Tài liệu Nhom 10 ung dung tich phan tinh dien tich hinh phang

DANH SÁCH NHÓM 1 1 Hoàng Minh Trung Toán Nhóm trưởng THPT Phan Đăng Lưu 2 Lê Văn Vĩ Toán THPT Phan Đăng Lưu 3 Nguyêễn Văn Dĩnh Toán THPT Hai Bà Trưng 4 Ngô Văn Mười Toán THPT Phan Đình Phùng 5 Phan Thanh Kiểu Toán THPT Phan Đình Phùng 6 Lê Thị Nhường Toán THPT Phạm Văn Đôồng 7 Huỳnh Thị Tuyêết Hai Toán THPT Phú Xuân 8 Văn Thị Lan Chi Toán THPT Phú Xuân ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO VIỆC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG. Cổng trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng như một Parabol, chiều rộng là 8m, chiều cao là 12, 5 m. Người ta cần lắp một cửa sắt khép kín. Biết rằng 1m2 cửa sắt có giá 900.000. Hỏi Nhà trường ph̉i tr̉ bao nhiuu tiền để làm cửa sắt như vâ ̣y? Trang | 1 Ông An có một m̉nh vườn elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trun d̉i đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.00 đồng/1m 2. Hỏi ông An cần bao nhiuu tiền để trồng hoa trun d̉i đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn) B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC. 1. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐƯỜNG CONG VÀ TRỤC HOÀNH. +) HĐ1: Khởi động. GỢI Ý HĐ1.1. Nuu công thức tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x=a, x =b, trục hoành và đường cong y = f(x), trong đó f(x) là hàm số liun tục, o Trang | 2 không âm trun đoạn [a;b]. b S = ò f ( x)dx a HĐ1.2. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 2x + 1; y = 0; x = 1 và x = 5. a) Dùng công thức hình học tính diện tích hình phẳng. 5 b) Tính tích phân sau I = ò( 2x + 1)dx 1 S = (AD + BC).CD =28 5 22 I = (x +x) = 28 1 Diện tích không đổi. HĐ1.3. Trong HĐ1.2 nếu thay hàm số y = 2x + 1 bởi hàm số –y = – (2x + 1) thì diện tích của nó thay đổi như thế nào? +) HĐ2: Hình thành kiến thức. Từ kết quả trên, ta có Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số y = f(x) liun tục, trục hoành và hai đường thẳng x =a, x=b được tính theo công thức b S  f ( x) dx a Ví dụ 1. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x – 1; trục Ox, đường thẳng x = 0, x = 3. Ví dụ 2. Tính diện tch S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos2 x, trục hoành, trục tung và đường thẳng x  . +) HĐ3: Củng cố. GỢI Ý Trang | 3 HĐ3.1. Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b như hình bun. Khẳng định nào sau đây đúng? b A. S f  x  sx a b B. S  f  x dx a c b C. S f  x  dx  f  x  dx a c c b D. S f  x  dx  f  x dx a c HĐ3.2. Tính diện tch S của hình 4 0 phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y S  x3  4 x dx =  x3  4 x dx  2 2 = x3 – 4x, trục hoành, đường thẳng x 2 4 3 3 = -2 và x = 4.  x  4 x dx   x  4 x dx 44 0 HĐ3.3. 1 3 Cho  C  : y  x3  mx 2  2 x  2m  2 1  5 . Giá trị m   0;  sao cho hình phẳng 3  6 giới hạn bởi đồ thị  C  , y 0, x 0, x 2 có diện tích bằng 4 là: A. m  1 . 2 B. m  1 . 2 C. m  3 . 2 D. m  3 . 2 HĐ3.4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y mx cos x ; Ox ; x 0; x  bằng 3 . Khi đó giá trị của m là: A. m  3 . B. m 3 . C. m  4 . D. m 3 . 2. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI HAI ĐƯỜNG CONG. Trang | 4 GỢI Ý +) HĐ1: Khởi động. HĐ1.1. Diện tích hình phẳng (phần tô màu) ở các hình dưới đây được tính như thế nào?  y = f1 (x) lt u c/[a;b] '    y = f 2 (x) lt u' c/[a;b]   x = a; x = b 1 2 Có thể tính S thông qua S và S không? và tính như thế nào? Xét TH: f1(x) ≥ f2(x) ≥ 0 x  [a;b]. Khi đó S = S1 - S2 +) HĐ2: Hình thành kiến thức. Từ kết quả trên, ta có Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số f(x), g(x) liun tục trun  a;b  và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức b S = ò f1 ( x) - f2 ( x) dx a Ví dụ 1. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 – 4, y = -x2 – 2x, và hai đường thẳng x = -3 , x = -2 Ví dụ 2. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 – 4 và y = -x2 – 2x +) HĐ3: Củng cố. GỢI Ý HĐ3.1. Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai Trang | 5 đường thẳng x = a, x = b như hình bun. Khẳng định nào sau đây đúng? c b A. S  g  x   f  x   dx   f  x   g  x   dx a c b B. S   f  x   g  x   dx a c b C. S  f  x   g  x   dx   g  x   f  x   dx a c c b D. S  f  x  dx  g  x  dx a c HĐ3.2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y e x ; y e  x ; x 1 e 2  2e  1 A. e e 2  2e  1 B. e e 2  2e  1 C. e e 2  2e  1 D. e HĐ3.3. Tính diện tch S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  ln x , y 1 HĐ3.4. Tính dieän tích hình troøn x2 + y2 = R2 C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP. Trang | 6 Bài toán. GỢI Ý Câu 1: Gọi S là diện tích hình phẳng giới  x 2  2x  1   x  1 2  2 2, x hạn bởi các đường 3 2 y  x  2x  1, y m,  m  2  , x 0, x 1 . Tìm m S  m  x 2  2x  1 dx 0 sao cho S = 48  3 x3 A. m = 4 B. m = 6  mx   x 2  x  3m  24 3  0 C. m = 8 D. m = 10 Câu 2:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hs y = cosx , y = sinx và 2 đt x = 0 , x = π. Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn 1 2 bởi đồ thị hs y  x, y  x D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG. Trang | 7 Bài toán 1. Cổng trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng như một Parabol, chiều rộng là 8m, chiều cao là 12, 5 m. Người ta cần lắp một cửa sắt khép kín. Biết rằng 1m2 cửa sắt có giá 900.000. Hỏi Nhà trường ph̉i tr̉ bao nhiuu tiền để làm cửa sắt như vâ ̣y? Gợi ý: Gỉ sử parabol có phương trình y ax 2  bx  c  a 0   25  Đi qua C  0;  , D  4; 0  nun ta có hệ  2  phương trình: 25  c  2   b 0  25 16a  0 2  4 S 2  0  c 2  25 2 25  y  x  b 0 32 2  25 a  32  25 2 25 200 2 x  dx  m 32 2 3 Bài toán 2. Ông A có một m̉nh vườn elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trun d̉i dất Trang | 8 rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.00 đồng/1m2. Hỏi ông A cần bao nhiuu tiền để trồng hoa trun d̉i đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn) Gợi ý: x 2 y2  1 . Từ gỉ a 2 b2 thiết ta có 2a 16  a 8;2b 10  b 5 Gỉ sử elip có phương trình Vậy phương trình của elip là: 5  y  64  x 2  E1   x y 8  1   64 25  y  5 64  x 2  E  2  8 2 2 Khi đó diện tích d̉i vườn được giới hạn bởi các đường (E1); (E2); x  4; x 4 và diện tích của d̉i vườn là 4 4 5 5 S 2  64  x 2 dx   64  x 2 dx 8 20 4 Khi đó số tiền  3 T 80    .100000 7652891,82 7.653.000 6 4  Trang | 9 Bài toán 3. Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước giống như hình vẽ bun, biết đường cong phía trun là mô ̣t Parabol. Giá 1m 2 của rào sắt là 700.000 đồng. Hỏi Ông An ph̉i tr̉ bao nhiuu tiền để làm cái cửa sắt như vâ ̣y (làm tròn đến hàng phần nghìn) Gợi ý: Diu ̣n tích khung cửa bằng tổng diu ̣n tích hình chữ nhâ ̣t và diu ̣n tích của phần parabol phía trun + + Diu ̣n tích hình chữ nhâ ̣t là S1 AB.BC 5.1,5 7,5  m 2  Gọi đường cong parabol có phương trình y ax 2  bx  C Đường cong có đỉnh I  0; 2  suy ra: b 0, c 2  y ax 2  2 Đường cong đi qua điểm: 2 2 2  5 5 C  ;   a   y  x 2 25 25  2 3 Phần diu ̣n tích tạo bởi parabol và đường thẳng y 1,5 là: 2,5 S2  2  25 x  2,5 2 5   0,5  dx  3   S S1  S2  55 55  T  .700000 6417000 6 6 đồng E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG. Trang | 10 Những phép tính tích phân đầu tiun đã được thực hiện từ cách đây 2.000 năm bởi Archimedes (287–212 trước Công nguyun), khi ông tính diện tích bề mặt và thể tích khối của một vài hình như hình cầu, hình parabol và hình nón. Phương pháp tính của Archimedes rất hiện đại dù vào thời ấy chưa có khái niệm về đại số, hàm số hay thậm chí cách viết số dạng thập phân. Tích phân, vi phân và môn toán học của những phép tính này, gỉi tích, đã chính thức được khám phá bởi Leibniz (1646–1716) và Isaac Newton (1642– 1727). Ý tưởng chủ đạo là tích phân và vi phân là hai phép tính nghịch đ̉o của nhau. Sử dụng mối liun hệ hình thức này, hai nhà toán học đã gỉi được một số lượng khổng lồ các bài toán quan trọng trong toán học, vật lý và thiun văn học. J. B. Fourier (1768–1830) khi nghiun cứu sự truyền nhiệt đã tìm ra chuỗi các hàm lượng giác có thể dùng để biểu diễn nhiều hàm số khác. Biến đổi Fourier (biến đổi từ hàm số thành chuỗi các hàm lượng giác và ngược lại) và biến đổi tích phân ngày nay được ứng dụng rất rộng rãi không chỉ trong khoa học cơ b̉n mà c̉ trong Y học, âm nhạc và ngôn ngữ học. Người đầu tiun lập b̉ng tra cứu các tích phân tính sẵn là Gauss (1777– 1855). Ông đã cùng nhiều nhà toán học khác ứng dụng tích phân vào các bài toán của toán học và vật lý. Cauchy (1789–1857) mở rộng tích phân sang cho số phức. Riemann (1826–1866) và Lebesgue (1875–1941) là những người tiun phong đặt nền t̉ng lô-gíc vững chắc cho định nghĩa của tích phân. Kí hiệu tích phân là do nhà toán học Leibniz đưa ra, tích phân của hàm số f trun đoạn [a;b] được ông định nghĩa là giới hạn của một tổng: (1). Về sau hiệu được kí hiệu lại là (do chữ d là chữ bắt đầu của “diferentia”, nghĩa là “hiệu số”), kí hiệu tổng số cũng như chữ S có nguốc từ chữ La-tinh “summa” (nghĩa là “tổng số”), dấu tích phân là một biến dạng đơn gỉn của chữ S. Thành thử, giới hạn (1) được kí hiệu là . Tính độ dài đường cong đồ thị f(x) giới hạn giữa hai đường thẳng x=a và x=b Trang | 11 Ta có thể chia nhỏ đường cong này thành vô số đoạn “gần thẳng” rồi lấy tổng của chúng lại với nhau. Xét và sao cho . Với đủ nhỏ, ta xem độ dài đường cong đồ thị f(x) giới hạn giữa 2 đường thẳng và là độ dài của đoạn thẳng nối 2 điểm và , cũng do nhỏ, ta xem đoạn thẳng này thuộc tiếp tuyến tại của . Như vậy độ dài của đoạn thẳng nối 2 điểm và được tính bằng , trong đó là góc tạo bởi tiếp tuyến tại của và trục Ox nun . Tóm lại Lấy tổng độ dài các đoạn thẳng nhỏ lại với nhau, ta được công thức tính độ dài đường cong đồ thị f(x) giới hạn giữa 2 đường thẳng và là Trang | 12