Tài liệu HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN TRONG CÁC KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC

Hình học không gian cổ ñiển trong các kỳ thi tuyển sinh ñại học Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2014 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SD = 3a . Hình 2 chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ñáy (ABCD) là trung ñiểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SBD). Hướng dẫn giải Gọi H là trung ñiểm của AB, suy ra SH ⊥ ( ABCD ) . Do ñó: SH ⊥ HD . Ta có ( ) SH = SD 2 − DH 2 = SD 2 − AH 2 + AD 2 = a 1 3 Suy ra VS . ABCD = .SH .S ABCD = a3 3 Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên BD và E là hình chiếu vuông góc của H lên SK. Ta có  BD ⊥ HK ⇒ BH ⊥ ( SHK )   BD ⊥ SH Suy ra BD ⊥ HE mà HE ⊥ SK ⇒ HE ⊥ ( SBD )
= Ta có: HK = HB.sin KBH HS .HK a 2 . Suy ra HE = 4 HS 2 + HK 2 = a 3 Do ñó: d ( A; ( SBD ) ) = 2d ( H ; ( SBD ) ) = 3HE = 2a 3 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2014 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác ñều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung ñiểm của cạnh AB, góc giữa ñường thẳng A’C và mặt phẳng ñáy bằng 600. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ ñiểm B ñến mặt phẳng (ACC’A’). Hướng dẫn giải Gọi H là trung ñiểm của AB, A ' H ⊥ ( ABC ) và
A ' CH = 600 Do ñó A ' H = CH .tan
A ' CH = trụ là VABC . A' B 'C ' = 3a . Do ñó thể tích khối lăng 2 3 3a 3 8 Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AC; K là hình chiếu vuông góc của H lên A’I. Suy ra HK = d ( H , ( ACC ' A ' ) )
= Ta có: HI = AH .sin IAH 3a 1 1 1 52 3 13a ; = + = 2 ⇒ HK = 2 2 2 4 HK HI HA ' 9a 26 Do ñó: d ( B; ( ACC ' A ') ) = 2d ( H ; ( ACC ' A ') ) = 2 HK = 3 13a 13 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2014 Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt phẳng bên SBC là tam giác ñều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng ñáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai ñường thẳng SA, BC. Hướng dẫn giải BC a = 2 2 2 3a 1 a và S∆ABC = BC. AH = SH ⊥ ( ABC ) , SH = 2 2 4 1 3a 3 Thể tích của khối chóp là VS . ABC = SH .S∆ABC = 3 24 Gọi H là trung ñiểm của BC, suy ra AH = Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên SA, Suy ra HK ⊥ SA . Ta có BC ⊥ ( SAH ) ⇒ BC ⊥ HK Do ñó: HK là ñường vuông góc chung của BC và SA. 1 1 1 16 3a = + = 2 . Do ñó: d ( BC ; SA ) = HK = 2 2 2 3a HK SH AH 4 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2013 Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác vuông tại A,
ABC = 300 , SBC là tam giác ñều cạnh a và Ta có mặt bên SBC vuông góc với ñáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ ñiểm C ñến mặt phẳng (SAB) Hướng dẫn giải Gọi H là trung ñiểm của BC, suy ra SH ⊥ BC . Mà ( SBC ) vuông góc với ( ABC ) theo giao tuyến BC, nên SH ⊥ ( ABC ) Ta có: a 3 a ; AC = BC sin 300 = ; 2 2 a 3 AB = BC.cos 300 = 2 1 a3 Do ñó: VS . ABC = SH . AB. AC = 6 16 BC = a ⇒ SH = Tam giác ABC vuông tại A và H là trung ñiểm của BC nên HA = HB . Mà SH ⊥ ( ABC ) , suy ra SA = SB = a. Gọi I là trung ñiểm của AB, suy ra SI ⊥ AB Do ñó: SI = SB 2 − AB 2 a 13 3V 6V a 39 = . Suy ra : d ( C ; ( SAB ) ) = S . ABC = S . ABC = S ∆SAB SI . AB 13 4 4 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2013 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt SAB là tam giác ñều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ñáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SCD) theo a. Hướng dẫn giải Gọi H là trung ñiểm của AB, suy ra SH vuông góc với AB và SH = a 3 . 