HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC
HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Chuyªn ®Ò h×nh gi¶i tÝch trong
kh«ng gian
Ch-¬ng 1
MÆt Ph¼ng
Bµi 1
Ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng
Bµi 1 LËp ph-¬ng tr×nh tham sè cña mÆt ph¼ng
(P) ®i qua ®iÓm M(2,3,2) vµ cÆp VTCP lµ
a(2,1,2);
b(3,2,1)
Bµi 2: LËp ph-¬ng tr×nh tham sè cña mÆt ph¼ng
(P) ®i qua M(1,1,1) vµ
1) Song song víi c¸c trôc 0x vµ 0y.
2) Song song víi c¸c trôc 0x,0z.
3) Song song víi c¸c trôc 0y, 0z.
Bµi 3: LËp ph-¬ng tr×nh tham sè cña mÆt ph¼ng
®i qua 2 ®iÓm M(1,-1,1) vµ B(2,1,1) vµ :
1) Cïng ph-¬ng víi trôc 0x.
2) Cïng ph-¬ng víi trôc 0y.
3) Cïng ph-¬ng víi trôc 0z.
Bµi 4: X¸c ®Þnh to¹ ®é cña vÐc t¬ n vu«ng gãc
víi hai vÐc t¬ a(6,1,3); b(3,2,1) .
Bµi 5: T×m mét VTPT cña mÆt ph¼ng (P) ,biÕt
(P) cã cÆp VTCP lµ a(2,7,2); b(3,2,4)
Bµi 6: LËp ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt
ph¼ng (P) biÕt :
1) (P) ®i qua ®iÓm A(-1,3,-2) vµ nhËn n(2,3,4);
lµm VTPT.
2) (P) ®i qua ®iÓm M(-1,3,-2) vµ song song víi
(Q): x+2y+z+4=0.
Bµi7: LËp ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña c¸c mÆt
ph¼ng ®i qua I(2,6,-3) vµ song song víi c¸c mÆt
ph¼ng to¹ ®é.
Bµi 8: (§HL-99) :Trong kh«ng gian 0xyz cho
®iÓm A(-1,2,3) vµ hai mÆt ph¼ng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R)
®i qua ®iÓm A vµ vu«ng gãc víi hai mÆt ph¼ng
(P),(Q).
Bµi 2
ChuyÓn d¹ng ph-¬ng tr×nh
mÆt ph¼ng
Bµi1: T×m mét cÆp VTCP cña c¸c mÆt ph¼ng
sau:
1) (P) : x-2y-1=0
x 1 t1 t 2
2) ( P) : y 2t1 t 2 (t1 ; t 2 R)
z 1 3t t
1
2
3) (P) : x+4y+7z+16=0
Bµi 2: T×m mét cÆp VTPT cña c¸c mÆt ph¼ng
sau:
x 1 t1 t 2
1) ( P) : y 2t1 t 2 (t1 ; t 2 R)
z 1 3t t
1
2
2) (P): x-2y-1=0.
3) (P) :x+4y+7z+16=0.
Bµi 3: ChuyÓn d¹ng ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña
(P) sang d¹ng tham, sè trong c¸c tr-êng hîp sau:
1) (P): x+2y+3z-12=0.
2) (P): 3x+2y+z-6=0.
3) (P): x+2y-4=0.
4) (P): 2y+3z-6=0.
Bµi 4: ChuyÓn d¹ng ph-¬ng tr×nh tham sè cña
(P) sang d¹ng tæng qu¸t trong c¸c tr-êng hîp
sau:
x 1 t1 t 2
1) ( P) : y 2t1
(t1 ; t 2 R)
z 2t
2
x 1 t1 t 2
2) ( P) : y 2t1 t 2 (t1 ; t 2 R)
z 1 3t t
1
2
Bµi 5: Cho mÆt ph¼ng (P) ph-¬ng tr×nh tham sè:
x 1 t1
( P) : y 2 t 2 (t1 ; t 2 R)
z 3 t
1
1) LËp ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña (P).
2) LËp ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña (Q) ®i qua
®iÓm A(1,2,3) vµ song song víi (P).
Bµi 6: LËp ph-¬ng tr×nh tham sè vµ ph-¬ng
tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) trong c¸c
tr-êng hîp sau:
1) §i qua hai ®iÓm
A(0,-1,4) vµ cã cÆp VTCP lµ
a 3,2,1 vµ b 3,0,1
2) §i qua hai ®iÓm B(4,-1,1) vµ C(3,1,-1) vµ
cïng ph-¬ng víi trôc víi 0x.
Page 1
HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Bµi 7: Cho tø diÖn ABCD cã A(5,1,3) B(1,6,2)
C(5,0,4) D(4,0,6) .
1) ViÕt ph-¬ng tr×nh tham sè vµ ph-¬ng tr×nh
tæng qu¸t c¸c mÆt ph¼ng (ABC) (ACD)
(ABD) (BCD).
2) ViÕt ph-¬ng tr×nh tham sè vµ ph-¬ng tr×nh
tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua c¹nh AB
vµ song song vpÝ c¹nh CD.
Bµi 8: ViÕt ph-¬ng tr×nh tham sè vµ tæng qu¸t
cña (P)
1) §i qua ba ®iÓm A(1,0,0), B(0,2,0) , C(0,03) .
2) §i qua A(1,2,3) ,B(2,2,3) vµ vu«ng gãc víi
mÆt ph¼ng (Q) : x+2y+3z+4=0
3) Chøa 0x vµ ®i qua A(4,-1,2) ,
4) Chøa 0y vµ ®i qua B(1,4,-3)
Bµi 9: Cho hai ®iÓm A(3,2,3) B(3,4,1) trong
kh«ng gian 0xyz
1) ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) lµ trung trùc
cña AB.
2) ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) qua A
vu«ng gãc v¬i (P) vµ vu«ng gãc víi mÆt
ph¼ng y0z
3) ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) qua A vµ
song song víi mÆt ph¼ng (P).
2 x y 3z 5 0
x 2 y z 1 0
1) d :
x t
2) d : y 2 2t
z 1 2t
Bµi 2:LËp ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua ®iÓm
M(2,1,-1) vµ qua hai giao tuyÕn cña hai mÆt
ph¼ng (P1) vµ (P2) cã ph-¬ng tr×nh :
(P1): x-y+z-4=0 vµ (P2) 3x-y+z-1=0
Bµi 3: LËp ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa ®-êng
3x 2 y z 3 0
vµ song song víi
x 2z 0
th¼ng d :
mÆt ph¼ng (Q) cã ph-¬ng tr×nh :
(Q): 11x-2y-15z-6=0.
Bµi 4: LËp ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng qua giao
tuyÕn cña (P1): y+2z-4=0 vµ (P2) : x+y-z-3=0 vµ
song song víi mÆt ph¼ng (Q):x+y+z-2=0.
Bµi 5: LËp ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa ®-êng
3x 2 y z 3 0
vµ vu«ng gãc víi
x 2z 0
th¼ng d :
(Q) cã ph-¬ng tr×nh ;
1) (§HNNI-95): (Q): x-2y+z+5=0.
x 4 3t1 t 2
Bµi 3
VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña hai mÆt ph¼ng 2) Q : y 4 t1 2t 2 , t1 , t 2 R
Bµi 1: XÐt vÞ trÝ t-¬ng ®èi ciña c¸c cÆp mÆt
ph¼ng sau:
1) (P1): y-z+4=0, vµ
x 3 2t1
P2 : y 1 t1 4t 2 , t1 , t 2 R
z 5 t 4t
1
2
2) (P1): 9x+10y-7z+9=0
x 1 2t1 3t 2
P2 : y 7 t1 2t 2 , t1 , t 2 R
z 3 4t t
1
2
3) (P1): x+y-z-4=0vµ
x 1 t1 t 2
P2 : y 2 2t1 t 2 , t1 , t 2 R
z 1 t t
1
2
Bµi 4
Chïm mÆt ph¼ng
z 5 t t
1
2
Bµi 6: LËp ph-¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng qua hai
giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (P1): 3x-y+z-2=0
vµ (P2): x+4y-5=0 vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng :
2x-z+7=0.
