Tài liệu Tài liệu ôn thi thpt quốc gia môn toán 2016 cực hay (phần 9 - bất đẳng thức và cực trị)

1 Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN THƯỜNG GẶP Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Một số các bất đẳng thức cơ bản cần ghi nhớ: ( ∀a, b ∈ R ) ab , ( a ≥ 0, b ≥ 0 ) 1) a 2 + b 2 ≥ 2ab 2) a + b + c ≥ 3 3 abc 3) a + b ≥ 2 4) a 3 + b3 + c3 ≥ 3abc 1 1 4 + ≥ x, y > 0 x y x+ y 1 4 7) ≥ ( x, y > 0) xy ( x + y ) 2 9) a 3 + b3 ≥ a 2b + ab 2 (a, b ≥ 0 5) 11) a, b > 0, 6) 1 1 1 9 + + ≥ , ( x, y , z > 0 ) x y z x+ y+ z 8) 3( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ (a + b + c) 2 10) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca a b + ≥2 b a 12) abc ≤ a 3 + b3 + c3 3 a 3 + b3  a + b  13) ≥  2  2  a2 + b2 15) ab ≤ ( ∀a, b ∈ R ) 2  a+b+c 14) abc ≤   3    a+b 17) ab ≤   ( ∀a, b ∈ R )  2  1 11 1 ≤  +  , ( x, y > 0 ) 19) x+ y 4 x y  18) 3(ab + bc + ca ) ≤ ( a + b + c ) 3 16) 2 25) ab + bc + ac ≤ a + b + c 2 a b c 3 + + ≥ , (a, b, c > 0) b+c c+a a+b 2 1 1 2 22) + ≥ , ( ∀a, b ≥ 1) 1 + a 1 + b 1 + ab 20) 21) 1 + x + 1 + y ≥ 1 + 1 + x + y , ( x, y ≥ 0) 23) x3 + y 3 ≥ 3 ( x + y )3 , ( x, y ≥ 0 ) 4 24) a 2 b 2 c 2 (a + b + c)2 + + ≥ x y z x+ y+z a (a1 + a2 + ....an ) 2 a1 a2 + + ...... + n ≥ x1 x2 xn a1 x1 + a2 x2 + .. + an xn Bài 1: [ĐVH]. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng a b + ≥2 b a Bài 2: [ĐVH]. Chứng minh rằng a 4 + b 4 ≥ a 3b + ab3 , với mọi a, b. Bài 3: [ĐVH]. Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca với mọi a, b, c. Bài 4: [ĐVH]. Chứng minh rằng b a + ≥ a + b , với mọi a, b > 0 a b Bài 5: [ĐVH]. Chứng minh rằng ( a 2 − b 2 ) ≥ ( a − b ) , với mọi a, b > 0 2 4 Bài 6: [ĐVH]. Chứng minh rằng a 5 + b5 ≥ a 3b 2 + a 2b 3 , với mọi a, b ≥ 0. Bài 7: [ĐVH]. Chứng minh rằng Bài 8: [ĐVH]. Chứng minh rằng 1 1 2 + ≥ , ( ∀a, b ≥ 1) . 2 2 1 + a 1 + b 1 + ab ( a + c )( b + d ) ≥ ab + cd , ( ∀a, b, c, d ≥ 0 ) Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( a + c) + (b + d ) a2 + b2 + c 2 + d 2 ≥ Bài 9: [ĐVH]. Chứng minh rằng Bài 10: [ĐVH]. Chứng minh rằng Facebook: LyHung95 2 2 , ∀a, b, c, d ∈ R a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 2 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a 3 x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2 ≥ 3 ( x + y + z ) Bài 11: [ĐVH]. Chứng minh rằng Hướng dẫn: x + xy + y = 2 2 ( x + y) 2 ( x + y) − xy ≥ 2 ( x + y) − 2 = 4 3 ( x + y ) , tương tự ta được đpcm 2 Bài 12: [ĐVH]. Cho các số thực a, b, c > 0. Chứng minh rằng b+c a + 3 4 ( b3 + c3 ) + c+a b + 3 4 ( c3 + a3 ) + a+b c + 3 4 ( a 3 + b3 ) ≤2 Hướng dẫn: b + c = ( b + c ) − 3bc ( b + c ) ≥ ( b + c ) 3 3 3 Bài 13: [ĐVH]. Chứng minh rằng 3 (b + c) −3 4 2 (b + c) (b + c) = 4 3  → 4 ( b3 + c 3 ) ≥ ( b + c ) 3 a4 b4 c4 a+b+c + + ≥ 3 3 3 3 3 3 a +b b +c c +a 2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 1. SỬ DỤNG TRỰC TIẾP CÁC HỆ QUẢ CỦA BĐT CÔ-SI Bài 1: [ĐVH]. Chứng minh rằng ( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ 8abc, ∀a, b, c ≥ 0 ( ) Bài 2: [ĐVH]. Chứng minh răng (1 + a )(1 + b )(1 + c ) ≥ 1 + 3 abc , ∀a, b, c ≥ 0 3 Bài 3: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : a) a+b b+c c+a + + ≥6 c a b b) a b c 3 + + ≥ b+c c+a a+b 2 Bài 4: [ĐVH]. Cho a, b > 1. Chứng minh rằng : a) ( a + 1)( b + 1) ≥ a + b + 2 b) a b − 1 + b a − 1 ≤ ab Bài 5: [ĐVH]. Chứng minh rằng : a 4 + b4 + c 4 ≥ abc ( a + b + c ) , ∀a, b, c ∈ R Bài 6: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng 1 1 1 + 2 + 2 ≥9 a + 2bc b + 2ca c + 2ab 2 Bài 7: [ĐVH]. Chứng minh rằng : a) a + c) a + 1 ≥ 3, ∀a > b > 0 b ( a − b) 4 ( a − b )( b + 1) 2 b) a + ≥ 3, ∀a > b > 0 d) 1 b ( a − b) a2 + 2 a2 + 1 2 ≥ 2 2, ∀a > b > 0 ≥ 2, ∀a ∈ R Bài 8: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng abc ( a + b )( b + c )( c + a ) ≤ Bài 9: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0 và a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng 8 729 a b c 3 3 + 2 + 2 ≥ 2 2 2 b +c c +a a +b 2 2  a , b, c > 0 a+b c+b  Bài 10: [ĐVH]. Cho  1 1 2 . Chứng minh rằng: + ≥4 2 a − b 2c − b  a + c = b Bài 11: [ĐVH]. Chứng minh rằng a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ , ∀a, b, c > 0 b+c c+a a+b 2 1 1  3  1 Bài 12: [ĐVH]. Chứng minh rằng với a, b, c > 0 ta có ( a 2 + b 2 + c 2 )  + +  ≥ (a + b + c) a+b b+c c+a 2 Bài 13: [ĐVH]. Cho x ≥ 0 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + 2 x + 17 2 ( x + 1) Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Bài 14: [ĐVH]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = Facebook: LyHung95 x + 6 x + 34 x +3 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P2 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 2. SỬ DỤNG TRỰC TIẾP BĐT CÔ-SI Ví dụ 1. Cho x, y, z > 0 và x + y + z = xyz . 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1 + x2 + 1 1+ y2 + 1 1+ z2 Ví dụ 2. Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x+ y y+z z+x + + xy + z yz + x zx + y Ví dụ 3. Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 1 + 3 x +y xy 3 Ví dụ 4. Cho x, y > 0 và xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 1 1 3 + + + xy yz xz x + y + z  x 1  y 1  z 1 Ví dụ 5. Cho x, y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =  +  +  +   y + z 2  x + z 2  x + y 2  Hướng dẫn: Ta có x 1 2 x + y + z ( x + z) + ( y + z) 1 + = = ≥ ( x + z )( y + z ) y+z 2 2( y + z ) 2( y + z ) y+z Tương tự cho hai biểu thức còn lại, sau đó nhân vào ta được P ≥ 1 Ví dụ 6. Cho x, y, z > 0 và 1 1 1 + + = 2. 1+ x 1+ y 1+ z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xyz Hướng dẫn: Tách  1 1   1  y z yz = 1 − + ≥2  + 1 − = 1+ x  1+ y   1+ z  y +1 z +1 ( y + 1)( z + 1) Tương tự 1 xz 1 xy ≥2 ; ≥2 1+ y ( x + 1)( z + 1) 1 + z ( x + 1)( y + 1) Nhân vế theo vế các BĐT ta được 1 1 1 xyz 1 ≥8 ⇒ xyz ≤ 1+ x 1+ y 1+ z (1 + x)(1 + y )(1 + z ) 8 Ví dụ 7. Cho các số dương x, y, z thoả mãn: xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 + x2 + y2 1+ y2 + z2 1 + z 2 + x2 + + xy yz zx Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Ví dụ 8. Cho các số thực x > 1; y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( x3 + y3 ) − ( x2 + y 2 ) ( x − 1)( y − 1) Hướng dẫn: ( x3 − x2 ) + ( y3 − y 2 ) x2 y2 2 xy Ta có P = = + ≥ ( x − 1)( y − 1) y −1 x −1 ( x − 1)( y − 1) x   x − 1 = 1.( x − 1) ≤ 2 xy Lại có   → ( x − 1)( y − 1) ≤ 4  y − 1 = 1.( y − 1) ≤ y  2 Từ đó dễ dàng suy ra P ≥ 8. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a) a b c 1 1 1 1 + 2 2+ 2 ≤  + +  2 2 a +b b +c c +a 2 a b c  b) a+b b+c c+a 1 1 1 + 2 2+ 2 ≤ + +  2 2 a + b b + c c + a2  a b c  2 Bài 2: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0 và 1 1 1 1 + + ≥ 2 . Chứng minh rằng abc ≤ 1+ a 1+ b 1+ c 8 Bài 3: [ĐVH]. Cho a, b, c bất kỳ. Chứng minh rằng : a) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca b) ( ab + bc + ca ) ≥ 3abc ( a + b + c ) 2  a , b, c > 0 Bài 4: [ĐVH]. Cho  . a + b + c = 1  1  1  1  Chứng minh rằng  − 1 − 1 − 1 ≥ 8  a  b  c  Bài 5: [ĐVH]. CMR 1 1 1 a+b+c + 2 + 2 ≤ , ∀a, b, c > 0 a + bc b + ca c + ab 2abc 2 Bài 6: [ĐVH]. Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 ta có 1 1 1 1 + 3 3 + 3 ≤ 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 3 Bài 7: [ĐVH]. Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = 1 Tìm giá trị lớn nhất của P = 1 1 1 + 3 3 + 3 3 a + b + 1 b + c + 1 c + a3 + 1 3 Bài 8*: [ĐVH]. Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = 1 a 3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 Tìm GTNN của P = 2 + + a + ab + b 2 b 2 + bc + c 2 c 2 + ca + a 2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Hướng dẫn: ( a + b ) ( a 2 + ab + b 2 ) − 2ab ( a + b ) 2ab ( a + b ) 2ab ( a + b ) a + b a 3 + b3 = = ( a + b) − 2 ≥ ( a + b) − = 2 2 2 2 2 a + ab + b a + ab + b a + b + ab 3ab 3 Tương tự cho các bất đẳng thức khác ta được Pmin = 2 khi a = b = c = 1. Bài 9: [ĐVH]. Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng P = x9 + y 9 y9 + z9 z 9 + x9 + + ≥2 x6 + x3 y3 + y 6 y 6 + y3 z 3 + z 6 z 6 + z 3 x3 + x6 Bài 10: [ĐVH]. (Khối D – 2006) Cho các số dương x, y, z thoả mãn: xyz = 1. 1 + x3 + y 3 1 + y3 + z3 1 + z 3 + x3 + + ≥3 3 xy yz zx Chứng minh rằng Khi nào đẳng thức xảy ra? Bài 11: [ĐVH]. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng 2 y 2 x 2 z 1 1 1 + 3 2+ 3 ≤ 2+ 2+ 2 3 2 2 x +y y +z z +x x y z Bài 12: [ĐVH]. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng a2 b2 c2 + + ≥1 a 2 + 2bc b 2 + 2ac c 2 + 2ab Bài 13: [ĐVH]. (Khối B – 2007) Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi. x 1  y 1  z 1  Tìm GTNN của biểu thức P = x  +  + y  +  + z  +   2 zx   2 xy   2 yz  Bài 14: [ĐVH]. Cho các số thực x, y. Chứng minh rằng a) x + y 2 2 ( x + y) ≥ 2 b) x + y 4 2 4 ( x + y) ≥ 4 8 1 1 1 + + =4. a b c 1 1 1 Chứng minh rằng : + + ≤1 2 a + b + c a + 2 b + c a + b + 2c Bài 15: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0 và thoả mãn Bài 16: [ĐVH]. Cho x, y, z > 0 và thoả mãn x + 2 y + 4 z = 12 . Chứng minh rằng: 2 xy 8 yz 4 xz + + ≤ 6. x + 2 y 2 y + 4z 4z + x Bài 17: [ĐVH]. Cho x, y, z > 0 và thoả mãn: 2 xy + xz = 1 . Tìm GTNN của biểu thức P = 3 yz 4 zx 5 xy + + x y z Bài 18: [ĐVH]. Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy = 3( x + y + z ). Tìm GTNN của biểu thức P = x + y + z + 20 + x+z 20 . y+2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P3 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 3. KĨ THẬT TÁCH, GHÉP Ví dụ 1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng a2 a+b+c ∑b+c ≥ 2 Ví dụ 2. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a + b + c = a) Tìm GTLN của biểu thức P = ∑ b) Tìm GTNN của biểu thức Q = ( 3 3a + b ∑( 3 . 4 ) 1 x + 3y ) Ví dụ 3. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a + b + c = 3 . Tìm GTNN của biểu thức P = ∑ a3 (b + 1)(c + 1) a4 a+b+c Ví dụ 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng ∑ 2 ≥ b (a + c) 2 Ví dụ 5. Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x + y + z = 3 . Tìm GTNN của biểu thức P = ∑ a b +1 Ví dụ 6. Cho x, y > 1 và thỏa mãn xy = 1 . x3 y3 Tìm GTNN của biểu thức P = + y +1 x +1 Hướng dẫn: Tách x3 y + 1 1 3x + + ≥ ... y +1 4 2 2 Ví dụ 7. Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn xy xy + yz yz + zx zx = 1 . x6 y6 z6 Tìm GTNN của biểu thức P = 3 + + x + y 3 y 3 + z 3 z 3 + x3 Hướng dẫn: Đặt x3 = a; y 3 = b; z 3 = c quy về BĐT cơ bản! Ví dụ 8. Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x + y + z = 3 xyz . Tìm GTNN của biểu thức P = yz zx xy + 3 + 3 x ( z + 2 y ) y ( x + 2 z ) z ( y + 2 x) 3 Hướng dẫn: Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Đặt Facebook: LyHung95 1 1 1 = a; = b; = c ⇒ ab + bc + ca = 3 x y z a3 Thay vào biểu thức P ta được P = ∑ b + 2c a3 a (b + 2c) 2a 2 Ta có + ≥ ... Tương tự, đến đây các em tự làm nốt nhé! b + 2c 9 3 Ví dụ 9. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. b b c c a a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + + 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b Hướng dẫn: Cách 1: b b c c a a + + a+3 b+3 c+3 Áp dung bất đằng thức Cauchy cho 3 số thực dương, ta có: Từ giả thiết ta có P = b b b b a+3 b3 3b 3 + + ≥3 = 64 4 2 a + 3 2 a + 3 16  c c c c b+3 c 3 3c 3 + + ≥ 3 =  64 4  2 b + 3 2 b + 3 16 Tương tự  a a c+3 a 3 3a  a a 3 + + ≥ 3 =  64 4  2 c + 3 2 c + 3 16 Cộng vế theo vế các bất đẳng thứ trên ta được: b b c c a a a+b+c+9 3 3 + + + ≥ (a + b + c) ⇔ P ≥ 16 4 2 a+3 b+3 c+3 Đẳng thức chỉ xảy ra khi a = b = c = 1 . Cách 2: Cauchy − Schwarz (a + b + c) b2 c2 a2 Ta có: P = + + ≥ b a+3 c b+3 a c+3 a c+3 + b a+3 + c b+3 2 Mặt khác: ⇒P≥ a c+3 + b a+3 + c b+3 Bunhiacopxki ≤ ( a + b + c )( a + b + c + 9 ) = 36 = 6 3 . Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 1 2 Ví dụ 10. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. CMR: a3 b3 c3 3 + + ≥ . 2 2 2 b +3 c +3 a +3 4 Ví dụ 11. Cho các số dương x, y, z . CMR: x4 y4 z4 1 + + ≥ ( x3 + y3 + z 3 ) . y+ z z+ x x+ y 2 Ví dụ 12. Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 3 . CMR: x3 y +8 3 + y3 z +8 3 + z3 x +8 3 ≥ 1 2 + ( xy + yz + zx) 9 27 a3 b3 c3 Ví dụ 13. Cho a, b, c > 0: a + b + c = 1 . Tìm GTNN: P = + + 2b + 3c 2c + 3a 2a + 3b 2 2 2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Ví dụ 14. Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 6 . Tìm GTNN: P = Facebook: LyHung95 x3 y3 z3 + + y+z z+x x+ y Ví dụ 15. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 1 1 + 4 + 4 a (b + c) b ( c + a ) c ( a + b) 4 Hướng dẫn: 1 x 1 y 1 z Cách 1: Đặt: a = ; b = ; c = → xyz = 1 Khi đó ta có → P = x 4 yz y 4 zx z 4 xy x3 y3 z3 + + = + + y+z x+z x+ y y+z z+x x+ y Hướng 1: Theo BĐT Cauchy thì: x3 y + z 1 3x + + ≥ ; y+z 4 2 2 ⇒P= y3 z + x 1 3y + + ≥ ; z+x 4 2 2 z3 x + y 1 3z + + ≥ x+ y 4 2 2 x3 y3 z3 3 Cauchy 3 3 3 + + ≥ x+ y+ z− ≥ 3 xyz − = y+z z+x x+ y 2 2 2 Hướng 2: Theo BĐT Cauchy – Schwarz ta có: P= 3 3 3 4 4 4 x y z x y z + + = + + y + z z + x x + y xy + zx zy + xy zx + yz Cauchy − Schwarz ≥ ( x2 + y 2 + z 2 ) 2 2 ( xy + yz + zx ) Mặt khác lại có: xy + yz + zx ≤ x 2 + y 2 + z 2 Suy ra ⇒ P ≥ 2 2 2 3 x 2 + y 2 + z 2 33 x y z ≥ = 2 2 2 Hướng 3: Bunhiacopxki  x 2  x3 y3 z3  y2 z2  Ta có: P ( x + y + z ) =  + + ≥ + +  ( x + y + z )    y+z z+x x+ y  y+ z z+ x x+ y C1. Theo BĐT Cauchy thì: ⇒ x2 y+z + ≥ x; y+z 4 y2 z+x + ≥ y; z+x 4 2 z2 x+ y + ≥z x+ y 4 x2 y2 z2 1 1 3 + + ≥ ( x + y + z) ⇒ P ≥ ( x + y + z) ≥ y+z z+x x+ y 2 2 2 C2. P ( x + y + z ) ⇒P≥ Bunhiacopxki  ≥ x2 y2 z2  + +    y+z z+x x+ y 2 ( x + y + z )2   2( x + y + z)    Cauchy − Schwarz  ≥ 2  x+ y+z =  2   2 x+ y+z 3 ≥ 2 2 Vậy GTNN của P là