Tài liệu Tài liệu ôn thi thpt quốc gia môn toán 2016 cực hay (phần 8 - phương trình - bất phương trình - hệ phương trình)

1 Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ĐẶT 1 ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Câu 1: Giải phương trình 1 + 2 1 − x2 = x + 1 − x 3 ( x ∈ ℝ) . ( x ∈ ℝ) . 2 x 2 + 5 x + 3 − 16 ( x ∈ ℝ ) . Câu 2: Giải phương trình x − 2 − x + 2 = 2 x2 − 4 − 2 x + 2 Câu 3: Giải phương trình 2 x + 3 + x + 1 = 3x + 2 Câu 4: Giải phương trình 3 ( x + 1) x −1 = 5 − x2 x +1 Câu 5: Giải phương trình x ( x + 5 ) + 1 + 4 ( x + 2 ) ( x ∈ ℝ) . x+3 =0 x+2 ( x ∈ ℝ) . Câu 6: Giải phương trình ( x3 − 1) ( x − 1) = 2 x 2 + 4 x x 3 + x Câu 7: Giải phương trình ( x − 2 ) + 3 3 ( x − 2 ) ( x3 + 2 x ) = 8 2 Câu 8: Giải phương trình 2 x2 + 5x + 2 + x2 − x + 1 = 4 x Câu 9: Giải phương trình x 2 + x + 2 x x − 3 + x 2 − 3x = 2 ( x + 10 ) Câu 10: Giải phương trình x + x + 1 + x − 1 + x 2 − 1 = Câu 11: Giải phương trình 2 x + ( x + 1) 2 x − x 2 = 15 . 2 3 2 Câu 12: Giải phương trình 3 x 2 + 2 x − 20 + 2 ( x + 2 ) 3 x − 5 = ( ) 3x − 5 + 1 x+2 Câu 13: Giải các phương trình a) x 2 + x + 7 + x 2 + x + 2 = 3x 2 + 3x + 19 Đ/s: x = 1; x = −2 b) 2 x2 + 8x + 5 + 2 x 2 − 4 x + 5 = 6 x HD: Đặt t = 2 x + 5 4± 6 ⇒x= x 2 Câu 14: Giải các phương trình a) b) x + 1 + x 2 + 4 x + 3 = ( x + 2)3 5x 4 − x2 + HD: Đặt t = Đ/s: x = −3 + 5 2 8 2x2 5 4 − x2 + + +4=0 x2 4 − x2 x x 4 − x2 + 4 − x2 1 ⇒ t = −2; t = −  →x = − 2 x 2 Câu 15: Giải các phương trình a) 3 2 x 2 − 5 x + 12 − − x 2 + 16 x − 6 = 6 x HD: Đặt t = x + 6 ⇒ t = 7 ⇒ x = 1; x = 6 x Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG b) 3 2x 1 1 23 3 +4 − = − x −1 2 2x 2 2x HD: Đặt t = c) Facebook: LyHung95 x −1 1 9 ⇒ t =  →x = 2x 3 7 4 x − 16 x 2 − 9 + 4 x + 16 x 2 − 9 = 4 Đ/s: x = 5 4 x4 − x2 + 1 5 Câu 16: Giải phương trình 2 + +2=0 2 x (1 − x ) 2 x 1 − x 2 HD: Đặt t = x 1 − x 2 ⇒ x = − 1 2 Câu 17: Giải phương trình 2 3x − 1 4 x − 1 = x 3x − 1 Câu 18: Giải phương trình 7x 3x + 2 =3 x−4 x−4 Câu 19: Giải phương trình 9 2x + =1 2 x 2x2 + 9 Câu 20: Giải phương trình 1 5 + +1 = 0 2 x ( 4 − x ) 2 x 4 − x2 2 Câu 21: Giải phương trình x 2 − 6 x + x Câu 22: Giải phương trình Đ/s: x = x2 − 6 −6 = 0 x 1 x +1 = x− 2 x +1 − 3 − x 2± 7 2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ĐẶT ẨN KHÔNG HOÀN TOÀN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Câu 1: Giải phương trình x ( x + 7 ) = (1 + 2 x ) x 2 + x + 6 Câu 2: Giải phương trình 8 x 2 − 8 x + 3 = 8 x 2 x 2 − 3x + 1 Câu 3: Giải phương trình x 2 + 2 x + 2 = 2 ( x + 1) 1 + x 2 Câu 4: Giải phương trình 3x 2 + 4 x + 11 = ( x + 5 ) 3x 2 + x + 5 ( x ∈ ℝ) . ( x ∈ ℝ) . ( x ∈ ℝ) . ( x ∈ ℝ) . Câu 5: Giải phương trình 5 x 2 + 1 = 2 ( 2 x + 1) 2 x − 1 Câu 6: Giải phương trình 2 x 2 + 4 x − 3 = ( 2 x − 3) x 2 + x + 1 Câu 7: Giải phương trình x3 − 7 x 2 + 9 x − 1 = ( x 2 − 6 x + 7 ) 2 x − 1 Câu 8: Giải phương trình 2 x + 3 + 3x 2 − 2 x − 6 3 − 2 x2 − x + 1 =0 Câu 9: Giải phương trình 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 1 = x ( 2 x + 3) x 2 + Câu 10: Giải phương trình ( x + 3) 3 x + 2 = x 2 − 3 x − 2 . Câu 11: Giải phương trình 2 ( 2 x 2 + 3x + 3) = ( x 2 + 7 x ) x + 1 x 3 x Câu 12: Giải phương trình 2 ( x 3 − 4 x ) − 3 ( x − 1) x 3 − x + 1 = 0 Câu 