Mô tả:
GIẢI BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
TÀI LIỆU THPT HAY
GIẢI BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARÍT
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN
f ( x) 0
b
log a f ( x) b
f ( x) a
* Là phương trình có dạng :
g ( x) 0
log a f ( x) log a g ( x)
f ( x) g ( x)
Bài 1. Giải các phương trình sau :
a.
b.
c.
c.
e.
f.
GIẢI
a.
x 2 3x 2 0
x 2 x 1
D ; 4 3; 2 1;
2
x 7 x 12 0
x 4 x 3
-Đ/K :
log 2 x 1 x 2 x 3 x 4 log 2 27
x 1 x 4 x 2 x 3 27
PT x 2 5 x 4 x 2 5 x 6 24
t x 2 5 x 4
t 6
t 2 2t 24 0
t 4
t t 2 24 0
x 2 5 x 4 6
x 2 5 x 10 0 x 0
2
2
x 5
x 5x 4 4
x 5x 0
b.
x 3 x 3
x2 3 0
5
- Đ/K:
D ;
5
3
6 x 10 0
x
3
5
x 1
- PT: log 2 2 x 3 log 2 6 x 10 2 x 3 6 x 10 x 3x 2 0
3
x 2
2
2
2
Vậy phương trình có nghiệm là : x=2.
c.
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Page 1
TÀI LIỆU THPT HAY
x 1
x 1 x 3 x 2 x 3 1 x 1 x 3
log3 x 2 x 3 log3
2
2
x 3
Đ/K:
x 3
2 x 4 x 1
5
2 x 2 x 1
x . Là nghiệm của phương trình .
5
x
3
2 x 4 1 x
3
d.
x 1 0
ĐK:
3
x x 1 0
*
x3 x 1 x 1 x3 2 x 3 2
PT(d) x 1 x x 1 3
3
x x 1 1 x
x 2 x 0 x 0
3
Vậy phương trình có nghiệm : x=0 , x 2 ( loại : vì không thỏa mãn (*) ).
2
3
2
e.
x 1 0
x 1
-ĐK: 4 x 0
*
4 x 0 4 x 4
log 2 x 1 log 2 4 x log 2 4 x
log 2 x 1 log 2 4 x 4 x
x 1 4 x 4 x 16 x 2 x 1
PT(e)
1 61
1 61
x
x
16 x x 1
x x 15 0
2
2
2
2
16 x x 1 x x 17 0 x 1 69 x 1 69
2
2
2
2
Kết hợp với điều kiện (*) chọn nghiệm là : x
1 61
1 69
, và x
.
2
2
f.
x 0
x 0
1 3log 2 x 1
1
1 3log 2 x
x 1 *
-ĐK: 1 log 2 1 3log 2 x 0
x
0
2
2 log 3 1 log 2 1 3log 2 x 0
1 log 2 1 3log 2 x 1
1
2
2 log 3 1 log 2 1 3log 2 x 4 2
PT(f) 1 log 2 1 3log 2 x 3 1 3log 2 x 4 . Vậy nghiệm của phương trình là x=2.
log 2 x 1 x 2
Bài 2. Giải các phương trình sau :
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Page 2
TÀI LIỆU THPT HAY
a. log 3 x log 9 x log 27 x
11
12
c. log2 x 64 log x 16 3
2
b. log7
x3
2
log 1
0
21
7 3x 6
d.
GIẢI
x 0
t log3 x
11
1
1
a. log3 x log9 x log 27 x t log3 x
11 11 t log3 x x 3 2 0
12
2
2
1 1 11
6 t 12
t t t
2 3 12
x 2
x 2
x 2
x3
2
b. log 7
log 1
0
x3
2 x3
2 2
21
log 7
log 7
x x 20 0
7 3x 6
21
3x 6
21 3x 6
x 2
x 4 . Vậy phương trình có nghiệm là : x=4 ( thỏa mãn điều kiện (*).
x
5
x
4
1
0
x
1
1
2
x
t log 2 x
log
x
2
3
c. log 2 x 64 log x2 16 3 t log 2 x 2
3
2
3
t
5
t
2
0
6
4
log 2 x 2
x 4
3
1 t 2t
d.