Bµi 7: LËp ph-¬ng tr×nh chøa mÆt ph¼ng ®-êng
3x 2 y z 3 0
vµ song song víi
x 2z 0
th¼ng : d :
®-êng th¼ng (d) cã ph-¬ng tr×nh :
3x y 2 z 7 0
x 3 y 2 z 3 0
x2 y 3 z 5
2) d :
2
4
5
1) d :
Bµi 8:LËp ph-¬ng tr×nh chøa mÆt ph¼ng ®-êng
x 2 y 0
vµ vu«ng gãc
3x 2 y z 3 0
th¼ng : d :
®-êng th¼ng (d) cã ph-¬ng tr×nh :
Bµi 1: LËp ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng qua
M(2,1,3) vµ chøa (d) , biÕt :
Page 2
HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
3x y 2 z 7 0
x 3 y 2 z 3 0
x2 y 3 z 5
2) d :
2
4
5
2) TÝnh chiÒu dµi ®-êng th¼ng cao h¹ tõ ®Ønh D
cña tø diÖn, tõ ®ã suy ra thÓ tÝch cña tø diÖn
3) ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ph©n gi¸c cña
gãc nhÞ diÖn (A,BC,D)
Bµ3:Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é trùc chuÈn
Bµi 9: LËp ph-¬ng tr×nh chøa mÆt ph¼ng ®-êng Oxyz , cho tø diÖn cã 4 ®Ønh A(1,1,1) B(-2,0,2)
th¼ng vµ víi mÆt ph¼ng (Q) mét gãc 60 ®é biÕt: C(0,1,-3) D(4,-1,0)
3x 2 y z 3 0
1) (§H LuËt 1996) TÝnh chiÒu dµi ®-êng th¼ng
vµ (Q):3x+4y-6=0
d :
x
2
z
0
cao h¹ tõ ®Ønh D cña tø diÖn
Bµi 10: LËp ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa ®-êng 2) ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ph©n gi¸c cña
gãc nhÞ diÖn (A,BC,D)
x 3z 2 0
th¼ng d :
vµ cã kho¶ng c¸ch ®Õn
1) d :
y 5z 1 0
®iÓm A(1,-1,0) b»ng 1.
Bµi 11: Cho ®-êng th¼ng (d) vµ hai mÆt ph¼ng
xz20
vµ (P1): 5x+5y-3z-2=0 vµ
y z 1 0
d :
(P2):2x-y+z-6=0. LËp ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng
(P) chøa ®-êng th¼ng (d) sao cho: P P1 vµ
P P2 lµ hai ®-êng trùc giao.
Bµi 12: (§HKT-93): cho hai ®-êng th¼ng (d1)
vµ (d2) cã ph-¬ng tr×nh :
Ch-¬ng 2
§-êng th¼ng trong
kh«ng gian
Bµi 1
Ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng
Bµi 1:LËp ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (d) trong
c¸c tr-êng hîp sau :
1) (d) ®i qua ®iÓm M(1,0,1) vµ nhËn
x 8 z 23 0
x 2z 3 0
.
d1 :
, , d 2 :
a(3,2,3) lµm VTCP
y 4z 1 0
y 2z 2 0
2) (d) ®i qua 2 ®iÓm A(1,0,-1) vµ B(2,-1,3)
1) ViÕt ph-¬ng tr×nh c¸c mÆt ph¼ng P1 , P2
Bµi 2: Trong kh«ng gian Oxyz lËp ph-¬ng tr×nh
song song víi nhau vµ lÇn l-ît chøa d1
tæng qu¸t cña c¸c giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng
d 2
(P) : x-3y+2z-6=0 vµ c¸c mÆt ph¼ng to¹ ®é
2) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a d1 , d 2
Bµi 3: ViÕt ph-¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®-êng
3) LËp ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (D) song song th¼ng ®i qua ®iÓm M(2,3,-5) vµ song song víi
víi trôc Oz vµ c¾t c¶ 2 ®-êng th¼ng d1 , d 2 ®-êng th¼ng (d) cã ph-¬ng tr×nh
Bµi 5
Kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm
tíi mÆt ph¼ng
3x y 2 z 7 0
x 3 y 2 z 3 0
d :
Bµi 4: Cho ®-êng th¼ng (D) vµ mÆt ph¼ng (P) cã
Bµi1:TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M(2,2,1) ®Õn ph-¬ng tr×nh lµ :
3x y 4 z 1 0
mÆt ph¼ng (P) trong c¸c tr-êng hîp sau:
vµ (P): x+y+z+1=0
d :
1) (P): 2x+y-3z+3=0
2 x 3 y z 7 0
x 4 3t1 t 2
2) P : y 4 t1 2t 2
z 5 t t
1
2
T×m ph-¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®-êng th¼ng (t)
t 1 , t2 R
®i qua A(1,1,1) song song víi mÆt ph¼ng (P) vµ
vu«ng gãc víi ®-êng th¼ng (D)
Bµi 5: Cho mÆt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iÓm
Bµi2:Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é trùc chuÈn
A(3,0,0), B(0,6,0), C(0,0,9). ViÕt ph-¬ng tr×nh
Oxyz , cho tø diÖn cã 4 ®Ønh A(5,1,3) B(1,6,2)
tham sè cña ®-êng th¼ng (d) ®i qua träng t©m
C(5,0,4) D(4,0,6)
tam gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa
1) LËp ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t mÆt ph¼ng
tam gi¸c ®ã
(ABC)
Bµi 2
Page 3
HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
ChuyÓn d¹ng ph-¬ng tr×nh
®-êng th¼ng
Bµi 1:T×m vÐc t¬ chØ ph-¬ng cña c¸c ®-êng
th¼ng sau
x 1 y 2 z 1
3
4
3
x y 4 z 10 0
2) d :
2 x 4 y z 6 0
1) (d ) :
Bµi 2:Cho ®-êng th¼ng (d) cã ph-¬ng tr×nh :
x y 4 z 10 0
. H·y viÕt ph-¬ng tr×nh
2 x 4 y z 6 0
d :
tham sè cña ®-êng th¼ng ®ã
Bµi3:Cho ®-êng th¼ng (d) cã ph-¬ng tr×nh :
x y 4 z 10 0
. H·y viÕt ph-¬ng tr×nh
2 x 4 y z 6 0
d :
chÝnh t¾c cña ®-êng th¼ng ®ã
Bµi4:Cho ®-êng th¼ng (d) cã ph-¬ng tr×nh :
x t
d : y 2 2t , t R . H·y viÕt ph-¬ng tr×nh
z 1 2t
tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng ®ã
Bµi5:LËp ph-¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c vµ
tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm
A(2,1,3) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P) trong
c¸c tr-êng hîp sau:
1) (P): x+2y+3z-4=0
x 4 3t1 t 2
2) P : y 4 t1 2t 2 t 1 , t 2 R .
z 5 t t
1
2
x 1 t1
3) P : y 2 t 2 t 1 , t 2 R
z 3 t
2
Bµi 6:LËp ph-¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c vµ
tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm
A(1,2,3) vµ song song víi ®-êng th¼ng (D) cho
bëi :
x 2 2t
1) D : y 3t
z 3 t
2)
t R.
