Bài giảng ôn tập phần Quan hệ vuông góc
PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC
1) Vận dụng các kiến thức sau để chứng minh hai đường thẳng vuông góc
b / /c
�
�ab
�
a
c
�
a b � �
a ; b 900
uu
r uu
r
uu
r uu
r
a b� a �
b 0 (Với a , b lần lượt
Khi hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt
phẳng thì vận dụng các kiến thức đã biết trong
hình học phẳng
là các véc tơ chi phương của 2 đường
thẳng)
a ( ) �
�� a b
b �( ) �
a / /( ) �
�� b a
b ( ) �
ABC ; a AB �
�� a BC
a AC �
Dùng định lý về ba đường vuông góc
2) Vận dụng các kiến thức sau để chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng
a b; b �( )
�
�
a c; c �( ) � a ( )
�
�
b �c O
�
a / /b
�
� a ( )
�
b ( )
�
�
�
a �
�� a
�
a c; c � �
ABC �
�
�
MA MB MC �� MO
OA OB OC �
�
( ) / /( )
�
� a ( )
�
a ( )
�
�
�
�� a
� a �
�
3) Vận dụng các kiến thức sau để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau
�a �
�
��
a�
� �
, 900
�
�
�
�
/ / �
4) Cách tính góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian
Cáchuu
2:
r uur
Tìm u1 , u2 lần lượt là các vectơ chỉ phương
của a và b. Khi đó:
Cách 1:
+ Lấy O tùy ý. Qua O vẽ a’//a và b’//b
0
0
+ a�; b a�'; b ' 0 � �90
uu
r uu
r
u1 �
u2
uu
r uu
r
cos a, b cos u1 , u2 uu
r uu
r .
u1 �u2
5) Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
1
Nguyễn Công Mậu
Bài giảng ôn tập phần Quan hệ vuông góc
a � a�, 900
a / /
�
� �
a , 00
�
a �
�
a � �
�
�� a , a , a ' . Để tìm a ' hch a ta lấy tùy ý điểm M �a , dựng
a ' hch a �
�
MH tại H , suy ra hch a a ' AH , A a � � a�, MAH
6) Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng
a P �
� R P � Q �
�
�
�
P
,
Q
a
,
b
trong đó:
�
P , Q �
p ,q
R � P p �� �
b Q �
R � Q q �
�
7) Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
(Tìm đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến mặt phẳng)
Cách giải:
+ Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P) .
+ Xác định m P � Q .
+ Dựng MH P suy ra MH là đoạn cần tìm.
8) Cách tính khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng
�
a � P
Khi �
a � P
�
� d a , P 0
Khi a / / P
� d a , P d A , P với A � P
9) Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
�
P � Q
Khi �
Khi P / / Q � d P , Q d M , Q
� d P , Q 0
với A � P
10) Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b
P � Q
�
a �b M
�
a) �
�a �b
b) a / / b � d a , b d M , b d N , a với
� d a ,b 0
M �a , N �b
c) Trường hợp a và b chéo nhau:
Cách 1:Dựng P �a & ( P) Pb thì:
d a, b d b;( P )
Cách 2: Dựng ( P ) �a & (Q) �b ; ( P ) P(Q)
� d a, b d ( P );(Q )
Cách 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn vuông góc chung.
2
Nguyễn Công Mậu
Bài giảng ôn tập phần Quan hệ vuông góc
Cần chú ý các trường hợp sau:
a) Khi a b
+ Dựng P �b , P a tại H
+ Trong (P) dựng HK b tại K.
Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a
và b
b) Khi a và b không vuông góc:
+ Dựng P �b , P / / a .
+ Dựng a ' hch P a , bằng cách lấy M �a
+ Dựng đoạn MN tại N, lúc đó a’ là
đường thẳng đi qua N và song song a .
Gọi H a '�b , dựng HK / / MN
Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a và
b
BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AC BC AD BD a; AB c và CD c ' .
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
Giải: Gọi I, J thứ tự là trung điểm của AB và CD
Vì AB = AC nên ACD là tam giác cân đỉnh A
� A J CD .
Tương tự BJ CD
� CD (ABJ) .
Do BCD ACD � AJ = BJ
� BJA là tam giác cân � JI AB
JI là đọan vuông góc chung của AB với CD.
