PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT
TÀI LIỆU THPT HAY
TÍCH PHÂN
I.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Phương pháp đổi biến số
b
Bài toán: Tính I
f ( x)dx ,
a
*Phương pháp đổi biến dạng I
1) Hàm x u (t ) có đạo hàm liên tục trên đoạn ;
Định lí . Nếu
2) Hàm hợp f (u (t )) được xác định trên
,
; ,
3) u ( ) a, u ( ) b ,
b
thì I
f ( x)dx
f (u (t ))u ' (t )dt .
a
Ví dụ 1. Hãy tính các tích phân sau:
1
a) I
2
x 2 x3 5dx
b) J
sin
4
x 1 cos xdx
0
0
Giải: a) Ta cú t x 5 dt 3x dx
3
2
Khi x=0 thỡ t=5
Khi x=1 thỡ t=6
1
6
I x 2 x3 5dx
0
5
t
dt
3
1
1
2
6
6
1
1 (t ) 6 2
t t
t dt 1
5
35
3 1 5 9
2
1
2
4
10
6
5.
3
9
2
6
1 5
4
b) Ta có J (sin x 1)d (sin x) sin x sin x 2
5
0 5
0
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Page 1
TÀI LIỆU THPT HAY
Ví dụ 2. Hãy tính các tích sau:
4
a)
1
4 x dx
2
b)
0
dx
2
1
x
0
2 ; 2 .
Khi x = 0 thì t = 0. Khi x 2 thì t .
2
Từ x 2sin t dx 2cos tdt
Giải: a) Đặt x 2sin t , t
4
2
4 x dx
2
0
2
4 4sin t .2cos tdt 4 cos 2 tdt .
2
0
0
; .
2
2
b) Đặt x tan t , t
Khi x 0 thì t 0 , khi x 1 thì t
Ta có: x tan t dx
1
dx
2
1
x
0
4
4
.
dt
.
cos 2 t
1
dt
.
2
2
1
tan
t
cos
t
0
4
0
dt t 4 .
4
0
Chú ý: Trong thực tế chúng ta có thể gặp dạng tích phân trên dạng tổng quát hơn như:
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng
a 2 x2 , a 2 x2 và
x 2 a 2 (trong trong đó a là hằng số dương) mà không có cách biến đổi nào khác thì
nên đổi sang các hàm số lượng giác để làm mất căn thức, cụ thể là:
Với
a 2 x 2 , đặt x a sin t , t ;
2 2
hoặc x a cos t , t 0; .
Với
a 2 x 2 , đặt x a tan t , t ;
2 2
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Page 2
TÀI LIỆU THPT HAY
hoặc x acott , t 0; .
x 2 a 2 , đặt x
Với
hoặc x
a
, t ; \ 0
sin t
2 2
a
; t 0; \ .
cos t
2
*Phương pháp đổi biến dạng II
Định lí : Nếu hàm số u u ( x) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn a; b sao
cho f ( x)dx g (u ( x))u ( x)dx g (u)du thì I
'
b
u (b)
a
u(a)
f ( x)dx g (u)du .
1
Ví dụ 3: Tính I
x 2 x3 5dx
0
Giải: Đặt u ( x) x 5 .Tacó
3
u (0) 5, u (1) 6
6
.
6 2
1
2
4
10
Từ đó được: I
udu u u 6 6 5 5
6
5
5 9
35
9
9
9
Ví dụ 4: Hãy tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến dạng II:
e2
1
a)
2x 1
5
dx
b)
x ln x
e
dx
0
2
d)
1
2
3
dx
(2 x 1)2
e)
cos(3x
1
c)
0
4x 2
dx
x2 x 1
2
)dx
3
3
Giải: a) Đặt u 2 x 1 khi x 0 thì u 1 . Khi x 1 thì u 3
Ta có du 2dx dx
1
du
. Do đó:
2
3
1 5
u6 3 1 6
(3 1) = 60 2 .
