Tài liệu Tài liệu ôn thi thpt quốc gia môn toán 2016 cực hay (phần 4 - hình học tọa độ không gian oxyz)

1 Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 01. VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Tọa độ của vectơ và của điểm:




u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk Cho  




 M = ( x; y; z ) ⇒ OM = u = xi + y j + zk 
Nếu A = ( xA ; y A ; z A ), B = ( xB ; yB ; z B )  → AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A )
Vectơ bằng nhau. Tọa độ của vectơ tổng, vectơ hiệu:

Cho u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z2 ) . Khi đó

u ± v = ( x1 ± x2 ; y1 ± y2 ; z1 ± z2 )
ku = (kx1 ; ky1 ; kz1 ), k ∈ ℝ

mu ± nv = (mx1 ± nx2 ; my1 ± ny2 ; mz1 ± nz2 ), m, n ∈ ℝ

u = x12 + y12 + z12 ; v = x22 + y22 + z22  → AB = ( xA − xB )2 + ( y A − yB ) 2 + ( z A − z B )2  x1 = x2

 u = v ⇔  y1 = y2 z = z 2  1
Hai vectơ cùng phương:  x2 = kx1



x y z  Hai vectơ u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z2 ) cùng phương ⇔ ∃k ∈ ℝ : v = ku ⇔  y2 = ky1 hay 2 = 2 = 2 x1 y1 z1  z = kz 1  2
Tích vô hướng của hai vectơ:

Cho u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z2 ) . ( )





Tích vô hướng của hai véc tơ cho bởi u.v = u v .cos u , v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2







x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 u.v  → u ⊥ v ⇔ u.v = 0 ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0 Từ đó suy ra cos u , v =

= u.v x12 + y12 + z12 x22 + y22 + z22 ( )







Ví dụ 1: [ĐVH]. Trong hệ tọa độ Oxy cho: a = (1; −1;0), b = ( −1;1;2), c = i − 2 j − k , d = i

a) Xác định k để véctơ u = (2;2k − 1;0) cùng phương với a . 



b) Xác định các số thực m, n, p để: d = ma − nb + pc



c) Tính a ; b ; a + 2b Hướng dẫn giải:

1 −1 1 a) Để u cùng phương với a ⇔ = ⇔k =− 2 2k − 1 2 







b) c = i − 2 j − k ⇒ c(1; −2; −1); d = i ⇒ d (1;0;0) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 3  m=
 2  ma = (m; −m;0) m + n + p = 1  




1   → d = ma − nb + pc ⇔  −m − n − 2 p = 0 ⇔  n = Ta có  nb = (−n; n;2n)  2 
 −2n − p = 0  = − − pc ( p ; 2 p ; p )   p = −1   

2 2 2 2 2 c) a = 1 + (−1) = 2; b = (−1) + 1 + 2 = 6



a + 2b = (1 − 2.1; −1 + 2.1;0 + 2.2) = (−1;1;4)  → a + 2b = (−1) 2 + 12 + 42 = 18 = 3 2 Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho A(1; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(3; 0; 1), E(1; 2; 3). a) Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật. Tính diện tích của hình chữ nhật ABCD. b) Tính cosin các góc của tam giác ABC. c) Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB. Hướng dẫn giải: 

a) Ta có AB = DC = (1; −2;1) nên ABCD là hình bình hành 



→ AB.BC ⇔  ABC = 900 . Vậy ABCD là hình chữ nhật Lại có AB.BC = 1.2 − 2.1 + 0.1 = 0  S ABCD = AB. BC = 12 + 12 + 22 . 22 + 12 = 30 b) Gọi góc giữa các cạnh của tam giác ABC là φ1; φ2; φ3 


Ta có AB = (1; −2;1); BC = (2;1;0); AC = (3; −1;1) Do góc giữa 2 đường thẳng không vượt quá 900 nên ta có: 

1.2 − 2.1 + 1.0 =0 cos φ1 = cos AB; BC = 12 + 22 + 12 . 12 + 22 

1.3 + 2.1 + 1.1 6 cos φ 2 = cos AB; AC = = 2 2 2 2 2 2 66 1 + 2 +1 . 1 +1 + 3 

2.3 − 1.1 + 0.1 5 cos φ3 = cos BC ; AC = = 2 2 2 2 2 55 2 +1 . 1 +1 + 3 

c) Gọi điểm I thuộc Oy có tọa độ là I(0, y, 0)  → IA = (1; −1 − y;1), IB = (2; −3 − y;2) ( ) ( ) ( ) I cách đều A và B khi IA = IB ⇔ IA2 = IB 2 ⇔ 12 + (1 + y ) 2 + 12 = 22 + (3 + y )2 + 22 ⇔ y = −7  −7   → I  0; ;0  2  2 



Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho: a = ( 2; −5; 3) , b = ( 0; 2; −1) , c = (1; 7; 2 ) . Tìm toạ độ của các vectơ u với:


2


1




a) u = 4a − b + 3c b) u = a − 4b − 2c c) u = −4b + c 2 3


2




1
4


3 d) u = 3a − b + 5c e) u = a − b − 2c f) u = a − b − c 2 3 4 3


Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho ba vectơ a = (1; −1;1) , b = ( 4; 0; −1) , c = ( 3; 2; −1) . Tìm:








c) a 2 b + b 2 c + c 2 a


Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho ba vectơ a = ( 2;1;1) , b = ( 0; 3; −4 ) , c = ( m; m + 1; 3) . Tìm m để


a) a + 2b − 3c = 2 69 (Đ/s: m = 2)


b) a + 3c .b = 0



22 c) cos a + b; b − 2c = (Đ/s: m = 1) 3045


Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho ba vectơ a = (1; 3; 4 ) , b = ( 2; −1; −1) , c = ( 2m; m;1) . Tìm m để

a) 2a + c = 74 (Đ/s: m = 1)



b) b + 2c . 2a − c = 0 (Đ/s: m = –2)

Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho hai vectơ a , b . Tính X, Y khi biết
b) a 2 ( b .c )

a) ( a.b ) c ( ) ( ( ) )( ) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
 a
= 4, b = 6 a) 

 X = a − b

 a
= (2; −1; −2), b = 6, a
− b = 4 b) 

Y = a + b Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho các điểm A(1; 1; 2), B(3; 0; –3), C(2; 4; –1). a) Chứng minh rằng ABC là một tam giác. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC. b) Tìm điểm D để ABCD là một hình bình hành. 



c) Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức MA + 3MB − 2CM = 0 Ví dụ 9: [ĐVH]. Tìm điểm M trên Oy cách đều các điểm A(3;1;0), B (−2; 4;1)  11  Đ/s: M  0; ;0   6  BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH]. Tìm tọa độ chân đường vuông góc H của tam giác OAB với A(−3; −2;6), B (−2; 4;4), O (0;0;0)  96 80 192  Đ/s: H  − ; ;   41 41 41  Bài 2: [ĐVH]. Cho các điểm A(2; 1; 0), B(3; 1; –1), C(1; 2; 3). Bài 3: [ĐVH]. Tìm điểm C trên Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C với A(1;1;2), B (−1;2;5) 6 2 Đ/s: D(2;2;2;)  1  Đ/s: M  1; ;0   2  Đ/s: C ( −2;0;0 ) Bài 4: [ĐVH]. Tìm điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC vuông tại B với A(2; −1;0), B (1; −1;1) Đ/s: C ( 0;3;0 ) a) Chứng minh rằng ABC là một tam giác. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC. b) Tìm điểm D để ABCD là một hình bình hành. 



c) Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức MA − 2 MB + MC = MD, với D(4; 3; 2) Đ/s: S = Bài 5: [ĐVH]. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng xOz sao cho M cách đều các điểm A(1;1;1), B (−1;1;0), C (3;1; −1) 7 5 Đ/s: M  ;0; −  6 6 Bài 6: [ĐVH]. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A ( 4;2;1) , B ( −1;0;3) , C ( 2; −2;0 ) , D ( −3; 2;1) a) Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng phẳng b) Tính thể tích tứ diện ABCD và đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A c) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất. Bài 7: [ĐVH]. Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm: A ( 2;3;1) , B ( −1;2;0 ) , C (1;1; −2 ) a) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC b) Tìm tọa độ I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c) Giả sử G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh 3 điểm G, H, I thẳng hàng. Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 02. TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Tích có hướng của hai véc tơ:



 y Cho hai véc tơ: u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z2 )  → u; v  =  1  y2 z1 z1 ; z2 z 2 y1   y2  x1 x1 ; x2 x2 Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính tích có hướng của các véc tơ sau:


u = (1;1;2) a) 
 → u; v  = ( −6; −4;5) v = (−2;3;0)


u = (−1;3;1) b) 
 → u; v  = ( −7;0;5) v = (−2;1; −2)


u = (2;0; −1) c) 
 → u; v  = ( 2;4;4 ) v = (−2;2; −1)

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho u = (1;1;2 ) , v = ( −1; m; m − 2 ) . Tìm m để



a)  u; v  ⊥ a , với a = ( 3; −1; −2 ) . ( )



c)  u; v  ; a = 600 , với a = ( −1;2;0 ) .

b)  u; v  = 4. Hướng dẫn giải:
u = (1;1;2 )

Ta có 
 → u; v  = ( −m − 2; − m; m + 1) v ( −1; m; m − 2 )





a) u; v  ⊥ a ⇔ u; v  .a = 0 ⇔ ( −m − 2; − m; m + 1) .( 3; −1; −2 ) = 0 ⇔ −3m − 6 + m − 2m − 2 = 0 ⇔ 4m = −8 ⇔ m = −2.

b) u; v  = 4 ⇔ ( ) ( −m − 2 ) 2 + ( −m ) + ( m + 1) ( 2 2 m = 1 = 4 ⇔ 5m + 6m + 5 = 4 ⇔ 5m + 6m − 11 = 0 ⇔   m = − 11  5 2 2 )





1 m + 2 − 2m 1 c) u; v  ; a = 600 ⇔ cos u; v  ; a = ⇔ = ⇔ 2 ( 2 − m ) = 5. 5m2 + 6m + 5 2 2 5m + 6m + 5. 5 2 m ≤ 2  2 − m ≥ 0 m ≤ 2 227 − 23  ⇔ ⇔ ⇔ →m = 2 −23 ± 227  2 2 4 2 − m = 5 5 m + 6 m + 5 42 ) ( ) 21m + 46m + 9 = 0 m = 42  ( 
Các ứng dụng của tích có hướng: +) Ứng dụng 1: Xét sự đồng phẳng của ba véc tơ (hoặc tính đồng phẳng của bốn điểm phân biệt A, B, C, D).








Ba véc tơ a; b; c đồng phẳng khi  a; b  .c = 0 và không đồng phẳng khi  a; b  .c ≠ 0. 





Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi  AB; AC  . AD = 0 và không đồng phẳng khi  AB; AC  . AD ≠ 0. +) Ứng dụng 2: Tính diện tích tam giác. Ta có S∆ABC = 1 2 

1  AB; AC  =   2 

1  BC ; BA =   2 

CA; CB    Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 



 AB; AC   AB; AC  

1 1     Từ đó S∆ABC =  AB; AC  = a.ha  → ha = = 2 2 a BC Facebook: LyHung95 +) Ứng dụng 3: Tính thể tích khối chóp tam giác hoặc tứ diện. Ta có VABCD = 1 


1 3V  AB; AC  . AD = .S ∆ABC .h  →h =   6 3 S∆ABC 


⇒ thể tích khối hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' là V =  AB; AC  . AA ' Ví dụ 3: [ĐVH]. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0). a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện. b) Tính thể tích của tứ diện ABCD. c) Tính đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A. d) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Hướng dẫn giải: 


a) AB = (−6;3;3), AC = (−4; 2;4), AD = (−2;3; −3) 

 3 3 3 −6 −6 3  Ta có  AB, AC  =  ; ;  = (−18; −36;0)  2 −4 −4 −4 −4 2  





⇒  AB, AC  . AD = −18.(−2) − 36.3 = −72 ≠ 0 nên ba vectơ AB, AC , AD không đồng phẳng. Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện 1 