9 x 6
x log9 6
ĐK: x 3
3 *
3
x log3 2
2
log 2 2 9 x 6 log 2 4.3x 6 2 9 x 6 4.3x 6
PT(d) 32 x 6 2.3x 3 32 x 2.3x 3 0
.
t 3x 0
2
t 3 3x 3 x 1
t 2t 3 0
Vậy nghiệm của phương trình là : x=1 .
Bài 3. Giải các phương trình sau :
a.
b.
c.
d.
GIẢI
a.
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Page 3
TÀI LIỆU THPT HAY
2
x 1
x 1
8 x x 9 0
x2 9 x 1 2
x 4 1
2
2
2
x
8
x
9
x
1
8 x x 9 9
Vậy nghiệm phương trình là : x=4 .
b.
log3 log 2 x 2 log 2 x 9 x 29 512
c.
x 3
x 3 log 4 ( x 3) 1 log 4 x log 4 x log 4 4 x 3
ĐK: x 0
x 4 x 3 3 x 12 x 4
Vậy nghiệm phương trình là : x=4 .
d.
ĐK:
.
3x 1 0
1
x 3 0 x (*) PT log 2 3x 1 log 2 x 3 log 2 4 x 1 log 2 3x 1 x 3 log 2 4 x 1
3
x 1 0
3x 1 x 3 4 x 1 3x 2 4 x 7 0 x 1 x 7 x 1
1
3
Vậy nghiệm của phương trình là : x=1 . Thỏa mãn điều kiện (*) .
Bài 4. Giải các phương trình sau :
a.
b.
c.
d.
GIẢI
a.
3
x 0
x 0
t log 2 x
2
1
3
3
log3 1 x 3 x log 2 3 x
log
1
x
x
log
x
3
2
log3 1 x x t
3
x 23 t
x 23 t
3 x 2t
1
t
3t 2
t
t
t
t
t
3
1 2 2 3 1 8 2
1 x x 3
1
3
3
3
Học sinh giải tiếp ( như đã giải dạng toán này trong phần phương trình mũ - pp hàm số ).
b.
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Page 4
TÀI LIỆU THPT HAY
5
5
10 5
5
x 1
x
x
x
3
6 3
3
x2
3
log 2 2 x 2 3 log 2 6 x 10
2 x 2 3 6 x 10 x 2 3x 2 0 x 2 5
3
. ( Đã giải ở bài 2-d )
c.
. ( Đã giải ở bài 3-b )
d.
II. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ - ĐẶT ẨN PHỤ
Bài 1. Giải các phương trình sau :
5
log 52 x 1
x
c. 3 log x 16 4 log16 x 2 log 2 x
a. log 5 x
b. log 5 5 x . log x 5 1
2
2
d.
GIẢI
1
1
0 x 5
0 x 5
5
a. log5 x log52 x 1 t log5 x t log5 x log5 x 0 x 1 0 . Ngiệm : x=0
x
1 t
2
2t
2t 1
0
1 t
1 t
0 x 1
0 x 1
log 5 x 1 2
x 51
2
2
b. log 5 5 x . log x 5 1 t log5 x
t log 5 x
log 5 x 1 2
x 51
2
1
t
2
t
1
0
1 2t 2 1
t
0 x 1
1
t log 2 x
log 2 x 2 x
c. 3log x 16 4 log16 x 2 log 2 x t log 2 x
2
4
log
x
2
t
4
2
3.4
1
x 4
4. t 2t
4
t
2
2
d.
0 x 2
x 1 ; x 1
t 4, t 2
t 4, t 2
16
4
t log 2 x t 4, t 2 1
1
21
10
21
10
2
t
0
2t
0
t 1 t 4 t 2
t 1 t 4 t 2
1
t
2t 14 3t 40 2 0
t 1
4t
2t
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Page 5
TÀI LIỆU THPT HAY
t log 2 x
log x 0
x 1
2
. Kết hợp với điều kiện , nghiệm của phương trình là :
2
x 2
log 2 x 1
10t 10t 0
x=1 . ( Loại x=2 vi phạm điều kiện ).