2 x 1 dx u du
3
21
12 1 12
0
5
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Page 3
TÀI LIỆU THPT HAY
b)Đặt u ln x . Khi x e thì u 1 . Khi x e2 thì u 2 .
dx
Ta có du
x
e2
e
2
2
dx
du
ln u ln 2 ln1 ln 2 .
1
x ln x 1 u
2
c)Đặt u x x 1. Khi x 0 thì u 1 . Khi x 1 thì u 3 .
Ta có du (2 x 1)dx . Do đó:
1
0
3
3
4x 2
2du
dx
2ln
u
2(ln 3 ln1) 2ln 3 .
1
x2 x 1
u
1
d)Đặt u 2 x 1 . Khi x 1 thì u 1 . Khi x 2 thì u 3 .
Ta có du 2dx dx
2
1
e)Đặt u 3x
Khi x
Khi x
3
du
. Do đó:
2
3
dx
1 du
1 3
1 1
1
(
1)
.
(2 x 1) 2 2 1 u 2
2u 1
2 3
3
2
.
3
thì u
3
,
2
4
thì u
.
3
3
Ta có du 3dx dx
2
3
3
du
. Do đó:
3
4
3
cos(3x
4
3
2
1
1
1 4
)dx
cos udu sin u
sin
sin
3
3
3
3
3
3
3
3
1
3
3
3
.
3 2
2
3
2.Phương pháp tích phân từng phần.
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Page 4
TÀI LIỆU THPT HAY
Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên a; b thì:
b
b
b
u ( x)v ' ( x)dx u ( x)v( x) v( x)u ' ( x)dx
a a
a
b
b
b
hay udv uv vdu .
a a
a
Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv uv dx bằng cách chọn một phần thích hợp
'
của f(x) làm u(x) và phần còn lại dv v ( x)dx.
'
Bước 2: Tính du u dx và v
'
b
Bước 3: Tính
dv v' ( x)dx .
b
b
vdu vu ' dx và uv .
a
a
a
Bước 5: Áp dụng công thức trên.
e
Ví dụ 5: Tính
x ln xdx
1
dx
du
u ln x
x
Giải:
Đặt
2
dv xdx
v x
2
e
e
e 1
x2
e2 x 2 e e2 1
x ln xdx ln x
xdx
.
1
1
2
2
2
4
4
1
1
Ví dụ 6: Tính các tích phân sau:
2
a)
1
ln x
dx
x5
1
2
b)
x cos xdx
0
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
2
x
c) xe dx
0
d)
e x cos xdx
0
Page 5
TÀI LIỆU THPT HAY
dx
du
u ln x
x
Giải: a) Đặt
. Do đó:
1
1
dv
dx
v
x5
4x4
2
ln x
ln x
1 dx
ln 2 1 1
15 4 ln 2
dx
.
1 x5
4 x 4 1 4 1 x5
64 4 4 x 4 1
256
2
2
2
u x
du dx
. Do đó:
dv
cos
xdx
v
sin
x
b) Đặt
2
0
2
x cos xdx x sin x 2 sin xdx cos x 2 1.
2
2
0 0
0
u x
du dx
. Do đó:
x
x
dv e dx v e
c)Đặt
1
0
1
1
1
xe dx xe e x dx e e x e e 1 1 .
0 0
0
x
x
u e x
du e x dx
d) Đặt
dv
cos
xdx
v sin x
2
2
e x cos xdx e x sin x 2 e x sin xdx .
0
0 0
u1 e x
du1 e x dx
Đặt
dv
sin
xdx
1
v1 cos x
2
2
e cos xdx e 2 e cos x 2 e x cos xdx .
0
0 0
x
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
x
Page 6
TÀI LIỆU THPT HAY
2
2
2 e x cos xdx e 2 1 e x cos xdx
0
0
e 2 1
.
