Tài liệu Phần 8. trắc nghiệm bài toán vận dụng

TRẮC NGHIỆM TOÁN PHẦN 8. BÀI TOÁN VẬN DỤNG ÔN THI THPT QUỐC GIA 2017 8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm Dạng 118. Bài toán vận dụng về diện tích _317 Dạng 119. Bài toán vận dụng về chuyển động của chất điểm _318 Dạng 120. Bài toán vận dụng liên quan đến thể tích _320 Dạng 121. Bài toán vận dụng về tính khoảng cách _323 Dạng 122. Bài toán vận dụng tổng hợp về ứng dụng đạo hàm _328 8B. Bài toán vận dụng về hàm số lũy thừa – mũ – lôgarit Dạng 123. Bài toán vận dụng về tốc độ tăng trưởng _332 Dạng 124. Bài toán vận dụng về lãi suất ngân hàng _336 Dạng 125. Bài toán vận dụng tổng hợp về hàm số lũy thừa – mũ – lôgarit _346 8C. Bài toán vận dụng về nguyên hàm – tích phân Dạng 126. Bài toán vận dụng về vận động của chất điểm _349 Dạng 127. Bài toán vận dụng về diện tích hình học _351 Dạng 128. Bài toán vận dụng tổng hợp về tích phân _352 8D. Bài toán vận dụng về khối nón – trụ – cầu Dạng 129. Bài toán vận dụng về khối nón _356 Dạng 130. Bài toán vận dụng về khối trụ _360 Dạng 131. Bài toán vận dụng về khối cầu _365 8E. Bài toán vận dụng về tọa độ không gian Oxyz Dạng 132. Bài toán vận dụng viết phương trình mặt phẳng _367 Dạng 133. Bài toán vận dụng tổng hợp về tọa độ không gian Oxyz _369 Nguyễn Văn Lực – Cần Thơ FB: www.facebook.com/VanLuc168 8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm 8A. BÀI TOÁN VẬN DỤNG VỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM (CĐ 32)  Dạng 118. Bài toán vận dụng về diện tích Câu 01. Trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi 40cm . Hình chữ nhật có diện tích lớn nhất có diện tích S là A. S  100cm 2 B. S  400cm 2 C. S  49cm 2 D. S  40cm 2 Hướng dẫn giải 2 2  a  b   20  S  ab        100 .  2   2  Câu 02. Ông A muốn mua một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 384m 2 để xây nhà. Nhưng vợ ông muốn có khuôn viên sân vườn đẹp nên ông mua thêm về hai phía chiều dài mỗi chiều 3m và về hai phía chiều rộng mỗi chiều 2m . Vậy, để ông A mua được mảnh đất có diện tích nhỏ nhất (tiết kiệm chi phí) thì mảnh đất đó chu vi là bao nhiêu? A. 100m B. 140m C. 98m D. 110m Hướng dẫn giải Gọi x,y là chiều dài, chiều rộng phần đất xây nhà 384  S  ( x  6)(  4)   S  ( x  6)( y  4)  x Ta có    x. y  384  y  384  x 2304   Áp dụng BĐT AM-GM : S   4 x    408  192  408  S  600 x   2304 Dấu ‘‘=” xảy ra khi 4 x   x  24  y  16 x Vậy mảnh đất cần mua có chiều dài là: 24  6  30  m  Chiều rộng là: 16  4  20  m  Khi đó chu vi mảnh đất là 100m. Câu 03. Từ một bờ tường có sẵn, người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật liệu cho trước là 100 m thẳng hàng rào . Vậy làm thế nào để rào khu đất ấy theo hình chữ nhật sao cho có diện tích lớn nhất. Khi đó: chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật là A. 50 và 25 B. 35 và 35 C. 75 và 25 D. 50 và 50 Hướng dẫn giải Gọi x  m   0  x  50  là chiều rộng của hình chữ nhật Khi đó, chiều dài của hình chữ nhật là 100  2x www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN 317 www.TOANTUYENSINH.com 8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm Nên diện tích của hình chữ nhật là x 100  2 x   2 x 2  100 x Gọi f  x   2 x 2  100 x với điều kiện 0  x  100  f   x   4 x  100 . Cho f   x   0  4 x  100  0  x  25 Bảng biến thiên: x f  x 0 25 0  f  x 50  1250 0 Dựa vào bảng biến thiên ta có max f  x   f  25   1250 0  0;50  Vậy: Để rào khu đất ấy có diện tích lớn nhất theo hình chữ nhật có chiều rộng bằng 25 và chiều dài bằng 50 Hướng dẫn giải và Trắc nghiệm Online xem trên: www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Câu 04. Một sợi dây có chiều dài 28 m là được cắt thành hai đoạn để làm thành một hình vuông và một hình tròn. Tính chiều dài của đoạn dây làm thành hình vuông được cắt ra sao cho tổng diện của hình vuông và hình tròn là tối thiểu? 