Tài liệu THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Chuyên đề Thể tích khối đa diện Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 CHỦ ĐỀ 1 ÔN TẬP HÌNH HỌC PHẲNG VÀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VẤN ĐỀ 1 ÔN TẬP HÌNH HỌC PHẲNG 1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông Cho D ABC vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có: A B 2 2 2  BC = AB + AC ( Pitago)  AH .BC = AB .AC 2 2  AB = BH .BC , AC = CH .CB 1 1 1 = + , AH 2 = HB .HC  2 2 AH AB AC 2 BC  AM = 2 C H M 2/ Các hệ thức lượng trong tam giác bất kỳ a) Định lí hàm số cosin b2 + c2 - a2 * a = b + c - 2bc cosA � cosA = 2bc 2 a + c2 - b2 2 2 2 * b = a + c - 2ac cosB � cosB = 2ac 2 a + b2 - c2 2 2 2 * c = a + b - 2abcosC � cosC = 2ab 2 A c b a B C 2 2 b) Định lí hàm số sin A c B b R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC) C a c) Công thức tính diện tích của tam giác A c B b a C – nửa chu vi – bán kính đường tròn nội tiếp R – bk đường ngoại nội tiếp Trang 1 Chuyên đề Thể tích khối đa diện Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 d) Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác A . K N M B C 3/ Định lí Talet AB 2 + AC 2 BC 2 BA2 + BC 2 AC 2 * BN 2 = 2 4. 2 4 2 2 2 CA + CB AB * CK 2 = 2 4 * .AM 2 = A M AM AN MN = = =k AB AC BC 2 � � AM � � =� = k2 � � � � �AB � * MN / / BC � N B SD AMN * C SD ABC (Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng) 4/ Diện tích của đa giác a/ Diện tích tam giác vuông B Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh góc vuông. A C b/ Diện tích tam giác đều 2 B . 3 + Diện tích tam giác đều: SDđều = (cạnh) 4 + Chiều cao tam giác đều: . 3 hD đều = (cạnh) 2 ha A C A c/ Diện tích hình vuông và hình chữ nhật B a + Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương. + Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2 . + Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng. O D C A d/ Diện tích hình thang SHình Thang � a2 3 � SD ABC = � � 4 � �� � a 3 � � h = � 2 � � SHV = a2 � �� � � AC = BD = a 2 � � D �S = Diện tích hình thang: = 1 � SD ABC = AB .AC 2 1 2 .(đáy lớn + đáy bé) . chiều cao B e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc + Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau A bằng ½ tích hai đường chéo. + Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau tại trung điểm của mỗi đường. H ( AD + BC ) .AH 2 C B C� SH .Thoi 1 = AC .BD 2 D Lưu y: Trong tính toán diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản dễ tính diện tích, sau đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích đa giác. Trang 2 Chuyên đề Thể tích khối đa diện Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 VẤN ĐỀ 2 ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 1/ Chứng minh đường thẳng d // mp(a ) � d // d ' � � � d ' �(a) � d // mp(a) a. Phương pháp 1: Chứng minh � � � � ( d �(a)) � � � d �(b) � � d // mp(a) b. Phương pháp 2: Chứng minh � � (�b) // (a) � c. Phương pháp 3: Chứng minh d và (a ) cùng vuông góc với một đường thẳng hoặc cùng vuông góc với một mặt phẳng. ( ) 2/ Chứng minh mp(a ) // mp b ( ) a. Phương pháp 1: Chứng minh mp(a ) chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mp b . ( ) b. Phương pháp 2: Chứng minh mp(a ) và mp b cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc với 1 đường thẳng. 3/ Chứng minh hai đường thẳng song song: ( ) a. Phương pháp 1: Hai mp(a ), b có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song a,b thì (a) �( b) = Sx // a // b . � a // mp(a) � � � a �mp( b) � a// b. b. Phương pháp 2: Chứng minh � � � � (a) �( b) = b � � c. Phương pháp 3: Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó. d. Phương pháp 4: Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo giao tuyến song song. e. Phương pháp 5: Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. f. Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo, … ( ) 4/ Chứng minh đường thẳng d ^ mp a � d ^a � � � d ^b � � d ^ mp( a ) a. Phương pháp 1: Chứng minh: � � a � b � � � � a,b �mp( a ) � � � d // d ' � � d ^ mp( a ) b. Phương pháp 2: Chứng minh: � � d ' ^ mp( a ) � � Trang 3 Chuyên đề Thể tích khối đa diện Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 ( ) � d ^ mp b � c. Phương pháp 3: Chứng minh: � � mp b // mp( a ) � � ( ) � d ^ mp( a ) d. Phương pháp 4: Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng � ( a) ^ ( P ) � � � d ^ (P ) vuông góc với mặt phẳng thứ 3: � � ( b) ^ ( P ) � � � ( a ) �( b) = d � � e. Phương pháp 5: Có hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông � ( a ) ^ ( b) � � � � ( a ) �( b) = a � d ^ b góc với giao tuyến của 2 mặt phẳng, cũng vuông góc với mặt phẳng kia: � � ( ) � d �( a ) � � � d ^a � � 5/ Chứng minh đường thẳng d ^ d ' a. Phương pháp 1: Đường thẳng d ^ ( a ) thì d ^ tất cả các đường thẳng nằm trong mp( a ) . b. Phương pháp 2: Sử dụng định lý ba đường vuông góc. c. Phương pháp 3: Chứng tỏ góc giữa d và d ' bằng 900 . d. Phương pháp 4: Sử dụng hình học phẳng. ( ) ( ) 6/ Chứng minh mp a ^ mp b � ( a ) �d � mp a ^ mp b � ( ) ( ) (chứng minh mp chứa 1 đường thẳng � d ^ ( b) � � a. Phương pháp 