HỆ THỐỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHỐNG GIAN
Chuyªn ®Ò h×nh gi¶i tÝch trong
kh«ng gian
Ch¬ng 1
Bµi 1
MÆt Ph¼ng
Ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng
Bµi 1 LËp ph¬ng tr×nh tham sè cña mÆt ph¼ng
(P) ®i qua ®iÓm M(2,3,2) vµ cÆp VTCP lµ
a ( 2,1, 2);
b(3,2, 1)
Bµi 2: T×m mét cÆp VTPT cña c¸c mÆt ph¼ng
sau:
x 1 t1 t2
1) (P :) y 2t t (t ; t R)
1 2 12
z 1 3t t
12
2) (P): x-2y-1=0.
3) (P) :x+4y+7z+16=0.
Bµi 3: ChuyÓn d¹ng ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña
(P) sang d¹ng tham, sè trong c¸c trêng hîp sau:
1) (P): x+2y+3z-12=0.
2) (P): 3x+2y+z-6=0.
3) (P): x+2y-4=0.
4) (P): 2y+3z-6=0.
Bµi 4: ChuyÓn d¹ng ph¬ng tr×nh tham sè cña (P)
sang d¹ng tæng qu¸t trong c¸c trêng hîp sau:
Bµi 2: LËp ph¬ng tr×nh tham sè cña mÆt ph¼ng
(P) ®i qua M(1,1,1) vµ
1) Song song víi c¸c trôc 0x vµ 0y.
2) Song song víi c¸c trôc 0x,0z.
3) Song song víi c¸c trôc 0y, 0z.
Bµi 3: LËp ph¬ng tr×nh tham sè cña mÆt ph¼ng
®i qua 2 ®iÓm M(1,-1,1) vµ B(2,1,1) vµ :
1) Cïng ph¬ng víi trôc 0x.
2) Cïng ph¬ng víi trôc 0y.
3) Cïng ph¬ng víi trôc 0z.
1 2
Bµi 4: X¸c ®Þnh to¹ ®é cña vÐc t¬ n vu«ng gãc
víi hai vÐc t¬ a (6, 1,3);
b(3,2,1) .
1)
1 12
Bµi 5: T×m mét VTPT cña mÆt ph¼ng (P) ,biÕt
(P) cã cÆp VTCP lµ a (2,7,2); b(3,2,4)
Bµi 6: LËp ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng
2
(P) biÕt :
1) (P) ®i qua ®iÓm A(-1,3,-2) vµ nhËn
n( 2,3,4); lµm VTPT.
1 2
2) (P) ®i qua ®iÓm M(-1,3,-2) vµ song song víi
(Q): x+2y+z+4=0.
2)
Bµi7: LËp ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña c¸c mÆt
1 2 12
ph¼ng ®i qua I(2,6,-3) vµ song song víi c¸c mÆt
ph¼ng to¹ ®é.
1 2
Bµi 8: (§HL-99) :Trong kh«ng gian 0xyz cho
®iÓm A(-1,2,3) vµ hai mÆt ph¼ng (P): x-2=0 ,
Bµi 5: Cho mÆt ph¼ng (P) ph¬ng tr×nh tham sè:
(Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) ®i
qua ®iÓm A vµ vu«ng gãc víi hai mÆt ph¼ng (P),
1
(Q).
x 1 t t
(P :) y 2t (t ;t R)
z 2t
x 1 t t
(P :) y 2t t (t ;t R)
z 1 3t t
Bµi 2
ChuyÓn d¹ng ph¬ng tr×nh
mÆt ph¼ng
Bµi1: T×m mét cÆp VTCP cña c¸c mÆt ph¼ng
sau:
1) (P) : x-2y-1=0
2)
x 1 t1 t2
(P) : y 2t1 t2 (t1;t2 R)
z 1 3t t
12
3) (P) : x+4y+7z+16=0
x 1 t
(P :) y 2 t2 (t1;t2 R)
z 3 t
1
1) LËp ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña (P).
2) LËp ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña (Q) ®i qua
®iÓm A(1,2,3) vµ song song víi (P).
Bµi 6: LËp ph¬ng tr×nh tham sè vµ ph¬ng tr×nh
tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) trong c¸c trêng hîp
sau:
1) §i qua hai ®iÓm
A(0,-1,4) vµ cã cÆp VTCP lµ
a 3,2,1 vµ b 3,0,1
2) §i qua hai ®iÓm B(4,-1,1) vµ C(3,1,-1) vµ
cïng ph¬ng víi trôc víi 0x.
Page 1
HỆ THỐỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHỐNG GIAN
Bµi 7: Cho tø diÖn ABCD cã A(5,1,3) B(1,6,2)
C(5,0,4) D(4,0,6) .
1) ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè vµ ph¬ng tr×nh tæng
qu¸t c¸c mÆt ph¼ng (ABC) (ACD) (ABD)
(BCD).
2) ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè vµ ph¬ng tr×nh tæng
qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua c¹nh AB vµ
song song vpÝ c¹nh CD.
Bµi 8: ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè vµ tæng qu¸t cña
(P)
1) §i qua ba ®iÓm A(1,0,0), B(0,2,0) , C(0,03) .
2) §i qua A(1,2,3) ,B(2,2,3) vµ vu«ng gãc víi
mÆt ph¼ng (Q) : x+2y+3z+4=0
3) Chøa 0x vµ ®i qua A(4,-1,2) ,
4) Chøa 0y vµ ®i qua B(1,4,-3)
Bµi 9: Cho hai ®iÓm A(3,2,3) B(3,4,1) trong
kh«ng gian 0xyz
1) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) lµ trung trùc
cña AB.
2) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) qua A vu«ng
gãc v¬i (P) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng y0z
3) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) qua A vµ
song song víi mÆt ph¼ng (P).
Bµi 3
VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai mÆt ph¼ng
Bµi 1: XÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi ciña c¸c cÆp mÆt
ph¼ng sau:
1)
x 3 2t1
(P ): y-z+4=0, vµ P : y 1 t 4t , t , t R
2 1 2 12
z 5 t 4t
1 2
1
2)
x 1 2t1 3t2
(P ): 9x+10y-7z+9=0 P : y 7 t 2t , t , t R
2 1 2 12
z 3 4t t
12
3)
x 1 t1 t2
(P ): x+y-z-4=0vµ P : y 2 2t t , t , t R
2
1 2 12
z 1 t t
12
1
1
Bµi 4
Chïm mÆt ph¼ng
Bµi 1: LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng qua M(2,1,3)
vµ chøa (d) , biÕt :
1)
2x y 3z 5 0
d :
x 2 y z 1 0
2)
x t
d : y 2 2t
z 1 2t
Bµi 2:LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua ®iÓm
M(2,1,-1) vµ qua hai giao tuyÕn cña hai mÆt
ph¼ng (P1) vµ (P2) cã ph¬ng tr×nh :
(P1): x-y+z-4=0 vµ (P2) 3x-y+z-1=0
Bµi 3: LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa ®êng
th¼ng
3 x 2 y z 3 0
vµ song song víi mÆt
d :
x 2 z 0
ph¼ng (Q) cã ph¬ng tr×nh :
(Q): 11x-2y-15z-6=0.
Bµi 4: LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng qua giao
tuyÕn cña (P1): y+2z-4=0 vµ (P2) : x+y-z-3=0 vµ
song song víi mÆt ph¼ng (Q):x+y+z-2=0.
Bµi 5: LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa ®êng
3 x 2 y z 3 0
th¼ng d :
vµ vu«ng gãc víi (Q) cã
x 2 z 0
ph¬ng tr×nh ;
1) (§HNNI-95): (Q): x-2y+z+5=0.
