Tài liệu KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 ÔN TẬP NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ ĐỂ VẬN DỤNG GIẢI TOÁN Vấn đề 1 CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM  (x a ) ' = a.x a- 1 1  ( x) ' = 2 x ' �� 1 1  �� =- 2 � � �� x x a ( e ) ' = u '.e ( )  ( a ) ' = a .lna a ( a ) ' = u '.a .lna x x  e ' =e a ( u ) ' = a.u .u ' u' a ( u) ' = 2 u ' �� 1� u' a � =- 2 � � �� u u a a- 1 x 1 u' a ( tan u) ' = 2 cos x cos2 u 1 u' a ( cot u) ' =  ( cot x) ' = 2 sin x sin2 u u u u ( ) . ' = u '.v + v '.u  uv ' �� u u '.v - v 'u  � � = �� � � v� v2 �� a ( sin u) ' = u '.cosu  ( sin x) ' = cosx  (cosx)' = - sin x a (cosx)' = - u '.sin u  ( tan x) ' = x u 1 x 1  ( ln x ) ' = x  ( ln x) ' =  ( loga x) ' = u' u u' a ( ln u ) ' = u a ( ln u) ' = 1 u' a ( loga u) ' = x lna u lna Vấn đề 2 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Hệ thức lượng cơ bản sin2 x + cos2 x = 1 tan x = sin x cosx 1+ tan2 x = 1 cos2x Công thức nhân đôi – nhân ba – hạ bậc tan x.cot x = 1 cosx cot x = sin x 1+ cot2 x = 1 sin2 x Công thức cộng cung sin( a �b) = sina.cosb �cosa.sinb cos( a �b) = cosa.cosb msina.sinb tana + tanb tan ( a + b) = 1- tana.tanb tana - tanb tan ( a - b) = 1+ tana.tanb Công thức biến đổi tổng thành tích sin2x = 2sin x.cosx cos2x = cos2 x - sin2 x = 2cos2 x - 1 = 1- 2sin2 x 1- cos2x ; 1+ cos2x � sin2 x = cos2 x = 2 2 3 (3sin – 4sỉn) sin3x = 3sin x - 4sin x 3 (4cổ – 3 cô) cos3x = 4cos x - 3cosx Công thức biến đổi tổng thành tích a +b a- b cosa + cosb = 2cos .cos 2 2 a +b a- b cosa - cosb = - 2sin .sin 2 2 a +b a- b sina + sinb = 2sin .cos 2 2 a +b a- b sina - sinb = 2cos .sin 2 2 a Công thức tính sin a,cosa theo t = tan 2 Trang 1 Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 � 2t � sin a = � 1+ t2 � � � � a 1- t2 cosa = Đặt t = tan � � � � 2 1+ t2 � � � 2t � tan a = � � 1- t2 � Một số công thức khác 1� cos( a - b) + cos( a + b) � � 2� 1 sina.cosb = � sin ( a - b) + sin ( a + b) � � 2� cosa.cosb = sina.sinb = 1� cos( a - b) - cos( a + b) � � 2� Một số công thức khác 1 2 3 + 1cos4x sin 2x = 2 4 3 2 5 + 3cos4x 6 6 cos x + sin x = 1- sin 2x = 4 8 2 tan x + cot x = sin2x cot x - tan x = 2cot2x � p� � p� � � sin x + cosx = 2sin � x+ � = 2cos� x- � � � � � � � � 4� � 4� � � � p� � p� � � sin x - cosx = 2sin � x- � = 2cos� x+ � � � � � � � � � 4 � � � 4� cos4 x + sin4 x = 1- Vấn đề 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Phương trình lượng giác cơ bản: � � sin x = 0 � x = kp � � � � u = v + k2p p a. Phương trình: Đặc biệt: � trình: sin u = sin v � � � sin x = 1 � x = + k2p � � � u = p - v + k2p 2 � � � � p � � sin x = - 1 � x = - + k2p � � 2 � p � cosx = 0 � x = + kp � � �= u v + k2p 2 � � cos x = 1 � x = k 2p b. Phương trình: Đặc biệt: trình: cosu = cosv � � � � � u = - v + l 2p � � cosx = - 1 � x = p + k2p � � � � � tan u = tan v � u = v + kp tan x = 0 � x = kp � � c. Phương trình: Đặc biệt: � trình: p p � �k : u, v � + kp tan x = �1 � x = � + kp � � 2 4 � � p � cot x = 0 � x = + kp cot u = cot v � u = v + kp � � 2 d. Phương trình: Đặc biệt: � trình: � p �k : u, v �kp � cot x = �1 � x = � + kp � � 4 � 2. Phương trình lượng giác cổ điển dạng: dạng: a sin x + bcosx = c ( 1) Điều kiện có nghiệm:  Chia hai vế cho a2 + b2   Đặt sin a = a2 + b2 �c2 a 2 2 a +b . a , ta được: ( 1) � 2 c 2 a +b a2 + b2 � x = a �b + k2p (k ��) 2 a +b b , cosa = sin a.sin x + cosa.cosx = 2 sin x + b 2 2 a +b cosx = c 2 a + b2 0, 2p� ( a �� ) . Phương trình trở thành: � � � � � cos(x - a ) = Trang 2 c a2 + b2 = cos b Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 3. Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc hai dạng: dạng a sin2 x + bsin x cosx + c cos2 x = d ( 2) Kiểm tra xem  Khi  cosx = 0 cosx � 0 có phải là nghiệm hay không ? Nếu có thì nhận nghiệm này. , chia hai vế phương trình cho ( 2) cos2 x , ta được: a.tan2 x + b.tan x + c = d(1 + tan2 x) Đặt  t = tan x , đưa về phương trình bậc hai theo : (a - d)t 2 + bt . +c - d = 0 � t � x t 3. Phương trình đối xứng dạng: dạng a ( sin x �cosx) + bsin x cosx + c = 0 ( 3) p ; t � 2.  4 1 � t2 = 1�2sin x.cosx � sin x.cosx = � (t2 - 1) 2 Đặt t = cosx � sin x = Thay vào phương trình  ( 3) ( 2.cos x m ) , ta được phương trình bậc hai theo t �t �x 4. Phương trình đối xứng dạng: dạng a sin x �cosx + bsin x cosx + c = 0 ( 4)  Đặt t = cosx � sin x = 2. cos x m p ; �K : 0 �t � 2 � sin x.cosx = �1(t 2 - 1) ( 4 ) 2 Giải tương tự như dạng trên. Khi tìm cần lưu ý phương trình chứa dấu trị tuyệt đối. x  Vấn đề 4 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SÔ 1. Phương trình bậc hai: hai ax2 + bx + c = 0 ( 1) a/ Giải phương trình bậc hai Nếu b là số le Nếu b là số chẳn Tính D = b2 - 4ac  Nếu D < 0 � Phương trình vô nghiệm.  