ĐỀ VẬN DỤNG CAO TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA
ĐỀ VẬN DỤNG CAO TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA
Đề gồm 5 trang, 20 câu vận dụng cao
Thời gian làm bài: 90 phút
P/s. Có vài câu đề không phù hợp lắm chỉ mang tính tham khảo, mọi người có thể bỏ qua!
Câu 1. Cho hàm số f x liên tục trên 0; 5 và có đồ thị như hình vẽ dưới.
y
4
3
2
1
O
1
2
5
3
x
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình
Nghiệm đúng với mọi
2019 m
x 0; 5 ?
A. 2014
B. 2015
f 2 x f x 1 3x 10 2 x
C. 2016
D. 2017
Câu 2. Cho f ' x .2 f x f x f ' x .x 4x . Biết đồ thị hàm số f x đồng biến trên tập
R, f 0 0 . Tìm nghiệm của phương trình cos 3 f x 4x 3 3x trên khoảng 0; .
A.
2
B. 0
C.
3
D.
Câu 3. Cho lăng trụ đứng ABC .A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác cân tại A, ABC , góc
giữa BC ' và ( ABC ) bằng . Gọi I là trung điểm của AA '. Biết rằng BIC 90 0. Tính giá trị
TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC
của biểu thức S tan 2 tan 2 .
5
D. S 1
2
Câu 4. Cho đồ thị của hàm số f x , F x , f ' x 1 như hình vẽ. Tính giá trị của tích phân
A. S 2
B. S
3
2
C. S
f 0 f 1.5
sin 3 x.cos xdx ?
f ' 1 F 1.5
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton
Tạp chí và tư liệu toán học | 1
HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
y
2
3
1
2
O
13 2
2
3
x
1
3
A. 0
B. 1
C. 3
D. 4
1
x3
Câu 5. Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình x x 6 4x 5 16x 4 mx 2
4
2
2
8
đúng với mọi số thực x không âm?
B. 9
A. 10
C. 8
D. 7
Câu 6. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân cạnh huyền bằng
6. Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm của tam giác
ABC . Tổng bán kính của ba mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB, S.HBC , S.HCA bằng
144 . Thể tích hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?
4 2
3
x2 y3 z3
Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;1; 4 và đường thẳng d :
.
2
2
1
Điểm M chạy trên đường thẳng d và điểm N nằm trên tia đối của tia MA sao cho
A. 4 2
B.
2 3
3
C. 2 3
D.
2
. Gọi M là điểm
3
thay đổi trên CD , gọi là mặt phẳng đi qua M , song song với AC và SD . Xác định và
đường kính AD 2 a ; SD a 3 , góc giữa SD và AC là với sin
tính diện tích thiết diện khi cắt hình chóp S.ABCD . Tìm giá trị lớn nhất Smax của diện
tích thiết diện đó.
3a2
5
2 a2 3
a2 3
A. Smax
B. Smax
C. Smax
5
5
Câu 9. Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ
2 | Chinh phục olmypic toán
D. Smax
4 a2
5
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN
AM . AN 12 . Quỹ tích điểm N là đường cong có độ dài bằng bao nhiêu?
2
4
A.
B.
D.
C.
3
3
3
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn
ĐỀ VẬN DỤNG CAO TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA
y
5
y
17
5
3
y
3
2
1
x
O
Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để phương trình sau có nghiệm là bao nhiêu?
e
A. 3
f 3 x 2 f 2 x 7 f x 5
1
ln f x
m?
f x
C. 5
B. 4
D. 6
Câu 10. Cho 3 số thực x , y , z 1; 3 và thỏa mãn đồng thời xyz 9 . Giá trị lớn nhất của
biểu thức T x 2 y 2 z 2 2 x log 3 x y log 3 y z log 3 z là bao nhiêu?
A. 9 3 3 4 3 9
C. 8 3 3
B. 7
D. 9
Câu 11. Cho hàm số f x x 1 .P x , là một đa thức bậc 3, tất cả các hệ số đều là số
P 10
nguyên không âm, nhỏ hơn 3. Tìm số chữ số của 2019 , biết rằng f 9 3178
A. 3343.
B. 3344.
Câu 12. Cho f x liên tục trên
C. 3345.
D. 3346.
thỏa mãn f ' x 2 x f x . Biết f 2 10; f 1 5 .