A
I
D
B
J
C
c '2
JAD có JA AD JD a
(1)
4
2
2
2
2
2
2
4 a 2 c 2 c '2
JAI có JI 2 JA2 IA2 a 2 c ' c
(do 1).
4
4
4
Vậy d AB, CD JI
1 2
a c 2 c '2
2
3
Nguyễn Công Mậu
Bài giảng ôn tập phần Quan hệ vuông góc
Bài 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Góc tạo bởi
cạnh bên và đáy bằng 300. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A'B'C') thuộc đường
thẳng B'C'.
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy
b) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA' và B'C' vuông góc. Tính khoảng cách
giữa chúng ?
Giải:
A
a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên
(A'B'C') thì H là trung điểm của B'C'.
Do (ABC)//(A'B'C'), mà AH (A'B'C') do đó
AH chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
Vì AA' tạo với đáy một góc bằng 300 nên tam
1
1
giác AHA' có AH AA ' a .
2
2
C
B
K
A'
C'
H
B'
b) Kẻ KH vuông góc với AA’ thì HK là đoạn vuông góc chung của AA' và B'C' .
Dùng định lý Pitago trong tam giác vuông AKH (vuông tại K) ta tính được KH
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a .Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng BC' và CD'.
Ta xét hai mặt phẳng (A'BC') và (ACD')
chứa hai cạnh BC' và CD'
do (A'BC')//(ACD') nên khoảng cách giữa
BC' và CD' chính là khoảng cách giữa hai
mặt phẳng ((A'BC') với (ACD').
Ta có DA=DC=DD'=a, B'B=B'A'=B'C'=a
Vậy B'D là trục của hai mặt phằng trên.
Hai mặt phẳng trên chia đường chéo B'D
thành ba phần bằng nhau. Với B'D= a 3
B
C
O
A
D
I
K
B'
C'
O'
A'
D'
Bài 4: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, F lần
lượt là trung điểm các cạnh BC, C'B'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và
B'C'.
Giải: Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông
4
Nguyễn Công Mậu
Bài giảng ôn tập phần Quan hệ vuông góc
AB BC CA A / B/ B/ C/ C/ A / a các tam giác ABC, A/B/C/ là các tam giác
đều. Ta có: B/ C/ // BC � B/ C/ //(A / BC)
� d(A / B; B/ C/ ) d(B/ C/ ; (A / BC)) d(F; (A / BC))
�BC FD
� BC (A / BC)
Ta có: �
/
/
/
�BC A D (A BC caân taïi A )
Dựng FH A / D
Vì BC (A 'BC) � BC FH � H (A 'BC)
A’FD vuông có:
1
1
1
4
1
7
a 21
/ 2
2 2 2 � FH
.
2
2
7
FH
AF
FD
3a a
3a
Vậy, d(A / B; B/ C/ ) FH
A/
C/
B/
H
C
A
D
B
a 21
7
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = SB = SC, khoảng
cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h. Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) và (SAC)
vuông góc nhau.
Giải: Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông
AB BC CA A / B/ B/ C/ C/ A / a
các tam giác ABC, A/B/C/ là các tam giác đều.
Ta có: B/ C/ // BC � B/ C/ //(A / BC)
B/
H
� d(A / B; B/ C/ ) d(B/ C/ ; (A / BC)) d(F; (A / BC))
�
BC FD
� BC (A / BC)
Ta có: �
/
/
/
BC A D (A BC can
�tai�A )
�
Dựng FH A / D
/
/
Vì BC (A BC) � BC FH � H (A BC)
A/FD vuông có:
1
1
1
4
1
7
a 21
/ 2
2 2 2 � FH
.
2
2
7
FH
AF
FD
3a a
3a
a 21
Vậy, d(A / B; B/ C / ) FH
7
F
C
A
B
D
Bài 6: Cho tứ diện OABC có đáy là OBC vuông tại O, OB = a, OC = a 3, (a 0) và
đường cao OA a 3 . Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và OM.
5
Nguyễn Công Mậu
Bài giảng ôn tập phần Quan hệ vuông góc
Giải: Gọi N là điểm đối xứng của C qua O. Ta có: OM // BN(tính chất đường trung bình)
OM // (ABN) d(OM; AB) = d(OM; (ABN)) = d(O; (ABN)).