13: Giải phương trình x 2 − 3 x − 4 = ( x 2 − 4 x − 2 ) x − 1 ( x ∈ R) Câu 14: Giải phương trình 2 x 2 ( x − 1) + x = ( x − 1) 2 x ( x 2 − x + 2 ) + 6 trên tập số thực. Câu 15: Giải phương trình x3 + 6 x 2 − 7 x + 4 = x3 − 2 5x − 1 x3 + 3 + 1 trên tập số thực. Câu 16: Giải phương trình 2 2 − x − x + 3 1 − ( x − 1) = 4 − x 2 Câu 17: Giải phương trình ( 4 x − 5) ( x ∈ R) x 2 − 2 x + 2 = 2 x 2 − 2 x + 1. Câu 18: Giải phương trình 2 x 2 + 2 x − 6 = ( 3 x − 1) 5 x − 4. Câu 19: Giải phương trình 6 x 2 + 7 x − 2 = ( 5 x + 2 ) 2 x 2 + 1. Câu 20: Giải phương trình 3x 2 + 5 x − 4 = ( 3x + 2 ) x 2 − 1. Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ĐẶT 2 ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – PHẦN 1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 1. ĐẶT 2 ẨN PHỤ NHÓM NHÂN TỬ CHUNG ( x ∈ ℝ) . ( x + 8 )( x + 2013) + 8 . Câu 1: Giải phương trình x +1 + x − 2 = x2 − x − 2 +1 Câu 2: Giải phương trình x + 8 + 8 x + 2013 = x+2 1 3x + = x 2 + 1 . 3 x 7 Câu 4: Giải phương trình ( 3 + x ) 2 x + = 2 ( x 2 + 5) . x Câu 3: Giải phương trình Câu 5: Giải phương trình 2 ( 2 x 2 + 13) x = ( x + 5 ) 4 x 2 + 21 . Câu 6: Giải phương trình ( x + 3) x + 3 = ( )  2x + 1 + 1  x + 2 +  Câu 7: Giải phương trình 2 3 + 2 x − x 2 + 1 + ( x − 1) = 2 2 ( 2− x   x + 3 + 2x + 1  1+ x + 3 − x ) Câu 8: Giải phương trình x + 3 x 2 − 2 x − 5 + 2 3 x − 5 = 15 . Câu 9: Giải phương trình x + x 3 + 1 + 2 x 2 − x + 1 = 3 . Câu 10: Giải phương trình x2 − x + 7 = 2x + 5 x2 − x + 1 x +1 Câu 11: Giải phương trình ( x 2 − 3 x + 4 ) 2 x − 1 + ( x 2 − 3 x ) x 2 − x + 1 = ( x − 1)( x − 2 ) . Câu 12: Giải phương trình 2 x − 3 + ( x − 1) x − 1 = ( x − 1) 2 x − 3 + 2 x 2 − 5 x + 3. Câu 13: Giải phương trình x3 − x 2 + 2 x + 4 = ( x 2 + 2 x + 3) x 2 − 2 x + 2. 2 1 7  Câu 14: Giải phương trình  2 − x 2 + 4 x − 3 +  + = 4 ( x − 1) 3 − x + 4 ( 3 − x ) x − 1. 2 4  ( ) Câu 15: Giải phương trình x + (1 − x ) x − 2 x − 1 = ( x − 1) ( Câu 16: Giải phương trình 5 x − 3 + 1 + 2 x 2 + x − 2 Câu 17: Giải phương trình ) 2 2 2 x − 1. = 4 ( x + 2 ) x − 1 + 8 ( x − 1) x + 2. x+2 1 3x + = x 2 + 1 3 x Câu 18: Giải phương trình ( 5 x 2 + 4 x + 3) x = ( x + 3) 5 x 2 + 4 x Câu 19: Giải phương trình ( x 2 + 2 x + 1) x 2 + 3 = x3 + 2 x 2 + 5 x Câu 20: Giải phương trình ( x 2 − 2 x + 1) x 2 + 1 = x 3 − 2 x 2 + x − 2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ĐẶT 2 ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – PHẦN 2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 2. ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PT ĐỒNG BẬC – MẪU 1 Câu 1 [ĐVH]: Giải phương trình x 2 − 4 x3 − x 2 − 4 = 4 x − 12 Câu 2 [ĐVH]: Giải các phương trình sau: a) 4 x 2 + 12 x = 9 + 7 x 4 x − 3 b) 2 + 4 x + 2 = 5 x2 + x + 1 x Câu 3 [ĐVH]: Giải các phương trình sau: a) 2 x2 − 4 x + 5 = 2 x2 + 1 x−2 b) 6 x 2 − x = 21 + ( x − 3) x 2 + x − 6 Câu 4 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:  3 b) 3 x + 5 1 +  = 8 3 + x  x a) 5 x 2 − 5 x x 2 + x + 1 = x + 1 Câu 5 [ĐVH]: Giải các phương trình sau: a) 3 x + 1 + 2 = 3 x2 + 4 x + 2 x b) 6 x 2 − 6 x + 5 = 5 ( x − 1) 2 x 2 + 2 x + 1 Câu 6 [ĐVH]: Giải các phương trình sau: a) 4 x 2 + 7 x + 1 = 7 x 3 − 1 b) 5 x 2 − 2 x + 8 = 8 x 3 + 1 Câu 7 [ĐVH]: Giải các phương trình