2
*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.
b
b
x
P( x)e dx
a
b
P( x)ln xdx
a
b
P( x)cos xdx
a
e x cos xdx
a
u
P(x)
lnx
P(x)
ex
dv
ex dx
P(x)dx
cosxdx
cosxdx
Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để
chọn u và dv v dx thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung
'
nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv v dx là phần
'
của f(x)dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần:
Nếu tính tích phân
P( x)Q( x)dx mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một
ax
trong những hàm số: e , cos ax,
sin ax thì ta thường đặt
'
du
P
( x)dx
u P( x)
dv
Q
(
x
)
dx
v Q( x)dx
Nếu tính tích phân
P( x)Q( x)dx mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số
du Q ' x dx
u
Q
(
x
)
ln(ax) thì ta đặt
dv P( x)dx v P( x)dx
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Page 7
TÀI LIỆU THPT HAY
Nếu tính tích phân I
eax cos bxdx hoặc
J e ax sin bxdx thì
du aeax dx
u e
ta đặt
1
dv cos bxdx v sin bx
b
ax
du aeax dx
u e
hoặc đặt
1
dv
sin
bxdx
v
cos bx
b
ax
Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành
tích phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.
II.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
1. Tích phân hàm số phân thức
a)Tính tích phân dạng tổng quát sau:
I
dx
ax 2 bx c
a 0 .
(trong đó ax2 bx c 0 với mọi x ; )
Xét b2 4ac .
+)Nếu 0 thì I
a x b
dx
2
tính được.
2a
1
dx
+)Nếu 0 thì I
,
a x x1 x x2
(trong đó x1
I
b
b
; x2
)
2a
2a
x x1
1
ln
.
a x1 x2 x x2
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Page 8
TÀI LIỆU THPT HAY
dx
dx
+) Nếu 0 thì I
2
2
2
ax
bx
c
b
a x
2
2
a
4
a
Đặt x
b
1
tan
t
dx
1 tan 2 t dt , ta tính được I.
2
2
2a
4a
2 a
b) Tính tích phân: I
(trong đó f ( x)
mx n
dx,
ax 2 bx c
a 0 .
mx n
liên tục trên đoạn ; )
ax 2 bx c
+) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:
mx n
A(2ax b)
B
ax 2 bx c ax 2 bx c ax 2 bx c
+)Ta có I=
.
Tích phân
Tích phân
mx n
A(2ax b)
B
dx
dx
dx
2
2
2
ax bx c
ax bx c
ax bx c
A(2ax b)
dx = Aln ax 2 bx c
2
ax bx c
dx
tính được.
2
ax bx c
b
c) Tính tích phân I
a
P( x)
dx với P(x) và Q(x) là đa thức của x.
Q( x)
Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức.
Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:
+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn 1 , 2 ,..., n thì đặt
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Page 9
TÀI LIỆU THPT HAY
An
A1
A2
P( x)
.
...
Q( x) x 1 x 2
x n
+ Khi Q ( x) x x px q , p 4q 0 thì đặt
2
2
P( x)
A
Bx C
2
.
Q( x) x x px q
+ Khi Q ( x ) x x với thì đặt
2
A
P( x)
B
C
2 .
Q( x) x x x
1
Ví dụ 7. Tính tích phân:
0
4 x 11
dx .
2
x 5x 6
Giải:
Cách 1.Bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta có thể tìm A, B sao cho:
A 2 x 5
4 x 11
B
2
, x
2
2
x 5x 6 x 5x 6 x 5x 6
2 Ax 5 A B
4 x 11
, x
x2 5x 6
x2 5x 6
\ 3; 2
\ 3; 2
2 A 4
A 2
5 A B 11 B 1
Vậy
2 2 x 5
4 x 11
1
, x
2
2
2
x 5x 6 x 5x 6 x 5x 6
1
Do đó
0
1
\ 3; 2 .
1
4 x 11
2x 5
dx
dx 2 2
dx 2
x 5x 6
x 5x 6
x 5x 6
0
0
2
2ln x 2 5 x 6
1
x2 1
9
ln
ln .