2 Mà mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến AB, nên SH ⊥ ( ABCD ) . 1 3 Do ñó: VS . ABCD = SH .S ABCD = a3 3 6 Do AB song song với CD và H thuộc AB nên d ( A, ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) ) Gọi K là trung ñiểm của CD và I là hình chiếu vuông góc của H trên SK. Ta có: HK ⊥ CD . Mà SH ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SHK ) CD ⊥ HI . Do ñó: HI ⊥ ( SCD ) Suy ra: d ( A, ( SCD ) ) = HI = SH .HK = a 21 7 SH 2 + KH 2 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2013 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với ñáy,
= 1200 , M là trung ñiểm của cạnh BC và SMA
= 450 . Tính theo a thể tích của khối chóp BAD S.ABCD và khoảng cách từ D ñến mặt phẳng (SBC) Hướng dẫn giải
BAD = 1200 ⇒
ABC ⇒ ∆ABC ñều a 3 a3 3 ⇒ AM = ⇒ S ABCD = 2 2
∆SAM vuông tại A có SMA = 450 ⇒ ∆SAM vuông tại a 3 A SA = AM = 2 1 a3 Do ñó: VS . ABCD = SA.S ABCD = 3 4 Do AD song song với BC nên d ( D, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC) ) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM  AM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAM )  SA ⊥ BC Ta có:  ⇒ BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = AH Ta có: AH = AM 2 a 6 a 6 = ⇒ d ( D, ( SBC ) ) = 2 4 4 Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng-2013 Cho lăng trụ ñều ABC.A’B’C’ có AB = a và ñường thẳng A’B tạo với ñáy một góc bằng 600. Gọi M và N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AC và B’C’. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và ñộ dài MN Hướng dẫn giải AA ' ⊥ ( ABC ) ⇒
A ' BA là góc giữa A’B với ñáy. Suy ra:
A ' BA = 600 ⇒ AA ' = AB. tan
A ' BA = a 3 3 3a Do ñó VABC . A ' B 'C ' = AA '.S∆ABC = 4 Gọi K là trung ñiểm của cạnh BC. Suy ra ∆MNK vuông tại K, có AB a = , NK = AA ' = a 3 2 2 a 13 Do ñó: MN = MK 2 + NK 2 = 2 MK = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2012 Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác ñều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2 HB . Góc giữa hai ñường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng SA và BC theo a Hướng dẫn giải
là góc giữa SC và mặt phẳng (ABC). Suy ra Ta có: SCH
= 600 SCH a 6 a 7 a 21 HC = HD 2 + CD 2 = , SH = HC. tan 600 = 3 3 Gọi D là trung ñiểm của cạnh AB. Ta có: HD = , CD = a 3 2 1 1 a 21 a 2 3 a 3 7 VS . ABC = .SH .S ∆ABC = . = 3 3 3 4 12 Kẻ Ax song song với BC, gọi N và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên Ax và SN. Ta có BC song song với mặt 3 2 phẳng (SAN) và BA = HA Nên d ( SA, BC ) = d ( B, ( SAN ) ) = d ( H . ( SAN ) ) 3 2 Ta cũng có: Ax ⊥ ( SHN ) ⇒ Ax ⊥ HK . Do ñó: HK ⊥ ( SAN ) ⇒ d ( H , ( SAN ) ) = HK AH = 2a a 3 , HN = AH .sin 600 = , HK = 3 3 SH .HN SH + HN 2 2 = a 42 a 42 vậy d ( SA, BC ) = 12 8 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2012 Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC với SA = 2a , AB = a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng ( ABH ) . Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a Hướng dẫn giải Gọi D là trung ñiểm của cạnh AB và O là tâm của tam giác  AB ⊥ CD nên AB ⊥ ( SCD ) , Do ñó AB ⊥ SC  AB ⊥ SO ABC. Ta có  Mặt khác SC ⊥ AH , Suy ra SC ⊥ ( ABH ) a 3 a 3 a 33 , OC = nên SO = SC 2 − OC 2 = 2 3 3 2 SO.CD a 11 1 11a Do ñó: DH = = ⇒ S ∆ABH = AB.DH = SC 4 2 8 Ta có: CD = Ta có: SH = SC − HC = SC − CD 2 − DH 2 = 7a 1 7 11a 3 . Do ñó: VS . ABH = SH .S∆ABH = 3 96 4 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2012 Cho hình hộp ñứng ABCD.A’B’C’D’ có ñáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân A ' C = a . Tính thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ ñiểm A ñến mặt phẳng (BCD’) theo a Hướng dẫn giải Tam giác A’AC vuông cân tại A và A ' C = a nên A ' A = AC = a a . Do ñó: AB = B ' C ' = 2 2 1 1 a3 2 VABB 'C ' = B ' C '.S ∆ABB ' = B ' C '. AB.BB ' = 3 6 48 Gọi H là chân ñường cao kẻ từ A của tam giác A’AB. Ta có  AH ⊥ A ' B ⇒ AH ⊥ ( A ' BC ) . Nghĩa là :   AB ⊥ BC AH ⊥ ( BCD ') ⇒ AH = d ( A, ( BCD ') ) Ta có: 1 1 1 a 6 Do ñó: d ( a, ( BCD ') ) = AH = = 2+ 2 2 6 AH AB AA' Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2012 Cho khối chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a 2, SA = SB = SC . Góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. Hướng dẫn giải Gọi H là trung ñiểm của BC ⇒ HA = HB = HC Kết hợp với giả thiết SA = SB = SC ⇒ SH ⊥ BC , ∆SHA = ∆SHB = SHC  SH ⊥ ( ABC ) 
0  SAH = 60 Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A. AC = AB = a 2 ⇒ BC = 2a ⇒ AH = a Tam giác SHA vuông 1 1 3a3 SH = AH × tan 600 = a 3 ⇒ VS . ABC = . AB. AC.SH = 3 2 3 Gọi O;R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Suy ra O thuộc ñường thẳng SH, nên O thuộc mặt phẳng (SBC). Do ñó: R là bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác SBC. Xét tam giác SHA ta có: SA = có ñộ dài cạnh bằng 2a. Suy ra : R = SH = 2a ⇒ ∆SBC là tam giác ñều sin 600 2a 2a 3 = 0 2 sin 60 3 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2011 Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAC ) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung ñiểm của AM; mặt phẳng qua SM và song song với B, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 . Tính thể tích của khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai ñường thẳng AB và SN theo a Hướng dẫn giải Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) ⇒ SA ⊥ ( ABC ) .
là góc giữa hai AB ⊥ BC ⇒ SB ⊥ BC ⇒ SBA mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng
= 600 ⇒ SA = AB. tan SBA
= 2a 3 (ABC) ⇒ SBA Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. ⇒ MN // BC và N là trung ñiểm của BC AB = a; BM = =a 2 2 ( BC + MN ) BM = 3a 2 . Diện tích : S BCNM = 2 2 1 Thể tích VS . BCNM = S BCNM .SA = a 3 3 3 Kẻ ñường thẳng ∆ ñi qua N, song song với AB. Hạ AD ⊥ ∆ ( D ∈ ∆ ) ⇒ AB // ( SND ) AC. MN = ⇒ d ( AB; SN ) = d ( AB, ( SND ) ) = d ( A, ( SND ) ) . Hạ AH ⊥ SD ( H ∈ SD ) ⇒ AH ⊥ ( SND ) ⇒ d ( A, ( SND ) ) = AH  AH ⊥ SD ⇒ d ( AB, SN ) = AH =  AD = MN = a Tam giác SAD vuông tại A:  SA. AD SA2 + AD 2 = 2a 39 13 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2011 Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có ñáy ABCD là hình chữ nhật, AB = A, AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của ñiểm A1 lên mặt phẳng (ABCD) trung với giao ñiểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng ( ADD1 A1 ) và (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích của khối lăng trụ ñã cho và khoảng cách từ ñiển B1 ñến mặt phẳng ( A1 BD ) theo a. Hướng dẫn giải Gọi O là giao ñiểm của AC và BD. ⇒ A1O ⊥ ( ABCD ) OE ⊥ AD  A1 E ⊥ AD Gọi E là trung ñiểm của AD ⇒  A1 EO là góc giữa hai mặt phẳng Suy ra
