Tài liệu Nghiên cứu nội lực và chuyển vị của hệ dầm bằng phương pháp so sánh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG ----------------------------- LÊ KHẮC NGUYỄN NGHIÊN CỨU NỘI LỰC VÀ CHUYỂN VỊ CỦA HỆ DẦM BẰNG PHƢƠNG PHÁP SO SÁNH Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Công trình Dân dụng & Công nghiệp Mã số: 60.58.02.08 LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH. HÀ HUY CƢƠNG Hải Phòng, 2015 1 Lời cảm ơn Với tất cả sự kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn của mình tới sự hƣớng dẫn tận tình và chu đáo của thầy hƣớng dẫn GS.TSHK Hà Huy Cƣơng, các thầy cô trong khoa Sau đại học, khoa Xây dựng và toàn thể các thầy cô giáo trƣờng Đại học Dân Lập Hải Phòng những ngƣời đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. Do những hạn chế về kiến thức, thời gian, kinh nghiệm và tài liệu tham khảo nên thiếu sót và khuyết điểm là điều không thể tránh khỏi. Vì vậy, tôi rất mong nhận đƣợc sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô giáo đó chính là sự giúp đỡ quý báu mà tôi mong muốn nhất để cố gắng hoàn thiện hơn trong quá trình nghiên cứu và công tác sau này. Xin trân trọng cảm ơn! Tác giả luận văn Lê Khắc Nguyễn 2 MỞ ĐẦU Bài toán cơ học kết cấu hiện nay nói chung đƣợc xây dựng theo bốn đƣờng lối đó là: Phƣơng pháp xây dựng phƣơng trình vi phân cân bằng phân tố; Phƣơng pháp năng lƣợng; Phƣơng pháp nguyên lý công ảo và Phƣơng pháp sử dụng trực tiếp phƣơng trình Lagrange. Các phƣơng pháp giải gồm có: Phƣơng pháp đƣợc coi là chính xác nhƣ, phƣơng pháp lực; Phƣơng pháp chuyển vị; Phƣơng pháp hỗn hợp; Phƣơng pháp liên hợp và các phƣơng pháp gần đúng nhƣ, phƣơng pháp phần tử hữu hạn; phƣơng pháp sai phân hữu hạn; phƣơng pháp hỗn hợp sai phân - biến phân. Phƣơng pháp so sánh là phƣơng pháp đƣợc xây dựng dựa trên ý tƣởng đặc biệt của K.F Gauss đối với cơ hệ chất điểm và đƣợc đề xuất bởi GS. TSKH Hà Huy Cƣơng đối với cơ hệ môi trƣờng liên tục. Điểm đặc biệt của phƣơng pháp so sánh là tìm đƣợc kết quả của bài toán chƣa biết thông qua kết quả của bài toán đã biết. Đối tƣợng, phƣơng pháp và phạm vi nghiên cứu của đề tài Trong luận văn này, tác giả sử dụng phƣơng pháp so sánh nói trên để xây dựng và giải bài toán dầm chịu uốn có xét đến biến dạng trƣợt ngang do lực cắt Q gây ra, chịu tác dụng của tải trọng tĩnh. Do sự cần thiết của việc nghiên cứu nội lực và chuyển vị của kết cấu chịu uốn, mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn này là: Mục đích nghiên cứu của đề tài “Nghiên cứu nội lực và chuyển vị của hệ dầm bằng phương pháp so sánh” Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 1. Tìm hiểu và giới thiệu các phƣơng pháp xây dựng và các phƣơng pháp giải bài toán cơ học kết cấu hiện nay. 2. Trình bày Phƣơng pháp Nguyên lý cực trị Gauss do GS. TSKH. Hà Huy Cƣơng đề xuất, với các ứng dụng trong cơ học môi trƣờng liên tục nói chung và cơ học vật rắn biến dạng nói riêng. 