1  AB, AC  . AD = .72 = 12 (đvtt)  6 6 

c) BC = (2; −1; −7), BD = (4;0; −6) b) VABCD = 

 −1 −7 −7 2 2 −1  1 

1 2  BC , BD  =  ; ; → S BCD =  BC , BD  = 6 + 162 + 42 = 77  = (6; −16; 4)    0 − 6 − 6 4 4 0 2 2   Gọi AH là đường cao hạ từ đỉnh A xuống (BCD) ta có V 1 12 36 VABCD = .S BDC . AH  → AH = 3. ABCD = 3. = 3 S BDC 77 77 

d) AB = (−6;3;3), CD = (2;1;1) Gọi góc giữa 2 đường thẳng AB và CD là φ ta có: cos φ = −6.2 + 3.1 + 3.1 6 + 3 + 3 . 2 +1+1 2 Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là φ sao cho cos φ = 2 2 2 = 6 1 = . 324 3 1 3 Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết rằng A(1; 2; –1), B(–1; 1; 3), C(–1; –1; 2) và D’(2; –2; –3) a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại. b) Tính thể tích hình hộp. c) Tính thể tích tứ diện A.A’BC. Tính tỉ số V ABCD . A' B 'C ' D ' V A. A ' B ' C ' d) Tính thể tích khối đa diện ABCDD’. Hướng dẫn giải: Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 

a) Đặt D(a; b; c) ta có AD = ( a − 1; b − 2; c + 1) ; BC = (0; −2; −1) Facebook: LyHung95 a − 1 = 0 a = 1 

  AD = BC ⇔ b − 2 = −2 ⇔ b = 0  → D (1;0; −2) c + 1 = −1 c = −2   





Làm tương tự A ' B ' = AB ⇒ B '(0; −1;2); B ' C ' = BC ⇒ C '(0; −3;1); AA ' = DD ' ⇒ A ' = (2;0; −2) , ; 

 −1 4 4 −2 −2 −1  


b)  AB, AD  =  ; ;  = (9; −2; 4) ⇒  AB, AD  . AA ' = 9.1 − 2.(−2) + 4.(−1) = 9  −2 −1 −1 0 0 −2  


VABCD. A ' B ' C ' D ' =  AB, AD  . AA ' = 9 (đvtt) 1 1 3 V c) VA '. ABC = VA. A ' B ' C ' = VABCD . A ' B ' C ' D ' = .9 = ⇒ ABCD. A ' B ' C ' D ' = 6 6 6 2 VA. A ' B ' C ' d) VABCDD ' = VD. ACD ' + VB. ACD ' = 9 9 + = 3 (đvtt) 6 6 Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho ba vectơ a = (1;1; 2 ) , b = ( 2; −1; 0 ) , c = ( m; m − 3; 2 ) . Tìm m để


a)  a; c  = 3 5 (Đ/s: m = 1) b) b; c  = 2 5 (Đ/s: m = 2)



Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho ba vectơ a = (1; 3; −2 ) , b = ( 2m; m − 1; m ) . Tìm m để

a) a. b = 0





b)  a; b  .c = 0, với c = (3;1;1) c)  a; b  = 3 10

(Đ/s: m = –1)

Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho u = ( −2;1;3) , v = (1; m + 1;2m − 1) . Tìm m để



a) u; v  ⊥ a, với a = (1;1; −3) .

b) u; v  = 2 2.



c) u; v  ; a = 300 , với a = ( −2;1;1) . ( ) Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho ba vectơ a = ( −3; 2;1) , b = (0;1; −3), c = ( m + 3; 2m − 1;1) . Tìm m để


a)  a; c  = 3 6 (Đ/s: m = 0) b) b; c  = 2 26 (Đ/s: m = –1)



c) ba véc tơ đã cho đồng phẳng Ví dụ 9: [ĐVH]. Cho ba vectơ a = ( 2m + 3; m + 1; 3) , b = (1;1; −2), c = ( 2; 3; −1) . Tìm m để


a)  a; b  = 110

( ) b) a + b .c = 6 (Đ/s: m = 0)


(Đ/s: m = –1) c)  a; b  .c = 0


Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95


Ví dụ 10: [ĐVH]. Cho ba vectô a , b , c . Tìm m, n biết c =  a , b  :


a) a = ( 3; −1; −2 ) , b = (1; 2; m ) , c = ( 5;1;7 )


b) a = ( 6; −2; m ) , b = ( 5; n; −3) , c = ( 6;33;10 )


c) a = ( 2;3;1) , b = ( 5;6;4 ) , c = ( m; n;1)


Ví dụ 11: [ĐVH]. Xét sự đồng phẳng của ba véc tơ a , b , c cho dưới đây:





a) a = (1; −1;1) , b = ( 0;1;2 ) , c = ( 4;2;3) b) a = ( 4;3;4 ) , b = ( 2; −1;2 ) , c = (1;2;1)





d) a = ( 4;2;5) , b = ( 3;1;3) , c = ( 2;0;1) c) a = ( −3;1; −2 ) , b = (1;1;1) , c = ( −2;2;1)


Ví dụ 12: [ĐVH]. Tìm m để ba véc tơ a , b , c đồng phẳng:


a) a = (1; m; 2 ) , b = ( m + 1; 2;1) , c = ( 0; m − 2; 2 )


b) a = (2m + 1;1; 2m − 1); b = (m + 1;2; m + 2), c = (2m; m + 1; 2)


d) a = (1; −3; 2 ) , b = ( m + 1; m − 2;1 − m ) , c = ( 0; m − 2; 2 )


BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH]. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A(–4; 4; 0), B(2; 0; 4), C(1; 2; –1); D(7; –2; 3). a) Chứng minh rằng A, B, C, D đồng phẳng. b) Tính diện tích tứ giác ABDC. Bài 2: [ĐVH]. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0). a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện. b) Tính thể tích của tứ diện ABCD. c) Tính đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A. d) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Bài 3: [ĐVH]. Trong không gian cho các điểm A(1; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(1; 2; 3). a) Chứng tỏ rằng A, B, C không thẳng hàng. b) Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. c) Tính diện tích tam giác ABC. d) Tính thể tích tứ diện ABCD. Bài 4: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có A(2; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(1; 2; –1), S(0; 0; 7). a) Tính diện tích tam giác SAB. b) Tính diện tích tứ giác ABCD. c) Tính thể tích hình chóp S.ABCD. Từ đó tính khoảng cách từ S đến (ABCD). d) Tính khoảng cách từ A đến (SCD). Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 03. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN 1) Véc tơ pháp tuyến, phương trình tổng quát của mặt phẳng

n = ( A; B; C ) , A2 + B 2 + C 2 > 0 có phương vuông góc với (P) được gọi là véc tơ pháp tuyến của (P).

(P) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có véc tơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) thì có phương trình được viết dạng ( P ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0.

(P) có véc tơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) thì có phương trình tổng quát ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0. 