sau: a) 10 x 2 − 6 x + 5 = 5 4 x 4 + 1 b) x 2 + x + 21 = 5 x 3 + 27 Câu 8 [ĐVH]: Giải các phương trình sau: a) x3 − 64 = 3x 2 + 10 x + 56 b) x4 + x2 + 1 1 = 3x 2 − 5 x + 3 3 Câu 9 [ĐVH]: Giải các phương trình sau: a) 20 x − 3x + 5 = 5 16 x − x + 1 2 4 2 b) 7 x 2 ( x + 1) − 2 5 x 2 + 12 x + 8 =1 Câu 10 [ĐVH]: Giải phương trình x 2 + 4 x + 1 = x 4 + x 2 + 1 Câu 11 [ĐVH]: Giải các phương trình sau: a) 72 x 2 − 4 x + 9 = 9 64 x 4 + 1 b) 7 x 2 − 5 x + 7 = 7 x 4 + x 2 + 1 Câu 12 [ĐVH]: Giải phương trình 4 x 2 − 16 x + 7 = 4 x 4 − 6 x3 + 8 x 2 − 7 x + 2 Câu 13 [ĐVH]: Giải phương trình 5 x 2 − x + 5 = 5 x 4 + x 2 + 1 Câu 14 [ĐVH]: Giải phương trình 2 x 2 − x + 1 = 4 x 4 + 1 ( x ∈ ℝ) . ( x ∈ ℝ) . Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( x ∈ ℝ) . Câu 15 [ĐVH]: Giải phương trình 8 x 2 + 20 x + 1 = 64 x 4 + 1 Câu 16 [ĐVH]: Giải phương trình 3x 2 − 4 x + 23 = 3 x 4 − 8 x + 63 ( ) ( x2 − 1 + 2 x2 − x − 2 ( x ∈ ℝ) . ( x ∈ ℝ) . Câu 17 [ĐVH]: Giải phương trình 3x 2 + x + 12 = x 4 + 7 x 2 + 16 Câu 18 [ĐVH]: Giải phương trình 2 x 2 − 1 Facebook: LyHung95 ) x2 + x − 1 = 0 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ĐẶT 2 ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – PHẦN 3 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 2. ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PT ĐỒNG BẬC – MẪU 2 Câu 1: Giải phương trình 1 − x 2 + 1 − 2 x = 2 14 x 2 − 12 x + 1 Câu 2: Giải phương trình x 2 + 2 x 2 − 1 = 3 3 x 4 − 2 x 2 + 2 Câu 3: Giải phương trình x 2 + x − 6 + x = 3 x 2 + 4 x − 18 Câu 4: Giải phương trình x + 2 x 2 + x − 2 = 5 x 2 + 9 x − 10 Câu 5: Giải phương trình 3x 2 + 6 + 2 x = 5x 3+ x Câu 6. Giải phương trình x − 1 + x 2 − 4 x + 5 = x 2 − x + 2. Câu 7. Giải phương trình x + 1 + 2 x 2 − 2 x + 4 = 5 x 2 + 4 x + 7. Câu 8. Giải phương trình x + 1 + x 3 − 3 x 2 + 3x + 3 = x3 + 9 x + 6. Câu 9. Giải phương trình ( x − 1) + x 2 − 8 x = x 4 − 4 x3 + 9 x 2 − 28 x + 1. 2 Câu 10. Giải phương trình x 2 − x + 3x 2 − 4 x − 4 = x 4 − 2 x3 + 10 x 2 − 12 x − 12. Câu 11: Giải phương trinh x2 + x + 1 + 4 x + 1 = 5x2 + x + 4 Câu 12: Giải phương trình 6 ( x + 2 ) = 2 x 2 − 3 x ( x 2 − 7 x − 4 ) 3 Câu 13: Giải phương trình 5 x 2 + 72 x + 246 − 2 x + 1 = 2 x + 14 Câu 14: Giải phương trình x 2 + 3x = 4 x 2 + 18 x + 6 − x 2 − 3 . Câu 15: Giải phương trình 3 x 2 + x − x 2 − x + 1 = 4 x 2 − 6 x + 5 . Câu 16: Giải phương trình 2 x 2 + 1 + 3 x 2 + 2 x − 8 = 25 x 2 + 18 x − 56 . Câu 17: Giải phương trình x + 1 + x3 + x − 2 = 2 ( x3 + 2 x − 1) . Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ĐẶT 2 ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – PHẦN 4 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 2. ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PT ĐỒNG BẬC – MẪU 3 Câu 1: Giải phương trình x3 + 2 x 2 − 9 x + 2 = x3 − 1 + x − 2 Câu 2: Giải phương trình 2 x 2 + 14 x − 3 + 9 ( x + 1) 8 x − 4 = 2 x + 2 + 3 2 x − 1 Câu 3: Giải phương trình x 2 + 4 x + 3 x − 1 = 3 x 2 + 15 x + 7 Câu 4: Giải phương trình x2 + x − 6 + 3 x − 1 = 2 x2 − 2 x + 6 Câu 5: Giải phương trình 5 x 2 − 17 x + 5 = 2 x 2 − 2 x − x − 5 Câu 6: Giải phương trình 2 (10 x 2 − 14 x + 3) = 3 x ( 2 x − 1) − x − 2 Câu 7: Giải phương trình 5 x 2 + 8 x − 42 = 2 Câu 8: Giải phương trình 4 x 2 − 12 x + 5 = x 2 − 3 x + 2 + x 2 − 3x Câu 9: Giải phương trình 9 x 2 − 27 x + 11 = 2 x 2 − 3x + x 2 − 3x + 2 Câu 10: Giải phương trình ( x − 2 )( x + 3) + x −3 72 x 3 + 24 x 2 − 36 x + 4 = 3 8 x3 − 1 + 2 x − 3 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 1. ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Câu 1. Giải phương trình Câu 2. Giải phương trình 4x −1 − 2x2 + 4 2x2 − 2x + 1 = 2 4 x 4 3 − x + 4 x + 14 = 3 4 Câu 3. Giải phương trình 3 14 x + 6 − 3 3 x + 1 = 3 2 x + 1 Câu 4. Giải phương trình 3 1 − x + 1 + x = 2 Câu 5. Giải phương trình 3 2 − x = 1 − x −1 x 2 + 2 x − 3 + 3 4 − x 2 − 2 x = 1. Câu 6. Giải phương trình Câu 7. Giải phương trình x3 − 6 x 2 − 6 x + 47 + ( 3 x 2 + 3 x − 18 ) 15 − 3 x − 3 x 2 = 0. ) ( Câu 8: Giải phương trình x. 3 9 − x3 . x + 3 9 − x3 = 6 . Câu 9: Giải phương trình 3 Câu 10: Giải phương trình x + 7 − x = 1. 5− 5+ x = x. Câu 11: Giải phương trình 2 3 3 x − 2 + 3 6 − 5 x − 8 = 0 . Câu 12: Giải phương trình 4 18 − x + 4 x − 1 = 3 . Câu 13: Giải phương trình x 2 + x + 1 = 1 . Câu 14: Giải phương trình 2 (1 − x )( x − 4 ) = Câu 15: Giải phương trình 2 − x 2 − 3 x + 4 = Câu 16: Giải phương trình Câu 17: Giải phương trình Câu 18: Giải phương trình Câu 19: Giải phương trình Câu 20: Giải phương trình 5x + 4 . x −5 5 + 1. x+2 x2 − 2 x − 4 = x ( x − 2) . x −1 4 x2 + 2 x + 7 2 4 x −2 = . 1− x 1 1 3 + = . 2 2x 2 5 − 4x 1 1 7 + = . 4 x 25 − 16 x 12 1 1 + = 1. x+3 5− x Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 2. ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau. a) x 2 − 6 x + 3 = x + 3 HD: Đặt x+3 = t −3 b) x 2 − 2 x = 2 2 x − 1 HD: Đặt 2x −1 = t −1 HD: Đặt 3 x + 1 = −2t + 3 HD: Đặt 4x + 9 1 =t+ 28 2 c) 3 x + 1 = −4 x 2 + 13 x − 5 Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau. a) 7 x 2 + 7 x = 4x + 9 28 b) x 2 − x − 9 = 3 3x + 1 4 HD: Đặt 3x + 1 = t − 1 2 c) x 2 + x + 13 = 2 2x − 2 4 HD: Đặt 2x − 2 = t + 1 2 Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau. a) 2 x 2 + 4 x = x+3 2 b) 4 x 2 + 7 x + 1 = 2 x + 2 Đ/s: x = −3 ± 17 −5 ± 14 ;x = 4 4 7 1 Đ/s: x = −1; x = − ; x = 4 4 c) x3 + 3 x 2 + 3 x + 4 = 4 3 4 x + 1 Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau. a) x 2 + 4 x + 7 = 2 2 x + 1 HD: Đặt 2x +1 = t + 2 b) 9 x 2 − 6 x + 2 = 3 x − 2 HD: Đặt 3 x − 2 = 3t − 1 c) x 2 + 2 x − 3 = 3 − x HD: Biến đổi phương trình về dạng x 2 + (2 x − 3) = x − (2 x − 3) Đặt  x − (2 x − 3) = t 2 t = x x − (2 x − 3) = t  → 2 ⇒ x + x2 = t + t 2 ⇔  t = − x − 1  x + (2 x − 3) = t 0 ≤ x ≤ 3 0 ≤ x ≤ 3 +) Với t = x ⇔ x = 3 − x ⇔  2 ⇔ 2  → vn x = 3 − x x + x − 3 = 0  x ≤ −1  x ≤ −1 −3 − 17 ⇔ 2 ⇒x= +) Với t = − x − 1 ⇔ − x − 1 = 3 − x ⇔  2 2 x + 2x +1 = 3 − x  x + 3x − 2 = 0 Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau. a) x 2 + 3x − 1 = x x 2 + 2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng ( x + 1) 2 + ( x − 2) = x x( x + 1) − ( x − 2) Đặt x( x + 1) − ( x − 2) = t + 1 ⇒ (t + 1) 2 + ( x − 2) = x( x + 1) (t + 1) 2 + ( x − 2) = x( x + 1) t = x 2 2 2 2 Khi đó ta có hệ phương trình  ⇒ ( t + 1) − ( x + 1) = x − t ⇔  2 ( x + 1) + ( x − 2) = x(t + 1) t = − x − 1 Đến đây, việc giải các phương trình thành phần hết sức đơn giản, nhường lại cho các em nhé! b) 4 x 2 − 3x + 2 = x 2 x 2 − 2 x − 