Tài liệu Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm liên tục chịu tải trọng phân bố đều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG ----------------------------- BÙI VĂN HƯNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỐI VỚI BÀI TOÁN DẦM LIÊN TỤC CHỊU TẢI TRỌNG PHÂN BỐ ĐỀU Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Công trình Dân dụng & Công nghiệp Mã số: 60.58.02.08 LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS. TRẦN HỮU NGHỊ Hải Phòng, 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả luận văn Bùi Văn Hưng ii LỜI CẢM ƠN Tác giả luận văn xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với GS.TS. Trần Hữu Nghịđã hướng dẫn và tận tình giúp đỡ và cho nhiều chỉ dẫn khoa học có giá trị cũng như thường xuyên động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn các nhà khoa học, các chuyên gia trong và ngoài trường Đại học Dân lập Hải phòng đã tạo điều kiện giúp đỡ, quan tâm góp ý cho bản luận văn được hoàn thiện hơn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các cán bộ, giáo viên của Khoa xây dựng, Phòng đào tạo Đại học và Sau đại học- trường Đại học Dân lập Hải phòng, và các đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tác giả luận văn Bùi Văn Hưng iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................. i LỜI CẢM ƠN ................................................................................................. iii MỤC LỤC ....................................................................................................... iv MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 CHƯƠNG 1.BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU VÀCÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI .................................................................................................................. 3 1.1. Phép tính biến phân - Các định nghĩa cơ bản và phương trình Euler ........ 3 1.1.1. Các định nghĩa......................................................................................... 3 1.1.2. Cực trị của phiếm hàm, phương trình Euler. [ 2,3,12,13] ....................... 4 1.1.3. Bài toán cực trị có điều kiện - phương pháp thừa số Lagrange .............. 7 1.1.4. Phương pháp trực tiếp trong bài toán biến phân - phương pháp sai phân hữu hạn [ 13] ..................................................................................................... 7 1.2. Bài toán cơ học kết cấu ............................................................................ 10 1.3. Các phương pháp giải hiện nay ................................................................ 10 1.3.1. Phương pháp lực ................................................................................... 10 1.3.2. Phương pháp chuyển vị ......................................................................... 11 1.3.3. Phương pháp hỗn hợp và phương pháp liên hợp .................................. 11 1.3.4. Phương pháp sai phân hữu hạn ............................................................. 11 1.3.5. Phương pháp hỗn hợp sai phân – biến phân ......................................... 12 CHƯƠNG 2.PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠNĐỐI VỚI DẦM CHỊU UỐN ................................................................................................................ 13 2.1. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ............................................... 