Tài liệu Mtct11thpt2010_2011

www.MATHVN.com Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Thõa Thiªn HuÕ Kú thi chän häc sinh giái tØnh Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh CÇM TAY §Ò thi chÝnh thøc Khèi 11 THPT - N¨m häc 2010-2011 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 11/11/2010 - Đề thi gồm 5 trang Các giám khảo Số phách (Họ, tên và chữ ký) (Do Chủ tịch Hội đồng thi ghi) Điểm toàn bài thi Bằng số Bằng chữ GK1 GK2 Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 5 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy Bài 1. (5 điểm) Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình: cos 4 x + cos 3 x + 23cos3 x - 79 cos 2 x + 23cos x + 20 = 0 Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 2. (5 điểm) x2 y 2 a) Chứng tỏ rằng elip ( E ) : + = 1 là hợp của hai đồ thị của hai hàm số y = f1 ( x ) và 25 9 y = f 2 ( x ) . Xác định hai hàm số đó. b) Tính gần đúng tọa độ giao điểm của của đường tròn (C) tâm I (5; 3) , bán kính R = 2 x2 y 2 với elip ( E ) : + = 1 . 25 9 Tóm tắt cách giải: www.mathvn.com Kết quả: MTCT11THPT-Trang 1 www.MATHVN.com Bài 3. (5 điểm) Cho đa thức bậc 6: P( x) = x 6 + ax5 + bx 4 + cx3 + dx 2 + ex + f nhận các giá trị: -6; - 5; 0; 9; 22; 39 theo thứ tự tại các điểm tương ứng x = 1; 2; 3; 4; 5; 6 . a) Hãy tìm một biểu thức xác định P(x) mà không cần tính các hệ số của đa thức. b) Tính P(15); P(25); P(32); P(45); P(122) với giá trị đúng. Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 4. (5 điểm) Cho dãy số {un } với: 3 3 5 3 5 7 ; u3 = 1 + - ; u4 = 1 + - - ; 2! 2! 3! 2! 3! 4! 3 5 7 9 11 un = 1 + - - + + - ... . (n số hạng). 2! 3! 4! 5! 6! Tìm n0 để với mọi n ³ n0 thì un có phần nguyên và chín chữ số thập phân ngay sau dấu u1 = 1; u2 = 1 + phẩy là không đổi. Tính giá trị u2010 . Viết quy trình giải. Tóm tắt cách giải: www.mathvn.com Kết quả: MTCT11THPT-Trang 2 www.MATHVN.com Bài 5. (5 điểm) Cho dãy số {un } với: u1 = 1; u2 = 2; u3 = 2 + 3 3 ; u4 = 2 + 3 3 + 4 4 ; u5 = 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 ;... Tính giá trị của u7 ; u8 ; u9 ; u15 ; u20 ; u2010 . Kết quả lấy đủ 10 chữ số. Nêu quy trình bấm phím liên tục để tính un (n > 7) . Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 6. (5 điểm) Theo kết quả điều tra dân số, dân số trung bình nước Việt Nam qua một số mốc thời gian (Đơn vị: 1.000 người): Năm 1976 1980 1990 2000 2010 Số dân 49160 53722 66016,7 77635 88434,6 a) Tính tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm trong các giai đoạn 1976-1980, 19801990, 1990-2000, 2000-2010. Kết quả chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy. Giả sử tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm không đổi trong mỗi giai đoạn. b) Nếu cứ duy trì tỉ lệ tăng dân số như ở giai đoạn 2000-2010 thì đến năm 2015 và 2020 dân số của Việt Nam là bao nhiêu? www.mathvn.com MTCT11THPT-Trang 3 www.MATHVN.com c) Để kìm hãm đà tăng dân số, người ta đề ra phương án: Kể từ năm 2010, mỗi năm phấn đấu giảm bớt x% (x không đổi) so với tỉ lệ % tăng dân số năm trước (nghĩa là nếu năm nay tỉ lệ tăng dân số là a% thì năm sau là (a − x)%). Tính x để số dân năm 2015 là 92,744 triệu người. Kết quả chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy. Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính để giải. Tóm tắt cách giải: Kết quả: 2 3 20 1ö æ 1ö æ 1ö 1ö æ æ Bài 7. (5 điểm) Cho biểu thức P( x) = ç 2 x + ÷ + ç 2 x + ÷ + ç 2 x + ÷ + ××× + ç 2 x + ÷ xø è xø è xø xø è è Tìm hệ số chính xác của số hạng không chứa x trong khai triển và rút gọn biểu thức P(x). Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 8. (5 điểm) Một máy bay đang bay với vận tốc v = 256km / h theo phương nằm ngang. Tính xem máy bay đang ở độ cao nào, biết rằng khi đang ở vị trí O1 thì phi công nhìn thấy một vật cố định A dưới mặt đất theo góc a1 = 25038' 28" so với phương thẳng đứng và sau đó www.mathvn.com MTCT11THPT-Trang 4 www.MATHVN.com 15 giây, máy bay đến vị trí O2 phi công lại nhìn thấy vật cố định A theo góc a1 = 14055'53" so với phương thẳng đứng ? Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 9. (5 điểm) Điểm môn Toán của hai tổ học sinh lớp 11A1 được ghi trong bảng sau: Hệ số 1 Tổ 1 Hệ số 2 Hệ số 1 Tổ 2 Hệ số 2 6 8 9 4 8 8 9 5 10 4 3 4 9 2 6 4 5 2 9 3 6 4 4 9 8 9 9 6 5 6 10 10 10 3 3 7 9 10 6 3 4 4 5 7 9 10 2 7 6 7 8 8 7 8 8 9 8 9 9 10 6 5 10 5 10 10 8 7 3 4 7 a) Hãy tính điểm trung bình cộng môn Toán của mỗi tổ. b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của các dãy điểm toán của mỗi tổ. Kết quả: + Điểm trung bình cộng môn Toán của tổ 1 là: X » ................... 1 + Điểm trung bình cộng môn Toán của tổ 2 là: X 1 » ................... + Phương sai và độ lệch chuẩn của dãy điểm toán của tổ 1: + Phương sai và độ lệch chuẩn của dãy điểm toán của tổ 2: Bài 10. (5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm I biết: A(-4; 1), B(-1; - 3), D(1; 4) và cạnh CD đi qua điểm E (3; 0) . a) Tính gần đúng tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD. b) Tính diện tích tứ giác ABCD. Tóm tắt cách giải: www.mathvn.com Kết quả: MTCT11THPT-Trang 5 www.MATHVN.com --------------HẾT------------- www.MATHVN.com www.mathvn.com MTCT11THPT-Trang 6 www.MATHVN.com Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Thõa Thiªn HuÕ Kú thi chän häc sinh giái tØnh Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh CÇM TAY Khèi 11 THPT - N¨m häc 2010-2011 Đáp án và biểu điểm Bµi §iÓm TP C¸ch gi¶i §iÓm toµn bµi cos 4 x + cos 3 x + 23cos3 x - 79 cos 2 x + 23cos x + 20 = 0 (1) Ta có: co 4 x = 2 cos 2 2 x - 1 = 2 ( 2 cos 2 x - 1) - 1 = 8cos 4 x - 8cos 2 x + 1 2 cos 3 x = 4 cos3 x - 3cos x Nên: (1) Û 8cos 4 x + 27 cos 3 x - 87 cos 2 x + 20 cos x + 21 = 0 1 Đặt t = cos x ( -1 £ t £ 1) , phương trình (1) tương đương: 5 8t + 27t - 87t + 20t + 21 = 0 (-1 £ t £ 1) Dùng chức năng SOLVE giải phương trình ta được hai nghiệm: t1 = -0,3.75 = - 3 ; t2 » 0, 769149633 8 Vậy nghiệm của phương trình (1) là: x1 » ±1120 01' 28"+ k 3600 ; x2 » ±390 43' 21 + k 3600 4 3 2 a) Phương trình đường elip (E): x2 y 2 3 + =1Û y = ± 25 - x 2 25 9 5 Do đó elip (E) là hợp của hai đồ thị của hai hàm số: y = f1 ( x) = 3 3 252 - x 2 ; y = f 2 ( x) = 252 - x 2 5 5 b) Phương trình đường tròn (C): ( x - 5 ) + ( y - 3) = 4 . 