Tài liệu Tài liệu ôn thi thpt quốc gia môn toán 2016 cực hay (phần 10 - phương trình lượng giác)

1 Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ÔN TẬP VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC – PHẦN 1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN I. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 2 2 sin x = 1 − cos x
sin 2 x + cos 2 x = 1 ⇒  2 2 cos x = 1 − sin x
1 1 = 1 + tan 2 x ⇒ tan 2 x = −1 2 cos x cos 2 x
1 1 = 1 + cot 2 x ⇒ cot 2 x = −1 2 sin x sin 2 x
tan x.cot x = 1 ⇒ cot x = 1 tan x
sin 4 x + cos 4 x = 1 − 2 sin 2 x cos 2 x; sin 6 x + cos 6 x = 1 − 3sin 2 x cos 2 x
sin 3 x + cos3 x = (sin x + cos x)(1 − sin x.cos x); sin 3 x − cos3 x = (sin x − cos x)(1 + sin x.cos x) II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Góc I Góc II Góc III Góc IV sinx + + – – cosx + – – + tanx + – + – cotx + – + – Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính giá trị của các hàm lượng giác còn lại của cung x sau: 1 π 2 π a) sin x = ;0 < x < b) cos x = − ; 0  → cos x = . 2 3  sin x 1 2 = =  tan x = cos x 2 2 4 Từ đó ta được:  cot x = 1 = 2 2  tan x −2 4 1 1 b) cos x = ⇒ sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 − = ⇒ sin x = ± 5 5 5 5 π 1 Do < x < π ⇒ sin x > 0  → sin x = . 2 5 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 sin x −1 = cos x 2 1 = −2 tan x 1 1 = c) Từ tan x = 2 ⇒ cot x = tan x 2   tan x = Từ đó ta được:  cot x =   1  2 sin x = ± sin x  cos x = =2 sin x = 2 cos x  tan x =   5 Ta có  ⇔ ⇔ ⇔ cos x 2 4 5 cos x = 1 2 2 2  sin x + cos x = 1 sin x = cos x = ±   5  2 5 1 5 −2  sin x =  sin x < 0 3π 5 Do π < x < ⇒ ⇒ 2 cos x < 0 cos x = −1  5 1 1 d) cot x = − ⇒ tan x = = −2 2 cot x  1  2 sin x = ± sin x  cos x =  = −2 sin x = −2 cos x  tan x =   5 Ta có  ⇔ ⇔ ⇔ cos x 2 5cos x = 1 sin 2 x + cos 2 x = 1 sin 2 x = 4 cos x = ±    5 −2  sin x =  sin x < 0 3π 5  Do < x < 2π ⇒  ⇒ 2 cos x > 0 cos x = 1  5 Ví dụ 2: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau: a) tan 2 x − sin 2 x = tan 2 x sin 2 x c) 1 − 2 5 1 5 sin x + cos x − 1 cos x = sin x − cos x + 1 1 + sin x tan x + tan y d) tan x.tan y = cot x + cot y b) sin 2 x cos 2 x − = sin x cos x 1 + cot x 1 + tan x Lời giải: sin x sin x − sin x cos 2 x sin 2 x(1 − cos 2 x) 2 a) tan 2 x − sin 2 x = − sin x = = = tan 2 x sin 2 x ⇒ đpcm. cos 2 x cos 2 x cos 2 x b) Áp dụng công thức góc nhân đôi ở phần IV ta được: x x x 2sin x  cos x − sin x  x x 2 sin cos − 2sin 2   cos − sin sin x + cos x − 1 2 2 2 2 2 2 = 2 2 , (1) = = x x x x x x x x sin x − cos x + 1 2sin cos + 2sin 2 2sin  cos + sin  cos − sin 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x cos 2 − sin 2 cos − sin cos x 2 2 = 2 2 , ( 2). Mặt khác = 2 x x 1 + sin x  x x cos + sin  sin + cos  2 2 2 2  Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 3 x cos3 x sin 3 x + cos3 x c) 1 − − = 1− − = 1− − = 1− = cos x sin x 1 + cot x 1 + tan x sin x + cos x sin x + cos x sin x + cos x 1+ 1+ sin x cos x 2 2 2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 (sin x + cos x)(sin 2 x − sin x cos x + cos 2 x) = 1 − (1 − sin x cos