196 112 28 A. 14 B. C. D. 4  4  4  Câu 05. Một sợi dây có chiều dài là 6 m, được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai uốn thành hình vuông. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để tổng diện tích 2 hình thu được là nhỏ nhất? A. 18 94 3 (m) B. 36 3 4 3 (m) C. 12 4 3 (m) D. 18 3 4 3 (m)  Dạng 119. Bài toán vận dụng về chuyển động của chất điểm Câu 06. Một chất điểm chuyển động thẳng theo phương trình S  t   t 3  3t 2  24t , trong đó t tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m). Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là: A. 18m / s 2 B. 18m / s 2 C. 6m / s 2 D. 6m / s 2 Hướng dẫn giải www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN 318 www.TOANTUYENSINH.com 8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm t  4 Ta có vận tốc v  t   S   t   3t 2  6t  24 . Vận tốc triệt tiêu khi v  t   0   t  2  L  Gia tốc a  t   v  t   6t  6 . Vậy gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là a  4   6.4  6  18m / s 2 Câu 07. Một viên đá được bắn thẳng đứng lên trên với vận tốc ban đầu là 40 m/s từ một điểm cao 5 m cách mặt đất. Vận tốc của viên đá sau t giây được cho bởi công thức v  t   40  10t m/s. Tính độ cao lớn nhất viên đá có thể lên tới so với mặt đất. A. 85 m B. 80 m . C. 90 m . Hướng dẫn giải Gọi h là quãng đường lên cao của viên đá. v  t   h '  t   h  t    v  t  dt    40  10t  dt  40t  5t 2  c D. 75 m . Tại thời điểm t  0 thì h  5 . Suy ra c  5 . Vậy h  t   40t  5t 2  5 h  t  lớn nhất khi v  t   0  40  10t  0  t  4 . Khi đó h  4   85 m Câu 08. Một đoàn tàu đang chuyển động với vận tốc v0 = 72km/h thì hãm phanh chuyển động chậm dần đều, sau 10 giây đạt vận tốc v1 = 54km/h. Tàu đạt vận tốc v = 36km/h sau thời gian kể từ lúc hãm phanh là A. 30s B. 20s C. 40s D. 50s Hướng dẫn giải Đổi đơn vị: 72km/h = 20m/s ; 54km/h = 15m/s ; 36 km/h = 10m/s Hướng dẫn giải và Trắc nghiệm Online xem trên: www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Câu 09. Một chất điểm chuyển động theo qui luật s  6t 2  t 3 (trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây mà chất điểm bắt đầu chuyển động ). Tính thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc  m / s  của chuyển động đạt giá trị lớn nhất. A. t  2 . B. t  4 . C. t  1 . D. t  3 . 1 Câu 10. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S  t   t 4  3t 2  2t  4 , 4 trong đó t tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m). Tại thời điểm nào, vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất? A. t  2 B. t  1 C. t  3 D. t  2 Câu 11. Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km. Vận tốc của dòng nước là 6km / h . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức: E  v   cv 3t www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN 319 www.TOANTUYENSINH.com 8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm Trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất. A. 6 km/h B. 9 km/h C. 12 km/h D. 15 km/h Câu 12. Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được quãng đường s  t  (km) là hàm phụ thuộc theo biến (giây) theo quy tắc sau: s  t   et 2 3  2t.e3t 1  km  . Hỏi vận tốc của tên lửa sau 1 giây là bao nhiêu (biết hàm biểu thị vận tốc là đạo hàm của hàm biểu thị quãng đường theo thời gian). A. 5e 4 (km/s) B. 3e 4 (km/s) C. 9e4 (km/s) D. 10e 4 (km/s)  Dạng 120. Bài toán vận dụng liên quan đến thể tích Câu 13. Ta có một miếng tôn phẳng hình vuông với kích thước a(cm) , ta muốn cắt đi ở 4 góc 4 hình vuông cạnh bằng x(cm) để uốn thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Phải cắt như thế nào để hình hộp có thể tích lớn nhất? a a a A. x  . B. x  . C. x  . 