0 f sin x dx
Bài làm :
11
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
Xét
x. f sin x dx .
Đặt t x
dt dx dx dt
0
x 0 t
Đổi cận :
x t 0
Vậy :
x. f sin x dx t . f sin t dt t . f sin t dt
0
0
0
f sin t dt t . f sin t dt
0
0
2 x. f sin x dx f sin x dx
0
0
x. f sin x dx 2 f sin x dx
0
0
Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau .
Nếu hàm số f x liên tục trên a, b và f a b x f x . Thì ta luôn có :
b
x. f x dx
a
ab
f x dx
2 0
5.Cho hàm số f x liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T .
aT
Chứng minh rằng :
T
f x dx f x dx
a
0
Bài làm :
a T
T
a T
T
0
a T
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
a
a
Vậy ta cần chứng minh
T
a
a
a T
0
T
f x dx f x dx
0
T
a
Xét
f x dx . Đặt
t xT
dt dx
0
x 0 t T
Đổi cận :
x a t a T
aT
Vậy :
T
a T
Hay :
a T
f t T dt
f t dt
T
T
f x dx f x dx (đpcm)
a
0
Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :
12
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
Nếu hàm số f x liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn có :
T
2
T
f x dx f x dx
0
T
2
6.Bạn đọc tự làm :
1
1
a) I1 x1 x dx
6
0
e) I 5
x 2 sin x
x. sin x
dx
9 4 cos 2 x
2
1 2x
1
0
c) I 3
b) I 2 sin 2 x. cos x ln x x 2 1 dx
x. sin x
dx
1 cos 2 x
0
d) I 4
1
x 2 sin x
dx
1 x2
1
f) I 6
dx
2
2
g) I 7 ln sin x 1 sin 2 x dx
2009
h) I 8
0
1 cos 2 x dx
0
II-TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn a, b , thì ta có :
b
b
b
udv uv vdu
a
a
a
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u ln x hay u log a x .
*ưu tiên 2 : Đặt u ?? mà có thể hạ bậc.
Nhớ “ NHẤT LỐC, NHÌ ĐA, TAM LƯỢNG, TỨ MŨ".
BÀI TẬP
1.ính các tích phân sau :
2
1
a) I1 x.e x dx
0
e
b) I 2 x 2 . cos xdx
c) I 3 ln xdx
0
1
Bài làm :
u x du dx
a) Đặt :
x
x
dv e dx v e
1
1
1
1
Vậy : I1 x.e x dx x.e x e x dx e e x e e 1 1
0
0
0
0
u x 2 du 2 xdx
b) Đặt :
dv cos xdx v sin x
13
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
1
2
2
0
Vậy : I1 x.e x dx x. cos x 2 x. sin xdx
0
2
2
0
2 x. sin xdx
4
0
1
2
Ta đi tính tích phân
x. sin xdx
0
u x du dx
Đặt :
dv sin xdx v cos x
2
Vậy :
2
2
0
x. sin xdx x. cos x cos xdx x. cos x 02 sin 02 1
0
0
1
Thế vào (1) ta được : I1 x.e x dx
0
2 8
4
1
u ln x du dx
c) Đặt :
x
dv dx v x
e
e
e
e
e
Vậy : I 3 ln xdx x. ln x 1 dx x. ln x 1 x 0 1
1
1
2.Tính các tích phân sau :
4
x
a) I1 e . sin xdx
0
x
b) I 2
dx
cos2 x
0
e
c) I 3 cos ln x dx
1
Bài làm :
u e x du e x dx
a) Đặt :
dv sin xdx v cos x
Vậy : I1 e x . sin xdx e x . cos x e x . cos xdx e 1 J
0
0
1
0
x
x
u e du e dx
Đặt :
dv cos xdx v sin x
Vậy : J e x . cos xdx e x . sin x e x . sin xdx I
0
0
0
Thế vào (1) ta được : 2 I1 e 1
I1
e 1
2
u x du dx
b) Đặt :
1
dv cos 2 x dx v tan x
4
Vậy : I 2
0
4
0
4
x
2
4
dx
x
.
tan
x
tan
xdx
ln
cos
x
ln
2
0
cos x
4
4
2
0
14
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
1
u cosln x du sin ln x dx
c) Đặt :
x
dv dx v x
e
e
e
Vậy : I 3 cosln x dx x. cosln x 1 sin ln x dx e 1 J
1
1
1
u sin ln x du cosln x dx
Đặt :
x
dv dx v x
e
e
e
Vậy : I 3 sin ln x dx x. sin ln x 1 cosln x dx 0 I 3
1
1
Thế vào (1) ta được : 2 I 3 e 1
I3
e 1
2
3.Bạn đọc tự làm :
e
ln 2
a) I1
b) I 2 1 ln x 2 dx
x
x.e dx
1
0
2
1
1
c) I 3 2
dx
ln x ln x
e
3
1
d) I 4 ln x 1 x 2 dx
0
e
e) I 5 sin x. lntan x dx
4
f) I 6 cos2 ln x dx
1
4
2
1 sin x x
e dx
1 cos x
0
g) I 7 x 2 cos 2 x
h) I 7
0
II* - KỸ THUẬT TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN THEO SƠ ĐỒ.