(P) đi qua ba điểm phân biệt A, B, C thì có véc tơ pháp tuyến nP =  AB; AC  


(P) đi qua điểm A và song song với (Q) thì ta chọn cho nP = nQ 

nP ⊥ nα 



(P) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt (α), (β) thì  

 → nP =  nα ; nβ  nP ⊥ nβ 



n ⊥ a 



(P) đi qua điểm A và song song với hai véc tơ a; b thì  P

 → nP =  a; b  nP ⊥ b 

n ⊥ AB 



(P) đi qua điểm A, B và vuông góc với (α) thì  P

 → nP =  AB; nα  nP ⊥ nα Ví dụ 1: [ĐVH]. Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) qua M(1; 1; 2) và có véc tơ pháp tuyến n = (1; −2;1) . b) qua M(2; 0; 1) và song song với (Q): x + 2y + 5z − 1 = 0. c) qua M(3; −1; 0) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 4x + z − 1 = 0; (R): 2x + 3y − z − 5 = 0. Hướng dẫn giải:
a) (P) đi qua M(1; 1; 2) và có véc tơ pháp tuyến n = (1; −2;1) nên có phương trình ( P) : 1. ( x − 1) − 2.( y − 1) + 1.( z − 2 ) = 0 ⇔ x − 2 y + z − 1 = 0 



b) (P) // (Q) nên nP // nQ , chọn nP = nQ = (1; 2;5 )  → ( P ) :1. ( x − 2 ) + 2. ( y − 0 ) + 5. ( z − 1) = 0  → ( P ) : x + 2 y + 5 z − 7 = 0. c) (P) qua vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 4x + z − 1 = 0; (R): 2x + 3y − z − 5 = 0 nên có véc tơ pháp tuyến 




 4 0 1 
nP ⊥ nQ → nP =  nQ ; nR  =  = ( −3;6;12 ) = −3 (1; −2; −4 ) ⇒ nP = (1; −2; −4 )  

 2 3 − 1 nP ⊥ nR Khi đó (P) có phương trình 1.( x − 3) − 2.( y + 1) − 4 z = 0 ⇔ x − 2 y − 4 z − 5 = 0 Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3), C(4; 5; 6).
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và nhận vectơ n (1; −1;5 ) làm vectơ pháp tuyến b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song hoặt nằm trong mặt phẳng đó là

a (1;2; −1) , b ( 2; −1;3) c) Viết phương trình mặt phẳng qua C và vuông góc với đường thẳng AB. d) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC. e) Viết phương trình (ABC). Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho A(–1; 2; 1), B(1; –4; 3), C(–4; –1; –2). a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua I(2; 1; 1) và song song với (ABC). Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 b) Viết phương trình mặt phẳng qua A và song song với (P): 2x – y – 3z – 2 = 0. c) Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A, B và vuông góc với (Q): 2x – y + 2z – 2 = 0. d) Viết phương trình mặt phẳng qua A, song song với Oy và vuông góc với (R): 3x – y – 3z – 1 = 0. e) Viết phương trình mặt phẳng qua C song song với (Oyz). Ví dụ 4: [ĐVH]. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β) cho trước, với:  A(3;1; −1), B(2; −1; 4) a)  ( β ) : 2 x − y + 3z − 1 = 0  A(−2; −1; 3), B(4; −2;1) b)  ( β ) : 2 x + 3y − 2 z + 5 = 0  A(2; −1; 3), B(−4; 7; −9) c)  ( β ) : 3 x + 4 y − 8z − 5 = 0  A(3; −1; −2), B(−3;1; 2) d)  ( β ) : 2 x − 2 y − 2 z + 5 = 0 Ví dụ 5: [ĐVH]. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước, với: a) M (1; 2; −3) , ( P ) : 2 x − 3y + z − 5 = 0, ( Q ) : 3x − 2 y + 5z − 1 = 0 b) M ( 2;1; −1) , ( P ) : x − y + z − 4 = 0, ( Q ) : 3 x − y + z − 1 = 0 c) M ( 3; 4;1) , ( P ) : 19 x − 6 y − 4z + 27 = 0, ( Q ) :42 x − 8y + 3z + 11 = 0 d) M ( 0; 0;1) , ( P ) : 5 x − 3y + 2 z − 5 = 0, ( Q ) : 2 x − y − z − 1 = 0 Ví dụ 6: [ĐVH]. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời song song với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) ( P ) : y + 2 z − 4 = 0, (Q ) : x + y − z − 3 = 0, ( R ) : x + y + z − 2 = 0 b) ( P ) : x − 4 y + 2 z − 5 = 0, (Q ) : y + 4 z − 5 = 0, ( R ) : 2 x − y + 19 = 0 c) ( P ) : 3 x − y + z − 2 = 0, (Q ) : x + 4 y − 5 = 0, ( R ) : 2 x − z + 7 = 0 Ví dụ 7: [ĐVH]. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời vuông góc với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) ( P ) : 2 x + 3 y − 4 = 0, (Q ) : 2 y − 3z − 5 = 0, ( R ) : 2 x + y − 3z − 2 = 0 b) ( P ) : y + 2 z − 4 = 0, (Q ) : x + y − z + 3 = 0, ( R ) : x + y + z − 2 = 0 c) ( P ) : x + 2 y − z − 4 = 0, (Q ) : 2 x + y + z + 5 = 0, ( R ) : x − 2 y − 3z + 6 = 0 d) ( P ) : 3 x − y + z − 2 = 0, (Q ) : x + 4 y − 5 = 0, ( R ) : 2 x − z + 7 = 0 2) Một số dạng phương trình mặt phẳng đặc biệt
Mặt phẳng (xOy): véc tơ pháp tuyến là Oz và đi qua gốc tạo độ nên có phương trình là z = 0. Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oxy) có phương trình là z − a = 0.
Mặt phẳng (yOz): véc tơ pháp tuyến là Ox và đi qua gốc tạo độ nên có phương trình là x = 0. Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oyz) có phương trình là x − a = 0.
Mặt phẳng (xOz): véc tơ pháp tuyến là Oy và đi qua gốc tạo độ nên có phương trình là y = 0. Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oxz) có phương trình là y − a = 0.
Mặt phẳng trung trực: Cho hai điểm A, B. Khi đó mặt phẳng trung trực của AB Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 
đi qua trung điểm I của AB và nhận AB làm véc tơ pháp tuyến.
Phương trình mặt chắn: Nếu mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại các điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) thì (P) có phương Facebook: LyHung95 x y z + + = 1. a b c Một số đặc điểm của mặt chắn: + Độ dài OA = a ; OB = b ; OC = c trình đoạn chắn: ( P ) : 1 1 + Thế tích tứ diện VOABC = OA.OB.OC = abc 6 6 + Chân đường cao hạ từ O xuống (ABC) trùng với trực tâm H của tam giác ABC. Ví dụ 1: [ĐVH]. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 2; 2) cắt các tia Ox, Oy,Oz tại các điểm A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. Hướng dẫn giải: • Giả sử mặt phẳng cần lập cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Do mặt phẳng cắt các tia nên Ta có a, b, c > 0 x y z Phương trình mặt chắn ( P ) : + + = 1. a b c 2 2 2 1 1 1 1 → + + =1⇔ + + = • Do M ∈ ( P )  a b c a b c 2 1 Ta có OA = a; OB = b; OC = c  →VOABC = abc 6 1 1 1 3 1 3 • Do a, b, c là ba số dương nên theo Côsi ta có + + ≥ 3 ⇔ ≥3 ⇔ 3 abc ≥ 6 ⇔ abc ≥ 216 a b c 2 abc abc 1  →VOABC ≥ .216 = 36 ⇒ Vmin = 36 ⇔ a = b = c = 6 , từ đó ta được phương trình (P): x + y + z – 6 = 0 6 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH]. Cho điểm A(1; 0; 0) và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc với (P) và cắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6. y z ± =1 2 2 Bài 2: [ĐVH]. Cho điểm A(2; 0; 0) và điểm M(2; 3; 2). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, M sao cho (α) cắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho VOABC = 2 , với O là gốc tọa độ. Đ/s: ( ABC ) : x ± x y z x y z + − = 1; − + =1 2 3 2 2 3 2 Bài 3: [ĐVH]. Cho điểm A(–2; 0; 0) và mặt phẳng (P): x + 2z + 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc với (P) và cắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho VOABC = 4 x y z Đ/s: ( ABC ) : − + + = 1 2 3 4 Bài 4: [ĐVH]. Cho điểm B(0; 3; 0) và điểm M(1; -3; 2). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua B, M sao cho (α) cắt 7 các trục Ox, Oz lần lược tại các điểm A, C sao cho S ABC = , với O là gốc tọa độ. 2 y z Đ/s: ( α ) : x + + = 1 3 2 Đ/s: ( ABC ) : Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bài 5: [ĐVH]. Viết pt mp đi qua M(2; 1; 4) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC. Bài 6: [ĐVH]. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 2; 2) cắt các tia Ox, Oy,Oz tại các điểm A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. Bài 7: [ĐVH]. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(1; 1; 1) cắt các tia Ox, Oy,Oz lần lược tại các điểm A, B, C sao cho tam giác ABC cân tại A, đồng thời M là trọng tâm tam giác ABC. Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 04. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN 1) Véc tơ chỉ phương, các dạng phương trình đường thẳng