2
x
Tính
f ' x dx
1
f x
6
6
A. ln 2
B. ln 2
5
5
Câu 13. Cho hàm số f x liên tục trên
2
4
ln 2
5
và có đồ thị như hình vẽ.
D.
4
ln 2
5
TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC
C.
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton
Tạp chí và tư liệu toán học | 3
HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
y
1
O
1
2
x
2
3
4
Tổng tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình
9.6
Đúng với mọi x
A. 10
f x
4 f 2 x .9 x m2 5m .4
f x
là?
B. 4
C. 5
D. 9
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 1; 1;0 , B a; b; c .Gọi
M , N , P lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng
P : x 2y 2 0
, Q : y z 2 0 , R : x y 2 z 1 0 sao cho AM 2 MN NP PB . Giá trị của biểu
thức T a b c tương ứng bằng
28
17
31
B.
C.
D.
A. 5
5
5
5
Câu 15. Khối H được tạo thành là phần chung khi giao nhau hai khối nón có cùng chiều
cao h, có các bán kính đường tròn đáy lần lượt là R và r sao cho đỉnh của khối nón này
1
2
biết rằng R và r thoả mãn phương trình X 2 x y X xy 0 x , y .
2
1
1
1
A.
B.
D.
h
h
h
C. h
48
16
12
Câu 16. Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ dưới
4 | Chinh phục olmypic toán
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN
trùng với tâm đường tròn đáy của khối nón kia. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối H ,
ĐỀ VẬN DỤNG CAO TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA
y
6
2
4
x
2
O
2
4
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
A. 2
B. 3
1
3
4
f
sin sin x m có nghiệm?
3
3
D. 5
C. 4
Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lăng trụ ABC . A1 B1C 1 có tọa độ các
đỉnh A 1; 0; 2 , B 2; 1; 0 , C 3; 2; 2 và A1 1; 2; 3 . Gọi M là một điểm trên mặt phẳng
A1 B1C1 . Diện tích toàn phần
trị nào sau đây?
A. 10
Stp của tứ diện MABC có giá trị nhỏ nhất gần nhất với giá
B. 12
C. 11
D. 13
Câu 18. Cho a là số thực, phương trình z2 a 2 z 2 a 3 0 có 2 nghiệm z1 , z2 . Gọi
M , N là điểm biểu diễn của z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ. Biết tam giác OMN có một góc
TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC
bằng 120 , tính tổng các giá trị của a .
A. 6
B. 6
C. 4
D. 4
Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn z 2 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 z 1 2 z 1 z z 4i ?
A. 4 2 3
B. 2 3
C. 4
14
15
D. 2
7
15
Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi H là phần mặt phẳng chứa các điểm biểu
diễn các số phức z thỏa mãn
Tính diện tích S của H .
A. S 32 6
16
z
và
có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn 0; 1 .
16
z
B. S 16 4
C. 256
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton
D. 64
Tạp chí và tư liệu toán học | 5
HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
HƯỚNG DẪN GIẢI
1. A
2. A
3. D
4. A
5. A
6. C
7. D
8. A
9. B
10. B
11. C
12. D
13. A
14. B
15. A
16. C
17. B
18. B
19. A
20. A
Câu 1. Cho hàm số f x liên tục trên 0; 5 và có đồ thị như hình vẽ dưới.
y
4
3
2
1
O
1
5
3
2
x
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình
2019 m
Nghiệm đúng với mọi x 0; 5 ?