PMin = 3 ⇔ a = b = c =1 2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 2  1 1   1 1 1  1 + 2 + 2  = 2 . b+c + 2 . c+a + 2 . a+b 2 b c  a b+c b c+a c a+b a  2 Cách 2: Ta có:  Theo BĐT Bunhiacopxki:   1 1 1 . b+c + 2 . c+a + 2 . a+b  2 b c+a c a+b a b+c  2 Bunhiacopxki   1 1 1 + 4 + 4  4   2 ( a + b + c )     a (b + c) b (c + a ) c ( a + b)  ≤ 2 1 1   1 + 2 + 2  ≤ 2 ( a + b + c ) .P 2 b c  a Hay ⇔  Mặt khác theo BĐT Cauchy thì: 1 1   1  2 + 2 + 2 b c  a 2  a 2 + b2 + c 2  1 1   1 1 1   1 ≥ 3 2 2 + 2 2 + 2 2  ↔  2 + 2 + 2  ≥ 3  = 3 a 2 + b2 + c 2  a 2b 2c 2  b c c a  a b c  a b   2 Cauchy ( ( ) ⇒P≥ 2 1 1   1 2 + 2 + 2  ≥ ( a + b + c) 2 b c  a Và: ( a + b + c ) ≤ 3 a 2 + b 2 + c 2 . Nên suy ra:  2 ) a + b + c Cauchy 3 3 abc 3 ≥ = . 2 2 2 3 2 Vậy GTNN của P là PMin = ⇔ a = b = c = 1 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P4 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 4. SỬ DỤNG CÔ-SI NGƯỢC DẤU Ví dụ 1. Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm GTNN của biểu thức P = x y z + + 2 2 1 + y 1 + z 1 + x2 Ví dụ 2. Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm GTNN của biểu thức P = ∑ Ví dụ 3. Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm GTNN của biểu thức P = Ví dụ 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng x2 x + 2 y2 x +1 y +1 z +1 + + 1 + y 2 1 + z 2 1 + x2 a2 1 ≥ (a + b + c) 3a + 8b + 14ab 5 ∑ 2 2 Ví dụ 5. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2 + b2 + c 2 = 3 . 1 Tìm GTNN của biểu thức: P = 8a 2 + 26ab + 15b 2 1 + 8b 2 + 26bc + 15c 2 + 1 8c 2 + 26ca + 15a 2 Hướng dẫn: Cách 1: Hướng 1: Ta có: 8a 2 + 26ab + 15b 2 = ( 3a + 4b ) − ( a − b ) ≤ ( 3a + 4b ) 2 1 ⇒ 8a 2 + 26ab + 15b 2 = 1 ( 3a + 4b )2 − ( a − b )2 ≥ 2 2 1 3a + 4b 2  6a + 8b  2 Hướng 2: Ta có: 8a + 26ab + 15b = ( 2a + 5b )( 4a + 3b ) ≤   = ( 3a + 4b )  2  2 2 1 ⇒ 8a + 26ab + 15b 2 2 ≥ 1 . 3a + 4b Tương tự cho hai biểu thức còn lại ta được: P ≥ Theo Cô-si ta có: ⇒P≥ 1 1 1 + + 3a + 4b 3b + 4c 3c + 4a 1 3a + 4b 2 1 3b + 4c 2 1 3c + 4a 2 + ≥ ; + ≥ ; + ≥ 3a + 4b 49 7 3b + 4c 49 7 3c + 4a 49 7 ( ) Bunhiacopxki 6 a+b+c 2 − . Mà : ( a + b + c ) ≤ (1 + 1 + 1) a 2 + b2 + c 2 = 9 → a + b + c ≤ 3 . 7 7 3 7 Vậy suy ra ⇒ P ≥ . Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 1 Cách 2: Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ∑ P= 1 8a 2 + 26ab + 15b 2 = ∑ 1 ≥ ( 3a + 4b )2 − ( a − b )2 Facebook: LyHung95 ∑ 3a +1 4b 1 1 1 Cauchy − Schwarz (1 + 1 + 1) + + ≥ 3a + 4b 3b + 4c 3c + 4a 7(a + b + c) 3 Mặt khác: Lại có: ( a + b + c ) ⇒P≥ 2 Bunhiacopxki ≤ (1 + 1 + 1) ( a 2 + b2 + c 2 ) = 9 → a + b + c ≤ 3 . 3 . Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 1 7 Cách 3:  x = 8a 2 + 26ab + 15b 2   Đặt  y = 8b 2 + 26bc + 15c 2 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 = 23 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + 26 ( ab + bc + ca ) ≤ 49 ( a 2 + b 2 + c 2 )  2 2  z = 8c + 26ca + 15a Mặt khác: 3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ ( x + y + z ) ⇒ ( x + y + z ) ≤ 3.49 ( a 2 + b 2 + c 2 ) = 441 ⇒ x + y + z ≤ 21 2 P= 2 1 1 1 9 3 + + ≥ ≥ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 . x y z x+ y+z 7 Vậy GTNN của P là 3 khi a = b = c = 1 . 