13 2.1.1. Hàm nội suy của phần tử....................................................................... 15 2.1.2. Ma trận độ cứng của phần tử................................................................. 17 2.1.3. Ma trận độ cứng tổng thể ...................................................................... 18 iv 2.1.4. Xét điều kiện ngoại lực ......................................................................... 20 2.1.5. Xác định nội lực .................................................................................... 20 CHƯƠNG 3.PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỐI VỚI DẦM CHỊU UỐN..................................................................................................... 21 3.1. Lý thuyết dầm Euler – Bernoulli.............................................................. 21 3.1.1. Dầm chịu uốn thuần túy phẳng ............................................................. 21 3.1.2. Dầm chịu uốn ngang phẳng .................................................................. 24 3.2.Giải bài toán dầm liên tục bằng phương pháp phần tử hữu hạn ............... 31 3.2.1.Tính toán dầm liên tục .................................................................. 31 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ...................................................................... 58 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 58 KIẾN NGHỊ .................................................................................................... 58 Danh mục tài liệu tham khảo .......................................................................... 59 v MỞ ĐẦU Bài toán cơ học kết cấu hiện nay nói chung được xây dựng theo bốn đường lối đó là: Xây dựng phương trình vi phân cân bằng phân tố; Phương pháp năng lượng; Phương pháp nguyên lý công ảo và Phương pháp sử dụng trực tiếp Phương trình Lagrange. Các phương pháp giải gồm có: Phương pháp được coi là chính xác như, phương pháp lực, phương pháp chuyển vị, phương pháp hỗn hợp, phương pháp liên hợp và các phương pháp gần đúng như: Phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp hỗn hợp sai phân - biến phân. Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp được xây dựng dựa trên ý tưởng rời rạc hóa công trình thành những phần tử nhỏ. Các phần tử nhỏ được nối lại với nhau thông qua các phương trình cân bằng và các phương trình liên tục. Để giải quyết bài toán cơ học kết cấu, có thể tiếp cận phương pháp này theoba mô hình gồm:Mô hình chuyển vị, xem chuyển vị là đại lượng cần tìm và hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử; Mô hình cân bằng,hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của ứng suất hay nội lực trong phần tử và mô hình hỗn hợp, coi các đại lượng chuyển vị và ứng suất là hai yếu tố độc lập riêng biệt. Các hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử. Đối tượng, phương pháp và phạm vi nghiên cứu của đề tài Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương phần tử hữu hạntheo mô hình chuyển vị để xây dựng và giải bài toán dầm liên tục chịu tác dụng của tải trọng tĩnhphân bố đều. Mục đích nghiên cứu của đề tài "Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm liên tục chịu tải trọng phân bố đều" 1 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 1. Tìm hiểu và giới thiệu các phương pháp giải bài toán cơ học kết cấu hiện nay. 2. Trình bày phương pháp phần tử hữu hạn đối với dầm chịu uốn 3. Trình bày lý thuyết dầm Euler - Bernoulli, và áp dụng Phương pháp