Tài liệu ĐỀ CƯƠNG GIẢI TÍCH 12

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I MÔN TOÁN 12. NĂM HỌC: 2010 – 2011 I. GIẢI TÍCH Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: ln 2 x 1; e3 � , d) y  ( x  1) 1  x 2 , e) trên � � � x 1 trên  1;1 , g) y  x  9  x 2 , h) y  trên  0;1 ,  x2  x  6 a) y  x3  8 x 2  16 x  9 trên  1;3 , b) y  x 3  3x  1 trên  0; 2 , c) y  y  e x  sin x  k) y  x  3 x2 , f) y  x 6  4  1  x 2  2 sin x  1 11 � 7 �  4� 1 2 � , ( x  0) , l) y  2 sin x  sin x  1 2x � x � Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau: 3 �1 � 2:4 3  � � 10 9 1� �1 � 3 1 � �9 � a) � � .27  128 . � �  2 , �3 � �2 � 1� 0� 3 2 5 25   0, 7  � � �2 � 2 3 2 1 c) a 3b 6 1 1  b 3a a6b 2 1 b) 92log 3 2  4log 81 2 1 2 4 5log 5 3 � 1 � 7 d) � � � 27 � � � , với a  27, b  125, 1 log 2 33log8 5 2  log9 3 125   25    3 1  log 1 27  log125 81 2 4 log 5 3 2  33 3 5 912 1 �3x  3 x  1 � e) � x  x � với 9 x  9 x  23, f) log 3 2 log 4 3log 5 4 log 6 5log 7 6 log8 7 , g) log 4 A với A  5 2 3 3 2 9 3 2 3 �2  3  3 � Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau: 5 5 2 � 4 a  9 a 1 � � a 3 a  4  3a 1 � 3 a 4 b  ab 4 a, b  0, b) � 1  , a  0, a �1, a � , a) � a 22 1  2 12 � với .  �  1 1 2 4 2 (1  a ) a �1  a a4b 2a 2  3a 2 a 2  a 1 2 � � � 1 1 � (1  x 2 ) 0,5  1 � � (1  x 2 ) 0,5  1 �  c) � với x  2a 0,5 (1  a )1 , a  1 � � � 2 2 � � � � Bài 4: So sánh các số: 2 5 1 3 2 log 6 2  log 1 2 1 � � 3 B  log 13  log 2, A   log 3 4, a) 5 và c) và d) 18 và � � 4 4 4 2 �6 � 1 1 e) C  log 6 7  log 7 6 và D  log 3 9, f) E  log 1 5  log 5 và F  log 5 , g) 3 7  15 và 10  3 28 2 25 2 Bài 5: a) Cho lg 25  a. Hãy tính lg 2 theo a. b) Cho log 3 5  a, log 3 2  b. Hãy tính log 8 50 theo a, b. 4 3 1� �1 � b) � � � và � � , �3 � �3 � c) Cho lg 392  a, lg112  b. Hãy tính lg 7 và lg 5 theo a, b. d) Cho log 4 75  a, log 8 45  b. Hãy tính log 25 135 theo a, b. 6 5 , 3   x 2x Bài 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y  e2 x 1 sin 2 x, b) y  cos x.e2 tan x , c) y  ln e  e  1 , 1 x d ) y  log 2 (sin x), e) y  2 cos x  log 3 ( x 2  1), f ) y  8 k ) y  ln 2  x 1  ex 2 3 x , g ) y  ln 1 x 1  sin x , h) y  ln , 1 x cos x x2  1 1 , l ) y  log 5 ( x 2  e x )  ln 3 x 3  1. x Bài 7: a) Chứng minh rằng hàm số y  e 4 x  2e  x thoả mãn hệ thức y / / /  13 y /  12 y  0. b) Chứng minh rằng hàm số y  e 2 x sin 5 x thoả mãn hệ thức y / /  4 y /  29 y  0. c) Cho hàm số f ( x)  e x  sin x  x2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số và chứng minh rằng phương trình 2 f ( x)  3 có đúng hai nghiệm. d) Cho hàm số f ( x)  e x  ln(1  x)  1,( x  1). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số và chứng minh rằng phương trình f ( x)  1 có đúng hai nghiệm. 4x Bài 8: a) Cho f ( x)  x và hai số a, b thoả mãn a  b  1 . Hãy tính f ( a)  f (b). 4 2 b a 1 � � 1� � b) Cho a �b  0. Chứng minh rằng: �2a  a ���2b  b �. � 2 � � 2 � 1 c) Chứng minh rằng: log 1 7  log 7  2. 3 3 d) Cho a, b, c ��, thoả mãn a  b  c  0. Chứng minh rằng 8a  8b  8c �2 a  2b  2c. Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 4  y 4  3xy , với x, y thoả mãn x 2  y 2  xy  1. Bài 10: Tìm x biết 2 a) 16 x  17.4 x  16  0, b) 27 x  12 x  2.8 x  0, c) log 2 ( x  1)  log 1 ( x  1), d) x  log (9  2 x )  3 e) 2 log 2 x  1  log 1 (3  x)  log 8 ( x  1)3 , 2 2 f) log 3 ( x  1)  log 3 (2 x  1)  2, g) 4 x  3x  5 x , h) 2 2 2 log 7 x  log 3 ( x  2), k) log 3 ( x  x  1)  log 1 x  2 x  x , l) log 3 x  log 2 ( x  1), 3 Bài 11: Cho hàm số y  x  2mx  m x  2 (1). Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại x  1. Bài 12: Cho hàm số y  x3  2 x 2  (1  m) x  m (1). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m  1. b. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thoả mãn 2 2 2 điều kiện x1  x2  x3  4. 3 Bài 13: Cho hàm số y  2 2 2x 1 (1). x 1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (1) của hàm số đã cho. b. Tìm m để đường thẳng y  2 x  m cắt đồ thị (1) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 ( O là gốc toạ độ). Bài 14: Cho hàm số y   x 4  x 2  6 (1). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (1) của hàm số đã cho. 1 6 b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (1), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  x  1. Bài 15: Cho hàm số y  x3  3 x 2  2mx  4 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  0. b. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng  �;0  . Bài 16: Cho hàm số y   x3  3x 2  mx  4 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  0. b. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng  0; � . Bài 17: Cho hàm số y  2x  3 (1) x3 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (1) của hàm số đã cho. b. Tìm m để đường thẳng y  2 x  m cắt (1) tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến của (1) tại hai điểm đó song song với nhau. Bài 18: Cho hàm số y   x3  3x 2  3(m 2  1) x  3m 2  1 (1) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m  1. b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc toạ độ O. 2x (C ). x 1 Tìm toạ độ điểm M thuộc (C ), biết tiếp tuyến của (C ) tại M cắt trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB 1 có diện tích bằng . 4 Bài 20: Cho hàm số y  2 x3  6 x 2  5 (C ). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(1; 13). x 1 (C ). Bài 21: Cho hàm số y  2x  1 Viết phương trình tiếp tuyến với (C ), biết tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của tiệm cận đứng và trục Ox. Bài 19: Cho hàm số y  Bài 22: Cho hàm số y  x2  x 1 x2 (C ). Viết phương trình tiếp tuyến của (C ), biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C ). Bài 23: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(0; 2) và tiếp xúc với (C ) : y  x4  2( x 2  1). 4 1 m 2 1 x  (Cm ). Gọi M là một điểm thuộc (Cm ) có hoành độ bằng -1. Tìm 3 2 3 m để tiếp tuyến của (Cm ) tại điểm M song song với đường thẳng 5 x  y  0. Bài 25: Cho hàm số y  ( x  1)( x 2  mx  m) (1). Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm 3 Bài 24: Cho hàm số y  x  phân biệt có hoành độ dương. Bài 26: Cho hàm số y   x2  4x  3 (1). Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên x2 đồ thị hàm số (1) đến các đường tiệm cận của nó là hằng số. Bài 27: Cho hàm số y  x 2  mx (1). Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu. Với giá trị nào của m 1 x thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) bằng 10. Bài 28: Cho hàm số y   x 2  3x  3 (1). Tìm m để đường thẳng y  m cắt đồ thị (1) tại hai điểm A, B 2( x  1) sao cho AB  1. Bài 29: Cho hàm số y  x 3  3mx  3m  1 (1). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời chúng cách đều đường thẳng có phương trình x  y  0. 2x 1 (1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó x 1 vuông góc với đường thẳng () : 3 x  y  2  0. Bài 28: Cho hàm số y  B. HÌNH HỌC Bài 1: Cho hình S . ABC ABC có đáy là tam giác vuông C , Ab  a, CAB  30 , SA  ( ABC ), SA  2a. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB. a. Tính thể tích của các khối chóp S . ABC và H . ABC. b. Chứng minh SB  ( AHK ). c. Tính thể tích khối chóp S . AHK . d) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC. 0 chóp tại Bài 2: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA  ( ABCD). Cạnh bên SB tạo với mặt đáy một góc 600. Gọi M là trung điểm của SC. a) Tính thể tích của các khối chóp S . ABCD, MOAB. b) Gọi N là một điểm nằm trên cạnh SD sao cho SD  3SN . Tính thể tích của khối tứ diện SAMN . Bài 3: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD  600 , SA  ( ABCD ), SB tạo với mặt đáy một góc 450. Gọi C / là trung điểm của SC. Mặt phẳng () đi qua AC / và song song với BD cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B / , D / . Tính thể tích của các khối chóp S . ABCD, S . AB / C / D / . Bài 4: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a, AD  2a, SA  ( ABCD ), SB tạo với mặt đáy một góc 600. Trên SA lấy một điểm M sao cho AM  a 3 . Mặt phẳng ( BCM ) cắt cạnh 3 SD tại điểm N . Tính thể tích của các khối chóp S . ABCD, S .BCNM . Bài 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A/ B / C / có AB  a, góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( A/ BC ) bằng 600. Gọi G là trọng tâm của tam giác A/ BC . a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A/ B / C / . b) Tính thể tích của các khối tứ diện B / ABC , GABC. Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC. A/ B / C / có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB  a, AA/  2a, A/ C  3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A/ C / , I là giao điểm của AM và A/ C. a) Tính thể tích của lăng trụ ABC. A/ B / C / . b) Tính thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mp( IBC ). Bài 7: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD, H là giao điểm của CN và DM . Biết SH  ( ABCD), SH  a 3. a) Tính thể tích của các khối chóp S . ABCD, S .CDNM . b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC. Bài 8: Cho lăng trụ ABC. A/ B / C / có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA/  2a và đường thẳng AA/ tạo với mp ( ABC ) một góc bằng 600. Tính thể tích khối tứ diện ACA/ B / . Bài 9: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang, ABC  BAD  900 , BA  BC  a, AD  2a, SA  ( ABCD ), SA  a 2. Gọi H là hình chiếu của A lên SB. a) Tính thể tích của các khối chóp S . ABCD, S .BCD. b) Tính khoảng cách từ điểm H đến mp ( SCD). Bài 10: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn (O) và (O / ), bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O / lấy điểm B sao cho AB  2a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối trụ. c) Tính thể tích của khối tứ diện OO / AB. Bài 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A/ B / C / D / có AB  a, BC  2a, AA/  a. Lấy một điểm M trên cạnh AD sao cho MA  3MD. Tính thể tích tứ diện MAB / C và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( AB / C ). Bài 12: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA tạo với mặt đáy một góc 450 , hình chiếu vuông góc của điểm S trên mp ( ABCD) là điểm H thuộc cạnh AC , AH  là đường cao của tam giác SAC. a) Tính thể tích khối chóp S . ABCD. b) Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC. AC . Gọi CM 4