Tài liệu Nghiên cứu tính toán ổn định của cột tiết diện thay đổi bằng phương pháp sai phân hữu hạn

́ ̀ BỘ GIAO DỤC VÀ ĐAO TẠO BỘ XÂY DỰNG ́ ̀ ́ TRƯƠNG ĐẠI HỌC KIÊN TRUC HÀ NỘI ---------------------------------- HOÀNG VIỆT BÁCH NGHIÊN CỨU TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA CỘT CÓ TIẾT DIỆN THAY ĐỔI BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT CHUYÊN NGÀNH XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP Hà Nội - 2016 ́ ̀ BỘ GIAO DỤC VÀ ĐAO TẠO BỘ XÂY DỰNG ́ ̀ ́ HÀ TRƯƠNG ĐẠI HỌC KIÊN TRUC NỘI ---------------------------------- HOÀNG VIỆT BÁCH KHOÁ 2014 – 2016 NGHIÊN CỨU TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA CỘT CÓ TIẾT DIỆN THAY ĐỔI BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN Chuyên ngành: Xây dựng dân dụng và Công nghiệp Mã số: 60.58.02.08 LUẬN VĂN THẠC SĨKỸ THUẬT CHUYÊN NGÀNH XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP ̀ ́ NGƯƠI HƯƠ G DẪN KHOA HỌC N : TS. TRẦN THỊ THUÝ VÂN Hà Nội – 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn thạc sĩ “ Nghiên cứu tính toán ổn định của cột có tiết diện thay đổi bằng phương pháp sai phân hữu hạn ” là công trình nghiên cứu khoa học độc lập của tôi Các số liệu khoa học, kết quả nghiên cứu của Luận văn là trung thực và có nguồn gốc rõ ràng. Hà Nội, Ngày 1 tháng 6 năm 2016 TÁC GIẢ LUẬN VĂN HOÀNG VIỆT BÁCH LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp của mình, học viên xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo, TS. TRẦN THỊ THUÝ VÂN đã tận tình góp ý, giúp đỡ, chỉ bảo và cung cấp nhiều thông tin khoa học có giá trị trong suốt thời gian thực hiện luận văn. Học viên xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của khoa Đào tạo sau đại học – Trường Đại học kiến trúc Hà Nội, sự tận tình giảng dạy của các thầy cô đối với học viên trong suốt khoá học và sự giúp đỡ của bạn bè cùng lớp. Cuối cùng học viên xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã chia sẻ, tạo điều kiện, giúp đỡ trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn này Hà Nội, Ngày 1 tháng 6 năm 2016 TÁC GIẢ LUẬN VĂN HOÀNG VIỆT BÁCH MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các hình vẽ, sơ đồ, đồ thị Danh mục các bảng, biểu PHẦN MỞ ĐẦU…………………………………………………………….......1 * Lý do chọn đề tài…………………………………………………………...…1 * Mục đích nghiên cứu. …………………………………………………........….2 * Đối tượng và phạm vi nghiên cứu…………………………....………...………2 * Phương pháp nghiên cứu…………………………………………..…….…….2 * Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài…………………………….…..……..3 * Cấu trúc luận văn……………………………………………………..…….…3 PHẦN NỘI DUNG…………………………………………………………......4 CHƢƠNG I: TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA CỘT............................................................4 1.1. Tổng quan về bài toán ổn định cột.........................................................................4 1.1.1 Phân loại ổn định công trình.................................................................................5 1.1.2 Các biểu hiện về sự cân bằng ổn định..................................................................9 a) Biểu hiện tĩnh học.......................................................................................................9 b) Biểu hiện dưới dạng năng lượng:.............................................................................11 c) Biểu hiện dưới dạng động lực học:..........................................................................13 1.2. Tổng quan về các phương pháp tính toán ổn định cột .......................................14 1.2.1 Phương pháp