A1 EO = 600 ( ADD1 A1 ) và (ABCD) ⇒
AB a 3 tan
A1 EO = 2 2 2 = AB. AD = a 3 Suy ra: A1O = OE. tan
A1 EO = Diện tích ñáy S ABCD Thể tích VABCD. A ' B ' C ' D ' = S ABCD × A1O = 3a 3 2 Ta có B1C // A1 D ⇒ B1C // ( A1 BD ) ⇒ d ( B1 , ( A1 BD ) ) = d ( C , ( A1 BD ) ) = CH Suy ra d ( B1 ( A1 BD ) ) = CH = CD.CB CD + CB 2 2 = a 3 2 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2011 Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a , mặt
= 300. Tính thể phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và SBC tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ ñiểm B ñến mặt phẳng (SAC) theo a. Hướng dẫn giải Hạ SH ⊥ BC ⇒ ( SBC ) ⊥ ( ABC )
=a 3 ⇒ SH ⊥ BC ; SH = SB.sin SBC 12 Diện tích: S ABC = BA.BC = 6a 2 1 3 Thể tích VS . ABC = S ABC .SH = 2a 3 3 Hạ HD ⊥ AC ( D ∈ AC ) , HK ⊥ SD ( K ∈ SD ) ⇒ HK ⊥ ( SAC ) ⇒ HK = d ( H , ( SAC ) ) .
= 3a ⇒ BC = 4 HC BH = SB.cos SBC ⇒ d ( B, ( SAC ) ) = 4d ( H , SAC ) Ta có AC = BA2 + BC 2 = 5a; HC = BC − BH = a ⇒ HD = BA. HK = SH .HD SH 2 + HD 2 = HC 3a = AC 5 3a 7 . 14 Vậy d ( B, ( SAC ) ) = 4 HK = 6a 7 7 Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2011 Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300 . Gọi M là trung ñiểm của cạnh SC. Tính thể tích của khối chóp S.ABM theo a Hướng dẫn giải  SA ⊥ BC ⇒ SB ⊥ BC  AB ⊥ BC Ta có  Do ñó: góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
= 300 (ABC) bằng SBA 1 1 VS . ABM = VS . ABC = SA. AB.BC 2 12 BC = AB = a; SA = AB. tan 300 = Vậy VS . ABM = a 3 3 a3 3 36 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2010 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB và AD; H là giao ñiểm của N và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 . Tính thể tích của khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai ñường thằng DM và SC theo a. Hướng dẫn giải Thể tích của khối chóp S.CDNM SCDNM = S ABCD − S AMN − SBC 1 1 AM . AN − BC.BM 2 2 2 2 2 a a 5a = a2 − − = 8 4 8 = AB 2 − 1 3 Vậy VSCDNM = SCDNM .SH = 5 3a 3 24 Khoảng cách giữa hai ñường thẳng DM và SC.
⇒ DM ⊥ CN kết hợp với ñiều kiện ∆ADM = ∆DCN ⇒
ADM = DCN DM ⊥ SH ⇒ DM ⊥ ( SHC ) Hạ HK ⊥ SC ( K ∈ SC ) ⇒ HK là ñoạn vuông góc chung của DM và SC. Do ñó: d ( DM , SC ) = HK  CD 2 2a HC = =  CN 5 2 3a  ⇒ d ( DM , SC ) = Ta có :  19 2 3a  HK = SH .HC = 2 2  19 SH + HC Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2010: Cho hình lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có AB = a , góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600 . Gọi G là trọng tâm của tam giác A’BC. Tính thể tích của khối lăng trụ ñã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. Hướng dẫn giải Thể tích khối lăng trụ. Gọi D là trung ñiểm của BC ta có: BC ⊥ AD ⇒ BC ⊥ A ' D ⇒
ADA ' = 600 3a a2 3 ADA ' = ; S ABC = Ta có: AA ' = AD.tan