1: Chứng minh � � vuông góc với mp kia) b. Phương pháp 2: Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng 900 . PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH (Phần này cần nắm cho thật vững) I. TÍNH GÓC 1. Tính góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau Phương pháp : Có thể sử dụng một trong các cách sau: a. Cách 1: (theo phương pháp hình học) + Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì bằng 0 + Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau: Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương với hai đường thẳng đó: a  � a // a ' � � (a�,b) = (a�',b') = f � � b // b' � � (chú ý: Góc giữa hai đường thẳng chỉ lấy góc nhọn không lấy góc tù) b. Cách 2 : (theo phương pháp véc tơ): ur ur a� b cos  a, b   ur ur a �b 2. Tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P  Phương pháp xác định : + a � P    A + Trên đường thẳng a lấy điểm M bất kỳ. + Tìm điểm H là hình chiếu của M trên mp  P  � MH   P  Trang 4 . a' b'b Chuyên đề Thể tích khối đa diện Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 � + a� ;  P   MAH  Chú y: đường thẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng thì góc bằng 0 3. Xác định góc giữa hai mặt phẳng  P  và  Q  Phương pháp : + Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng  P  và  Q  + Tìm 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng  P  và  Q  đồng thời 2 đường thẳng này cùng vuông góc với giao tuyến chung của 2 mặt phẳng  P  và  Q  + Góc của 2 mặt phẳng  P và  Q  là góc của 2 đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến chung của 2 mặt phẳng  P  và  Q  Chú y: 2 mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc bằng 0 II. TÍNH KHOẢNG CÁCH 1. Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng Phương pháp : Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta phải đi tìm đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến mặt phẳng , ta hay dùng một trong hai cách sau : Cách 1 : + Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P) . + Xác định m   P  � Q  . + Dựng MH  m  P  � Q  , � MH   P  Suy ra MH là đoạn cần tìm . Cách 2: Dựng MH / / AK  P  Chú ý : d + Nếu MA / /  P  � d � . M , P  � M , P  � � � � � � + Nếu MA� P   I � d� M , P  � � � IM  d� IA M , P  � � � 2. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng: d + Khi a / /  P  � d � với A� P  . a , P  � A, P  � � � � � � + Khi đường thẳng a � P  hoặc a � P  thì khoảng cách bằng 0 3. Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng : + Khi  P  / /  Q  � d � P  ,  Q  � d �M ,  Q  �với A � P  � � � � �  P  � Q  � d �P , Q � 0 + Khi �    � � � � P  � Q  4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng Trang 5 . Chuyên đề Thể tích khối đa diện Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 �    �  ' � d � ,  ' � 0 . a. Khi �    � � � �   �  '  d �M ,  ' � d �N ,  � với M �   , N �  '  . b. Khi    / /   '  � d �    ,   ' � � � �  � �  � c. Khi hai đường thẳng chéo nhau : + Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau    và   ' là đường thẳng  a  cắt    ở M và cắt   ' ở N đồng thời vuông góc với cả    và   ' . + Đoạn MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau    và   ' . + Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó . Phương pháp : + Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b .Tính khoảng cách từ b đến mp(P) . + Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm . + Cách 3 : Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó . * Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau : + Dựng  P  �b ,  P  / / a . + Dựng a ' hch P  a , bằng cách lấy M �a + Dựng đoạn MN     , lúc đó a’ là đường thẳng đi qua N và song song a . + Gọi H  a '�b , dựng HK / / MN � HK là đoạn vuông góc chung cần tìm ( Hay MN là đoạn vuông góc chung cần tìm) . * Nếu hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc nhau thì: + Dựng một mp  P  �b ,  P   a tại H . + Trong (P) dựng HK  b tại K . + Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a và b . VẤN ĐỀ 3 TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐẶC BIỆT I. HÌNH CHÓP ĐỀU 1/ Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy. Nhận xét: + Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. + Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau. + Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau. + Đáy là đa giác đều (tam giác đều, hình vuông ...) 2/ Hai hình chóp đều thường gặp a/ Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC . Khi đó: + Đáy ABC là tam giác đều. + Các mặt bên là các tam giác cân tại S . S C A Trang 6 O B H Chuyên đề Thể tích khối đa diện Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 + Chiều cao: SO .( O là tâm của đáy) � = SBO � = SCO � . + Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO � . + Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO + Tính chất: AO = 2 AH , OH = 1 AH , AH = AB 3 . 