tĩnh học..........................................................................................14 a) Phương pháp lập và giải phương trình vi phân.......................................................14 b) Phương pháp thiết lập và giải phương trình đại số.................................................16 c) Phương pháp sai phân:..............................................................................................18 1.2.2. Phương pháp năng lượng ...................................................................................19 1.2.3. Phương pháp động lực học:................................................................................20 1.3. Giới thiệu về ứng dụng của cột có tiết diện thay đổi:..........................................22 1.4.Các bài toán tính ổn định của cột có tiết diện thay đổi:........................................26 a) Thay đổi theo hình bậc thang:..................................................................................26 b) Thay đổi theo quy luật lũy thừa:..............................................................................28 CHƢƠNG II: XÂY DỰNG PHƢƠNG PHÁP TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CỘT CÓ TIẾT DIỆN THAY ĐỔI BẰNG PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN...............................................................................................................................31 2.1 Giới thiệu về phương pháp sai phân hữu hạn...................................................31 2.1.1 Khái niệm phương pháp sai phân hữu hạn.........................................................31 2.1.2 Cách biểu thị đạo hàm bằng sai phân hữu hạn...................................................31 a) Đạo hàm và sai phân cấp một..................................................................................31 b) Đạo hàm và sai phân cấp cao..................................................................................33 2.2 Xây dựng quy trình tính toán ổn định cột có độ cứng thay đổi bất kỳ bằng phương pháp sai phân hữu hạn................................................................................34 2.2.1 Thanh đầu ngàm đầu ngàm trượt:…………………........................................35 2.2.2 Thanh đầu ngàm, đầu khớp:………………………….................................37 2.2.3 Thanh có liên kết 2 đầu khớp:………………………...................................38 2.2.4 Thanh đầu ngàm, đầu tự do:…………….......................................................38 2.3 Sơ đồ khối của bài toán ổn định cột có độ cứng thay đổi bằng phương pháp sai phân hữu hạn...........................................................................................................38 2.3.1 Sơ đồ khối của bài toán……………………………………………………38 2.3.2 Thuật toán giải bài toán…………………………………………………....40 2.4 Kiểm nghiệm phương pháp tính…………………………………………….42 2.4.1 Giải bài toán bằng phương pháp sai phân hữu hạn cho thanh có độ cứng không đổi……………………………………………………………………….42 2.4.2 Giải bài toán bằng phương pháp giải tích cho thanh có tiết diện không đổi..47 CHƢƠNG III: VÍ DỤ TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA CỘT CÓ TIẾT DIỆN THAY ĐỔI ..................................................................................................................49 3.1 Tính toán ổn định của cột có tiết diện thay đổi theo quy luật bất kỳ(hàm Ix=Io.f(x)) bằng phương pháp sai phân hữu hạn..........................................................49 3.1.1 Xác định lực tới hạn cho thanh có tiết diện thay đổi có liên kết đầu ngàm dầu