A. 2014
f 2 x f x 2 1 3x 10 2 x
B. 2015
C. 2016
D. 2017
Để bất phương trình đúng với mọi x 0; 5 thì ta cần có
2019 m max
0 ;5
f 2 x f x 2 1
3x 10 2 x
3x 10 2 x 3 x 2 5 x
Theo Cauchy – Schwarz ta có
3 2 x 5 x 5
Dấu ”=” xảy ra khi x 3 . Nhìn vào đồ thị ta thấy rằng f x 1 dấu ”=” xảy ra khi và chỉ
Ta có
3x 10 2 x
5
5 m 2014
f x f x 1
x f x 1
Câu 2. Cho f ' x .2 f x f x f ' x .x 4x . Biết đồ thị hàm số f x đồng biến trên tập
R, f 0 0 . Tìm nghiệm của phương trình cos 3 f x 4x 3 3x trên khoảng 0; .
A.
f
2
2
2
B. 0
C.
3
D.
Ta có f ' x .2 f x f x f ' x .x 4x f x x. f x 2 x 2 c .
2
Mặt khác f 0 0 c 0 f x x. f x 2 x 2 0 1
2
Có x 2 4.2 x 2 9 x 2 .
6 | Chinh phục olmypic toán
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN
khi x 3 x 1 x 5 .
ĐỀ VẬN DỤNG CAO TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA
x 3x
x
f 1 x
2
1
Ta tìm được 2 nghiệm của phương trình là
.
f x x 3x 2 x
2
2
Mà hàm số f x đồng biến trên tập R nên f x x .
cos 3 f x 4x 3 3x 4 cos 3 f x 3 cos f x 4x 3 3x 4 cos 3 x 3 cos x 4x 3 3x .
Ta có h x 4 cos x 3 3 cos x h ' x sin x 12 cos x 2 3 luôn đồng biến trên 0;
Hàm số g x 4x 3 3x 12 x 2 3 luôn đồng biến trên tập R nên để g x h x thì
cos x x
Ta có y cos x x y ' sin x 1
y ' 0 sin x 1 0 sin x 1 x k k
2
x
2
Chọn ý A.
Câu 3. Cho lăng trụ đứng ABC .A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác cân tại A, ABC , góc
giữa BC ' và ( ABC ) bằng . Gọi I là trung điểm của AA '. Biết rằng BIC 90 0. Tính giá trị
của biểu thức S tan 2 tan 2 .
A. S 2
3
2
A'
B. S
C. S
5
2
B'
I
C'
A
TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC
D. S 1
B
M
C
Vì CC ' ABC nên BC ', ABC CBC ' Gọi M là trung điểm của BC .
Ta có AM BC . Đặt BC x thì AA ' BB ' CC ' x tan và AB AC
x
2 cos
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AIB ta có
2
2
x2
x tan x
IB2 IA2 AB2
tan 2 tan 2 1 .
4
2 2 cos
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton
Tạp chí và tư liệu toán học | 7
HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Vì BC AM , BC IA BC IAM BC IM. Do đó tam giác IBC vuông cân tại I .
Suy ra BI 2
1
1
BC 2 x 2 . Từ đó suy ra
2
2
x2
1
tan 2 tan 2 1 x 2 S tan 2 tan 2 1.
4
2
Câu 4. Cho đồ thị của hàm số f x , F x , f ' x 1 như hình vẽ. Tính giá trị của tích phân
f 0 f 1.5
sin 3 x.cos xdx ?
f ' 1 F 1.5
y
2
3
1
2
13 2
2
O
x
3
1
3
A. 0
C. 3
B. 1
D. 4
Đồ thị hàm số 1 cực đại khi x 2 nên 2 là đồ thị của đạo hàm hàm số 1 .
Chuyển dịch đồ thị hàm số 3 sang phải 1 đơn vị ta thấy có cắt trục Ox tại x 1 , đồng
thời tại đó đồ thị hàm số 2 cực đại 3 là đồ thị của đạo hàm 2 .
Suy ra đồ thị hàm số 1 , 2 , 3 lần lượt là đồ thị hàm số F x , f x , f ' x 1 .
Ta có f 0 f 1.5 f ' 1 F 1.5
f 0 f 1.5
sin 3 x.cos xdx 0
f ' 1 F 1.5
1
x3
Câu 5. Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình x x 6 4x 5 16x 4 mx 2
4
2
2
8
đúng với mọi số thực x không âm?