Bài 2. Giải các phương trình sau :
a.
b.
c.
d.
GIẢI
a.
89 x 25
89 x 25
log x x3 log x 32 log x
log x 32.x3 log x
2x
2x
2
2
x2 1
0 x 1
0 x 1
25
5
2 25 x 2
x
89 x 25
3
4
2
x
64
8
64.x 89 x 25 0
32.x 2 2 x
64
Vậy phương trình có nghiệm là : x = 5/8 .( loại x=-5/8 do x>0 và x 2 1 vi phạm điều kiện)
b.
2
2
2
log3 x 3
x 3 3
t log3 x 1 1 log3 x t 1 t 3 1
log32 x 3
2
t 2
log3 x 3
x 3 3
t t 6 0
c.
1
x 4
0 x 1
0 x 1
log 2 x 2
t 2
t 2 0
t
2
0
1
t log 2 x
t log 2 x
2
t 1 log 2 x 1 x
1
t 0
2
t 1 0
log 2 x 1
t 1
2t
2t
x 2
t
2
t 2t
t t 2
0
t
t
d.
t lg 2 x 1 0
11
t 1 0
lg x 1 1 x 1 1
x
2
x 1
lg x 1 1
10
10
25
t
0
lg
x
1
1
16t 2 9t 25 0
x
1
10
x
11
16
Bài 3. Giải các phương trình sau :
a.
b.
c.
GIẢI
a.
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Page 6
TÀI LIỆU THPT HAY
5
0 x 1
x 0
0 x 1
0
x
1
1
6
2
x
5 12 x
5 12 x
2
x
x 1 0
12 x 4 x 5 0
log 2 12 x 8 2.log 4 x
12 x 8
2
b. Đã giải ở bài 2-b của chuyên mục này .
c.
1
0
x
0 1 2 x 1
2
2
ĐK:
PT 1 log12 x 1 3x log13 x 1 2 x 2 0
0 1 3x 1 0 x 1
3
2
2
1 log1 2 x 1 3 x 2 log13 x 1 2 x 2 0 log1 2 x 1 3 x
1 0
log1 2 x 1 3 x
t log1 2 x 1 3 x
t 1 log1 2 x 1 3 x 1
t log1 2 x 1 3x
2
2
t
2
t
1
0
t
t
2
0
log1 2 x 1 3 x 2
t
5
1
x
2
1 3x
6 x 5 x 0
6
1 2x
2
2
x 1
4 x x 0
1 3x 1 2 x
4
Bài 4. Giải các phương trình sau :
a.
b.
c.
d.
GIẢI
a.
t log 2 x
x 0
x 2
t log 2 x
2
x 0
log 2 x 1
x 1
t
2
t
2
t
t 2 t 2 0
log 2 x 2
4
b.
t 0
t 0
t 3x 0
log 3 t 1 1
u log 3 t 1 u log 3 t 1
log 3 t 1 .log 3 3 t 1 2
2
log 3 t 1 2
u
1
u
2
0
u
u
2
0
t 1 3
t 2
t 2 3x 2 x log3 2
t 1 1
t 8 0
9
9
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Page 7
TÀI LIỆU THPT HAY
c.
0 x 2
x 2 2
t log 2 x t 1 log 2 x 2
t log 2 x t 1 2
x 2 2
log 2 x 2
t 2
1
2t 3 0
1 t
d.
x 0
log3 x 0
x 1
1
log3 x log3 2 x 1 1
2x 1 x 1
log3 x 2 log3 x log3 2 x 1 1 0
x 1
x 1
x 0
x 0 x 1 . Vậy nghiệm phương trình là : x=1.
2 x 1 x 12
x 2 0
Bài 5. Giải các phương trình sau :
a.
b.
c. .
GIẢI
a.
TXD: D=R
Vì :
2 3 2 3 1 2 3 2 3 ;
1
1
u log
x2 1 x
x2 1 x 1 t x2 1 x x2 1 x
t
2 3
u 2 log 2
PT log 2 3 t 2 log 2 3 6
t
2u u 6
x2 1 x 2 3
x2 1 x 2 3
t 2 3
t 2
3
1
2 3
t
2
2
2
2
2x 2 3
2 3
2
2
x
1
2 3
2
2 3 72 .