x y 1 0
4 x z 1 0
D :
Bµi 7:LËp ph-¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c vµ
tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm
A(1,2,3) vµ vu«ng gãc víi 2 ®-êng th¼ng :
2x y 2 0
x y 4 z 10 0
, d 2 :
2 x z 3 0
2 x 4 y z 6 0
d1 :
Bµi8:Trong kh«ng gian Oxyz, lËp ph-¬ng tr×nh
tham sè, chÝnh t¾c vµ tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng
(d) ®i qua ®iÓm A(3,2,1), song song víi mÆt
ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®-êng th¼ng
BiÕt mÆt ph¼ng
x y 1 0
4 y z 1 0
(P): x+y+z-2=0 vµ () :
Bµi 3
VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña ®-êng th¼ng
vµ mÆt ph¼ng
Bµi1: XÐt vÞ trÝ t-¬ng ®èi cña ®-êng th¼ng (d)
vµ mÆt ph¼ng (P) ,biÕt:
x 1 t
1) d : y 3 t , t R (P): x-y+z+3=0
z 2 t
x 12 4t
2) d : y 9 t , t R (P): y+4z+17=0
z 1 t
2 x 3 y 6 z 10 0
(P): y+4z+17=0
x y z 5 0
x y z 3 0
4) d :
(P): x+y-2=0
y 1 0
3) d :
Bµi 2: h·y tÝnh sè ®o gãc t¹o bëi ®-êng th¼ng
(d) vµ mÆt ph¼ng (P) cho bëi :
x 12 4t
1) d : y 9 3t (t R) .vµ
z 1 t
x 1 t1
P : y 2 t 2 ( t 1 , t 2 R) .
z 3 t
2
2 x 3 y 6 z 10 0
2) d :
x y z 5 0
x 2 t1 t 2
P : y 1 2t 2 ( t 1 , t 2 R)
z t
1
Page 4
HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
3)
x 1 2t
d : y 2 t , t R (P): x-2y+2z+3=0.
z 2 2t
Bµi 3: (§HNN_TH-98): Cho mÆt ph¼ng (P) vµ
®-êng th¼ng (d) cã ph-¬ng tr×nh (P) :2x+y+z=0
vµ d :
x 1 y z 2
.
2
1
3
1) T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) vµ (P) .
2) LËp ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (d1) qua A
vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong mÆt ph¼ng
(P) .
Bµi 4: (§H Khèi A-2002): Trong kh«ng gian
0xyz ,cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®-êng th¼ng (dm) cã
ph-¬ng tr×nh : (P) :2x-y+2=0 ,
(2m 1) x (1 m) y m 1 0
x¸c ®Þnh m
mx (2m 1) z 4m 2 0
d m :
®Ó (dm)//(P)
Bµi 4
VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña hai
®-êng th¼ng
Bµi 3: Cho hai ®-êng th¼ng (d1),(d2) cã ph-¬ng
tr×nh cho bëi :
d1 : x 7
3
x y 4 z 18
y 5 z 9
, d 2 :
3
1
4
1
4
1) Chøng tá r»ng hai ®-êng th¼ng (d1),(d2) song
song víi nhau .
2) ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (d) song song
,c¸ch ®Òu (d1),(d2) vµ thuéc mÆt ph¼ng chøa
(d1),(d2).
Bµi 4: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®-êng
th¼ng (d1),(d2) cã ph-¬ng tr×nh cho bëi :
x 3 2t
4 x y 19 0
d1 : y 2 t t R , d 2 :
x z 15 0
z 6 4t
1) Chøng tá r»ng hai ®-êng th¼ng (d1),(d2) c¾t
nhau .
2) ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng ph©n gi¸c cña
(d1),(d2)
Bµi5: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®-êng
th¼ng (d1),(d2) cã ph-¬ng tr×nh cho bëi :
x 1 t
x 1 y 2 z 4
d1 :
d 2 : y t t R
2
1
3
z 2 3t
Bµi 1: sö dông tÝch hçn t¹p x¸c ®Þnh vÞ trÝ t-¬ng
®èi cña hai ®-êng th¼ng (d1) vµ (d2) cã ph-¬ng 1) Chøng tá r»ng hai ®-êng th¼ng (d1),(d2) c¾t
tr×nh cho bëi:
nhau.
2) ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng ph©n gi¸c cña
x 3 2t
4 x y 19 0
(d1),(d2)
1) d1 : y 2 3t t R , d 2 :
Bµi 6: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®-êng
x z 15 0
z 6 4t
th¼ng (d1),(d2) cã ph-¬ng tr×nh cho bëi :
x 1 2t
2) d1 : y 2 t
z 3 3t
x u 2
t R , d 2 : y 3 2u
z 3u 1
2 x y 1 0
3x y z 3 0
, d 2 :
x y z 1 0
2 x y 1 0
3) d1 :
Bµi 2: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®-êng
th¼ng (d1),(d2) cã ph-¬ng tr×nh cho bëi :
x 5 2t
d1 : y 1 t
z 5 t
x 3 2t1
, d 2 : y 3 t1
z 1 t
1
t, t1 R
x 1 t
d1 : y t
z 1
x 2t1
, d 2 : y 1 t1
z t
1
t, t 1 R
1) Chøng tá r»ng hai ®-êng th¼ng (d1),(d2) chÐo
nhau.
2) ViÕt ph-¬ng tr×nhmÆt ph¼ng(P) song song
,c¸ch ®Òu (d1),(d2) .
Bµi 7: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®-êng
th¼ng (d1),(d2) cã ph-¬ng tr×nh cho bëi :
x 8z 23 0
x 2z 3 0
, d 2 :
y - 4z 10 0
y 2z 2 0
d1 :
1) Chøng tá r»ng hai ®-êng th¼ng (d1),(d2) song 1) Chøng tá r»ng hai ®-êng th¼ng (d1),(d2) chÐo
song víi nhau .
nhau.
2) ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (d) song song 2) ViÕt ph-¬ng tr×nhmÆt ph¼ng(P) song song,
,c¸ch ®Òu (d1),(d2) vµ thuéc mÆt ph¼ng chøa
c¸ch ®Òu (d1),(d2) .
(d1),(d2) .
Page 5
HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Bµi8: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®-êng
th¼ng (d1),(d2) cã ph-¬ng tr×nh cho bëi :
Bµi5: cho hai ®-êng th¼ng (d1),(d2) cã ph-¬ng
tr×nh cho bëi :
d1 : x 1
d1 : x 3
1
x 2y z 0
y 2 z 3
d 2 :
2
3
2 x y 3z 5 0
1
4 x y 2 0
y 1 z 2
, d 2 :
4
3
3x z 0
1) Chøng tá r»ng hai ®-êng th¼ng (d1),(d2) chÐo 1) Chøng tá r»ng hai ®-êng th¼ng (d1),(d2) song
nhau.
song víi nhau.
2) ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng(P) song song,
2) ViÕt ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng
c¸ch ®Òu (d1),(d2) .
(P) chøa (d1),(d2).
3)
ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (d) trong (P)
Bµi 5
song song c¸ch ®Òu (d1),(d2) .
Hai ®-êng th¼ng ®ång ph¼ng vµ
bµi tËp liªn quan
Bµi 1: (§HBK-TPHCM-93): ViÕt ph-¬ng tr×nh
mÆt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2) ,biÕt:
d1 : x 1
3
y 1 z 3
d 2 : x y 1 z 3
2
2
1
1
2
Bµi 2: (§HSPII-2000): Cho ®iÓm A(1,-1,1) vµ
hai ®-êng th¼ng (d1),(d2) cã ph-¬ng tr×nh cho
bëi :
x t
3x - y - z 3 0
d 2 : y 1 2t
d1 :
2x - y 1 0
z 3t
Bµi 6
Hai ®-êng th¼ng chÐo nhau vµ
bµi tËp liªn quan
Bµi 1: (§HNN-96): cho hai ®-êng th¼ng
(d1),(d2) cã ph-¬ng tr×nh cho bëi :
x 7 3t
d1 : y 4 2t
z 4 3t
x 1 t1
d 2 : y 9 2t1
z 12 t
1
t, t1 R
1) Chøng tá r»ng hai ®-êng th¼ng (d1),(d2) chÐo
nhau.
2) ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng vu«ng gãc
chung cña (d1),(d2) .
CMR (d1),(d2) vµ ®iÓm A cïng thuéc mÆt
Bµi 2: (§HTCKT-96): Trong kh«ng gian 0xyz ,
ph¼ng.
Bµi 3: Cho hai ®-êng th¼ng (d1),(d2) cã ph-¬ng cho hai ®-êng th¼ng (d1),(d2) cã ph-¬ng tr×nh
cho bëi : (d1): x=-y+1=z-1, (d2): -x+1=y-1=z
tr×nh cho bëi :
T×m to¹ ®é ®iÓm A1 thuéc (d1) vµ to¹ ®é ®iÓm
2x y 1 0
3x y z 3 0
d1 :
d 2 :
A2 thuéc (d2) ®Ó ®-êng th¼ng A1A2 vu«ng gãc
x - y z 1 0
2 x y 1 0
víi (d1) vµ vu«ng gãc víi (d2) .
1) CMR hai ®-êng th¼ng ®ã c¾t nhau.
Bµi 3: (§H L 1996) Cho hai ®-êng th¼ng
2) ViÕt ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng
(d1),(d2) cã ph-¬ng tr×nh cho bëi :
(P) chøa (d1),(d2).
x 2t1
x 1 t
3) ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng ph©n gi¸c
, d 2 : y 1 t1 t, t 1 R
d1 : y t
cña(d1),(d2)
z 1
z t
Bµi 4: Cho hai ®-êng th¼ng (d1),(d2) cã ph-¬ng
1
x 2 y 1 z 1
1)
Chøng
tá
r»ng
hai
®-êng
th¼ng
(d1),(d2) chÐo
tr×nh cho bëi : d1 :
1
2
1
nhau.ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P),(Q)
song song víi nhau vµ lÇn l-ît chøa (d1),(d2)
x 1 2t
2) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1),(d2) .
d 2 : y t 2 t R
Bµi 4: (§HTS-96): Cho hai ®-êng th¼ng
z 1 3t
(d1),(d2) cã ph-¬ng tr×nh cho bëi :
1) CMR hai ®-êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh
x 1 3t
3x 2 y 8 0
to¹ ®é giao ®iÓm cña nã.
d1 : y 3 2t t R d 2 :
2) ViÕt ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng
5x 2 z 12 0
z 2 1
(P) chøa (d1),(d2).
3) ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng ph©n gi¸c
1) Chøng tá r»ng hai ®-êng th¼ng (d1),(d2) chÐo
cña(d1),(d2)
nhau. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1),(d2)
t R
Page 6
HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
2) ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng vu«ng gãc
chung cña (d1),(d2) .
Bµi 5: : (PVBC 99) Cho hai ®-êng th¼ng
(d1),(d2) ,biÕt:
d1 : x 1
2
y 1 z 2
d 2 : x 2 y 2 z
3
1
2
5
2
1) Chøng tá r»ng hai ®-êng th¼ng (d1),(d2) chÐo
nhau.
2) ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng vu«ng gãc
chung cña (d1),(d2) .
Bµi 6: (§HSPQui Nh¬n-D-96): cho hai ®-êng
th¼ng (d1),(d2) ,biÕt:
x 1 3t
x y 0
: d1 :
d 2 : y t
x - y z 4 0
z 2 t
t R
2) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1),(d2) .
3) ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (d) ®i qua
M(1,1,1) vµ c¾t ®ång thêi (d1),(d2) .
Bµi 10: (§HKT-98): Cho tø diÖn SABC víi c¸c
®Ønh S(-2,2,4), A(-2,2,0) ,B(-5,2,0) ,C(-2,1,1).
TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai c¹nh ®èi SA vµ SB.
Ch-¬ng 3
§iÓm, ®-êng th¼ng vµ
MÆt Ph¼ng
Bµi 1
§-êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm c¾t
c¶ hai ®-êng th¼ng cho tr-íc.
Bµi1: ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng ®i qua
A(1,2,3) vµ c¾t c¶ hai ®-êng th¼ng
1) Chøng tá r»ng hai ®-êng th¼ng (d1),(d2) chÐo
x 2z 3 0
x 8z 23 0
nhau.
1) d1 :
d 2 :
y - 4z 10 0
y 2z 2 0
2) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1),(d2)
x 1 y 2 z 3
Bµi 7: : cho hai ®-êng th¼ng (d1),(d2) ,biÕt:
2) d1 :
d1 : x 7
y 3 z 9
1
2
1
x 3 y 1 z 1
d 2 :
7
2
3
1
2
3
x 2y z 0
d 2 :
2 x y 3z 5 0
Bµi 2: ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng ®i qua
1) Chøng tá r»ng hai ®-êng th¼ng (d1),(d2)
gèc to¹ ®é vµ c¾t c¶ hai ®-êng th¼ng:
chÐo nhau.
x 1 2t
x u 2
2) ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng vu«ng gãc
,
d
:
y
2
t
t
R
d
:
y 3 2u
1
2
chung cña (d1),(d2) .
z 3 3t
z 3u 1
Bµi 8: (§H HuÕ 1998) Cho hai ®-êng th¼ng
(d1),(d2) cã ph-¬ng tr×nh cho bëi :
Bµi 3: ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (d) song
x 2 21 t
x 1
d1 : y 1 t1 , d 2 : y 1 t 2 t1 , t 2 R song víi ®-êng th¼ng () vµ c¾t c¶ hai ®-êng
z 1
x y 2 z 0
x y z 1 0
z 3 t
2
th¼ng: :
1) Chøng tá r»ng hai ®-êng th¼ng (d1),(d2) chÐo
x 2 t
nhau.
2) ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa (d1) vµ d1 : y 1 t t R d 2 : x 2 z 2 0
song song víi (d2) .
y 3 0
z 2t
3) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1),(d2) .
Bµi 4: (§HDL-97): ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng
Bµi 9: (§HNN-97): Cho hai ®-êng th¼ng
th¼ng ®i qua A(1,-1,0) vµ c¾t c¶ hai ®-êng
(d1),(d2) cã ph-¬ng tr×nh cho bëi :
x y 1 z 1
x 2 2t
d 2 : x 1 y z
th¼ng: d1 :
x y 2z 0
d 2 : y 5t
x - y z 1 0
z 2 t
d1 :
t R
1
1
2
1
2
1
Bµi 5: (§HTS-99): ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng
th¼ng ®i qua A(1,-1,0) vµ c¾t c¶ hai ®-êng
1) Chøng tá r»ng hai ®-êng th¼ng (d1),(d2) chÐo th¼ng:
nhau.
Page 7
HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
x 1 3t
3x - 2y - 8 0
d 2 : y 3 2t
d1 :
5x 2z - 12 0
z 2 t
t R
d1 : x 1
3
x y z 2 0
y2 z
d 2 :
1
1
x 1 0
Bµi 2: ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng ®i qua
Bµi 6: ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (d) vu«ng A(1,1,1) vµ vu«ng gãc víi ®-êng th¼ng (d1) vµ
c¾t (d2) ,biÕt :
gãc víi (P) :x+y+z-2=0 vµ c¾t c¶ hai ®-êng
x y z -3 0
x 2 y 2z 9 0
th¼ng (d1) vµ (d2):
d :
d :
x 2 t
d1 : y 1 t
z 2t
1
x 2z 2 0
t R d 2 :
y 3 0
Bµi 7: ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (d) ®i qua
gèc to¹ ®é vµ c¾t c¶ 2 ®-êng th¼ng (d1) vµ (d2):
x 2t 1
d1 : y t 2 t R
z 3t 3
x u 2
d 2 : y 3 2u
z 3u 1 3 0
Bµi 2
§-êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm
vu«ng gãc víi c¶ hai ®-êng
th¼ng cho tr-íc.