3. Giới thiệu lý thuyết xét biến dạng trƣợt đối với bài toán kết cấu chịu uốn (dầm và khung) với việc dùng hai hàm chƣa biết là hàm độ võng y và hàm lực cắt Q. 3 4. Trình bày phƣơng pháp so sánh để xây dựng và giải bài toán dầm có xét đến biến dạng trƣợt, chịu tác dụng của tải trọng tĩnh. 5. Lập chƣơng trình máy tính điện tử cho các bài toán nêu trên. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu Việc xác định nội lực và chuyển vị của kết cấu dầm chịu uốn đã đƣợc nhiều tác giả trong và ngoài nƣớc quan tâm nghiên cứu, các kết quả nghiên cứu hiện nay nhìn chung đƣợc tìm thấy thông qua các phƣơng pháp giải trực tiếp. Khác với cách làm hiện nay, tác giả luận văn giới thiệu phƣơng pháp so sánh để xây dựng và giải bài toán kết cấu dầm chịu uốn một cách gián tiếp dựa trên ý tƣởng đặc biệt của K.F Gauss khi nghiên cứu về cơ hệ chất điểm cùng với sự kế thừa, phát triển sáng tạo của GS. TSKH. Hà Huy Cƣơng khi nghiên cứu hệ vật rắn biến dạng thuộc cơ hệ môi trƣờng liên tục. 4 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của bản thân, đƣợc thực hiện trên cơ sở nghiên cứu, tính toán dƣới sự hƣớng dẫn khoa học của GS.TSHK Hà Huy Cƣơng. Các số liệu trong luận văn có nguồn trích dẫn, kết quả trong luận văn là trung thực. Tác giả luận văn Lê Khắc Nguyễn 5 MỤC LỤC Thø tù 1 Néi dung Sè trang Më ®Çu 2 Ch-¬ng 1 - C¸c ph-¬ng ph¸p x©y dùng vµ c¸c ph-¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n c¬ häc kÕt cÊu 4 4 1.1 Ph-¬ng ph¸p x©y dùng bµi to¸n c¬ häc Ph-¬ng ph¸p x©y dùng ph-¬ng tr×nh vi ph©n c©n b»ng ph©n tè 1.2 Ph-¬ng ph¸p n¨ng l-îng 7 1.3 Nguyªn lý c«ng ¶o 10 1.4 Ph-¬ng tr×nh Lagrange 12 Bµi to¸n c¬ häc kÕt cÊu vµ c¸c ph-¬ng ph¸p gi¶i 14 2.1 Ph-¬ng ph¸p lùc 15 2.2 Ph-¬ng ph¸p chuyÓn vÞ 15 2.3 Ph-¬ng ph¸p hçn hîp vµ ph¬ng ph¸p liªn hîp 15 2.4 Ph-¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n 16 2.5 Ph-¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n 16 2.6 Ph-¬ng ph¸p hçn hîp sai ph©n - biÕn ph©n 16 Ch-¬ng 2 - Ph-¬ng ph¸p nguyªn lý cùc trÞ Gauss 17 2.1. Nguyªn lý cùc trÞ Gauss 17 2.2 Ph-¬ng ph¸p nguyªn lý cùc trÞ Gauss 19 2.3 C¬ hÖ m«i tr-êng liªn tôc: øng suÊt vµ biÕn d¹ng 26 2 2.4 C¬ häc kÕt cÊu Ph-¬ng ph¸p nguyªn lý cùc trÞ Gauss vµ c¸c ph-2.5 ¬ng tr×nh c©n b»ng cña c¬ hÖ Ph-¬ng tr×nh c©n b»ng tÜnh ®èi víi m«i tr-êng 2.5.1 ®µn håi, ®ång nhÊt, ®¼ng h-íng Ph-¬ng tr×nh vi ph©n cña mÆt vâng cña tÊm chÞu 2.5.2 uèn Ch-¬ng 2 - Ph-¬ng ph¸p so s¸nh trong c¬ häc kÕt cÊu 4 32 35 36 38 41 6 3.1 3.2 Lý thuyÕt dÇm cã xÐt biÕn d¹ng tr-ît Ph-¬ng ph¸p so s¸nh tÝnh to¸n dÇm cã xÐt ®Õn biÕn d¹ng tr-ît ngang. 