2
2
b.
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Page 8
1
t
TÀI LIỆU THPT HAY
Vì :
2
1
1
x 1 1
x 1 1
2
2
x PT x log3 x 5log3 x 7 x
2
2
x 1 12
log 3 x 2
x 9
log 32 x 5log 3 x 7 1 log 32 x 5log 3 x 6 0
.
x 27
log 3 x 3
c.
t 0
t 0
t 5x 0
log5 t 1 1
u log5 t 1 u log5 t 1
1
log5 t 1 2
log5 t 1 . log 5 5 t 1 1
2
2
u
1
u
2
u
u
2
0
5 x 6
x log5 6
t 1 5
. Cả hai nghiệm này đều chọn được .
x 26
5
x log5 26
t 1 1 26
25 25
25
25
Bài 6. Giải các phương trình sau :
a. log2 x1 (2 x2 x 1) log x1 (2 x 1)2 4
b. (2 log3 x)log 9 x 3
4
1
1 log3 x
c. log 2 (4 x 15.2 x 27) log 2
1
0
4.2 x 3
GIẢI
a. log2 x1 (2 x2 x 1) log x1 (2 x 1)2 4
ĐK: x>1/2.
t log 2 x 1 x 1
t log 2 x 1 x 1
PT(a) log 2 x 1 2 x 1 x 1 2log x 1 2 x 1 4 0
2
2
1 t 4 0
t 3t 2 0
t
x 2
2
x
1
x
1
log 2 x 1 x 1 1
x 2
1
2
x 0
2
2
2 x 1 x 1 4 x 5 x 0
log 2 x 1 x 1 2
5
x
4
Vậy nghiệm của phương trình là : x=2 và x=5/4.
x 0
4
1 dk : 1
b. (2 log3 x)log 9 x 3
1 log3 x
x 9 ; x 3
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Page 9
TÀI LIỆU THPT HAY
t log3 x
1
t log3 x
log3 x 1 x
PT(b)
2
3
1 4
2
t
1
log
x
4
t
3
t
4
0
3
x
81
2 t 1 t
c. log 2 (4 x 15.2 x 27) log 2
1
0.
4.2 x 3
x
x
3
4 15.2 27 0
2x
x
4
4.2 3 0
ĐK:
PT(c)
3
x 3
x
t 6 0
2
t 2
log 2 (4 15.2 27) log 2 4.2 3
4
4
t 5 0
4 x 15.2 x 27 4.2 x 3 t 2 11t 30 0
x
x
x
Vậy phương trình vô nghiệm .
Bài 7. Giải các phương trình sau :
a.
log x 2 2log 2 x 4 log
c. log x log3 9 72
x
2x
8
1
b. 16 log
27 x
2
x 3log3 x x 2 0
GIẢI
0 x 1
a. log x 2 2log 2 x 4 log 2 x 8 dk :
1 *
x
2
t log 2 x
t log 2 x
t log 2 x
PT(a) 1
log 2 x 1 x 2 . Nghiệm : x=2 .
2
3 1
2
2.
2.
t 1
1 t
1 t
t
t 1 t
1
0 x
3
b. 16 log 2 x 3log 3 x x 2 0 dk :
27 x
x 1
3 3
t log 3 x
t log 3 x
t log 3 x
log 3 x 0
x 1
8
t 0
PT(b)
.
3
t
2t
1
log 3 x
x 3
16 3 2t 3. 1 t 0
2t 3 2t 1 t 0
2t 1 0
2
Cả hai giá trị của x đều thỏa mãn điều kiện .
c. log x log3 9 x 72 1
0 x 1
0 x 1
t 3x 0
3x 8 0
x 2.
x
2
x
x
x
2
log
9
72
x
9
72
3
t
t
72
0
3
9
3
3
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Page 10
TÀI LIỆU THPT HAY
Bài 8. Cho phương trình sau :
log32 x log32 x 1 2m 1 0
1) Giải PT khi m=2
2) Tìm m để PT có nghiệm trên [1 ; 3 3 ]
GIẢI
a. Khi m=2 phương trình trở thành : log32 x log32 x 1 5 0 .