Nếu D = 0 � Phương trình có nghiệm Tính D ' = b'2- ac với b' = b2  Nếu D ' < 0 � Phương trình vô nghiệm.  Nếu D ' = 0 � Phương trình có nghiệm b . 2a  Nếu D > 0 � Phương trình có hai � - b- D � x = �1 2a nghiệm phân biệt: � � - b+ D � x2 = � 2a � b' . a  Nếu D ' > 0 � Phương trình có hai nghiệm � - b'- D ' � x = �1 a � phân biệt: � - b'+ D ' � x2 = � a � kép: x = - kép: x = - b/ Định lí Viét Nếu phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì: b Tổng hai nghiệm: S = x1 + x2 =  a � Tích hai nghiệm: P = x .x = c 1 2  a Trang 3 x1 - x2 = D 2 D' = a a Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 c/ Dấu các nghiệm của phương trình a �0 � �  Phương trình có hai nghiệm phân biệt � � � D >0 �  Phương trình có hai nghiệm trái dấu � ac . <0 D >0 � �  Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu � � � P >0 � � D >0 � � � P >0  Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt � � � � � � S <0 � � � D >0 � � � P >0  Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt � � � � � � S >0 � � d/ So sánh hai nghiệm của phương trình bậc hai g(x) = ax2 + bx + c = 0 với 1 số     bất kì � � � D >0 � � � a.g( b) > 0  x2 > x1 > b � � � � S � � >b � �2 � � � D >0 � �  x1 < x2 < b � � �a.g( b) > 0 � � S � � 0 �  Phương trình ( 2) có 3 nghiệm phân biệt � ( 3) có 2 nghiệm phân biệt x � a � � � g(a ) � 0 � � � � D =0 � � � � � g(a) = 0  Phương trình ( 2) có 1 nghiệm � ( 3) vô nghiệm hoặc ( 3) có nghiệm kép x = a � � � � � � D <0 �  Phương trình ( 2) có 2 nghiệm phân biệt � ( 3) có nghiệm kép x �a hoặc ( 3) có hai nghiệm � D =0 � � � � � � g(a) � 0 � � � phân biệt trong đó có 1 nghiệm x = a � � � � D >0 � � � � � g(a) = 0 � � � � 3. Phương trình bậc bốn trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0 ( 4) Đặt t = x2. �K : t �0 . Phương trình ( 4) � at2 + bt + c = 0 ( 5) Trang 4 Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 � D >0 � � � P >0  Phương trình ( 4) có 4 nghiệm phân biệt � ( 5) có 2 nghiệm dương phân biệt � � � � � � S >0 � � � c=0 � �  Phương trình ( 4) có 3 nghiệm phân biệt � ( 5) có 1 nghiệm t = 0 và 1 nghiệm t > 0 � � b � - >0 � � �a  Phương trình ( 4) có 2 nghiệm phân biệt � ( 5) có 2 nghiệm trái dấu hoặc ( 5) có nghiệm kép ac < 0 � � �D = 0 � dương � � � � � � S >0 � � � � 4. Phương trình chứa căn thức : + B �0 � A =B � � � � A = B2 � � 5. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: 6. Bất phương trình chứa căn thức: thức: + B � � + A =B � � � A �0 ( hay B �0) A = B �� � � A =B � � �0 + A = B � A = �B = �B � A � � B <0 � � � � � � A �0 � � � � A � B � + � � B �0 � � � � � A �B 2 � � � � + � B �0 � � � � A 0 � � � � A �B 2 � � A �۳ B � A �B + A �B � � � A �- B � 7. Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: đối: + A �B � - B �A �B � Vấn đề 5 HÌNH HỌC PHẲNG Trong mặt phẳng Decac Oxy cho: Bốn điểm: A ( x , y ) , B ( x , y ) , C ( x , y ) và M ( x , y ) A A B B C C o o o Đường thẳng D : ax + by + c = 0. o Đường tròn ( C ) : (x - a)2 + ( y - b) 2 = R hay (C ) : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 có tâm là m m o I ( a,b) và bán kính là R = a2 + b2 - c . r Véctơ uuu Độ dài đoạn thẳng 2 2 AB = ( xB - xA ; yB - yA ) � AB = ( xB - xA ) + ( yB - yA )  (khoảng cách giữa hai điểm A, B) Để ba điểm ; và thẳng hàng � xB - xA = xC - xA . A ( xA , yA ) B ( xB , yB ) C ( xC , yC ) yB - yA yC - yA  Khoảng cách từ điểm  M ( xo, yo ) đến đường thẳng Để A và B đối xứng nhau qua đường thẳng  Diện tích ΔABC:  D : ax + by + c = 0 D�D là: d( M , D) = axo + bxo + c a2 + b2 là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB. uuur uuur 1 1 SD ABC = AB.AC .sin A = AB 2.AC 2 - AB .AC 2 2 ( Trang 5 ) 2 Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 1 1 1 abc = p( p - a) ( p - b) ( p - c) = a.ha = bh . b = ch .c= = pr 2 2 2 4R Trong đó: R,r , p lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp và nửa chu vi. Để A và B nằm về 2 phía (khác phía) so với đường thẳng . D � ( axA + byA + c) .( axB + byB + c) < 0  Để A và B nằm về cùng phía so với đường thẳng  . D � ( axA + byA + c) .( axB + byB + c) > 0 Để A và B cùng nằm trong đường tròn hay cùng nằm ngoài đường tròn  � PA / (Cm).PB / (Cm) > 0 � ( xA2 + yA2 - 2axA - 2byA + c) ( xB2 + yB2 - 2axB - 2byB + c) > 0. Để A và B nằm về hai phía khác nhau đối với đường tròn (1 điểm phía trong, một điểm phía ngoài)  � PA / (Cm).PB / (Cm) < 0 � ( xA2 + yA2 - 2axA - 2byA + c) ( xB2 + yB2 - 2axB - 2byB + c) < 0 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SÔ BÀI 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SÔ Cơ sở lý thuyết 1. Định nghĩa: + Hàm số y = f (x) đồng biến trên K � " x1, x2 �K và x1 < x2 � f (x1) < f (x2) . + Hàm số y = f (x) nghịch biến trên K � " x1, x2 �K và x1 < x2 � f (x1) > f (x2) . 