x) = sin x cos x ⇒ đpcm. sin x + cos x sin x sin y sin x cos y + sin y cos x + tan x + tan y cos x cos y sin x sin y cos x cos y d) = = = = tan x tan y ⇒ đpcm. cos x cos y sin x cos y + sin y cos x cot x + cot y cos x cos y + sin x sin y sin x sin y Ví dụ 3: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau = 1− cos 2 x + cos 2 x cot 2 x A= sin 2 x + sin 2 x tan 2 x cos 2 x − 2sin x(1 − sin x) 2(1 + sin x) B= . (1 − sin x) cos x + (1 + sin x) cos x 1 − sin x C = (1 + cot x) sin 3 x + (1 + tan x) cos3 x − sin x cos x D = sin 4 x + 4 cos 2 x + cos 4 x + 4sin 2 x Lời giải: cos 2 x cos 2 x(sin 2 x + cos 2 x) 2 2 cos x + cos x. 2 cos 2 x + cos 2 x cot 2 x cos 4 x sin x = sin 2 x
Ta có A = = = = cot 4 x 2 2 2 2 4 sin x sin x (cos x + sin x ) sin 2 x + sin 2 x tan 2 x sin x sin 2 x + sin 2 x. cos 2 x cos 2 x
Ta có cos 2 x − 2sin x(1 − sin x) 1 − sin 2 x − 2sin x(1 − sin x) (1 − sin x)(1 + sin x − 2sin x) (1 − sin x) 2 = = = (1 − sin x) cos x + (1 + sin x) cos x (1 − sin x + 1 + sin x) cos x 2 cos x 2 cos x (1 − sin x)2 2(1 + sin x) (1 − sin x)(1 + sin x) 1 − sin 2 x = = = cos x . 2 cos x 1 − sin x cos x cos x  cos x  3  sin x  3
C = (1 + cot x) sin 3 x + (1 + tan x) cos3 x − sin x cos x = 1 +  sin x + 1 +  cos x − sin x cos x =  sin x   cos x  = sin 3 x + cos3 x + cos x sin 2 x + cos 2 x sin x − sin x cos x  →B = = (sin x + cos x)(sin 2 x + cos 2 x − sin x cos x) + cos x sin x(sin x + cos x) − sin x cos x = (sin x + cos x)(1 − sin x cos x) + sin x cos x(sin x + cos x − 1) = sin x + cos x − sin x cos x (1 − cos x ) + 4 cos x + (1 − sin x ) + 4sin x ( cos x + 1) + ( sin x + 1) = sin x + cos x + 2 = 3
Ta có D = sin 4 x + 4 cos 2 x + cos 4 x + 4 sin 2 x = = cos 4 x + 2 cos 2 x + 1 + sin 4 x + 2sin 2 x + 1 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau: a) sin 2 x sin x + cos x − = sin x + cos x sin x − cos x tan 2 x − 1 b) 1 − cot 4 x = 2 1 − 4 2 sin x sin x Bài 2: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau: a) 1 + sin 2 x = 1 + 2 cot 2 x 2 1 − cos x b) 2(1 − sin x)(1 + cos x) = (1 − sin x + cos x) 2 Bài 3: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau: Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG a) sin 2 x(1 + cos x) sin x + tan x = cos 2 x(1 + sin x) cos x + cot x Facebook: LyHung95 b) cos 2 x − sin 2 x = sin 2 x.cos 2 x 2 2 cot x − tan x b) sin 2 x − cos 2 x + cos 4 x = tan 4 x 2 2 4 cos x − sin x + sin x Bài 4: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau: a) 1 − 4sin 2 x cos 2 x = (sin x − cos x) 2 2 (sin x + cos x) Bài 5: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau a) A = 1 − cos x 1 − 2 sin x 1 + cos x b) B = 1 − sin 2 x.cos 2 x − cos 2 x cos 2 x Bài 6: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau a) A = 1 − cos x 1 + cos x − 1 + cos x 1 − cos x b) B = 1 − cot 2 x.sin 2 x + 1 Bài 7: [ĐVH]. Tính giác trị của các hàm số lượng giác a) sin x = 1 π ;0 < x < 2 3 c) tan x + cot x = 2; 0 < x < b) cot x = − 2; − π 2 d) cos x = π < x<0 2 2 3π ;π < x < 2 6 Bài 8: [ĐVH]. Tính giác trị của các hàm số lượng giác a) tan x − cot x = − 2 3π ;π < x < 2 3 b) tan x = − 1 π ; 0  → cos a =  → tan a = . 17 15 5 5