khớp.........................................................................................................................49 3.1.2 Xác định lực tới hạn cho thanh có tiết diện thay đổi có liên kết khớp ở hai đầu ...........................................................................................................................54 3.1.3 Xác định lực tới hạn cho thanh có tiết diện thay đổi có liên kết đầu ngàm đầu tự do........................................................................................................................60 3.2 Tính ổn định của cột có tiết diện không đổi bằng phương pháp sai phân hữu hạn...................................................................................................................................64 3.2.1 Xác định lực tới hạn cho thanh có tiết diện không đổi có liên kết đầu ngàm dầu khớp..............................................................................................................64 3.2.2 Xác định lực tới hạn cho thanh có tiết diện không đổi có liên kết khớp ở hai đầu ...........................................................................................................................70 3.2.3 Xác định lực tới hạn cho thanh có tiết diện không đổi có liên kết đầu ngàm đầu tự do.............................................................................................................75 3.3 Tính ổn định của cột bằng phương pháp giải tích.................................................80 3.3.1 Phương pháp giải tổng quát :...............................................................................80 3.3.2 Ví dụ tính toán :....................................................................................................82 a) Thanh có hai đầu khớp :............................................................................................82 b) Thanh đầu ngàm đầu tự do :.....................................................................................83 PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ………………………………………...84 Kết luận……………………………………………………...………………....84 Kiến nghị…………………………………………………………................….84 TÀI LIỆU THAM KHẢO DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, SƠ ĐỒ, ĐỒ THỊ Số hiệu hình Hình 1.1. Tên hình Gãy cần trục khi thi công đường sắt trên cao tuyến Nhổn – Ga Hà Nội Hình 1.2.(a) Biến dạng của thanh khi chịu nén đúng tâm Hình 1.2.(b) Biến dạng của thanh khi chịu uốn dọc Hình 1.3. Ví dụ về hiện tượng mất ổn định loại I Hình 1.4. Một số ví dụ về hiện tượng mất ổn định dạng nén đúng tâm Hình 1.5. Ví dụ về hiện tượng mất ổn định dạng uốn phẳng Hình 1.6. Trạng thái mất ổn định của thanh khi chịu nén đúng tâm Hình 1.7. Biểu hiện năng lượng của hệ khi mất ổn định Sơ đồ tính ổn định của cột có tiết diện không đổi bằng Hình 1.8. phương pháp lập và giải phương trình vi phân Sơ đồ tính ổn định của cột có tiết diện không đổi bằng Hình 1.9. phương pháp lập và giải phương trình đại số Hình 1.10. Biểu thị sai phân đường chuyển vị dọc trục thanh Hình 1.11. Tiết diện thay đổi của cột trong nhà công nghiệp bê tông cốt thép. Tiết diện cột thay đổi trong khung thép nhà công nghiệp Hình 1.12. Hình 1.13. thép Khung thép nhà công nhiệp Gò Dầu – Tây Ninh Tiết diện cột thay đổi trong tháp nước –Công ty cổ phần Hình 1.14. cơ khí Đồng Nai Hình 1.15. Tiết diện cột thay đổi trong kết cấu cột điện Hình 1.16. Tiết diện cột thay đổi trong tay với cần trục Hình 1.17. Ví dụ về cột có tiết diện thay đổi theo hình bậc thang Hình 1.18. Cột có tiết diện thay đổi theo quy luật luỹ thừa Hình 2.1. Đồ thị minh họa phương pháp Sai Phân Hữu Hạn Hình 2.2. Tính