Tài liệu Tài liệu ôn thi thpt quốc gia môn toán 2016 cực hay (phần 2 - hàm số)

1 Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ - P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN I. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Dạng 1. Sự biến thiên của hàm không có tham số
Phương pháp: + Tìm tập xác định của hàm số. + Tính y ' và giải phương trình y ' = 0 để tìm các nghiệm. + Lập bảng biến thiên (hoặc chỉ cần bảng xét dấu y ' ) và kết luận trên cơ sở các điểm tới hạn. Chú ý: Quy tắc xét dấu của hàm đa thức và phân thức.
Các ví dụ điển hình: Ví dụ 1: [ĐVH]. Xét sự biến thiên của các hàm số sau đây: a) y = −2 x 3 + 3 x 2 + 1. b) y = x3 − 3x 2 + 3x + 1. 1 1 x2 d) y = x5 − x 4 − x3 + + 2 x − 1. 5 4 2 Lời giải: c) y = x 4 − 2 x 2 − 1. a) y = −2 x 3 + 3 x 2 + 1.  Tập xác định: D = R. x = 0  Đạo hàm: y′ = −6 x 2 + 6 x = −6 x ( x − 1)  → y ′ = 0 ⇔ −6 x ( x − 1) = 0 ⇔  x =1  Bảng xét dấu của đạo hàm: x −∞ 0 1 − y' 0 + +∞ − 0 Vậy hàm số đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (−∞; 0) và (1; +∞). b) y = x3 − 3x 2 + 3x + 1.  Tập xác định: D = R. 2  Đạo hàm: y′ = 3 x 2 − 6 x + 3 = 3 ( x − 1) ≥ 0  → y′ ≥ 0, ∀x ∈ D. Vậy hàm số đã cho luôn đồng biến trên tập xác định. c) y = x 4 − 2 x 2 − 1  Tập xác định: D = R. x = 0  Đạo hàm: y′ = 4 x3 − 4 x = 4 x x 2 − 1  → y′ = 0 ⇔ 4 x x 2 − 1 = 0 ⇔   x = ±1  Bảng xét dấu của đạo hàm: x −∞ −1 0 1 ( y' ) ( − 0 + ) 0 − 0 +∞ + Hàm số đồng biến trên (−1; 0) và (1; +∞); hàm số nghịch biến trên (−∞; −1) và (0; 1). 1 1 x2 d) y = x5 − x 4 − x3 + + 2 x − 1. 5 4 2  Tập xác định: D = R.  x = −1 2 4 3 2  Đạo hàm: y′ = x − x − 3 x + x + 2 = ( x + 1) ( x − 1)( x − 2 )  → y ′ = 0 ⇔  x = 1  x = 2 Do ( x + 1) ≥ 0, ∀x nên dấu của y ' chỉ phụ thuộc vào biểu thức (x − 1)(x − 2). 2 Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]  Bảng xét dấu của đạo hàm: x −∞ −1 y' + 1 0 + 2 − 0 0 Facebook: LyHung95 +∞ + Hàm số đồng biến trên (−∞; 1) và (2; +∞); hàm số nghịch biến trên (1; 2). Ví dụ 2: [ĐVH]. Xét sự biến thiên của các hàm số cho dưới đây: x +1 x 2 + 3x + 3 a) y = b) y = . . 2x − 2 x +1 2 c) y = 1 − x + d) y = x 2 − 2 x + 2. . x +1 2x + 1 e) y = 2 x − x 2 . f) y = . 3x − 2 Lời giải: x +1 a) y = . 2x − 2  Tập xác định: D = R \ {1} .  Đạo hàm: y′ = −4 ( 2 x − 2 )2 > 0, ∀x ∈ D  → hàm số luôn đồng biến trên tập xác định. x 2 + 3x + 3 . x +1  Tập xác định: D = R \ {−1} . b) y =  Đạo hàm: y′ = ( 2 x + 3)( x + 1) − x 2 − 3x − 3 = x 2 + 2 x  x = 0 → y′ = 0 ⇔ x 2 + 2 x = 0 ⇔  2 2  x = −2 ( x + 1) ( x + 1)  Bảng xét dấu của đạo hàm: x −∞ −2 y' + −1 − 0 0 − || +∞ 0 + Hàm số đồng biến trên (−∞; 2) và (0; +∞); hàm số nghịch biến trên (−2; −1) và (−1; 0). 2 c) y = 1 − x + . x +1  Tập xác định: D = R \ {−1} .  Đạo hàm: y′ = −1 − 2 < 0, ∀x ∈ D  → hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định của nó. ( x + 1)2 d) y = x 2 − 2 x + 2.  Hàm số xác định khi x 2 − 2 x + 2 ≥ 0 ⇔ ( x − 1) + 1 > 0, ∀x  → D = R. 2  Đạo hàm: y′ = (x 2 − 2x + 2 )′ = 2 x − 2x + 2  Bảng xét dấu của đạo hàm: 2 x −1 x − 2x + 2 2 x y'  → y ′ = 0 ⇔ x = 1. −∞ 1 − 0 +∞ + Hàm số đồng biến trên (1; +∞) và nghịch biến trên (−∞; 1). e) y = 2 x − x 2 . → D = [ 0; 2].  Hàm số xác định khi 2 x − x 2 ≥ 0 ⇔ x ( x − 2 ) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2  ′ 2x − x ) ( y′ = = 2  Đạo hàm: 2 2 x − x2 1− x 2x − x2  → y′ = 0 ⇔ x = 1. Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95  Bảng xét dấu của đạo hàm: x 0 y' 1 + 2 − 0 Hàm số đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (1; 2). 2x + 1 f) y = . 3x − 2 1  2 x + 1 ≥ 0  x ≥ −    1  2 2  Hàm số xác định khi  ⇔  → D = − ; + ∞ \  . 2  2  3  x ≠ 3 x ≠ 2  3 2 ( 3x − 2 ) − 3 2 x + 1 3x − 2 − 3 ( 2 x + 1) −3 x − 5 5 1 x 2 2 + 1  Đạo hàm: y′ = = =  → y′ = 0 ⇔ x = − < − 2 2 2 3 2 ( 3x − 2 ) ( 3x − 2 ) . 