tan b = ⇔ sin b = cos b 12 12 5  5  sin b = ±  sin b = cos b   13 Từ đó ta có  ⇔ 12 sin 2 b + cos 2 b = 1 cos b = ± 12   13 5  sin b = 13 Do b là góc nhọn nên sin b > 0; cos b > 0  → cos b = 12  13 8 12 15 5 21 • sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b = . − . = 17 13 17 13 221 15 12 8 5 140 • cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b = . − . = 17 13 17 13 221 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 8 5 − tan a − tan b 15 12 = 21 • tan(a − b) = = 1 + tan a tan b 1 + 8 . 5 220 15 12 Ví dụ 4: [ĐVH]. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến π  π  a) A = cos 2 x + cos 2  x +  + cos 2  − x  3  3  3 3 3cos x − cos 3 x 3sin x + sin 3 x + b) B = cos x sin x Lời giải: a) Cách 1 : 2 π π π  π π  π   A = cos x + cos  x +  + cos 2  − x  = cos 2 x +  cos x cos − sin x sin  +  cos x cos + sin x sin  3 3 3  3 3  3   1 3 3 1 3 3 sin x cos x + sin 2 x + cos 2 x + sin x cos x + sin 2 x = = cos 2 x + cos 2 x − 4 2 4 4 2 4 3 3 3 = cos 2 x + sin 2 x = 2 2 2 Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc: 2π  2π    1 + cos  2 x + 1 + cos  2 x −   π 3  3   π  1 + cos 2 x   A = cos 2 x + cos 2  x +  + cos 2  − x  = + + = 3 2 2 2  3  3 1 1  2π  2π   3 1 1 2π   = + cos 2 x + cos  2 x +  + cos  2 x −   = + cos 2 x +  2 cos 2 x.cos  = 2 2 2  3  3  2 2 2 3   3 1 2π 3 1 1 3 3 = + cos 2 x + cos 2 x.cos = + cos 2 x − cos 2 x =  →A= . 2 2 3 2 2 2 2 2 Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x. 3cos3 x − cos 3 x 3sin 3 x + sin 3 x 3cos3 x − 4 cos 3 x + 3cos x 3sin 3 x − 4sin 3 x + 3sin x + = + b) Ta có B = cos x sin x cos x sin x 3 3 − cos x + 3cos x − sin x + 3sin x = + = − cos 2 x − sin 2 x + 6 = 5 cos x sin x Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào biến x. 2 2 Ví dụ 5: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau sin ( a + b ) sin ( a − b ) a) tan 2 a − tan 2 b = cos 2 a.cos 2 b 1 3 b) sin 4 x + cos 4 x = cos 4 x + 4 4 6 + 2 cos 4 x c) = cot 2 x + tan 2 x 1 − cos 4 x Lời giải: sin a sin b sin a.cos b − sin 2 b.cos 2 a a) tan 2 a − tan 2 b = − = cos 2 a cos 2 b cos 2 a.cos 2 b (sin a cos b − sin b cos a )(sin a cos b + sin b cos a ) sin(a − b)sin(a + b) = = cos 2 a.cos 2 b cos 2 a.cos 2 b 2 1 1 3 1 b) sin 4 x + cos 4 x = ( sin 2 x + cos 2 x ) − 2(sin x cos x) 2 = 1 − 2. sin 2 2 x = 1 − (1 − cos 4 x) = + cos 4 x 4 4 4 4 2 2 4 4 sin x cos x sin x + cos x c) tan 2 x + cot 2 x = + = cos 2 x sin 2 x sin 2 x cos 2 x 2 2 2 2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! 2 Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  1 2   1 1  2 x + cos 2 x − 2(sin x cos x) 2 4  1 − 2 sin 2 x  4 1 − 4 + 4 cos 4 x  6 + 2 cos 4 x = = = 2 1 2 1 − cos 4 x sin 2 x 1 − cos 4 x sin 2 x 4 2 Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho tam giác ABC, chứng minh các đẳng thức sau: a) sin A = sin B.cos C + sin C.cos B b) tan A + tan B + tan C = tan A.tan B. tan C Lời giải: a) sin B cos C + cos B sin C = sin( B + C ) = sin( π − A) = sin A  → đpcm. sin A sin B sin C b) tan A + tan B + tan C = + + = cos A cos B cos C sin A cos B cos C + sin B cos A cos C + sin C cos A cos B = cos A cos B cos C cos C (sin A cos B + sin B cos A) + sin C cos A cos B = cos A cos B cos C cos C sin( A + B) + sin C cos A cos B cos C.sin C + sin C cos A cos B = = cos A cos B cos C cos A cos B cos C sin C (cos C − cos A cos B) sin C [ − cos( A + B ) − cos A cos B ] sin C sin B sin A = = = = tan A.tan B.tan C cos A cos B cos C cos A cos B cos C cos A cos B cos C Nhận xét: Cách giải trên là cách giải tương đối cổ điển, dựa vào phép biến đổi sơ cấp. Ngoài ra chúng ta có thể thực hiện phép biến đổi theo hương khác nhanh gọn hơn như sau tanA + tan B A + B + C = π ⇔ A + B = π − C  → tan ( A + B ) = tan ( π − C ) ⇔ = − tan C 1 − tan A.tan B ⇔ tan A + tan B = − tan C + tan A. tan B. tan C ⇔ tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C  → dpcm ( sin = ) 2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau:  11π   11π  a) A = cos ( x + 5π) − 2sin  − x  − sin  + x  2   2  π   3π  b) B = cos  − x  + cos ( π − x ) + cos  − x  + cos ( 2π − x ) 2   2  Bài 2: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau: 7π   3π   3π    7π  a) A = cos  − x  − sin  − x  + cos  x −  cos  − x 2   2   2    2   5π   11π   7π  b) B = sin  − x  − cos  − x  − 3sin ( x − 5π ) + tan  − x  . tan(− x)  2   2   2  Bài 3: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau: 3π   π   3π  A = cos ( π − x ) + sin  x −  − tan  + x  cot  − x  2   2   2  ( ) ( ) ( ) ( ) ( B = sin 2700 − x − 2sin x − 4500 + cos x + 9000 + 2 sin 7200 − x + cos 5400 − x ) Bài 4: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau: Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 π   3π   7π  tan  x −  .cos  + x  − sin 3  − x 2   2   2  A= π   3π  cos  x −  . tan  + x  2   2   13π   11π   3π   B = 1 + tan 2  − x   1 + cot 2 ( x − 3π )  .cos  + x  sin (11π − x ) .cos  x −  sin ( x − 7π ) 2   2   2    98 Bài 5: [ĐVH]. Cho 3sin 4 x + 2 cos 4 x = . Tính giá trị biểu thức A = 2 sin 4 x + 3cos 4 x. 81 Bài 6: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau: ( ) cos − 20 0 .sin 70 0 a) =1 sin 160 0.cos 340 0. tan 250 0 Bài 7: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau: a) sin(−3280 ).sin 9580 cos( −5080 ).cos(−10220 ) − = −1 cot 5720 tan(−2120 ) b) tan 2 x 1 + cot 2 x 1 + tan 4 x . = 1 + tan 2 x cot 2 x tan 2 x + cot 2 x b) cos 2 x − sin 2 x = sin 2 x cos 2 x 2 2 cot x − tan x 1 − cos 4 x − sin 4 x 2 c) = 6 6 1 − sin x − cos (2π − x) 3 Bài 8: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau 2 π  π  a) sin 2  + x  − sin 2  − x  = sin 2 x 8  8  2 c) tan x − 1 2 =− tan x tan 2 x b) sin x(1 + cos 2 x) = sin 2 x.cos x x 1  d) tan  + 1 = tan x 2  cos x  Bài 9: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau π π  π  π   A = sin  x −  .cos  − x  + sin  − x  .cos  x −  3 3  4  4   B = sin 4 x.cot 2 x − cos 4 x π π  π  π   C = cos  x −  .cos  + x  − cos  + x  .cos  x −  3 4  4  6   Bài 10: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau π   2π  D = tan x + tan  x +  + tan  + x 3   4  π x 1 + sin x − 2sin 2  −   4 2 E= x 4 cos 2 sin 4 