3 3 2 Lưu y: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều: + Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều. + Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy. S b/ Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S.ABCD . + Đáy ABCD là hình vuông. + Các mặt bên là các tam giác cân tại S . + Chiều cao: SO . + Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: � = SBO � = SCO � = SDO � . SAO D A � . + Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO O B H C II. TỨ DIỆN ĐỀU: + Tứ diện đều có 4 mặt là các tam giác đều + Khi hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy thì đó là tứ diện đều. Do đó tứ diện đều có tính chất như hình chóp tam giác. III. HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG HÌNH LĂNG TRỤ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG + 2 mặt đáy là đa giác song song và bằng nhau. + các cạnh bên song song và bằng nhau + các mặt bên là hình bình hành + 2 mặt đáy là đa giác song song và bằng nhau. + các cạnh bên song song và bằng nhau + các mặt bên là hình bình chữ nhật và vuông góc với 2 mặt đáy + Chiều cao là cạnh bên + Chiều cao là khoảng cách của 2 mặt đáy Hình hộp: là hình lăng trụ có 2 đáy là hình bình hành Hình hộp chữ nhật : là hình lăng trụ đứng có 2 đáy là hình chữ nhật Hình lập phương: là hình lăng trụ đứng có 6 mặt là hình vuông. IV. CHIỀU CAO CỦA MỘT SỐ HÌNH CHÓP CÓ TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT 1/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy ( ) Ví du: Hình chóp S.ABCD có cạnh bên SA ^ ABCD thì chiều cao là SA . 2/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác chứa trong mặt bên vuông góc với đáy. ( ) ( ) Ví du: Hình chóp S.ABC có mặt bên SAB vuông góc với mặt đáy ABC thì chiều cao của hình chóp là chiều cao của D SAB . Trang 7 Chuyên đề Thể tích khối đa diện Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 3/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt bên cùng vuông góc với đáy. ( ) ( ) ( ) Ví du: Hình chóp S.ABCD có hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với mặt đáy ABCD thì chiều cao là SA . 4/ Hình chóp đều và tứ diện đều: Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm của đáy. Ví du: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tâm mặt phẳng đáy là giao điểm O của hai đường chéo hình vuông ABCD thì có đường cao là SO . CHỦ ĐỀ 2 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VẤN ĐỀ 1 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN DIỆN TÍCH XUNG QUANH DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN Thể tích KHỐI CHÓP Diện tích xung quanh Diện tích toàn phần Sxq = Tổng diện tích các mặt bên 1 V  B.h 3 Stp = Sxq + Diện tích mặt đáy + B là diện tích đáy + h đường cao hình chóp V  B.h KHỐI LĂNG TRỤ + B là diện tích đáy + h là đường cao lăng trụ KHỐI CHÓP CỤT h B + B '+ BB ' 3 +Với B, B ' là diện tích hai đáy V = ( Sxq = Tổng diện tích các mặt bên ) Stp = Sxq + Diện tích 2 mặt đáy Sxq = Tổng diện tích các mặt bên Stp = Sxq + Diện tích mặt đáy + h đường cao hình chóp Chú y: I. Thể tích hình hộp chữ nhật: V = abc . . � Thể tích khối lập phương: V = a3 a a b a a c Hình hộp chữ nhật Hình lập phương II. 4 phương pháp thường dùng tính thể tích 1.Tính thể tích bằng công thức. + Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao,…. + Sử dụng công thức tính thể tích. + Cần năm vững các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác, .... 2. Tính thể tích bằng cách chia nho: Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính thể tích của chúng. Sau đó, ta cộng kết quả lại, ta sẽ có kết quả cần tìm. 3. Tính thể tích bằng cách bổ sung: Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác, sao cho khối đa diện thêm vào và khối đa diện mới có thể dễ dàng tính được thể tích. Trang 8 Chuyên đề Thể tích khối đa diện Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 4. Tính thể tích bằng tỉ số thể tích. * Trong nhiều bài toán, việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện có thể gặp khó khăn vì hai lí do: + Hoặc là khó xác định và tính được chiều cao. + Hoặc tính được diện tích đáy nhưng cũng không dễ dàng. * Khi đó, ta có thể làm theo các phương pháp sau: + Phân chia khối cần tính thể tích thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản (hình chóp hoặc hình lăng trụ) mà các khối này dễ tính hơn. + Hoặc là so sánh thể tích khối cần tính với một đa diện khác đã biết trước hoặc dễ dàng tính thể tích. * Trong dạng này, ta thường hay sử dụng phương pháp tỉ số, lấy kết quả của bài toán sau: Cho hình chóp S.ABC. Lấy A’, B’, C’ tương ứng trên cạnh SA, SB, SC. Khi đó: VS .A 'B 'C ' VS.ABC = Chứng minh: Kẻ A’H’ và AH cùng vuông góc với mặt phẳng (SBC). Khi đó: A’H // AH và S, H’, H thẳng hàng. Ta có: VS.A 'B 'C ' VS .ABC = VA 'SB 'C ' VA.SBC SA ' SB ' SC ' . . . SA SB SC S 1 SD SB 'C '.A 'H ' =3 1 S .AH 3 D SBC H ’ A ’ 1 SB '.SC '.sin a.A 'H ' SB '.SC '.SA ' =2 = � ( �pcm) . 