x 3 3
Đã giải ở bài 3-b ( Phương trình có nghiệm là :
.
x 3 3
b. Nếu : 1 x 3 3 log3 1 log3 x log3 3 3 0 log32 x
3
2
3
Cho nên phương trình trở thành :
t log 2 x 1 log 2 x t 2 1
3
3
t 1; 2
t 1; 2
t 1; 2 x 1;3 3
2
f '(t ) 2t 1 0
2
f (t ) t t 2 2m
t t 2m 2 0
Vậy phương trình có nghiệm khi : f (1) 2m f (2) 0 2m 4 0 m 2 .
Bài 9. Giải các phương trình sau :
a. log 2 x log x 2
5
2
c. log 2 x log 4 x log8 x
b. log2 x 64 log x2 16 3
11
2
3
2
d. 5log x x log 9 x 8log9 x2 x 2
9
x
GIẢI
1
t log 2 x
x 2
t log 2 x
log 2 x
5
2
2
a. log 2 x log x 2 1 5
2 t 0 2t 5t 2 0
x 4
log 2 x 2
t 2
Cả hai nghiệm thỏa mãn điều kiện : 0 x 1.
x2 1
1
0 x ; 1 *
b. log 2 x 64 log x2 16 3 dk :
2
0 2 x 1
1
1
t log 2 x
x 3
t log 2 x
t log 2 x
log 2 x
PT(b) 6
2
3
2
4
3t 5t 2 0
1 t 2t 3 6t 2 1 t 3t 1 t
x 4
log 2 x 2
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Page 11
TÀI LIỆU THPT HAY
x 0
x 0
t log 2 x
11
t log 2 x
log 2 x 3 x 8
c. log 2 x log 4 x log8 x t log 2 x
t
3
2
1 1 11 11 11
t t t
t
2
2
2 3
6
3
2
d. 5log x x log 9 x 8log9 x2 x 2
9
x
x 0
0 x 9
x
9
ĐK: 1; 1 1 *
x
9
x 3
2
9 x 1
1
t log 9 x
log
x
9
x 3
t log 9 x
4
t
2
2t
t
log x 1
8t 6t 1 0
x 3
5 t 1 3 1 t 8. 1 2t 2
9
2
Bài 10 . Giải các phương trình sau :
a. log 3 x log 9 3 x log 27 x
c. log 2
5
3
x 4 log 4 x 5 0
b. log 3 x log 9 x log 27 x
11
2
d. log x 2 4 log 4 x 2 9 0
GIẢI
x 0
x 0
5
1
log3 x log9 3x log 27 x t log3 x
t log3 x log3 x t x 5 3
a.
3
5
1
1 5 5t 1
t 1 t t
3 3
2
b.
x 0
x 0
log x t
11
log 3 x log 9 x log 27 x
t log 3 x
t log 3 x 3
x 33 27
2
t 3
1
11
1
11
11
t t t
t
3
2
2
2
6
c. log 2
x 4 log 4 x 5 0
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Page 12
TÀI LIỆU THPT HAY
x 0
t 2 log 2 x
t log 4 x 0 t 1 0 log 2 x 52 25 x 225
2
t 5
t 4t 5 0
0 x 1
1
0 x 1
log
x
t
2
2
x 4
2
log x 2 4log 4 x 9 0 t log 2 x
t log 2 x
1
d.
log
x
t
x 1
1
2
2
4 4
4.t 9 0 4t 9t 2 0
2
1t
2
Bài 11. Giải các phương trình sau :
a. lg x 20lg x 1 0
2
3
b. log x 3.log x 3 log x 3 0
3
x
c.
log3 x 3log3 x
3
83log 2 4
3
81
d. log 2 x 1 log x 1 64 1
GIẢI
x 0
t 1
lg x 1
x 10
1
lg
x
20
lg
x
1
0
t
lg
x
1
a.