x.cos 2 x (1 + cos 4 x)(1 + cos 2 x) G= F= cos3 x.sin x − sin 3 x.cos x sin 2 x.cos 2 x H= sin 2 2 x − 4sin 2 x sin 2 2 x + (4sin 2 x − 4) J= cos x + sin x cos x − sin x − cos x − sin x cos x + sin x Bài 11: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau I= 2(sin 2 x + 2 cos 2 x − 1) cos x − sin x − cos 3 x + sin 3 x K= sin x + sin 3 x + sin 5 x + sin 7 x cos x + cos 3 x + cos 5 x + cos 7 x L= 1 1 1 1 1 1 π  + + + cos x ,  0 < x <  2 2 2 2 2 2 2  Bài 12: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG tan 2 2a − tan 2 a = tan a.tan 3a a) 1 − tan 2 2a. tan 2 a π  π  b) sin  + a  − sin  − a  = 2 sin a 4  4  Bài 13: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau sin ( a − b ) sin ( a + b ) a) = − cos 2 a.sin 2 b 2 2 1 − tan a.cot b Bài 14: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau 1 3 a) 4 cos 4 x − 2 cos 2 x − cos 4 x = 2 2 Bài 15: [ĐVH]. Cho Chứng minh: sin8 x Facebook: LyHung95 b) cos ( a − b ) cos ( a + b ) 2 2 cos a.cos b = 1 − tan 2 a. tan 2 b b) cos 3 x.sin x − sin 3 x.cos x = sin 4 x 4 sin 4 x cos4 a 1 + = , vôùi a, b > 0. a b a+b + cos8 x 1 = . a b (a + b)3 Bài 16: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau: 3 3 π  1 + cos  + x  2  = 1 π  sin  + x  2  Bài 17: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau: π x a) tan  +  .  4 2 π  1 + sin 2 x b) tan  + x  = cos 2 x 4  cos x π x = cot  −  1 − sin x  4 2 Bài 18: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau: b) tan x.tan 3x = a) a) sin x.cos3 x − cos x.sin3 x = b) sin 6 tan 2 2 x − tan 2 x 1 − tan 2 x.tan 2 2 x 1 sin 4 x 4 x x 1 − cos6 = cos x(sin 2 x − 4) 2 2 4 1 − sin 2 x = 1 π   2π 2 cot  + x  .cos  − x  4  4  Bài 19: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau: c) a) cot x − tan x − 2 tan 2 x = 4 cot 4 x 1 − 2sin2 2 x 1 + tan 2 x b) = 1 − sin 4 x 1 − tan 2 x Bài 20: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau: c) 1 6 − tan 6 x = 3 tan 2 x 2 +1 cos x cos x Bài 21: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau: e) tan 6 x − tan 4 x − tan 2 x = tan 2 x.tan 4 x.tan 6 x d) tan 4 x − 1 sin 2 x − cos 2 x = cos 4 x sin 2 x + cos 2 x sin 7 x = 1 + 2 cos 2 x + 2 cos 4 x + 2 cos 6 x sin x g) cos 5 x.cos 3 x + sin 7 x.sin x = cos 2 x.cos 4 x f) Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN – PHẦN 1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) 2 cos 2 x + 5sin x − 4 = 0 b) ( x − 2( ) 3 + 1) cos x + 3 tan 2 x − 1 + 3 tan x + 1 = 0 c) 4 cos 2 3=0 Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau ( ) π  − 2x  = 0 2  a) 2 sin 4 x + cos 4 x − cos  b) sin 6 x + cos6 x = cos 4 x Bài 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau 1 a) sin 4 x + cos 4 x = sin 2 x − 2 Bài 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau b) sin 4 a) 2(cos 6 x + sin 6 x) − sin x.cos x =0 2 − 2sin x x x + cos 4 = 1 − 2sin x 2 2 b) sin 4 x + cos 4 x + sin x.cos x = 0 Bài 6: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) ( 2 − 3 ) cos x − 2sin 2 cos x − 1 2 x π  −  2 4 =1 b) cos 4 x = sin 2 x − 1 4 Bài 7: [ĐVH]. Giải các phương trình sau cos 6 x + sin 