Tài liệu [lovetoan.wordpress.com] công thức góc giữa hai mặt phẳng (2)

CHUYÊN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - 20/8/2018 BÀI TOÁN TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Tạp chí và tư liệu toán học Bài toán tènh gêc giữa hai mặt phẳng là những bài toán tương đối khê và nằm ở mức vận dụng và vận dụng cao, bæn cạnh những phương pháp truyền thống như dựng hçnh tạo gêc thì trong chủ đề của tuần này ta sẽ cíng tçm hiểu tới 3 phương pháp giải quyết các bài toán trắc nghiệm cê thể nêi gần như mọi bài toán tènh gêc giữa 2 mặt phẳng mà ta hay gặp. Bản pdf được đăng træn blog Chinh phục Olympic toán các bạn chî ï đên đọc nhå! I. CÁC PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ. 1. SỬ DỤNG CÔNG THỨC HÌNH CHIẾU. Đây là một tènh chất khá là cơ bản trong chương trçnh hçnh học 11 mà ta cần nắm rì, cëng thức của nê rất đơn giản như sau. Nội dung. Cho hình S thuộc mặt phẳng  P  , hình S ' là hçnh chiếu của S læn mặt phẳng Q , khi đê ta cê cosin gêc giữa hai mặt phẳng  P  và  Q  được tènh theo cëng thức cos   S' . Sau đây là vè dụ minh họa cho cëng thức này. S Bài toán : Cho hçnh hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cê AB  a;AD  2a AA '  4a . Gọi M,N,P lần lượt thuộc các cạnh AA’, DD’, BB’ sao cho MA  MA ' , ND  3ND ' , PB'  3PB , mặt phẳng  MNP  cắt cạnh CC; tại Q. Tènh cosin gêc giữa  MNQP  ;  ABCD  Hướng dẫn Đầu tiæn ta cần phải chî ï tới cách dựng được A' điểm Q. Kẻ đường nối tâm 2 đáy    , ta thấy PN thuộc mặt phẳng  B'D'DB  nên    sẽ cắt PN, đồng thời P, M, N cíng thuộc mặt phẳng næn nối M vs giao điểm vừa tçm được ta sẽ ra được điểm C'Q Q. Vấn đề ở đây là ta cần tènh được tỷ số , ta CQ sẽ sử dụng tới tènh chất sau. A'M B'P C'Q D'N Đặt x  , khi đê ta ,y  ,z  ,t  AA' B'B C'C D'D D' C' B' M P B N Q D A C cê 2 cëng thức cần nhớ sau: VA'B'C'D'.MPQN x  y  z  t   VA'B'C'D'.ABCD 4  xz  yt Áp dụng vào bài toán ta suy ra C'Q 1  . Để ï ta thấy rằng MN PQ, MP QN nên CC' 2 MNQP là hçnh bçnh hành. Dễ dàng tènh được các đoạn thẳng Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 1 BÀI TOÁN TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 2    1 1  2 10 MN  PQ   4      2 2  3   2 3     1 1  13 MP  QN   4      12  3   2 3  2 Mặt khác do MQ là đường trung bçnh của A'C'CA  MQ  Từ đây díng cëng thức Herong dễ dàng tènh được S MNQP  1 1 2 5 AC  1  22  2 2 2 599 48 Mặt khác hçnh chữ nhật ABCD chènh là hçnh chiếu của hçnh bçnh hành MNQP læn mặt phẳng  ABCD  næn áp dụng cëng thức cần ta cê cos   MNQP  ;  ABCD    S ABCD 599  S MNQP 96 2. SỬ DỤNG CÔNG THỨC GÓC NHỊ DIỆN. Đây là một cëng cụ rất mạnh để giải quyết các bài toán tènh gêc giữa 2 mặt phẳng, hầu hết các bài toán đơn giản hay đến phức tạp đều cê thể giải bằng phương pháp này, sau đây ta sẽ cíng tçm hiểu nê. Trong phần này mçnh sẽ chỉ hướng dẫn các bước làm cho các