41 47 3.2.1 Ph-¬ng ph¸p sö dông hÖ so s¸nh. 47 3.2.2 C¸c vÝ dô tÝnh to¸n. 48 KÕt luËn 64 KiÕn nghÞ vÒ nh÷ng nghiªn cøu tiÕp theo 64 Danh môc tµi liÖu tham kh¶o 65 Môc lôc 71 7 CHƢƠNG 1. CÁC PHƢƠNG PHÁP XÂY DỰNG VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU Trong chƣơng này trình bày các phƣơng pháp truyền thống để xây dựng các bài toán cơ học nói chung; giới thiệu bài toán cơ học kết cấu (bài toán tĩnh) và các phƣơng pháp giải thƣờng dùng hiện nay. 1. Phƣơng pháp xây dựng bài toán cơ học. Bốn phƣơng pháp chung để xây dựng bài toán cơ học kết cấu đƣợc trình bày dƣới đây. Dùng lý thuyết dầm chịu uốn để minh họa. 1.1. Phƣơng pháp xây dựng phƣơng trình vi phân cân bằng phân tố. Phƣơng trình vi phân cân bằng đƣợc xây dựng trực tiếp từ việc xét các điều kiện cân bằng lực của phân tố đƣợc tách ra khỏi kết cấu.Trong sức bền vật liệu khi nghiên cứu dầm chịu uốn ngang sử dụng các giả thiết sau: - Trục dầm không bị biến dạng nên không có ứng suất. - Mặt cắt thẳng góc với trục dầm sau khi biến dạng vẫn phẳng và thẳng góc với trục dầm (giả thiết Euler–Bernoulli). - Không xét lực nén giữa các thớ theo chiều cao của dầm Với giả thiết thứ ba thì chỉ có ứng suất pháp σx và các ứng suất tiếp σxz, σzx tác dụng lên phân tố dầm (hình 1.3), ứng suất pháp σz bằng không. Hai giả thiết thứ ba và thứ nhất dẫn đến trục dầm chỉ có chuyển vị thẳng đứng y(x) và nó đƣợc gọi là đƣờng độ võng hay đƣờng đàn hồi của dầm. Giả thiết thứ nhất xem chiều dài trục dầm không thay đổi khi bị võng đòi hỏi độ võng của dầm là nhỏ so với chiều cao dầm, ymax / h 1/5. Với giả thiết thứ hai thì biến dạng trƣợt do ứng suất tiếp gây ra không đƣợc xét trong tính độ võng của dầm nhƣ trình bày dƣới đây. Gỉả thiết này chỉ đúng khi tỉ lệ h/l 1/5. Chuyển vị ngang u của điểm nằm ở độ cao z so với trục dầm bằng 8 Biến dạng và ứng suất xác định nhƣ sau d2y d2y  x   z 2 ;  xx   Ez 2 dx dx Momen tác dụng lên trục dầm: Z -h/2 TTH h/2 u Hình 1.2. Phân tố dầm d2y Ebh3 d 2 y M    Ebz dz   dx 2 12 dx 2 h / 2 h/2 2 M  EJ (1.7) hay trong đó: EJ  Ebh3 d2y ,   2 12 dx EJ đƣợc gọi là độ cứng uốn của dầm;  là độ cong của đƣờng đàn hồi và sẽ đƣợc gọi là biến dạng uốn; b là chiều rộng dầm. Để đơn giản trình bày, ở đây chỉ dùng trƣờng hợp dầm có tiết diên chữ nhật. Cách tính nội lực momen ở