Dựng OK BN, OH AK (K �BN; H �AK)
Ta có: AO (OBC); OK BN � AK BN
A
BN OK; BN AK � BN (AOK) � BN OH
OH AK; OH BN � OH (ABN) � d(O; (ABN) OH
Từ các tam giác vuông OAK; ONB có:
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
OH
OA OK
OA OB ON 2
1
1
1
5
a 15
�
OH
5
3a2 a2 3a2 3a2
Vậy, d(OM; AB) OH
H
N
O
M
K
a 15
.
5
C
B
Bài 7: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a
(a > 0), hình chiếu của S trên đáy trùng với trọng tâm G của ABC. Đặt SG = x (x > 0).
Xác định giá trị của x để góc phẳng nhị diện (B, SA, C) bằng 60o.
Giải: Gọi M là trung điểm của BC
� AM BC (DABC vuông cân)
Ta có: SG (ABC) � SG BC .
Suy ra: BC (SAM)
Dựng BI SA � IM SA và IC SA
� là góc phẳng nhị diện (B; SA; C).
� BIC
SAB SAC (c.c.c)
� IB IC � IBC cân tại I.
1
a 2
a 2
BC a 2; AM BM MC BC
; AG
2
2
3
AIM ~ AGS � IM SG.
� IM
AM
a 2
1
x.
.
AS
2
SG 2 AG 2
S
I
C
A
G
M
B
ax 2
2 x2
2a2
9
3ax 2
2 9x 2 2a2
� 30o � BM IM.tg30o � a 2 3.3ax 2
� 60o � BIM
Ta có: BIC
2
2 9x 2 2a2
a
2
2
2
2
� 9x 2 2a2 3x 3 � 9x 2 2a2 27x 2 � 18x 2a � 9x a � x .
3
6
Nguyễn Công Mậu
Bài giảng ôn tập phần Quan hệ vuông góc
a
Vậy, x .
3
Bài 8: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng 2a 2 , SA vuông
góc với (ABC) và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC. Tính góc và
khoảng cách giữa hai đường thẳng SE và AF.
Giải: Gọi M là trung điểm của BF EM // AF
� AF) (EM;
� AF) SEM
�
� (SA;
S
SAE vuông tại A có:
SE2 SA 2 AE a2 2a2 3a2 � SE a 3
AF
2a 2. 3
a 6
2
H
a 6
; BF a 2
2
SB2 SA 2 AB2 a2 8a2 9a2 � SB 3a
� EM BM MF
K
A
C
F
E
M
B
SF 2 SA 2 AF 2 a2 6a2 7a2 � SF a 7
1
Áp dụng định lý đường trung tuyến SM trong SBF có: SB2 SF 2 2.SM 2 BF 2
2
2
1
15a
� 9a2 7a2 2SM2 .2a2 � SM 2
2
2
Gọi a là góc nhọn tạo bởi SE và AF. Áp dụng định lý hàm Côsin vào SEM có:
3a2 15a2
3a2
2
2
2
ES EM SM
2
2 2 2.
�
cos cosSEM
2.ES.EM
2
2
a 6
2.
.a 3
2
o
� 45 .
a 2
Dựng AK ME; AH SK. Ta có: AK MF
và AH (SME)
2
Vì AF // ME � d(SE; AF) d(AF; (SME)) AH.
1
1
1
1 2
3
a 3
SAK vuông có:
2 2 2 � AH
2
2
2
3
AH
SA
AK
a a
a
Vậy, d(SE; AF)
a 3
.
3
Bài 9: Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc
bằng (0o 90o ) . Tính thể tích khối hình chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến
mặt phẳng (SBC).
7
Nguyễn Công Mậu
Bài giảng ôn tập phần Quan hệ vuông góc
Giải: Gọi H là trung điểm của BC.
Do S.ABC đều và ABC đều nên chân đường cao đỉnh S trùng với giao điểm ba đường
cao là trực tâm O của ABC và có SBC cân tại S.
� .
suy ra: BC SH, BC AH, nên SHA
1
a 3
Ta có: OH AH
.
3
6
SHO vuông góc: SO HO.tg
S
a 3
tg
6
HO
a 3
cos 6.cos
Thể tích hình chóp S.ABC:
và SH
A
O
1
1 a 3
a2 3 a3tg
V .SO.SABC .
tg.
3
3 6
4
24
C
j
H
B
1
a2 3
Diện tích SBC: SSBC .SH.BC
2
12.cos
Gọi h là khoảng cách từ A đến (SBC), ta có:
1
3.V
a3tg a2 3
a 3
V .h.SSBC � h
3.