1 SB .SC .SA SB .SC .sin a.AH 2 � � . Trong đó: a = B 'SC ' = BSC B ’ H C ’ A B C Lưu ý: Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm A’, B’, C’ có thể có điểm A �A ', B �B ',C �C ' . Thông thường, đối với loại này, đề thường cho điểm chia đoạn theo tỉ lệ, song song, hình chiếu,… III. Sử dung phương pháp thể tích khối đa diện để tính khoảng cách * Các bài toán tìm khoảng cách: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng, trong nhiều trường hợp có thể qui về bài toán thể tích khối đa diện. Việc tính khoảng cách này dựa vào công thức hiển nhiên: h = chóp nào đó (hoặc h = 3V , ở đâyV , B, h lần lượt là thể tích, diện tích đáy và chiều cao của một hình B V đối với hình lăng trụ). S * Phương pháp này áp dụng được trong trường hợp sau: Giả sử có thể qui bài toán tìm khoảng cách về bài toán tìm chiều cao của một hình chóp (hoặc một lăng trụ) nào đó. Dĩ nhiên, các chiều cao này thường là không tính được trực tiếp bằng cách sử dụng các phương pháp thông thường như định lí Pitago, công thức lượng giác,… Tuy nhiên, các khối đa diện này lại dễ dàng tính được thể tích và diện tích đáy. Như vậy, chiều cao của nó sẽ được xác định bởi công thức đơn giản trên. * Phương pháp: Sử dụng các định lí của hình học trong không gian sau đây: ( ) + Nếu mp( P ) // mp(Q ) d ( AB,CD ) = d � mp( P ) , mp(Q ) � . � � ( ) ( trong đó mp( P ) , mp( Q ) ) ( )� AB, P � + Nếu AB // mp P trong đó mp P chứaCD thì d AB,CD = d � . � � � lần lượt chứa AB và CD thì: + Từ đó, qui bài toán tìm khoảng cách theo yêu cầu bài toán về việc tìm chiều cao của khối chóp (hoặc một khối lăng trụ) nào đó. + Giả sử bài toán đã được qui về tìm chiều cao kẻ từ đỉnh S của một hình chóp (hoặc một lăng trụ). Ta tìm thể tích của hình chóp (lăng trụ) này theo một con đường khác mà không dựa vào đỉnh S này, chẳng hạn như quan Trang 9 Chuyên đề Thể tích khối đa diện Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 niệm hình chóp ấy có đỉnh S ' �S . Sau đó, tính diện tích đáy đối diện với đỉnh S . Như thế, ta suy ra được chiều cao kẻ từ S cần tìm. VẤN ĐỀ 2 CÁC DẠNG TOÁN KHỐI CHÓP DẠNG 1 HÌNH CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY BÀI TẬP CƠ BẢN ( ) Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là D ABC vuông cân ở B, AC = a 2, SA ^ mp ABC , SA = a . a3 ( đvtt ) . 6 b. Gọi G là trọng tâm của D SBC , mp( a ) đi qua AG và song song với BC cắt SC , SB lần lượt tại a. Tính thể tích khối chóp S.ABC . ĐS: VS .ABC = 2a3 ( đvtt ) . 27 Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là D ABC đều cạnh a và SA ^ ( ABC ) , SA = 2a . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lần lượt lên cạnh SB, SC . M , N . Tính thể tích khối chóp S.AMN . ĐS: VSAMN = a. Tính thể tích khối chóp H .ABC theo a . ĐS: V b. Tính thể tích khối A.BCK H theo a . ĐS: V ( = H .ABC A.BCK H a3 3 ( đvtt ) . 30 = 3a3 3 ( đvtt ) . 50 a 3 ĐS: d� = đvđd . � H , SAC ) c. Tính khoảng cách từ H đến mp SAC . � �( Bài 3. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2002) ( ) )� � ( ) 10 ( ) ( ) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp ABC , AC = AD = 4 cm , AB = 3 cm , 6 34 ĐS: d� = cm A, DBC � BC = 5( cm) . Tính khoảng cách từ A đến mp( BCD ) . �( � )� � ( ) 17 Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ^ ( ABCD ) , AB = a . Cạnh bên SC hợp với mp( ABCD ) một góc 450 . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của của A lên SB, SD . ( a. Chứng minh rằng: SC ^ AHK ) b. Tính thể tích khối chóp SOCD . c. Tính thể tích khối chóp O.AHK . ĐS: V ĐS: Trang 10 S .OCD = a3 2 ( đvtt ) . 12 Chuyên đề Thể tích khối đa diện Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 ( ) ( Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA ^ ABCD . mp SBC ) hợp với mp( ABCD ) một góc 300 . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của của A lên SB, SD . ( a. Mặt phẳng AHK ) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện . Tính tỉ số hai khối đa diện đó. b. Gọi M là điểm di động trên cạnh HK . Chứng minh thể tích khối chóp M .ABC có thể tích không đổi. Tính thể tích đó. ( ) Bài 6. Cho tứ diện ABCD có AD ^ ABC , AC = AD = 4a, AB = 3a, BC = 5a . ( ) 3 ĐS: VABCD = 8a đvtt . a. Tính thể tích khối tứ diện ABCD . ( ) b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp BCD . 6a 34 ĐS: d đvđd = � A,mp BCD � ( � � )� � 17 ( ) � = 600 . Gọi H là Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác có AC = a, AB = 3a , BAC ( ) hình chiếu của S trên ABC biết H �AB và AH = 2HB . Cạnh bên SC hợp với đáy một góc 450 . a. Tính thể tích khối chóp S.ABC ( ) b. Tính khoảng cách từ A đến mp SBC . ( ) Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy là D ABC vuông tại A và SB ^ ABC . Biết AB = a 2; SB = a , SC hợp với mp( SAB ) một góc 300 . a. Chứng minh rằng: SC 2 = SB 2 + AB 2 + AC 2 . b. Tính thể tích khối chóp S.ABC . ĐS: V c. Trên cạnh SA lấy điểm H sao cho SH = S .ABC = a3 3 ( đvtt ) . 6 2 HA . Tính thể tích khối chóp S.HBC . 3 a3 3 ( đvtt ) . S .HBC 15 � = 600 , Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy D ABC là tam giác vuông tại B và SA ^ ( ABC ) với ACB ĐS: V = BC = a, SA = a 3 . Gọi M là trung điểm của cạnh SB . ( ) ( ) a. Chứng minh rằng: mp SAB ^ mp SBC . a3 ( đvtt ) . 2 a3 c. Tính thể tích khối tứ diện MABC . ĐS: VMABC = ( đvtt ) . 4 a d. Tính khoảng cách từ điểm M đến mp( SAC ) . ĐS: d đvđd = ( ) � � M , SAC )� � ( � � 2 Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B . Biết SA ^ ( ABC ) . Cho AB = a , b. Tính thể tích khối chóp S.ABC . ĐS: VS .ABC = BC = a 3 , SA = a . Một mặt phẳng qua A vuông góc với SC tại H và cắt SB tại K . a. Tính diện tích xung quanh hình chóp S.ABC . b. Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a . ĐS: V S .AHK = a3 3 ( đvtt ) . 60 3a3 3 ( đvtt ) . AHK BC 20 Bài 11. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA ^ mp( ABC ) . Mặt bên c. Thể tích khối đa diện A.HK BC theo a . ĐS: V SBC hợp với đáy một góc 600 . Trang 11 = Chuyên đề Thể tích khối đa diện Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a . ĐS: V S .ABCD = a3 3 ( đvtt ) . 8 b. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC . Tính thể tích của khối chóp đa diện A.BCNM . Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 , đường cao SA = a . Mặt phẳng qua điểm A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K . a. Tính diện tích toàn phần hình chóp S.ABC . a3 3 ( đvtt ) . S .AHK 40 Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA ^ ( ABCD ) , SA = a 3 . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình vuông ABCD . b. Tính thể tích hình chóp S.AHK . ĐS: V a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . ĐS: V b. Tính thể tích khối chóp SOBC theo a . . ĐS: V = S .ABCD S .ABCD a3 3 = ( đvtt ) . 3 a3 3 = ( đvtt ) . 12 ( ) a 3 ĐS: d đvđd = � A, SBC � ( ) ( ) a 3 ĐS: d đvđd = � A, SBC � ( ) c. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp SBC . � �( d. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp SBC . � �( )� � 2 )� � 4 Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của ( ) các cạnh AB và AD, H là giao điểm của CN và DM . Biết SH ^ mp ABCD và SH = a 3 . a. Tính thể tích khối chóp SCDNM . 3 ĐS: V = 5a 3 . b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a . ĐS: d = 24 2a 3 19 Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA = a , hình chiếu vuông AC góc của đỉnh S lên mp( ABCD ) là điểm H thuộc đoạn AC , AH = . Gọi CM là đường cao của tam 4 giác SAC . a. Chứng minh M là trung điểm của SA . b. Tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a . Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA ^ ( ABCD ) . Cạnh SC tạo với mặt ( ) phẳng đáy ABCD một góc 600 . a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . ĐS: VS.ABCD = a3 6 ( đvtt ) . 3 a 3 b. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SC và BD . ĐS: d = ( SC ;BD ) 4 c. Một mặt phẳng ( P ) đi qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC , SD lần lượt tại M , N , P . Mặt phẳng ( P ) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tính tỉ số hai khối đa diện ấy. Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a , chiều cao SA = 2a . Gọi N là trung điểm của SC . a. Tính diện tích toàn phần hình chóp S.ABCD . Trang 12 Chuyên đề Thể tích khối đa diện Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . ĐS: VS.ABCD = ( ) 2a3 ( đvtt ) . 3 c. Mặt phẳng P chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB, SD tại M , P . Tính thể tích khối chóp 2a3 ( đvtt ) . 9 Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA ^ mp( ABCD ) , góc tạo bởi S.AMNP theo a . ĐS: VS.AMNP = mp( ABCD ) và mp( SBC ) bằng 450 . a3 ( đvtt ) . 3 a. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD . ĐS: VS .ABCD = b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD . a 6 ĐS: d đvđd = ( SC ;AD ) 3 ( ) ( ) c. Gọi M là trung điểm của SC . Mặt phẳng P chứa AM và song song với BD chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tính tỉ số hai khối đa diện đó . Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SA ^ mp( ABCD ) . Biết AB = 3a ( � = 600 . Mặt bên SBC , góc BAC ) hợp với đáy một góc 450 . ( ) a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . ĐS: VS .ABCD = 9a3 3 đvtt . b. Tính thể tích khối chóp SOAD . ĐS: V ( ) c. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp SBC . S .OAD = 9a3 3 ( đvtt ) . 4 3a 2 ĐS: d đvđd = ( � O ,( SBC ) � � � ( ) � � 2 ) d. Gọi G là trọng tâm D SAC . Mặt phẳng a đi qua AG song song BD , chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện . Tính tỉ số hai khối đa diện đó. Bài 20. Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 6AB = 3 3 . Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho MB = 2MA ( ) và N là trung điểm của AD . Trên đường thẳng vuông góc với mp ABCD tại M lấy điểm S sao cho SM = 2 6 . ( ) ( a. Chứng minh: SBN ^ SMC ) ( ) b. Tính góc giữa đường thẳng SN và mp SMC . ( ) Bài 21. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng SA ^ ABCD , SC hợp với mặt phẳng chứa đáy ABCD một góc 300 và AB = a, BC = 2a . a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD . ĐS: V S .ABCD = a3 15 ( đvtt ) . 3 a3 15 ( đvtt ) . S .ABC 6 c. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Tính khoảng cách từ điểm O đến mp( SCD ) . b. Tính thể tích khối chóp S.ABC . a 1140 ĐS: d đvđd = � O , SCD � � �( )� � ( ĐS: V ) = 60 � = BAD � = 900 , BA = BC = a, AD = 2a . Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang có: ABC Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB . a. Chứng minh rằng D SCD vuông. b. Tính diện tích xung quanh hình chóp S.ABCD . Trang 13 Chuyên đề Thể tích khối đa diện Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 ( a ) c. Tính khoảng cách từ H đến mp SCD . ( ) ĐS: d = đvđd . ( H ,( SCD ) ) 3 � � Bài 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, BAD = ABC = 90o , AB = BC = a , AD = 2a , SA ^ ( ABCD ) , SA = 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SD . a. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật. 3 b. Tính thể tích của khối chóp S.ACD theo a . ĐS: VS .ABCD = 3a ( đvtt ) . c. Gọi J là điểm di động trên cạnh BC . Chứng minh thể tích khối chóp J .SAD có thể tích không đổi. Tính thể tích đó. ( d. Mặt phẳng BCNM ĐS: VSMNBC VMNABCD = ) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối chóp . Tính tỉ số hai khối chóp đó. 2 . 7 ( ) 3 Bài 24. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 9 m , trên AB , AC , AD lần lượt lấy các điểm B ',C ', D ' sao cho ( ) AB = 2AB ',2AC = 3AC ', AD = 3AD ' . Tính thể tích khối tứ diện AB 'C 'D ' . ĐS: V = 2 m3 Bài 25. Cho tứ diện ABCD . Gọi B ',C ' lần lượt là trung điểm của AB và AC . Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB 'C 'D và khối tứ diện ABCD . ĐS: VAB 'C 'D VABCD ( ) = 1 . 4 3 Bài 26. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 m . Gọi M , P là trung điểm của AB,CD và lấy điểm N ( ) 3 ĐS: V = 1 m . trên AD sao cho DA = 3NA . Tính thể tích khối tứ diện BMNP . ( ) 3 Bài 27. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 27 m . Lấy điểm A ' trên SA sao cho SA = 3SA ' . Mặt phẳng qua điểm A ' và song song với đáy hình chóp cắt SB, SC , SD lần lượt tại các điểm B ',C ', D ' . Tính thể ( ) 3 ĐS: V = 1 m . tích của khối chóp S.A 'B 'C 'D ' . ( ) 3 Bài 28. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 9 m và đáy ABCD là hình bình hành. Lấy điểm M trên SA sao cho 2SA = 3SM . Mặt phẳng ( MBC ) cắt SD tại N . Tính thể tích khối đa diện ABCDMN ( ) 3 ĐS: V = 4 m . Bài 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của SC . Mặt phẳng qua AI và song song với BD chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần này. ĐS: k = 0,5. Bài 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và lấy điểm M trên SA sao cho ( ) SM = x . Tìm giá SA trị của x để mặt phẳng MBC chia hình chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau. ĐS: x = 5 - 1. 2 BÀI TẬP NÂNG CAO Ôn thi đại học ( ) Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, SA ^ ABC , góc giữa mp( SBC ) và mp( ABC ) bằng 300 . Gọi M là trung điểm của cạnh SC . a/ Tính thể tích khối chóp S.ABM theo a . ĐS: V Trang 14 S .ABM a3 3 = ( đvtt ) 36 Chuyên đề Thể tích khối đa diện Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 ( a 3 ĐS: d� = đvđd A, SBC � ) b/ Tính khoảng cách từ M đến mp ABC . �( � ( )� � ) 6 a c/ Gọi G là trọng tâm D SAC . Tính khoảng cách từ G đến mp( SBC ) . ĐS: d� = ( đvđd) � G ; SBC ) � � �( � 18 a d/ Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SC và AB . ĐS: d� = ( đvđd) AB ,SC � � � 2 � 0 Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BAC = 30 , SA = AC = a và SA vuông góc ( ) với mp ABC . a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a . ĐS: V S .ABC a3 3 = ( đvtt ) 24 b/ Tính khoảng cách từ A đến mp SBC . a 21 ĐS: d� = đvđd A, SBC � c/ Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC . ĐS: d� �= a 3 đvđd SA ;BC ( ) � �( )� � ( 7 ( 2 � 15� � � � ĐS: arctan� � � � � 3 � � � � � d/ Tính góc hợp bởi 2 đường thẳng SC và AB . � ) ) ĐS: d� �= a 57 AC ,SB e/ Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AC . 3 Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a , SA ^ ( ABCD ) và mặt bên ( SCD ) � � hợp với mặt phẳng đáy ABCD một góc 600 . a/ Tính thể tích khối chóp SOCD theo a . . ( ĐS: V a3 3 = ( đvtt ) 12 S .ADC a 3 ĐS: d� = đvđd O , SCD � ) b/ Tính khoảng cách từ điểm O đến mp SCD . � �( )� � 4 ( ) a 3 c/ Gọi G là trọng tâm D ABC . Tính khoảng cách từ G đến mp SCD . ĐS: d� = đvđd � G , SDC ( ) � �( )� � 3 ( ĐS: d� �a 30 đvđd SO ,CG d/ Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SO và CG . � 8 � ( ) ) e/ Gọi J là điểm di động trên cạnh AD . Chứng minh thể tích khối chóp J .SBC có thể tích không đổi. Tính ĐS: VJ .SBC = thể tích đó. a3 ( đvtt ) 8 Bài 4. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, SC và I là giao điểm của BM và AC . Tính thể tích khối tứ diện ANIB . ĐS: V N .AIB = a3 2 ( đvtt ) 36 Bài 5. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2004) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD có SO vuông góc với đáy vớiO là giao điểm của AC và BD . Giả sử SO = 2 2, AC = 4, AB = 5 và M là trung điểm của SC . Tính khoảng cách giữa hai 2 6 ĐS: d = đvđd SA , MB ( ) đường thẳng SA và BM . 3 Trang 15 ( ) Chuyên đề Thể tích khối đa diện Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 ( ) ( ) Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có SA ^ ABC , SA = a . Biết rằng D ABC đều và mp SBC hợp với mặt phẳng chứa đáy ABC một góc 300 . a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC . b. Cho E �AC thỏa: ĐS: V a3 3 = ( đvtt ) . 