bạn! Các bước thực hiện. Bước 1: Đưa gêc giữa hai mặt phẳng về gêc giữa hai mặt phẳng kề nhau của một tứ diện. Chî ï điều này luën thực hiện được. Bước 2: Sử dụng cëng thức: V  2S 1 S 2 sin  . Trong đê S 1 , S 2 lần lượt là diện tèch hai tam 3a giác kề nhau của tứ diện, a là độ dài giao tuyến, cén  là gêc giữa hai mặt phẳng cần tçm. Bài toán 1: Cho tứ diện S.ABC, SA  a; SB  2a; SC  3a;ASB  60 o ; BSC  90 o ; CSA  120 o . Tính cosin  SAB ;  SBC  . Hướng dẫn Yæu cầu của đề bài là tènh gêc giữa hai mặt phẳng thç S theo như bước 1 ta phải đưa về một tứ diện với bài này thç khỏi nhỉ bởi nê đã thuộc 1 tứ diện sẵn rồi . Giờ ta phải tènh thể tèch của khối tứ diện đê. Đầu tiæn thç phải chî ï đến giả thiết, với những bài mà cho độ dài các C' cạnh bæn với lại gêc ï thç ta phải dựng một chêp tam giác đều khác bằng cách lấy træn SB,SB các điểm B’, C’ sao cho SB '  a, SC '  a thç ta được S.AB’C’ là chêp tam A C B' giác đều và ta sẽ tènh được thể tèch của nê, xong sau đêtìm dùng công thức tỷ số thể tèch sẽ tènh được VS.ABC . 2 | Chinh phục olympic toán B Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - 20/8/2018 Đê là cách làm truyền thống, cén đối với thi trắc nghiệm thç cê thể nhớ cëng thức tènh thể tèch như sau: Tứ diện S.ABC cê SA  a, SB  b, SC  c,ASB   , BSC  , CSA   thç thể tèch của nê là: 1 2 2 2 V  abc 1  2 cos  cos  cos    cos     cos     cos   6 Áp dụng vào bài ta tènh được thể tèch là VS.ABC  a 2 . 2 Đồng thời cê giả thiết gêc thç suy ra tất cả các cạnh của nê ta sẽ tènh được diện tèch của hai tam giác là: S SAB  a2 3 ; S SBC  3a 2 ; SB  2 . 2   Tương vào cëng thức ta cê sin  SAB  ;  SBC     2 3 .  cos  SAB  ;  SBC   3 3 Xong bài nhé!  đơn giản khëng nào. Bài toán 2: Cho tứ diện ABCD, BC  3, CD  4,ABC  BCD  ADC  90o ,  AD, BC   60 o . Tính cos   ABC  ;  ACD   . Hướng dẫn Một bài toán tương đối khê phải khëng nào? Ở bài toán này ta các bạn cê nhớ đến định lï ba đường A vuông góc không??? Theo giả thiết thç cê phải là tam giác BCD vuëng tại C đîng khëng? Tiếp theo hai gêc ABC, ADC cũng vuëng điều này chứng tỏ là hçnh chiếu AB lên  BDC  sẽ vuëng gêc BC, hçnh chiếu AD læn  BDC  E cũng vuëng với CD, nhỉ? Đến đây thç cần tçm điểm E sao cho E là hçnh chiếu của A læn  BDC  có phải là từ B kẻ vuëng gêc với BC, D kẻ vuëng gêc với B D CD thç ta sẽ được điểm E cần tçm ko? Oh khëng những C thế AE cén vuëng gêc với cả mặt phẳng BCD nữa. Đến đây quy về bài toán quá bçnh thường, chuyển gêc giữa hai mặt phẳng cần tènh về một tứ diện nhå các bạn  Phần cén lại nhường nhå! Bài toán 3: Cho lăng trụ tam giác đều. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, A’C’, BC. AB  2 3 ;AA '  2 . Tính cosin góc   AB'C ' ;  MNP   . Hướng dẫn Câu này đề cê vẻ rất ngắn gọn, và là câu 47 trong đề minh họa 2018 vào tháng 1 của bộ tức là câu điểm 9,4 nhå :V Nêi chung khëng hề đơn giản tẹo nào cả. Tuy nhiæn ta vẫn bám sát vào phương pháp để làm! Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 3 BÀI TOÁN TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Đầu tiæn phải đưa về một tứ diện nhỉ? Điều đê làm ta E phải tçm một mặt phẳng song song với mặt phẳng ABC’ thëi, bằng cách lấy trung điểm AA’ ta sẽ chuyển về tènh gêc giữa D   MNQ  ;  MNP   . Cëng việc giờ thç mçnh sẽ C' hướng dẫn cho các bạn nhå, mấu chốt là tènh được thể N tèch của khối MNPQ đîng khëng, vậy thç nhçn hçnh vẽ nhé, mình sẽ đưa về tènh thể tèch của khối Q.PDE, khối A' B' M này đối với các bạn tènh đơn giản thëi bởi khoảng cách từ Q tới mp DECB bằng bởi khoảng cách từ A’ tới mp DECB, từ A’ kẻ vuëng gêc với B’C’ là okie! Têm lại là Q thể tèch đê tènh được, xong sau đê sài cëng thức tỷ số C thể tèch ta sẽ tènh được V của MNPQ cén lại chỉ là việc tính cạnh thëi, phần các bạn nhå, chỉ là kỹ năng tènh P toán thôi nha . Nếu như cê năng khiếu hçnh học thç B A câu này tương đối dễ làm, cê thể tham khảo cách của làm træn mạng nha bài này giải rất nhiều rồi! 3. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA. Nêi chung đây cũng là một phương pháp rất mạnh, tuy nhiæn nhược điểm của nê là phải nhớ cëng thức tènh hơi cồng kềnh và chỉ áp dụng cho những trường hợp ta dựng được hoặc trong bài toán cê yếu tố 3 đường vuëng gêc! Đầu tiæn ta cần nhớ tới cëng thức cần thiết của chương hçnh học Oxyz sau Gọi  là gêc giữa 2 mặt phẳng  P  : ax by  cz  d  0,  Q  : a'x  b'y  c'z  d'  0    cos   cos n P , n Q  n P .n Q nP . nQ  AA ' BB' CC ' A B C 2 2 2  0    90  o A '  B'  C ' 2 2 2 Cách thực hiện  Bước 1: Xác định 3 đường vuëng gêc chung  Bước 2: Gắn hệ trục tọa độ Oxyz, coi giao điểm của 3 đường vuëng gêc chung là gốc tọa độ  Bước 3: Từ giả thiết tçm tọa độ của các điểm cê liæn quan tới giả thiết.  Bước 4: Áp dụng cëng thức cần tènh để suy ra kết quả. Kinh nghiệm Theo kinh nghiệm của mçnh thç những bài toán cê giả thiết liæn quan tới hçnh hộp chữ nhật, hçnh lập phương thç thç ta næn sử dụng phương pháp tọa độ hêa, ngoài ra các bài cê yếu tố một cạnh của chêp vuëng gêc với đáy hay liæn quan tới lăng trụ đứng ta cũng cê thể sử dụng phương pháp này nhưng tíy vào từng bài mà ta cê hướng đi khác nhau, cê thể là sử dụng phương pháp 2 hoặc sử dụng phương pháp 1, tíy vào kỹ năng của người làm bài. Sau đây ta cíng tçm hiểu vè dụ minh họa. 4 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - 20/8/2018 Bài toán: Cho hçnh lập phương ABCD.A 'B'C 'D ' cê cạnh bằng 1. Gọi I, I’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và tam giác A’C’D’, H là tâm hçnh vuëng ABCD. Træn cạnh II’ lấy điểm G sao cho I 'G  2IG . Tính cosin gêc giữa hai mặt phẳng  GAC  ,  GA 'B' Hướng dẫn z A' D' I' B' C' G y A B H D I C x Đây là một bài toán khê, và tất nhiæn phương pháp 1 hay phương pháp 2 rất là khê để