2 x + 1 ( 3x − 2 ) . 2 x + 1  Bảng xét dấu của đạo hàm: x 1 2 − +∞ 2 3 − y’ || −  1 2 2  Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên  − ;  và  ; +∞  .  2 3 3  BÀI TẬP LUYỆN TẬP Xét sự biến thiên của các hàm số sau: 1) y = −2 x + 5. 2) y = x 3 − 3 x + 2. 3) y = −2 x3 + 3x 2 + 2. 4) y = x 3 − 3 x 2 + 3 x − 12. 5) y = x 4 − 2 x 2 + 5. 6) y = − x 4 + 4 x 2 − 1. 7) y = x 3 + x 2 + 2 x − 2. x +1 9) y = . x−2 1− x 11) y = . 3x − 2 1 13) y = x + . x 8) y = 2 x + 3 x 2 + 1. 2x −1 10) y = . x +1 x2 + 3x + 3 12) y = . x +1 1 14) y = 2 x − 3 − . x +1 Dạng 2. Sự biến thiên của hàm có tham số
Phương pháp: Sử dụng các tính chất của tam thức bậc hai để giải Xét tam thức bậc hai: f ( x ) = ax 2 + bx + c, gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình f(x) = 0, với x1 < x2 + Nếu a > 0:  x > x2 f ( x) > 0 ⇔   x < x1 f ( x ) < 0 ⇔ x1 < x < x2 a > 0 + f ( x ) > 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ < 0  x < x2 < α < β a > 0  → 1 + f ( x ) > 0, ∀x ∈ ( α; β ) :  α < β < x1 < x2 a < 0  → x1 < α < β < x2 f ( x ) > 0 ⇔ x1 < x < x2 + Nếu a < 0:  x > x2 f ( x) < 0 ⇔   x < x1 a < 0 + f ( x ) < 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ < 0 + f ( x ) < 0, ∀x ∈ ( α; β ) : a > 0  → x1 < α < β < x2  x1 < x2 < α < β a < 0  →  α < β < x1 < x2
Các ví dụ điển hình: Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm m để hàm số Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 x3 − x 2 + ( m − 1) x + m đồng biến trên R. 3 1 b) y = − x3 + mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 1 nghịch biến trên R. 3 a) y = c) y = ( m − 1) x 3 + mx 2 + 3 ( 3m − 2 ) x + 2 đồng biến trên R. Lời giải: 3 x − x 2 + ( m − 1) x + m  → y′ = x2 − 2 x + m − 1 3 Hàm số đồng biến trên R khi y′ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆′ ≤ 0 ⇔ 1 − ( m − 1) ≤ 0 ⇔ m ≥ 2. a) y = Vậy hàm số đồng biến trên R khi m ≥ 2. 1 b) y = − x3 + mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 1  → y ′ = − x 2 + 2mx + 3m − 2. 3 Hàm số nghịch biến trên R khi y′ ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆′ ≤ 0 ⇔ m 2 + ( 3m − 2 ) ≤ 0 ⇔ Vậy hàm số đồng biến trên R khi c) y = ( m − 1) x 3 + mx 2 + −3 − 17 −3 + 17 ≤m≤ . 2 2 −3 − 17 −3 + 17 . ≤m≤ 2 2 → y ′ = ( m − 1) x 2 + 2mx + 3m − 2 ( 3m − 2 ) x + 2  3 Để hàm số luôn đồng biến trên R thì y′ ≥ 0, ∀x ∈ R.
Khi m − 1 = 0 ⇔ m = 1  → y′ = 2 x + 1.  1  Ta thấy hàm số chỉ đồng biên trên  − ; +∞  nên không thỏa mãn yêu cầu. 2   m − 1 > 0 m > 1 m > 1
Khi m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1  → y′ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔  ⇔ 2 ⇔ 2 m − ( m − 1)( 3m − 2 ) ≤ 0 −2m + 5m − 2 ≤ 0  ∆′ ≤ 0 m > 1  m ≥ 2 ⇔   → m ≥ 2. 1 m ≤   2 Vậy với m ≥ 2 thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên R. BÀI TẬP LUYỆN TẬP x3 − x 2 + ( m − 1) x + m đồng biến trên R. 3 2) Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3 ( 2m − 1) x + 1 đồng biến trên R. 1) Tìm m để hàm số y = 1 3) Tìm m để hàm số y = − x3 + mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 1 nghịch biến trên R. 3 3 x 5 4) Tìm m để hàm số y = + ( m − 1) x 2 + ( 2m − 3) x + đồng biến trên R. 3 3 II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ DẠNG 1. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC I
Phương pháp: + Tìm tập xác định của hàm số. + Tính y ' và giải phương trình y ' = 0 để tìm các nghiệm. + Lập bảng biến thiên và dựa vào bảng biến thiên để kết luận về điểm cực đại, cực tiểu của hàm số. Chú ý: Với một số dạng hàm đặc biệt (thường là hàm vô tỉ) thì ta phải tính giới hạn tại các điểm biên để cho bảng biến thiên được chặt chẽ hơn.