1 HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng (2 x − 1) 2 + ( x + 1) = x x(2 x − 1) − ( x + 1) Đặt x(2 x − 1) − ( x + 1) = 2t − 1 , từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải. Ví dụ 6: [ĐVH]. Giải các phương trình sau. a) x 2 − x + 1 = ( x + 2) x 2 − 2 HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng ( x − 1)2 + x = ( x + 2) ( x + 1)( x − 1) − x Đặt ( x + 2)( x − 1) − x = t − 1 , từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải. b) 4 x 2 + 5 x = ( x + 2) 2 x 2 + 4 x + 3 HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng (2 x + 1) 2 + ( x − 1) = ( x + 2) ( x + 2)(2 x + 1) − ( x − 1) Đặt ( x + 2)(2 x + 1) − ( x − 1) = 2t + 1 , từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải. c) x 2 + x + 2 = ( x + 2) x 2 + 4 x + 1 HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng ( x + 1) 2 − ( x − 1) = ( x + 2) ( x + 2)( x + 1) + ( x − 1) Đặt ( x + 2)( x + 1) + ( x − 1) = t + 1 , từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải. Ví dụ 7: [ĐVH]. Giải các phương trình sau. a) 4 x 2 + 3x + 1 = x 2 x 2 + 2 x b) x 2 + 4 x + 8 = 2 4 x + 7 c) x 2 − 2 x − 2 = 3 7 x + 6 d) ( x − 1)2 = 3 x − 3 e) x 2 + 3 = 2 6 x + 5 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Câu 1. Giải phương trình 4 x 2 + 7 x + 1 = 2 x + 2 6x + 9 Câu 2. Giải phương trình + 15 x 2 + x + 9 = 0 2x +1 10 Câu 3. Giải phương trình +1 = x 6x2 − x − 6 − 4  16 8  Câu 4. Giải phương trình x3 − 6 x 2 + 12 x − 8 =  2 − 3  2 x − 1 x  x Câu 5: Giải phương trình x 2 + 2 x + 3 = 3 3 x + 1 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 4− x x 3 2 x − 4 x + 2 x − 11 3 2 = 3 x + 10 x − 1 Câu 7: Giải phương trình 2 x + 11 10 x + 14 Câu 8: Giải phương trình 3x 3 + 9 x 2 − 10 = 3 3 3x + 13 Câu 9: Giải phương trình 54 x 3 − 54 x 2 + 18 x − 16 = 3 2 Câu 6: Giải phương trình x 2 − 5 x + 5 = Câu 10: Giải phương trình 6 x3 − 17 x + 12 = 3 3 x − 2 Câu 11: Giải phương trình 4 x 3 − 9 x + 8 = 3 3 3 x − 2 Câu 12: Giải phương trình 2 x 3 + 11x = 8 + 5 3 4 − 3 x Câu 13: Giải phương trình 8 ( 4 x 2 + 5 x + 3) = 3 2 x − 5 Câu 14: Giải phương trình 3 ( x 2 + x − 1) = Câu 15: Giải phương trình 6 ( x + 1) = 2 5x + 8 3 8 + x − 3x 2 3 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 1. LIÊN HỢP 1 NGHIỆM Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải phương trình Điều kiện 4 ≤ x ≤ 6 x − 4 + 6 − x = 2 x 2 − 13x + 17 ⇔ ⇔ ⇔ ( )( x − 4 −1 )+( x − 4 +1 ( x − 4 + 6 − x = 2 x 2 − 13 x + 17. Hướng dẫn giải: ) ( x − 4 −1 + )( 6 − x −1 ) 6 − x − 1 − 2 x 2 + 13x − 15 = 0 ) − ( 2x 6 − x +1 x − 4 +1 6 − x +1 x−5 5− x + − ( x − 5 )( 2 x − 3) = 0 x − 4 +1 6 − x +1 2 − 13x + 15 ) = 0 x=5  1 1    ⇔ ( x − 5)  − − (2 x − 3)  = 0 ⇔ 1 1  − − (2 x − 3) = 0 6 − x +1  x − 4 +1   x − 4 + 1 6 − x +1 1 1 1 1 − − (2 x − 3) = 0 ⇔ − = 2 x − 3 (1) x − 4 +1 6 − x +1 x − 4 +1 6 − x +1 1 1 1 Ta có − < ≤ 1 và 2 x − 3 ≥ 5, ∀x ∈ [ 4; 6] nên phương trình (1) vô nghiệm. x − 4 +1 6 − x +1 x − 4 +1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 5. Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau. a) c) 2x + 2 − 2x − 1 = x b) 4 x + 1 − 3x − 2 = 4 1 5 + x − = x + 2x − x x x x+3 5 d) x+7 + 8 = 2 x2 + 2 x − 1 x +1 Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau. a) 2x + 2 − 2x −1 = x b) x + 3 − 1− x = x +1 c) x 2 + 12 + 5 = 3x + x 2 + 5 d) x 2 + 15 = 3x − 2 + x 2 + 8 (Đ/s: x = 1) Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau. a) x − 2 + 4 − x = 2 x2 − 5x − 1 (Đ/s: x = 3) b) 3 x + 1 − 6 − x + 3 x 2 − 14 x − 8 = 0 (Đ/s: x = 5) c) 4x + 1 − 5 − 2x + 2x2 − 5x = 0 (Đ/s: x = 2) BÀI TẬP LUYỆN TẬP Câu 1: Giải phương trình x3 + x 2 − 2 x + 10 = 2 ( x 2 + x + 1) x − 1 + 6 Câu 2: Giải phương trình 2 x + 1 + 4 x − 7 = x3 − 6 x 2 + 21 x−4 2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Câu 3: Giải phương trình 3 ( x − 2 ) + 3 x + 4 = 3 2 x + 1 + x − 3 ( x ∈ ℝ) . Câu 4: Giải phương trình 3x − 4 + x 2 + 2 = 3x + x Câu 5: Giải phương trình x +1 + 2 x + 1 = 3x + 2 5x + 2 + 1 ( x ∈ ℝ) . Câu 6: Giải phương trình 2 x + 3 − x + 4 + 2 x 2 + 3x = 5 ( x ∈ ℝ) . Câu 7: Giải phương trình 1 1 − = 2x + 3 x+4 x3 − 1 x2 − 2 x + 5 − 1 Câu 8: Giải phương trình 5 + x 2 + x + 4 = 3 x + 4 + Câu 9: Giải phương trình 10 x ( x ∈ ℝ) . ( x ∈ ℝ) . x − 1 + 2 x + 2 = 5 + ( 2x2 − 5x + 2) x + 3 Câu 10: Giải phương trình 2 x + 14 + 3 x + 1 = ( x + 8 ) x + 3 ( x ∈ ℝ). ( x ∈ ℝ). Câu 11: Giải phương trình x3 + 5 x + ( x − 2 ) x + 1 = 4 x 2 + 4 − x + 2 Câu 12: Giải phương trình x3 + 4 x + ( x − 1) 2 x + 1 = 3 x 2 + x + 3 Câu 13: Giải phương trình x − 1 + 3x + 1 + x3 + x 2 − 2 = 2 x ( x ∈ ℝ). ( x ∈ ℝ). ( x ∈ ℝ). Câu 14: Giải phương trình ( x + 2 ) x + 1 − ( 4 x + 5 ) 2 x + 3 + 6 x + 23 = 0 Câu 15: Giải phương trình x 2 + 2 x + 5 = 2 x + 2 + ( x + 1) x 2 + x + 3 Câu 16: Giải phương trình Câu 17: Giải phương trình ( x ∈ R) ( x ∈ R) 2 x 2 + 8 − 2 2 x − 3 + x − 4 = 0 trên tập số thực. 2 x2 + ( x − 1) 3 + ( 2 x − 1) 2 x − 3 x2 + 5x − 2 = 1 trên tập số thực. Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 2. LIÊN HỢP 2 NGHIỆM ĐẸP Ví dụ 1 [ĐVH]: Giải các phương trình sau. a) 5x − 3 − 2 x − 1 + 6 x2 − x − 2 = 0 Đ/s: x = b) 3 2 x + 7 − 1 − 5 x + 2 x 2 + 13 x + 22 = 0 a) ĐK: x ≥ 3 . Khi đó PT ⇔ 5 ( 2 3 Đ/s: x = −3 Lời giải. ) 5 x − 3 − 2 x − 1 + ( 3 x − 2 )( 2 x + 1) = 0 3x − 2 1   + ( 3 x − 2 )( 2 x + 1) = 0 ⇔ ( 3 x − 2 )  + 2 x − 1 = 0 (1) 5x − 3 + 2 x − 1  5x − 3 + 2 x −1  ⇔ Do ⇔ 1 3 2  + 2 x + 1 > 0  ∀x ≥  ⇒ (1) ⇔ x = 5 3 5x − 3 + 2 x − 1  Vậy x = 2 là nghiệm của PT đã cho. 3 b) ĐK: −7 1 ≤x≤ 2 5 PT ⇔ 3( 2 x + 7 − 1) + (4 − 1 − 5 x ) + 2 x 2 + 13 x + 21 = 0 ⇔ 6( x + 3) 5( x + 3) + + (2 x + 7)( x + 3) = 0 2 x + 7 + 1 4 + 1 − 5x 6 5   ⇔ ( x + 3)  + + 2 x + 7  = 0 ⇔ ( x + 3).g ( x) = 0 ⇔ x = −3  2 x + 7 + 1 4 + 1 − 5x   −7 1  Vì g ( x) > 0 ∀x ∈  ;   2 5 Vậy x=-3 là nghiệm của PT Ví dụ 2 [ĐVH]: Giải các phương trình sau. a) 2 x2 + x + 6 + x2 + x + 2 = x + b) x2 − x + 1 + x2 + x + 1 = 2 4 x Đ/s: x = 1 Đ/s: x = 0 Lời giải. a) ĐK: x > 0 ( vì VT > 0 ). 2 2 x2 + 4 ( 2 x + x + 6) − ( x + x + 2) Khi đó: PT ⇔ 2 x + x + 6 + x + x + 2 = = x x 2 ⇔x ( 2 ) ( 2 x2 + x + 6 + x2 + x + 2 = 2x2 + x + 6 + x2 + x + 2 )( 2 x2 + x + 6 − x2 + x + 2 ) Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ⇔ 2 x2 + x + 6 − x2 + x + 2 = x ⇔ 2 x2 + x + 6 = x + x2 + x + 2 ⇔ 2 x 2 + x + 6 = 2 x 2 + x + 2 + 2 x x 2 + x + 2 ⇔ 2 = x x 2 + x + 2 ⇔ 4 = x 4 + x3 + 2 x 2 ⇔ ( x 4 − 1) + ( x3 + 2 x 2 − 3) = 0 ⇔ ( x − 1)( x + 1) ( x 2 + 1) + ( x − 1) ( x 2 + 3 x + 3) ⇔ ( x − 1) ( x + 1) ( x 2 + 1) + x 2 + 