ổn định của thanh đầu ngàm đầu ngàm trượt Sơ đồ khối giải bài toán tĩnh định của phương pháp sai Hình 2.3. Hình 2.4. Hình 2.5. Hình 3.1. Hình 3.2. Hình 3.3. phân hữu hạn Ví dụ tính ổn định của cột có tiết diện không đổi bằng phương pháp sai phân hữu hạn Ví dụ tính ổn định của cột có tiết diện không đổi bằng phương pháp giải tích Ví dụ tính ổn định của cột có tiết diện thay đổi với liên kết đầu ngàm đầu khớp bằng phương pháp sai phân hữu hạn Ví dụ tính ổn định của cột có tiết diện thay đổi với liên kết hai đầu khớp bằng phương pháp sai phân hữu hạn Ví dụ tính ổn định của cột có tiết diện thay đổi với liên kết đầu ngàm đầu tự do bằng phương pháp sai phân hữu hạn Ví dụ tính ổn định của cột có tiết diện không đổi với liên Hình 3.4. kết đầu ngàm đầu khớp bằng phương pháp sai phân hữu hạn Hình 3.5. Ví dụ tính ổn định của cột có tiết diện không đổi với liên kết hai đầu khớp bằng phương pháp sai phân hữu hạn Ví dụ tính ổn định của cột có tiết diện không đổi với liên Hình 3.6. kết đầu ngàm đầu tự do bằng phương pháp sai phân hữu hạn Hình 3.7. Hình 3.8. Hình 3.9. Sơ đồ biến dạng của thanh khi mất ổn định dọc trục Ví dụ tính ổn định của cột có tiết diện không đổi với liên kết hai đầu khớp bằng phương pháp giải tích Ví dụ tính ổn định của cột có tiết diện không đổi với liên kết đầu ngàm đầu tự do bằng phương pháp giải tích DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU Số hiệu bảng, biểu Tên bảng, biểu Bảng 2.1. Bảng giá trị của Pth trường hợp liên kết hai đầu là khớp Bảng 3.1. Bảng 3.2. Bảng 3.3. Bảng 3.4. Bảng 3.5. Bảng 3.6. Bảng giá trị của Pth trường hợp thanh có tiết diện thay đổi và có liên kết đầu ngàm, đầu khớp Bảng giá trị của Pth trường hợp thanh có tiết diện thay đổi và có liên kết hai đầu khớp Bảng giá trị của Pth trường hợp thanh có tiết diện thay đổi và có liên kết đầu ngàm, đầu tự do Bảng giá trị của Pth trường hợp thanh có tiết diện không đổi và có liên kết đầu ngàm đầu khớp Bảng giá trị của Pth trường hợp thanh có tiết diện không đổi và có liên kết hai đầu khớp Bảng giá trị của Pth trường hợp thanh có tiết diện không đổi và có liên đầu ngàm đầu tự do 1 PHẦN MỞ ĐẦU *) Lý do chọn đề tài. Ngày nay, trong các công trình dân dụng và công nghiệp tại Việt Nam ta đang sử dụng các hệ kết cấu như: kết cấu khung chịu lực, kết cấu khung giằng, kết cấu khung vách, kết cấu dạng ống, kết cấu vỏ, kết cấu ống bó,… hay các loại công trình khác như tháp truyền hình, cột điện,… Trong các loại kết cấu trên luôn xuất hiện cấu kiện chịu lực cơ bản là cột. Việc tính toán khả năng chịu lực của cột luôn đảm bảo ba yêu cầu là độ bền, độ cứng và độ ổn định. Việc lựa chọn hình dáng và kích thước mặt cắt ngang phụ thuộc vào sơ đồ làm việc và tải trọng tác dụng lên cột. Trong phần lớn các kết cấu xây dựng kích thước mặt cắt ngang được lựa chọn là không đổi tại mỗi đoạn cột. Tuy nhiên trong một số trường hợp do yêu cầu về kiến trúc hoặc tiết kiệm vật liệu người ta sử dụng cột có kích thước mặt cắt ngang thay đổi theo quy luật nhất định nào đó. Trong các tài liệu Sức bền vật liệu, Cơ học kết cấu bài toán ổn định của cột có kích thước thay đổi đã được đề cập đến cho một số trường hợp đơn giản như: cột có chiều cao hoặc bề rộng thay đổi theo quy luật bậc nhất; cột có độ cứng thay đổi theo từng đoạn nhất định. Các lý thuyết giải bài toán này được xây dựng trên cơ sở phương pháp giải tích có thể cho lời giải chính xác trong trường hợp đơn giản. Đối với các bài toán phức tạp có điều kiện biên bất kỳ hoặc sự thay đổi kích thước và độ cứng mặt cắt ngang thay đổi theo quy luật bất kỳ thì việc sử dụng phương pháp giải