( x a ) cos 3 x 1
sin 3 x 2017 thì tổng S= ab +c bằng
b
c
C. S = 3
D.S = 10.
Câu 1: Một nguyên hàm ( x 2)sin 3 xdx
A. S = 14
Giải
Sơ đồ giải
Đạo hàm
Nguyên hàm
x-2
(+)
1
(-)
0
B. S = 15
sin3x
cos 3x
3
sin 3 x
9
15
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
a 2
cos 3 x sin 3 x
Theo sơ đồ ta có I ( x 2)
C b 3 S ab c 15( B)
3
9
c 9
Câu 2 : Biết
2 x
x e dx ( x
A.6
2
mx n)e x C. Giá trị mn là
B.4
Giải
Ta có sơ đồ
Đạo hàm
C.0
D.-4
Nguyên Hàm
x2
(+)
ex
2x
(-)
ex
2
(+)
ex
0
ex
I x 2e x 2 xe x 2e x C ( x 2 2 x 2)e x ( x 2 mx n)e x C
Vây
m 2
mn 4( D)
n 2
1
15 a
a
4 x
Câu 3 : Biết I = I x.ln
dx ln c, Với a,b,c N * và là phân số tối giản, khẳng định nào
2 b
b
4 x
0
sau đây đúng.
A. a + b = 2c.
B. a + b = 3c.
C. a + b = c.
D. a + b = 4c.
Giải
Ta có sơ đồ
Đạo hàm
4 x
ln
4 x
8
2
x 16
(+)
(-)
Nguyên Hàm
x
x 2 16
( kỹ thuật thêm bớt trong từng phần)
2
a 3
x 2 16 4 x
1
15 3
Vậy ta có I
ln
4 x ln 4 b 5 a b 2c (C )
4 x
2 5
2
0
c 4
Với hàm logarit ta đạo hàm đến khi nào mà tích của cột trái và cột phải tính được nguyên hàm thì dừng.
2
b
a
b
Câu 4 : Biết I ( x 2 x) ln xdx ln 2 với a , b, c * và tối giản. Tính S = ab + c
c
3
c
1
A.806.
B.559.
C.1445.
C.1994
Giải.
16
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
Ta có sơ đồ
Đạo hàm
lnx
1
x
Nguyên Hàm
x2 x
x3 x 2
(-)
3 2
a 14
x3 x 2
x3 x 2 2 14
55
Ta có I ln x ln 2 b 55 S ab c 806 ( A)
36
9 4 1 3
3 2
c 36
(+)
2
a be
Chọn đáp án đúng
c
B. c a b 9
C. c a b 12
Câu 5: Cho I e 2 x .sin 3 xdx
0
A. c a b 8
D. c a b 7 .
Giải .
Ta có sơ đồ
Đạo hàm
sin 3x
(+)
Nguyên Hàm
e2 x
3cos 3x
(-)
e2x
2
9sin 3x
(+)
e2x
4
e2x
3e2 x
92
Vậy I
sin 3 x
cos 3 x 2 e 2 x .sin 3 xdx
3
40
2
0
I
a 3
4 e2 x
3e2 x
3 2e
I
sin 3 x
cos 3 x 2
b 2 ( A)
13 2
4
13
0
c 13
Với dạng bài có hai hàm tuần hoàn, ta đạo hàm ( hoặc nguyên hàm) đến khi nào hàm lượng giác quay về
ban đầu thì dừng
RÈN LUYỆN
Bài 1.Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. x. sin xdx
2. x cos xdx
5.
9.
x sin 2 xdx
x ln xdx
6.
x cos 2 xdx
10. ln xdx
2
2
( x 5) sin xdx
7. x.e dx
ln xdx
11.
x
3.
x
4 ( x 2 2 x 3) cos xdx
8.
ln xdx
12. e dx
x
17
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
x
13.
cos
dx
2
x
x
17. e . cos xdx
x lg xdx
21.
2
14.
xtg
18.
x e dx
2 x ln(1 x)dx
3
22.
xdx
x2
x dx
16.
ln(x
2
20.
2
x
15.
sin
19.
x ln(1 x )dx
ln(1 x )
x dx
23.
2
24.