3 x + 3 = 0 ⇔ ( x − 1) g ( x ) ⇔ x = 1 ( vì g ( x ) > 0 ∀x > 0 ) Vậy x = 1 là nghiệm của PT đã cho. b) PT ⇔ 2 x 2 + 2 + 2 (x 2 + 1 − x )( x 2 + 1 + x ) = 4 ⇔ x 2 + 1 + (x 2 + 1) − x 2 = 2 2   x2 + 1 = 0 ⇔ x2 1 + =0 x4 + x2 + 1 + 1 x4 + x2 + 1 + 1   x4 + x2 ⇔ x2 + x4 + x2 + 1 − 1 = 0 ⇔ x2 + x = 0  ⇔ x2 + 1 1+ = 0 ( vn )  x4 + x2 + 1 + 1 Vậy x = 0 là nghiệm của PT. Ví dụ 3 [ĐVH]: Giải các phương trình sau. a) 2 x2 + x + 9 + 2 x2 − x + 1 = x + 4 b) 2 x 2 + x + 1 + x 2 − x + 1 = 3x Đ/s: x = 0, x = 8 7 Lời giải. a) Nhận xét: x = −4 không là nghiệm của PT. Với x ≠ −4 ta có: PT ⇔ 2x + 8 2x + x + 9 − 2x − x +1 2 2 = x + 4 ⇔ 2 x2 + x + 9 − 2 x2 − x + 1 = 2  x ≥ −2 8 (1) ⇔ 2 x 2 + x + 9 = 2 x 2 − x + 1 + 4 2 x 2 − x + 1 + 4 ⇔ x + 2 = 2 2 x 2 − x + 1 ⇔  2 ⇔ x = 0, x = 7 7 x − 8 x = 0 Vậy x=0, x = 8 là nghiệm của PT 7 b) Nhận xét : x = 0 không phải là nghiệm của PT PT ⇔ 6x 2 x + 3x + 5 − 2 x − 3x + 5 2 2 = 3x ⇒ 2 x 2 + 3x + 5 = 2 + 2 x 2 − 3x + 5 2  x ≥ ⇔ 2 x + 3x + 5 = 4 + 4 2 x − 3x + 5 + 2 x − 3x + 5 ⇔ 2 2 x − 3x + 5 = 3x − 2 ⇔  ⇔x=4 3  x 2 − 16 = 0  2 2 2 2 Vậy x = 4 là nghiệm của PT đã cho. Ví dụ 4 [ĐVH]: Giải các phương trình sau. a) 3x 2 − 7 x + 3 − x 2 − 2 = 3x 2 − 5 x − 1 − x 2 − 3x + 4 b) 4 x 2 + 3 x + 3 = 4 x x + 3 + 2 2 x − 1 Đ/s: x = 2 Đ/s: x = 1 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Lời giải. 3x − 7 x + 3 ≥ 0  a) ĐK:  x 2 ≥ 2 (*) . Với ĐK trên ta có: 3x 2 − 5 x − 1 ≥ 0  2 PT ⇔ 3x 2 − 7 x + 3 − 3 x 2 − 5 x − 1 = x 2 − 2 − x 2 − 3x + 4 ⇔ −2 x + 4 3x 2 − 7 x + 3 + 3 x 2 − 5 x − 1 =  x = 2 ( tm (*) )  ⇔ −2 =  2 2 x − x + + x − x − 3 7 3 3 5 1  3x − 6 x 2 − 2 + x 2 − 3x + 4 3 x − 2 + x 2 − 3x + 4 2 ( vn ) Vậy x = 2 là nghiệm của PT đã cho. b) ĐK: x ≥ 1 . Với ĐK trên ta có: 2 ( PT ⇔ 4 x − 4 x x + 3 + ( x + 3) + 2 x − 2 2 x − 1 = 0 ⇔ 2 x − x + 3 2  2 2 2 2 ( x − 1) 2 x + 3)  4 x2 − x − 3  ( 2  ⇔ = 0 ⇔ ( x − 1)  +   2x + x + 3  x + 2x −1  2 x + x + 3 ( ) 2 ) 2 + 2 ( x 2 − 2 x + 1) x + 2x −1 =0  2 =0 + x + 2x −1   ⇔ x =1 Vậy x = 1 là nghiệm của PT. Ví dụ 5 [ĐVH]: Giải các phương trình sau: a) 5 x 2 + x + 3 − 2 5 x − 1 + x 2 − 3x + 3 = 0 a. ĐK: x ≥ −4 Với ĐK trên ta có: 5 ) ( ( PT ⇔ 2 − 5 x − 1 + x + 1 + b) 2 x 2 + 3 = 3 x + 1 + 5 x + 4 Lời giải. ) 5 x 2 + x + 3 − 2 x − 1 + x 2 − 3x + 2 = 0   2 1   2 2 ⇔ ( x 2 − 3 x + 2)   + x − 3x + 2 = 0  + ( x − 3 x + 2)  2  5x − 1 + x + 1   5x + x + 3 + 2x + 1  ( )   x = 1 2 1 ⇔ ( x 2 − 3 x + 2)  + + 1 = 0 ⇔  2 5x + x + 3 + 2 x + 1  x = 2  5x − 1 + x + 1 b. ĐK: x ≥ −1 . Với ĐK trên ta có: 5 PT ⇔ 2( x 2 − x) + ( x + 1 − 3 x + 1) + ( x + 2 − 5 x + 4) = 0 ( ) ⇔ 2 x2 − x + x = 0 x2 − x x2 − x + = 0 ⇔ ( x 2 − x).g ( x) = 0 ⇔  x + 1 + 3x + 1 x + 2 + 5 x + 4 x = 1 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Vì g ( x) = 2 + 1 x + 1 + 3x + 1 + 1 x + 2 + 5x + 4 Ví dụ 6 [ĐVH]: Giải phương trình > 0 ∀x ≥ Facebook: LyHung95 −4 5 ( x ∈ ℝ) . 3 − x + x + 2 = x3 + x 2 − 4 x − 1 Lời giải. Điều kiện −2 ≤ x ≤ 3 . Phương trình đã cho tương đương với 3 3 − x + 3 x + 2 = 3 x 3 + 3 x 2 − 12 x − 3 ⇔ 3 3 − x − ( 5 − x ) + 3 x + 2 − ( x + 4 ) = 3 x3 + 3 x 2 − 12 x − 12 ⇔ 9 ( 3 − x ) − ( x 2 − 10 x + 25 ) + 9 ( x + 2 ) − ( x 2 + 8 x + 16 ) 3 3− x +5− x 3 x+2 + x+4 2 −x + x + 2 −x + x + 2 ⇔ + = 3 ( x 2 − 4 ) ( x + 1) 3 3− x +5− x 3 x + 2 + x + 4 = 3 x 2 ( x + 1) − 12 ( x + 1) 2 1 1   ⇔ ( x + 1)( x − 2 )  + + 3 ( x + 2 )  = 0 (1) 3 3− x + 5 − x 3 x + 2 + x + 4  1 1 Dễ thấy + + 3 ( x + 2 ) > 0, ∀x ∈ [ −2;3] nên (1) có các nghiệm x = 2; x = −1 . 