u = ( a; b; c ) , A2 + B 2 + C 2 > 0 có phương song song hoặc trùng với (d) được gọi là véc tơ chỉ phương của (d).

(d) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có véc tơ chỉ phương u = ( a; b; c ) thì có phương trình  x = x0 + at  +) Phương trình tham số ( d ) :  y = y0 + bt  z = z + ct 0  +) Phương trình chính tắc ( d ) : x − x0 y − y0 z − z0 = = . a b c  Ax + By + Cz + D = 0 +) Phương trình tổng quát của đường thẳng: d = ( P) ∩ (Q) ⇒ d :  A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 


Trong đó véc tơ chỉ phương của d được xác định bởi ud =  nP ; nQ  


(d) đi qua điểm A và song song với đường thẳng (∆) thì ta chọn cho ud = u∆ 

ud ⊥ ud 1 



(d) đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng (d1), (d2) thì  

 → ud = ud 1 ; ud 2  ud ⊥ ud 2 

ud ⊥ nα 



(d) đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng (α), (β) thì  

 → ud =  nα ; nβ  ud ⊥ nβ 

ud ⊥ u∆ 



(d) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng ∆; song song mặt phẳng (P) thì  

 → ud = u∆ ; nP  ud ⊥ nP 
Ví dụ 1: [ĐVH]. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP ud cho trước: 
b) M (0; −2;5), ud = (0;1;4) 
d) M (3; −1; −3), ud = (1; −2;0) a) M (1;2; −3), ud = (−1;3;5) c) M (1;3; −1), ud = (1;2; −1) 