t
lg
x
x 9 10
9t 2 10t 1 0 9
9
0 x 1
1
1
0
b. log x 3.log x 3 log x 3 0 dk : x 3
log
x
log
x
4
3
3
3
81
x 81
2
3
t log3 x
t log3 x t log3 x
1 1
log3 x 2 x 9
2
t
4
t
2
0
t t 4
83log 2 4
log3 x3 3log3 x
c.
x
3
. Lấy lo ga rít cơ số 3 hai vế , thì phương trình trở thành :
t log3 x 2
1
t log3 x
t log3 x
t log3 x
x
2
3
t
log
x
1
3
t 3t t 8 6.2 4 t 3t 2 4 0 t 2 t 2 t 2 0 t log3 x 2 x 9
3
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Page 13
TÀI LIỆU THPT HAY
1 x 0
t log 2 x 1
log 2 x 1 log x 1 64 1 t log 2 x 1 2
d.
t t 6 0
6
t 1 0
t
1
3
log 2 x 1 2 x 1 22
x
4
4
log
x
1
3
3
2
x 7
x 1 2 8
III. PHƯƠNG PHÁP –PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Ví dụ : Giải phương trình sau :
a. log 2 x 2 log 7 x 2 log 2 x.log 7 x
b. log a x log 2 x log a x.log 2 x
GIẢI
a.
log 2 x 2 log 7 x 2 log 2 x.log 7 x log 2 x log 2 x.log 7 x 2 log 7 x 2 0
log 7 x 1
x 7
log 2 x 1 log 7 x 2 log 7 x 1 0 1 log 7 x log 2 x 2 0
log 2 x 2 x 4
log a x log 2 x log a x.log 2 x log 2 x.log 2 a log 2 x log a x.log 2 x
b.
x 1
log 2 x 0
log 2 x log 2 a 1 log a x 0
log 2 a 1
log a x log 2 a 1
x a
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
a.
b.
GIẢI
a.
log 2 x. log 2 x log 2 x
1
log 2 x 1 log 3 2 log 20 2 0 log 2 x 0 x 1
log 2 3 log 2 4 log 2 20
2
1
3
Vì : 1 log 3 2 log 20 2 log 3 2 log 20 2 0
2
2
log 2 x
b.
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Page 14
TÀI LIỆU THPT HAY
- Bằng cách đổi cơ số , chuyển các hàm số logarit có trong phương trình về cùng cơ số 4 .
1 1
2
2
2
- Do : x x 1 x x 1 1 x x 1 t
t
- Do vậy , phương trình viết lại như sau :
log 4 x x 1 .log 5 4.log 4 x x 1
2
2
log 4 x x 2 1
log 4 20
1
t x x2 1 x x2 1
2
t
t x x 1
log 4 t log 4 t.log 5 4 log 20 4 0
log 4 t.log 5 4.log 4 t 1 log 4 t 0
log 4 20
log 4 t 0
t 1
log 4 t 0
log
4
log
5
20
4
log 4 t
log 4 t log 20 5
t 4 log20 5
log 5 4
log 4 20
x x2 1 1
1
2
x 0
x
x
1
1
2 x 0
t
log 20 5
log 20 5
x 1 4log20 5 4 log20 5
2
x
4
4
log
5
2
2
x x 1 4 20
log 20 5
2
x x 1 4
IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ :
Bài 1. Giải các phương trình sau :
log 12 x
5x2 5
a. 9 3
c. log
2 3
x
2
b. 2log6
2 x 2 log 2
3
x
2
2 x 3
1 2 x
x 4 x log 4 x
GIẢI
a.
9log3 12 x 5x2 5
Vì : 9log 12 x 32log 12 x 3log 12 x
3
3
3
2
2
Cho nên phương trình trở thành :
1 2 x
2
b. 2log6
1
x
2
10
2 . Vậy nghiệm là : x= 10 2 .
5x 5 x 4 x 6 0
x 2 10
2
2
x 4 x log 4 x . Điều kiện : x>0
Đặt : t log 4 x x 4t ; x 2t ; 4 x
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
2 . Phương trình trở thành :
t
Page 15
TÀI LIỆU THPT HAY
log 6 2t
t 2
2
t 2t
t 2
2
t
6t 4t 2. 2 2 2t 6t
t
t
t
t
t
2 1 t
2
2 1 1
2
2 2
f (t ) 2.