2. Điều kiện cần: Giả sử y = f (x) có đạo hàm trên khoảng I. + Nếu y = f (x) đồng biến trên khoảng I thì f '(x) �0, " x �I . + Nếu y = f (x) nghịch biến trên khoảng I thì f '(x) �0, " x �I . 3. Điều kiện đủ: Giả sử y = f (x) có đạo hàm trên khoảng I. + Nếu y ' = f '(x) �0 , " x �I [ f '(x) = 0 tại 1 số hữu hạn điểm] thì y = f (x) đồng biến trên I. + Nếu y ' = f '(x) �0 , " x �I [ f '(x) = 0 tại 1 số hữu hạn điểm] thì y = f (x) nghịch biến trên I. + Nếu y ' = f '(x) = 0, thì y = f (x) không đổi trên I. Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì y = f (x) phải liên tục trên đó. DẠNG 1 XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU (tìm khoảng tăng - giảm) CỦA HÀM SÔ y  f  x  1. Phương pháp giải + Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Thường gặp các trường hợp sau: Trang 6 Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang P (x) ޹ -y = Q(x) ޹ T X�: Q(x) - y = Q(x) TX�: Q(x) Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 0 0 P (x) � TX�: Q(x) > 0 Q(x) + Bước 2: Tìm các điểm tại đó y ' = f '(x) = 0 hoặc y ' = f '(x) không xác định, nghĩa là: tìm đạo hàm y ' = f '(x) . Cho y ' = f '(x) = 0 tìm nghiệm xi với ( i = 1; 2; 3...n) . - y= + Bước 3: Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên để xét dấu y ' = f '(x) . + Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, kết luận các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. - f '(x) = y ' �0 � Hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng……và…… - f '(x) = y ' < 0 � Hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng…và…… 2. Một số lưu ý khi giải toán + Lưu ý 1: Đối với hàm phân thức hữu tỷ thì dấu “=” không xảy ra. + Lưu ý 2:  Đối với hàm dạng: y = ax + b thì hàm số luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên TXĐ, nghĩa là luôn cx + d tìm được y ' > 0 (hoặc y ' < 0 ) trên TXĐ. ax2 + bx + c luôn có ít nhất hai khoảng đơn điệu. a ' x + b'  Đối với hàm dạng: y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e luôn có ít nhất một khoảng đồng biến và một  Đối với hàm dạng: y = khoảng nghịch biến.  Cả ba hàm số trên không thể luôn đơn điệu trên �. + Lưu ý 3: Bảng xét dấu một số hàm thường gặp a) Nhị thức bậc nhất: y = f (x) = ax + b , ( a � 0) � x ax + b - trái dấu với a b a � 0 cùng dấu với a b) Tam thức bậc hai : y = f (x) = ax2 + bx + c , ( a � 0)  Nếu D < 0 , ta có bảng xét dấu: x � f (x) cùng dấu với a  Nếu D = 0, ta có bảng xét dấu: x f (x) � cùng dấu với a � -b 2a 0 � cùng dấu với a  Nếu D > 0 , gọi x1, x2 là hai nghiệm của tam thức f (x) = 0, ta có bảng xét dấu: x1 x2 � � x f (x) 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a c) Đối với hàm mà có y ' = f '(x) = 0 có nhiều nghiệm, ta xét dấu theo nguyên tắc: (phương pháp chung) cùng dấu với a  Thay 1 điểm lân cận xo gần xn bên ô phải của bảng xét dấu vào f '(x) . [Thay số xo sao cho dễ tìm f '(x) ]. Trang 7 Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093  Xét dấu theo nguyên tắc: Dấu của f '(x) đổi dấu khi đi qua nghiệm đơn và không đổi dấu khi qua nghiệm kép. + Lưu ý 4: Xem lại 1 số cách giải phương trình lượng giác thường gặp và ta có thể đưa hàm số lượng giác về dạng đa thức trong 1 số trường hợp. + Lưu ý 5: Cách tính đạo hàm hàm số dạng hữu tỉ (phân thức). a b y= c d ax + b ad - cb . � y' = 2 = 2 cx + d ( cx + d) ( cx + d) a y= b x2 + 2 a c Cách nhớ: Tích đường chéo chính trừ tích đường chéo phụ. x+ b c Cách nhớ: (Anh bạn ăn cháo hai lần bỏ chạy) a ' c' a ' b' b' c ' ( b'a - a 'b) x2 + 2( c 'a - a 'c) x + ( c 'b - b'c) ax2 + bx + c � y ' = = 2 2 a 'x2 + b'x + c ' ( a 'x2 + b'x + c ') ( a 'x2 + b'x + c ') Bài 1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: a/ y = - x4 + 4x2 - 3 . b/ y = x4 - 6x2 + 8x + 1. d/ y = - x3 + 6x2 - 9x + 4 . g/ y = 2x - 1 . x- 1 c/ y = x4 + 4x + 6 . e/ y = x3 + 3x2 + 3x + 2. h/ y = f/ y = x2 - 2x . 3x + 1 . 1- x i/ y = 3 - 2x . x +7 Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: a/ y = ( - x2 + 2x - 1 . x +2 ) d/ y = 4 - 3x 6x2 + 1 . b/ y = x2 - 8x + 9 . x- 5 c/ y = x +2 x2 - x + 3 . f/ y = 3 x2 - 2x . e/ y = x + 1- 2 x2 + 3x + 3 . Bài 3. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: 2 a/ y = x + 5x + 6 . 2 b/ y = - x + 1- 2x + 5x - 7 . c/ y = 4x - x2 . d/ y = x2 + 2x + 3 . 3 2 e/ y = x - 7x - 7x + 15 . f/ y = Bài 4. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: 0; p� a/ y = x - sin x , x �� � � 2 0; p� c/ y = sin x + cosx , � . � � . 2x2 - x + 3 . 3x + 2 0; p� b/ y = 2sin x + cos2x , x �� . � � d/ y = sin3 x - cos2x + sin x + 2. � p� � 2� 2 0; � e/ y = sin x + cosx + 1, x �� . f/ y = 2sin x - 4 3 sin x , x �[ 0; p] 3 Bài 5. Chứng minh rằng: a/ Hàm số y = x3 + x - cosx - 4 đồng biến trên �. b/ Hàm số y = 2sin x + tan x - 3x đồng biến trên nửa khoảng � 0; p � � 2 ). DẠNG 2 Tìm điều kiện của tham số để hàm số y  f  x  đồng biến hoặc nghịch biến I. Cơ sở lý thuyết Cho hàm số y = f ( x, m) với m là tham số, có tập xác định D.  