Bµi 1: ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng ®i qua
A(1,2,3) vµ c¾t c¶ hai ®-êng th¼ng (d1) ,(d2):
x 2z 3 0
x 8z 23 0
d 2 :
y - 4z 10 0
y 2z 2 0
3x 2 y 8 0
2) d1 :
5x 2 z 12 0
1) d1 :
x 1 3t
d 2 : y 3 2t t R
z 2 t
Bµi 2: (§HTCKT 1999) ViÕt ph-¬ng tr×nh
®-êng th¼ng (d) ®i qua A(1,1,-2) song song víi
mÆt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®-êng th¼ng
(d):
d : x 1
2
y 1 z 2
(P) : x - y - z - 1 0
1
3
Bµi 3
§-êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm
vu«ng gãc víi mét ®-êng vµ
c¾t mét ®-êng th¼ng kh¸c
Bµi 1: (§HSP TPHCM-95): ViÕt ph-¬ng tr×nh
®-êng th¼ng ®i qua A(0,1,1) vµ vu«ng gãc víi
®-êng th¼ng (d1) vµ c¾t (d2) ,biÕt :
y z - 1 0
2
y z 1 0
Bµi 3: ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng c¾t c¶ ba
®-êng th¼ng (d1) (d2) , (d3) vµ vu«ng gãc víi
vect¬ u1,2,3 , biÕt:
x - y 1 0
x y 1 0
d 2 :
z 1 0
z 0
x y 1 0
d 3 :
z 1
d1 :
Bµi 4: T×m tÊt c¶ c¸c ®-êng th¼ng c¾t (d1), (d2)
d-íi cïng mét gãc , biÕt:
mx - y 0
mx y 0
d 2 :
z a
z a
d1 :
Bµi 5: (§HTL-97):ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng
th¼ng ®i qua A(3,-2,-4) song song víi mÆt ph¼ng
(P) :3x-2y-3z-7=0 vµ c¾t ®-êng th¼ng (d) biÕt:
d : x 3 2 y24 z 2 1
Bµi 4:
H×nh chiÕu vu«ng gãc cña
®iÓm lªn mÆt ph¼ng
Bµi 1: T×m to¹ ®é ®iÓm ®èi xøng cña A(-2,1,3)
qua (P) cho bëi:
1) (P): 2x+y-z-3=0.
x 1 t1 t 2
2) P : y 2 2t1 t 2
z 1 t t
1
2
t1 , t 2 R
Bµi 2: (§HKTCN-97): Cho ®iÓm A(1,2,3) vµ
mÆt ph¼ng (P) cã ph-¬ng tr×nh :2x-y+2z-3=0
1) LËp ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng qua A vµ song
song víi (P).
2) Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn
(P). X¸c ®Þnh to¹ ®é cña H
Bµi3: (§HGTVTTPHCM-99): Cho ba ®iÓm
A(1,1,2),B(-2,1,-1) ,C(2,-2,-1) .X¸c ®Þnh to¹ ®é
h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm O lªn mÆt ph¼ng
(ABC).
Page 8
HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Bµi 4: (§HTCKT-2000): Cho ®iÓm A(2,3,5) vµ
mÆt ph¼ng (P) cã ph-¬ng tr×nh :2x+3y+z-17=0
1) LËp ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (d) qua A vµ
vu«ng gãcvíi (P).
2) CMR ®-êng th¼ng (d) c¾t trôc 0z , t×m giao
®iÓm M cña chóng.
3) X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi A qua
(P).
Bµi 5: Cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®-êng th¼ng (d) cã
ph-¬ng tr×nh :
3x y 4 z 27 0
6 x 3 y z 7 0
(P): 2x+5y+z+17=0 vµ d :
1) X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) vµ (P).
2) LËp ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (d1) ®èi xøng
víi (d) qua (P)
Bµi 6: Cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®-êng th¼ng (d) cã
ph-¬ng tr×nh :
x 2 y 3 0
3x 2 z 7 0
(P): 2x+y+z+4=0 vµ d :
1) X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) vµ (P).
2) LËp ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (d1) ®èi xøng
víi (d) qua (P)
Bµi 7: (§HQG 1998) Cho c¸c ®iÓm A(a,0,0);
B(0,b,0); C(0,0,c) (a,b,c d-¬ng ) >Dùng h×nh
hép ch÷ nhËt nhËn O,A,B,C lµm 4 ®Ønh vµ gäi D
lµ ®Ønh ®èi diÖn víi ®Ønh O cña h×nh hép ®ã
1) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ C ®Õn mÆt ph¼ng (ABD)
2) TÝnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C
xuèng mÆt ph¼ng (ABD). T×m ®iÒu kiÖn ®èi
víi a,b,c ®Ó h×nh chiÕu ®ã n»m trong mÆt
ph¼ng (xOy)
Bµi 5:
H×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®-êng
th¼ng lªn mÆt ph¼ng
Bµi 2: LËp ph-¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc
cña giao tuyÕn (d) cña hai mÆt ph¼ng 3x-y+z2=0 vµ x+4y-5=0 lªn mÆt ph¼ng 2x-z+7=0.
Bµi3: (§HM§C-98) :Trong kh«ng gian víi hÖ
to¹ ®é trùc chuÈn 0xyz cho ®-êng th¼ng (d) vµ
mÆt ph¼ng (P) cã ph-¬ng tr×nh :
d : 4x y 3 4 z21 vµ (P): x-y+3z+8=0.
H·y viÕt ph-¬ng tr×nh chÝnh t¾c h×nh chiÕu
vu«ng gãc cña (d) lªn (P) .
Bµi4: Trong kh«ng gian 0xyz cho ®-êng th¼ng
(d) vµ mÆt ph¼ng (Q) cã ph-¬ng tr×nh :
- 2y z - 3 0
d : 3x
x - 2z 0
x 4 3t1 t 2
Q : y 4 t1 2t 2
z 5 t t
1
2
t1 , t 2 R
LËp ph-¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña
®-êng th¼ng (d) lªn (Q) .
Bµi5: Cho ®-êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (Q) cã
ph-¬ng tr×nh :
- y z 1 0
d : 2x
x 2y - z - 3 0
(Q): x-y+z+10=0
H·y viÕt ph-¬ng tr×nh chÝnh t¾c h×nh chiÕu
vu«ng gãc (d1) cña (d) lªn (P) .
Bµi6: (§H Cµn Th¬ 1998) Trong kh«ng gian víi
hÖ to¹ ®é vu«ng gãc 0xyz cho ®-êng th¼ng (d)
vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph-¬ng tr×nh :
d : x 1 1 y 2 2 z 3 1 vµ (P): x+y+z+1=0.
H·y viÕt ph-¬ng tr×nh chÝnh t¾c h×nh chiÕu
vu«ng gãc (d1) cña (d) lªn (P) .
Bµi7: (HVQY-95): Trong kh«ng gian víi hÖ to¹
®é vu«ng gãc 0xyz cho ®-êng th¼ng (d) vµ mÆt
ph¼ng (P) cã ph-¬ng tr×nh :
x 1
y2
z 1
Bµi 1: (§HQG TPHCM 1998) Trong kh«ng gian d : 1 2 3 vµ (P): x+y+z+1=0.
víi hÖ trôc to¹ ®é trùc chuÈn 0xyz ,cho ®-êng
1) H·y viÕt ph-¬ng tr×nh chÝnh t¾c h×nh chiÕu
th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph-¬ng tr×nh :
vu«ng gãc (d1) cña (d) lªn (Oxy) .
x z 3 0
2) CMR khi m thay ®æi ®-êng th¼ng (d1) lu«n
(P):x+y+z-3=0 vµ d :
LËp
2
y
3
z
0
tiÕp xóc víi mét ®-êng trßn cè ®Þnh trong
mÆt ph¼ng 0xy.
ph-¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®-êng
Bµi8:
(§HQG-98): Trong kh«ng gian víi hÖ to¹
th¼ng (d) lªn (Q).