A. 10
B. 9
C. 8
D. 7
Ta có yêu cầu bài toán tương đương với:
1
1
x 8 x 6 4x 5 16x 4 m2 x 4 mx 5 x 6 , x 0
4
4
8
5
2
4
x m 4 x 16 m x , x 0 x 4 m 4 x 16 m2 0, x 0
Vì 1 đúng với mọi x 0 nên đúng với x 0 . Thay x 0 vào 1 ta có
8 | Chinh phục olmypic toán
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN
Chọn ý A.
ĐỀ VẬN DỤNG CAO TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA
16 m2 0 m 4; 4
Ngược lại với m 4; 4 , xét hàm số f x x 4 m 4 x 16 m2 ta có
f ' x 4x 3 m 4 ; f ' x 0 x
3
m 4
4
m 4
Khi đó min f x f 3
, vậy 1 tương đương
0;
4
4
m4
m4
m4
3
f 3
0
16 m 2 0 m 4, , 3
m 4 3
4
4
4
Câu 6. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân cạnh huyền bằng
6. Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm của tam giác
ABC . Tổng bán kính của ba mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB, S.HBC , S.HCA bằng
144 . Thể tích hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?
A. 4 2
B.
2 3
3
C. 2 3
D.
4 2
3
B
3
1
3 2
M
H
2
45
C
A
Ta có HB HC 12 32 10 sin HBM
1
10
Ba hình chóp S.HAB, S.HBC , S.HCA cùng có dạng cạnh bên SH vuông góc với các đáy
TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC
HAB , HBC , HCA . Bán kính đường tròn đáy lần lượt là
HC
Rd HBC
Rd HAB Rd HAC
2 sin HBM
10
5
1
2
10
HB
2 sin HAB
Tổng diện tích ba mặt cầu là
10
5
2 sin 45
2
2
2
h2
h2
h2
144 4 Rd HAB 4 Rd HBC 4 Rd HCA
4
4
4
2
2
h2
h2
h2
144 4 5 4 52 4 5 h 2 2
4
4
4
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton
Tạp chí và tư liệu toán học | 9
HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Thể tích khối chóp là VSABC
1 3 2
3
2
2
2
2 3
3
x2 y3 z3
.
2
2
1
Điểm M chạy trên đường thẳng d và điểm N nằm trên tia đối của tia MA sao cho
Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;1; 4 và đường thẳng d :
AM . AN 12 . Quỹ tích điểm N là đường cong có độ dài bằng bao nhiêu?
2
4
A.
B.
D.
C.
3
3
3
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d , dễ dàng tìm được H 0; 1; 2 .
Dựng một đường thẳng vuông góc với AN tại N cắt AH tại K . Khi đó hai tam giác
vuông AHM và ANK đồng dạng với nhau.
AM.AN 12
4
AH
3
4
1 5 4
Suy ra điểm K cố định và thỏa mãn: AK AH K ; ;
3
3 3 3
AH . AK AM . AN 12 AK
Nhận thấy rằng N mp A , d ; ANK 90; AN AM quỹ tích điểm N là cung tròn
giới hạn bởi đường thẳng d và đường tròn đường kính AK (nằm trong mặt phẳng chứa
A và d ).
Độ dài đường cong chứa N chính là độ dài cung tròn PQ như hình vẽ.
A
2
I
1
P
1
H M
Q
N
K
120
120
4
.
.2 .R
.2 .2
360
360
3
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn
2
đường kính AD 2 a ; SD a 3 , góc giữa SD và AC là với sin . Gọi M là điểm
3
thay đổi trên CD , gọi là mặt phẳng đi qua M , song song với AC và SD . Xác định và
Độ dài cung PQ là PQ
tính diện tích thiết diện khi cắt hình chóp S.ABCD . Tìm giá trị lớn nhất Smax của diện
tích thiết diện đó.