Hàm số y = f ( x, m) đồng biến trên D � y ' �0 " x �D  Hàm số y = f ( x, m) nghịch biến trên D � y ' �0 , " x �D Trang 8 Tham số Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 y ' f '(x, m)  Hàm số y = f ( x, m) đồng biến trên � �=�"�۳ 0, x y ' f '(x, m)  Hàm số y = f ( x, m) nghịch biến trên � �=�"޹� 0, x � � min y ' x�� 0 max y ' x�� 0  Hàm số đồng biến trên � thì nó phải xác định trên �. II. Phương pháp giải Dạng 1: Nếu y ' = f '(x, m) = ax2 + bx + c thì: �a > 0 � D �0 � �a < 0 � � � y ' = f '( x , m ) � 0; " x � � �  Để hàm số y = f ( x, m) nghịch biến (giảm) trên � � D �0 � �  Để hàm số y = f ( x, m) đồng biến (tăng) trên � � y ' = f '(x,m) �0; " x �� � � Chú ý: Đối với hàm phân số hữu tỉ thì dấu “=” không xảy ra. Dạng 2: Nếu y ' = ax + b ; " x �[ a; b] thì: y' 0 ; x  Để hàm số y = f ( x, m) đồng biến trên [ a; b] ۳"�� y '(a) �0 � � � � y '(b) �0 � � y '(a) �0 � [ a; b] � � � y '(b) �0 � � [ a; b ] y' 0; x  Để hàm số y = f ( x, m) nghịch biến trên [ a; b ] ۣۣ"�� Dạng 3: Nếu y ' = f '(x) = ax2 + bx + c hoặc y ' = f '(x) là một hàm bất kỳ nào khác, mà ta cần y ' = f '(x) �0 hay y ' = f '(x) �0 trên khoảng ( a,b) hoặc đoạn [a,b] (hoặc trên nửa đoạn hay nửa khoảng nào đó). Thì ta làm theo các bước sau:  Bước 1: Tìm miền xác định của y ' = f '(x) .  Bước 2: Độc lập (tách) m (hay biểu thức chứa m ) ra khỏi biến x và chuyển m về một vế. Đặt vế còn lại là g(x) . Lưu ý khi chuyển vế thành phân thức thì phải để ý điều kiện xác định của biểu thức để khi xét dấu g '(x) ta đưa vào bảng xét dấu g '(x) .  Bước 3: Tính g '(x) . Cho g '(x) = 0 và tìm nghiệm.  Bước 4: Lập bảng biến thiên của g '(x) .  Bước 5: Kết luận: “Lớn hơn số lớn – Bé hơn số bé”. Nghĩa là: ( ) + khi ta đặt m �g( x) thì dựa vào bảng biến thiên ta sẽ lấy giá trị m � số nhỏ nhất trong bảng biến thiên + khi ta đặt m �g x thì dựa vào bảng biến thiên ta sẽ lấy giá trị m � số lớn nhất trong bảng biến thiên Dạng 4: Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) = l . Ta giải như sau:  Bước 1: Tính y ' = f '(x) . a �0 � � ( 1) .  Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: � � D > 0 � (  Bước 3: Biến đổi x1 - x2 = l thành x1 - x2 ) 2 - 4x1.x2 = l 2 ( 2) .  Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m .  Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. III. Một số lưu ý khi giải toán  Lưu ý 1: Cần sử dụng thành thạo định lí Viét và so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số . Trang 9 Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093  Lưu ý 2: Ta có thể dùng dạng toán loại 3 để giải bài toán tìm tham số m của một bất phương trình hoặc tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc 1, 2, …n nghiệm, … Bài 1. Tìm tham số m để hàm số: a/ y = x3 - 3x2 + 3(m + 2)x + 3m - 1 đồng biến trên �. b/ y = x3 - ( 2m - 1) x2 + ( 2 - m) x + 2 đồng biến trên �. c/ y = x3 + ( m - 3) x2 + 2mx + 2 đồng biến trên tập xác định của nó. 3 2 2 2 d/ y = - x + 3x + 3( m - 1) x - 3m - 1 luôn giảm. 1 ( 3 - m) x3 - ( m + 3) x2 + ( m + 2) x - 3 luôn tăng trên �. 3 2 3 2 f/ y = 13( m - 1) x + ( m + 1) x + 3x + 5 luôn đồng biến trên �. e/ y = Đáp số: a/ m �- 1 b/ - 1 �m � d/ m = 0 e/ - Bài 2. Tìm tham số m để hàm số: 5 4 � � � � 6- 3 3;6 + 3 3� c/ m �� 3 �m �- 1 2 ( ) ) 2; +� f/ m � - �;- 1 �� � mx + 3 - 2m luôn nghịch biến trên mỗi tập xác định của nó. x +m mx - 2 b/ y = đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. x - m+1 2mx + 1 c/ y = nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. x +m - 2x2 + ( m + 2) x - 3m + 1 d/ y = nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. x- 1 1 1 Đáp số: a/ - 3 < m < 1 b/ - 1 < m < 2 c/ d/ m � 1 0 ( hay <, �� do đề bài chỉ định hoặc miềm xác định của bài toán mà ta phải tìm.  Bước 2: Xét dấu y ' = f '(x) . Suy ra hàm số đồng biến (hay nghịch biến).  Bước 3: Dựa vào định nghĩa đồng biến (hay nghịch biến) để kết luận. Tức là: + Hàm số y = f (x) đồng biến trên K � " x1, x2 �K và x1 < x2 � f (x1) < f (x2) . + Hàm số y = f (x) nghịch biến trên K � " x1, x2 �K và x1 < x2 � f (x1) > f (x2) . 2. Một số lưu ý khi giải toán  Lưu ý 1: Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f '(x) thì ta đặt h(x) = f '(x) và quay lại tiếp tục xét dấu h '(x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.  