phần tử hữu hạn để giải bài toán dầmliên tục, chịu tác dụng của tải trọng tĩnhphân bố đều. 4. Lập chương trình máy tính điện tử cho các bài toán nêu trên. 2 CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI Trong chương này, trước tiên trình bày các vấn đề về phép tính biến phân, ở đây chỉ trình bày các khái niệm cơ bản; phương trình EuLer và bài toán cực trị có ràng buộc (phương pháp thừa số lagrange). Đây là những vấn đề cần thiết đối với các bài toán cơ học. Sau đó giới thiệu bài toán cơ học kết cấu (bài toán tĩnh) và các phương pháp giải thường dùng hiện nay. 1.1. Phép tính biến phân - Các định nghĩa cơ bản và phương trình Euler 1.1.1.Các định nghĩa  Biến phân y của hàm y(x) của biến độc lập x là một hàm của x được xác định tại mỗi giá trị của x và bằng hiệu của một hàm mới Y(x) và hàm đã có y(x):  y  Y ( x)  y ( x) . y gây ra sự thay đổi quan hệ hàm giữa y và x và không được nhầm lẫn với số gia y khi có số gia x.  Nếu cho hàm F  y1 ( x), y2 ( x),.. yn ( x); x  thì số gia của hàm đó khi có các biến phân  yi của các hàm yi được viết như sau: F  F  y1   y1 , y2   y2 ,.., yn   yn ; x  F  y1, y2 ,.. yn ; x  Nếu hàm y(x) và  y là khả vi thì  y ' của định như sau:  y '    y '( x) do  y (1.1) gây ra được xác dy d   y   Y ' ( x)  y ' ( x) dx dx  Nếu cho hàm F  y1 ( x), y2 ( x),.. yn ( x); y,1 ( x), y,2 ( x),.. y, n ( x); x (1.2)  thì gia số của nó tương ứng với các biến phân  yi là: F  F  y1   y1 , y2   y2 ,.., yn   yn ; y ,1   y ,1 , y , 2   y , 2 ,.., y , n   y , n , x   F  y1 , y2 ,.. yn ; y ,1 , y , 2 ,.. y , n , x  (1.3) 3  Nếu hàm F có đạo hàm riêng liên tục bậc 2 thì số gia của nó được xác định theo (1.3) có thể viết dưới dạng chuỗi Tay-lo như sau: n F   i 1 F F ' 1 n n  2 F 2 F 2 F '  yi   yi    yi yk   y  y   yi' yk  R   2  i k ' ' yi y 'i 2 i 1 k 1 yi yk yi yk yi yk (1.4) R   2  là đại lượng vô cùng bé bậc cao với    y12   y '12   y22   y '22  ...   yn2   y '2n (1.5) Tổng đầu tiên trong (1.4) tương ứng với bậc một của  yi và  y 'i được gọi là biến phân bậc một của hàm F có ký hiệu F, tổng thứ hai tương ứng với tích của chúng và bằng một nửa biến phân bậc hai  2 F của F. 1.1.2. Cực trị của phiếm hàm, phương trình Euler. [ 2,3,12,13] Như đã nói ở trên,đối tượng của phép tính biến phân là tìm những hàm chưa biết y(x) để đảm bảo cực trị cho tích phân xác định sau: x2 I  F  y( x), y ( x), x  .dx (1.6a) ' x1 x2 hoặc là I   F  y ( x), y ( x),.., y ( x), y ( x), y 1 2 n ' 1 ' 2 ( x),.., yn ' ( x), x  .dx (1.6b) x1 [Phép ánh xạ đặt mỗi hàm (hệ hàm) nào đó xác định trên một tập nào đó tương ứng với một đại lượng vô hướng (scalar) được gọi là phiếm hàm]. Phiếm hàm I có cực tiểu (địa phương ) đối với hàm y(x) hoặc hệ hàm yi(x) nếu như tồn tại số dương  để số gia Z. x2 x2 x1 x1 Z    Fdx   Fdx  0 (1.7) Đối với tất cả các biến phân  y hoặc tất cả hệ biến phân  yi thỏa mãn điều kiện hoặc 0   yi2   y 'i2   0   y12   y '12   y22   y '22  ...   yn2   y '2n   khi 4 x1  x  x2 . Cực đại (địa phương) của Z khi Z < 0. Có hai phương pháp để tìm cực trị của(1.6): Giải trực tiếp trên phiếm hàm hoặc đưa phiếm hàm về phương trình vi phân. Khi đưa phiếm hàm (1.6a) về phương trình vi phân thì từ (1.4) ta có điều kiện cần để phiếm hàm có cực trị là: x2  I    F ( y, y ', x)dx  0 (a) x1 Với  I là biến phân bậc nhất xác định theo (1.4): x2  F F   I     y   y '  dx  0 x y '  y  (b) 1 Tích phân từng phần biểu thức (b) ta sẽ có: x 2 x2 F F d  F  I  y      ydx  0 x1 y y ' dx  y '   x1 (c) Khi các điểm biên là