10 | Chinh phục olmypic toán
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN
Ta có: IH 1, IP IQ 2 . Suy ra: HIP HIQ 60 PIQ 120
ĐỀ VẬN DỤNG CAO TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA
A. Smax
3a2
5
B. Smax
2 a2 3
5
S
C. Smax
a2 3
5
D. Smax
R
P
Q
F
K
A
4 a2
5
D
N
E
O
B
M
C
Kẻ MN //AC N AB ; NP//SD P SA ; MQ//SD Q SC .
Gọi O AC BD ; E MN BD ; F PQ SO ; R EF SD .
Khi đó thiết diện cần tìm là ngũ giác MNPRQ , trong đó tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Nhận thấy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD 2 a
ACD 90
OB BC 1
BO 1
.
AC a 3 và
OD AD 2
BD 3
BC CD a
DM
0 x 1 . Khi đó MN x.AC , MQ 1 x .SD .
DC
Suy ra SMNPQ MN .MQ.sin x 1 x .SD. AC.sin
Đặt x
OK BO 1
1
OK SD .
SD BD 3
3
FR SF DE DM
x
Lại có
x FR x.OK SD
OK SO DO DC
3
Do góc giữa RE và PQ bằng nên
TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC
Dựng OK //SD K SB
1
1
x2
PQ.RF.sin MN .RF.sin SD.AC.sin
2
2
6
5x
SMNPQ SPRQ x 1 .SD.AC.sin * .
6
SPRQ
Vậy SMNPRQ
2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
Từ * suy ra SMNPRQ
5x
5x 1 5 x
5x
1
5x 3
1 1 x1
6
6 4 6
6
4
6 10
3
3
2 3a2
.SD.AC.sin .a 3.a 3.
10
10
3
5
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton
Tạp chí và tư liệu toán học | 11
HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
5x
5x
3
1
x .
6
6
5
3a2
5
Câu 9. Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ
y
Vậy Smax
5
y
17
5
3
y
3
2
1
x
O
Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để phương trình sau có nghiệm là bao nhiêu?
e
A. 3
f 3 x 2 f 2 x 7 f x 5
1
ln f x
m?
f x
C. 5
B. 4
D. 6
Nhìn đồ thị ta thấy rằng 1 f x 5 , đặt t f x , giả thiết trở thành
et
3
2 t 2 7 t 5
1
ln t m
t
Xét g t t 3 2t 2 7t 5, g ' t 3t 2 4t 7 0t 1 g 1 g t g 5 1 g t 145
Để phương trình đầu có nghiệm thì e ln 2 m e 145 ln
26
5
Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của m là 4
Câu 10. Cho 3 số thực x , y , z 1; 3 và thỏa mãn đồng thời xyz 9 . Giá trị lớn nhất của
biểu thức T x 2 y 2 z 2 2 x log 3 x y log 3 y z log 3 z là bao nhiêu?
A. 9 3 3 4 3 9
B. 7
C. 8 3 3
D. 9
Ta có x 2 x 1 log 3 x 1 x 1 x 2 log 3 x 1
2
Khảo sát hàm số f x x 2 log 3 x 1 trên đoạn 1; 3 ta có
f ' x 1
2
2
2
2
2
0x
; f 1 f 3 0; f
2 log 3
1 0, 27
x ln 3
ln 3
ln 3 ln 3
ln 3
12 | Chinh phục olmypic toán
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN
1
1
26
Mặt khác h t t , h ' t 1 2 0t 1; 5 2 h t
t
t
5
3
2
1
Vậy hàm u t et 2 t 7 t 5 ln t đồng biến với x 1; 5
t
ĐỀ VẬN DỤNG CAO TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA
f x x 2 log 3 x 1 0x 1; 3
x 2 2 x 1 log 3 x 1 x 1 x 2 log 3 x 1 0x 1; 3
x 2 2 x log 3 x 2 log 3 x 1
T x 2 2 x log 3 x y 2 2 y log 3 y z 2 2 z log 3 z 2 log 3 x log 3 y log 3 z 3
T 2 log 3 xyz 3 2 log 3 9 3 7
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 số bằng 3 và một số bằng 1.