®é vu«ng gãc 0xyz cho mÆt ph¼ng (P) vµ hai
®-êng th¼ng (d1) vµ (d2) cã ph-¬ng tr×nh :
(P):x+y-z+1=0
Page 9
HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
2y - z 1 0
3 y z 12 0
d 2 :
x 2y 0
x z 2 0
d1 :
1) H·y viÕt ph-¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc
(1), (2) cña (d1), (d2) lªn (P) .T×m to¹ ®é
giao ®iÓm I cña (d1), (d2).
2) Vݪt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng P1 chøa (d1)
vµ vu«ng gãc víi (P).
Bµi 6:
H×nh chiÕu vu«ng gãc cña
®iÓm lªn ®-êng th¼ng
Bµi 1: cho ®iÓm A(1,2,3) vµ ®-êng th¼ng (d) cã
vµ c¾t víi ®-êng th¼ng ®ã .
Bµi7: (HV BCVT-2000): Cho 2 ®-êng th¼ng ()
vµ (d) cã ph-¬ng tr×nh :
: x 3
7
y 1 z 1
x7 y 3 z 9
d :
2
3
1
2
1
LËp ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (d1) ®èi xøng víi
(d) qua ()
Bµi 8: (§HHH-1999): Trong kh«ng gian cho 2
®-êng th¼ng (d1),(d2) :
x t
2 x y 1 0
d1 :
(d 2 ) : y 1 2t t R
x y z 1 0
z 4 5t
x 2 y 2 z 9 0
.X¸c ®Þnh 1) (d1) , (d2) cã c¾t nhau hay kh«ng
y
z
1
0
2) Gäi B,C lÇn l-ît lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng cña
ph-¬ng tr×nh : d :
to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn (d) .Tõ
A(1,0,0) qua (d1),(d2) . TÝnh diÖn tÝch tam
®ã t×m to¹ ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi A qua (d) .
gi¸c ABC
Bµi2: cho ®iÓm A(1,2,-1) vµ ®-êng th¼ng (d) cã Bµi 9: (§HTM-1999): Trong kh«ng gian cho
®-êng th¼ng (d1) vµ mÆt ph¼ng (P) :
x 2t 1
2x y 2z 3 0
ph-¬ng tr×nh : d : y t 2 t R .X¸c ®Þnh
d :
(P) : x 2 y z 3 0
z 3t 3
1
2 x y 2 z 17 0
1) T×m ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm A(3,-1,2) qua
to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn (d) .Tõ
®-êng th¼ng (d)
®ã t×m to¹ ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi A qua (d) .
2)
ViÕt ph-¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña
Bµi3: cho ®iÓm A(2,1,-3) vµ ®-êng th¼ng (d) cã
®-êng th¼ng (d) trªn mÆt ph¼ng (P)
x 1 y 2 z 3
ph-¬ng tr×nh : d :
.X¸c
Bµi10: Trong kh«ng gian 0xyz cho bèn ®-êng
1
2
1
th¼ng (d1), (d2), (d3), (d4) cã ph-¬ng tr×nh :
®Þnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn (d)
mx y 0
mx y 0
.Tõ ®ã t×m to¹ ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi A qua
, d 2 :
,
d1 :
(d) .
z h
z h
Bµi 4: (§HhuÕ /A,B ph©n ban 98): Trong kh«ng
mx y 0
mx y 0
, d 4 :
d 3 :
gian 0xyz cho ®iÓm A(2,-1,1) vµ ®-êng th¼ng
zh
z h
y z 4 0
(d) cã ph-¬ng tr×nh : d :
2 x y z 2 0
CMR c¸c ®iÓm ®èi xøng A1, , A2, , A3,
A4 cña A bÊt k× trong kh«ng gian qua (d1), (d2),
1) ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua A vµ (d3), (d4) lµ ®ång ph¼ng . LËp ph-¬ng tr×nh mÆt
vu«ng gãc (d) .
ph¼ng chøa chóng .
2) X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm B ®èi xøng víi A qua
Bµi 7:
(d) .
§iÓm vµ mÆt ph¼ng
Bµi 5: (§Ò 60-Va): LËp ph-¬ng tr×nh ®-êng
Bµi
1:
cho hai ®iÓm A(1,0,2) ;B(2,-1,3) vµ mÆt
th¼ng qua A(3,2,1) vµ vu«ng gãc víi ®-êng
ph¼ng (P): x-2y+z-4=0.T×m ®iÓm M thuéc (P)
th¼ng
sao cho AM+BM nhá nhÊt.
x y z 3
(d) :
vµ c¾t víi ®-êng th¼ng ®ã .
Bµi 2: cho hai ®iÓm A(1,1,0) ;B(0,-1,1) vµ mÆt
2 4
1
ph¼ng (P): x-2y+z-4=0.T×m ®iÓm M thuéc (P)
Bµi 6: (§HTM-2000): LËp ph-¬ng tr×nh ®-êng sao cho AM+BM nhá nhÊt.
th¼ng qua A(2,-1,0) vµ vu«ng gãc víi ®-êng
Bµi 3: (§HhuÕ /A hÖ ch-a ph©n ban 97):Trong
5x y z 2 0
kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é 0xyz cho mÆt ph¼ng
th¼ng d :
(P): 2x-y+z+1=0 vµ hai ®iÓm A(3,1,0), B(-9,4,9)
x y 2z 1 0
Page 10
HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
.T×m to¹ ®é ®iÓm M trªn mÆt ph¼ng (P) sao cho
MA MB lµ lín nhÊt .
Bµi 4: (§HQG-2000):Cho mÆt ph¼ng
(P):x+y+z-1=0 vµ hai ®iÓm A(1,-3,0) ,B(5,-1,-2)
1) Chøng tá r»ng ®-êng th¼ng ®i qua A,B c¾t
mÆt ph¼ng (P) t¹i mét ®iÓm I, t×m to¹ ®é
®iÓm ®ã .
2) T×m to¹ ®é ®iÓm M trªn mÆt ph¼ng (P) sao
cho MA MB ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
Bµi 5: (§HM§C-97):
cho ba ®iÓm A(1,4,5) B(0,3,1) ,C(2,-1,0) vµ mÆt
ph¼ng (P): 3x-3y-2z-15=0.Gäi G lµ träng t©m
ABC .CMR ®iÒu kÞªn cÇn vµ ®ñ ®Ó M n»m trªn
mÆt ph¼ng (P) cã tæng c¸c b×nh ph-¬ng kho¶ng
c¸ch ®Õn c¸c ®iÓm A,B,C nhá nhÊt lµ ®iÓm M
ph¶i lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm G trªn
mÆt ph¼ng (P) .X¸c ®Þnh to¹ ®é cña ®iÓm M ®ã.
Bµi 6: Cho mÆt ph¼ng (P) 3x+3y+mz-6-m=0.
1) CMR (P) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh M,
T×m to¹ ®é cña M.
2) Gi¶ sö (P) c¾t 0x,0y,0z theo thø tù t¹i A,B,C .
TÝnh 0A,0B,0C ®Ó tø diÖn 0ABC ®¹t
gi¸ trÞ nhá nhÊt .
TÝnh 0A,0B,0C ®Ó 0A+0B+0C lµ nhá
nhÊt .