0
x3 0
2
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Page 10
TÀI LIỆU THPT HAY
Cách 2. Vì x 2 5x 6 x 2 x 3 nên ta có thể tính tích phân trên bằng cách:
Tìm A, B sao cho:
4 x 11
A
B
, x
2
x 5x 6 x 2 x 3
\ 3; 2
A B x 3 A B , x
4 x 11
x2 5x 6
x2 5x 6
\ 3; 2
A B 4
A 3
3 A 2 B 11 B 1
Vậy
4 x 11
3
1
, x
x2 5x 6 x 2 x 3
1
Do đó
0
1
\ 3; 2 .
1
4 x 11
dx
dx
dx
3
x2 5x 6
x2 0 x3
0
3ln x 2
1
Ví dụ 8:Tính tích phân:
0
1
1
9
ln x 3 ln .
0
0
2
dx
.
x2 x 1
Giải:
1
Do
0
1
dx
dx
2
2
x x 1 0
1 3
x
2 4
Đặt x
1
3
3
tan t , t ; dx
1 tan 2 t dt
2 2
2
6 3
1
Vậy
0
dx
x2 x 1
3
6
3
2
3
1 tan t dt
2
3
2 3
2
dt
t
3
3
3
(1 tan 2 t )
6
4
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
3
3
9
.
6
Page 11
TÀI LIỆU THPT HAY
1
2
Ví dụ 9. Tính tích phân:
x3
dx .
x2 1
0
Giải:
1
2
0
1
2
1
2
x3
x
dx
x
dx xdx
2
x2 1
x
1
0
1
1
2
0
xdx
x2 1
1
1
x2
1
1 1 3
2
2 ln x 1 2 ln .
2
2
8 2 4
0
0
2. Tích phân các hàm lượng giác
2.1.Dạng 1: Biến đổi về tích phân cơ bản
Ví dụ 10: Hãy tính các tích phân sau:
2
a) J
sin 2x sin 7 xdx ;
2
2
b) K
cos x(sin 4 x cos 4 x)dx ;
0
2
4sin 3 x
c) M
dx .
1
cos
x
0
Giải
2
2
1
1
a) J
cos5 xdx
cos9 xdx
2
2
2
2
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Page 12
TÀI LIỆU THPT HAY
1
1
4
sin 5 x 2 sin 9 x 2 .
18
45
10
2
2
b) Ta có cos x(sin x cos x) cos x sin x cos x
4
4
2
2
2
2sin 2 x cos2 x
1
1
1
3
cos x 1 sin 2 2 x cos x 1 1 cos 4 x cos x cos x cos 4 x
4
2
4
4
3
1
cos x cos5 x cos3 x .
4
8
2
2
2
2
3
1
1
K cos x(sin 4 x cos 4 x)dx
cos xdx
cos5 xdx
co3xdx
4
8
8
0
0
0
0
3
1
1
3 1 1 11
sin x 2 sin 5 x 2 sin 3 x 2 .
4
40
24
4 40 24 15
0
0
0
4sin 3 x 4sin 2 x sin x 4(1 cos2 x)sin x
c)
4(1 cos x)sin x
1 cos x
1 cos x
1 cos x
M 2.
2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác
2.2.1.Tính I
dx
asinx b cos x c
Phương pháp:
Đặt t tan
x
2dt
dx
2
1 t2
1 t2
2t
Ta có: sin x
và cos x
1 t2
1 t2
I
dx
asinx b cos x c
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
2dt
đã biết cách tính.