cố định thì số hạng thứ nhất của (c) bằng không x2 F y 0 y x1 Và do  y tùy ý cho nên từ (c) suy ra điều kiện cần để phiếm hàm (1.6a) đạt cực trị là: F d  F    0 y dx  y '  (1.8) Phương trình (1.8) được gọi là phương trình Euler của phiếm hàm (1.6a). Trong một số tài liệu, phương trình Euler thường được suy ra từ bổ đề sau: Bổ đề: Cho phiếm hàm tuyến tính trong không gian D1 (Gồm các hàm xác định được trên đoạn [x1,x2] liên tục cùng với đạo hàm cấp 1 của nó). x2 Nếu  a  x   y( x)  b( x) y '( x)  dx  0 x1 5 Với mọi hàm  y  D1 sao cho  y( x1 )   y( x2 )  0 thì b(x) vi phân được và a(x) b’(x)=0 Như vậy, bài toán tìm cực trị của phiếm hàm(1.6a) dẫn về giải phương trình (1.8) với các điều kiện biên đã cho. Khi phiếm hàm (1.6b) có hệ hàm yi(i=1..n) cần tìm thì ứng với mỗi yi sẽ có một phương trình Euler dạng (1.8). Trong trường hợp giá trị của hàm y tại x1 hoặc x2 hoặc tại cả hai cận x1 và x2không xác định (trường hợp các biên di động) thì ứng với mỗi trường hợp như vậy, ngoài phương trình Euler (1.8) còn phải xét thêm các điều kiện biên. Trong trường hợp hàm F dưới dấu tích phân chứa các đạo hàm cấp cao x2 I  F  y , y ,.., y , y , y 1 2 n ' 1 ' 2 ,.., yn ' , y1'' , y2 '' ,.., yn '' ,.., x  .dx (1.9) x1 thì sử dụng biến phân bậc nhất của F:  F  F F  yi   yi '  yi '' ...  yi ' yi ''  yi   F  i 1  n (1.10) vào điều kiện cần (a) và bằng cách tích phân từng phần 2 lần, 3 lần … ta sẽ nhận được hệ phương trình EuLer: F d  F  d 2  F  d 3  F          ....  0 yi dx  yi '  dx 2  yi ''  dx3  yi '''  (1.11) Hệ phương trình (1.11) được giải với các điều kiện biên của yi và các đạo hàm đến bậc (ri-1) của nó (rilà bậc đạo hàm của yi). Các công thức trên có thể mở rộng cho trường hợp hàm nhiều biến độc lập xi. Chú ý rằng các phương trình Euler(1.8) và (1.11) là điều kiện cần để các phiếm hàm (1.6)và (1.9) tương ứng với chúng đạt cực trị.Đối với các bài toán cơ các phương trình Euler chính là các phương trình cân bằng(sẽ thấy trong phần tiếp theo) nên chúng cũng là điều kiện đủ. 6 1.1.3. Bài toán cực trị có điều kiện - phương pháp thừa số Lagrange Bài toán đặt ra là: Cần tìm hệ hàm y1 , y2 ,.., yn làm cực trị cho phiếm hàm I   F  y1 , y2 ,..., yn , y '1, y '2 ,.., y 'n , x  dx (a) x1 x2 Với điều kiện ràng buộc  j  y1 , y2 ,..., yn , x   0 (Với j = 1, 2, …, m; m < n) (b) n: Số hàm cần tìm ; m: số ràng buộc Ta có định lý sau: Phiếm hàm (a) đạt cực trị trên hệ hàm cần tìm y1 , y2 ,.., yn với điều kiện ràng buộc (b) thì hệ hàm đó cần thỏa mãn hệ phương trình Euler sau: d     0   dx   yi '   yi i =1,2,…n (c) m Với   F   i ( x). j được gọi là phiếm hàm Lagrange mở rộng. j 1 Các hàm i ( x) được gọi là thừa số Lagrange. Nếu bài toán có nghiệm thì (m+n) hàm yi  x  , i ( x) được xác định từ phương trình (c) và (b) với các điều kiện biên đã cho. (c) là điều kiện cần chứ chưa đủ.  j chứa cả yi ' vẫn dùng được. 1.1.4. Phương pháp trực tiếp trong bài toán biến phân - phương pháp sai phân hữu hạn [ 13] Tư tưởng của phương pháp sai phân hữu hạn là xét giá trị của phiếm hàm I  y  x   Chẳng hạn I   F  y, y ' , x  dx ; y ( x0 )  a , x1 x0 7 y( x1 )  b Không phải trên các đường cong có thể nhận bất kỳ trong một bài toán biến phân cho trước, mà chỉ xét các giá trị của phiếm hàm trên các đường gãy khúc thiết lập từ n đỉnh cho trước có hoành độ là: x0  x , x0  2x , ..., x0   n 1 x . Ở đây x  x1  x0 n Trên các đường gấp khúc này, phiếm hàm I  y  x   trở thành hàm   y1 , y2 ,..., yn1  của các tung độ y1 , y2 ,..., yn1 của các đỉnh đường