1
0
f
'(
t
)
ln
2.
ln
ln 0
3
3
3
3
3
3
3
3 3
Chứng tỏ hàm số f(t) luôn ngịch biến , theo tình chất ngịch biến và f(2)=0 .
- Khi x>2 thì f(x) f(2) =0 . Phương trình vô nghiệm .
- Vậy phương trình có nghiệm duy nhất : x=2.
c. log
2 3
x
2
2 x 2 log 2
t log
x2 2x 2
2 3
x 2 x 3
3
2
log 2 3 x 2 x 3 t
2
x2 2x 3 2 3 t
t
1
t 2 3
2
x 2x 2 2 3
t
2 3
t
t
t
2 3
1
f (t )
1 0
2 3 2 3
t
2 3 2 3
1
1
f '(t )
ln
ln
0.
2 3 2 3 2 3 2 3
Chứng tỏ hàm số f(t) luôn ngịch biến , theo tình chất ngịch biến và f(2)=0 .
- Khi x>2 thì f(x) f(2) =0 . Phương trình vô nghiệm .
- Vậy phương trình có nghiệm duy nhất : x=2.
Bài 2. Giải các phương trình sau :
a. log7 x log3
x 2
2
c. 2 x 6 x 2 log 2
x2 x 3
2
x 3x 2
2
2x 4x 5
b. log 3
2x 1
x 1
d.
2
GIẢI
a.
log 7 x log3
t log 7 x
x 7t
x 2
t
log
x
2
t
x
2
3
3
t
t
7
1
t
7 2 3 f (t ) 2. 1 0
3
3
t
t
t
7 7
1 1
f '(t )
ln
2. ln 0 .
3 3
3 3
Chứng tỏ hàm số f(t) luôn ngịch biến , theo tình chất ngịch biến và f(2)=0 .
- Khi x>2 thì f(x) f(2) =0 . Phương trình vô nghiệm .
- Vậy phương trình có nghiệm duy nhất : x=2.
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Page 16
TÀI LIỆU THPT HAY
b. 2 x 2 6 x 2 log 2
2x 1
x 1
2
log 2 2 x 1 log 2 x 2 2 x 1
2 x 2 6 x 1 log 2 2 x 1 log 2 x 2 2 x 1 1 log 2 2 x 1 log 2 2 x 2 4 x 2
2 x 2 4 x 2 log 2 2 x 2 4 x 2 2 x 1 log 2 2 x 1
Xét hàm số : f (t ) log 2 t t f '(t )
1
1 0
t ln 2
Chứng tỏ hàm f(t) luôn đồng biến . Do vậy để f(a)=f(b) chỉ xảy ra khi và chỉ khi : a=b . Hay b
3 2 2
x
2
a=0 . 2 x 2 6 x 2 0 x 2 3x 1 0
3 2 2
x
2
2
x x3
2
2
2
2
c. log 3 2
x 3 x 2 log 3 x x 3 log 3 2 x 4 x 5 x 3x 2
2x 4x 5
Nhận xét : 2 x2 4 x 5 x 2 x 3 x 2 3x 2 . Cho nên giống như bài tập trên , ta xét một
hàm số đặc trưng : f (t ) log 3 t t f '(t )
1
1 0
t ln 3
Chứng tỏ hàm f(t) luôn đồng biến . Do vậy để f(a)=f(b) chỉ xảy ra khi và chỉ khi : a=b . Hay b x 1
x 2
a=0 . x 2 3x 2 0
d.
t
t
t
t log 5 x
x 5
5
1
t
t
5 2 7 f (t ) 2. 1 0
t
7
7
log 7 x 2 t
x 2 7
t
t
5 5
1 1
Ta có : f '(t ) ln 2. ln 0 . Chứng tỏ hàm số f(t) luôn ngịch biến .Mặt khác ta
7 7
7 7
lại có f(1) = 0 . Nên ta xét :
- Khi x>1 thì f(x)< f(1) =0 . Phương trình vô nghiệm
- Khi x<1 thì f(x)>f(1) =0 . Phương trình vô nghiệm .