Ví dụ 2: [ĐVH]. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B cho trước: a) A ( 2; 3; −1) , B (1; 2; 4 ) b) A (1; −1; 0 ) , B ( 0;1; 2 ) c) A ( 3;1; −5 ) , B ( 2;1; −1) d) A ( 2;1; 0 ) , B ( 0;1; 2 ) Ví dụ 3: [ĐVH]. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng ∆ cho trước: a) A ( 3; 2; −4 ) , ∆ ≡ Ox  x = 2 − 3t  c) A(2; −5; 3), ∆ :  y = 3 + 4t  z = 5 − 2t Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG d) A(4; −2; 2), ∆ : x +2 y −5 z−2 = = 4 2 3 Facebook: LyHung95  x = 3 + 4t  e) A(1; −3; 2), ∆ :  y = 2 − 2t  z = 3t − 1 Ví dụ 4: [ĐVH]. Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước: ( P ) : 6 x + 2 y + 2 z + 3 = 0 a)  (Q) : 3x − 5 y − 2 z − 1 = 0 ( P ) : 2 x − 3y + 3z − 4 = 0 b)  (Q) : x + 2 y − z + 3 = 0 ( P ) : 3x + 3y − 4 z + 7 = 0 c)  (Q) : x + 6 y + 2 z − 6 = 0 ( P ) : 2 x + y − z + 3 = 0 d)  (Q) : x + y + z − 1 = 0 Ví dụ 5: [ĐVH]. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2 cho trước:  x = 1 + 2t x = 1 − t   a) A(1; 0; 5), d1 :  y = 3 − 2t , d2 :  y = 2 + t  z = 1 + t  z = 1 − 3t x = 1 + t  x = 1 + 3t   b) A(2; −1;1), d1 :  y = −2 + t , d2 :  y = −2 + t  z = 3  z = 3 + t x = 1 − t x = 1   c) A(1; −2; 3), d1 :  y = −2 − 2t , d2 :  y = −2 + t  z = 3 − 3t  z = 3 + t  x = −7 + 3t x = 1 + t   d) A(4;1; 4), d1 :  y = 4 − 2t , d2 :  y = −9 + 2t  z = 4 + 3t  z = −12 − t Ví dụ 6: [ĐVH]. Viết phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng
a) đi qua A(1; 2; –1) và có vectơ chỉ phương là u = (1; −2;1) . b) đi qua hai điểm I(–1; 2; 1), J(1; –4; 3). c) đi qua M(1; 2; 4) và vuông góc với mặt phẳng (P): 3x – y + z – 1 = 0. d) đi qua M(1; 2; 0) và song song với 2 mặt phẳng (P): 2x – 5y – z + 1 = 0 và (Q): 3x + 4z – 4 = 0. Ví dụ 7: [ĐVH]. Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng:  x = 1 − 2t  a) qua A(3; –1; 2) và song song với đường thẳng ( ∆ ) :  y = 3 + t  z = −t  b) qua A(4; 4; 1) và song song với hai mặt phẳng (P): x + 2z – 4 = 0, (Q): x + y – z + 3 = 0  x = 1 − 2t x −1 y − 2 z +1  c) qua M(1; 1; 4) và vuông góc với hai đường thẳng d1 :  y = 3 + t và d 2 : = = 2 −1 3  z = −t  d) qua M(2; 1; 0) và song song với (P): x + 2z = 0 đồng thời vuông góc với ( ∆ ) : x −1 y z + 2 = = 2 −3 1 2) Ứng dụng cơ bản của phương trình tham số  x = x0 + at  Cho đường thẳng ( d ) :  y = y0 + bt , nếu điểm M thuộc d thì M ( x0 + at; y0 + bt ; z0 + ct ) .  z = z + ct 0  Phương trình tham số giúp cho bài toán tìm điểm trên đường thẳng được quy về một ẩn t giải dễ dàng hơn. x = 1 + t  Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho đường thẳng d :  y = −2t . Tìm điểm M thuộc d sao cho  z = 2 + 2t  a) MA = 13; A ( 2; −1;0 ) . Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 b) MI ⊥ IA; I ( 0;1;2 ) , A (1;2; −2 ) . c) ∆MAB cân tại A, với A(2; 1; 3), B(0; −2; 1). 7 d) S∆MAB = , với A(2; 1; 3), B(0; −2; 1). 2 Hướng dẫn giải: Ta có, M ∈ ( d ) ⇒ M (1 + t; −2t;2 + 2t ) . a) MA = 13 ⇔ MA = 13 ⇔ ( t − 1) + (1 − 2t ) + ( 2 + 2t ) 2 2 2 2 t = −1 ⇒ M ( 0;2;0 )  = 13 ⇔ 9t + 2t − 7 = 0 ⇔  7  16 14 23  t = ⇒ M  ;− ;   9 9 9  9 2 Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

b) Ta có MI = ( −1 − t ;1 + 2t ; −2t ) , IA = (1;1; −4 ) 

MI ⊥ IA ⇔ MI .IA = 0 ⇔ −1 − t + 1 + 2t + 8t = 0 ⇔ t = 0 ⇒ M (1;0;2 ) 

c) Ta có MA = (1 − t;1 + 2t ;1 − 2t ) , MB = ( −1 − t; −2 + 2t;1 − 2t ) Theo bài, MA = MB ⇔ MA2 = MB 2 ⇔ (1 − t )2 + (1 + 2t ) 2 + (1 − 2t )2 = (−1 − t ) 2 + (−2 + 2t )2 + (1 − 2t ) 2 ⇔ 9t 2 − 2t + 3 = 9t 2 − 10t + 6 ⇔ 8t = 3 ⇔ t = 3  11 3 11  ⇒ M  ; − ; . 8 8 4 4 



d) Ta có MA = (1 − t;1 + 2t ;1 − 2t ) , MB = ( −1 − t; −2 + 2t;1 − 2t )  →  MA; MB  = ( 3 − 6t ; −2 + 4t; −1 + 7t ) Khi đó S MAB = 1 

1 1  MA; MB  = (3 − 6t ) 2 + (−2 + 4t ) 2 + (−1 + 7t ) 2 = 101t 2 − 66t + 14   2 2 2 t = 1 ⇒ M ( 2; −2; 4 ) 1 7  2 2 101t − 66t + 14 = ⇔ 101t − 66t − 35 = 0 ⇔  ⇔ 35  136 70 272  2 2 t= ⇒M ;− ;   101  101 101 101  Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm điểm M trên đường thẳng d : x y + 2 z −1 = = thỏa mãn 1 2 −1 a) thuộc mặt phẳng (P): x – y + 2z + 2 = 0. Đ/s: M(2; 2; –1) b) tam giác MAB vuông tại A với A(3; 1; 0), B(2; –1; –3) c) tam giác MAB cân tại M với A(1; 0; –1), B(4; –2; 3) d) S MAB = 30 , với A(2; 3; 1) và B(1; –1; –2) 2 Đ/s: M(1; 0; 0)  x = 1 + 2t  Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm điểm M trên đường thẳng d :  y = t thỏa mãn z = 2 − t  a) thuộc mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0. Đ/s: M(3; 1; 1) b) xM2 + 3 yM2 + zM2 = 5. Đ/s: M(1; 0; 2) c) MA = 14, với A(0; 2; 1) Đ/s: M(–1; –1; 3) d) IM ⊥ d, với I(3; 0; –4) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x = 1+ t  Ví dụ 4: [ĐVH]. Tìm điểm M trên đường thẳng d :  y = 2 − 3t thỏa mãn z = t  a) thuộc mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0. Đ/s: M(2; –1; 1) b) xM2 + 2 yM2 − zM2 = 37. Đ/s: M(2; –4; 2) c) tam giác MAB vuông tại M với A(2; 1; 1), B(1; 1; –10) Đ/s: M(0; 5; –1) d) MA = 2 3, với A(3; 0; –2) Đ/s: M(2; –1; 1) BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH]. Tìm điểm M trên đường thẳng d : x − 2 y −1 z = = thỏa mãn −1 1 2 a) MI = 30, với I(2; 0; –3) Đ/s: M(1; 1; 2) b) tam giác MAB cân tại M với A(1; 1; –3), B(–2; 1; –2) Đ/s: M(2; 1; 0) c) xM2 + 3 yM2 − zM2 = 13. Đ/s: M(–1; 4; 6) Bài 2: [ĐVH]. Cho hai điểm A(3; 1; –2), B(2; 3; –4) và đường thẳng ∆ : x + 1 y −1 z + 1 = = 2 1 1 Tìm điểm C trên ∆ sao cho: a) tam giác ABC đều. b) tam giác ABC cân tại A. c) diện tích tam giác ABC bằng 9/2. d) tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. e) F = xM2 − yM2 + zM2 đạt giá trị lớn nhỏ nhất. f) CA2 + CB2 đạt giá trị nhỏ nhất. Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 05. BÀI TOÁN XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG ( P1 ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Cho hai mặt phẳng  ( P2 ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 A B C D
( P1 ) / / ( P2 ) ⇔ 1 = 1 = 1 ≠ 1 A2 B2 C2 D2 A B C D
( P1 ) ≡ ( P2 ) ⇔ 1 = 1 = 1 = 1 A2 B2 C2 D2  A1 B1 A ≠ B 2
( P1 ) ∩ ( P2 ) ⇔  2  A1 C1 A ≠ C  2 2