Câu 11. Cho hàm số f x x 1 .P x , là một đa thức bậc 3, tất cả các hệ số đều là số
P 10
nguyên không âm, nhỏ hơn 3. Tìm số chữ số của 2019 , biết rằng f 9 3178.
A. 3343.
B. 3344.
C. 3345.
D. 3346.
Đặt P x ax bx cx d. (Với a , b , c , d là các số nguyên dương)
3
2
Suy ra f x x 1 P x ax 4 a b x 2 b c x 2 c d x d
f x 4 ax 3 3 a b x 2 2 b c x c d .
Vì f 9 0 kết hợp với điều kiện a , b , c , d không âm ta có thể chọn được:
a 1;b 0;c 1; d 0. Từ đó suy ra P 10 1012.
P 10
Vậy nên số chữ số của 2019 là 1012.log 2019 1 3345.
Câu 12. Cho f x liên tục trên
thỏa mãn f ' x 2 x f x . Biết f 2 10; f 1 5 .
2
x
Tính
f ' x dx
1
f x
6
6
A. ln 2
B. ln 2
5
5
2
2
x
Xét I
1
f x
2
C.
4
ln 2
5
D.
4
ln 2
5
u x 2
du 2 xdx
f ' x dx . Đặt
f ' x
1
dv f x 2 dx v f x
2
TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC
2 2x
2 2x
x2
1
I
dx
dx
f x 1 1 f x
5 1 f x
Có f ' x 2 x f x
2
1
f ' x
f x
2 f ' x
2 2x
2
2x
1
dx
dx dx
1 f x
1 f x
1
f x
2
2x
ln 10
4
dx 1 ln f x 1
1 ln 2 I ln 2
1
f x
ln 5
5
Chọn ý D.
Câu 13. Cho hàm số f x liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ.
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton
Tạp chí và tư liệu toán học | 13
HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
y
1
O
1
x
2
2
3
4
Tổng tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình
9.6
Đúng với mọi x
f x
4 f 2 x .9 x m2 5m .4
là?
C. 5
B. 4
A. 10
f x
Đặt t f x . Quan sát đồ thị ta thấy f x 2x
D. 9
t 2
Bất phương trình đã cho được viết lại như sau
t
2t
3
3
9.6t 4 t 2 .9t m2 5m .4t , t 2 9 4 t 2 m2 5m
2
2
t
3
3
Xét hàm số g t 9 4 t 2
2
2
t
2t
2t
2t
3
3
3
3
3
Có g ' t 9. . ln 2t. 2 4 t 2 . ln 0, t 2
2
2
2
2
2
Từ đó suy ra max g t g 2 4
; 2
Vì m m 1; 2; 3; 4 nên tổng tất cả các giá trị của tham số m là 10.
Chọn ý A.
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 1; 1;0 , B a; b; c .Gọi
M , N , P lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng
P : x 2y 2 0
, Q : y z 2 0 , R : x y 2 z 1 0 sao cho AM 2 MN NP PB . Giá trị của biểu
thức T a b c tương ứng bằng
28
B.
A. 5
5
14 | Chinh phục olmypic toán
C.
17
5
D.
31
5
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN
Yêu cầu bài toán tương đương với m2 5m 4 1 m 4
ĐỀ VẬN DỤNG CAO TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA
B a; b ; c
A 1; 1;0
M
N
P
Ta có thể đặt AM 2 MN NP PB 2 d AM NP PB 2 d, MN d
5x A 2 x B 2 a 5
x M 5 2 7
MA 2 d
5y 2 y B 2b 5
5 MA 2 MB 0 y M A
Nhận thấy
52
7
MB 5d
5 z A 2 zB 2 c
zM 5 2 7
2a 5
2b 5
Lại có M P x M 2 y M 2 0
2.