tích gặp phải các khó khăn về mặt toán học. Hơn nữa, hiện nay các chương trình tính toán kết cấu như các phần mềm ứng dụng của phương pháp phần tử hữu hạn cũng cho phép tính ổn định cột có tiết diện thay đổi, nhưng chỉ phù hợp khi kích thước tiết diện thay đổi theo một quy luật nhất định và sẽ không thể áp dụng hoặc rất khó xử lý khi độ cứng tiết diện thay đổi theo một hàm bất kỳ. 2 Cùng với sự phát triển của công nghệ thông tin và các công cụ lập trình các bài toán phức tạp đã có thể giải quyết được bằng cách áp dụng các phương pháp số. Một trong những phương pháp số có thể áp dụng đó là phương pháp sai phân hữu hạn giúp giải quyết được tương đối triệt để vấn đề nghiên cứu đặt ra. Vì lý do nêu trên, học viên chọn đề tài “Nghiên cứu tính toán ổn định của cột có tiết diện thay đổi bằng phương pháp sai phân hữu hạn” để thực hiện luận văn *) Mục đích nghiên cứu. Khai thác khả năng tính toán của phương pháp số là phương pháp sai phân hữu hạn - Nghiên cứu các phương pháp số tính ổn định của cột có tiết diện thay đổi - So sánh kết quả tính toán của các phương pháp tính với nhau *) Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu. - Đối tượng nghiên cứu : Cột chịu uốn dọc có tiết diện thay đổi - Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tính ổn định của cột có độ cứng thay đổi theo hàm đa thức và chịu tải trọng tĩnh, vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi *) Phƣơng pháp nghiên cứu. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết. Nghiên cứu các nguyên lý cơ học công trình, các phương pháp đã được đề cập trong Sức bền vật liệu, Cơ học kết cấu. Phân tích các phương pháp số để lựa chọn phương pháp phù hợp. Trên cơ sở phương pháp lựa chọn xây dựng bài toán và thuật toán giải. Sử dụng các phần mềm ứng dụng như Mathlab, Mathcad để giúp giải quyết các bài toán đã xây dựng. 3 *) Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài. - Đưa ra quy trình giải bài toán tính ổn định của cột có tiết diện thay đổi mà phương pháp giải tích thông thường chưa giải quyết được, hoặc rất phức tạp khi thực hiện chúng. - Các kết quả nghiên cứu góp phần hoàn thiện phương pháp tính cho các cấu kiện công trình và công trình xây dựng nói chung *) Cấu trúc luận văn. Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của luận văn có ba chương gồm có: - Chương I: Tổng quan về bài toán ổn định và các phương pháp tính toán ổn định của cột - Chương II: Xây dựng quy trình tính toán ổn định của cột có tiết diện thay đổi bằng phương pháp sai phân hữu hạn - Chương III: Ví dụ tính toán ổn định của cột có tiết diện thay đổi . THÔNG BÁO Để xem được phần chính văn của tài liệu này, vui lòng liên hệ với Trung Tâm Thông tin Thư viện – Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội. Địa chỉ: T.13 – Nhà H – Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội Đ/c: Km 10 – Nguyễn Trãi – Thanh Xuân Hà Nội. Email: [email protected] TRUNG TÂM THÔNG TIN THƯ VIỆN 84 PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận: Trong luận văn, tác giả đã tìm hiểu và phân tích một số phương pháp trong việc giải quyết bài toán ổn định của thanh có tiết diện không đổi và tiết diện thay đổi. Trên cơ sở phân tích các phương pháp tính có thể thấy phương pháp số là một công cụ hữu hiệu trong việc giải quyết vấn đề mà đề tài nghiên cứu đưa ra. Tác giả đã tìm hiểu lý thuyết phương pháp sai phân hữu hạn, nghiên cứu cách biểu diễn các đạo hàm bằng sai phân, các đại lượng cần tìm qua cách biểu diễn sai phân. Trên cơ sở đó xây dựng quy trình tính toán lực tới hạn của cột có tiết diện thay đổi và không đổi bằng phương