 Đặc biệt, ( P1 ) ⊥ ( P2 ) ⇔ n1.n2 = 0 ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0. Ví dụ 1: [ĐVH]. Xét vị trí tương đối của các mặt phẳng sau: { 3 x − 4 y + 3z + 6 = 0 a) 3 x − 2 y + 5z − 3 = 0 { 2 x + 3 y − 2z + 5 = 0 b) 3 x + 4 y − 8z − 5 = 0 2 x − 2 y − 4 z + 5 = 0  c)  25 5 x − 5 y − 10 z + 2 = 0 Hướng dẫn giải: 3 −4 3 a) Ta có ≠ ≠ ⇒ hai mặt phẳng cắt nhau. 3 −2 5 2 3 −2 b) Ta có ≠ ≠ ⇒ hai mặt phẳng cắt nhau. 3 4 −8 2 −2 4 5 c) Ta có = = = ⇒ hai mặt phẳng đã cho trùng nhau. 25 5 −5 10 2 Ví dụ 2: [ĐVH]. Xác định m, n để các mặt phẳng sau đây song song, cắt nhau, trùng nhau?  3 x − ( m − 3) y + 2 z − 5 = 0 3 x + my − 2 z − 7 = 0 5 x − 2 y + mz − 11 = 0 a) b) c)  nx + 7 y − 6 z + 4 = 0 3 x + ny + z − 5 = 0 ( m + 2) x − 2 y + mz − 10 = 0 { { Hướng dẫn giải: { 3x + my − 2 z − 7 = 0 a) nx + 7 y − 6 z + 4 = 0 n = 9 3 m −2 −7 
Hai mặt phẳng song song nhau khi = = ≠ ⇔ 7 n 7 −6 4  m = 3  3 −2 7   n ≠ −6 m≠ 
Hai mặt phẳng cắt nhau nhau khi  ⇔ 3   m ≠ −2  n ≠ 9  7 −6 3 m −2 −7
Hai mặt phẳng trùng nhau khi = = = ⇒ hệ vô nghiệm. n 7 −6 4 b) { 5 x − 2 y + mz − 11 = 0 3x + ny + z − 5 = 0 Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 6  n=−  5 −2 m −11  5
Hai mặt phẳng song song nhau khi = = ≠ ⇔ 5 3 n 1 −5 m =  3 5  5 −2  3 ≠ n m ≠ 3
Hai mặt phẳng cắt nhau nhau khi  ⇔ m ≠ 5 n ≠ − 6  1 3  5 5 −2 m −11
Hai mặt phẳng trùng nhau khi = = = ⇒ hệ vô nghiệm. 3 n 1 −5 3 x − ( m − 3) y + 2 z − 5 = 0 c)  (m + 2) x − 2 y + mz − 10 = 0 m = 4  2m + 4 = 3m  m+2 −2 m −10 
Hai mặt phẳng song song nhau khi = = ≠ ⇔  −4 = m ( 3 − m ) ⇔  m 2 − 3m − 4 = 0 ⇒ vô nghiệm. 3 3− m 2 −5  m ≠ 4 m ≠ 4  m + 2 m  3 ≠ 2 m ≠ 4 m ≠ 4
Hai mặt phẳng cắt nhau nhau khi  ⇔ 2 ⇔  −2 ≠ m  m ≠ −1  m − 3m − 4 ≠ 0  3 − m 2 m = 4  2m + 4 = 3m  m+2 −2 m −10 
Hai mặt phẳng trùng nhau khi = = = ⇔  −4 = m ( 3 − m ) ⇔  m 2 − 3m − 4 = 0 ⇔ m = 4 −5 3 3− m 2  m = 4 m = 4  Ví dụ 3: [ĐVH]. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau: 3 x − 4 y + 3 z + 6 = 0 5 x + 5 y − 5 z − 1 = 0 a)  b)  3 x − 2 y + 5 z − 3 = 0 3 x + 3 y − 3 z + 7 = 0 3 x − 2 y − 6 z − 23 = 0  6x − 4 y − 6z + 5 = 0 c)  d)  3 x − 2 y − 6 z + 33 = 0 12 x − 8 y − 12 z − 5 = 0 Ví dụ 4: [ĐVH]. Xác định m, n để các mặt phẳng sau đây song song với nhau?  2 x − ny + 2 z − 1 = 0  2 x + my + 3 z − 5 = 0 a)  b)  3 x − y + mz − 2 = 0  nx − 6 y − 6 z + 2 = 0 3 x − y + mz − 9 = 0 c)   2 x + ny + 2 z − 3 = 0  x + my − z + 2 = 0 d)   2 x + y + 4nz − 3 = 0 Ví dụ 5: [ĐVH]. Xác định m, n để các mặt phẳng sau đây vuông góc với nhau?  2 x − 7 y + mz + 2 = 0 a)   3x + y − 2 z + 15 = 0  mx + 2 y + mz − 12 = 0 c)   x + my + z + 7 = 0 (2m − 1) x − 3my + 2 z + 3 = 0 b)   mx + (m − 1) y + 4 z − 5 = 0 3 x − ( m − 3) y + 2 z − 5 = 0 d)  (m + 2) x − 2 y + mz − 10 = 0 II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG x − x0 y − y0 z − z0  = = ( d ) : Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình  a b c ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 



 d đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có véc tơ chỉ phương ud = ( a; b; c ) , (P) có véc tơ pháp tuyến nP = ( A; B; C )







 nP ⊥ ud  nP .ud ≠ 0  Aa + Bb + Cc = 0
(d ) / / (P) ⇔  ⇔ ⇔  Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0  M 0 ∉ ( P )  M 0 ∉ ( P ) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG







 nP ⊥ ud  nP .ud ≠ 0  Aa + Bb + Cc = 0
(d ) ⊂ ( P) ⇔  ⇔ ⇔  Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0  M 0 ∈ ( P )  M 0 ∈ ( P )