Lưu ý 2: Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng f (a) < f (b) . Xét tính đơn điệu của hàm số f (x) trong khoảng ( a,b) . Bài 1. Chứng minh rằng � p� � 2� � p� 0; � c/ tan x > sin x, " x �� � � � 2� � p� 0; � e/ tan x + 2sin x > 3x, " x �� � � � 2� 0, � a/ sin x �x, " x �� b/ tan x > x, " x �( 0; p 2) x3 � p� , " x �� 0; � d/ sin x > x � � � 2� 3! x3 � p� 0; � f/ tan x > x + , " x �� � � � 2� 3 Bài 2. Chứng minh rằng a. 2 1 � p� sin x + tan x > x, " x �� 0; � � � � 2� 3 3 ( ) c. sin x > 2x p , " x � 0; p 2 1 1 4 � p� < 2 + 1- 2 , " x �� 0; � � � 2 � sin x x p 2� 1 g. 2 x > 3 - , " x �( 1;+�) x e. x3 x5 + , "x > 0 6 120 1 1 , " x �( 0;+�) d. x sin > 1x 6x2 1 x2 1 f. 1 + x < 1 + x < 1 + x, " x > 0 2 8 2 4x � p� � 2 0; � h. 28/ sin x < 2 ( p - x) , " x �� � � p 2� b. sin x < x - DẠNG 4 Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình – bất phương trình có chứa tham số m Trang 11 Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 ( ) Bài toán 1. Tìm m để phương trình f x;m = 0 có nghiệm trên D ? ( ) ( )  Bước 1. Độc lập (tách) m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f x = A m . ( )  Bước 2. Lập bảng biến thiên của hàm số f x trên D. ( )  Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị của tham số m để đường thẳng y = A m nằm ngang cắt ( ) đồ thị hàm số y = f x . ( ) ( )  Bước 4. Kết luận những giá trị cần tìm của m để phương trình f x = A m có nghiệm trên D. Lưu ý: ( ) có GTLN và GTNN trên D thì giá trị m cần tìm là những m thỏa mãn: minf ( x) �A ( m) �max f ( x) . + Nếu hàm số y = f x D D + Nếu bài toán yêu cầu tìm tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng ( ) ( ) biến thiên để xác định sao cho đường thẳng y = A m nằm ngang cắt đồ thị hàm số y = f x tại k điểm phân biệt. ( ) ( ) Độc lập (tách) m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f ( x) �A ( m) Lập bảng biến thiên của hàm số f ( x) trên D. Bài toán 2. Tìm m để bất phương trình f x;m �0 hoặc f x;m �0 có nghiệm trên D ?  Bước 1.  Bước 2. ( ) ( ) hoặc f x �A m .  Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm: ( ) ( ) + Với bất phương trình f x �A m đó là những m sao cho tồn tại phần đồ thị nằm trên đường ( ) ( ) ( ) thẳng y = A m , tức là A m �max f x D ( ) ( khi max f ( x) $) . D ( ) + Với bất phương trình f x �A m đó là những m sao cho tồn tại phần đồ thị nằm dưới đường ( ) ( ) ( ) thẳng y = A m , tức là A m �minf x D ( khi minf ( x) $) . D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) minf ( x) ( ) ( ) max f ( x) ( ) A ( m) A ( m) . Bài toán 3. Tìm tham số m để bất phương trình f x �A m hoặc f x �A m nghiệm đúng " x �D ? x D + Bất phương trình f x �A m nghiệm đúng "�۳ x D + Bất phương trình f x �A m nghiệm đúng "޹� D D . Lưu ý: + Các bài toán liên quan hệ phương trình, hệ bất phương trình ��� ta cần biến đổi chuyển về các phương trình và bất phương trình. + Khi đổi biến, cần quan tâm đến điều kiện của biến mới. LOẠI 1 Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình có chứa tham số m Bài 1. Tìm tham số thực m để phương trình: a/ x + 3x2 + 1 = m có nghiệm thực. b/ m x2 + 2 = x + m có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. c/ � 2;3� . x2 - 4x + 5 �x2 - 4x + m có nghiệm thực trong đoạn � � Đáp số: a/ m � 3 2 1 . b/ - 2 < m < 2 . 6 Bài 2. Tìm tham số thực m để phương trình: Trang 12 c/ m �- 1 Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 a/ x 2  mx  2  2 x  1 có hai nghiệm phân biệt. b/ x  9  x   x 2  9 x  m có nghiệm. c/ 3 x  1  m x  1  2 4 x 2  1 có nghiệm. d/ 6  x  x  3  mx có nghiệm. 9 Đáp số: a/ m � 2 9 b/  �m �10 4 m �1 � � d/ �m �1 � 2 1 c/ 1  m � 3 Bài 3. Tìm tham số thực m để phương trình: a/ 3  x  6  x   3  x  6  x  m có nghiệm. b/ x 2  x  1  x 2  x  1 m có nghiệm. LOẠI 2 Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình có chứa tham số Bài 1. Tìm m để bất phương trình 4 x  2  2 4  x  m có nghiệm. Đáp số: m  14 . Bài 2. Tìm tham số Đáp số: m � m để bất phương trình sau có nghiệm: 3 1 4 Bài 3. Tìm m để bất phương trình  4  x  6  x mx  x  3 �m  1 �x 2  2 x  m (1) nghiệm đúng với mọi x � 4;6 Đáp số: m �6 . Bài 4. Tìm m để bất phương trình m 2 x 2  9  x  m có nghiệm với mọi x . Đáp số: m   3 . 4 BÀI 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SÔ Cơ sở lý thuyết ( ) 1. Khái niệm cực trị của hàm số: Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên tập D D �� và xo �D ( ) ( ) + xo là điểm cực đại của hàm số y = f (x) nếu $ a,b �D và xo �( a,b) sao cho f (x) < f xo , " x �( a;b) \ { xo } . Khi đó: f ( xo ) được gọi là giá trị cực đại của y = f (x) ( ) ( ) ( ) + xo là điểm cực tiểu của hàm số y = f (x) nếu $ a,b �D và xo �( a,b) sao cho f x > f xo , " x �( a;b) \ { xo } . Khi đó: f ( xo ) được gọi là giá trị cực tiểu của y = f (x) + Nếu xo là điểm cực trị của hàm số y = f (x) thì điểm ( xo; f (xo )) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f (x) . 2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị (Định lý Ferman). Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại xo và đạt cực trị tại điểm đó thì f '( xo ) = 0. Nghĩa là hàm số y = f (x) chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. 3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị a. Định lý 1: Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng ( a;b) �xo và có đạo hàm ( a,b) \ Trang 13 { xo } Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 + Nếu f '(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua xo thì y = f (x) đạt cực tiểu tại xo . + Nếu f '(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua xo thì y = f (x) đạt cực đại tại xo . x a xo b f '(x) y = f (x) x – 0 + f(a) f(b) cực tiểu f(xo) a xo b f '(x) + 0 – y = f (x) f(xo) cực đại f(a) f(b) b. Định lý 2: Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trên ( a; b) �xo ; f '( xo ) = 0 và f ''( xo ) �0 + Nếu f ''( xo ) < 0 thì y = f (x) đạt cực đại tại xo . + Nếu f ''( xo ) > 0 thì y = f (x) đạt cực tiểu tại xo . DẠNG 1 TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SÔ 1. Phương pháp giải  Qui tắc 1: Dùng định lý 1  Bước 1: Tìm miền xác định. Tính y ' = f '(x) .  Bước 2: Tìm các điểm xi ( i = 1,2,.., n) tại đó y ' = f '(x) = 0 hoặc y ' = f '(x) không xác định.  Bước 3: Xét dấu f '(x) , từ đó suy ra điểm cực trị dựa vào định lý 1.  Qui tắc 2: Dùng định lý 2  Bước 1: Tìm miền xác định. Tính y ' = f '(x) .  Bước 2: Tìm các điểm xi ( i = 1,2,.., n) tại đó y ' = f '(x) = 0 hoặc y ' = f '(x) không xác định.  Bước 3: Xét dấu f ''(x) và f ''(xi ) - Nếu f ''(xi ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi . - Nếu f ''(xi ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi . 2. Một số lưu ý khi giải toán  Có 2 qui tắc tìm cực trị dựa vào định lí 1 (qui tắc 1) và định lí 2 (qui tắc 2):  Nếu việc xét dấu của đạo hàm bậc nhất dễ dàng, thì nên dùng qui tắc 1.  Nếu việc xét dấu ấy khó khăn (ví dụ như trong bài toán mà hàm số đã cho có dạng lượng giác, hoặc bài toán có chứa tham số), thì nên dùng qui tắc 2.  Nếu y ' không đổi dấu khi đi qua nghiệm (nghiệm kép) thì hàm số không có cực trị.  Đối với hàm bậc 3 thì y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt là điều kiện cần và đủ để hàm có cực trị.  Không cần xét hàm số y = f (x) có hay không có đạo hàm tại điểm x = xo nhưng không thể bỏ qua điều kiện “hàm số liên tục tại điểm xo ”. Trang 14 Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 �y '(x ) = 0 o � y ''(xo ) �0 � �  Hàm số đạt cực trị tại xo � �  Đối với hàm số căn thức ta không xét dấu được như bậc 1, bậc 2 thì chọn điểm để xét dấu. Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau: a/ y = x3 + 3x2 + 3x + 5 d/ y = 4 3 x - 6x2 + 9x - 1 3 c/ y = - e/ y = - x4 + 6x2 - 8x + 1 f/ y = x4 - 2x2 - 3 ( ) ( ) () b/ yC� = y - 3 = 31; yCT = y 1 = - 1. Đáp số:a/ Hàm số không có cực trị. c/ yC� = y 2 = 2 3 5 2 x + x - 2x 3 2 b/ y = x3 + 3x2 - 9x + 4 �� 1� 11 2 �= ; yCT = y � � � � 2� 4 �� 3 d/ hàm số không có cực trị. ( ) e/ yC D = y - 2 = 25 ; Hàm số không có cực tiểu. ( ) () ( ) f/ yC� = y 0 = - 3; yCT = y 1 = y - 1 = - 4 . Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: a/ y = 3 - 2x x- 1 b/ y = 3x + 1 1- x c/ y = - x2 + 2x - 1 x +2 d/ y = Đáp số:a/ Hàm số không có cực trị. b/ Hàm số không có cực trị. c/ yC� = y 1 = 0 ; yCT = y - 5 = 12. d/ Hàm số không có cực trị. () ( ) x2 - 8x + 9 x- 5 Bài 3. Tìm cực trị của các hàm số: a/ y = - x3 + 3x2 b/ y = x 4 - x2 d/ y = 2x + 1- e/ y = x x + 2 ( 2x2 - 8 c/ y = 2x - ) ( ( ) ( ) ( ) c/ y = 3 - 2cosx - cos2x ) 2 = - 2; yC� = y ( 2) = 2 . ( ) e/ yC� = y - 1 = 1; yCT = y 0 = 0 . Bài 4. Tìm cực trị của các hàm số: a/ y = sin2x - x ( b/ yCT = y - x d/ yCT = y 2 2 = 3 2 + 1.Hàm số không có điểm cực đại. c/ Hàm số không có cực đại. ( ) ) f/ y = x - 3 Đáp số: a/ yC� = y 2 = 2 ; yCT = y 0 = 0 . x2 - 3 ( ) () f/ yC� = y 0 = 0 ; yCT = y 1 = - 2 b/ y = 2sin2x - 3 � p� � 2� � � n � 0; � d/ y = cosx sin x tr� Đáp số: � � 1 � � �p � p p 1 p � � - � - + kp� = - + - kp . � + kp� . yCT = y � � � � � � � � � � 6 6 2 6 � � 2 � � �6 � � � � � p p p� � � � � + k p = 1 y = y + 2 k + 1 = - 5. b/ yC� = y � � . � ( ) � CT � � � � 4 4 2� � � � � � � a/ yC� = y � � � + kp�= � 2p � 9 + k2p� = . y = y ( kp) = 2( 1- coskp) . � � � 3 � 2 CT 4 1 d/ Hàm số đạt cực đại tại x = b ; y ( b) = 12 với sin b = . 3 3 � c/ yC� = y � � DẠNG 2 TÌM THAM SÔ m ĐỂ HÀM SÔ CÓ CỰC TRỊ TẠI x0 Trang 15 Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 Bài toán 1: Cho hàm số y = f (x, m) . Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại điểm x = x0 . Phương pháp giải + Tìm tập xác định + Tính y ' = f '(x, m) + Để hàm số đạt cực trị tại x = x0 thì: f '(x0, m) = 0 � m . Bài toán 2: Cho hàm số y = f (x, m) . Tìm tham số m để hàm số đạt cực đại tại điểm x = x0 . Phương pháp giải + Tìm tập xác định + Tính y ' = f '(x, m);y '' = f ''(x, m) �f '( x , m) = 0 � 0 �m � f ''( x0, m) < 0 � � + Để hàm số đạt cực đại tại x = x0 thì: � � Bài toán 3: Cho hàm số y = f (x, m) . Tìm tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = x0 . Phương pháp giải + Tìm tập xác định + Tính y ' = f '(x, m);y '' = f ''(x, m) �f '( x , m) = 0 � 0 x = x �m + Để hàm số đạt cực tiểu tại 0 thì: � � f '' x , m > 0 ( ) � � 0 Bài 1. Tìm tham số để hàm số: 3 2 2 a/ y = x - 3mx + 3( m - 1) x + m đạt cực đại tại x = 2 . 2 3 2 b/ y = - ( m + 5m) x + 6mx + 6x - 6 đạt cực tiểu tại x = 1. c/ y = x3 - 2x2 + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1 d/ y = mx3 + 3x2 + 12x + 2 đạt cực đại tại điểm x = 2 . x2 + mx + 1 đạt cực đại tại x = 2 . x +m Đáp số a/ m = 3 b/ m = - 2 c/ m = 1 e/ y = d/ m = - 2 e/ m = - 3 Bài 2. Tìm tham số m để hàm số: a/ y = 1 3 x - mx2 + ( m2 - m + 1) x + 1 đạt cực trị tại x = 1. Khi đó hàm số đạt cực đại hay cực tiểu. 3 Tìm cực trị tương ứng. b/ y = - x3 + mx2 - 4 để hàm số nhận điểm M ( 2;0) làm điểm cực đại. 2 c/ y = 2( m - 3) sin x - 2m sin2x + 3m - 1 đạt cực tiểu tại x = Đáp số a/ m = 2 b/ m = 3 c/ m = 1 p . 3 Bài 3. Tìm tham số a,b để hàm số: x4 + ax2 + b có cực trị tại x = - 1 và giá trị cực trị tương ứng của hàm số bằng - 2. 4 5 2 3 5 2 b/ y = a x + 2ax - 9x + b có giá trị cực trị là những số dương và xo = là điểm cực đại. 3 9 1 9 9 128 9 140 Đáp số:a/ a = - ;b = b/ a = hoặc a = ; b �; b �2 4 25 27 5 27 a/ y = Bài 4. Tìm giá trị của tham số để hàm số : a/ y = x3 + mx2 + ( m + 1) x - 1 có cực trị tại x = 2 . Khi đó hàm số đạt cực đại hay cực tiểu ? Tính giá trị cực trị tương ứng. Trang 16 Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 b/ y = 2x3 - ( 4 - 2m) x2 + ( m - 5) x - 4 có cực trị khi x = 0. Khi đó hàm số đạt cực đại hay cực tiểu. Tính giá trị cực trị tương ứng. c/ y= x2 + 2mx - 2 có điểm cực trị khi x = - 2 . Khi đó hàm số đạt giá trị cực tiểu hay cực đại. Tính giá x +1 trị cực trị tương ứng. � � 3 2 md/ y = x - mx + � � 2� � x + 5 đạt cực trị tại x = 1. Khi đó, nó là điểm cực đại hay cực tiểu, tính giá � � 3� trị cực trị còn lại (nếu có). Bài 5. Tìm giá trị của tham số a;b để hàm số : 1 4 x - ( 2a + b) x2 - a - b đạt giá trị cực đại bằng 2 tại x = 1. 4 4 2 b/ y = - x + ( a - 3b) x - 3a + b đạt giá trị cực tiểu bằng 1 tại x = 0 3 4 2 c/ y = x - ( 3a - 2b) x - a + 2b có giá trị cực trị bằng 0 khi x = 0 . Khi đó hàm số đạt cực tiểu hay 4 a/ y = cực đại. ax2 + bx + ab đạt cực trị tại x = 0 và x = 4. bx + a ax2 + 2x + b e/ y = đạt cực đại bằng 5 tại x = 1. x2 + 1 x2 + ax + b d/ y = để hàm số đạt cực trị bằng –6 tại x = - 1. x- 1 Bài 6. Tìm giá trị của tham số a;b;c để hàm số : a/ y = x3 + ax2 + bx + c đạt cực trị bằng 0 tại điểm x = - 2 và đồ thị hàm số đi qua điểm A ( 0,1) . b/ y = x3 + ax2 + bx + c đạt cực tiểu tại điểm A ( 1, - 3) và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ d/ y = bằng 2. c/ y = ax4 + bx2 + c để đồ thị đi qua gốc tọa độ O và đạt cực trị bằng - 9 tại x = 3 . Bài 7. Tìm giá trị của tham số a;b;c;d để hàm số : a/ y = ax3 + bx2 + cx + d đạt y cực tiểu tại điểm x = 0, f ( 0) = 0 và đạt cựcyđại tại x = 1, có giá trị cực đại bằng 1. b/ y = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng A 4 1 tại x = . 27 3 A DẠNG 3 O x BIỆN LUẬN–HOÀNH ĐỘ CỰC TRỊ CỦA HÀM d/c O SÔ x B B Hàm số y = f (x) có n cực trị  y’ = 0 có n nghiệm phân biệt. B Một số lưu ý khi giải toán  Lưu ý 1: Hoành độ cực trị thường là nghiệm của phương trình bậc 2. Do đó, ta cần phải nắm vững kiến thức về phương trình bậc 2 như: Định lý Viét, so sánh nghiệm phương trình bậc 2 với 1 số  bất kỳ, các điều kiện có nghiệm của phương trình, … đồng thời, nó liên quan đến một số tính chất của hình học phẳng. y  Lưu ý 2: Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d và hàm hữu tỉ y = A B a �0 � � tiểu (2 cực trị) � y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt � � � D >0 � x1 hai O x2của đồ thị dạngx y =  Lưu ý 3: Để A và B thuộc nhánh ax2 + bx + c có cực đại d và cực dx + e A I ax2 + bx + c ax + b hoặc y = thì 2 điểm A cx + d ex + d và B phải nằm về hai phía so với đường tiệm cận đứng tương ứng của đồ thị. Trang 17 B Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 TCĐ: x = – d/c TCĐ: x = – d/e TCN: y = – a/c (C): y = ax + b cx + d ax2 + bx + c (C): y = ex + d  Lưu ý 4: Cực trị của hàm bậc bốn : y = ax4 + bx3 + cx2 + d � 3 2 + Ta có: y ' = 4ax + 3bx + 2cx � y ' = 0 � � � x=0 4ax + 3bx + 2c = 0 = g( x) ( 2) � � � D ( 2) > 0 � + Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 � � � g 0 �0 � �( ) Khi đó: Hàm số có 2 cực tiểu, 1 cực đại khi a > 0. Hàm số có 2 cực đại, 1 cực tiểu khi a < 0. 