trên không xét đến biến dạng trƣợt do các ứng suất tiếp gây ra. Tổng các ứng suất tiếp σzx trên mặt cắt sẽ cho ta lực cắt Q tác dụng lên trục dầm: Q h/2  zx dz h / 2 Biểu thức của ứng suất tiếp σzx trong tích phân trên sẽ trình bày sau. Nhờ các giả thiết nêu trên, thay cho trạng thái ứng suất trong dầm, ta chỉ cần nghiên cứu phƣơng trình cân bằng của các nội lực M và Q tác dụng lên trục dầm. Xét phân tố dx của trục dầm chịu tác dụng của các lực M,Q và ngoại lực phân bố q, hình 1.3. Chiều dƣơng của M, Q và q trên hình vẽ tƣơng ứng với chiều dƣơng của độ võng hƣớng xuống dƣới. 9 Q q(x) M M + dM o2 1 2 Q + dQ dx Hình 1.3. Xét cân bằng phân tố Lấy tổng momen đối với điểm O2, bỏ qua các vô cùng bé bậc cao ta có: dM  Q  0 (1.8) dx Lấy tổng hình chiếu các lực lên trục thẳng đứng: dQ q 0 dx (1.9) Phƣơng trình (1.8) là phƣơng trình liên hệ giữa momen uốn và lực cắt, phƣơng trình (1.9) là phƣơng trình cân bằng lực cắt Q và ngoại lực phân bố q. Đó là hai phƣơng trình xuất phát (hai phƣơng trình đầu tiên) của phƣơng pháp cân bằng phân tố. Lấy đạo hàm phƣơng trình (1.8) theo x rồi cộng với phƣơng trình (1.9), ta có phƣơng trình dẫn xuất sau: d 2M q 0 dx 2 (1.10) Thay M xác định theo (1.7) vào (1.10) nhận đƣợc phƣơng trình vi phân xác định đƣờng đàn hồi của thanh. d4y EJ 4  q (1.11) dx Phƣơng trình (1.11) đƣợc giải với các điều kiện biên của y và các đạo hàm đến bậc ba của y (4 điều kiện), hai điều kiện biên tại mỗi đầu cuối thanh. Các điều kiện biên thƣờng dùng nhƣ sau: a) Liên kết khớp tại x=0: Chuyển vị bằng không, y x 0 d2y  0 , momen uốn M  0 , suy ra dx 2 0 x 0 10 b) Liên kết ngàm tại x=0: Chuyển vị bằng không, y x0  0 , góc xoay bằng không, dy dx 0 x 0 c) Không có gối tựa tại x=0: d2y Momen uốn M  0 , suy ra dx 2 x 0 d3y  0 ; lực cắt Q=0, suy ra dx 3 0 x 0 Các điều kiện tại x=l cũng lấy tƣơng tự nhƣ trên. Bây giờ tìm hiểu sự phân bố ứng suất tiếp σzx trên chiều dày h của dầm. Trƣớc tiên viết phƣơng trình cân bằng ứng suất trên trục x nhƣ sau:   xz  xx   0 hay x z  xz  xx d3y    Ez 3 z x dx Tích phân phƣơng trình trên theo z:  xz Ez 2 d 3 y   C x  2 dx 3 Hàm C x  xác định từ điều kiện ứng suất tiếp bằng không tại mặt trên và mặt dƣới dầm, z   . Ta có: C  x   h 2 Eh 2 d 3 y 8 dx 3 Ứng suất tiếp phân bố trên mặt cắt dầm có dạng: E d3y 4 z 2  h 2   xz   3 8 dx Đó là hàm parabol bậc hai. Ứng suất tiếp lớn nhất tại trục dầm (z=0) có giá trị bằng  xz z 0 Eh2 d 3 y  8 dx 3 Tích phân hàm ứng suất tiếp theo chiều cao dầm rồi nhân với chiều rộng b ta có lực cắt Q tác dụng lên phần trái của dầm. Ebh3 d 3 y Q 12 dx 3 Eh 2 d 3 y Ứng suất tiếp trung bình trên chiều cao dầm bằng:   12 dx 3 tb xz Tỉ lệ giữa ứng suất tiếp max tại trục dầm và ứng suất trung bình α=1.5. 