Các ví dụ điển hình: Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau: a) y = 2 x3 + 3 x 2 − 36 x − 10. b) y = x 4 + 2 x 2 − 3. d) y = c) y = 2 x 2 − x 4 . 1 4 x − x3 + 3. 4 Lời giải: a) y = 2 x + 3 x − 36 x − 10.  Tập xác định: D = R. 3 2  x = −3  Đạo hàm: y ' = 6 x 2 + 6 x − 36 = 6 x 2 + x − 6  → y ' = 0 ⇔ x2 + x − 6 = 0 ⇔  x = 2  Bảng biến thiên: x −∞ −3 2 ( ) y' + − 0 0 +∞ + +∞ 71 y −∞ −54 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; 3) và (2; +∞); hàm số nghịch biến trên (−3; 2). Hàm số đạt cực đại tại x = −3; y = 71 và đạt cực tiểu tại x = 2; y = −54. b) y = x 4 + 2 x 2 − 3.  Tập xác định: D = R.  Đạo hàm: y′ = 4 x3 + 4 x = 4 x x 2 + 1  → y ′ = 0 ⇔ x = 0. ( )  Bảng biến thiên: −∞ x 0 − y' +∞ 0 + +∞ +∞ y −3 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; 0) và nghịch biến trên (0; +∞). Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y = −3. c) y = 2 x 2 − x 4 .  Tập xác định: D = R. x = 0  Đạo hàm: y′ = 4 x − 4 x3 = 4 x 1 − x 2  → y′ = 0 ⇔ x 1 − x 2 = 0 ⇔   x = ±1  Bảng biến thiên: ( x ) −∞ y' ( −1 + 0 ) 0 − 0 1 y −∞ 1 + 0 +∞ − 1 0 −∞ Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (0; 1); hàm số nghịch biến trên (−1; 0) và (1; +∞). Hàm số đạt cực đại tại x = −1; y = 1 và x = 1; y = 1. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y = 0. 1 d) y = x 4 − x3 + 3. 4  Tập xác định: D = R. Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 x = 0  Đạo hàm: y′ = x 3 − 3 x 2 = x 2 ( x − 3)  → y ′ = 0 ⇔ x 2 ( x − 3) = 0 ⇔  x = 3  Dấu của y’ chỉ phụ thuộc vào dấu của biểu thức (x − 3) nên ta có bảng biến thiên như hình vẽ −∞ x 0 − y' 0 +∞ 3 − 0 + +∞ +∞ y − 15 4 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (3; +∞) và hàm số nghịch biến trên (−∞; 3). 15 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3; y = − . 4 Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau: x +1 a) y = x 1 − x 2 . b) y = 2 x + 3 x 2 + 1. c) y = . x+3 Lời giải: a) y = x 1 − x 2 .  Hàm số xác định khi 1 − x 2 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1  → D = [ −1;1]. x2  Đạo hàm: y′ = 1 − x 2 − 1− x 2 = 1 − 2x2 1− x  → y′ = 0 ⇔ 1 − 2 x 2 = 0 ⇔ x = ± 2 1 2  Bảng biến thiên: x −1 − − y' 1 2 0 1 2 + 0 +1 − 1 2 0 y − 1 2 0 1   1 1    1  Hàm số đồng biến trên  − ; ;1 .  ; hàm số nghịch biến trên  −1; −  và  2 2 2    2  1 1 1 1 Hàm số đạt cực đại tại x = ;y= và đạt cực tiểu tại x = − ;y =− . 2 2 2 2 b) y = 2 x + 3 x 2 + 1.  Tập xác định: D = R.  Đạo hàm: y′ = 2 + 3x 2 x 2 + 1 + 3x  → y ′ = 0 ⇔ 2 x 2 + 1 + 3 x = 0 ⇔ 2 x 2 + 1 = −3 x x +1 x < 0  x < 0  x < 0 2  ⇔ 2 ⇔ ⇔ →x = − 2   2  2 x = ± 5 4 x + 4 = 9 x 5 x = 4  5   Giới hạn:   1  1 lim 2 x + 3 x 2 + 1 = lim  2 x + 3 x 1 + 2  = lim x  2 − 3 1 + 2 x  → −∞ x  →−∞ x  → −∞ x  x   ( x +1 = 2 ) 2   = +∞  Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] ( 2x + 3 )  1 x 2 + 1 = lim  2 x + 3 x 1 + 2 x  → +∞ x  →+∞ x   Bảng biến thiên: lim x   1  = lim x  2 + 3 1 + 2 x  → +∞ x   −∞ − − y'   = +∞  2 5 0 +∞ Facebook: LyHung95 +∞ + 0 +∞ y 5 2    2  ; +∞  . Hàm số đồng biến trên  −∞; −  ; hàm số nghịch biến trên  5   5  2 Hàm số đạt cực tiểu tại x = − ; y = 5. 5 x +1 c) y = . x+3 → D = [ −3; + ∞ ].  Hàm số xác định khi x + 3 > 0 ⇔ x > −3   Đạo hàm: y′ = x +1 ( x + 3) + 2  x+5 2 x + 3 = 2 ( x + 3) − x − 1 = = → y ′ > 0, ∀x ∈ D. x+3 2 ( x + 3) x + 3 2 ( x + 3) x + 3 2 ( x + 3) x + 3 x+3 −  Bảng biến thiên: x −3 +∞ y' + +∞ y −∞ Hàm số đã cho luôn đồng biến trên miền xác định và không có cực trị. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Tìm cực trị của các hàm số sau bằng quy tắc I: 1) y = 3x 2 − 2 x3 4) y = x4 − x 2 + 3. 2 2) y = x3 − 2 x2 + 2 x − 1. 5) y = x 4 − 4 x 2 + 5. 1 3) y = − x 3 + 4 x 2 − 15 x. 3 x4 3 6) y = − + x 2 + . 2 2 DẠNG 2. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC II
Phương pháp: + Tìm tập xác định của hàm số. + Tính y ' và giải phương trình y ' = 0 để tìm các nghiệm. + Tính y '' tại các giá trị nghiệm tìm được ở trên rồi kết luận. Chú ý: Quy tắc II tìm cực trị thường được áp dụng cho các hàm số khó lập bảng biến thiên như hàm lượng giác, hàm siêu việt, hàm vô tỉ...