cê thể sử dụng được, khi đê ta nghĩ tới phương pháp 3 – gắn trục tọa độ. Với bài toán này tìm 3 đường vuëng gêc chung khëng khê, ta sẽ coi 3 trục tọa độ như hçnh vẽ và gốc tọa độ tríng điểm A. Khi đê ta cê tọa độ các điểm như sau: 1 1 1 A'  0; 0; 1  , B'  1; 0; 1  ; G  ; ;  , C  1; 1; 0  3 3 3 Vậy khi đê ta tènh được vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng 1 1  n  GAC   GA; GC    ;  ; 0    1; 1; 0  3 3   2 1 n  GA'B'  GA'; GB'   0; ;    0; 2; 1   3 3 Đến đây áp dụng cëng thức ta cê cosin gêc giữa 2 mặt phẳng  GAC  ,  GA 'B' là cos   1.0  1.2  0.1 12  1 2  0 2 1 2  2 2  0 2  10 5 Đến đây bài toán đã được giải quyết hoàn toàn Chú ý. Phương pháp gắn tọa độ đã được rất nhiều tác giả và cũng rất nhiều bài viết træn mạng nêi đầy đủ và chi tiết về phương pháp này, ở cuối bài viết mçnh sẽ cê link để các bạn tham khảo. Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 5 BÀI TOÁN TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Tóm lại. Qua 3 phương pháp mçnh đề cập tới ở træn chắc hẳn đã phần nào giîp các bạn không còn sợ dạng toán này, khëng cê phương pháp nào là ưu việt tuyệt đối cả cần phải vận dụng linh hoạt các phương pháp với nhau, đồng thời phải nắm vững được nhiều mảng kiến thức thç mới cê thể làm tốt được. Sau đây là các bài tập cho các bạn rän luyện. II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hçnh lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cê đáy ABC là tam giác vuëng tại B, BC  a , mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy gêc  và tam giác A’BC cê diện tèch bằng a 2 3 . Biết rằng AA'.S ABC  3a 3 3 . Giá trị của P  sin 2  bằng bao nhiæu? 2 Bài 2: Cho hçnh chêp S.ABC cê đáy là tam giác cân tại A, AB  AC  2a , BC  2a 3 . Tam giác SBC đều và thuộc mặt phẳng vuëng gêc với đáy. Tènh cosin gêc giữa  SAB  ;  SAC  Bài 3: Cho hçnh hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cê đáy ABCD là hçnh vuëng, AC '  a 2 . Gọi  P  là mặt phẳng qua AC’ cắt BB', D D ' lần lượt tại M,N sao cho tam giác AMN cân tại   A có MN  a . Tính cos  P  ;  ABCD  . Bài 4: Cho hçnh chêp S.ABC cê đáy ABC là tam giác vuëng tại A, cê AB  a , SA  SB 3a , SA  SA;ACB  30 o . Biết khoảng các giữa hai đường thẳng SA và BC là . Tính 4   cos  SAC  ;  SBC  . Bài 5: Cho hçnh chêp S.ABC, SA vuëng gêc với đáy, ABC là tam giác vuëng cân tại đỉnh C. Giả sử SC  a , tçm gêc giữa hai mặt phẳng  SBC  ;  ABC  để thể tèch khối chêp S.ABC đạt giá trị lớn nhất. Tçm giá trị lớn nhất ấy. Bài 6: Cho hçnh chêp S.ABCD cê đáy ABCD là hçnh thoi cê BAD  120 o , hçnh chiếu vuëng gêc của điểm H træn mặt phẳng đáy tríng với trọng tâm tam giác ABC, biết đường cao của khối chêp là SH  a 6 và tam giác SBD vuëng tại S. Tènh gêc giữa 2 mặt phẳng 3  SAD  ,  SCD  . Bài 7: Cho tứ diện ABCD cê AB  CD  a; BC  AD  2a; BD  AC  3 a . Trên AB,AC,AD lấy các điểm M,N,P sao cho MA  MB; NA  2NC; PA  3PD . Tènh cosin gêc giữa hai mặt phẳng  MNP  ;  AMP  . Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cê đáy là tam giác đều cạnh a, AA '  2a . Træn AA’, BB’, CC’ lần lượt lấy các điểm M,N,P sao cho MA  MA ' ; NB  2NB'; PC  3PC ' . Tính cosin gêc giữa hai mặt phẳng 6 | Chinh phục olympic toán  ANP  ;  MNP  . Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - 20/8/2018 Bài 9: Cho chêp S.ABCD cê SA vuëng gêc với đáy, ABCD là hçnh thang vuëng tại A,D sao cho AD  2AB  2BC  2a , SA  2a . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, SC. Tènh cosin gêc giữa hai mặt phẳng  MND  ;  CSD  . Bài 10: Cho hçnh hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cê AB  a;AD  2a AA '  4a . Gọi M,N,P lần lượt thuộc các cạnh AA’, DD’, BB’ sao cho MA  MA ' , ND  3ND ' , PB'  3PB , mặt phẳng  MNP  cắt cạnh CC; tại Q. Tènh cosin gêc giữa hai mặt phẳng  MNQP  ;  AQP  Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cê đáy ABC là một tam giác cân với điều kiện AB  AC  a, BAC  120 0 , cạnh bên BB '  a . Gọi I là trung điểm CC’. Chứng minh rằng tam giác AB’I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng  ABC  ,  AB'I  Bài 12: Cho hçnh chêp S.ABCD cê đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường trén đường kènh AB  2a , SA vuëng gêc với đáy và SA  a 3 . Tènh tan gêc giữa  SAD  ,  SBC  Bài 13: Cho hçnh chêp S.ABC cê đáy ABC là tam giác vuëng cân tại B, SA   ABC  , SA  a . Gọi E,F lần lượt là trung điểm AB,AC . Tènh cosin gêc giữa  SEF  ,  SBC  Bài 14: Cho lăng trụ đứng ABC.A 'B'C ' cê đáy tam giác vuëng tại A. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm của A 'B ' , I là trung điểm của GM. Tènh cosin gêc giữa 2 mặt phẳng  IB'C' ,  ICA  Bài 15: Cho hçnh lập phương ABCD.A 'B'C 'D có tâm O Gọi I là tâm của hçnh vuëng A 'B'C 'D và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO  2MI . Tènh cosin gêc giữa 2 mặt phẳng  MC 'D' ,  MAB  III. TÀI LIỆU THAM KHẢO Các bạn ấn vào số trước tæn tài liệu để tải về nhå! [1] Trắc nghiệm nâng cao khối đa diện – Đặng Việt Đëng [2] Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải hçnh học khëng gian – Cao Tuấn [3] Tài liệu chuyæn toán chuyæn đề hçnh học khëng gian – Trần Đức Huyæn [4] Trắc nghiệm khối đa diện cê giải chi tiết trong các đề thi thử Toán 2018 [5] Ôn luyện bồi dưỡng học sinh giỏi hçnh học khëng gian – Phan Huy Khải [6] Chuyæn đề trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi hçnh học khëng gian – Nguyễn Quang Sơn IV. LỜI KẾT Chuyæn mục tuần này xin được phåp kết thîc tại đây, mọi thắc mắc về vấn đề ën thi THPT Quốc Gia hay những vấn đề nào các bạn thấy khê hiểu các bạn cê thể gửi về địa chỉ fanpage Tạp chè và tư liệu toán học , xin chào và hẹn gặp lại các bạn trong chuyæn mục tuần sau  Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 7