3 3− x + 5− x 3 x + 2 + x + 4 Kết luận phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 2; x = −1 . x 4 − x 3 − x 2 − x − 11 =0 3 Lời giải. Điều kiện −2 ≤ x ≤ 3 . Phương trình tương đương 3 3 − x + 3 x + 2 + x 4 − x 3 − x 2 − x − 11 = 0 Ví dụ 7 [ĐVH]: Giải phương trình 3− x + x + 2 + ( x ∈ ℝ) . ⇔ 3 3 − x − (5 − x ) + 3 x + 2 − ( x + 4) + x2 ( x2 − x − 2) + x2 − x − 2 = 0 ⇔ 9 ( 3 − x ) − ( x 2 − 10 x + 25 ) + 9 ( x + 2 ) − ( x 2 + 8 x + 16 ) + x 2 ( x − 2 )( x + 1) + ( x − 2 )( x + 1) = 0 3 3− x +5− x 3 x+2 + x+4 2 −x + x + 2 −x + x + 2 ⇔ + + ( x − 2 )( x + 1) ( x 2 + 1) = 0 3 3− x +5− x 3 x + 2 + x + 4 1 1   ⇔ ( x + 1)( x − 2 )  + − x 2 − 1 = 0 (1) 3 3− x + 5 − x 3 x + 2 + x + 4  1 1 1 1 1 Ta thấy + = + < 2. = 1 < x 2 + 1 . 2 3 3− x + 5− x 3 x + 2 + x + 4 3 3− x +3− x + 2 3 x + 2 + x + 2 + 2 Nên (1) có các nghiệm x = 2; x = −1 . Kết luận phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 2; x = −1 . 2 Ví dụ 8 [ĐVH]: Giải phương trình x ( x + 1)( x − 3 ) + 3 = 4 − x + x + 1 ( x ∈ ℝ) . Lời giải. Điều kiện −1 ≤ x ≤ 4 . Phương trình đã cho tương đương với Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x ( x + 1)( x − 3) = 4 − x + x + 1 − 3 ⇔ x ( x + 1)( x − 3) = 4 − x − 6− x x+3 + 1+ x − 3 3 ⇔ 3 x ( x + 1)( x − 3) = 3 4 − x − ( 6 − x ) + 3 1 + x − ( x + 3) − x 2 + 3x − x 2 + 3x + 3 4 − x + 6 − x 3 1+ x + x + 3 1 1   ⇔ ( x 2 − 3 x ) 3 x + 3 + + =0 3 4 − x + 6 − x 3 1+ x + x + 3  ⇔ 3 ( x + 1) ( x 2 − 3 x ) = Ta có nhận xét (1) 3 4 − x + 6 − x > 0,3 1 + x + x + 3 > 0, ∀x ∈ [ −1; 4] 1 1 + > 0, ∀x ∈ [ −1; 4] 3 4 − x + 6 − x 3 1+ x + x + 3 Do đó (1) ⇔ x ( x − 3) = 0 ⇔ x ∈ {0;3} . Đối chiếu điều kiện, kết luận bài toán có hai nghiệm kể trên. ⇒ 3 ( x + 1) + Ví dụ 9 [ĐVH]: Giải phương trình 5 − x + 28 − 3 x = 2 x 2 − 32 47 x+ 3 3 ( x ∈ ℝ) . Lời giải. Điều kiện x ≤ 5 . Phương trình đã cho tương đương với 7−x 16 − x 5− x − + 28 − 3 x − = 2 ( x2 − 5x + 4) 3 3 ⇔ 3 5 − x − ( 7 − x ) + 3 28 − 3 x − (16 − x ) = 2 ( x 2 − 5 x + 4 ) ⇔ x 2 − 14 x + 49 − 9 ( 5 − x ) + x 2 − 32 x + 16 2 − 9 ( 28 − 3 x ) + 2 ( x2 − 5x + 4 ) = 0 7− x +3 5− x 16 − x + 3 28 − 3 x 2 x − 5x + 4 x − 5x + 4 ⇔ + + 2 ( x2 − 5x + 4) = 0 7 − x + 3 5 − x 16 − x + 3 28 − 3 x 1 1   ⇔ ( x − 1)( x − 4 )  + + 2  = 0 (1)  7 − x + 3 5 − x 16 − x + 3 28 − 3 x  1 1 Ta có + + 2 > 0, ∀x ≤ 5 nên (1) ⇔ ( x − 1)( x − 4 ) = 0 ⇔ x ∈ {1; 4} . 7 − x + 3 5 − x 16 − x + 3 28 − 3 x Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên. 2 Ví dụ 10 [ĐVH]: Giải phương trình 4 x 2 − 18 x + 22 = 13 − 4 x + 33 − 8 x ( x ∈ ℝ) . Lời giải. 13 . 4 Phương trình đã cho tương đương với ( 4 − x ) − 13 − 4 x + ( 6 − x ) − 33 − 8 x + 4 ( x 2 − 4 x + 3) = 0 Điều kiện x ≤ ⇔ x2 − 4 x + 3 x2 − 4x + 3 + + 4 ( x 2 − 4 x + 3) = 0 ( 4 − x ) + 13 − 4 x ( 6 − x ) + 33 − 8 x   1 1 ⇔ ( x 2 − 4 x + 3)  + + 4  = 0 (1)  ( 4 − x ) + 13 − 4 x ( 6 − x ) + 33 − 8 x    1 1 13 + + 4 > 0, ∀x ≤ nên (1) ⇔ ( x − 1)( x − 3) = 0 ⇔ x ∈ {1;3} . Vì 4 ( 4 − x ) + 13 − 4 x ( 6 − x ) + 33 − 8 x Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!