gấp khúc, bởi vì đường gấp khúc hoàn toàn được xác định bởi các tung độ này. Ta sẽ chọn các tung độ y1 , y2 ,..., yn1 để hàm   y1 , y2 ,..., yn1  đạt cực trị, tức là xác định y1 , y2 ,..., yn1 từ hệ phương trình    0,  0 , … ,   0 . Sau y1 y2 yn 1 đó chuyển qua giới hạn khi n  . Trong phạm vi của một số điều kiện nào đó của hàm F, ta sẽ nhận được nghiệm của bài toán biến phân. Nhưng để thuận tiện hơn nữa, giá trị của phiếm hàm Iđược tính gần đúng trên các đường gấp khúc nêu trên, chẳng hạn, trong bài toánđơn giản nhất, thay tích phân: n 1 x0  ( k 1) x x1  F ( x, y, y ')dx    k 0 x0 F ( x, y , x0  k x n bằng tổng tích phân yk 1  yk ).dx x  yi   F  x , y , x  .x . i 1  i i i  Với tư cách là thí dụ, ta đưa ra phương trình Euler đối với phiếm hàm I   F  y, y ' , x  dx x1 x0 Trong trường hợp này trên đường gấp khúc đang xét: 8 n 1 y y   I  y  x      y1 , y2 ,..., yn 1    F  xi , yi , i 1 i .x x   i 0 Vì chỉ có hai số hạng thứ i và thứ (i-1) của tổng này phụ thuộc vào yi: y y  F  xi , yi , i 1 i x  nên phương trình yi  yi 1     x và F  xi 1 , yi 1 ,  x x      0 (i = 1,2,.., n - 1) có dạng:  yi y y  y y   1    Fy  xi , yi , i 1 i  x  Fy '  xi , yi , i 1 i  .    x x  x   x    y y  1   Fy '  xi 1 , yi 1 , i i 1  x  0 ( i =1,2,..,(n-1) ) x  x  Hay là: y  y    Fy '  xi , yi , i   Fy '  xi 1 , yi 1 , i 1  y  x  x    Fy  xi , yi , i    0 x  x  Hay: y  F  Fy  xi , yi , i   y '  0 x  x  Chuyển qua giới hạn khi n  ta có phương trình Euler: F d  F    0 y dx  y '  Đó là phương trình mà ẩn hàm y(x) phải tìm cần thỏa mãn.Tương tự, có thể nhận được điều kiện cần cơ bản của cực trị trong các bài toán biến phân khác. Nếu không thực hiện quá trình quá giới hạn thì từ hệ phương trình  0  yi có thể xác định được các tung độ cần tìm y1 , y2 ,..., yn1 , và do đó nhận được đường gấp khúc là nghiệm gần đúng của bài toán biến phân. Chính Euler đã dùng sai phân hữu hạn nêu trên khi đưa ra phương trình mang tên ông( phương trình Euler của phép tính biến phân ). 9 1.2. Bài toán cơ học kết cấu Bài toán cơ học kết cấu nhằm xác định nội lực và chuyển vị của hệ thanh, tấm, vỏ dưới tác dụng của các loại tải trọng, nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức,…và được chia làm hai loại: - Bài toán tĩnh định: là bài toán có cấu tạo hình học bất biến hình và đủ liên kết tựa với đất, các liên kết sắp xếp hợp lý, chịu các loại tải trọng. Để xác định nội lực và chuyển vị chỉ cần dùng các phương trình cân bằng tĩnh học là đủ; - Bài toán siêu tĩnh: là bài toán có cấu tạo hình học bất biến hình và thừa liên kết (nội hoặc ngoại) chịu các loại tải trọng, nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức,…Để xác định nội lực và chuyển vị ngoài các phương trình cân bằng ta còn phải bổ sung các phương trình biến dạng. Nếu tính đến tận ứng suất, có thể nói rằng mọi bài toán cơ học vật rắn biến dạng nói chung và bài toán cơ học kết cấu nói riêng đều là bài toán siêu tĩnh. 1.3. Các phương pháp giải hiện nay Đã có nhiều phương pháp để giải bài toán siêu tĩnh. Hai phương pháp truyền thống cơ bản là phương pháp lực và phương pháp chuyển vị. Khi sử dụng chúng thường phải giải hệ phương trình đại số tuyến tính. Số lượng các phương trình tùy thuộc vào phương pháp phân tích. Từ phương pháp chuyển vị ta có hai cách tính gần đúng hay được sử dụng là H. Cross và G. Kani. Từ khi xuất hiện máy tính điện tử, người ta bổ sung thêm các phương pháp số khác như: Phương pháp phần tử hữu hạn; Phương pháp sai phân hữu hạn… 1.3.1. Phương pháp