2)
x 4 3t1 t2
Q : y 4 t1 2t2,t1,t2 R
z 5 t t
12
Bµi 6: LËp ph¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng qua hai
giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (P1): 3x-y+z-2=0
vµ (P2): x+4y-5=0 vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng :
2x-z+7=0.
Bµi 7: LËp ph¬ng tr×nh chøa mÆt ph¼ng ®êng
th¼ng :
3 x 2 y z 3 0
vµ song song víi ®êng
d :
x 2z 0
th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh :
Page 2
HỆ THỐỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHỐNG GIAN
1)
1) ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c mÆt ph¼ng P1 , P2
song song víi nhau vµ lÇn lît chøa d1 d 2
2) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a d1 , d 2
3) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (D) song song
víi trôc Oz vµ c¾t c¶ 2 ®êng th¼ng d1 , d 2
3 x y 2 z 7 0
d :
x 3 y 2 z 3 0
2) d :
x 2 y 3 z 5
2
4
5
Bµi 8:LËp ph¬ng tr×nh chøa mÆt ph¼ng ®êng
th¼ng :
x 2 y 0
vµ vu«ng gãc ®êng
d :
3 x 2 y z 3 0
Bµi 5
Kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm
tíi mÆt ph¼ng
Bµi1:TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M(2,2,1) ®Õn
mÆt ph¼ng (P) trong c¸c trêng hîp sau:
1) (P): 2x+y-3z+3=0
th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh :
1)
3 x y 2 z 7 0
d :
x 3 y 2 z 3 0
2) d :
2)
x 2 y 3 z 5
2
4
5
Bµi 9: LËp ph¬ng tr×nh chøa mÆt ph¼ng ®êng
th¼ng vµ víi mÆt ph¼ng (Q) mét gãc 60 ®é biÕt:
3 x 2 y z 3 0
vµ (Q):3x+4y-6=0
d :
x 2z 0
Bµi 10: LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa ®êng
x 3 z 2 0
th¼ng d :
vµ cã kho¶ng c¸ch ®Õn ®iÓm
y 5 z 1 0
A(1,-1,0) b»ng 1.
Bµi 11: Cho ®êng th¼ng (d) vµ hai mÆt ph¼ng
x z 2 0
d : vµ (P ): 5x+5y-3z-2=0 vµ (P ):2x y z 1 0
1
2
y+z-6=0. LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa ®êng th¼ng (d) sao cho: P P1 vµ P P2 lµ
hai ®êng trùc giao.
Bµi 12: (§HKT-93): cho hai ®êng th¼ng (d1) vµ
(d2) cã ph¬ng tr×nh :
x 8z 23 0 x 2z 3 0
d 1 : , , d 2 : y 2 z 2 0 .
y 4 z 1 0
x 4 3t1 t2
P : y 4 t1 2t2 t1,t2 R
z 5 t t
12
Bµi2:Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é trùc chuÈn
Oxyz , cho tø diÖn cã 4 ®Ønh A(5,1,3) B(1,6,2)
C(5,0,4) D(4,0,6)
1) LËp ph¬ng tr×nh tæng qu¸t mÆt ph¼ng (ABC)
2) TÝnh chiÒu dµi ®êng th¼ng cao h¹ tõ ®Ønh D
cña tø diÖn, tõ ®ã suy ra thÓ tÝch cña tø diÖn
3) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ph©n gi¸c cña
gãc nhÞ diÖn (A,BC,D)
Bµ3:Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é trùc chuÈn
Oxyz , cho tø diÖn cã 4 ®Ønh A(1,1,1) B(-2,0,2)
C(0,1,-3) D(4,-1,0)
1) (§H LuËt 1996) TÝnh chiÒu dµi ®êng th¼ng
cao h¹ tõ ®Ønh D cña tø diÖn
2) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ph©n gi¸c cña
gãc nhÞ diÖn (A,BC,D)
Ch¬ng 2
§êng th¼ng trong
kh«ng gian
Bµi 1
Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng
Bµi 1:LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) trong c¸c
trêng hîp sau :
1) (d) ®i qua ®iÓm M(1,0,1) vµ nhËn a (3,2,3)
lµm VTCP
2) (d) ®i qua 2 ®iÓm A(1,0,-1) vµ B(2,-1,3)
Bµi 2: Trong kh«ng gian Oxyz lËp ph¬ng tr×nh
tæng qu¸t cña c¸c giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng
(P) : x-3y+2z-6=0 vµ c¸c mÆt ph¼ng to¹ ®é
Bµi 3: ViÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®êng
th¼ng ®i qua ®iÓm M(2,3,-5) vµ song song víi ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh
Page 3
HỆ THỐỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHỐNG GIAN
3 x y 2 z 7 0
d :
x 3 y 2 z 3 0
Bµi 4: Cho ®êng th¼ng (D) vµ mÆt ph¼ng (P) cã
ph¬ng tr×nh lµ :
3 x y 4 z 1 0
vµ (P): x+y+z+1=0
d :
2 x 3 y z 7 0
Bµi4:Cho ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh :
x t
d : y 2 2t t, R . H·y viÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña
z 1 2t
®êng th¼ng ®ã
Bµi5:LËp ph¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c vµ tæng
qu¸t cña ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(2,1,3) vµ
vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P) trong c¸c trêng hîp
sau:
1) (P): x+2y+3z-4=0
T×m ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®êng th¼ng (t) ®i
qua A(1,1,1) song song víi mÆt ph¼ng (P) vµ
vu«ng gãc víi ®êng th¼ng (D)
Bµi 5: Cho mÆt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iÓm
A(3,0,0), B(0,6,0), C(0,0,9). ViÕt ph¬ng tr×nh
tham sè cña ®êng th¼ng (d) ®i qua träng t©m tam 2)
gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa tam
gi¸c ®ã
Bµi 2
ChuyÓn d¹ng ph¬ng tr×nh
®êng th¼ng
Bµi 1:T×m vÐc t¬ chØ ph¬ng cña c¸c ®êng th¼ng
sau
1) (d ) :
2)
x 1 y 2 z 1
3
4
3
x y 4z 10 0
d :
2x 4 y z 6 0
Bµi 2:Cho ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh :
x y 4z 10 0
. H·y viÕt ph¬ng tr×nh tham sè
d :
2x 4 y z 6 0
3)
x 4 3t1 t2
P : y 4 t1 2t2 t1,t2 R .
z 5 t t
12
x 1 t1
P : y 2 t2 t1,t2 R
z 3 t
2
Bµi 6:LËp ph¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c vµ
tæng qu¸t cña ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm
A(1,2,3) vµ song song víi ®êng th¼ng (D) cho
bëi :
1)
cña ®êng th¼ng ®ã
Bµi3:Cho ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh :
x 2 2t
D : y 3t t R .