2 + Hàm số có 1 cực trị khi và chỉ khi (2) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm x = 0 �D < 0 �� � � g 0 =0 � �( ) Khi đó: Hàm chỉ có cực tiểu khi a > 0 (nghĩa là có cực tiểu mà không có cực đại). Hàm số chỉ có cực đại khi a < 0 (nghĩa là có cực đại mà không có cực tiểu). Loại 1 Tìm giá trị tham số m để hàm số n cực trị , hoặc không có cực trị Hàm bậc 3 y = ax + bx2 + cx + d ( a � 0) 3 3 2 ( ) Hàm bậc 3: y = ax + bx + cx + d a � 0 ( *) Phương pháp giải: 2 2 - Ta có: y ' = 3ax + 2bx + c � y ' = 0 � 3ax + 2bx + c = 0 Trang 18 ( 1) Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093 �a � 0 � D >0 � � � ( 1) + Hàm số * có 2 cực trị  1 có hai nghiệm phân biệt � � � ( ) () �a � 0 � D �0 � � � ( 1) + Hàm số * không có cực trị  1 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm � � � ( ) () Bài 1. Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực trị a/ y = x3 - 3mx2 + (m + 2)x + 3m + 4 b/ y = - x3 + ( m + 1) x2 - 3x � m�3 d/ y = � � c/ y = ( m + 2) x3 + 3x2 + mx - 5 1 3 x + mx2 + (2m + 3)x + 1 3 Bài 2. Tìm giá trị tham số m để hàm số có 2 cực trị a/ y = x3 + ( m - 2) x2 - ( m + 2) x - 3 3� �3 x - ( 3 - m) x2 + 2x - 1 � � f/ y = ( 4 + m) x3 - ( 2m + 8) x2 + x + 3 e/ y = b/ y = 2x3 - (m - 2)x2 + (6 - 3m)x + m + 1 c/ y = x3 - 3(m - 1)x2 + (2m2 - 3m + 2)x - m( m - 1) d/ y = ( 1- m) x3 + ( m + 2) x2 - ( m - 1) x + m + 2 e/ y = - x3 + ( 3 - m) x2 - ( 9- 3m) x + 2m f/ y = � � � m� 3 Bài 3. Tìm giá trị tham số m để hàm số không có cực trị a/ y = x3 - 3mx2 + 3mx + 3m + 4 3� � x3 - ( 3 - m) x2 + 2x - 1 � � b/ y = x3 + ( m - 1) x2 + 3x - 2 c/ y = ( 4 + m) x3 - ( 2m + 8) x2 + x + 3 Bài 4. Chứng minh rằng hàm số: d/ y = x3 - ( 2m - 1) x2 + 3x + 2 1 3 x - mx2 - x + m + 1 luôn có cực đại và cực tiểu với mọi giá trị m . 3 b/ y = 2x3 - 3( 2m + 1) x2 + 6m( m + 1) x + 1 luôn đạt cực trị tại x1, x2 với mọi giá trị m và biểu thức x2 - x1 không phụ thuộc vào m . a/ y = Hàm bậc 4 trùng phương y = ax4 + bx2 + c ( a � 0) Hàm bậc 4 trùng phương : y = ax4 + bx2 + c ( a � 0) ( *) Phương pháp giải: ( ) � 3 2  Ta có: y ' = 4ax + 2bx = x 4ax + 2b � y ' = 0 � � � x=0 4ax2 + 2b = 0 = g( x) ( 1) � � � g( 0) � 0 �  Hàm số ( *) có 3 cực trị  ( 1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 � � D >0 � � � ( 1) Khi đó: Hàm số có 2 cực tiểu, 1 cực đại khi a > 0. Hàm số có 2 cực đại, 1 cực tiểu khi a < 0.  Hàm số có 1 cực trị khi và chỉ khi ( 1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm x = 0 � �D < 0 � D( 1) �0 ab . >0 � � � �� �� �� b= 0 g( 0) = 0 � g 0 =0 � � � � � � �( ) Khi đó: Hàm số chỉ có cực tiểu khi a > 0 (nghĩa là có cực tiểu mà không có cực đại). Hàm số chỉ có cực đại khi a < 0 (nghĩa là có cực đại mà không có cực tiểu). Chú ý: Hàm bậc 4 trùng phương:  Luôn có ít nhất 1 cực trị. Trang 19 Chuyên đề khảo sát hàm số 12 Trung tâm luyện thi Trí Tuệ Nha Trang Trương Ngọc Vỹ -Nha trang – ĐT:0978333.093  Nếu có 3 cực trị thì 3 cực trị này luôn tạo thành 1 tam giác cân tại đỉnh thuộc trục oy. Bài 1. Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực trị a/ y = x4 - 2( m - 4) x2 + 2m - 5 b/ y = x4 + 2( m + 1) x2 + 1 4 2 2 c/ y = x + ( m - 4) x + 3 4 2 2 d/ y = mx + ( m - 9) x + 10 Bài 2. Tìm giá trị tham số m để hàm số có 1 cực trị a/ y = x4 + 2( m + 1) x2 + 1 b/ y = mx4 + (m - 1)x2 + 1- 2m c/ y = x4 - mx2 + 4x + m d/ y = Bài 3. Tìm giá trị tham số m để hàm số có 3 cực trị a/ y = 2x4 + 8mx3 + ( 8m + 1) x2 1 4 1 x - ( m - 1) x2 + m - m2 4 2 b/ y = x4 + ( m - 1) x2 + 2 c/ y = x4 - 2mx2 + 2m - 1 d/ y = ( m - 2) x4 + 2mx2 + m - 1 Bài 4. Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại và cực tiểu " m �D 2 3 x + mx2 + ( m + 3) x - 4m 3 3 c/ y = x + ( m - 2) x2 - ( m + 2) x - 3 1 3 x + ( 2m - 1) x2 - ( m2 - m - 3) x + 1 3 3 2 2 3 d/ y = x - 3mx + 3( m - 1) x - m a/ y = - b/ y = - Hàm phân thức y = f (x) = Hàm phân thức: y = f (x) = ax2 + bx + c dx + e ax2 + bx + c dx + e ( *) Phương pháp giải: � dx + e �0 � � f '( x ) = 0 � �  Ta có: y ' = f '(x) = 2 � adx . 2 + 2aex . + bc + dc = 0 = g( x) � ( dx + e) � � � e� �� � g- � �0 �� � e �� � � �� � d�  Hàm số ( *) có 2 cực trị  ( 1) có hai nghiệm phân biệt khác x �� d � D >0 � � ( 1) � ad � 0 �  Hàm số ( *) không có cực trị  ( 1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm � � D �0 � � � ( 1) ad.x2 + 2aex . + bc + dc Bài 1. Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực trị a/ y = x2 - x + m2 - 1 x +1 b/ y = 2 c/ y = x - ( m + 1) x - m + 2 x- 1 Bài 2. Tìm giá trị tham số m để hàm số có 2 cực trị x2 - ( m + 1) x - m2 + 4m - 2 a/ y = x- 1 c/ y = x2 - mx + 2 x- 1 2 d/ y = x + mx - 2 mx - 1 b/ y = d/ y = Bài 3. Tìm giá trị tham số m để hàm số không có cực trị Trang 20 mx2 - ( m - 2) x - 1 x +2 x2 - x + m x +1 2 x + ( m2 - 1) x - m x +1 ( 1)