2
1)dx
x
xdx
2
cos 2 xdx
Bài 2 . Tính các tích phân sau
1)
x.e
3x
2)
dx
( x 1) cos xdx
e
6)
x ln xdx
(1 x
2
1).e x .dx
10)
1
7)
4 x. ln x.dx
0
3
1
2
ln(1 x)
1 x2 dx
ln x
1 ( x 1)2 dx
x sin x
dx
cos2 x
0
1
22) (x 1)2 e2x dx
0
e
1
26)
8)
x. ln(3 x
11)
2
xtg xdx
0
2
).dx
0
2
x
2
. cos x.dx
12)
(x
0
2
2 x). sin x.dx
0
2
1
14) x cos xdx
18)
0
2
2
17) x ln2 xdx
x.sin 2 xdx
1
2
e
4)
1
0
ln x
13) 5 dx
x
1
25)
). ln x.dx
x. cos x.dx
2
21)
2
(x
(2 x) sin 3xdx
3
1
2
2
0
e
1
9)
3)
0
0
5)
6
2
1
x
15) e sin xdx
0
6)
sin
0
4
19) x sin x cos2 xdx
0
e
23) (x ln x)2 dx
1
1
27) ( x 2)e 2 x dx
0
xdx
20) x(2 cos2 x 1)dx
0
2
24) cos x.ln(1 cos x)dx
0
1
28) x ln(1 x 2 )dx
0
e
e
29)
1
ln x
x
2
30) ( x cos 3 x) sin xdx
dx
0
2
31) (2 x 7) ln( x 1)dx
0
3
32) ln( x 2 x )dx
2
III-Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max :
b
Muốn tính I f x dx ta đi xét dấu f x trên đoạn a, b , khử trị tuyệt đối
a
b
Muốn tính I max f x , g x dx ta đi xét dấu f x g x trên đoạn a, b
a
b
Muốn tính I min f x , g x dx ta đi xét dấu f x g x trên đoạn a, b
a
Hoặc ta đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài ( áp dụng cho từng khoảng nghiệm)
1.Tính các tích phân sau :
18
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
4
2
b) I1 x 2 2 x 3 dx
a) I1 x 2 dx
1
Bài làm :
x 1
a)
x-2
0
2
-
4
0
+
2
4
4
2
4
x2 x2
Vậy : I1 x 2 dx 2 x dx x 2 dx 2 x 2 x
2 1 2
2
1
1
2
1
5
4 2 2 8 8 2 4
2
2
x 0,2 tương tự ta được
b) Lập bảng xét dấu x 2 2 x 3 ,
2
1
2
I1 x 2 2 x 3 dx x 2 2 x 3 dx x 2 2 x 3 dx
0
0
1
.
1
2
x3
x3
I1 3 x x 2 3 x x 2 4
3 0
3 1
1
Tính I a x x a dx với a là tham số :
0
Bài làm :
x
x-a
a
0
-
+
(Từ bảng xét dấu trên ta có thể đánh giá ).
Nếu a 0 .
1
1
I a x x a dx
0
0
1
x 3 ax 2
1 a
x ax dx
2 0 3 2
3
2
Nếu 0 a 1 .
a
1
1
I a x x a dx x ax dx x 2 ax dx
0
2
a
0
a
1
ax 2 x 3 ax 2 x 3
1 a 2 a3
3 0 2
3 a 3 2
2
2
Nếu a 1 .
1
1
1
x 3 ax 2
1 a
I a x x a dx x ax dx
2 0
3 2
3
0
0
2
19
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
2
3
2.Tính : a) I1 min 1, x 2 dx
0
Bài làm :
a) Xét hiệu số : 1 x 2
2
b) I 2 max x 2 , x dx
0
x 0,2
1
2
2
x3
4
2
Vậy : I1 min 1, x dx x dx dx
x1
3 0
3
0
0
1
2
2
b) Xét hiệu số : x x 1 x 0,3 tương tự như trên ta có .
3
1
1
3
3
x2
x3
55
I 2 max x , x dx xdx x dx
2 0 3 1 6
0
0
1
2
2
Bạn đọc tự làm :
3
2
3
4
a) I1 min x, x 2 3 dx b) I 2 max sin x, cos x dx c) I 3
0
2
3
sin x cos x dx
0
5
d) I 4 max x 2 ,4 x 3 dx d) I 4 x 2 x 1 x 2 x 1 dx
2
1
IV- Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ :
Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel
Dạng 1:
R x,
ax 2 bx c dx ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ.
2
a 0
2 ax b
2
ax
bx
c
1
4a
0
Rx,
S t ,
ax 2 bx c dx
t
1 t 2 dt Tới đây , đặt t tan u .
2 axb
2
a 0
2ax b
Dạng 2:
ax 2 bx c
1
4 a
0
Rx,
S t ,
ax 2 bx c dx
t
1 t 2 dt Tới đây , đặt t sin u .
2 ax b
2
a 0
2ax b
2
Dạng 3:
ax bx c
1
4a
0
R x,
t
Dạng 4 (dạng đặc biệt) :
S t ,
ax 2 bx c dx
t 2 1 dt Tới đây, đặt t
2 ax b
1
.
sin u
x
dx
2
ax bx c
t
1
x
dt
2
t t
Một số cách đặt thường gặp :
20
- Xem thêm -
.PDF 
53 
264 
56 