11 1.2. Phƣơng pháp năng lƣợng. Năng lƣợng của cơ hệ bao gồm động năng T và thế năng П. Động năng đƣợc xác định theo khối lƣợng và vận tốc chuyển động, còn thế năng П bao gồm thế năng biến dạng và công của các trƣờng lực, phụ thuộc vào chuyển vị. Trƣờng lực là lực có thế nhƣ lực trọng trƣờng. Các lực ngoài tác dụng lên cơ hệ là lực không thế. Đối với hệ bảo toàn, năng lƣợng là không đổi: T+ П = const (1.12) Do đó tốc độ thay đổi năng lƣợng phải bằng không: Ta xét bài toán tĩnh, T=0, do đó: П = const (1.14) Thế năng П có thể biểu thị qua ứng suất và nội lực cũng có thể biểu thị qua chuyển vị và biến dạng. Vì vậy ta có hai nguyên lý biến phân năng lƣợng sau: Nguyên lý thế năng biến dạng cực tiểu Khi phƣơng trình cân bằng đƣợc biểu thị qua ứng suất hoặc nội lực và do đó thế năng biến dạng cũng biểu thị qua ứng suất hoặc nội lực ta có nguyên lý thế năng biến dạng cực tiểu, nguyên lý Castiliano (1847-1884). Nguyên lý phát biểu nhƣ sau: Trong tất cả các trạng thái cân bằng lực có thể thì trạng thái cân bằng thực xảy ra khi thế năng biến dạng là cực tiểu. Trạng thái cân bằng lực có thể là trạng thái mà các lực tác dụng lên phân tố thỏa mãn các phƣơng trình cân bằng. Ta viết nguyên lý dƣới dạng sau: F   min Với ràng buộc là các phƣơng trình cân bằng viết dƣới dạng lực. Đối với dầm ta có: 12 Nội lực cần tìm mômen uốn là hàm phân bố theo chiều dài dầm M(x) và phải thỏa mãn các điều kiện liên kết ở hai đầu thanh (đƣợc xác định ở hai đầu thanh). Đây là bài toán cực trị có ràng buộc. Bằng cách dùng thừa số Lagrange đƣa về bài toán không ràng buộc sau: là thừa số Lagrange và cũng là ẩn của bài toán. Theo phép tính biến phân từ phiếm hàm (1.17) ta nhận đƣợc hai phƣơng trình sau (phƣơng trình Euler– Lagrange). có thứ nguyên là chuyển vị cho nên phƣơng trình (1.18) biểu thị quan hệ giữa M và chuyển vị. Thế (1.18) vào (1.19) ta có: là độ võng của dầm và phƣơng trình (1.20) là phƣơng trình vi phân cân bằng của dầm viết theo chuyển vị nhận đƣợc ở trên. Nguyên lý công bù cực đại Khi dùng ẩn là các chuyển vị và biến dạng thì có nguyên lý công bù cực đại. Trong tất cả các chuyển vị động học có thể (khả dĩ) thì chuyển vị thực là chuyển vị có công bù cực đại. 13 Chuyển vị động học có thể là chuyển vị thỏa mãn các phƣơng trình liên hệ giữa chuyển vị và biến dạng và thỏa mãn các điều kiện biên. Công bù bằng tích của ngoại lực và chuyển vị trừ đi năng lƣợng biến dạng. [Công ngoại lực – thế năng biến dạng]→max Với ràng buộc là các phƣơng trình