6 x 1 = tan 2 x cos 2 x − sin 2 x 4 Bài 8: [ĐVH]. Giải các phương trình sau b) sin 4 a) x x π 2 −  tan x − cos 2 = 0 2 2 4 x x 5 + cos 4 = 3 3 8 b) cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0 a) sin 2  Bài 9: [ĐVH]. Giải các phương trình sau   a) tan x + cos x − cos 2 x = sin x 1 + tan x. tan x  2 b) 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0 Bài 10: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) sin 2 x + sin 2 3 x = cos 2 2 x + cos 2 4 x b) sin 6 x + cos 6 x = cos 4 x Bài 11: [ĐVH]. Giải các phương trình sau 1 a) − ( 3 + 3 ) tan x − 3 + 3 = 0 cos 2 x Bài 11: [ĐVH]. Giải các phương trình sau b) 3 + tan 2 x = 9 cos x b) 1 = cot x + 3 sin 2 x 4 =0 1 + tan 2 x Bài 12: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) 9 − 13cos x + Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG a) cos 2 x − 3cos x = 4 cos 2 x 2 b) Facebook: LyHung95 1 + 3cot 2 x = 5 2 cos x Bài 13: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) 2 cos 2 x + tan x = 4 5   b) sin 4 x + sin 4  x + π π 5 4  + sin  x −  =  4 4 4 Thầy Đặng Việt Hùng Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN – PHẦN 2 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) 2sin x (1 + cos 2 x ) + sin 2 x = 1 + 2 cos x   b) cot x + sin x 1 + tan x tan x =4 2 Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) cos3 x + sin 3 x + 2 sin 2 x = 1 b) cot x = tan x + Bài 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau sin 2 x + 2 cos x − sin x − 1 a) =0 tan x + 3 Bài 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau b) tan  ( 2 − 3 ) cos x − 2sin a) 2 x π  −   2 4  =1 2 cos x − 1 Bài 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau sin 4 x + cos 4 x 1 1 a) = cot 2 x − 5sin 2 x 2 8sin 2 x 2 cos 4 x sin 2 x sin x  3π  − x + =2  2  1 + cos x b) 2sin 2 x + 3 2 sin x − sin 2 x + 1 +1 = 0 sin 2 x + 1 b) tan 4 ( 2 − sin x +1 = 2 2 x ) sin 3 x cos 4 x Bài 6: [ĐVH]. Giải các phương trình sau x x π a) sin  −  tan 2 x − cos 2 = 0 2 2 4 Bài 7: [ĐVH]. Giải các phương trình sau 3 2sin x a) (2 cos x − 1) cot x = + . sin x cos x − 1 Bài 8: [ĐVH]. Giải các phương trình sau 1 + sin 2 x + cos 2 x a) = 2 sin x sin 2 x 1 + cot 2 x Bài 9: [ĐVH]. Giải các phương trình sau cos x cos 5 x a) − = 8sin x sin 3 x cos 3 x cos x 2 b) b) cos 2 x ( cos x − 1) sin x + cos x = 2 (1 + sin x ) sin 2 x cos x + = tan x − cot x cos x sin x b) sin 2 x + sin x − ( 1 1 − = 2 cot 2 x 2 sin x sin 2 x ) b) 4 sin 4 x + cos 4 x + cos 4 x + sin 2 x = 0 Thầy Đặng Việt Hùng Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP – P1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN • Dạng phương trình: a sin x + b cos x = c • Cách giải: Chia hai vế phương trình cho +) Đặt +) Đặt a a2 + b2 a a +b 2 2 = sin α; = cosβ; b a2 + b2 b a +b 2 2 a a 2 + b 2  → = cos α ⇒ cos( x − α) = = sin β ⇒ sin( x + β) = a2 + b2 c a 2 + b2 c a + b2 2 sin x + b a2 + b2 cos x = c a2 + b2  →x  →x • ĐK có nghiệm của phương trình a 2 + b 2 ≥ c 2 • Chú ý: Khi phương trình có a = c hoặc b = c thì ta sử dụng phép nhóm nhân tử chung. Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) cos x + 3 sin x = 2 3 cos 3 x + sin 3 x = 2 c) b) sin x + cos x = 6 2 d) sin x + cos x = 2 sin 5 x Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) ( 3 − 1) sin x − ( 3 + 1) cos x + 3 − 1 = 0 b) π  3 sin 2 x + sin  + 2 x  = 1 2  Bài 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) 3sin 3 x − 3 cos 9 x = 1 + 4 sin 3 3 x π 1  b) sin 4 x + cos 4  x +  = 4 4  Bài 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) cos 7 x − sin 5 x = 3 ( cos 5 x − sin 7 x ) ( b) tan x − 3cot x = 4 sin x + 3 cos x ) Bài 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) 3 (1 − cos 2 x ) = cos x 2sin x b) sin 2 x + sin 2 x = 1 2 Bài 6: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) cos x + 3 sin x = 1 cos x  2π 6 π  b) cos 7 x − 3 sin 7 x + 2 = 0, x ∈  ;   5 7  Bài 7: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) 2 sin15 x + 3 cos 5 x + sin 5 x = 0 b) sin x + 3 cos x + 6 =4 sin x + 3 cos x + 1 Bài 8: [ĐVH]. Giải các phương trình sau Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG a) 3 sin x + cos x = 3 3 sin x + cos x + 1 b) Facebook: LyHung95 cos x − 2sin x.cos x = 3 2 cos 2 x + sin x − 1 Bài 9: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) 1 + cos x + cos 2 x + cos 3 x 2 = 3 − 3 sin x 2 cos 2 x + cos x − 1 3 ( ) b) cos 2 x − 3 sin 2 x − 3 sin x − cos x + 4 = 0 Bài 10: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) sin 8 x − cos 6 x = 3 ( sin 6 x + cos8 x ) b) 2 sin 2 x + 3 sin 2 x = 3 Bài 11: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) 8 cos x = 3 1 + sin x cos x b) π  3 cos 2 x + sin 2 x + 2sin  2 x −  = 2 2 6  Bài 12: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) c) 3 (sin 2 x + sin x) + cos 2 x − cos x = 2 b) 8 sin 2 2 x. cos 2 x = 3 sin 2 x + cos 2 x 2 3 cos 2 x + 2 sin 3 x cos x − sin 4 x − 3 3 sin x + cos x =1 Thầy Đặng Việt Hùng Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP – P2 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SINX VÀ COSX • Dạng phương trình: a sin 2 x + b sin x cos x + c.cos 2 x + d = 0 • Cách giải: +) Xét cosx = 0 có là nghiệm của phương trình không? +) Xét cos x ≠ 0, chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta được a tan 2 x + b tan x + c + d (1 + tan 2 x) = 0 ⇒ tan x ⇒ x Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) 2sin2x + sinx.cosx – 3cos2x = 0 b) 2sin2x – 3sinx.cosx + cos2x = 0 Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) sin2x – 10sinx.cosx + 21cos2x = 0 b) 2sin2x – 5 sinx.cosx + 3cos2x = 0 Bài 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau ( ) a) sin 2 x + 1 − 3 sin x cos x − 3 cos 2 x = 0 b) 3sin2x + 4sin2x + 4 cos2x = 0 Bài 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau ( ) a) 3sin 2 x + 8sin x cos x + 8 3 − 9 cos 2 x = 0 b) 3sin2x – 4 sinx.cosx + 5cos2x = 2 Bài 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) 4 sin 2 x + 3 3 sin x cos x − 2 cos 2 x = 4 b) cos 2 x − 3 sin 2 x = 1 + sin 2 x Bài 6: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) 4 sin x + 6 cos x = 1 cos x π   3π  − x  + 4sin 2 ( x + π) + 2 sin  + x  cos(π + x) = 