( d ) ∩ ( P ) ⇔ nP .ud ≠ 0 Facebook: LyHung95  x0 = ...  x − x0 y − y0 z − z0 = =   Khi đó, tọa độ giao điểm thỏa mãn hệ phương trình  a →  y0 = ... b c   Ax + By + Cz + D = 0  z = ...  0



 Kiểm tra ud .nP = 0 T Kiểm tra M 0 ∈ ( P ) T d ⊂ ( P) F d ∩ (P) F d / / (P) Lược đồ xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng Ví dụ 1: [ĐVH]. Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau: x +1 y −3 z a) d : = = ; ( P ) : 3 x − 3 y + 2z − 5 = 0 2 4 3 x − 9 y −1 z − 3 b) d : = = ; ( P ) : x + 2 y − 4z + 1 = 0 8 2 3  x = −1 + t  c) d :  y = −t ; (P): x + 2y − z − 3 = 0  z = −2 + 3t  Hướng dẫn giải:

 a) Đường thẳng d đi qua điểm M(−1; 3; 0) và có véc tơ chỉ phương ud = ( 2; 4;3) .

 Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến nP = ( 3; −3; 2 ) .



 Ta có ud .nP = ( 2;4;3)( 3; −3;2 ) = 6 − 12 + 6 = 0 Lại có, M ( −1;3;0 ) ∈ ( P ) ⇒ d / / ( P ) .

 b) Đường thẳng d đi qua điểm M(9; 1; 3) và có véc tơ chỉ phương ud = ( 8;2;3) .

 Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến nP = (1;2; −4 ) .



 Ta có ud .nP = ( 8;2;3)(1; 2; −4 ) = 8 + 4 − 12 = 0 Lại có, M ( 9;1;3) ∈ ( P ) ⇒ d ⊂ ( P ) .

 c) Đường thẳng d đi qua điểm M(−1; 0; −2) và có véc tơ chỉ phương ud = (1; −1;3) .

 Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến nP = (1; 2; −1) .



 Ta có ud .nP = (1; −1;3)(1;2; −1) = 1 − 2 − 3 = −4 ≠ 0 ⇒ d ∩ ( P ) = I 3   x = −1 + t x=−   x = −1 + t 2  y = −t   y = −t  1    Tạo độ điểm I thỏa mãn hệ phương trình  ⇔  z = −2 + 3t ⇔ y = 2 3 z = − + t 2    1 7  x + 2 y − z − 3 = 0  −1 + t − 2t + 2 − 3t − 3 = 0 ⇒ t = −   z = − 2 2  Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  3 1 7 ⇒ I  − ; ; − .  2 2 2 Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm m để đường thẳng d : x −1 y+2 z+3 và mặt phẳng ( P ) : x + 3 y − 2z − 5 = 0 = = m 2m − 1 2 a) cắt nhau b) song song với nhau c) vuông góc với nhau d) (P) chứa d Hướng dẫn giải:

 Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; −3) và có véc tơ chỉ phương ud = ( m;2m − 1;2 ) .

 Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến nP = (1;3; −2 ) .



 Ta có ud .nP = ( m; 2m − 1; 2 )(1;3; −2 ) = m + 6m − 3 − 4 = 7m − 7



 a) d và (P) cắt nhau khi ud .nP ≠ 0 ⇔ 7 m − 7 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1.



 ud .nP = 0 7 m − 7 = 0 b) d và (P) song với nhau khi  ⇔ ⇔ m =1 −4 ≠ 0  M ∉ ( P )



  m = −1 m 2m − 1 2 c) d ⊥ ( P ) ⇔ ud = k nP ⇔ = = ⇔ ⇔ m = −1 1 3 −2  2m − 1 = −3



 ud .nP = 0 7 m − 7 = 0 d) (P) chứa (d) ⇔  ⇔  → vn. −4 = 0  M ∈ ( P ) Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 3: [ĐVH]. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau: x − 12 y − 9 z − 1 = = ; ( P ) : 3 x + 5 y − z − 2 = 0. 4 3 1 x + 11 y − 3 z b) d : = = ; ( P) : 3x − 3 y + 2 z − 5 = 0 2 4 3 x − 13 y − 1 z − 4 = = ; ( P) : x + 2 y − 4 z + 1 = 0 c) d : 8 2 3  x = 3t − 2  d) d :  y = 1 − 4t ; ( P ) : 4 x − 3 y − 6 z − 5 = 0  z = 4t − 5  Ví dụ 4: [ĐVH]. Xác định m, n để các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau đây song song, cắt nhau, trùng nhau? x + 1 y − 3 z −1 a) d : = = ; ( P) : x + 3 y + 2 z − 5 = 0 2 m m−2  x = 3 + 4t  b) d :  y = 1 − 4t ; ( P ) : (m − 1) x + 2 y − 4 z + n − 9 = 0  z = −3 + t  a) d :  x = 3 + 2t  c) d :  y = 5 − 3t ; ( P ) : (m + 2) x + (n + 3) y + 3 z − 5 = 0  z = 2 − 2t  Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho d : Tìm m để d ⊂ (P). x + 2 y z −1 = = ; ( P ) : (3m − 4) x + (m − 1) y + (3 − 2m) z + m = 0 1 −2 1 Đ/s: m = 2. III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG x − x1 y − y1 z − z1 

 ( d1 ) : a = b = c  M x ; y ; z ∈ d ; u ( )   1 1 1 1 1 1 = ( a1 ; b1 ; c1 ) 1 1 1 Cho hai đường thẳng d1 và d2 với   →

 ( d ) : x − x2 = y − y2 = z − z2  M 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) ∈ d 2 ; u2 = ( a2 ; b2 ; c2 )  2 a2 b2 c2 Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!