lực Trong hệ siêu tĩnh ta thay các liên kết thừa bằng các lực chưa biết, còn giá trị các chuyển vị trong hệ cơ bản tương ứng với vị trí và phương của các lực ẩn số do bản thân các lực đó và do các nguyên nhân bên ngoài gây ra bằng không. Từ điều kiện này ta lập được hệ các phương trình đại số tuyến tính, giải hệ này ta tìm được các ẩn số và từ đó suy ra các đại lượng cần tìm. 10 1.3.2. Phương pháp chuyển vị Khác với phương pháp lực, phương pháp chuyển vị lấy chuyển vị tại các nút làm ẩn. Những chuyển vị này phải có giá trị sao cho phản lực tại các liên kết đặt thêm vào hệ do bản thân chúng và do các nguyên nhân bên ngoài gây ra bằng không. Lập hệ phương trình đại số tuyến tính thỏa mãn điều kiện này và giải hệ đó ta tìm được các ẩn, từ đó xác định các đại lượng còn lại. Hệ cơ bản trong phương pháp chuyển vị là duy nhất và giới hạn giải các bài toán phụ thuộc vào số các phần tử mẫu có sẵn. 1.3.3. Phương pháp hỗn hợp và phương pháp liên hợp Phương pháp hỗn hợp, phương pháp liên hợp là sự kết hợp song song giữa phương pháp lực và phương pháp chuyển vị. Trong phương pháp này ta có thể chọn hệ cơ bản theo phương pháp lực nhưng không loại bỏ hết các liên kết thừa mà chỉ loại bỏ các liên kết thuộc bộ phận thích hợp với phương pháp lực; hoặc chọn hệ cơ bản theo phương pháp chuyển vị nhưng không đặt đầy đủ các liên kết phụ nhằm ngăn cản toàn bộ các chuyển vị nút mà chỉ đặt các liên kết phụ tại các nút thuộc bộ phận thích hợp với phương pháp chuyển vị. Trường hợp đầu hệ cơ bản là siêu tĩnh, còn trường hợp sau hệ cơ bản là siêu động. Trong cả hai cách nói trên, bài toán ban đầu được đưa về hai bài toán độc lập: Một theo phương pháp lực và một theo phương pháp chuyển vị. 1.3.4. Phương pháp sai phân hữu hạn Phương pháp sai phân hữu hạn cũng là thay thế hệ liên tục bằng mô hình rời rạc, song hàm cần tìm (hàm mang đến cho phiếm hàm giá trị dừng),nhận những giá trị gần đúng tại một số hữu hạn điểm của miền tích phân, còn giá trị các điểm trung gian sẽ được xác định nhờ một phương pháp tích phân nào đó. Phương pháp này cho lời giải số của phương trình vi phân về chuyển vị và nội lực tại các điểm nút. Thông thường ta phải thay đạo hàm bằng các sai phân của hàm tại các nút.Phương trình vi phân của chuyển vị hoặc nội lực được 11 viết dưới dạng sai phân tại mỗi nút, biểu thị quan hệ của chuyển vị tại một nút và các nút lân cận dưới tác dụng của ngoại lực. 1.3.5. Phương pháp hỗn hợp sai phân – biến phân Kết hợp phương pháp sai phân với phương pháp biến phân ta có một phương pháp linh động hơn: Hoặc là sai phân các đạo hàm trong phương trình biến phân hoặc là sai phân theo một phương và biến phân theo một phương khác (đối với bài toán hai chiều). 12 CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỐI VỚI DẦM CHỊU UỐN 2.1. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) chia công trình thành những phần nhỏ được gọi là phần tử. Việc tính toán được thực hiện đối với mỗi phần tử, sau đó kết nối chúng lại với nhau có được toàn bộ công trình. Khi dùng phương pháp sai phân hữu hạn, trạng thái của công trình (ví dụ chuyển vị của dầm, tấm v.v…) được tính tại mỗi điểm của lưới sai phân, trạng thái công trình tại các điểm nằm giữa các nút của lưới sai phân được tính bằng cách nội suy tuyến tính. Từ cách nhìn này thấy rõ ưu điểm của phương pháp PTHH so với phương pháp sai phân hữu hạn là trạng thái các điểm trong mỗi phần tử được xác định theo các hàm nội suy (còn gọi là hàm dạng) chọn trước. Do vậy, để có