2
c
b
t
2
at
b
c
Page 13
TÀI LIỆU THPT HAY
Ví dụ 11. Tính
Giải: Đặt t tan
dx
4cos x 3sin x 5
x
1
x
2dt
dt 1 tan 2 dx
dx
2
2
2
1 t2
2dt
2
dx
dt
1
t
1 t2
2t
cos x 3sin x 3
t 2 3t 2
3
3
1 t2
1 t2
x
tan 1
t 1
2
ln
C ln
C.
x
t2
tan 2
2
2.2.2. Tính I
dx
a sin 2 x b sin x cos x c cos 2 x d
Phương pháp: I
dx
a d sin 2 x b sin x cos x c d cos 2 x
dx
2
cos
x
2
a d tan x b tan x c d
Đặt t tgx dt
Ví dụ 12. Tính: I
Giải:Ta có I
dx
I
cos 2 x
dt
đã tính được.
a d t 2 bt c d
dx
.
sin x 2sin x cos x 3cos 2 x
2
dx
sin 2 x 2sin x cos x 3cos 2 x
Đặt t tan x dt
dx
cos 2 x
tan 2 x 2 tan x 3
dx
cos2 x
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Page 14
TÀI LIỆU THPT HAY
I
Tính I
dt
t 2 2t 3
dt
1 t 1
1 tan x 1
ln
C ln
C 2.2.3.
4 tan x 3
t 1 t 3 4 t 3
m sin x n cos x p
dx .
a sin x b cos x c
Phương pháp:
+)Tìm A, B, C sao cho:
m sin x n cos x p A a sin x b cos x c B a cos x b sin x C, x +)
Vậy I
m sin x n cos x p
dx =
a sin x b cos x c
= A dx B
a cos x b sin x
dx
dx
C
a sin x b cos x c
a sin x b cos x c
Tích phân
dx
tính được
a cos x b sin x
dx ln a sin x b cos x c C
Tích phân
a sin x b cos x c
dx
Tích phân
a sin x b cos x c tính được.
Ví dụ 13. Tính: I
cos x 2sin x
dx .
4cos x 3sin x
Giải:
Bằng cách cân bằng hệ số bất định, tìm A và B sao cho:
cos x 2sin x A 4cos x 3sin x B 4sin x 3cos x , x
cos x 2sin x 4 A 3B cos x 3 A 4 B sin x, x
2
A
4 A 3B 1
5
3 A 4 B 2
B 1
5
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Page 15
TÀI LIỆU THPT HAY
2
1
2 1 4sin x 3cos x
I .
dx
x
ln 4cos x 3sin x C .
5
5
5 5 4cos x 3sin x
2.3.Dạng 3: Đổi biến số để đưa về tích phân hàm lượng giác đơn giản hơn
(Xem ví dụ 17, 20, 21)
2.4.Chú ý: Nguyên hàm dạng
R sin x,cos x dx , với R sin x,cos x là một hàm
hữu tỉ theo sinx, cosx
Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta
đã biết cách tính tích phân.
Trường hợp chung: Đặt t tan
x
2dt
dx
2
1 t2
2t
1 t2
Ta có sin x
;cos x
1 t2
1 t2
Những trường hợp đặc biệt:
+) Nếu R sin x,cos x là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là
R sin x, cos x R sin x,cos x thì đặt t tan x hoặc t cot x , sau
đó đưa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t.
+) Nếu R sin x,cos x là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là:
R sin x,cos x R sin x,cos x thì đặt t cos x .
+) Nếu R sin x,cos x là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là:
R sin x, cos x R sin x,cos x thì đặt t sin x .
3.Tích phân hàm vô tỉ
3.1 .Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản
1
Ví dụ 14. Tính tích phân: I
0
dx
.
x 1 x
Giải
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Page 16
TÀI LIỆU THPT HAY
1
I
dx
x 1 x
0
1
0
1
Ví dụ 15:Tính tích phân
x
Giải:
x
0
x3dx
1 x2
x3dx
0
1
3
3
2
1 2
2
x 1 x dx x 1 x 2 2 2 2
3
0 3
1 x2
.
1
( x3 1 x 2 x 4 )dx
0
2 2 1
15 .