liên hệ giữa chuyển vị và biến dạng. Lấy ví dụ đối với dầm chịu uốn, ta có: Với ràng buộc: là biến dạng uốn cũng là độ cong của đƣờng độ võng. Tích phân thứ nhất trong (1.21) là công toàn phần của ngoại lực (không có hệ số ½), tích phân thứ hai là thế năng biến dạng biểu thị qua biến dạng uốn. Thay từ (1.22) vào (1.21), ta có: Thay dấu của (1.23) ta có: Khi y có giá trị xác định tại hai đầu mút dầm thì điều kiện cần để biểu thức (1.24) cực tiểu là phƣơng trình Euler sau: 14 Phƣơng trình (1.25) là phƣơng trình vi phân cân bằng của dầm chịu uốn. Nguyên lý công bù cực đại dƣới dạng biểu thức (1.24) đƣợc sử dụng rộng rãi trong tính toán công trình theo phƣơng pháp phần tử hữu hạn. 1.3. Nguyên lý công ảo. Nguyªn lý c«ng ¶o ®-îc sö dông rÊt réng r·i trong c¬ häc. Theo K.F. Gauss (1777-1855) th× mäi nguyªn lý trong c¬ häc hoÆc trùc tiÕp hoÆc gi¸n tiÕp ®Òu rót ra tõ nguyªn lý chuyÓn vÞ ¶o. XÐt c¬ hÖ chÊt ®iÓm ë tr¹ng th¸i c©n b»ng ta cã:  X  0, Y  0,  Z  0, (1.26)  X ; Y ;  Z : lµ tæng h×nh chiÕu cña tÊt c¶ c¸c lùc t¸c dông lªn ba trôc cña hÖ to¹ ®é §Ò c¸c. Ta viÕt biÓu thøc sau:  XU YV  ZW  0, (1.27) ë ®©y xem c¸c U ; V ; W ; lµ c¸c thõa sè bÊt kú. Tõ (1.26) ta cã (1.27) vµ ng-îc l¹i tõ (1.27) ta sÏ nhËn ®-îc (1.26) bëi v× c¸c U ; V ; W ; lµ nh÷ng thõa sè bÊt kú. B©y giê ta xem U ; V ; W ; lµ c¸c biÕn ph©n cña c¸c chuyÓn vÞ ¶o theo ba chiÒu cña hÖ to¹ ®é vu«ng gãc. ChuyÓn vÞ ¶o lµ chuyÓn vÞ bÐ do nguyªn nh©n bÊt kú bªn ngoµi nµo ®ã g©y ra. C¸c chuyÓn vÞ ¶o nµy ph¶i tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn liªn kÕt cña hÖ. Khi cã chuyÓn vÞ ¶o th× vÞ trÝ cña c¸c lùc t¸c dông trªn hÖ cã thÓ thay ®æi nh-ng ph-¬ng chiÒu vµ ®é lín cña nã vÉn gi÷ nguyªn kh«ng ®æi. Nh- vËy, c¸c chuyÓn vÞ ¶o U ; V ; W lµ c¸c ®¹i l-îng ®éc lËp víi lùc t¸c dông vµ 15 tõ hai biÓu thøc (1.26) vµ (1.27) ta cã nguyªn lý c«ng ¶o: NÕu nh- tæng c«ng cña c¸c lùc t¸c dông cña hÖ thùc hiÖn trªn c¸c chuyÓn vÞ ¶o b»ng kh«ng th× hÖ ë tr¹ng th¸i c©n b»ng. §èi víi hÖ ®µn håi (hÖ biÕn d¹ng) th× ngoµi ngo¹i lùc cßn cã néi lùc. VÊn ®Ò ®Æt ra ë ®©y lµ c¸ch tÝnh c«ng cña néi lùc nh- thÕ nµo. Tr-íc hÕt ta cÇn ph¶i ®-a thªm yªu cÇu ®èi víi chuyÓn vÞ ¶o nh- sau: C¸c chuyÓn vÞ ¶o ph¶i tho¶ m·n c¸c liªn hÖ gi÷a chuyÓn vÞ vµ biÕn d¹ng. NÕu nh- c¸c chuyÓn vÞ cã biÕn d¹ng x  u v ;  y  ; ... x y th× biÕn ph©n c¸c chuyÓn vÞ ¶o u; v; w còng ph¶i cã c¸c biÕn d¹ng ¶o t-¬ng øng:   u; v; .... x y Th«ng th-êng c«ng cña néi lùc (hoÆc øng suÊt) ®-îc tÝnh qua thÕ n¨ng biÕn d¹ng. Khi cã c¸c chuyÓn vÞ ¶o U ; V ; W ; th× thÕ n¨ng biÕn d¹ng  sÏ thay ®æi b»ng ®¹i l-îng biÕn ph©n  . Do ®ã