kết quả có độ chính xác tương đương nhau, phương pháp PTHH thường dùng ít ẩn hơn so với phương pháp sai phân hữu hạn. Theo E.Wilson, thuật ngữ PTHH được giáo sư Ray Clough đưa ra vào năm 1960 và ông xem phương pháp PTHH là khả năng nữa (alternative) của phương pháp sai phân hữu hạn. Các hàm nội suy được viết theo tọa độ tự nhiên (xem phần sau) được dùng vừa để mô tả trạng thái (ví dụ chuyển vị của dầm, tấm v.v…) và có thể vừa để mô tả dạng hình học (ví dụ dầm cong, vỏ…) của công trình cho phép dễ dàng lập trình và tạo điều kiện tự động hóa quá trình tính toán (phần tử hữu hạn dùng hàm nội suy như vậy được gọi là phần tử đẳng thông số, (Isoparametric finite element). Các hàm nội suy viết theo tọa độ tự nhiên do B.Irons và O.Zienkiewicz đưa ra năm 1968. 13 Do kích thước phần tử nhỏ, trạng thái (ví dụ chuyển vị của dầm, tấm…) của các điểm trong mỗi phần tử khác nhau ít cho nên các hàm nội suy được dùng là các đa thức bậc thấp, ví dụ đối với độ võng của dầm hàm nội suy thường dùng là các đa thức bậc ba theo tọa độ x, đối với độ võng của tấm là các đa thức bậc ba theo tọa độ x và bậc ba theo tọa độ y v.v.. Vì dùng các đa thức bậc thấp cho nên các lực tác dụng trong mỗi phần tử cũng như lực quán tính (bài toán động lực học) đều phải qui về các nút. Vì phương pháp PTHH xét cân bằng tại nút nên lực tác dụng trong phần tử cũng như lực quán tính đều phải quy về các lực tập trung tác dụng tại nút. Hàm nội suy được chọn sao cho kết quả tính là ổn định: kết quả là duy nhất, thay đổi bé của điều kiện biên hoặc điều kiện ban đầu không làm thay đổi kết quả tính. Dựa vào hàm nội suy có thể tính được trường ứng suất và trường chuyển vị của mỗi phần tử và do đó ta thiết lập được ma trận độ cứng phần tử. Dựa trên ma trận độ cứng phần tử xây dựng được ma trận độ cứng tổng thể của công trình. Phương trình cơ bản để giải bài toán cơ học kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn, có dạng như sau: [𝐾]{} = {𝐹} (2.1) Trong đó: [𝐾] là ma trận độ cứng tổng thể của toàn kết cấu, là ma trận vuông có kích thước là số ẩn của toàn bộ kết cấu, nghĩa là số ẩn của phương pháp, {} là véc tơ chuyển vị nút của toàn kết cấu (đối với bài toán không xét biến dạng trượt ngang), là véc tơ chuyển vị nút và lực cắt (đối với bài toán có xét đến biến dạng trượt ngang), {𝐹} là véc tơ lực nút. Giải hệ phương trình (2.1) ta có thể dùng các chương trình có sẵn trong Matlab để giải. Nếu như gọi r là nghiệm của bài toán thì 𝑟 = [𝐾]\{𝐹}. 14 Trong đề tài này tác giả dùng chương trình Matlab nói trên để giải các bài toán. 2.1.1. Hàm nội suy của phần tử Hàm nội suy chuyển vị và góc xoay tại hai nút đầu phần tử Trong khi tính dầm ta có thể sử dụng phần tử chịu uốn hai nút, như hình 2.1. W,1 1 W2,2 0 -1 1 Hình 2.1. Phần tử dầm Tại mỗi nút có các thông số là chuyển vị W1, 1, W2, 2, do đó chuyển vị trong mỗi phần tử được viết theo công thức sau: 𝑊 = [𝑓𝑤1 𝑓𝑤2 𝑓𝑥1 𝑓𝑥2 ]X Trong đó: (3.2) X = [𝑊1 𝑊2 1 2 ]′ 1 = 𝑑𝑊 𝑑𝑊 ; 2 = ⌋ ⌋ 𝑑𝑥 𝑥=−1 𝑑𝑥 𝑥=1 Các hàm 𝑓𝑤1 , 𝑓𝑤2 , 𝑓𝑥1 , 𝑓𝑥2 , là các hàm nội suy cần được xác định. Ta viết hàm nội suy dạng đa thức bậc 3, 𝑊 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎1 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 , dưới dạng ma trận hàm độ võng W được viết như sau: 𝑊 = [1 𝑥 𝑥 2 𝑥 3 ]X𝑎 Trong đó: (2.3a) 𝑋𝑎 = [𝑎0 𝑎1 𝑎2 𝑎3 ]′ Bây giờ ta tìm mối liên hệ giữa X và X𝑎 Thay x=-1 vào (2.3a) ta có 𝑊1 = [1 − 1 1 − 1 ]X𝑎 (a) 1 ]X𝑎 (b) Thay x=1 vào (3.3a) ta có 𝑊2 = [1 1 1 Lấy đạo hàm (3.3) theo x ta có 15