2 4 3 3a 3 Do ñó: VABC . A ' B 'C ' = S ABC × AA ' = 8 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra: GH // AA ' ⇒ GH // ( ABC ) Gọi I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC, ta có I là giao ñiểm của GH với ñường trung trực của AG trong mặt phẳng (AGH. Gọi E là trung ñiểm của AG, ta có: R = GI = GE.GA GA2 = GH 2GH Ta có 7a 2 AA ' a a 3 ; GA2 = GH 2 + AH 2 = = ; AH = 3 2 3 12 2 7a 2 7a Do ñó: R = × = 2.12 a 12 GH = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2010 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của ñỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là ñiểm H thuộc ñoạn AC, AH = AC . Gọi 4 CM là ñường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung ñiểm của SA và tính thể tích của khối tứ diện SMBC theo a Hướng dẫn giải Chứng minh M là trung ñiểm của SA. a 2 a 14 ; SH = SA2 − AH 2 = 4 4 3a 2 HC = ; SC = SH 2 + HC 2 = a 2 ⇒ SC = AC 4 AH = Do ñó: tam giác SAC cân tại C, Suy ra M là trung ñiểm của SA Tính thể tích của khối tứ diện SBCM. M là trung ñiểm của SA suy ra 1 1 S SCA ⇒ VSBCM = VB.SCA = VS . ABC 2 2 3 1 a 14 ⇒ VSBCM = S ABC × SH = 6 48 S SCM = Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2010 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng ñáy, SA = SB, góc giữa ñường thẳng SC và mặt phẳng ñáy bằng 450 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. Hướng dẫn giải Gọi I là trung ñiểm của AB. Ta có SA = SB ⇒ SI ⊥ AB. Mà hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD) vuông góc với nhau nên suy ra SI ⊥ ( ABCD ) Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD bằng
= 450 , Suy ra SCI SI = IC = IB 2 + BC 2 = a 5 2 Thể tích của khối chóp là 1 a3 5 VS . ABCD = SI .S ABCD = (ñơn vị thể tích) 3 6 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2009: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a , CD = a ; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 . Gọi I là trung ñiểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a Hướng dẫn giải ( SIB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SI ⊥ ( ABCD )  ( SIC ) ⊥ ( ABCD ) Kẻ
= 600 IK ⊥ BC ( K ∈ BC ) ⇒ BC ⊥ ( SIK ) ⇒ SKI Diện tích hình thang ABCD : S ABCD = 3a 2 Tổng diện tích các tam giác ABI và CDI 3a 2 3a 2 bằng , suy ra S∆IBC = 2 2 2S 3 5a 2
= 3 15a BC = ( AB − CD ) + AD 2 = a 5 ⇒ IK = ∆IBC = ⇒ SI = IK . tan SKI 5 5 BC 3 1 3 15a Thể tích của khối chóp S.ABCD: V = S ABCD .SI = 3 5 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2009: Cho hình trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB ' = a , góc giữa ñường thẳng BB’ và mặt phẳng
= 600 . Hình chiếu vuông góc của B’ lên (ABC) bằng 600 ; tam giác ABC vuông tại C và BAC mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích của khối tứ diện A’ABC theo a Hướng dẫn giải Gọi D là trung ñiểm của AC và G là trọng tâm của tam giác ABC ta có
B ' G ⊥ ( ABC ) ⇒ B ' BG = 600 
a 3  B ' G = BB '.sin B ' BG = 2 ⇒ BD = 3a  4  BG = a  2 Tam giác ABC có: AB AB ΑB 3 , AC = ⇒ CD = 2 2 4 3 AB 2 AB 2 9a 2 3a 13 9a 2 3 Ta lại có: BC 2 + CD 2 = BD 2 ⇒ + = ⇒ AB = ; S ∆ABC = 4 16 16 26 104 3 1 9a Thể tích của khối tứ diện A’ABC: VA ' ABC = VB ' ABC = B ' G.S∆ABC = 3 208 BC = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2009: Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a; AA ' = 2a; A ' C = 3a . Gọi M là trung ñiểm của ñoạn thẳng A’C’, I là giao ñiểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ ñiểm A ñến mặt phẳng (IBC) Hướng dẫn giải Hạ IH ⊥ AC ( H ∈ AC ) ⇒ IH ⊥ ( ABC ) ; IH là ñường cao của tứ diện IABC. Suy ra IH // AA ' ⇒ IH CI 2 2 4a = = ⇒ IH = AA ' = AA ' CA ' 3 3 3 AC = A ' C − A ' A2 = a 5; BC = AC 2 − AB 2 = 2a 1 Diện tích tam giác ABC: S∆ABC = AB.BC = a 2 2 Vậy thể tích của