Các ví dụ điển hình: Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau: 1 a) y = sin 2 x − x. b) y = cos x + cos 2 x. 2 Lời giải: c) y = x + 2 x − x 2 . Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 a) y = sin 2 x − x.  Tập xác định: D = R. 1 π π ⇔ 2 x = ± + k 2π  → x = ± + kπ 2 3 6 π π     y ′′  + kπ  = −4sin  + k 2π  = −2 3 < 0 6 3      Đạo hàm bậc hai: y′′ = −4sin 2 x  →  π   π  y ′′  − + kπ  = −4sin  − + k 2π  = 2 3 > 0 6 3      Đạo hàm: y′ = 2cos 2 x − 1  → y ′ = 0 ⇔ cos 2 x = Vậy hàm số đạt cực đại tại x = Hàm số đạt cực tiểu tại x = − π 3 π π  π + kπ; y = sin  + k 2π  − − kπ = − − kπ. 6 2 6 3  6 π 3 π  π  π + kπ; y = sin  − + k 2π  + − kπ = − + − kπ. 6 2 6  3  6 1 b) y = cos x + cos 2 x. 2  Tập xác định: D = R. 1 2π   cos x = − x=± + k 2π    Đạo hàm: y′ = − sin x − sin 2 x = − sin x (1 + 2cos x )  → y′ = 0 ⇔ 2⇔ 3    x = kπ sin x = 0  Đạo hàm bậc hai: y′′ = − cos x − 2cos 2 x  2π   2π   4π  3 y ′′  ± + 4nπ  = − cos  ± + 4nπ  − 2cos  ± + 8nπ  = > 0 + Nếu k = 2n  →  3   3   3  2 y ′′ ( 2nπ ) = − cos ( 2nπ ) − 2cos ( 4nπ ) = −3 < 0  2π   2π   4π  3 y ′′  ± + 4nπ + 2π  = − cos  ± + 4nπ + 2π  − 2cos  ± + 8nπ + 4π  = > 0 + Nếu k = 2n + 1  →  3   3   3  2 y ′′ ( π + 2nπ ) = − cos ( π + 2nπ ) − 2cos ( 2π + 4nπ ) = −1 < 0 3  2 ; k = 2n 1 Vậy hàm số đạt cực đại tại x = kπ; y = cos ( kπ ) + cos ( k 2π ) =  2  − 1 ; k = 2n + 1  2  3 − ; k = 2n 2π  2π  1  4π   4 Hàm số đạt cực tiểu tại x = ± + kπ; y = cos  ± + kπ  + cos  ± + k 2π  =  3  3  2  3   1 ; k = 2n + 1  4 c) y = x + 2 x − x 2 .  Hàm số xác định khi 2 x − x 2 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2  → D = [ 0; 2].  Đạo hàm: y′ = 1 + 2 − 2x 2 2 x − x2 = 2 x − x2 + 1 − x  x ≥ 1  → y′ = 0 ⇔ 2 x − x2 + 1 − x ⇔ 2 x − x2 = x − 1 ⇔  2 2  2 x − x = x − 2 x + 1 2x − x2 x ≥ 1  2+ 2  =1+  x ≥ 1  x = ⇔ 2 ⇔  2  2 x − 4 x + 1 = 0    x = 2 − 2 = 1 −   2 1 →x = 2  1 2 (1 − x )2 − 2x − x − 2 2 ′ 1 2 x − x2 = x − 2 x − x + 2 x − 1 = − <0  = 2 2 2 2 2x − x 2x − x 2x − x 2x − x 2x − x2  2  1− x  Đạo hàm bậc hai: y′′ =   2  2x − x 2+ 2 . 2 ( ) ( ) Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Vậy hàm số đạt cực đại tại x = Facebook: LyHung95 2+ 2 ; y = 1 + 2. 2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Tìm cực trị của các hàm số sau bằng quy tắc II: 1) y = x x 2 − 4. 2) y = x 2 − 2 x + 5. 4) y = cos 2 3 x. 5) y = sin x x − cos . 2 2 3) y = x − 4sin 2 x. 6) y = x2 − 4 . 3x − 2 DẠNG 3. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
Phương pháp: + Hàm số có cực trị khi y ' = 0 có nghiệm và đổi dấu qua các nghiệm. + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1; x2 thì khi đó x1; x2 là hai nghiệm của y ' = 0.  y′ ( x0 ) = 0 + Hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x0 khi   y′′ ( x0 ) < 0  y′ ( x0 ) = 0 + Hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x0 khi   y′′ ( x0 ) > 0