:
sin
3
SSBC
24 12 cos
2
Bài 10: Cho hình lập phương ABCD . A'B'C'D' cạnh a. M, N lần lượt là trung điểm của
AB và C'D'. Tính khoảng cách từ B' đến (A'MCN).
Giải: Bốn tam giác vuông:
AA ' M, BCM, CC' N, A ' D' N bằng nhau (c.g.c)
� A ' M MC CN NA '
� A 'MCN là hình thoi.
Hai hình chóp B’.A’MCN và B’.A’NC có chung
đường cao vẽ từ đỉnh B/ và SA/ MCN 2.SA / NC
nên: VB/ .A / MCN 2.VB/ .A/ NC.
D/
C/
N
A/
B/
D
A
M
C
B
1
1 1
a3
a3
/
Mà: V /
VC.A / B/ N .CC .SA / B/ N .a. .a.a � VB/ .A / MCN .
B .ANC
3
3 2
6
3
1
a2 6
Ta có: SA/ MCN .A / C.MN, với A / C a 3; MN BC / a 2 � SA/ MCN
.
2
2
1
3
Gọi H là hình chiếu của B/ trên (A/MCN), ta có: VB'.A'MCN .B'H.SA'MCN
8
Nguyễn Công Mậu
Bài giảng ôn tập phần Quan hệ vuông góc
/
�BH
3.VB/ .A/ MCN
SA / MCN
a3 a 2 6 a 6
3. :
.
3
2
3
Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a,
� 120o , cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh AB'I vuông
góc BAC
tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).
Giải: Gọi H là trung điểm BC � AH BC.
ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a
a
a 3
AH và BH
� BC a 3
2
2
a2
13a2
IB/ C/ vuông có: IB/ 2 IC/ 2 B/ C/ 2 3a2
4
4
2
2
a
5a
AIC vuông có: AI2 IC2 AC2 a2
4
4
B/
C/
A/
B
H
30o
I
C
A
5a2
13a2
2a2
IB'2 (AB’ là đường chéo hình vuông AA’B’B cạnh a)
4
4
Vậy AB’I vuông tại A.
1
1 a 5
a2 10
1
1 a
a2 3
Ta có: SAB/ I .AI.AB/ .
; SABC .AH.BC . .a 3
.a 2
2
2 2
4
2
2 2
4
/
Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB I), theo công thức chiếu, ta có:
SABC a2 3 a2 10
30
cos
:
SAB/ I
4
4
10
Ta có: AI2 AB'2
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Tứ diện ABCD, AD (BCD) Gọi E là chân đường cao DE của tam giác BCD
a) Chứng minh (ADE) (ABC)
b) Kẻ đường cao BF của tam giác ABC, đường cao BK của (BCD)
Chứng minh (BFK) (ABC)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA SB SC SD a .
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC
a) Chứng minh (SIJ) (SBC)
b) Tính khoảng cách giữa AD và SB
9
Nguyễn Công Mậu
Bài giảng ôn tập phần Quan hệ vuông góc
Bài 3: Tứ diện S.ABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B ; AC=2a. Cạnh SA vuông
góc với (ABC) và SA = a
a) Chứng minh (SAB) (SBC)
b) Tính khảng cách từ A đến (SBC)
c) Gọi O là trung điểm AC .Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD), SA
= h. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Tính khoảng cách:
a) Từ B đến (SCD)
b) Từ O đến (SCD)
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông vạnh a, mặt bên (SAB) đáy và SA =
SB = b. Tính khoảng cách:
a) Từ S đến (ABCD)
b) Từ AD đến (SBC).
c) Từ trung điểm I của CD đến (SHC), H là trung điểm của AB.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD), SA
= a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
a) SA và BD.
b) SC và BD.
c) AC và SD.
Bài 7: Cho hai tam giác cân không đồng phẳng ABC và ABD có đáy chung AB.
a) Chứng minh AB CD.
b) Xác định đoạn vuông góc chung của AB và CD.
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA
(ABCD) ; SA = 2a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) và SA=a
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
a) SC và BD
b) AC và SD
Bài 10: Cho tứ diện OABC, với OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a.
Gọi I là trung điểm BC.
Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng:
a) OA và BC
b) AI và OC
10
Nguyễn Công Mậu
- Xem thêm -
.DOC 
10 
309 
57 