Bµi 8:
§iÓm vµ ®-êng th¼ng
Bµi 1: T×m trªn ®-êng th¼ng (d) ®iÓm
M(xM,yM,zM) sao cho x 2 M y 2 M z 2 M nhá
nhÊt ,biÕt:
x 2 t
1) d : y 1 2t t R
z t 3
x 3 y 1 z 4
2) d :
2
3
5
3x y 4 z 1 0
3) d :
2 x 3 y z 7 0
Bµi 2: Cho ®-êng th¼ng (d) cã ph-¬ng tr×nh :
Bµi 3: (§HBK-98):Cho ®-êng th¼ng (d) vµ mÆt
ph¼ng (P)cã ph-¬ng tr×nh :
x 1 2t
d : y 2 t
z 3t
t R ,(P):2x-y-2z+1=0
1) T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm thuéc ®-êng th¼ng(d)
sao cho kho¶ng c¸ch tõmçi ®iÓm ®ã ®Õn mÆt
ph¼ng (P) b»ng 1.
2) Gäi K lµ ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm
I(2,-1,3) qua ®-êng th¼ng (d) .X¸c ®Þnh to¹
®é K.
Bµi 4: (§HHång §øc -2000): Cho ®-êng th¼ng
(d) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph-¬ng tr×nh :
x 1 t
d : y 1 t
z 2t
t R vµ (P): x+2y+z-1=0.
1) T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm thuéc ®-êng th¼ng(d)
sao cho kho¶ng c¸ch tõmçi ®iÓm ®ã ®Õn mÆt
ph¼ng (P) b»ng 6 .
2) Gäi K lµ ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm I(2,0,-1)
qua ®-êng th¼ng (d) .X¸c ®Þnh to¹ ®é K.
Bµi 5: (§H§µ n½ng -2000): Cho ®iÓm
A(-4,4,0),B(2,0,4),C(1,2,-1),D(7,-2,3).
1) CMR A,B,C,D ®ång ph¼ng .
2) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ C®Õn ®-êng th¼ng (AB)
Bµi 9:
Gãc trong kh«ng gian
Bµi 1: X¸c ®Þnh sè ®o gãc gi÷a 2 ®-êng th¼ng
(d1),(d2) cã ph-¬ng tr×nh :
x 3 2t
4x y - 19 0
1) d1 : y 2 3t & (d 2 ) :
x - z 15 0
z 6 4t
x 2t 1
2) d1 : y 2 t
z 3 3t
x u 2
, d 2 : y 3 2u
z 1 3u
2 x y 1 0
x y z 1 0
3) d1 :
3x y z 3 0
2 x y 1 0
d 2 :
x y z 3 0
.T×m ®iÓm M thuéc (d) sao Bµi 2: (§HHH-2000): Cho ba ®-êng th¼ng
(d1),(d2), (d3) cã ph-¬ng tr×nh :
x y 5 0
cho AM+BM nhá nhÊt khi :
x t 1
x y 4z 3 0
1) A(1,2,-1), B(8,1,-2) .
d1 : y 2 4t t R , d 2 :
2) A(1,2,-1),B(0,1,2).
2 x y z 1 0
z 2 3t
d :
Page 11
HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
y 1 z 5
1
1
1) Gäi A,B,C lÇn l-ît lµ giao ®iÓm (kh¸c gèc
to¹ ®é ) cña mÆt cÇu (S) víi 0x,0y,0z .C¸c
3
®Ønh to¹ ®é cña A,B,C vµ lËp ph-¬ng tr×nh
1) X¸c ®Þnh cosin gãc gi÷a (d1),(d2).
mÆt ph¼ng (ABC).
2) LËp ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (d) song song
2) LËp ph-¬ng tr×nh c¸c ®-êng trung tuyÕn ,
víi (d3) ®ång thêi c¾t c¶ (d1),(d2).
®-êng cao vµ ®-êng ph©n gi¸c trong kÎ tõ
Bµi 3: X¸c ®Þnh sè ®o gãc gi÷a ®-êng th¼ng (d)
®Ønh A cña ABC.
vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph-¬ng tr×nh cho bëi :
3)
X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh ®-êng
4 x y 19 0
1) d :
vµ (P):x+y-7z-58=0.
trßn ngo¹i tiÕp ABC.
x z 15 0
Bµi 3 Cho mÆt cÇu
x 1 t1 t 2
S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 z 4 0 vµ c¸c ®iÓm
2 x y 1 0
2) d :
& P : y 2t1 t 2
A(3,1,0), B(2,2,4) ,C(-1,2,1).
x y z 1 0
z 1 3t t
1) LËp ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (ABC).
1
2
2) LËp ph-¬ng tr×nh c¸c ®-êng trung tuyÕn
Bµi 4: (C§SP TP.HCM-99): Cho ®-êng th¼ng
,®-êng cao vµ ®-êng ph©n gi¸c trong kÎ tõ
(d) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph-¬ng tr×nh :
®Ønh A cña ABC.
d : x 1 3 y 2 4 z13 vµ (P):2x+y+z-1=0
3) X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh ®-êng
trßn ngo¹i tiÕp ABC.
1) X¸c ®Þnh sè ®o gãc gi÷a ®-êng th¼ng (d) vµ
mÆt ph¼ng (P) .
Ch-¬ng 4
2) T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña ®-êng th¼ng (d)
vµ mÆt ph¼ng (P).
MÆt cÇu
3) LËp ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng
Bµi 1
(d1) ®i qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong
mÆt ph¼ng (P).
Ph-¬ng tr×nh mÆt cÇu
Bµi 5: (§HAN-CS-98): Cho ®-êng th¼ng (d) vµ Bµi 1: Trong c¸c ph-¬ng tr×nh sau ®©y ,ph-¬ng
mÆt ph¼ng (P) cã ph-¬ng tr×nh :
tr×nh nµo lµ ph-¬ng tr×nh cña mÆt cÇu ,khi ®ã chØ
x 1 y 3 z 1
râ to¹ ®é t©m vµ b¸n kÝnh cña nã ,biÕt:
d : 1 2 2 vµ (P): x+z+2=0
1) S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 2 0
1) X¸c ®Þnh sè ®o gãc gi÷a ®-êng th¼ng (d) vµ
2) S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 9 0
mÆt ph¼ng (P) .
3) S : 3x 2 3 y 2 3z 2 6 x 3 y 9 z 3 0
2) LËp ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (d1) lµ h×nh
4) S : x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 5 z 7 0
chiÕu vu«ng gãc cña (d) lªn mÆt ph¼ng (P).
5) S : 2 x 2 y 2 z 2 x y 2 0
Bµi 10:
Bµi 2: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph-¬ng tr×nh :
Tam gi¸c trong kh«ng gian
d 3 : x
Bµi 1: Cho ABC bݪt A(1,2,5), B(1,4,3),
C(5,2,1) vµ mÆt ph¼ng (P):x-y-z-3=0.
1) LËp ph-¬ng tr×nh ®-êng trung tuyÕn ,®-êng
ca¬ vµ ®-êng ph©n gi¸c trong kÎ tõ ®Ønh A.
2) Gäi G lµ träng t©m ABC .CMR ®iÒu kÞªn
cÇn vµ ®ñ ®Ó ®iÓm M n»m trªn mÆt ph¼ng (P)
cã tæng c¸c b×nh ph-¬ng kho¶ng c¸ch ®Õn
c¸c ®iÓm A,B,C nhá nhÊt lµ ®iÓm M ph¶i lµ
h×nh chØÕu vu«ng gãc cña ®iÓm G trªn mÆt
ph¼ng (P) .X¸c ®Þnh to¹ ®é cña ®iÓm M ®ã.
Bµi 2: Cho mÆt cÇu
S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 0 .