nguyªn lý chuyÓn vÞ ¶o ®èi víi hÖ biÕn d¹ng ®-îc viÕt nh- sau:    XU YV  ZW  0, (1.28) C¸c ®¹i l-îng biÕn ph©n trong (1.28) ®Òu lµ chuyÓn vÞ ¶o cho nªn nÕu xem néi lùc (øng suÊt) trong qu¸ tr×nh chuyÓn vÞ ¶o còng kh«ng ®æi th× dÊu biÕn ph©n trong (1.28) cã thÓ viÕt l¹i nh- sau:    XU YV  ZW   0 (1.29) 16 Hai biÓu thøc (1.28) vµ (1.29) d-íi d¹ng chi tiÕt h¬n ®-îc tr×nh bµy trong [30, Tr.261].  1  d 2 y 2      2   qy  dx  0 0  2  dx     1  d 2 y 2    qy     dx  0 0 2 dx 2     l l hay (1.30) Ph-¬ng tr×nh Euler cña (1.30) nh- sau: 1.4. EJ d4y q0 dx 4 Ph-¬ng tr×nh Lagrange: Ph-¬ng tr×nh Lagrangelµ ph-¬ng tr×nh vi ph©n cña chuyÓn ®éng ®-îc biÓu thÞ qua c¸c to¹ ®é tæng qu¸t (c¸c chuyÓn vÞ tæng qu¸t). Gäi T lµ ®éng n¨ng vµ  lµ thÕ n¨ng cña hÖ, c¸c qi lµ c¸c chuyÓn vÞ tæng qu¸t vµ Qi lµ c¸c lùc tæng qu¸t th× ph-¬ng tr×nh Lagrange cã d¹ng: d  T  T       Qi , (i=1,2,3......,n) dt  q i  qi qi (1.31) trong ®ã: q i  qi lµ vËn tèc cña chuyÓn ®éng. §èi víi mçi t chuyÓn vÞ qi sÏ cã mét ph-¬ng tr×nh Lagrange. §éng n¨ng T trong to¹ ®é tæng qu¸t lµ hµm cña vËn tèc vµ cã thÓ lµ hµm cña c¶ chuyÓn vÞ tæng qu¸t. ThÕ n¨ng toµn phÇn cña hÖ bao gåm thÕ n¨ng biÕn d¹ng vµ thÕ n¨ng cña lùc cã thÕ (lùc träng tr-êng lµ lùc cã thÕ). Qi lµ lùc kh«ng thÕ cã thÓ ®-îc hiÓu lµ c¸c lùc ngoµi t¸c dông lªn hÖ (lùc tæng qu¸t). ¸p dông ph-¬ng tr×nh Lagrange ®Ó x©y dùng ph-¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña dÇm chÞu uèn nh- sau: 17 Gäi yi lµ chuyÓn vÞ (tæng qu¸t) cña ®iÓm i cña dÇm vµ qi lµ lùc t¸c dông t¹i ®iÓm i cña dÇm vµ mi lµ khèi l-îng. §éng n¨ng cña dÇm: n 1 2 T   my i dx i 1 2 trong y i  ®ã: y i t (1.32) ThÕ n¨ng biÕn d¹ng cña dÇm chÞu uèn: 1  2 y    EJ  2 i i 1 2  x n 2   i (1.33) DÊu tæng lÊy cho tÊt c¶ c¸c ®iÓm i cña dÇm. Ph-¬ng tr×nh Lagrange ®èi víi dÇm cã d¹ng   T  t  y i  T       qi ,  y  y  i i (1.34) Ta tÝnh hai thµnh phÇn ®Çu cña ph-¬ng tr×nh (1.34)  2 yi   T      mi y i  mi 2  mi yi t  y i  t t (1.35) T 0 y i §Ó tÝnh thÕ n¨ng biÕn d¹ng cã thÓ dïng ph-¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n, h×nh 1.5. Bëi v× ®é vâng yi cña dÇm chØ cã mÆt trong biÓu thøc thÕ n¨ng biÕn d¹ng cña ba ®iÓm liªn tiÕp i-1, i i-2 i i-1   i+1  i+2  vµ i+1, cho nªn chØ cÇn tÝnh thÕ n¨ng biÕn d¹ng cña dÇm (1.33) cho H×nh 1.4. B-íc sai ba ®iÓm nµy, x lµ kho¶ng c¸ch ph©n gi÷a c¸c ®iÓm. 18 2 2 1  2 y  1  y i 1  2 y i  y i 1   EJ    EJ    2  x 2  i 2  x 2   2 2 1  2 y  1  y i  2  2 y i 1  y i   EJ    EJ    (1.36) 2  x 2  i 1 2  x 2   2 2 1  2 y  1  y i  2 y i 1  y i  2   EJ    EJ   2  x 2  i 1 2  x 2   Tæng céng ba ph-¬ng tr×nh trªn cho ta thÕ n¨ng