2 0 2 a 4b 1 0
7
7
4 x A 3x B 3 a 4
xN 4 3 7
NA 3d
4 y 3 y B 3b 4
4 NA 3NB 0 y N A
Tương tự:
43
7
NB 4 d
4 zA 3 zB 3c
zN 4 3 7
3b 4 3c
2 0 3b 3c 10 0
7
7
3x A 4 x B 4 a 3
xP 3 4 7
PA 4 d
3 y 4 y B 4b 3
3 PA 4 PB 0 y P A
Tương tự:
34
7
PB 3d
3 z A 4 z B 4c
zP 3 4 7
Lại có N Q y N zN 2 0
4 a 3 4b 3
4c
2. 1 0 4 a 4b 8c 7 0
7
7
7
34
53
49
Giải hệ 1 , 2 , 3 suy ra: a ; b ; c
15
60
20
28
Suy ra T a b c .
5
Câu 15. Khối H được tạo thành là phần chung khi giao nhau hai khối nón có cùng chiều
TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC
Lại có P R xP y P 2 zP 1 0
cao h, có các bán kính đường tròn đáy lần lượt là R và r sao cho đỉnh của khối nón này
trùng với tâm đường tròn đáy của khối nón kia. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối H ,
1
2
biết rằng R và r thoả mãn phương trình X 2 x y X xy 0 x , y .
2
1
1
1
A.
B.
D.
h
h
h
C. h
48
16
12
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton
Tạp chí và tư liệu toán học | 15
HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
R
r
Giả sử R r . Ta có hình minh hoạ như trên.
Gọi a là bán kính đường tròn giao tuyến, b là khoảng cách từ tâm đường tròn giao tuyến
đến tâm đường tròn có bán kính R.
Sử dụng các tam giác đồng dạng, ta suy ra
Mặc khác V H
a b
r h
R
b
Rh
r
Rr
b
a b
.
a
h
b
r
h
b
R
r
h
R
r
R
h
1
1
1
a2 b a2 h b a 2 h .
3
3
3
Xét phương trình ẩn X : X 2 x y X xy 0 x , y 0 có
2
X x y 4xy 2 xy
4
4
4xy 0, x , y
1
2
2
1
SX x y 0
Theo vi-ét:
, x , y
2
PX xy 0
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm dương phân biệt là R và r.
x y
xy
Rr
1
1
4
, x , y .
2
2
R r x y
2
x y 4
2
Suy ra V( H )
1
1 1
1
1
ha2 h
h , x , y .
3
3 4
48
2
1
1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y . Vậy max V H
h .
2
48
Câu 16. Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ dưới
16 | Chinh phục olmypic toán
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN
Theo bất đẳng thức AM – GM , a
2
ĐỀ VẬN DỤNG CAO TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA
y
6
2
4
2
O
x
2
4
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
A. 2
Vì 0 sin x 1 0
B. 3
1
3
4
f
sin sin x m có nghiệm?
3
3
C. 4
D. 5
sin x .
3
3
Trên đoạn 0; hàm số sin luôn tăng nên suy ra sin 0 sin sin x sin
3
3
3
3
4
Hay 0 sin sin x
sin sin x 0; 2
3
3
2
3
1 4
4
Nhìn vào đồ thị ta thấy f
sin sin x ; 2
3 3
3
3
4
m2
3
Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lăng trụ ABC . A1 B1C 1 có tọa độ các
TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC
Để phương trình đầu có nghiệm thì
đỉnh A 1; 0; 2 , B 2; 1; 0 , C 3; 2; 2 và A1 1; 2; 3 . Gọi M là một điểm trên mặt phẳng
A1 B1C1 . Diện tích toàn phần
trị nào sau đây?
A. 10
Stp của tứ diện MABC có giá trị nhỏ nhất gần nhất với giá
B. 12
C. 11
D. 13
Ta có ABC : x y z 3 0; d A1 ; ABC 3 ; AB 6 ; AC 2 2 ; BC 14
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng ABC . Theo pytago và công thức
diện tích ta có Stp SABC SMAB SMCB SMCA
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton
Tạp chí và tư liệu toán học | 17
HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
6. a 2 3 14. b 2 3 8. c 2 3
2 3
2
6 a 2 18 14b 2 42 8c 2 24
2 3
2
2 3
6 a 14b 8c
2
18 42 24
2
2
Trong đó a , b , c lần lượt là khoảng cách từ H đến các cạnh AB, BC , CA và
6 a 14b 8c 2SABC 4 3
Câu 18. Cho a là số thực, phương trình z2 a 2 z 2 a 3 0 có 2 nghiệm z1 , z2 . Gọi
M , N là điểm biểu diễn của z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ. Biết tam giác OMN có một góc
bằng 120 , tính tổng các giá trị của a .