4 5 6 Hướng dẫn giải D. x  a . 7 Gọi cạnh của hình vuông bị cắt là x, (0  x  a). 1 4x(a  2x) 2 . 4 Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho 3 số: 4x,a  2x,a  2x  0 2 Ta có thể tích hình hộp là: V  x(a  2x)  x 3 1  4x  a  2x  a  2x  1 8a 3 2a 3  Ta có : V     . 4 3 4 27 27  V lớn nhất khi và chỉ khi : 4x  a  2x  x  a 6 a - 2x Vậy để thể tích hộp lớn nhất, cần cắt bốn góc bốn hình vuông có cạnh a . 6 Câu 14. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. A. x  6. B. x  3. www.facebook.com/VanLuc168 C. x  2. Hướng dẫn giải VanLucNN D. x  4. 320 www.TOANTUYENSINH.com 8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm 1 1 (4 x  12  2 x  12  2 x)3 Thể tích của hộp là (12  2 x) 2 .x  .4 x(12  2 x)2  .  128 4 4 27 Dấu bằng xảy ra khi 4 x  12  2 x  x  2 Vậy x = 2 thì thể tích hộp lớn nhất. Câu 15. Một tấm thiếc hình chữ nhật dài 45 cm, rộng 24 cm được làm thành một cái hộp không nắp bằng cách cắt bốn hình vuông bằng nhau từ mỗi góc và gấp mép lên. Hỏi các hình vuông được cắt ra có cạnh là bao nhiêu để hộp nhận được có thể tích lớn nhất? A. x  18 B. x  5 C. x  12 D. Đáp án khác. Hướng dẫn giải Gọi x cm  0  x  12  là cạnh của các hình vuông bị cắt rời ra. Khi đó, chiều cao của hộp là x , chiều dài là 45  2x , và chiều rộng là 24  2x . Thể tích V  x   x  45  2 x  24  2 x   4 x3  138 x 2  1080 x . Suy ra V '  x   12 x 2  276 x  1080 . Cho V '  x   0 , suy ra được giá trị x cần tìm là x  5 . V ''  x   24 x  276  V ''  5   156  0 . Do đó x  5 là điểm cực đại. Câu 16. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 18 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. A. 3 B. 5 C. 4 D. 2 Hướng dẫn giải Điều kiện: 0  x  9 V  h.B  x.(18  2x) 2  f (x) Bấm mod 7 và tìm được x=3 Cách khác: Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm 4x; 18-2x; 18-2x 3 1 1  4x  (18  2x)  (18  2x)  V  x.(18  2x)2  .4x(12  2x).(12  2x)  .    4 4  3  Dấu “=” xảy ra khi 4x  18  2x  x  3 Vậy: x=3 thì thể tích lớn nhất Câu 17. Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể tích 12 m3 để chứa chất thải chăn nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhật có chiều sâu gấp rưỡi chiều rộng. Hãy xác định các kích thước đáy (dài, rộng) của hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (không tính đến bề dày của thành bể). Ta có kích thước (dài; rộng – tính theo đơn vị m, làm tròn đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy) phù hợp yêu cầu là: www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN 321 www.TOANTUYENSINH.com 8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm A. Dài 2,42m và rộng 1,82m C. Dài 2,26m và rộng 1,88m B. Dài 2,74m và rộng 1,71m D. Dài 2,19m và rộng 1,91m Hướng dẫn giải Gọi chiều sâu và chiều rộng của bể lần lượt là 3x và 2x (m) 12 2  2 m Chiều dài của bể là 2 x.3 x x Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của bể phải nhỏ nhất. Ta có 2 2  10    Stp  2  2 x.3 x  2 x. 2 . 2   2  6 x 2   x x  x   5 5 6 x 2    3 3 150  S xq  6 3 150 m 2 x x 5 5 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 6 x 2   x  3 x 6 2 Khi đó chiều rộng và chiều dài của bể lần lượt là 2 x  1,88m; 2  2, 26m x   Hướng dẫn giải và Trắc nghiệm Online xem trên: www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Câu 18. Cho một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 80cm x 50cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x(cm) để khi gập lại được một chiếc hộp không nắp. Để chiếc hộp có thể tích lớn nhất thì x bằng: A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 Câu 19. Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông như hình bên dưới. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh x ( cm ), đường cao là h ( cm ) và có thể tích là 500 cm3 . Tìm giá trị của x sao diện tích của mảnh các tông là nhỏ nhất. A. x  5 B. x  10 C. x  15 D. x  20 Câu 20. Từ một tấm tôn hình tròn có đường kính bằng 60 cm. Người ta cắt bỏ đi một hình quạt S của tấm tôn đó, rồi gắn các mép vừa cắt lại với nhau để được một cái nón không có nắp (như hình vẽ). Hỏi bằng cách làm đó người ta có thể tạo ra cái nón có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu? A. 1800 3. (cm3 ) B. 2480 3. (cm3 ). C. 2000 3. (cm3 ). D. 1125 3. (cm 3 ). Câu 21. Người ta muốn làm một cái bình thủy tinh hình lăng trụ đứng có nắp đậy, đáy là tam giác đều để đựng 16 lít nước. Để tiết kiệm chi phí nhất (xem tấm thủy tinh làm vỏ bình là rất mỏng) thì cạnh đáy của bình là A. 4m B. 4dm C. 2 3 2 dm D. 2 3 4 m Câu 22. Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD  60cm . Ta gập tấm nhôm theo 2 cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết 2 đáy. www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN 322 www.TOANTUYENSINH.com 8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất? A. x  20 B. x  18 C. x  25 D. x  4 Câu 23. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 1 m như hình vẽ dưới đây. Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x (m), sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp. Giá trị của x để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất là A. x  2 2 5 B. x  1 2 C. x  2 4 D. x  2 3 Câu 24. Để làm một chiếc cốc bằng thủy tinh hình trụ với đáy cốc dày 1,5cm, thành xung quanh cốc dày 0,2 cm và có thể tích thật (thể tích nó đựng được) là 480πcm3 thì người ta cần ít nhất bao nhiêu cm3 thủy tinh? A. 75, 66 cm 3 B. 71,16  cm 3 C. 85, 41 cm 3 D. 84, 64 cm 3  Dạng 121. Bài toán vận dụng về tính khoảng cách Câu 25. Một màn ảnh hình chử nhật cao 1,4m được đặt ở độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính đầu mép dưới của màn ảnh). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Vị trí đứng cách màn ảnh là: A. x  2,4m. B. x  - 2,4m. C. x  2, 4 m. D. x  1,8m. Hướng dẫn giải Với bài toán này ta cần xác định OA để góc BOC lớn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi tan BOC lớn nhất. Đặt OA  x  m  với x  0 , ta có www.facebook.com/VanLuc168 C 1, 4B 1, 8 VanLucNN A O 323 www.TOANTUYENSINH.com 8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm AC AB  1, 4 x tan BOC  tan AOC  AOB   OA OA  2 1  tan AOC tan AOB 1  AC. AB x  5, 76 OA2 1, 4 x Xét hàm số f ( x)  2 . Bài toán trở thành tìm x  0 để f(x) đạt giá trị lớn nhất. x  5, 76  Ta có f '( x)  tan AOC  tan AOB  1, 4 x 2  1, 4.5, 76  x  5, 76  2 ; f '( x)  0  x  2, 4 Ta có bảng biến thiên x f'(x) 0 2,4 0 + + _ 84 193 f(x) 0 0 Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh 2,4m Câu 26. Có hai chiếc cọc cao 12m và 28m, đặt cách nhau 30m (xem hình minh họa dưới đây). Chúng được buộc bởi hai sợi dây từ một cái chốt trên mặt đất nằm giữa hai chân cột tới đỉnh của mỗi cột. Gọi x (m) là khoảng cách từ chốt đến chân cọc ngắn. Tìm x để tổng độ dài hai dây ngắn nhất. A. x  9. B. x  10. C. x  11. D. x  12. Hướng dẫn giải Kí hiệu x là khoảng cách từ chân cột thấp tới chốt buộc; y,z là độ dài hai sợi dây như hình vẽ. Khi đó khoảng cách từ chốt buộc tối chân cột thứ hai là 30  x . Điều kiện 0  x  30; y , z  0 . Gọi d là tổng độ dài hai sợi dây. Khi đó d  y  z Theo Pitago, ta có 2 x 2  122  y 2  y  x 2  144;  30  x   282  z 2  y  x 2  144  x 2  60 x  1684  0  x  30  x x  30  Ta có d '  x 2  144 x 2  30 x  1684 www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN 324 www.TOANTUYENSINH.com 8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm d '  0  x x 2  60 x  1684   30  x  x 2  144 2  x 2  x 2  60 x  1684    30  x   x 2  144  x  0  640 x 2  8640 x  129600  0    x  22,5   0;30  Lập BBT ta có min d  d  9   50  0;30  Câu 27. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB 5km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7km. Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6km/h (xem hình vẽ dưới đây). Tính độ dài đoạn BM để người đó đến kho nhanh nhất. A. 74 4 B. 29 12 29 C. D. 2 5 Hướng dẫn giải A 5k m C M 7k Trước tiên, ta xây dựng hàm số f  x  là hàm số tính thời gian người m canh hải đăng B phải đi. Đặt BM  x thì ta được: MC  7  x, AM  x 2  25 . Theo đề bài, Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6km/h , như vậy ta có hàm số f  x  được xác định như sau: f  x  x 2  25 7  x 3 x 2  25  2 x  14   với x   0;7  4 6 12 Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f  x  để có được thời gian ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí điểm M. f ' x    1 3x  2 .  2 12  x  25  f ' x  0  3x 2  2  0  3 x  2 x 2  25  0 x  25  2 x 2  25  3x  x  2 5 5 x 2  100    x  2 5. x  0  x  0 www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN 325 www.TOANTUYENSINH.com 8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm Hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0; 7  và ta có: f  0  29 14  5 5 74 , f 2 5  , f 7  . 12 12 4   14  5 5 tại x  2 5. Khi đó thời gian đi là ít nhất 12 và điểm M nằm cách B một đoạn BM  x  2 5. Vậy giá trị nhỏ nhất của f  x  là Câu 28. Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m, cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m. Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước và mang về B. Đoạn đường ngắn nhất mà người đó phải đi là: A. 569,5m B. 671,4m C. 779,8m D. 741,2m Hướng dẫn giải B 615m A 118 m 487m Sông Ta giả sử người đó đi từ A đến M để lấy nước và đi từ M về B. Ta dễ dàng tính được BD  369, EF  492. Ta đặt EM  x, khi đó ta được: MF  492  x, AM  x 2  1182 , BM   492  x  2  487 2 . Như vậy ta có hàm số f  x  được xác định bằng tổng quãng đường AM và MB: f  x   x 2  1182   492  x  2  487 2 với x   0; 492  Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f  x  để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí điểm M. f ' x   x 2 x  118 2 492  x   492  x  www.facebook.com/VanLuc168 2 .  487 2 VanLucNN 326 www.TOANTUYENSINH.com 8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm f ' x   0   x x 2 x  118 2 x x 2  1182 492  x   492  x   492  x  2 0  487 2 492  x   492  x  2 2  487 2  487 2   492  x  x 2  1182  x 2  492  x  2  487 2    492  x 2  x 2  1182     0  x  492  487 x 2   58056  118 x  2  0  x  492 58056 58056  hay x   58056 x   605 369  x  605 0  x  492  58056  ,  605  Hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0; 492  . So sánh các giá trị của f (0) , f   58056  f  492  ta có giá trị nhỏ nhất là f    779,8m  605  Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ 779,8m. Hướng dẫn giải và Trắc nghiệm Online xem trên: www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Câu 29. Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lí. Tàu thứ nhất chạy theo hướng nam với vận tốc 6 hải lí/giờ, còn tàu thứ 2 chạy theo hướng về tàu thứ nhất với vận tốc 7 hải lí/giờ. Hỏi sau bao lâu khoảng cách giữa hai con tàu là lớn nhất? 7 17 A. giờ. B. giờ. C. 2 giờ. D. 3 giờ. 17 7 Câu 30. Có hai cây cột dựng trên mặt đất lần lượt cao 1m và 4m, đỉnh của hai cây cột cách nhau 5m .Người ta cần chọn một vị trí trên mặt đất (nằm giữa hai chân cột) giăng dây nối đến hai đỉnh cột để trang trí mô hình bên dưới . Độ dài dây ngắn nhất là: A. 41m B. 37m C. 29m D. 3 5m Câu 31. Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C. Khoảng các ngắn nhất từ C đến B là 1km. Khoảng các từ B đến A là 4km. Mỗi km dây điện đặt dưới nước mất 5000USD, còn đặt dưới đất mất 3000USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất A. 15 4 www.facebook.com/VanLuc168 B. 13 4 C. VanLucNN 5 2 D. 19 4 327 www.TOANTUYENSINH.com 8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm Câu 32. Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C. Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm ngắn nhất tính từ đảo C vào bờ là 40km. Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ dưới đây). Biết kinh phí đi đường thủy là 5 USD/km, đường bộ là 3 USD/km. Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất? (AB = 40km, BC = 10km) 15 65 km km A. B. C. 10km D. 40km 2 2  Dạng 122. Bài toán vận dụng tổng hợp về ứng dụng đạo hàm Câu 33. Một người cần làm một thùng bằng nhôm, có dạng là một hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông. Biết thể tích của thùng cần đóng bằng 4m3, thùng chỉ có một nắp đáy dưới ( không có nắp đậy ở phía trên). Biết giá của nhôm là 550.000 đồng/ m2 . Để đóng được cái thùng như trên người đó cần mua ít nhất số tiền mua nhôm là: A. 5.500.000 (đồng) B. 6000.000 (đồng) C. 6.600.000 (đồng) D. 7.200.000 (đồng) Hướng dẫn giải +) Đặt x là kích thước cạnh đáy, y là chiều cao. Sxq= 4xy, Sd = x2 (m) (một đáy) Diện tích toàn bộ của thùng là:Stp= 4xy+ x2 4 16 8 8 V= x2y=4, suy ra: xy  , Stp= 4xy+ x2  + x2  + +x2≥ 12 x x x x Vậy giá trị nhỏ nhấtt của diện tích toàn phần: 12(m2). Số tiền ít nhất để mua số nhôm đó là: 12.550000=6600000(đồng) + t=2(s) ta có s=300(m) 1 2 m  1 x 3   m  1 x 2  3x  1 đồng biến trên R là:  3 B. m  2 C. m  1  m  2 D. m  1 Câu 34. Giá trị m để hàm số y  A. 1  m  2 Hướng dẫn giải Trường hợp 1. Xét m  1, m  1 ; Suy ra m=-1 thoả mãn. Trường hợp 2. m  1 f '  x    m 2  1 x 2  2  m  1 x  3 m 2  1  0 f '  x  là tam thức bậc hai, f '  x   0 với mọi x thuộc R khi và chỉ khi  .  Δ'  0 Câu 35. Giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y   cos x  2 nghịch cos x  m biến trên  khoảng  0;  .  2 A. m  0 hoặc 1  m  2 www.facebook.com/VanLuc168 B. m  0 C. 2  m VanLucNN D. m > 2 328 www.TOANTUYENSINH.com 8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm Hướng dẫn giải     Do x thuộc  0;  suy ra 0  cosx  1 , cosx  m với x   0;   2  2 Suy ra m  0 hoặc m  1 (1) y 'x   sin x  cosx  m   sin x  cosx  2   cos x  m  2   m  2  sinx 2  cosx  m  y'  x   0 , suy ra m  2 Kết hợp (1) suy ra đáp án A. Câu 36. Cho hàm số y  x3 (C). Giá trị nào của m sau đây thì đường thẳng x 1 d : y  2 x  m cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho độ dài MN nhỏ nhất? A. m = 1. B. m = 2. C. m = 3. Hướng dẫn giải D. m = -1. Điều kiện để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt là phương trình: x3  2 x  m có 2 x 1 nghiệm phân biệt  Phương trình: g(x) = 2x2 + (m+1)x + m – 3 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1   0  (*)  g (1)  0 Ta thấy (*) đúng với mọi m   . Vậy (d) luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N Ta có: MN2 = (xM – xN)2 + (yM – yN)2 = 5.(xM – xN)2 = 5.[(xM + xN)2 - 4xMxN]  m  1  2 m  3 5 2 5 2 = 5.   4.   m  6m  25  m  3  14 2  4 4  2      Ta thấy MN nhỏ nhất  m = 3. Câu 37. Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) y = x+ m cắt đồ thị hàm số y = 2x  5 x 1 (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của AB có tung độ bằng (1+m) A. m = -1 B. m = -2 C. m = -3 D. Không tồn tại m. Hướng dẫn giải Gọi M là là trung điểm của AB, ta có M thuộc (d). Do đó tọa độ M có dạng : M(xM; xM+m). Theo giả thiết ta có: xM+m = 1+m , suy ra: xM=1 Ta có: xA+ xB= 2 xM, suy ra xA+ xB=2. (1) 2x  5 Lại có xA, xB là 2 nghiệm của phương trình  xm x 1  xA, xB là 2 nghiệm của phương trình: x2 + (m-1)x + m +5 = 0 (*) Suy ra: xA+ xB = 1-m (2). Từ (1) và (2) suy ra m= -1. Tuy nhiên với m= -1 ta thấy phương trình (*) vô nghiệm . Vậy không tồn tại m thỏa mãn. Ta chọ đáp án D www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN 329 www.TOANTUYENSINH.com 8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm Câu 38. Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng một tháng thì sẽ có 2 căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng. A. 2.225.000. B. 2.100.000 C. 2.200.000 D. 2.250.000 Hướng dẫn giải Nếu tăng giá thuê mỗi căn hộ là x (đồng/tháng) thì sẽ có 2x căn hộ bỏ trống. 100.000 Khi đó số tiền công ty thu được là: 2x   S   2.000.000  x   50   100.000   2x   Xét hàm số f (x)   2.000.000  x   50   , x  0 100.000   4x f '(x)  10   0  x  250.000 100.000 Hàm số f (x) đặt max  x  250.000 Giá tiền thuê mỗi căn hộ là: 2.250.000 đ. Câu 39. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G (x )  0, 025x 2 (30  x ) , trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( x được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất. A. 15mg. B. 20mg. C. 25mg. Hướng dẫn giải D. 30mg. G (x )  0, 025x 2 (30  x ) với x  0 G '(x )  1, 5x  0, 075x 2 Lập BBT  max G (x )  G (20)  100. (0; ) Câu 40. Chi phí về nhiên liệu của một tàu được chia làm hai phần. Trong đó phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 ngàn đồng/giờ. Phần thứ hai tỷ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi v = 10km/h thì phần thứ hai bằng 30 ngàn đồng/giờ. Hãy xác định vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên 1 km đường là nhỏ nhất? A.  15(km / h ). B.  8(km / h ). C.  20(km / h ). D.  6.3(km / h ). Hướng dẫn giải Gọi x (km / h ) là vận tốc của tàu thời gian tàu đi 1km là Phần chi phí thứ nhất là: 480. 1 480  (ngàn). x x Giả sử, phần chi phí thứ 2 kí hiệu là y thì y  kx 3  k  Với x  10  y  1 giờ. x y . x3 1 3 .30  3 (ngàn)  k   0, 003  y  0, 003x 3 . 10 1000 www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN 330 www.TOANTUYENSINH.com 8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm Do đó, tổng chi phí là: T  480  0, 003x 3 . Khảo sát T ta tìm được T đạt GTNN khi x x  15(km / h ) . Câu 41. Số giờ có ánh sáng mặt trời của TPHCM năm không nhuận được cho bởi    y  4 sin  ( x  60)  10 với 1  x  365 là số ngày trong năm. Ngày 25 / 5 của năm thì số 178  giờ có ánh sáng mặt trời của TPHCM gần với con số nào nhất ? A. 14h B. 16h C. 12h Hướng dẫn giải D. 13h30    (145  60)  10  14 178  Ngày 25 / 5 là ngày 25  30,5.5  32,5  145 trong năm nên y  4 sin  Tổng quát ( cái khó của bài toán là tìm ra công thức tính ngày 25/5 là ngày thứ mấy của năm) Gọi a, b, c lần lượt là ngày, tháng, năm và a, b, c  , a  31, b  12 và y là số lượng ngày tính từ ngày 1/1 cho tới này a tháng b ( không tính năm nhuận ). Nếu b lẻ và b  7 thì y  a  30,5b  32,5 Nếu b chẵn và b  2 thì y  a  30,5b  32 Nếu b lẻ và b  7 thì y  a  30,5b  31,5 Nếu b  2 thì y  31  a Thảo luận bài tập và tham khảo tài liệu trên: www.facebook.com/VanLuc168 Facebook www.TOANTUYENSINH.com Website www.facebook.com/toantuyensinh FB-Page www.facebook.com/groups/toantuyensinh FB-Groups www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN 331 www.TOANTUYENSINH.com 8B. Bài toán vận dụng về hàm số lũy thừa – mũ – lôgarit 8B. BÀI TOÁN VẬN DỤNG VỀ HÀM SỐ LŨY THỪA–MŨ–LÔGARIT (CĐ 33)    Dạng 123. Bài toán vận dụng về tốc độ tăng trưởng n .i Câu 01. Dân số thế giới được ước tính theo công thức S  A.e , trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc, S là số dân sau n năm, i là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Biết năm 2016 dân số Việt Nam là 94000000 người, tỉ lệ tăng dân số là i  1,06% . Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm nữa thì dân số Việt Nam vượt quá 100 triệu người với giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi. A. 6 B. 5 C. 8 D. 7 Hướng dẫn giải Giả sử sau ít nhất n năm nữa thì dân số Việt Nam vượt quá 100 triệu người, áp dụng n .0,0106  100000000 . Giải bất phương trình ẩn n suy công thức trên ta có: 94000000.e ra n  6 Câu 02. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của nước Nhật là 0,2% . Năm 1998, dân số của Nhật là 125 932 000. Vào năm nào dân số của Nhật là 140 000 000? A. Năm 2049 B. Năm 2050 C. Năm 2051 D. Năm 2052 Hướng dẫn giải n  0,2    n  53. Đáp án C. Năm 2051 14000000  125932000.1  100   Câu 03. Kết quả thống kê cho biết ở thời điểm 2013 dân số Việt Nam là 90 triệu người, tốc độ tăng dân số là 1,1%/năm. Nếu mức tăng dân số ổn định ở mức như vậy thì dân số Việt Nam sẽ gấp đôi (đạt ngưỡng 180 triệu) vào năm nào A. Năm 2050 B. Năm 2077 C. Năm 2093 D. Năm 2070 Hướng dẫn giải - Phương pháp: Dân số một quốc gia ban đầu là N 0 , tốc độ tăng dân số là r%/năm thì n r   sau n năm, dân số của quốc gia đó được tính theo công thức N n  N 0  1    100  - Cách giải: Gọi n là số năm kể từ năm 2013 để dân số Việt Nam tăng gấp dôi, có có n 1,1    1,011n  2  n  log1,011 2  63, 4 . Ta chọn n = 64 (số phương trình: 180  90 1    100  nguyên nhỏ nhất lớn hơn 63,4) Vậy đến năm 2013 + 64 = 2077 thì dân số Việt Nam sẽ tăng gấp đôi www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN 332 www.TOANTUYENSINH.com 8B. Bài toán vận dụng về hàm số lũy thừa – mũ – lôgarit Câu 04. Theo số liệu từ Tổng cục thống kê, dân số Việt Nam năm 2015 là 91,7 triệu người. Giả sử tỉ lệ gia tăng dân số hàng năm của Việt Nam trong giai đoạn 2015 – 2030 ở mức không đổi là 1,1% , hỏi đếm năm nào dân số Việt Nam đạt mức 113 triệu người. A. Năm 2033 B. Năm 2032 C. Năm 2013 D. Năm 2030 Hướng dẫn giải Gọi M là dân số của năm lấy làm mốc tính, r là tỉ lệ tăng dân số hẳng năm. Khi đó dân số sau N năm là Me Nr . Từ đó theo giả thuyết đầu bài ta có 113  91, 7 0,011N Câu 05. Năm 2001, dân số Việt Nam là 78685800 người. Tỷ lệ tăng dân số năm đó là 1,7%. Biết rằng sự sự tăng dân số ước tính theo thức S  Ae Nr , trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S: dân số sau N năm, r: tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Tăng dân số với tỉ lệ tăng như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người. A. 2025. B. 2030 C. 2026 D. 2035 Hướng dẫn giải Lấy năm 2001 làm mốc tính, ta có: A  78685800, r  0, 017, S  120.106 Từ bài toán: 120.106  78685800.e N .0,017  N  24, 825  25 Tương ứng với năm: 2001+25=2026. Câu 06. Một khu rừng có trữ lượng gỗ 7.105 mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng đó là 5% mỗi năm. Sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có số mét khối gỗ là A. 7.105 (1  0,05)5 B. 7.105.0,055 C. 7.105 (1  0,05)5 D. 7.105 (2  0,05)5 Hướng dẫn giải Sau n năm, khu rừng có số mét khối gỗ là: a 1+i% n Câu 07. Một khu rừng có trữ lượng gỗ 4.105 mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng đó là 4% mỗi năm. Số mét khối gỗ của khu rừng đó sau 5 năm là: A. 4.105.(1  0, 04)15 B. 4.105.(1  0, 4)5 C. 4.105.(1  0, 04)5 D. 4.105.(1  0, 04)5 Hướng dẫn giải Gọi trữ lượng gỗ ban đầu là V0, tốc độ sinh trưởng hằng năm của rừng là i phần trăm. Ta có: - Sau 1 năm, trữ lượng gỗ là: V1  V0  iV0  (1  i )V0 - Sau 2 năm, trữ lượng gỗ là: V2  V1  iV1  (1  i )V1  (1  i ) 2V0 ……… - Sau 5 năm, trữ lượng gỗ là: V5  (1  i )5V0 - Thay V0  4.105 (m3 ), i  4%  0, 04  V5  4.105 (1  0, 04)5 . www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN 333 www.TOANTUYENSINH.com