3.2.Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm lượng giác
(xem ví dụ 2)
3.3Dạng 3: Biến đổi làm mất căn
Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức
Viết biểu thức trong căn dưới dạng bình phương đúng
Ví dụ 15:Tính
1
I x 3 1 x 2 dx
0
Giải:
1
I x
1
3
1 x dx x 2 1 x 2 .xdx
2
0
0
2
2
2
2
2
Đặt t= 1 x t 1 x x 1 t
Ta có:
xdx=-tdt, Khi x= 0 thì t =1,khi x = 1 thì t =0
Vậy
1
t3 t5
2
2 2
I (1 t )t dt
3 5 0 15
1
0
4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Page 17
TÀI LIỆU THPT HAY
2
Ví dụ 16: Tính J
x 2 1 dx
2
Giải: Lập bảng xét dấu của x 2 1 trên đoạn 2;2
x
-2
-1
x2 1
1
2
Do đó I
2
+
x 1 dx
2
x
2
0
1 dx
2
1
-
2
0
1
+
2
1 x dx x
2
1
2
1 dx
1
x3 1 x3
x3
1
2
x x x 4.
3 1 3
3
2
1
III.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT
1.Cho hàm số y f ( x) liên tục và lẻ trên đoạn a; a . Khi đó
a
f ( x)dx 0 .
I
a
2
Ví dụ 17: Chứng minh I
xdx
0.
2
4
sin
x
2
Giải: Đặt x t dx dt . Khi x= 2 thì t = - 2 , khi x
Do đó : I=
2
2
2
thì t
2
tdt
I
4 sin 2 t
2
Suy ra : 2I = 0. Ta được I
xdx
0.
2
4
sin
x
2
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Page 18
TÀI LIỆU THPT HAY
2.Cho hàm số y f ( x) liên tục và chẵn trên đoạn a; a . Khi đó
I
a
a
a
0
f ( x)dx 2 f ( x)dx .
Chứng minh : Ta có I
a
0
a
a
a
0
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx (1)
0
Ta tính J
f ( x)dx bằng cách đặt x t 0 t a dx dt
a
J
0
0
a
a
a
a
0
0
f ( x)dx f (t )dt f (t )dt f ( x)dx (2)
Thay (2) vào (1) ta được I
a
a
a
0
f ( x)dx 2 f ( x)dx
2
Ví dụ 18: Tính tích phân: I
Giải:
x cos x
dx
2
4
sin
x
2
2
2
2
x cos x
Ta có I
dx
2
4
sin
x
2
x
dx
2
4
sin
x
2
cos x
dx
2
4
sin
x
2
x
Do f1 ( x)
là hàm số lẻ trên
4 sin 2 x
và f 2 ( x)
2 ; 2 nên
cos x
là hàm số chẵn trên
4 sin 2 x
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
2
x
dx 0
2
4
sin
x
2
2 ; 2 nên ta có:
Page 19
TÀI LIỆU THPT HAY
2
2
2
cos x
cos x
d (sin x)
dx
2
dx
2
4 sin 2 x
4 sin 2 x
(sin x 2) sin x 2
0
2
2
1 sin x 2
1
Vậy I ln
2 ln 3 .
2 sin x 2
2
0
3.Cho hàm số y f ( x) liên tục và chẵn trên đoạn : . Khi đó
f ( x)
1
I x
dx f ( x)dx
a 1
2
Chứng minh: Đặt t= -x dt= - dx
at 1
Ta có f(x) = f(-t)= f(t); a +1= a +1=
at
x
-t
Khi x= - thì t = ; x = thì t =-
Vậy
f ( x)
a t f (t )
at 1 1
I x
dx t
dt
f (t )dt
t
a
1
a
1
a
1
f (t )
f (t )dt t
dt f ( x)dx I
a
1
f ( x)
1
I x dx f ( x)dx
a 1
2
Suy ra
1
x4
dx .
Ví dụ 19 : Tính tích phân: I
x
2
1
1
Giải:Đặt t= -x dt= - dx
Khi x= - 1 thì t = 1 ; x =1 thì t =-1
1
Vậy
1
1
x4
t4
2t
I x
dx t
dt t
t 4 dt
2 1
2 1
2 1
1
1
1`
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Page 20
- Xem thêm -
.PDF 
24 
457 
107 