Các ví dụ điển hình: Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 2 x − 3m + 1 . Tìm giá trị của m để a) hàm số có cực trị. b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 3. c) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 2. d) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = –1. Lời giải: 2 ′ a) Ta có y = 3x − 6mx + 2 Hàm số đã cho có cực trị khi y ' = 0 có nghiệm và đổi dấu khi qua các nghiệm.  6 m>  2 3 ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > 0 ⇔ 9m 2 − 6 > 0 ⇔ m 2 > ⇔  3  6 m < − 3  6 6 Vậy với m > ; m<− thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu. 3 3 b) Gọi x1; x2 là hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó x1; x2 là nghiệm của phương trình y ' = 0 .  x1 + x2 = 2m  Theo định lí Vi-ét ta có  2  x1 x2 = 3    x1 + 2 x2 = 3  x1 = 4m − 3   Theo giải thiết ta có x1 + 2x2 = 3  →  x1 + x2 = 2m ⇔  x2 = 3 − 2m   2 2  x1 x2 = ( 4m − 3)( 3 − 2m ) = 3 3   29  → 8m 2 − 18m + = 0 ⇔ 24m 2 − 54m + 29 = 0  → phương trình vô nghiệm. 3 Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn đề bài. c) Ta có y′′ = 6 x − 6m 7   y′ ( 2 ) = 0 3.4 − 12m + 2 = 0 m = 7 ⇔ ⇔ →m = . Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 khi  6  6  y′′ ( 2 ) > 0 12 − 6m > 0 m < 2 Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Giá trị m = Facebook: LyHung95 7 thỏa mãn điều kiện tồn tại cực trị nên là giá trị cần tìm. 6 5  3 + 6m + 2 = 0 m = − 5  y′ ( −1) = 0 d) Hàm số đạt cực đại tại x = –1 khi  ⇔ ⇔ →m = − . 6  6  y′′ ( −1) < 0 −6 − 6m < 0 m > −1 5 Giá trị m = − thỏa mãn điều kiện tồn tại cực trị nên là giá trị cần tìm. 6 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1 Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + mx 2 + ( 2m + 3) x + 2. Tìm giá trị của m để 3 a) hàm số có cực trị. b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn 2x1 + 3x2 = –2. c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 0. d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = –2. 1 Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + mx 2 + ( m + 6 ) x − 1 . Tìm giá trị của m để 3 a) hàm số có cực trị. 1 1 x1 + x1 + = . x1 x2 3 b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 1. d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0. Bài 3: [ĐVH]. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị ? a) y = x3 – 3x2 + 3mx + 3m + 4. b) y = mx3 + 3mx2 – (m – 1)x – 1. Bài 4: [ĐVH]. Tìm a, b để hàm số a) y = ax4 + bx2 đạt cực trị bằng –9 tại điểm x = 3. b) y = ax 2 + bx + ab đạt cực trị tại x = 0 và x = 4. bx + a c) y = ax 2 + 2 x + b đạt cực đại bằng 5 tại điểm x = 1. x2 + 1 Bài 5: [ĐVH]. Tìm m để hàm số ( ) ( ) a) y = x3 + 2 ( m − 1) x 2 + m2 − 4m + 1 x − 2 m2 + 1 đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho 1 1 1 + = ( x1 + x2 ) . x1 x2 2 1 b) y = x3 − mx 2 + mx − 1 đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho x1 − x2 ≥ 8. 3 1 1 c) y = mx3 − (m − 1) x 2 + 3(m − 2) x + đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho x1 + 2x2 = 1. 3 3 Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P1 Thầy Đặng Việt Hùng VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 1. TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Công thức : Phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y = f ( x ) là y = y(′xo ) ( x − xo ) + yo ⇔ y = y(′xo ) ( x − xo ) + f ( xo )
Các lưu ý : +) Nếu cho xo thì tìm yo = f(xo). +) Nếu cho yo thì tìm xo bằng cách giải phương trình f(x) = yo. +) Tính y′ = f′(x). Suy ra y′(xo) = f′(xo). +) Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y = f′(xo).(x – xo) + yo.