2 2 Vẽ trong mặt phẳng tọa độ, ta thấy "M ( x; y ) Î (C ) : x > 0; y > 0 . Hệ phương trình cho tọa độ giao điểm của đường tròn và elip: 2 ì( x - 5 )2 + ( y - 3)2 = 4 ì( x - 5 )2 + ( y - 3)2 = 4 ï ï ( x > 0; y > 0) Û í . í 3 3 2 25 - x 25 - x 2 ï y=± ï y= 5 5 î î 2 ì 2 æ3 ö 2 25 - x - 3 ÷ = 4 (1) ï( x - 5 ) + ç ï è5 ø í 3 ï y = 25 - x 2 (2) ïî 5 Dùng chức năng SOLVE để giải (1): ( ALPHA X − 5 ) x2 + ( 0.6 ( 25 − ALPHA X x2 ) − 3 ) x2 − 4 ALPHA = 0 SHIFT SOLVE Nhập giá trị đầu là 3 www.mathvn.com MTCT11THPT-Trang 7 www.MATHVN.com ấn phím = cho kết quả x1 » 3,10868 SHIFT SOLVE Nhập giá trị đầu là 4.5 ấn phím = cho kết quả x2 » 4, 7006 . Dùng chức năng CALC để tính các giá trị tung độ giao điểm: y1 » 2,34968 và y2 » 1, 02253 . Vậy: Đường tròn và elip cắt nhau tại hai điểm : A ( 3,10868; 2,34968 ) , B(4, 7006; 1, 02253) 3 a) P( x) = ( x - 1)( x - 2 )( x - 3)( x - 4 )( x - 5)( x - 6 ) + ( x - 3)( 2 x + 1) b) P(15) = 2162532 ; P(25) = 96910242 ; P(32) = 530124205 ; P(45) = 5082521262 ; P(122) = 2767192937635. Quy trình bấm máy: 0 SHIFT STO A 0 SHIFT STO B ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA B + ( 2 ALPHA A − 1 ) ab/c ALPHA A SHIFT x! ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA B + ( 2 ALPHA A − 1 ) ab/c ALPHA A SHIFT x! ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 4 ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA B − ( 2 ALPHA A − 1 ) ab/c ALPHA A SHIFT x! ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA B − ( 2 ALPHA A − 1 ) ab/c ALPHA A SHIFT x! ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 Bấm = liên tiếp ta được n0 = 13 . Với mọi n ³ n0 = 13 thì un » 1, 462377902 không đổi. Vậy: u2010 » 1, 462377902 . Ta có thể tính trực tiếp u3 ; u4 ; ...; u7 : Để tính u7 ta bấm máy: x ( 2 + 3 SHIFT 5 x = x ( 3 + 4 SHIFT x ( 5 + 6 SHIFT ( 6 + 7 SHIFT Cho kết quả: u7 » 1, 91163911 x ( 4 ( 7 + 5 SHIFT ) ) ) ) ) Tính u8 : Bấm máy theo quy trình: www.mathvn.com MTCT11THPT-Trang 8 www.MATHVN.com 8 SHIFT x ( 8 9 SHIFT STO A ALPHA D ALPHA = ALPHA D − 1 ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA ( D − 1 ) x ( D − 1 + ALPHA = ALPHA A ) Bấm = liên tục cho đến khi D = 3 bấm tiếp = Cho kết quả là: u8 » 1,911639214 Tính u9 : Bấm máy theo quy trình: 9 SHIFT x ( 9 10 SHIFT STO A ALPHA D ALPHA = ALPHA D − 1 ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA ( D − 1 ) x ( D − 1 + ALPHA = ALPHA A ) Bấm = liên tục cho đến khi D = 3 bấm tiếp = Cho kết quả là: u9 » 1, 911639216 Tương tự ta có: u15 = u20 » 1, 911639216 . Suy ra: u2010 » 1,911639216 6 a) Giai đoạn 1976-1980 1980-1990 1990-2000 2000-2010 Tỉ lệ % tăng 2,2434% 2,0822% 1,6344% 1,3109% dân số/năm b)Nếu duy trì tỉ lệ tăng dân số như ở giai đoạn 2000-2010 thì: 5 Đến năm 2015 dân số nước ta sẽ là: 88434, 6 (1 + 1,3109 /100 ) » 94,385 triệu người. 10 Đến năm 2020 dân số nước ta sẽ là: 88434, 6 (1 + 1,3109 /100 ) » 100, 736 triệu người. Nếu thực hiện phương án giảm dân số đó thì đến năm 2015 dân số nước ta là: 88434, 6 (1, 013109 - x )(1, 013109 - 2 x )(1, 013109 - 3x )(1, 013109 - 4 x )(1, 013109 - 5 x ) Ta có phương trình: 88434,6 (1, 013109 - x )(1, 013109 - 2 x ) ... (1, 013109 - 5 x ) = 92744 Dùng chức năng SOLVE: 1.013109 SHIFT STO A 88434.6 ( ALPHA A − ALPHA X ) ( ALPHA A − 2 ALPHA X ) ( ALPHA A − 3 ALPHA X ) ( ALPHA A − 4 ALPHA X ) ( ALPHA