A. 6
B. 6
C. 4
D. 4
Vì O , M , N không thẳng hàng nên z1 , z2 không đồng thời là số thực, cũng không đồng
thời là số thuần ảo z1 , z2 là hai nghiệm phức, không phải số thực của phương trình
z2 a 2 z 2 a 3 0 . Do đó, ta phải có: a 2 12 a 16 0 a 6 2 5 ; 6 2 5 .
2a
a 2 12 a 16
i
z1
2
2
Khi đó, ta có
.
2a
a 2 12 a 16
i
z1 2
2
OM ON z1 z2 2 a 3 và MN z1 z2 a 2 12 a 16 .
Tam giác OMN cân nên MON 120
OM 2 ON 2 MN 2
cos 120
2OM.ON
a2 8a 10
1
a2 6 a 7 0 a 3 2
2 2a 3
2
Suy ra tổng các giá trị cần tìm của a là 6 .
Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn z 2 .
C. 4
B. 2 3
A. 4 2 3
Gọi z x yi, x , y
. Theo giả thiết, ta có
Suy ra 2 x , y 2 .
Khi đó, P 2 z 1 2 z 1 z z 4i 2
P2
x 1
2
y2
1 x
D. 2
7
15
z 2 x2 y 2 4 .
x 1
2
14
15
2
y2
y2 y 2
x 1
2
y2 y 2
2 2 1 y
2
2y .
Dấu “ ” xảy ra khi x 0 .
18 | Chinh phục olmypic toán
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 z 1 2 z 1 z z 4i ?
ĐỀ VẬN DỤNG CAO TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA
Xét hàm số f y 2 1 y 2 2 y trên đoạn 2; 2 , ta có
f y
2y
1 y
2
1
2y 1 y2
1 y
2
; f y 0 y
1
.
3
1
Ta có f
2 3 ; f 2 4 2 5 ; f 2 2 5 .
3
1
Suy ra min f y 2 3 khi y
.
2 ; 2
3
Do đó P 2 2 3 4 2 3 . Vậy Pmin 4 2 3 khi z
1
i.
3
Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi H là phần mặt phẳng chứa các điểm biểu
diễn các số phức z thỏa mãn
Tính diện tích S của H .
A. S 32 6
Giả sử z x yi x , y
Vì
z
16
và
có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn 0; 1 .
16
z
B. S 16 4
.Ta có
16 y
y
16x
16
16
z
x
2
2
i.
i;
2
16 16 16
x y2
x yi x y
z
16
z
và
có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn 0; 1 nên
16
z
0
0
0 x 16
0 x 16
y
x
0 y 16
1; 0
1
0 y 16
16
16
.
2
2
2
2
16 y
16 x
x
8
y
64
0
16
x
x
y
1; 0 2
1
x2 y2
x y2
0 16 y x 2 y 2
x 2 y 8 2 64
y
16 C
TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC
D. 64
C. 256
B
E
I
16
O
J
A
x
Suy ra H là phần mặt phẳng giới hạn bởi hình vuông cạnh 16 và hai hình tròn C 1 có
tâm I 1 8; 0 , bán kính R1 8 và C 2 có tâm I 2 0; 8 , bán kính R2 8 .
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton
Tạp chí và tư liệu toán học | 19
HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Gọi S là diện tích của đường tròn C 2 .
1
1
1
Diện tích phần giao nhau của hai đường tròn là: S1 2 S SOEJ 2 ..82 .8.8 .
2
4
4
Vậy diện tích S của hình H là
CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN
1
1
S 16 2 .82 2. ..82 .8.8 256 64 32 64 192 32 32 6 .
2
4
20 | Chinh phục olmypic toán
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg
- Xem thêm -