pháp sai phân hữu hạn. Trong luận văn tác giả đã viết chương trình tính lực tới hạn cho thanh có tiết diện thay đổi theo quy luật hàm bất kỳ, hàm biểu diễn độ cứng tiết diện thanh có thể là một đa thức bậc n, hoặc là một hàm lượng giác. Chương trình được viết trong ngôn ngữ lập trình Mathcad, là một phần mềm có giao diện dễ sử dụng và thân thiện với người đọc, cho kết quả tường minh, hình ảnh thể hiện rõ ràng, cho kết quả nhanh chóng. Các kết quả tính toán bằng lập trình hoàn toàn trùng khớp với kết quả tính toán bằng phương pháp giải tích. Kiến nghị: Tiếp tục nghiên cứu và triển khai phương pháp sai phân hữu hạn trong bài toán ổn định với hệ thanh phức tạp hơn và chịu tải trọng bất kỳ. Hướng nghiên cứu tiếp theo: Tính toán ổn định của hệ thanh chịu lực phức tạp, chịu tải trọng và có điều kiện biên bất kỳ. TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách tiếng việt 1. Phạm Khắc Hùng- Đào Trọng Long- Lê Văn Quý- Lều Thọ Trình; Ổn định và Động lực học công trình Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp Hà nội 1974 2. Lê Ngọc Hồng và Lê Ngọc Thạch (2002), Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi, NXB Khoa Học và Kỹ Thuật. , Hà Nội. 3. Nguyễn Ngọc Huỳnh và Hồ Thuần (1976), Ứng dụng ma trận trong kỹ thuật, NXB Khoa Học và Kỹ Thuật, Hà Nội. 4. Nguyễn Văn Liên, Đinh Trọng Bằng, Nguyễn Phương Thành (2004), Sức bền vật liệu, NXB Xây Dựng, Hà Nội. 5. Nguyễn Hoài Sơn (2008), Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong tính toán kỹ thuật FEM-MATLAP – NXB Đại học Quốc gia TP. HCM. 6. Lều Thọ Trình- Đỗ Vương Bình; Ổn định công trình Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà nội 2005 7. Lều Thọ Trình (2006), Cơ học kết cấu tập 1- hệ tĩnh định,NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội. 8. Lều Thọ Trình (2006), Cơ học kết cấu tập 2 - hệ siêu tĩnh, NXB khoa học và kỹ thuật, Hà Nội. 9. Nguyễn Mạnh Yên (2000), Phương pháp số trong cơ học kết cấu, NXB khoa học và kỹ thuật, Hà Nội. - Sách tiếng Anh 10. An Introduction to the Boundary Element Method (BEM) and Its Applications in Engineering Yijun Liu,Professor of Mechanical Engineering, University of Cincinnati Cincinnati, Ohio 45221-0072, U.S.A 11. Boundary Element Methods in Engineering Science, P.K.Banerjee - State University of New York at Buffalo and R.Butterfield – Professor and head of Department of Civil Engineering - University of Southampton, McGraw-Hill Book Company (UK) Limited, 1981 12. Boundary Element Method Course Notes, Tara LaForce Stanford, CA 1st June 2006 13. Principles of Boundary Element Methods, Martin Costabel, Technische Hochschule Darmstadt - Sách tiếng Nga 14. В. А. Баженов, В. Ф. Оробей, А. Ф. Дащенко, Л. В. Коломиец, Специальный курс. Применение метода граничных элементов. Одесса, Астропринт, 2001 15. Болотин. B.B. Динамическая Υстойчивость Υприґих Систем, Мосва 1956 16. S.Timoshenko (1940), Strength of Materials, D.Van nostrand company, New York. 17. Timosenko and Goodier (1951), Theory of Elasticity, McGraw-Hill. - Giáo trình, luận văn 18. Nguyễn Thị Ngọc Loan, Luận Văn Thạc Sĩ: Phân tích một số phương pháp số trong cơ học kết cấu, Trường ĐH Kiến Trúc Hà Nội. 19. Trịnh Tự Lực, Bài giảng môn học : phương pháp số trong cơ học kết cấu (dành cho học viên cao học), Trường ĐH Kiến Trúc Hà Nội. 20. Phạm Văn Trung, Bài giảng môn học : Ổn định công trình (dành cho học viên cao học), Trường ĐH Kiến Trúc Hà Nội. 21. м.д.подскребко (2007), Cопротивление материалов, минск вышэйшая школа. 22. Oпределение перемещений в балках переменного сечения на основе теоремы кастилиано.