z 3 t
x y 4z 10 0
. H·y viÕt ph¬ng tr×nh chÝnh
d :
2x 4 y z 6 0
2)
x y 1 0
D :
4x z 1 0
t¾c cña ®êng th¼ng ®ã
Bµi 7:LËp ph¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c vµ
tæng qu¸t cña ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm
A(1,2,3) vµ vu«ng gãc víi 2 ®êng th¼ng :
2x y 2 0 x y 4z 10 0
, d :
d1 :
2
2x z 3 0 2x 4 y z 6 0
Page 4
HỆ THỐỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHỐNG GIAN
Bµi8:Trong kh«ng gian Oxyz, lËp ph¬ng tr×nh
tham sè, chÝnh t¾c vµ tæng qu¸t cña ®êng th¼ng
(d) ®i qua ®iÓm A(3,2,1), song song víi mÆt 2)
ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng
BiÕt mÆt ph¼ng
(P): x+y+z-2=0 vµ
x y 1 0
() :
4 y z 1 0
Bµi 3
VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng vµ
mÆt ph¼ng
Bµi1: XÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng (d) vµ
mÆt ph¼ng (P) ,biÕt:
1)
2)
x 1t
d : y 3 t t, R (P): x-y+z+3=0
z 2 t
x 12 4t
d : y 9 t , t R (P): y+4z+17=0
z 1 t
3)
2x 3 y 6z 10 0
d :
x y z 5 0
4)
x y z 3 0
d :
y 1 0
(P): y+4z+17=0
3)
2x 3y 6z 10 0
d :
x y z 5 0
x 2 t1 t2
P : y 12t2 ( t1,t2 R)
z t
1
x 1 2t
d : y 2 t , t R (P): x-2y+2z+3=0.
z 2 2t
Bµi 3: (§HNN_TH-98): Cho mÆt ph¼ng (P) vµ
®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh (P) :2x+y+z=0 vµ
d : x 1 y z 2 .
2
1
3
1) T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) vµ (P) .
2) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d1) qua A vu«ng
gãc víi (d) vµ n»m trong mÆt ph¼ng (P) .
Bµi 4: (§H Khèi A-2002): Trong kh«ng gian
0xyz ,cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®êng th¼ng (dm) cã
ph¬ng tr×nh : (P) :2x-y+2=0 ,
(2m 1)x (1 m) y m 1 0
x¸c ®Þnh m ®Ó
dm :
mx (2m 1) z 4m 2 0
(dm)//(P)
(P): x+y-2=0
Bµi 4
VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai
®êng th¼ng
Bµi 2: h·y tÝnh sè ®o gãc t¹o bëi ®êng th¼ng (d) Bµi 1: sö dông tÝch hçn t¹p x¸c ®Þnh vÞ trÝ t¬ng
®èi cña hai ®êng th¼ng (d1) vµ (d2) cã ph¬ng
vµ mÆt ph¼ng (P) cho bëi :
tr×nh cho bëi:
1)
x 1 t1
x 12 4t
d : y 9 3t (t R) .vµP : y 2 t2 ( t1,t2 R) .
z 1 t
z 3 t
2
1)
x 3 2t
4x y 19 0
d1 : y 2 3t t R , d2 :
x z 15 0
z 6 4t
Page 5
HỆ THỐỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHỐNG GIAN
2)
3)
x 1 2t
x u 2
d1 : y 2 t t R , d2 : y 3 2u
z 3 3t
z 3u 1
d1 : x 1 y 2 z
2x y 1 0 3x y z 3 0
, d :
d1 :
2
x y z 1 0 2x y 1 0
1) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) c¾t
nhau.
2) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng ph©n gi¸c cña (d1),(d2)
Bµi 6: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®êng
th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :
2
Bµi 2: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®êng
th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :
x 5 2t x 3 2t1
d1 : y 1 t , d2 : y 3 t1 t,t1 R
z 5 t
z 1 t
1
1) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) song
song víi nhau .
2) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) song song
,c¸ch ®Òu (d1),(d2) vµ thuéc mÆt ph¼ng chøa
(d1),(d2) .
Bµi 3: Cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng
tr×nh cho bëi :
d1 : x 7 y 5 z 9 , d 2 : x y 4 z 18
3
1
4
3
1
4
1) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) song
song víi nhau .
2) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) song song
,c¸ch ®Òu (d1),(d2) vµ thuéc mÆt ph¼ng chøa
(d1),(d2).
Bµi 4: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®êng
th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :
x 3 2t
d1 : y 2 t t R ,
z 6 4t
4x y 19 0
d2 :
x z 15 0
1) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) c¾t
nhau .
2) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng ph©n gi¸c cña (d1),(d2)
Bµi5: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®êng
th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :
1
4
3
x 1 t
d2 : y t t R
z 2 3t
x 2t1
x 1 t
d1 : y t , d2 : y 1t1 t,t1 R
z 1
z t
1
1) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) chÐo
nhau.
2) ViÕt ph¬ng tr×nhmÆt ph¼ng(P) song song
,c¸ch ®Òu (d1),(d2) .
Bµi 7: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®êng
th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :
x 8z 23 0 x 2z 3 0
, d :
d1 :
y - 4z 10 0 2 y 2z 2 0
1) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) chÐo
nhau.
2) ViÕt ph¬ng tr×nhmÆt ph¼ng(P) song song,
c¸ch ®Òu (d1),(d2) .
Bµi8: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®êng
th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :
d1 : x 1 y 2 z 3
1
2
3
x 2 y z 0
d2 :
2x y 3z 5 0
1) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) chÐo
nhau.
2) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng(P) song song,
c¸ch ®Òu (d1),(d2) .
Bµi 5
Hai ®êng th¼ng ®ång ph¼ng vµ
bµi tËp liªn quan
Bµi 1: (§HBK-TPHCM-93): ViÕt ph¬ng tr×nh
mÆt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2) ,biÕt:
d1 : x 1 y 1 z
3
2
3
2
d2 : x y 1 z 3
1
1
2
Page 6
HỆ THỐỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHỐNG GIAN
Bµi 2: (§HSPII-2000): Cho ®iÓm A(1,-1,1) vµ
Bµi 1: (§HNN-96): cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2)
hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :
x t
3x - y - z 3 0
d2 : y 1 2t t R
d1 :
2x - y 1 0 z 3t
x 7 3t x 1 t1
cã ph¬ng tr×nh cho bëi : d : y 4 2t d : y 9 2t t, t R
1
2
1 1
z 4 3t
z 12 t1
1) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) chÐo
nhau.
2) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng vu«ng gãc
chung cña (d1),(d2) .
Bµi 2: (§HTCKT-96): Trong kh«ng gian 0xyz ,
cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho
tr×nh cho bëi :
bëi : (d1): x=-y+1=z-1, (d2): -x+1=y-1=z
1
2
T×m to¹ ®é ®iÓm A1 thuéc (d1) vµ to¹ ®é ®iÓm A2
thuéc (d2) ®Ó ®êng th¼ng A1A2 vu«ng gãc víi
(d1) vµ vu«ng gãc víi (d2) .
1) CMR hai ®êng th¼ng ®ã c¾t nhau.
Bµi 3: (§H L 1996) Cho hai ®êng th¼ng (d1),
2) ViÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) (d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :
chøa (d1),(d2).
3) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng ph©n gi¸c cña(d1),(d2)
x 1 t
1
Bµi 4: Cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng
CMR (d1),(d2) vµ ®iÓm A cïng thuéc mÆt
ph¼ng.
Bµi 3: Cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng
2x y 1 0 3x y z 3 0
d :
d :
x - y z 1 0 2x y 1 0
tr×nh cho bëi : d1 :
x 2 y 1 z 1
1
2
1
x 1 2t
d2 : y t 2 t R
z 1 3t
x 2t
d1 : y t ,d2 : y 1t1 t,t1 R
z 1
z t1
1) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) chÐo
nhau.ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P),(Q)
song song víi nhau vµ lÇn lît chøa (d1),(d2)
2) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1),(d2) .
Bµi 4: (§HTS-96): Cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2)
1) CMR hai ®êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh
to¹ ®é giao ®iÓm cña nã.
x 1 3t
2) ViÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P)
chøa (d1),(d2).
3) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng ph©n gi¸c cña(d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi : d : y 3 2t
1
Bµi5: cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng
tr×nh cho bëi :
d1 : x 3 y 1 z 2 ,
1
4
3
4x y 2 0
d2 :
3x z 0
t R
z 2 1
3x 2 y 8 0
d2 :
5x 2z 12 0
1) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) song
song víi nhau.
2) ViÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) 1) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) chÐo
nhau. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1),(d2)
chøa (d1),(d2).
2)
ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng vu«ng gãc
3) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) trong (P)
chung cña (d1),(d2) .
song song c¸ch ®Òu (d1),(d2) .
Bµi
5: : (PVBC 99) Cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2)
Bµi 6
,biÕt:
Hai ®êng th¼ng chÐo nhau vµ bµi
tËp liªn quan
Page 7
HỆ THỐỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHỐNG GIAN
d1 : x 1 y 1 z
2
3
2
1
d2 : x
2
2
y2
z
5
2
1) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) chÐo
nhau.
2) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng vu«ng gãc
chung cña (d1),(d2) .
Bµi 6: (§HSPQui Nh¬n-D-96): cho hai ®êng
th¼ng (d1),(d2) ,biÕt:
x 13t
x y 0
: d :
d
:
2 y t t R
1
x - y z 4 0 z 2 t
1) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) chÐo
nhau.
2) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1),(d2)
Bµi 7: : cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) ,biÕt:
d1 : x
7
y 3 z 9
1
2
1
x 3 y 1 z 1
d2 :
7
2
3
1) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2)
chÐo nhau.
2) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng vu«ng gãc
chung cña (d1),(d2) .
Bµi 8: (§H HuÕ 1998) Cho hai ®êng th¼ng (d1),
(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :
x 2 21t x 1
d1 : y 1 t1 , d2 : y 1t2 t1,t2 R
z 1
z 3 t
2
1) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) chÐo
nhau.
2) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa (d1) vµ
song song víi (d2) .
3) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1),(d2) .
Bµi 9: (§HNN-97): Cho hai ®êng th¼ng (d1),
(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :
x 2 2t
x y 2z 0
d2 : y 5t t R
d1 :
x - y z 1 0 z 2 t
1) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) chÐo
nhau.
2) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1),(d2) .
3) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) ®i qua
M(1,1,1) vµ c¾t ®ång thêi (d1),(d2) .
Bµi 10: (§HKT-98): Cho tø diÖn SABC víi c¸c
®Ønh S(-2,2,4), A(-2,2,0) ,B(-5,2,0) ,C(-2,1,1).
TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai c¹nh ®èi SA vµ SB.
Ch¬ng 3
§iÓm, ®êng th¼ng vµ
MÆt Ph¼ng
Bµi 1
§êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm c¾t c¶
hai ®êng th¼ng cho tríc.
Bµi1: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua
A(1,2,3) vµ c¾t c¶ hai ®êng th¼ng
1)
x 8z 23 0 x 2z 3 0
d1 :
d2 :
y - 4z 10 0 y 2z 2 0
x 1 y 2 z 3
2) d1 :
1
2
3
x 2 y z 0
d2 :
2x y 3z 5 0
Bµi 2: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua gèc
to¹ ®é vµ c¾t c¶ hai ®êng th¼ng:
x 1 2t
x u 2
d1 : y 2 t t R , d2 : y 3 2u
z 3 3t
z 3u 1
Bµi 3: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) song
song víi ®êng th¼ng () vµ c¾t c¶ hai ®êng
x y 2z 0 x 2 t x 2z 2 0
th¼ng: :
d1 : y 1 t t R d2 :
x y z 1 0 z 2t
y 3 0
Bµi 4: (§HDL-97): ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng
th¼ng ®i qua A(1,-1,0) vµ c¾t c¶ hai ®êng th¼ng:
d1 : x y 1 z 1 d 2 : x 1 y z
1
1
2
1
2
1
Bµi 5: (§HTS-99): ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng
®i qua A(1,-1,0) vµ c¾t c¶ hai ®êng th¼ng:
Page 8
HỆ THỐỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHỐNG GIAN
x 1 3t
3x
2y
8
0
d2 : y 3 2t t R
d1 :
5x 2z -12 0 z 2 t
Bµi 6: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) vu«ng
gãc víi (P) :x+y+z-2=0 vµ c¾t c¶ hai ®êng th¼ng
(d1) vµ (d2):
x 2 t
d1 : y 1 t t R
z 2t
x 2z 2 0
d2 :
y 3 0
Bµi 7: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) ®i qua
gèc to¹ ®é vµ c¾t c¶ 2 ®êng th¼ng (d1) vµ (d2):
x 2t 1
x u 2
d1 : y t 2 t R d2 : y 3 2u
z 3t 3
z 3u 1 3 0
c¾t mét ®êng th¼ng kh¸c
Bµi 1: (§HSP TPHCM-95): ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A(0,1,1) vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng (d1) vµ c¾t (d2) ,biÕt :
d1 : x 1 y 2 z
3
1
1
x y z 2 0
d2 :
x 1 0
Bµi 2: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua
A(1,1,1) vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng (d1) vµ
c¾t (d2) ,biÕt :
x y z - 3 0 x 2 y 2z 9 0
d1 :
d2 :
y z -1 0
y z 1 0
Bµi 3: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng c¾t c¶ ba ®êng th¼ng (d1) (d2) , (d3) vµ vu«ng gãc víi vect¬
u 1,2,3 , biÕt:
x - y 1 0 x y 1 0 x y 1 0
d1 : d 2 : d 3 :
z 1 0 z 0
z 1
Bµi 2
§êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm vu«ng Bµi 4: T×m tÊt c¶ c¸c ®êng th¼ng c¾t (d ), (d ) d1
2
gãc víi c¶ hai ®êng
íi cïng mét gãc , biÕt:
th¼ng cho tríc.
Bµi 1: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua
A(1,2,3) vµ c¾t c¶ hai ®êng th¼ng (d1) ,(d2):
1)
x 8z 23 0 x 2z 3 0
d1 :
d2 :
y - 4z 10 0 y 2z 2 0
2)
x 1 3t
d2 : y 3 2t t R
z 2 t
3x 2 y 8 0
d1 :
5x 2z 12 0
Bµi 2: (§HTCKT 1999) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng
th¼ng (d) ®i qua A(1,1,-2) song song víi mÆt
ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng (d):
mx - y 0 mx y 0
d1 : d 2 :
z a
z a
Bµi 5: (§HTL-97):ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng
®i qua A(3,-2,-4) song song víi mÆt ph¼ng (P) :
3x-2y-3z-7=0 vµ c¾t ®êng th¼ng (d) biÕt:
d : x 3 2 y24 z 2 1
Bµi 4:
H×nh chiÕu vu«ng gãc cña
®iÓm lªn mÆt ph¼ng
Bµi 1: T×m to¹ ®é ®iÓm ®èi xøng cña A(-2,1,3)
qua (P) cho bëi:
1) (P): 2x+y-z-3=0.
d : x 1 y 1 z 2 (P) : x - y - z - 1 0
2
1
3
Bµi 3
§êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm vu«ng
gãc víi mét ®êng vµ
Page 9
HỆ THỐỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHỐNG GIAN
2)
x 1 t1 t2
P : y 2 2t1 t2 t1,t2 R
z 1t t
12
Bµi 2: (§HKTCN-97): Cho ®iÓm A(1,2,3) vµ
mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh :2x-y+2z-3=0
1) LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng qua A vµ song
song víi (P).
2) Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn
(P). X¸c ®Þnh to¹ ®é cña H
Bµi3: (§HGTVTTPHCM-99): Cho ba ®iÓm
A(1,1,2),B(-2,1,-1) ,C(2,-2,-1) .X¸c ®Þnh to¹ ®é
h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm O lªn mÆt ph¼ng
(ABC).
Bµi 4: (§HTCKT-2000): Cho ®iÓm A(2,3,5) vµ
mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh :2x+3y+z-17=0
1) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) qua A vµ
vu«ng gãcvíi (P).
2) CMR ®êng th¼ng (d) c¾t trôc 0z , t×m giao
®iÓm M cña chóng.
3) X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi A qua
(P).
Bµi 5: Cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®êng th¼ng (d) cã
ph¬ng tr×nh :
3x y 4z 27 0
(P): 2x+5y+z+17=0 vµ d :
6x 3y z 7 0
Bµi 5:
H×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®êng
th¼ng lªn mÆt ph¼ng
Bµi 1: (§HQG TPHCM 1998) Trong kh«ng gian
víi hÖ trôc to¹ ®é trùc chuÈn 0xyz ,cho ®êng
th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh :
x z 3 0
(P):x+y+z-3=0 vµ d :
2 y 3z 0
LËp ph¬ng tr×nh
h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®êng th¼ng (d) lªn
(Q).
Bµi 2: LËp ph¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc
cña giao tuyÕn (d) cña hai mÆt ph¼ng 3x-y+z2=0 vµ x+4y-5=0 lªn mÆt ph¼ng 2x-z+7=0.
Bµi3: (§HM§C-98) :Trong kh«ng gian víi hÖ
to¹ ®é trùc chuÈn 0xyz cho ®êng th¼ng (d) vµ
mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh :
d : 4x y 3 4 z 21
vµ (P): x-y+3z+8=0.
H·y viÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c h×nh chiÕu vu«ng
gãc cña (d) lªn (P) .
Bµi4: Trong kh«ng gian 0xyz cho ®êng th¼ng
(d) vµ mÆt ph¼ng (Q) cã ph¬ng tr×nh :
x 4 3t1 t2
3x - 2y z - 3 0
Q : y 4t1 2t2 t1,t2 R
d :
x - 2z 0
z 5 t t
12
1) X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) vµ (P).
2) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d1) ®èi xøng víi
(d) qua (P)
Bµi 6: Cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®êng th¼ng (d) cã LËp ph¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®êng
th¼ng (d) lªn (Q) .
ph¬ng tr×nh :
Bµi5: Cho ®êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (Q) cã
ph¬ng tr×nh :
x 2 y 3 0
(P): 2x+y+z+4=0 vµ d :
3x 2z 7 0
1) X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) vµ (P).
2) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d1) ®èi xøng víi
(d) qua (P)
Bµi 7: (§HQG 1998) Cho c¸c ®iÓm A(a,0,0);
B(0,b,0); C(0,0,c) (a,b,c d¬ng ) >Dùng h×nh hép
ch÷ nhËt nhËn O,A,B,C lµm 4 ®Ønh vµ gäi D lµ
®Ønh ®èi diÖn víi ®Ønh O cña h×nh hép ®ã
1) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ C ®Õn mÆt ph¼ng (ABD)
2) TÝnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C
xuèng mÆt ph¼ng (ABD). T×m ®iÒu kiÖn ®èi
víi a,b,c ®Ó h×nh chiÕu ®ã n»m trong mÆt
ph¼ng (xOy)
2x - y z 1 0
d : x 2y - z - 3 0
(Q): x-y+z+10=0
H·y viÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c h×nh chiÕu vu«ng
gãc (d1) cña (d) lªn (P) .
Bµi6: (§H Cµn Th¬ 1998) Trong kh«ng gian víi
hÖ to¹ ®é vu«ng gãc 0xyz cho ®êng th¼ng (d) vµ
mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh :
d : x 1 1 y 2 2 z 3 1 vµ (P): x+y+z+1=0.
H·y viÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c h×nh chiÕu vu«ng
gãc (d1) cña (d) lªn (P) .
Page 10
HỆ THỐỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHỐNG GIAN
Bµi7: (HVQY-95): Trong kh«ng gian víi hÖ to¹
®é vu«ng gãc 0xyz cho ®êng th¼ng (d) vµ mÆt
ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh :
d : x 1 1 y 2 2 z 3 1 vµ (P): x+y+z+1=0.
1) H·y viÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c h×nh chiÕu
vu«ng gãc (d1) cña (d) lªn (Oxy) .
2) CMR khi m thay ®æi ®êng th¼ng (d1) lu«n
tiÕp xóc víi mét ®êng trßn cè ®Þnh trong mÆt
ph¼ng 0xy.
Bµi8: (§HQG-98): Trong kh«ng gian víi hÖ to¹
®é vu«ng gãc 0xyz cho mÆt ph¼ng (P) vµ hai ®êng th¼ng (d1) vµ (d2) cã ph¬ng tr×nh :
(P):x+y-z+1=0
y z 4 0
d :
2x y z 2 0
1) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua A vµ
vu«ng gãc (d) .
2) X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm B ®èi xøng víi A qua
(d) .
Bµi 5: (§Ò 60-Va): LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng
qua A(3,2,1) vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng
y
4
(d) :
z 3
vµ c¾t víi ®êng th¼ng ®ã .
1
Bµi 6: (§HTM-2000): LËp ph¬ng tr×nh ®êng
th¼ng qua A(2,-1,0) vµ vu«ng gãc víi ®êng
1) H·y viÕt ph¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc
(1), (2) cña (d1), (d2) lªn (P) .T×m to¹ ®é
giao ®iÓm I cña (d1), (d2).
2) Vݪt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng P1 chøa (d1)
vµ vu«ng gãc víi (P).
Bµi 6:
H×nh chiÕu vu«ng gãc cña
®iÓm lªn ®êng th¼ng
Bµi 1: cho ®iÓm A(1,2,3) vµ ®êng th¼ng (d) cã
5x y z 2 0
th¼ng d :
x y 2z 1 0
vµ c¾t víi ®êng th¼ng ®ã .
Bµi7: (HV BCVT-2000): Cho 2 ®êng th¼ng ()
vµ (d) cã ph¬ng tr×nh :
: x
3 y 1 z 1
x 7 y 3 z 9
d :
7
2
3
1
2
1
LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d1) ®èi xøng víi
(d) qua ()
Bµi 8: (§HHH-1999): Trong kh«ng gian cho 2
.X¸c ®Þnh to¹ ®é ®êng th¼ng (d1),(d2) :
h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn (d) .Tõ ®ã t×m
to¹ ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi A qua (d) .
Bµi2: cho ®iÓm A(1,2,-1) vµ ®êng th¼ng (d) cã
x 2t 1
ph¬ng tr×nh : d : y t 2 t R .X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh
z 3t 3
chiÕu vu«ng gãc cña A lªn (d) .Tõ ®ã t×m to¹ ®é
®iÓm A1 ®èi xøng víi A qua (d) .