Dạng toán trọng tâm cần lưu ý : ax + b +) Tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị hàm phân thức y = cắt các trục tọa độ Ox, Oy tại các điểm A, B thỏa cx + d OA = kOB mãn các tính chất   S ∆OAB = S0 +) Khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = ax + b đến tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị đạt giá trị cx + d lớn nhất, hoặc bằng một hằng số cho trước. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2 x3 − x 2 + 6 x − 3 . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại giao điểm của đồ thị và Ox. Đ/s: y = 13  1 x−  2 2 Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2 x3 − 3 x 2 + 1 có đồ thị là (C) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8. Đ/s: M (−1; −4) x+2 x −1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A Bài 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 50 (với O là gốc toạ độ) 3 Đ/s: M (2; 4) 2x + 3 x −1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = và B sao cho OB = 5OA (với O là gốc toạ độ) Đ/s: y = −5 x + 17; y = −5 x − 3 Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = x x +1 Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm E (−1;1) đến tiếp tuyến tại M với đồ thị bằng 2. Đ/s: M (0;0), M (−2; −2). Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x+2 x −1 Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm E (−1;1) đến tiếp tuyến tại M với đồ thị lớn nhất. Bài 6: [ĐVH]. Cho hàm số y = Đ/s: d max = 2 ⇔ M (0;2), M (−2;0). Bài 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = x−3 2x + 1 7 2  1 1 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm I  − ;  đến tiếp tuyến tại M bằng . 10  2 2 Đ/s: y = 7 x + 11. 2x + 5 (1) x−2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A và B sao cho OA = 9OB (với O là gốc toạ độ) Bài 8: [ĐVH]. Cho hàm số y = x−3 ( C) x +1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến cắt trục Ox tại A, cắt trục Oy tại B sao cho OA = 4OB. Bài 9: [ĐVH]. Cho hm số y = x+2 (1). 2x + 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. Bài 10: [ĐVH]. Cho hàm số y = Bài 11: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + x 2 + 2 x + 2 . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại a) giao điểm của đồ thị và Ox. b) điểm uốn của đồ thị. Bài 12: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + 3x 2 + x + 1 . Tìm diểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị đi qua gốc tọa độ O. Đ/s: M (−1; 2) x +1 (C ) . Tìm diểm M thuộc đồ thị hàm số (C) sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị x−2 cắt các trục tọa độ Ox, Oy tại A, B sao cho OA = 3OB, với O là gốc tọa độ. Bài 13: [ĐVH]. Cho hàm số y = Đ/s: Một điểm M là M (3; 4) Bài 14: [ĐVH]. Cho hàm số y = x (C ) . Tìm diểm M thuộc đồ thị hàm số (C) sao cho khoảng cách từ điểm x +1 E (1; 2) đến tiếp tuyến tại M với đồ thị bằng 1 2 . Đ/s: Một điểm M là M (0;0) Bài 15: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + (2m − 1) x 2 + mx + m − 1 . Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = −1 đi qua điểm A(2; −1) ? Bài 16: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x4 + (m + 2) x 2 − 4m + 3 . Tìm m để tiếp tuyến tại các điểm cố định vuông góc với nhau? Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P2 Thầy Đặng Việt Hùng VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 1. DẠNG 1. TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ (tiếp theo)
Công thức : Phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y = f ( x ) là y = y(′xo ) ( x − xo ) + yo ⇔ y = y(′xo ) ( x − xo ) + f ( xo )
Các lưu ý : + Nếu cho xo thì tìm yo = f(xo). + Nếu cho yo thì tìm xo bằng cách giải phương trình f(x) = yo. + Tính y′ = f′(x). Suy ra y′(xo) = f′(xo). + Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y = f′(xo).(x – xo) + yo.
Dạng toán trọng tâm cần lưu ý : ax + b Tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị hàm phân thức y = cắt các tiệm cận tại A, B. Khi đó ta có các tính chất sau: cx + d +) M là trung điểm của AB +) Diện tích tam giác IAB luôn không đổi, với I là giao điêm của hai tiệm cận +) Chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. +) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB dạt gái trị lớn nhất. Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2x − 3 (C ) . Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các x−2 tiệm cận tại A, B. Tìm điểm M đề đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất, với I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Đ/s: M (3;3), M (1;1) Hướng dẫn: Tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có đường kính là AB, suy ra diện tích đường tròn ngoại tiếp là S = πR 2 = π Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = AB 2 , từ đó bài toán quy về tìm M để độ dài AB ngắn nhất. 4 2mx + 3 (C ) . Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt x−m các tiệm cận tại A, B. Tìm điểm M đề tam giác IAB có diện tích bằng 64. Đ/s: m = ± 58 2 Bài 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x−2 (C ) . Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các x +1 tiệm cận tại A, B. Viết phương trình tiếp tuyến tại M đề bán kính đường trỏn ngội tiếp tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. Đ/s: y = x + 2(1 ± 3) Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = x (C ) . Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các x −1 tiệm cận tại A, B. Viết phương trình tiếp tuyến tại M biết chu vi tam giác IAB bằng 2(2 + 2) .  y = −x Đ/s:   y = −x + 4 Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + 3x 2 − 1 . Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 các trục tọa độ tại A, B. Tìm tọa độ điểm M biết OB = 3OA, với O là gốc tọa độ. Đ/s: M (−1;1) 2x − 1 . Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A là điểm trên (C) có hoành độ là a. 1− x Tiếp tuyến tại A của (C) cắt hai đường tiệm cận tại P và Q. Chứng tỏ rằng A là trung điểm của PQ và tính diện tích tam giác IPQ. x+2 Bài 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = (C ) . x −1 Bài 6: [ĐVH]. Cho hàm số y = Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. a) Chứng minh rằng M là trung điểm của AB. b) Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi, với I là tâm đối xứng của đồ thị (I là giao của hai tiệm cận) Bài 8: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2x − 3 (C ) . x−2 Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Tìm điểm M đề độ dài đoạn AB ngắn nhất. Đ/s: M (3;3), M (1;1) Bài 9: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2x + 1 (C ) . x −1 Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Tìm điểm M đề chu vi tam giác IAB nhỏ nhất, với I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Đ/s: xM = 1 ± 3 Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P3 Thầy Đặng Việt Hùng VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 2. TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC
Hệ số góc của một đường thẳng là tang (tan) của góc hợp bởi đường thẳng đó và chiều dương trục Ox. Kí hiệu k = tanα.