Sm : x 2 y 2 z 2 4mx 2my 6z m2 4m 0
1) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt
cÇu .
2) CMR t©m cña (Sm) lu«n n»m trªn mét ®-êng
th¼ng cè ®Þnh.
Bµi 3: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph-¬ng tr×nh :
Sm : x 2 y 2 z 2 4mx 2m2 y 8m2 5 0
1) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt
cÇu .
2) T×m quÜ tÝch t©m cña hä (Sm) khi m thay ®æi.
3) T×m ®iÓm cè ®Þnh M mµ (Sm) lu«n ®i qua.
Bµi 4: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph-¬ng tr×nh :
Page 12
HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Sm : x 2 y 2 z 2 2x sin m 2 y cosm 3 0
2) (C§GTVT-2000): T©m I(1,4,-7) vµ tiÕp xóc
víi mÆt ph¼ng (P) :6x+6y-7z+42=0.
1) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt
3) B¸n kÝnh R=9 vµ tiÕp xóc víi
cÇu .
(P): x+2y+2z+3=0 t¹i ®iÓm M(1,1,-3).
2) CMR t©m cña (Sm) lu«n ch¹y trªn mét ®-êng
trßn (C) cè ®Þnh trong mÆt ph¼ng 0xy khi m Bµi 2: ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt cÇu cã t©m I trªn
®-êng th¼ng (d) vµ tiÕp xóc víi hai mÆt ph¼ng
thay ®æi.
3) Trong mÆt ph¼ng 0xy, (C) c¾t 0y t¹i A vµ B. ( P1 )vµ P2 , biÕt :
§-êng th¼ng y=m(-10.
3) T×m to¹ ®é ®iÓm J ®èi xøng víi I qua mÆt
ph¼ng (ABC).
Bµi 4: (HVKTMM-99):Cho bèn ®iÓm A(1,2,2),
B(-1,2,-1), C(1,6,-1), D(-1,6,2).
1) CMR tø diÖn ABCD cã c¸c cÆp c¹nh ®èi diÖn
b»ng nhau.
2) X¸c ®Þnh to¹ ®é träng t©m G cña tø diÖn .
3) ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn
ABCD.
4) ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt cÇu néi tiÕp tø diÖn
ABCD.
Bµi 8:
VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña ®iÓm
vµ mÆt cÇu
Bµi 1: Cho mÆt cÇu
S : x 2 y 2 z 2 x 4 y z 3 0 .xÐt vÞ trÝ
t-png ®èi cña ®iÓm A ®èi víi mÆt cÇu (S) trong
c¸c tr-êng hîp sau:
1) ®iÓm A(1,3,2).
2) ®iÓm A(3,1,-4).
3) ®iÓm A(-3,5,1).
Bµi 2: T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc mÆt cÇu
S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 3 0 .Sao cho
kho¶ng c¸ch MA ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt ,nhá
nhÊt,biÕt:
1) ®iÓm A(1,-2,0).
2) ®iÓm A(1,1,-2).
Bµi 9:
VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña ®-êng
th¼ng vµ mÆt cÇu
1 9
Bµi 2: Cho h×nh chãp SABCD .§Ønh S ( , ,4) Bµi 1: Cho mÆt cÇu
2 2
®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng cã A(-4,5,0) ,®-¬ngf
7 x y 8 0
chÐo BD cã ph-¬ng tr×nh : d :
z 0
S : x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 2 z 6 0 .T×m to¹ ®é
®iÓm M thuéc (S) sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn
(d) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt,biÕt:
x 2 t
1) T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh cña h×nh chãp .
1) d : y 1 t
t R
2) LËp ph-¬ng tr×nh nÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh
z 1 t
chãp.
3) LËp ph-¬ng tr×nh mÆt cÇu néi tݪp h×nh chãp. 2) d : x 2 y z 3 0
Bµi 3: Cho ba ®iÓm A(2,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3).
y 2z 1 0
1) ViÕt ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t c¸c mÆt ph¼ng
Bµi 10:
(0AB), (0BC), (0CA), (ABC).
VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña mÆt ph¼ng
2) X¸c ®Þnh t©m I cña mÆt cÇu néi tiÕp tø diÖn
0ABC .
vµ mÆt cÇu
Page 16
HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Bµi 1: (§HDL-97):Trong kh«ng gian víi hÖ to¹
®« trùc chuÈn 0xyz, cho mÆt cÇu (S) vµ mÆt
ph¼ng (P) cã ph-¬ng tr×nh :
S : x 2 y 2 z 2 2 x 2 0 ,(P):x+z-1=0.
1) TÝnh b¸n kÝnh vµ to¹ ®é t©m cña mÆt cÇu (S).
2) TÝnh b¸n kÝnh vµ to¹ ®é t©m cña ®-êng trßn
giao cña (S) vµ (P).
Bµi 2: (§HSPV-99): Cho ®iÓm I(1,2,-2) vµ mÆt
ph¼ng 2x+2y+z+5=0 .
1) LËp ph-¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) t©m I sao cho
giao cña (S) vµ (P) lµ ®-êng trßn cã chu vi
b»ng 8П .
2) CMR mÆt cÇu (S) tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng 2x2=y+3=z.
3) LËp ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa ®-êng
th¼ng (d) vµ tiÕp xóc víi (S).
Bµi 3: (§HBK-A-2000): Cho h×nh chãp SABCD
víi S(3,2,-1), A(5,3,-1), B(2,3,-4), C(1,2,0).
1) CMR SABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c ®Òu vµ
ba mÆt bªn lµ c¸c tam gi¸c vu«ng c©n.
2) TÝnh to¹ ®é ®iÓm D ®èi xøng víi ®iÓm C qua
®-êng th¼ng AB. M lµ ®iÓm bÊt k× thuéc mÆt
cÇu t©m D, b¸n kÝnh R 18 .(®iÓm M
kh«ng phô thuéc mÆt ph¼ng (ABC) ). XÐt
tam gi¸c cã ®é dµi c¸c c¹nh b»ng ®é dµi c¸c
®o¹n tj¼mg MA, MB, MC. Hái tam gi¸c ®ã
cã ®Æc ®iÓm g× ?
Bµi 4: (§HPCCC-2000): Cho ®-êng trßn (C) cã
2) ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt cÇu qua giao ®iÓm cña
(S1) vµ (S2) qua ®iÓm M(2,0,1).
Bµi 2: Cho hai mÆt cÇu: S1 : x 2 y 2 z 2 9 ,
S 2 : x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 2 z 6 0
1) CMR hai mÆt cÇu (S1) vµ (S2) c¾t nhau.
2) ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt cÇu qua giao ®iÓm cña
(S1) vµ (S2) qua ®iÓm M(-2,1,-1).
x 2 y 2 z 2 14
.LËp
z 0
ph-¬ng tr×nh : C :
h-¬ng tr×nh mÆt cÇu chøa (C) vµ tiÖp xóc víi mÆt
ph¼ng: 2x+2y-z-6=0.
Bµi 5: (C§HQ-96): Cho mÆt cÇu (S) vµ mÆt
ph¼ng (P) cã ph-¬ng tr×nh :
S : ( x 3) 2 ( y 2) 2 ( z 1) 2 9
,(P):x+2y+2z+11=0. T×m ®iÓm M sao cho M
thuéc (S) sao cho kho¶ng c¸ch tõ M tíi mÆt
ph¼ng (P) nhá nhÊt .
Bµi 11:
VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña hai mÆt cÇu
Bµi 1: Cho hai mÆt cÇu:
S1 : x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 7 0 ,
S 2 : x 2 y 2 z 2 2 x 0
1) CMR hai mÆt cÇu (S1) vµ (S2) c¾t nhau.
Page 17
- Xem thêm -
.PDF 
17 
166 
67 