Bµi3: cho ®iÓm A(2,1,-3) vµ ®êng th¼ng (d) cã
ph¬ng tr×nh : d :
cã ph¬ng tr×nh :
x
2
2y - z 1 0 3y z 12 0
d1 : d 2 :
x 2y 0 x z 2 0
x 2 y 2z 9 0
ph¬ng tr×nh : d :
y z 1 0
Bµi 4: (§HhuÕ /A,B ph©n ban 98): Trong kh«ng
gian 0xyz cho ®iÓm A(2,-1,1) vµ ®êng th¼ng (d)
x 1 y 2 z 3
.X¸c ®Þnh
1
2
1
to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn (d) .Tõ ®ã
t×m to¹ ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi A qua (d) .
x t
2 x y 1 0
d1: (d2):y 12t tR
x y z 10 z 45t
1) (d1) , (d2) cã c¾t nhau hay kh«ng
2) Gäi B,C lÇn lît lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng cña
A(1,0,0) qua (d1),(d2) . TÝnh diÖn tÝch tam
gi¸c ABC
Bµi 9: (§HTM-1999): Trong kh«ng gian cho ®êng th¼ng (d1) vµ mÆt ph¼ng (P) :
Page 11
HỆ THỐỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHỐNG GIAN
2 x y 2 z 3 0
d1 : (P :) x 2y z 3 0
2x y 2z 17 0
TÝnh 0A,0B,0C ®Ó 0A+0B+0C lµ nhá
nhÊt .
Bµi 8:
§iÓm vµ ®êng th¼ng
Bµi 1: T×m trªn ®êng th¼ng (d) ®iÓm
M(xM,yM,zM) sao cho x 2 M y 2 M z 2 M nhá
nhÊt ,biÕt:
1) T×m ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm A(3,-1,2) qua
®êng th¼ng (d)
2) ViÕt ph¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®êng th¼ng (d) trªn mÆt ph¼ng (P)
Bµi10: Trong kh«ng gian 0xyz cho bèn ®êng
1)
th¼ng (d1), (d2), (d3), (d4) cã ph¬ng tr×nh :
mx y 0 mx y 0 mx y 0 mx y 0
d1 : , d 2 : , d 3 : , d 4 :
z h
z h
z h
z h
CMR c¸c ®iÓm ®èi xøng A1, , A2, , A3,
A4 cña A bÊt k× trong kh«ng gian qua (d1), (d2),
(d3), (d4) lµ ®ång ph¼ng . LËp ph¬ng tr×nh mÆt
ph¼ng chøa chóng .
Bµi 7:
§iÓm vµ mÆt ph¼ng
Bµi 1: cho hai ®iÓm A(1,0,2) ;B(2,-1,3) vµ mÆt
ph¼ng (P): x-2y+z-4=0.T×m ®iÓm M thuéc (P)
sao cho AM+BM nhá nhÊt.
Bµi 2: cho hai ®iÓm A(1,1,0) ;B(0,-1,1) vµ mÆt
ph¼ng (P): x-2y+z-4=0.T×m ®iÓm M thuéc (P)
sao cho AM+BM nhá nhÊt.
Bµi 3: (§HhuÕ /A hÖ cha ph©n ban 97):Trong
kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é 0xyz cho mÆt ph¼ng
(P): 2x-y+z+1=0 vµ hai ®iÓm A(3,1,0), B(9,4,9) .T×m to¹ ®é ®iÓm M trªn mÆt ph¼ng (P)
sao cho MA MB lµ lín nhÊt .
Bµi 4: (§HQG-2000):Cho mÆt ph¼ng
(P):x+y+z-1=0 vµ hai ®iÓm A(1,-3,0) ,B(5,-1,-2)
1) Chøng tá r»ng ®êng th¼ng ®i qua A,B c¾t mÆt
ph¼ng (P) t¹i mét ®iÓm I, t×m to¹ ®é ®iÓm
®ã .
2) T×m to¹ ®é ®iÓm M trªn mÆt ph¼ng (P) sao
cho MA MB ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
Bµi 5: (§HM§C-97):
cho ba ®iÓm A(1,4,5) B(0,3,1) ,C(2,-1,0) vµ mÆt
ph¼ng (P): 3x-3y-2z-15=0.Gäi G lµ träng t©m
ABC .CMR ®iÒu kÞªn cÇn vµ ®ñ ®Ó M n»m trªn
mÆt ph¼ng (P) cã tæng c¸c b×nh ph¬ng kho¶ng
c¸ch ®Õn c¸c ®iÓm A,B,C nhá nhÊt lµ ®iÓm M
ph¶i lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm G trªn
mÆt ph¼ng (P) .X¸c ®Þnh to¹ ®é cña ®iÓm M ®ã.
Bµi 6: Cho mÆt ph¼ng (P) 3x+3y+mz-6-m=0.
1) CMR (P) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh M,
T×m to¹ ®é cña M.
2) Gi¶ sö (P) c¾t 0x,0y,0z theo thø tù t¹i A,B,C .
TÝnh 0A,0B,0C ®Ó tø diÖn 0ABC ®¹t
gi¸ trÞ nhá nhÊt .
x 2 t
d : y 1 2t t R
z t 3
2) d :
3)
x 3 y 1 z 4
2
3
5
3x y 4z 1 0
d :
2x 3y z 7 0
Bµi 2: Cho ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh :
x y z 3 0
.T×m ®iÓm M thuéc (d) sao cho
d :
x y 5 0
AM+BM nhá nhÊt khi :
1) A(1,2,-1), B(8,1,-2) .
2) A(1,2,-1),B(0,1,2).
Bµi 3: (§HBK-98):Cho ®êng th¼ng (d) vµ mÆt
ph¼ng (P)cã ph¬ng tr×nh :
x 1 2t
d : y 2 t t R ,(P):2x-y-2z+1=0
z 3t
1) T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm thuéc ®êng th¼ng(d) sao
cho kho¶ng c¸ch tõmçi ®iÓm ®ã ®Õn mÆt
ph¼ng (P) b»ng 1.
2) Gäi K lµ ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm
I(2,-1,3) qua ®êng th¼ng (d) .X¸c ®Þnh to¹
®é K.
Bµi 4: (§HHång §øc -2000): Cho ®êng th¼ng
(d) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh :
Page 12
HỆ THỐỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHỐNG GIAN
x 1 t
d : y 1t t R vµ (P): x+2y+z-1=0.
z 2t
d3 : x y 1 z
3
Bµi 1: X¸c ®Þnh sè ®o gãc gi÷a 2 ®êng th¼ng
(d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh :
x 32t
4xy-190
1) d : y 2 3t & (d ) :
1 2
z 64t x-z150
2)
3)
x 2t 1
x u 2
d1 : y 2 t , d2 : y 3 2u
z 3 3t
z 1 3u
2x y 1 0 3x y z 3 0
d1 :
d2 :
x y z 1 0 2x y 1 0
Bµi 2: (§HHH-2000): Cho ba ®êng th¼ng (d1),
(d2), (d3) cã ph¬ng tr×nh :
x t 1
d1 : y 2 4t t R ,
z 2 3t
x y 4z 3 0
d2 :
2x y z 1 0
1
1) X¸c ®Þnh cosin gãc gi÷a (d1),(d2).
2) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) song song
víi (d3) ®ång thêi c¾t c¶ (d1),(d2).
Bµi 3: X¸c ®Þnh sè ®o gãc gi÷a ®êng th¼ng (d)
vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :
1) T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm thuéc ®êng th¼ng(d) sao
cho kho¶ng c¸ch tõmçi ®iÓm ®ã ®Õn mÆt
ph¼ng (P) b»ng 6 .
1)
2) Gäi K lµ ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm I(2,0,-1)
qua ®êng th¼ng (d) .X¸c ®Þnh to¹ ®é K.
Bµi 5: (§H§µ n½ng -2000): Cho ®iÓm
A(-4,4,0),B(2,0,4),C(1,2,-1),D(7,-2,3).
1) CMR A,B,C,D ®ång ph¼ng .
2) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ C®Õn ®êng th¼ng (AB)
Bµi 9:
Gãc trong kh«ng gian
1
5
2)
4x y 19 0
d :
x z 15 0
vµ (P):x+y-7z-58=0.
2x y 1 0
d :
x y z 1 0
x 1 t1 t2
& P : y 2t t
1 2
z 1 3t t
1 2
Bµi 4: (C§SP TP.HCM-99): Cho ®êng th¼ng (d)
vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh :
d : x 1 3 y 2 4 z13
vµ (P):2x+y+z-1=0
1) X¸c ®Þnh sè ®o gãc gi÷a ®êng th¼ng (d) vµ
mÆt ph¼ng (P) .
2) T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña ®êng th¼ng (d)
vµ mÆt ph¼ng (P).
3) LËp ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®êng th¼ng
(d1) ®i qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong
mÆt ph¼ng (P).
Bµi 5: (§HAN-CS-98): Cho ®êng th¼ng (d) vµ
mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh :
d : x 1 1 y 23 z 2 1 vµ (P): x+z+2=0
1) X¸c ®Þnh sè ®o gãc gi÷a ®êng th¼ng (d) vµ
mÆt ph¼ng (P) .
2) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d1) lµ h×nh
chiÕu vu«ng gãc cña (d) lªn mÆt ph¼ng (P).
Bµi 10:
Tam gi¸c trong kh«ng gian
Bµi 1: Cho ABC bݪt A(1,2,5), B(1,4,3),
C(5,2,1) vµ mÆt ph¼ng (P):x-y-z-3=0.
1) LËp ph¬ng tr×nh ®êng trung tuyÕn ,®êng ca¬
vµ ®êng ph©n gi¸c trong kÎ tõ ®Ønh A.
2) Gäi G lµ träng t©m ABC .CMR ®iÒu kÞªn
cÇn vµ ®ñ ®Ó ®iÓm M n»m trªn mÆt ph¼ng (P)
cã tæng c¸c b×nh ph¬ng kho¶ng c¸ch ®Õn c¸c
®iÓm A,B,C nhá nhÊt lµ ®iÓm M ph¶i lµ h×nh
chØÕu vu«ng gãc cña ®iÓm G trªn mÆt ph¼ng
(P) .X¸c ®Þnh to¹ ®é cña ®iÓm M ®ã.
Bµi 2: Cho mÆt cÇu
S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 0 .
Page 13
HỆ THỐỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHỐNG GIAN
1) Gäi A,B,C lÇn lît lµ giao ®iÓm (kh¸c gèc to¹
®é ) cña mÆt cÇu (S) víi 0x,0y,0z .C¸c ®Ønh
to¹ ®é cña A,B,C vµ lËp ph¬ng tr×nh mÆt
ph¼ng (ABC).
2) LËp ph¬ng tr×nh c¸c ®êng trung tuyÕn , ®êng
cao vµ ®êng ph©n gi¸c trong kÎ tõ ®Ønh A cña
ABC.
3) X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh ®êng
trßn ngo¹i tiÕp ABC.
Bµi 3 Cho mÆt cÇu
S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 z 4 0 vµ c¸c ®iÓm
A(3,1,0), B(2,2,4) ,C(-1,2,1).
1) LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (ABC).
2) LËp ph¬ng tr×nh c¸c ®êng trung tuyÕn ,®êng
cao vµ ®êng ph©n gi¸c trong kÎ tõ ®Ønh A cña
ABC.
3) X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh ®êng
trßn ngo¹i tiÕp ABC.
Ch¬ng 4
Bµi 1
MÆt cÇu
Ph¬ng tr×nh mÆt cÇu
Bµi 1: Trong c¸c ph¬ng tr×nh sau ®©y ,ph¬ng
tr×nh nµo lµ ph¬ng tr×nh cña mÆt cÇu ,khi ®ã chØ
râ to¹ ®é t©m vµ b¸n kÝnh cña nã ,biÕt:
1) S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 2 0
2) S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 9 0
3) S : 3x 2 3 y 2 3z 2 6 x 3 y 9 z 3 0
4) S : x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 5 z 7 0
5) S : 2 x 2 y 2 z 2 x y 2 0
Bµi 2: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph¬ng tr×nh :
qua B ,S t¹i P .T×m tËp hîp c¸c ®iÓm P khi m
thay ®æi .
Bµi 5: LËp ph¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ,biÕt :
1) T©m I(2,1,-1), b¸n kÝnh R=4.
2) §i qua ®iÓm A(2,1,-3) vµ t©m I(3,-2,-1).
3) §i qua ®iÓm A(1,3,0) ,B(1,1,0) vµ t©m I
thuéc 0x.
4) Hai ®Çu ®êng kÝnh lµ A(-1,2,3), B(3,2,-7)
Bµi 6: Cho 3 ®êng th¼ng (d1),(d2), (d3) cã ph¬ng
tr×nh :
d1 : x
y2 z 1
d2 : x 7 y 3 z 9
3
4
1
1
2
1
x 1 y 3 z 2
d3 :
3
2
1
1) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) c¾t c¶ hai ®êng th¼ng (d1),(d2) vµ song song víi ®êng
th¼ng (d3).
2) Gi¶ sö d d1 A , d d 2 B .LËp ph¬ng tr×nh mÆt cÇu ®êng kÝnh AB.
Bµi 7: Cho 2 ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh
x 2 t
x 2z 2 0
: d : y 1 t t R , d :
1
2
y 3 0
z 2t
1) CMR (d1) vµ (d2) chÐo nhau.
2) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng vu«ng gãc chung cña
(d1) vµ (d2).
3) LËp ph¬ng tr×nh mËt cÇu (S) cã ®êng kÝnh lµ
®o¹n vu«ng gãc chung cña (d1) vµ (d2).
4) ViÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng
c¸ch ®Òu (d1) vµ (d2).
Bµi 2:
MÆt cÇu tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng
S m : x 2 y 2 z 2 4mx 2my 6 z m 2 4m 0
1) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt
cÇu .
2) CMR t©m cña (Sm) lu«n n»m trªn mét ®êng
th¼ng cè ®Þnh.
Bµi 3: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph¬ng tr×nh :
2
S m : x 2 y 2 z 2 4mx 2m 2 y 8m 2 5 0
1) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt
cÇu .
2) T×m quÜ tÝch t©m cña hä (Sm) khi m thay ®æi.
3) T×m ®iÓm cè ®Þnh M mµ (Sm) lu«n ®i qua.
Bµi 4: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph¬ng tr×nh :
Bµi 1: ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) biÕt :
1) T©m I(1,2,-2) vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng
(P):6x-3y+2z-11=0.
2) (C§GTVT-2000): T©m I(1,4,-7) vµ tiÕp xóc
víi mÆt ph¼ng (P) :6x+6y-7z+42=0.
3) B¸n kÝnh R=9 vµ tiÕp xóc víi
(P): x+2y+2z+3=0 t¹i ®iÓm M(1,1,-3).
Bµi 2: ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu cã t©m I trªn ®êng th¼ng (d) vµ tiÕp xóc víi hai mÆt ph¼ng (
P1 )vµ P2 , biÕt :
S m : x 2 y 2 z 2 2 x sin m 2 y cos m 3 0
1) (§HL-95): d :
1) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt
cÇu .
2) CMR t©m cña (Sm) lu«n ch¹y trªn mét ®êng
trßn (C) cè ®Þnh trong mÆt ph¼ng 0xy khi m
thay ®æi.
3) Trong mÆt ph¼ng 0xy, (C) c¾t 0y t¹i A vµ B.
§êng th¼ng y=m(-10.
1) ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè cña ®êng th¼ng ®i 2)
Bµi
2: Cho h×nh chãp SABCD .§Ønh
qua D vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC).
1 9
2) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn
S ( , ,4) ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng cã A(2 2
ABCD.
4,5,0) ,®¬ngf chÐo BD cã ph¬ng tr×nh :
Bµi 2: Cho bèn ®iÓm
0(0,0,0),A(6,3,0), B(-2,9,1), S(0,5,8)
1) (§HKT-99): CMR SB vu«ng gãc SA.
2) (§HKT-99): CMR h×nh chiÕu cña c¹nh SB
lªn mÆt ph¼ng (0AB) vu«ng gãc víi c¹nh 0A.
Gäi K lµ giao ®iÓm cña h×nh chiÕu ®ã víi 0A.
H·y x¸c ®Þnh to¹ dé cña K.
3) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn
1) T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh cña h×nh chãp .
ABCD.
LËp ph¬ng tr×nh nÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp.
4) (§HKT-99): Gäi P,Q lÇn lît lµ ®iÓm gi÷a cña 2)
3)
LËp ph¬ng tr×nh mÆt cÇu néi tݪp h×nh chãp.
c¸c c¹nh S0,AB . T×m to¹ ®é cña ®iÓm M
Bµi
3: Cho ba ®iÓm A(2,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3).
trªn SB sao cho PQ vµ KM c¾t nhau.
1)
ViÕt
ph¬ng tr×nh tæng qu¸t c¸c mÆt ph¼ng
Bµi 3: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é trùc
(0AB),
(0BC), (0CA), (ABC).
chuÈn 0xyz ,cho bèn ®iÓm A(4,4,4), B(3,3,1),
2)
X¸c
®Þnh
t©m I cña mÆt cÇu néi tiÕp tø diÖn
C(1,5,5), D(1,1,1).
0ABC
.
1) (HVKTQS-98): T×m h×nh chiÕu vu«ng gãc
3) T×m to¹ ®é ®iÓm J ®èi xøng víi I qua mÆt
cña D lªn (ABC) vµ tÝnh thÓ tÝch tø diÖn
ph¼ng (ABC).
ABCD.
Bµi
4: (HVKTMM-99):Cho bèn ®iÓm A(1,2,2),
2) (HVKTQS-98): ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè ®- B(-1,2,-1),
C(1,6,-1), D(-1,6,2).
êng th¼ng vu«ng gãc chung cña AC vµ BD.
1)
CMR
tø
diÖn ABCD cã c¸c cÆp c¹nh ®èi diÖn
3) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn
b»ng
nhau.
ABCD.
2) X¸c ®Þnh to¹ ®é träng t©m G cña tø diÖn .
4) TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD.
3) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn
Bµi 4: cho bèn ®iÓm A(-1,3,2), B(4,0,-3),
ABCD.
7 x y 8 0
d : z 0
Page 17
HỆ THỐỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHỐNG GIAN
4) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu néi tiÕp tø diÖn
ABCD.
Bµi 8:
VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®iÓm
vµ mÆt cÇu
Bµi 1: Cho mÆt cÇu
vÞ trÝ tpng
®èi cña ®iÓm A ®èi víi mÆt cÇu (S) trong c¸c trêng hîp sau:
1) ®iÓm A(1,3,2).
2) ®iÓm A(3,1,-4).
3) ®iÓm A(-3,5,1).
Bµi 2: T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc mÆt cÇu
S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 3 0 .Sao cho
kho¶ng c¸ch MA ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt ,nhá
nhÊt,biÕt:
1) ®iÓm A(1,-2,0).
2) ®iÓm A(1,1,-2).
S : x2 y2 z2
x 4 y z 3 0 .xÐt
Bµi 9:
VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng
vµ mÆt cÇu
3) LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa ®êng th¼ng
(d) vµ tiÕp xóc víi (S).
Bµi 3: (§HBK-A-2000): Cho h×nh chãp SABCD
víi S(3,2,-1), A(5,3,-1), B(2,3,-4), C(1,2,0).
1) CMR SABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c ®Òu vµ
ba mÆt bªn lµ c¸c tam gi¸c vu«ng c©n.
2) TÝnh to¹ ®é ®iÓm D ®èi xøng víi ®iÓm C qua
®êng th¼ng AB. M lµ ®iÓm bÊt k× thuéc mÆt
cÇu t©m D, b¸n kÝnh R 18 .(®iÓm M
kh«ng phô thuéc mÆt ph¼ng (ABC) ). XÐt
tam gi¸c cã ®é dµi c¸c c¹nh b»ng ®é dµi c¸c
®o¹n tj¼mg MA, MB, MC. Hái tam gi¸c ®ã
cã ®Æc ®iÓm g× ?
Bµi 4: (§HPCCC-2000): Cho ®êng trßn (C) cã
2 2 2
x y z 14
ph¬ng tr×nh : C :
.LËp h¬ng tr×nh mÆt
z 0
cÇu chøa (C) vµ tiÖp xóc víi mÆt ph¼ng: 2x+2yz-6=0.
Bµi 5: (C§HQ-96): Cho mÆt cÇu (S) vµ mÆt
Bµi 1: Cho mÆt cÇu
ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh :
S : x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 2 z 6 0 .T×m to¹ ®é
S : ( x 3) 2 ( y 2) 2 ( z 1) 2 9 ,
®iÓm M thuéc (S) sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn (P):x+2y+2z+11=0. T×m ®iÓm M sao cho M
(d) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt,biÕt:
thuéc (S) sao cho kho¶ng c¸ch tõ M tíi mÆt
ph¼ng (P) nhá nhÊt .
1)
x 2 t
d : y 1t t R
z 1 t
2)
x 2 y z 3 0
d : y 2z 1 0
Bµi 10:
VÞ trÝ t¬ng ®èi cña mÆt ph¼ng
vµ mÆt cÇu
Bµi 11:
VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai mÆt cÇu
Bµi 1: Cho hai mÆt cÇu:
S 1 : x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 7 0 ,
S 2 : x 2 y 2 z 2 2 x 0
1) CMR hai mÆt cÇu (S1) vµ (S2) c¾t nhau.
2) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu qua giao ®iÓm cña
(S1) vµ (S2) qua ®iÓm M(2,0,1).
Bµi 2: Cho hai mÆt cÇu: S1 : x 2 y 2 z 2 9 ,
S 2 : x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 2 z 6 0
1) CMR hai mÆt cÇu (S1) vµ (S2) c¾t nhau.
2) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu qua giao ®iÓm cña
(S1) vµ (S2) qua ®iÓm M(-2,1,-1).
Bµi 1: (§HDL-97):Trong kh«ng gian víi hÖ to¹
®« trùc chuÈn 0xyz, cho mÆt cÇu (S) vµ mÆt
ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh :
S : x 2 y 2 z 2 2 x 2 0 ,(P):x+z-1=0.
1) TÝnh b¸n kÝnh vµ to¹ ®é t©m cña mÆt cÇu (S).
2) TÝnh b¸n kÝnh vµ to¹ ®é t©m cña ®êng trßn
giao cña (S) vµ (P).
Bµi 2: (§HSPV-99): Cho ®iÓm I(1,2,-2) vµ mÆt
ph¼ng 2x+2y+z+5=0 .
1) LËp ph¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) t©m I sao cho
giao cña (S) vµ (P) lµ ®êng trßn cã chu vi
b»ng 8П .
2) CMR mÆt cÇu (S) tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng 2x2=y+3=z.
Page 18
- Xem thêm -
.DOC 
18 
157 
117 