A − 5 ALPHA X ) − 92744 = 0 SHIFT SOLVE Hiển thị giá trị của A, ấn phím = Nhập giá trị đầu của A là 0.01 = Cho kết quả: x% » 0,1182% n n n 1ö æ Ta có: ç 2 x + ÷ = å Cnk 2k x k x - ( n - k ) = å Cnk 2 k x 2 k - n x ø k =0 è k =0 7 Hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của n n 1ö æ k k 2k -n khi: 2k - n = 0 Û n = 2k Û k = (n chẵn) ç 2 x + ÷ là Cn 2 x 2 xø è Do đó: Hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển và rút gọn của www.mathvn.com MTCT11THPT-Trang 9 www.MATHVN.com P(x) là: 10 2C21 + 22 C42 + 23 C63 + ... + 2 20 C20 . Quy trình bấm máy như sau: 0 SHIFT STO A 0 SHIFT STO D ALPHA D ALPHA = ALPHA D + 2 ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + ALPHA D SHIFT nCr ( ALPHA D ÷ 2 ) Bấm = liên tiếp cho đến khi D = 20 bấm tiếp = cho kết quả: 1 10 2C2 + 22 C42 + 23 C63 + ... + 220 C20 = 217886108 Ta có: O1O2 = 256 ´ 15 16 = (km) 3600 15 0 · · O 1 AO2 = a1 - a 2 ; O1O2 A = 90 + a 2 O1O2 O1 A O O cos a = Þ O1 A = 1 2 0 sin (a1 - a 2 ) sin ( 90 + a ) sin (a1 - a 2 ) 8 Suy ra: h = O1 A cos a1 = O1O2 cos a1 cos a 2 » 4,99993 km » 5000m sin (a1 - a 2 ) + Điểm trung bình môn toán của tổ 1 là: X 1 » 6, 65385 9 + Điểm trung bình môn toán của tổ 1 là: X 2 » 6, 66667 + Độ lệch chuẩn của dãy các điểm toán của tổ 1 là: s1 » 2,44858 Phương sai của dãy các điểm toán của tổ 1 là: s12 » 5,99556 + Độ lệch chuẩn của dãy các điểm toán của tổ 2 là: s2 » 2.48657 Phương sai của dãy các điểm toán của tổ 2 là: s22 » 6,18301 Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD. Ta có: Hệ số góc của AI là: æ1æ æ4ö æ 3 öö æ 3 öö a = - tan ç ç tan -1 ç ÷ + tan -1 ç ÷ ÷ - tan -1 ç ÷ ÷ è3ø è 5 øø è 5 øø è2è æ1æ æ4ö æ 3 ööö = - tan ç ç tan -1 ç ÷ - tan -1 ç ÷ ÷ ÷ » -0,1958872249 Lưu kết quả vào biến A. è3ø è 5 øøø è2è 10 Hệ số góc của DI là: æ1æ æ5ö æ 2 öö æ 3 öö a ' = - tan ç ç tan -1 ç ÷ + tan -1 ç ÷ ÷ + tan -1 ç ÷ ÷ è 3ø è 4 øø è 5 øø è2è a ' » 3.43405783 . Kết quả lưu vào biến B. Phương trình phân giác góc BAD là: AI : y = ax + 4a + 1 Phương trình phân giác góc ADC là: www.mathvn.com MTCT11THPT-Trang 10 www.MATHVN.com DI : y = a ' x + 4 - a ' Hoành độ giao điểm I của hai phân giác là nghiệm của phương trình: ax + 4a + 1 = a ' x + 4 - a ' Û x = 3 - 4a - a ' » -0, 09627998892 . Bấm máy a -a' và lưu kết quả vào biến nhớ C. Suy ra tung độ của I là: y » 0, 2353111201 lưu kết quả vào biến D. Phương trình đường thẳng AB: 4 x + 3 y + 13 = 0 . Bán kính đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD là: r = d ( I , AB) = 4 xI + 3 xI + 13 5 » 2, 664162681 lưu kết quả vào biến E. Phương trình đường thẳng BC: y = kx + k - 3 Û kx - y + k - 3 = 0 kx - yI + k - 3 Ta có: d ( I , BC ) = r Û I =r k 2 +1 2 2 Û é( xI + 1) - r 2 ù k - 2 ( xI + 1)( yI + 3) k + ( yI + 3) - r 2 = 0 . ë û Giải phương trình bậc hai theo k và chọn nghiệm dương, ta được: k » 0, 4023380264 Phương trình đường thẳng BC: y = -2 x + 6 . Hoành độ giao điểm của C là nghiệm của phương trình: 9-6 -2 x + 6 = kx + k - 3 Û x = » 3,578872698 lưu vào biến F, k+2 Suy ra tung độ của C: y » -1,157745396 lưu vào biến Y. Diện tích của tứ giác ABCD là: 1 S = pr = ( AB + BC + CD + DA) r » 28, 6838 (đvdt) 2 www.MATHVN.com www.mathvn.com MTCT11THPT-Trang 11