cña dÇm ®Ó tÝnh yi. Ta tÝnh  cña ph-¬ng tr×nh (1.34). y i    2 yi 1  4 yi  2 yi 1  yi 2  2 yi 1  yi  yi  2 yi 1  yi  2   EJ   yi x 4    4i  yi 2  4 yi 1  6 yi  4 yi 1  yi  2    EJ    EJ 4 4  x x i   (1.37) 4 y BiÓu thøc (1.37) biÓu thÞ sai ph©n h÷u h¹n cña EJ 4 . x i Céng (1.35) vµ (1.37) nhËn ®-îc ph-¬ng tr×nh Lagrange ®èi víi chuyÓn vÞ yi:  2 yi 4 y m 2  EJ 4  qi (1.38) t x i §iÓm i lµ bÊt kú nªn nhËn ®-îc ph-¬ng tr×nh vi ph©n c©n b»ng cña dÇm: m 2 y 4 y  EJ  q (1.39) t 2 x 4 §èi víi bµi to¸n tÜnh T=0 ta cã: EJ d4y q dx 4 (1.40) Ph-¬ng ph¸p sö dông ph-¬ng tr×nh Lagrange ®Ó nhËn ®-îc ph-¬ng tr×nh vi ph©n cña ®-êng ®é vâng cña dÇm tr×nh bµy ë ®©y lµ cña t¸c gi¶. 19 ë trªn tr×nh bµy bèn ph-¬ng ph¸p chung ®Ó x©y dùng bµi to¸n c¬, lÊy bµi to¸n dÇm chÞu uèn lµm vÝ dô ®Ó biÕt c¸ch sö dông chóng vµ ®Ó thÊy bèn ®-êng lèi ®ã lµ t-¬ng ®-¬ng nhau nghÜa lµ ®Òu dÉn vÒ ph-¬ng tr×nh vi ph©n c©n b»ng cña hÖ. 2. Bài toán cơ học kết cấu và các phƣơng pháp giải. Bài toán cơ học kết cấu nhằm xác định nội lực và chuyển vị của hệ thanh, tấm, vỏ dƣới tác dụng của các loại tải trọng, nhiệt độ, chuyển vị cƣỡng bức,…và đƣợc chia làm hai loại: - Bài toán tĩnh định: là bài toán có cấu tạo hình học bất biến hình và đủ liên kết tựa với đất, các liên kết sắp xếp hợp lý, chịu các loại tải trọng. Để xác định nội lực và chuyển vị chỉ cần dùng các phƣơng trình cân bằng tĩnh học là đủ; - Bài toán siêu tĩnh: là bài toán có cấu tạo hình học bất biến hình và thừa liên kết (nội hoặc ngoại) chịu các loại tải trọng, nhiệt độ, chuyển vị cƣỡng bức,…Để xác định nội lực và chuyển vị ngoài các phƣơng trình cân bằng ta còn phải bổ sung các phƣơng trình biến dạng. Nếu tính đến tận ứng suất, có thể nói rằng mọi bài toán cơ học vật rắn biến dạng nói chung và bài toán cơ học kết cấu nói riêng đều là bài toán siêu tĩnh. Đã có nhiều phƣơng pháp để giải bài toán siêu tĩnh. Hai phƣơng pháp truyền thống cơ bản là phƣơng pháp lực và phƣơng pháp chuyển vị. Khi sử dụng chúng thƣờng phải giải hệ phƣơng trình đại số tuyến tính. Số lƣợng các phƣơng trình tùy thuộc vào phƣơng pháp phân tích. Từ phƣơng pháp chuyển vị ta có hai cách tính gần đúng hay đƣợc sử dụng là H. Cross và G. Kani. Từ khi xuất hiện máy tính điện tử, ngƣời ta bổ sung thêm các phƣơng pháp số khác nhƣ: Phƣơng pháp phần tử hữu hạn; Phƣơng pháp sai phân hữu hạn… 2.1. Phƣơng pháp lực. Trong hệ siêu tĩnh ta thay các liên kết thừa bằng các lực chƣa biết, còn giá trị các chuyển vị trong hệ cơ bản tƣơng ứng với vị trí và phƣơng của các lực ẩn số do bản thân các lực đó và do các nguyên nhân bên ngoài gây ra bằng không. Từ điều 20