khối tứ diện IABC: 1 4a 3 V = IH .S ∆ABC = 3 9 Hạ AK ⊥ A ' B ( K ∈ A ' B ) . Vì BC ⊥ ( ABB ' A ') nên AK ⊥ BC Suy ra AK ⊥ ( IBC ) Khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (IBC) là AK AK = 2 S ∆AA ' B = A' B AA '. AB A ' A2 + AB 2 = 2a 5 5 Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2009: Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có AB = a, SA = a 2. Gọi M, N và P lần lượt là trung ñiểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng ñường thẳng MN vuông góc với ñường thẳng SP. Thính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP Hướng dẫn giải Ta có MN song song với CD và SP vuông góc với CD suy ra MN vuông góc với SP Gọi O là tâm của ñáy ABCD. Ta có : SO = SA2 − OA2 = VAMNP a 6 2 1 1 1 1 a3 6 2 = VABSP = VS . ABCD = . SO. AB = 4 8 8 3 48 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2008: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ñộ dài cạnh bên bằng 2a, ñáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của ñỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung ñiểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai ñường thẳng AA’, B’C’ Hướng dẫn giải Gọi H là trung ñiểm của cạnh BC. Suy ra  A ' H ⊥ ( ABC )   1 1 2 a + 3a 2 = a  AH = BC = 2 2  Do ñó: A ' H 2 = A ' A2 − AH 2 = 3a 2 = 3a 2 ⇒ A ' H = a 3 1 a3 Vậy VA '. ABC = A ' H × S∆ABC = (ñơn vị thể tích) 3 2 Trong tam giác vuông A’B’H có: HB ' = A ' B '2 + A ' H 2 = 2a nên tam giác B’BH cân tại B’
ðặt ϕ là góc giữa hai ñường thẳng AA’ và B’C’ thì ϕ = B ' BH . Vậy cos ϕ = 1 a = 2.2a 4 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2008: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a , SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng ñáy. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai ñường thẳng SM và DN. Hướng dẫn giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên AB, suy ra SH ⊥ ( ABCD ) . Do ñó, SH là ñường cao của hình chóp S.BMDN Ta có: SA2 + SB 2 = a 2 + 3a 2 = AB 2 nên tam giác SAB là tam giác vuông tại S. Suy ra AB a 3 = a. Do ñó tam giác SAM là tam giác ñều, suy ra SH = 2 2 1 Diện tích của tứ giác BMDN là S BMDN = S ABCD = 2a 2 2 1 a3 3 Thể tích của khối chóp S.BMDN là V = SH × S BMDN = (ñvtt) 3 3 SM = Kẻ ME song song với DN ( E ∈ AD ) a 2 Suy ra AE = . ðặt α là góc giữa hai ñường thẳng SM và DN. Ta có (
SM , ME ) = α . Theo ñịnh lý ba ñường vuông góc ta có : SA ⊥ AE Suy ra: SE = SA2 + AE 2 = a 5 a 5 , ME = AM 2 + AE 2 = 2 2
=α  SME  a  Tam giác SME là tam giác cân tại E nên  2 = 5 cos α = 5 a 5   2 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2008: Cho lăng trụ ñứng tam giác ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a , cạnh bên AA ' = a 2 . Gọi M là trung ñiểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai ñường thẳng AM, B’C Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta suy ra tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B 1 2 Thể tích của khối lăng trụ là VABC . A ' B 'C ' = AA '× BC = a 2. .a 2 = 2 3 a (ñvtt) 2 Gọi E là trung ñiểm của BB’. Khi ñó mặt phẳng (AME) song song với B’C nên khoảng cách giữa hai ñường thẳng AM, B’C bằng khoảng cách giữa B’C và mặt phẳng (AME) Nhận thấy, khoảng cách từ B ñến mặt phẳng (AME) bằng khoảng cách từ C ñến mặt phẳng (AME) Gọi h là khoảng cách từ B ñến mặt phẳng (AME). Do ñó tứ diện BAME có BA, BM,BE ñôi một vuông góc với nhau nên: 1 1 1 1 1 1 4 2 7 a 7 = + + ⇒ 2 = 2 + 2 + 2 = 2 ⇒h= 2 2 2 2 h BA BM BE h a a a a 7 Vậy: khoảng cách giữa hai ñường thẳng B’C và AM bằng a 7 7 Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng-2008:
=
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang, BAD ABC = 900 ; AB = BC = a , AD = 2a , SA vuông góc với ñáy và SA = 2a . Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của SA và SD. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a. Hướng dẫn giải Ta có: MN là ñường trung bình của tam giác SAD, suy ra MN song song với AD và MN =  MN // BC 1 AD ⇒  ⇒ BCNM là hình bình hành (1) 2  MN = BC Mặt khác  BC ⊥ AB ⇒ { BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ BM   BC ⊥ SA ( 2) Từ (1) và (2) ta suy ra BCNM là hình chữ nhật Ta có: S BCNM = 2 S ∆BCM ⇒ VS .BCNM = 2VS .BCM 1 1 1 1 a3 VS . BCM = VC .SBM = CB.S ∆SBM = CB.S ∆SAB = CB. SA. AB = 3 6 6 2 6 3 a Vậy Vs. BCNM = (ñvtt) 3 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học A-2007 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác ñều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ñáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm của các cạnh SB,BC,CD . Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP Hướng dẫn giải Gọi H là trung ñiểm của AD. Do tam giác SAD là tam giác ñều nên SH vuông góc với AD. Do mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SH vuông góc với BP (1). Xét hình vuông ABCD ta có: ∆CDH = ∆BCP ⇒ CH ⊥ BP ( 2 ) Từ (1) và (2) ta suy ra BP ⊥ ( SHC ) Vì  MN // SC ⇒ ( AMN ) // ( SHC )   AN // CH ⇒ BP ⊥ ( AMN ) ⇒ BP ⊥ AM Kẻ MK vuông góc với mặt phẳng (ABCD), (K thuộc vào mặt phẳng (ABCD)). Ta có: 1 2 Vì MK = SH = a 3 ; SCNP 4 1 VCMNP = MK .SCNP . 3 2 1 a 3a 3 (ñvtt) = CN × CP = ⇒ VCMNP = 2 8 96 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học B-2007 Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a.. E là ñiểm ñối xứng của D qua trung ñiểm của SA, M là trung ñiểm của AE, N là trung ñiểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai ñường thẳng MN và AC Hướng dẫn giải Gọi P là trung ñiểm của SA. Ta có MNCP là hình bình hành nên MN song song với mặt phẳng (SAC). Mặt khác, BD vuông góc với mặt phẳng (SAC) nên BD vuông góc với MN Vì MN song song với mặt phẳng (SAC) nên d ( MN , AC ) = d ( N , ( SAC ) ) a 2 1 1 d ( B; ( SAC ) ) = BD = 2 4 4 a 2 Vậy d ( MN ; AC ) = 4 = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học D-2007
= 900 , BA = BC = a; AD = 2a . Cạnh Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thang
ABC = BAD bên SA vuông góc với mặt phẳng ñáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chóp vuông góc của A lên SB. Chứng minh tam giác SCD là tam giác vuông và tính theo a khoảng cách tứ H ñến mặt phẳng (SCD) Hướng dẫn giải Gọi I là trung ñiểm của AD. Ta có: IA = ID = IC = a ⇒ CD ⊥ AC . Mặt khác, CD ⊥ SA , Suy ra CD vuông góc SC nên tam giác SCD là tam giác vuông tại C. Trong tam giác vuông SAB ta có: SH SA2 SA2 2a 2 2 = 2 = 2 = = 2 2 2 SB SB SA + AB 2a + a 3 Gọi d1 , d 2 lần lượt là khoảng cách từ B và H ñến mặt phẳng (SCD) thì d 2 SH 2 2 = = ⇒ d 2 = d1 d1 SB 3 3 Ta có: d1 = 3VB.SCD SA × S BCD = S SCD S SCD S BCD = 1 1 AB.BC = a 2 2 2 1 1 SC.CD = SA2 + AB 2 + BC 2 . IC 2 + ID 2 = a 2 2 2 2 2 a a Suy ra d1 = . Vậy khoảng cách từ H ñến mặt phẳng (SCD) là d 2 = d1 = 2 3 3 S SCD = ỉ ỉ ỉ