Nếu đường thẳng d hợp với trục Ox (không nói rõ chiều dương của trục Ox) thì k = ± tanα. y − yN
Đường thẳng d đi qua hai điểm M, N thì hệ số góc của đường d được tính bởi kd = M xM − x N
Đường thẳng d đi qua điểm M(x1 ; y1) và có hệ số góc k thì có phương trình d : y = k ( x − x1 ) + y1. Trong trường hợp tổng quát, đường thẳng d có hệ số góc k thì luôn viết ở dạng d: y = kx + m. d : y = k1 x + m1
Cho hai đường thẳng  1 d 2 : y = k2 x + m2  kd = kd 2 +) d1 và d2 song song với nhau thì có cùng hệ số góc :  1  m1 ≠ m2 +) d1 và d2 vuông góc với nhau thì có tích hệ số góc bằng −1 : kd1 .kd 2 = −1 ⇔ kd2 = − 1 . kd1
Đạo hàm tại một điểm xo thuộc đồ thị hàm số y = f(x) chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó. Tức là ktt = y′ ( xo ) . Ví dụ 1: [ĐVH]. Xác định hệ số góc k của các đường cho dưới đây ? a) 2 x + 3 y − 1 = 0 ← → 3 y = −2 x + 1 ⇔ y = −2 1 2 x +  →k = − . 3 3 3 1 3 1 → 5 y = x − 3 ⇔ y = x −  →k = . b) − x + 5 y + 3 = 0 ← 5 5 5 c) 2 x + y + 3 = 0 ← → y = 2 x − 3  → k = 2. Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + (m − 1) x 2 + 2mx + 3 Tìm m để tiếp tuyến a) tại điểm có hoành độ x = –3 song song với đường thẳng d : 5x – y + 3 = 0 b) tại điểm có hoành độ x = 1 vuông góc với đường thẳng d’ : x – 2y + 3 = 0 Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 + 2(m − 1) x 2 − 8m − 2 Tìm m để tiếp tuyến tại các điểm cố định của đồ thị hàm số vuông góc với nhau. Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − (m + 1) x 2 + (2m − 1) x + 3 Tìm m để tiếp tuyến a) tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với đường thẳng d : 4x – 3y + 1 = 0 b) tại điểm có hoành độ x = −1 song song với đường thẳng d’ : 2x – 3y + 2 = 0 Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2x + 1 . Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến cách đều A(2;4), B (−4; −2) x +1 Đ/s : x − 4 y + 5 = 0; y = x + 1; y = x + 5 Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 2x − 1 , có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc x −1 (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM. Đ/s: M(0; 1) và M(2; 3). Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho hàm số y = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − (m − 2) x2 + mx + 3. a) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 1 song song với đường (d): y = 2x – 1. b) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với đường (d): 4x – 3y = 0. Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = –x4 + 2mx2 – 2m + 1 Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1; 0), B(–1; 0) vuông góc với nhau. Bài 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + 3x2 + x + 2, có đồ thị là (C) và một đường thẳng d đi qua A(−1; 3) có hệ số góc k. a) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt cùng có hoành độ âm. b) Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến với (C) tại hai điểm B, C vuông góc với nhau. Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = x4 + mx2 – m – 1. Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng (d): y = 2x, với A là điểm cố định có hoành độ dương của đồ thị hàm số. Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = ( 3m + 1) x − m . x+m Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox song song với đường thẳng (d): y = –x –5. Bài 6: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + x + 3. Một đường thẳng d đi qua A(2 ; 1) và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng d và đồ thị hàm số đã cho a) cắt nhau tại duy nhất một điểm. b) cắt nhau tại ba điểm phân biệt. c) cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương. Bài 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2 x3 − 3mx 2 + mx + 1. a) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm uốn song song với đường thẳng ∆: 4x + y + 1= 0. b) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm x = −2 vuông góc với đường thẳng ∆′: 2x + 3y + 2= 0. Bài 8: [ĐVH]. Cho hàm số y = x + 3m x−m Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị và trục Oy vuông góc với đường thẳng d : x – 2y + 1 = 0 Bài 9: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + x 2 − x + 1 Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1 ; 2) và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B, C vuông góc với nhau. Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 2x −1 . Tìm trên đồ thị (C) các điểm A, B sao cho tiếp tuyến với (C) tại A và x +1 B song song với nhau và khoảng cách AB = 2 10. Bài 11: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + (2m − 3) x 2 − 2mx + 2 . Tìm m để đồ thị cắt Ox tại ba điểm phân biệt A, Bài 10: [ĐVH]. Cho hàm số y = B, C (với A cố định) sao cho a) BC = 3 b) Tổng hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại A, B, C bằng 8. Bài 12: [ĐVH]. Cho hàm số y = x +1 (C ) .Viết phương trình tiếp tuyến ( ∆ ) của (C) biết ( ∆ ) cắt Ox, Oy lần x−2 lượt tại 2 điểm phân biệt A,B thỏa mãn OA=2028OB. Bài 13: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2x −1 (C ) và điểm M bất kỳ thuộc (C) . Gọi I (1; 2) . Tiếp tuyến tại M cắt x −1 tiệm cận tại A, B . a) CMR: M là trung điểm của AB. b) CMR: Diện tích tam giác IAB không đổi. c) Tìm M để IA + IB = 3 d) Tìm M để chu vi ∆IAB nhỏ nhất, khi đó tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆IAB e) Tìm M để bán kính đường tròn nội tiếp ∆IAB lớn nhất. f) Tìm trên (C) 2 điểm P,Q sao cho PQ = 8 và tiếp tuyến tại 2 điểm này song song với nhau. Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P4 Thầy Đặng Việt Hùng VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 2. TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC (tiếp theo) Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 5 x 2 + (m + 4) x − m có đồ thị là (C). Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt A, B, C (trong đó A là điểm cố định) và thỏa mãn a) k B2 + kC2 = 160 b) Tiếp tuyến tại B, C vuông góc với nhau. x+2 , (C ) ; d : y = x − m Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = x +1 Tìm m để đồ thị cắt đường d tại hai điểm phân biệt A, B sao cho a) k A + 2k B = −3 b) k B = 81k A Đ/s: a ) m = −2 b) m = 2 3 Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = 3x + 2 , (C ) . Gọi A, B là hai điểm phân biệt trên đồ thị sao cho tiếp tuyến x+2 tại A, B song song với nhau. Chứng minh rằng AB ≥ 4 2. Ví dụ 4: [ĐVH, tham khảo]. Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị là (Cm); (m là tham số). Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau. Đ/s: m = 9 − 65 8 Ví dụ 5: [ĐVH, tham khảo]. Cho hàm số y = 2x , có đồ thị là (C). x−2 Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị sao cho tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại các điểm A, B với AB = 2OA Đ/s: d: x + y – 8 = 0 x+2 Ví dụ 6: [ĐVH, tham khảo]. Cho hàm số y = , (C ) ; d : y = 2 x − m 1 − 2x 1 1 129 Tìm m để đồ thị cắt đường d tại hai điểm phân biệt A, B sao cho + +m= k A kb 20 Đ/s: m = 5 Ví dụ 7: [ĐVH, tham khảo]. Cho hàm số y = x3 − (2m + 1) x 2 + mx + m có đồ thị là (C). Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt A, B, C (trong đó A là điểm cố định) và thỏa mãn 12 a) BC = 5 19 b) k A + k B + kC = 16 4 1 Đ/s: a ) m = b) m = 3 8 Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 BÀI TẬP TỰ LUYỆN x +1 , có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị (C). x−2 Tìm điểm M trên đồ thị sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại M vuông góc với đường thẳng IM. Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2x −1 , (C ). x +1 Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc bằng −9. Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = Bài 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x3 + 2 x 2 − 3. Một đường thẳng d đi qua M(1 ; −2) và có hệ số góc k. a) Tìm k để đường thẳng d và đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt M(1 ; −2) ; A và B. b) Tim k để tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm A, B vuông góc với nhau. Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 có đồ thị là (C) và đường thẳng d: y = mx + m + 3. Xác định m để d cắt (C) tại M(−2; 3), N, P sao cho các tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau. Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 – 3x 2 + 4 có đồ thị là (C) và đường thẳng d đi qua A(2; 0) có hệ số góc k. Xác định k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau. 2 5 Bài 6: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x3 + (m − 1) x 2 + (3m − 2) x − có đồ thị (C m ), m là tham số. 3 3 Tìm m để trên (C m ) có hai điểm phân biệt M 1 ( x1 ; y1 ), M 2 ( x2 ; y2 ) thỏa mãn x1.x2 > 0 và tiếp tuyến của (C m ) tại mỗi điểm đó vuông góc với đường thẳng d : x − 3 y + 1 = 0. Bài 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + (1 − 2m) x 2 + (2 − m) x + m + 2 (1) với m là tham số. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc α, biết cos α = 1 . 26 x−3 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến x +1 đó cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho OA = 4OB. Bài 9: [ĐVH]. Cho hàm số y = f ( x) = x3 + 6 x 2 + 9 x + 3 (C). Tìm tất cả các giá trị k, để tồn tại 2 tiếp tuyến với (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA = 2011.OB . 9 Đ/s: k = ; k = 6039. 2 2x + 1 Bài 10: [ĐVH]. Cho hàm số y = ,(C ) và đường thẳng d : y = x + m . Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt x +1 17 A, B sao cho hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại A, B thỏa mãn k A + k B = 4 1 Đ/s: m = 2 2x + 1 Bài 11: [ĐVH]. Cho hàm số y = ,(C ) và đường thẳng d : y = x + m . Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt x +1 A, B sao cho hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại A, B thỏa mãn k B = 16k B 1 Đ/s: m = 2 Bài 8: [ĐVH]. Cho hàm số y = Bài 12: [ĐVH]. (Trích đề thi Đại học khối A năm 2011) −x +1 , có đồ thị là (C). Chứng minh rằng đường thẳng d: y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm 2x −1 phân biệt A, B với mọi giá trị của m. Gọi k1 ; k2 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A, B. Tìm k để tổng k1 + k2 đạt giá trị nhỏ nhất. Đ/s: m = −1; ( k1 + k2 )min = −2 Cho hàm số y = Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!