3 S .ABC EC 1  . Tính khoảng cách từ điểm E đến mp( SBC ) . AE 3 ĐS: d �E ; SBC � � �  ( ) a 3  đvđd  8 Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, SA ^ ABC . Cho BC = 2a, SB = a 3 . mp( SBC ) tạo với mp( ABC ) một góc 300 . Gọi G là trọng tâm ABC . a3 3 ( đvtt ) . S .ABC 6 a 6 ĐS: d SA; BC    đvđd  2 2a 15 ĐS: d �G ; SAB �  đvđd  � �  15 a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a . ĐS: V b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng SA và BC theo a . ( ) c. Tính khoảng cách từ điểm G đến mp SAB . ( ) = Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có SA ^ mp ABC . Biết rằng: AB = a, AC = 2a, BC = a 3 , góc giữa ( ) ( ) hai mặt phẳng SBC và ABC bằng 600 . ( ) a 3  đvđd  2  a  đvđd  a. Tính khoảng cách từ điểm B đến mp SAC . ĐS: d �B ; SAC � � � b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng SA và BC theo a . ĐS: d SA; BC  c. Mặt phẳng  P  đi qua A và vuông góc với SC , chia hình chóp S.ABC thành 2 khối đa diện. Tính tỉ số 2 khối đa diện đó. ( ) Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA ^ ABC . Cho AC = a 2 , SB = 3a . (  a  đvđd  ĐS: d � � C ; SAB  � � ) a. Tính khoảng cách từ điểm C đến mp SAB . ( a ) b. Gọi I là trung điểm AC . Tính khoảng cách từ điểm I đến mp SAC . ĐS: d �I ; SAC  �  đvđd  � � 2 3a ĐS: d SC ; AB    đvđd  2 c. Tính khoảng cách giữa đường thẳng SC và AB theo a . ( ) Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ^ ABC . Cho AB = a , góc � = 600 . Cạnh SC tạo với mp( ABC ) một góc 600 . BAC ( ) a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp SBC theo a . ĐS: d �A; SBC � � � ( ) 2a 39  đvđd  13 b. Gọi I là trung điểm AC . Tính khoảng cách từ điểm I đến mp SAB theo a . a 3  đvđd  2 c. Gọi G là trọng tâm SBC . Mặt phẳng  P  chứa AG và song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại M , N . Tính thể tích của khối đa diện MNABC . 3 d. Gọi J là điểm di động trên cạnh MN . Tính thể tích khối chóp J .ABC . ĐS: VJ .ABC = a ( đvtt ) . ĐS: d �I ; SAB � � � Trang 16 Chuyên đề Thể tích khối đa diện Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 � = 1200, SA ^ ABC . Biết Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là D ABC cân tại A, BC = 2a, BAC ( ) mp( SBC ) hợp với mặt phẳng chứa đáy một góc 450 . a. Tính thể tích khối chóp S.ABC . ĐS: VS.ABC = ( ) a3 ( đvtt ) . 9 b. Cho D �AB thỏa: DB  2 AD . Tính khoảng cách từ điểm D đến mp SBC . a 6  đvđd  � � 9 �2 5� �  c. Tính góc giữa đường thẳng AC và SB . ĐS:  SB, AC   acr cos � � � � � 5 � Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a, SA ^ ( ABC ) và SB ĐS: d �D ; SBC �   hợp với mặt phẳng chứa đáy ABC một góc 600 . ( ) a. Gọi G là trọng tâm VSAC . Tính khoảng cách từ điểm G đến mp SBC . b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng SB và AC . Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh a, SA ^ (ABCD ) , góc giữa SD và mp( SAB ) bằng 300 . Gọi O là giao điểm của AC và BD . a 3  đvđd  4 a 21 b. Tính khoảng cách từ điểm C đến mp( SBD ) . ĐS: d �C ; SBD �  đvđd    � � 7 Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh a, SA ^ (ABCD ) , góc giữa mp( SBC ) ( ) a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp SBC . và đáy bằng 450 . a. Tính khoảng cách giữa đường thẳng BD và SC . b. Cho E �CD thỏa: ĐS: d �O ; SBC � � �  ĐS: d SC ; BD   a  đvđd  DE 2  . Tính khoảng cách từ điểm E đến mp( SAC ) . EC 3 3a 2 ĐS: d �E ; SAC �  đvđd  � �  10 c. Gọi M là trung điểm SC . Mặt phẳng  P  chứa AM và song song với BD cắt SB, SC lần lượt tại E , F . Tính tỉ số VS.AEMF VABCDFME . ( ) Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA ^ mp ABCD , góc tạo bởi mp( SCD ) và mp( SBC ) bằng 1200 . ( ) 3 ĐS: VS .ABCD = a đvtt . a. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD . a 2  đvđd  2 Bài 16. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O . Biết rằng SA ^ ( ABCD ) , SC = a và b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD . SC hợp với mặt phẳng chứa đáy một góc 450 . a. Tính thể tích của khối chóp SOBC . . b. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp( SAD ) . c. Tính góc giữa đường thẳng BD và SC . Trang 17 ĐS: d SC ; AD   Chuyên đề Thể tích khối đa diện Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 ( ) Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SA ^ ABCD và SA = a 2 . Cạnh bên SC ( ) tạo với mp ABCD một góc 450 . Trên cạnh AC lấy điểm E thỏa: AE  a. Tính thể tích khối chóp S.EBC . c. Tính khoảng cách giữa đường thẳng SC và BE . 1 AC . 4 ( ) Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a , SA ^ ABCD và mặt bên ( SCD ) hợp với mặt phẳng chứa đáy ABCD một góc 600 . Trên cạnh SC lấy điểm E thỏa: SE  2 SC . 3 a3 3 ( đvtt ) . E .BCD 18 2a b. Tính khoảng cách từ điểm E đến mp( SCD ) . ĐS: d �E ; SCD  �  đvđd  . � � 3 Bài 19. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng SA ^ ( ABCD ) , SC hợp với mặt phẳng chứa đáy ABCD một góc 450 và AB = 3a, BC = 4a . Gọi E là trung điểm cạnh AD . a. Tính thể tích khối chóp S.BECD . b. Gọi F là giao điểm của AC và BE . Tính khoảng cách từ điểm F đến mp( SBD ) . c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BE và SD . Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA ^ mp( ABCD ) ,G là trọng tâm D SAC , a. Tính thể tích khối chóp E .BCD . ĐS: V = mp( ABG ) cắt SC tại M , cắt SD tại N . Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết SA = AB = a và ( ) góc hợp bởi đường thẳng AN và ABCD bằng 900 . � = 600 . Biết rằng Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn DAB 1 SA ^ ( ABCD ) , SA = a . Trên cạnh BD lấy điểm E thỏa: BE  BD . 3 a3 3 = ( đvtt ) . S .BEC 36 2a 5 b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CE và SD . ĐS: d CE ; SD    đvđd  . 5 Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và cạnh AC = a . Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD . Biết rằng SA ^ ( ABCD ) , SA = a . Gọi C ' là trung điểm của cạnh SC . Mặt phẳng a. Tính thể tích khối chóp S.BEC . ĐS: V ( P ) đi qua AC ' và song song với BD , cắt các cạnh SB,SD a. Tính thể tích khối chóp S.ABC 'D ' . ( ) b. Mặt phẳng P lần lượt tại B ' và D ' . ĐS: V S .ABC 'D ' = a3 3 ( đvtt ) . 18 chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tính tỉ số hai khối đa diện đó. c. Gọi J là điểm di động trên cạnh B 'D ' . Chứng minh thể tích khối chóp J .ABCD có thể tích không đổi. Tính thể tích đó. � = 600 . Biết Bài 23. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a và góc nhọn DAB ( ) rằng: SA ^ ABCD và khoảng cách từ điểm A đến cạnh SC bằng a . Gọi E là trung điểm cạnh AD . a. Tính thể tích khối chóp S.BEDC . ĐS: V b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng CE và SB . Trang 18 S .BEDC = ĐS: d CE ; Sb   ( a3 6 44 ) 3 ( đvtt ) . a 42  đvđd  . 7 Chuyên đề Thể tích khối đa diện Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 Bài 24. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B . Biết rằng: AB = BC = a, AD = 2a, SA ^ ( ABCD ) và mp( SCD ) hợp với mp( ABCD ) một góc 600 . a3 6 = ( đvtt ) . S .ACD 3 b. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Tính khoảng cách từ điểm O đến mp( SBD ) . c. Gọi E là trung điểm cạnh AD .Tính khoảng cách giữa đường thẳng BE và SD . a. Tính thể tích của khối chóp S.ACD . ĐS: V DẠNG 2 HÌNH CHÓP CÓ MỘT MẶT VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY Chú ý: �P ^ Q ( ) ( ) � � � � ( P ) �(Q ) = a � b ^ Q � -� ( ) � b �( P ) � � � b^a � � - Tam giác BAC cân tại A , I là trung điểm BC � AI vừa đường cao vừa đường trung tuyến vừa đường phân giác D ABC . - Tam giác ABC đều , G là trọng tâm D ABC , M , N , P lần lượt là trung điểm cạnh BC , AC , AB . Ta cần nhớ: � 1 2 � AG = GM = AM � � 3 3 � � 1 2 � BG = GN = BN +� � 3 3 � � 1 2 � � CG = GP = CP � 3 3 � � + AM , BN ,CP vừa đường cao vừa đường trung tuyến vừa đường phân giác của D ABC . BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1. Hình chóp S.ABC có BC = 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại C , SAB là tam giác vuông cân tại S ( và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi I là trung điểm cạnh AB . Biết mp SAC ) hợp với mp( ABC ) một góc 600 . ( ) a. Chứng minh rằng SI ^ mp ABC . b. Tính thể tích khối chóp S.ABC . ĐS: V Trang 19 S .ABC 2a3 6 = ( đvtt ) 3 Chuyên đề Thể tích khối đa diện Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 ( 2a 30 ĐS: d� = đvđd . A, SBC � ) c. Tính khoảng cách từ A đến mp SBC . �( � Bài 1. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2011) )� � ( 5 ) ( ) ( ) đến mp( SAC ) Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a , SBC ^ ABC . Biết � = 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ B SB = 2a 3, SBC Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) . a. Chứng minh rằng chân đường cao của khối chóp đã cho trùng với trung điểm của cạnh AB . b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD . ĐS: V c. Tính thể tích khối chóp S.BCD . ĐS: V ( S .ABCD = = S .BCD a3 3 ( đvtt ) . 6 a3 3 ( đvtt ) . 12 a 3 ĐS: d� = đvđd . D , SBC � ) d. Tính khoảng cách từ D đến mp SBC . �( � )� � ( 2 ) Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh là a và ( ) ( ) nằm trong mặt phẳng vuông góc với mp ABCD . Cạnh bên SC hợp với mp ABCD một góc bằng 300 . a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD đã cho. ĐS: V S .ABCD a3 30 . = 12 ( ) a 3 ĐS: d� = đvđd . C , SAD � ( ) a 390 ĐS: d� = đvđd . B , SAC � b. Tính khoảng cách của điểm C đến mp SAD c. Tính khoảng cách của điểm B đến mp SAC �( � )� � �( � � = 900, ABC � = 300, D SBC Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có BAC 2 )� � ( ) ( 13 ) là tam giác đều cạnh a và mp( SAB ) ^ mp( ABC ) . a. Tính thể tích khối chóp S.ABC . ( ĐS: V a3 39 = ( đvtt ) . 96 S .ABC a 39 ĐS: d� = đvđd . B , SAC � ) b. Tính khoảng cách từ B đến mp SAC . ( �( � ) )� � ( 8 ) c. Gọi G là trọng tâm D SBC . Tính khoảng cách của điểm G đến mp SAC . ( Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , có BC = a . Mặt bên SAC ( ) vuông ) góc với mặt phẳng đáy, mặt bên SAB tạo với mặt phẳng đáy một góc 450 . Biết D SAC cân tại S . ( ) a. Gọi H là trung điểm AC . Chứng minh SH ^ ABC . b. Tính thể tích khối chóp S.ABC . ( ĐS: VS .ABC = a3 ( đvtt ) . 12 a 2 ĐS: d� = đvđd . H , SBC � ) c. Tính khoảng cách từ H đến mp SBC . �( � ( )� � ) 4 Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mp( SAB ) ^ mp( ABCD ) , SA = SB , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 450 . a. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD . Trang 20 3 a ĐS: V = S .ABCD 6 5 ( đvtt ) .