1 2   2  b) 4 sin x cos  Bài 7: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) sin x − 4sin 3 x + cos x = 0 b) 2sin 3 x = cos x Bài 8: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) 2cos3x = sin3x b) 4cos3x + 2sin3x – 3sinx = 0 Bài 9: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) sinxsin2x + sin3x = 6cos3x b) cos3x – sin3x = cosx + sinx Bài 10: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) 6sin x − 2 cos3 x = 5sin 2 x cos x b) cos3 x + sin x − 3sin 2 x cos x = 0 Bài 11: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) cos3 x − 4 sin 3 x − 3cos x.sin 2 x + sin x = 0 b) 4 sin 3 x + 3cos3 x − 3sin x − sin 2 x cos x = 0 Bài 12: [ĐVH]. Giải các phương trình sau Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG a) tanxsin2x – 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx) b) 2 sin x + 2 3 cos x = Facebook: LyHung95 3 1 + cos x sin x Bài 13: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) 4sin3 x cos3x + 4cos3 x sin 3x + 3 3cos 4 x = 3 b) sin 3 x cos 3 x + cos3 x sin 3 x = sin 3 4 x Bài 14: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) sin 3 x.cos x − cos3 x.sin x = 1 4 b) 2cos32x – 4cos3xcos3x + cos6x – 4sin3xsin3x = 0 Thầy Đặng Việt Hùng Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP – P3 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG • Dạng phương trình: a (sin x ± cos x) + b sin x.cos x + c = 0 • Dạng phương trình: a (tan 2 x + cot 2 x) + b(tan x ± cot x) + c = 0 • Dạng phương trình: a (sin 4 x + cos 4 x) + b sin 2 x + c = 0 • Dạng phương trình: a (sin 4 x + cos 4 x) + b cos 2 x + c = 0 • Dạng phương trình: a (sin 6 x + cos 6 x) + b sin 2 x + c = 0 • Dạng phương trình: a (sin 6 x + cos 6 x) + b cos 2 x + c = 0 • Dạng phương trình: a sin 4 x + b cos 4 x + c.cos 2 x + d = 0 Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) 2sin2x + sinx.cosx – 3cos2x = 0 b) 2sin2x – 3sinx.cosx + cos2x = 0 Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) 2(sinx + cosx) + sin2x + 1 = 0 b) sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) Bài 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau π  a) sin 2 x + 2 sin  x −  = 1 4  b) tan x − 2 2 sin x = 1 Bài 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) 1 + tan x = 2sin x + 1 cos x b) sin x + cos x = 1 1 − tan x cot x Bài 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) sin x + 1 1 10 + cos x + = sin x cos x 3 b) 2sinx + cotx = 2sin2x + 1 Bài 6: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) sin3x + cos3x = 2sinxcosx + sin x + cosx b) 1 – sin3x + cos3x = sin2x Bài 7: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) 2 ( sin x + cos x ) = tan x + cot x b) (1 + sinx)(1 + cosx) = 2 Bài 8: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) 3(cotx – cosx) – 5(tanx – sinx) = 2 b) sinxcosx + |sinx + cosx| = 1 Bài 9: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) 2 sin 2 x ( sin x + cos x ) = 2 b) |sinx – cosx| + 4sin2x = 1 Bài 10: [ĐVH]. Giải các phương trình sau a) 2 sin 2 x − 3 3 sin x + cos x + 8 = 0 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!