- Vậy phương trình có nghiệm duy nhất : x=1 .
Bài 3. Giải các phương trình sau :
2
a. x 1 log 1 x 2 x 5 log 1 x 6 0
2
c. log
2
3
b. log3 x 2 x 1 log3 x 2 x x 2
2
x 1 x 5 log3 x 1 2 x 6 0
GIẢI
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Page 17
TÀI LIỆU THPT HAY
t log 1 x
2
x 0
t 4
x 1 log 21 x 2 x 5 log 1 x 6 0 t log 1 x
a.
2
2
2
6
x 1 t 2 2 x 5 t 6 0 t
x 1
4
- Khi t=-4 thì : log 1 x 4 log 2 x 4 x 2 16
2
- Khi : log 1 x t
2
Suy ra : f '( x)
6
6
6
log 2 x
f ( x) log 2 x
0.
x 1
x 1
x 1
1
6
0x 0 . Chứng tỏ hàm số f(x) luôn đồng biến . Do đó phương
x ln 2 x 12
trình còn một nghiệm x0 nữa ( nó là duy nhất ) . Vậy phương trình có hai nghiệm là : x=16 và
x= x0
b. log3 x x 1 log3 x 2 x x .
2
2
Thêm -1 vào hai vế của phương trình :
log3 x2 x 1 log3 x 1 2 x x2 1 log3 x2 x 1 log3 3x 2 x x 2 1
2
2
Nếu đặt : a x x 1; b 3x b a 2 x x 1 . Khi đó phương trình có dạng :
log3 a log3 b b a log3 a a log3 b b f (a) f (b)
Xét hàm số f (t ) log 3 t t f '(t )
1
1 0 t R
t ln 3
Chứng tỏ hàm f(t) luôn đồng biến . Vậy để f(a)=f(b) chỉ xảy ra khi và chỉ khi a=b , hay b2
2
a=0 : 2 x x 1 0 x 2 x 1 0 x 1 .
Tóm lại : phương trình có nghiệm duy nhất là : x=1.
c. log3 x 1 x 5 log3 x 1 2 x 6 0
2
t log 3 x 1
log 3 x 1 2
x 8
t log 3 x 1
2
t 2
f ( x) log 3 x 1 x 3 0
t 3 x
log 3 x 1 3 x
t x 5 t 2 x 6 0
1
1 0 x 1 . Chứng tỏ hàm số f(x) luôn đồng biến trên miền x>-1.
x ln 3
Mặt khác ta lại có f(2)=0 . Cho nên :
- Khi x>2 , do tính chất đồng biến nên f(x)>f(2)=0 . Do đó phương trình vô nghiệm .
- Khi x<2 , do tính chất đồng biến nên f(x)-3.
x 3
x 3
log
x
3
log
ax
(1)
.
2
2
3
3
x 3 ax
x 6 a x 9 0
Để phương trình có nghiệm duy nhất thì xảy ra 2 khả năng :
1/ Phương trình có nghiệm kép lớn hơn -3
ĐS: a<0 hoặc a=12
6 a 2 36 0
a 2 12a 0
a 12
b a6
a
0
x
3
0
2a
2
2/ Phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn : x1 3 x2
a 2 12 0
a0
f (3) 3a 0
Vậy : Để phương trình có nghiệm duy nhất thì a<0 hoặc a=12.
Bài 2. Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất :
log x 2 4ax log
1
0
2 x 2a 1
Giải
1
Điều kiện : 2x-2a-1>0 x a *
2
1
x a
PT trở thành : log x 4ax log 2 x 2a 1
2
2
x 2 2a 1 x 2a 1 0
2
Như bài 1 ta có 2 trường hợp :
1/ Phương trình có nghiệm kép lớn hơn -3
' 2a 12 2a 1 0
4a 2 6a 0
a0
1
b
1
a
x
1
2
a
a
0
6
2a
2
2/ Phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn : x1 3 x2
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Page 20
- Xem thêm -
.PDF 
23 
776 
56 