7 ( ) a2 b2 c2 1 + + + ab + bc + ca ≥ a + b + c a+b b+c c+a 2 x4 y y4 z z4 x 3 Ví dụ 7. Cho các số thực x, y , z > 0, xyz = 1. CMR: 2 + 2 + 2 ≥ x +1 y +1 z +1 2 Ví dụ 8. Cho các số thực x, y , z > 0 . Ví dụ 6. Chứng minh với mọi số dương a; b; c : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ∑ Ta có  1 x = 1 − ≤ x + 2 yz 2  x + 2 yz  yz yz x + 2 yz Hướng dẫn:  1 x 1 −  2 x+ y+ z  Tương tự cho các biểu thức còn lại ta thu được Pmin = 1 ⇔ x = y = z Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P5 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 5. KĨ THUẬT CÂN BẰNG HỆ SỐ Ví dụ 1. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Tìm GTNN của biểu thức P = a 3 + 2b3 + 3c3 Ví dụ 2. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a + b + c = 3 . Tìm GTNN của biểu thức P = a 2 + b 2 + c3 Ví dụ 3. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a 2 + 2b 2 + 3c 2 = 1 . Tìm GTNN của biểu thức P = 2a 3 + 3b3 + 4c3 Ví dụ 4. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Tìm GTLN của biểu thức P = (1 + 2a )(1 + 2bc) Ví dụ 5. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn 2a + 4b + 3c 2 = 68 . Tìm GTNN của biểu thức P = a 2 + b 2 + c3 Ví dụ 6. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn ab + bc + ca = 1 . Tìm GTNN của biểu thức P = a 2 + 2b 2 + 3c 2 Ví dụ 7. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a + 4b + 9c = 6 . Tìm GTNN của biểu thức P = a 3 + b3 + c3 Đ/s: min P = 1 1 1 1 ⇔ a = ;b = ;c = 6 6 3 2 Ví dụ 8. Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x + xy + 3 xyz = 4 . 3 Tìm GTNN của biểu thức P = x + y + z 1 x + 4y   xy = 2 x.4 y ≤ 4 Hướng dẫn: Ta có   3 xyz = 1 3 x.4 y.16 z ≤ x + 4 y + 16 z  4 12 BÀI TẬP LUYỆN TẬP:  a , b, c > 0 1 Bài 1: [ĐVH]. Cho  . Tìm GTNN của biểu thức P = abc + abc a + b + c ≤ 1 Bài 2: [ĐVH]. Cho 0 < a ≤ 1 1 . Tìm GTNN của biểu thức P = 2a + 2 2 a  a , b, c > 0 1 1 1  2 2 2 Bài 3: [ĐVH]. Cho  3 . Tìm GTNN của biểu thức P = a + 2 + b + 2 + c + 2 b c a a + b + c ≤ 2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a, b > 0 1 1 Bài 4: [ĐVH]. Cho  , tìm GTNN của P = 2 + 2 a + b 2ab a + b ≤ 1 Bài 5: [ĐVH]. Cho x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ≥ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3x2 + 4 2 + y3 + 4x y2 Bài 6: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng 3 3 . 4 a + 3b + 3 b + 2c + 3 c + 3a ≤ 3 Bài 7: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng 3 a9 + 2 + 3 b9 + 2 + 3 c9 + 2 ≥ 3 3 3 Bài 8: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng a 3 1 + b − c + b 3 1 + c − a + c 3 1 + a − b ≤ 1 Bài 9: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng 5 2a + b + 5 2b + c + 5 2c + a ≤ 3 5 3 Bài 10: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng 5 ( 2a + b )( a + c ) a + 5 ( 2b + c )( b + a ) b + 5 ( 2c + a )( c + b ) c ≤ 3 5 6 Bài 11: [ĐVH]. Cho a > b ≥ 0. Chứng minh rằng 2a + 32 ( a − b )( 2b + 3) 2 ≥5 Bài 12: [ĐVH]. Cho các số dương x, y thỏa mãn x2 + y2 = 1.   1  1  S = (1 + x ) 1 +  + (1 + y )  1 +  y  x   Tìm GTNN của các biểu thức sau :  2 2 1 1 2 2   P = (1 + x ) 1 + y  + (1 + y ) 1 + x     Bài 13: [ĐVH]. Xét các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = 1 1 1 1 + + + 2 2 a +b +c ab bc ca 2 Bài 14: [ĐVH]. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ 1. Tìm GTNN của biểu thức: P = 1 1 1 1 1 1 + 2 2+ 2 + + + 2 2 a +b b +c c +a ab bc ca 2 Bài 15: [ĐVH]. Cho x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ≥ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 x + 3 y + 6 10 + x y Bài 16: [ĐVH]. Cho x, y, z là ba số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1 − x + 1 − y + 1 − z Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P6 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Bài 1: [ĐVH]. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng 1 1 1 9 + + ≥ 1+ a 1+ b 1+ c 4 Bài 2: [ĐVH]. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của P = a b c + + 1+ a 1+ b 1+ c Bài 3: [ĐVH]. Cho các số dương a, b thỏa mãn a + b ≤ 1. Chứng minh rằng 1 1 1 9 + + ≥ 1− a 1− b a + b 2 Bài 4: [ĐVH]. Cho các số dương a, b thỏa mãn a + b ≤ 1. a2 b2 1 5 Chứng minh rằng + +a+b+ ≥ 1− a 1− b a+b 2 Bài 5: [ĐVH]. (Khối A – 2005) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn Chứng minh rằng 1 1 1 + + =4 a b c 1 1 1 + + ≤ 1. 2a + b + c 2b + a + c 2c + a + b Bài 6: [ĐVH]. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng ab bc ca a+b+c + + ≤ . a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4 Bài 7: [ĐVH]. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng ab bc ca a+b+c + + ≤ . a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b 6 Bài 8: [ĐVH]. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b Hướng dẫn: Ta có: 1 1 4 2 + ≥ = a + 3b b + 2c + a ( a + 3b ) + ( b + 2c + a ) a + 2b + c Tương tự cho các BĐT khác rồi cộng lại ta được đpcm. Bài 9: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 1 1 1 1 1 1 1  + + ≤  + +  2a + 3 ( b + c ) 2b + 3 ( c + a ) 2c + 3 ( a + b ) 4  a + b b + c c + a  b) 1 1 1 1 1 1 1  + + ≤  + +  a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 2  a + 2c b + 2a c + 2b  Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Hướng dẫn: a) Ta có 1 1 1 1 1 2  = ≤  + + … 2a + 3 ( b + c ) ( a + b ) + ( a + c ) + ( b + c ) + ( b + c ) 16  a + b a + c b + c  Tương tự cho các BĐT khác rồi cộng lại ta được đpcm. b) Ta có 1 1 1 1 1  = ≤  + … a + 2b + 3c ( a + 2c ) + ( c + 2b ) 4  a + 2c c + 2b  Tương tự cho các bất đẳng thức khác ta được đpcm. Bài 10: [ĐVH]. Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3 3 . 4 1 1 1 +3 +3 a + 3b b + 3c c + 3a Bài 11: [ĐVH]. Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (với a, b, c là độ dài 3 cạnh). Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 + + ≥ 2 + +  p −a p −b p −c a b c Bài 12: [ĐVH]. Cho các số thực a, b, c > 0, và abc = 1. Tìm GTLN của biểu thức P = 1 1 1 + 2 + 2 2 2 a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a 2 + 3 2 1 1  1 1   1  1 Bài 13: [ĐVH]. Cho các số thực a, b, c > 0 và thỏa mãn 15  2 + 2 + 2  = 10  + +  + 2007 . b c  a  ab bc ca  Tìm GTLN của biểu thức P = 1 5a2 + 2ab + 2b2 + 1 5b2 + 2bc + 2c2 + 1 5c2 + 2ca + 2a2 . Bài 14: [ĐVH]. Cho các số thực a, b, c > 0 và thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 + + ≥ 2 2 2 ab + 2c + 2c cb + 2a + 2 ac + 2b + 2b ab + bc + ac Bài 15: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0 vaø a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a b c + + . 2 2 1 + b 1 + c 1 + a2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 SỬ DỤNG BĐT PHỤ ĐỂ CHỨNG MINH BĐT Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN a 2 + b 2 + b 2 + c 2 + c 2 + a 2 = 2013 . Bài 1: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn Chứng minh rằng a2 b2 c2 1 2013 + + ≥ b+c a+c a+b 2 2 Bài 2: [ĐVH]. Chứng minh rằng x 2 − 2 x + 5 + x 2 − 12 x + 1362 ≥ 13, ∀x ∈ R Bài 3: [ĐVH]. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn x + y + z ≤ 1. Chứng minh rằng x2 + 1 1 1 + y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82 2 x y z Bài 4: [ĐVH]. Với a, b, c là ba số thực dương thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = abc. b 2 + 2a 2 c 2 + 2b 2 a 2 + 2c 2 + + ≥ 3. Chứng minh rằng ab bc ca Bài 5: [ĐVH]. Cho các số thực x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + (1 − yz ) + y 2 + (1 − zx ) + z 2 + (1 − xy ) 2 2 2 Bài 6: [ĐVH]. Cho các số thực x, y thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( x − 1) 2 + y2 + ( x + 1) 2 + y2 + y − 2 Bài 7: [ĐVH]. Cho các số thực x, y thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + y 2 − 4 y + 4 + x 2 + y 2 + 4 y + 4 + x − 4 Bài 8: [ĐVH]. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn x + y + z ≤ Chứng minh rằng x2 + 3 2 1 1 1 3 17 + y2 + 2 + z2 + 2 ≥ 2 x y z 2 Bài 9: [ĐVH]. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn xy + yz + zx ≥ Chứng minh rằng x2 + 1 ( x + 1) 2 + y2 + 1 ( y + 1) 2 + z2 + 1 ( z + 1) 2 4 3 ≥ 181 5 Bài 10: [ĐVH]. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + 3b + 5c ≤ 3. Chứng minh rằng 3ab 625c 4 + 4 + 15bc a 4 + 4 + 5ca 81b 4 + 4 ≥ 45 5abc Bài 11: [ĐVH]. Cho các số thực x, y thay đổi. Tìm GTNN của biểu thức P = 2 x2 + 2 y2 − 2 x + 2 y + 1 + 2 x2 + 2 y 2 + 2 x − 2 y + 1 + 2 x2 + 2 y 2 + 4 x + 4 y + 4 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 KĨ THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ CHỨNG MINH BĐT Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Bài 1: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1. 1 1 1 3 + 3 + 3 ≥ Chứng minh rằng 3 a (b + c ) b (c + a ) c ( a + b ) 2 Hướng dẫn: 1 1 1 Đặt x = , y = , z = ⇒ xyz = 1 a b c x2 y2 z2 3 Khi đó BĐT đã cho được đưa về BĐT cơ bản: + + ≥ y+z z+x x+ y 2 Bài 2: [ĐVH]. Cho ba số dương a, b, c thoả mãn điều kiện abc = 1. bc ca ab Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 + 2 + 2 2 2 a b + a c b a + b c c a + c 2b Bài 3: [ĐVH]. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = abc. a b c 3 Chứng minh rằng + + ≤ bc (1 + a 2 ) ac (1 + b2 ) ab (1 + c 2 ) 2 Bài 4: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn ab + bc + ca = abc. 1 1 1 1 Chứng minh rằng + + ≥ a ( a − 1) b ( b − 1) c ( c − 1) 2 Bài 5: [ĐVH]. Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5− x + 5− y + 5− z = 1 . 25x 25 y 25z 5x + 5 y + 5z Chứng minh rằng x y + z + y z + x + z x+ y ≥ 25 + 5 5 +5 5 +5 4 Bài 6: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1. 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4 + 4 + 4 a (1 + b )(1 + c ) b (1 + a )(1 + c ) c (1 + a )(1 + b ) Hướng dẫn: 1 1 1 Đặt x = , y = , z =  → xyz = 1 a b c Bài 7: [ĐVH]. Cho tam giác ABC với các cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi tam giác. Chứng minh các BĐT sau: a b c a) + + ≥3 b+c −a c +a −b a +b−c 1 1 1 1 1 1 b) + + ≥ + + a +b−c b+c−a c +a −b a b c a2 b2 c2 c) + + ≥ a+b+c b+c −a c +a −b a +b−c d) ( b + c − a )( c + a − b )( a + b − c ) ≤ abc e) 1 ( p − a) 2 + 1 ( p − b) 2 + 1 ( p − c) 2 ≥ p ( p − a )( p − b )( p − c ) Bài 8: [ĐVH]. (Khối A – 2008) Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi thoả xyz = 1 x2 ( y + z ) y2 ( z + x) z2 ( x + y) Tìm GTNN của biểu thức P = + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2 y y Bài 9: [ĐVH]. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!