Tài liệu Đề cương công thức lũy thừa bài toán và có lời giải

CHỦ ĐỀ 1: CÔNG THỨC LŨY THỪA I. KHÁI NIỆM LŨY THỪA 1. Lũy thừa với số mũ nguyên Lũy thừa với số mũ nguyên dương. Cho a  và n  * . Khi đó a n  a.a.a....a (n thừa số a). Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0 Cho a  \ 0 và n  * . Ta có: a  n  1 0 ; a  1. an Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương. Chú ý: 00 và 0 n  n  *  không có nghĩa. 2. Căn bậc n Cho số thực b và số nguyên dương n  2 . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu a n  b . Khi n lẻ, b  : Tồn tại duy nhất một căn bậc n của số b là n b. Khi n chẵn và b  0 thì không tồn tại căn bậc n của số b. Khi n chẵn và b  0 thì có duy nhất một căn bậc n của số b là Khi n chẵn và b  0 có 2 căn bậc n của số thực b là n n 0  0. b và  n b . 3. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ Cho số thực a  0 và số hữu tỷ r  m m , trong đó m  ; n  , n  2 . Khi đó a r  a n  n a m . n 4. Lũy thừa với số mũ vô tỷ Giả sử a là một số dương và  là một số vô tỷ và  rn  là một dãy số hữu tỷ sao cho lim rn   . Khi đó n  lim a rn  a . n  II. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC Cho hai số dương a; b và m; n  . Khi đó ta có các công thức sau. Nhóm công thức 1 1. a m .a n  a mn am 1   2. n  a mn  m  0  n  a  n  a a   3.  a m   a m.n n  Tính chất 1: a0  1 a  0  và a1  a . Nhóm công thức 2 m n 1. a  n a m   a n m 2. a n .bn   ab  , n a . n b  n ab n n an  a  n a a 3. n    , n  n b b b b  a  1; a m  a n  m  n  Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến):  . m n 0  a  1: a  a  m  n a m  bm  m  0  Tính chất 3 (so sánh lũy thừa khác cơ số): Với a  b  0 thì  m . a  b  m  0 Ví dụ 1: Cho biểu thức P  x. 3 x 2 . x3 , với x  0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 13 12 13 6 13 24 C. P  x . B. P  x . A. P  x . 13 8 D. P  x . Lời giải 3 3 7 7 3 13 13 Ta có: P  x. 3 x 2 . x3  x. x 2 .x 2  x. x 2  x.x 6  x 6  x12 . Chọn A. x . 3 x 2 . x  x n với x  0 . Tìm n. Ví dụ 2: Biết rằng 2 . 3 B. n  A. n  2 . C. n  4 . 3 D. n  3 . Lời giải 1 Ta có: 1 3 1 5 3 5 1 1 5  6 x . 3 x 2 . x  x 2 . x 2 .x 2  x 2 . x 2  x 2 .x 6  x 2 4  x 3 . Chọn C. 23 Ví dụ 3: Cho biểu thức P  x. 3 x 2 . k x3 , với x  0 . Biết rằng P  x 24 , giá trị của k bằng: B. k  2 . A. k  6 . D. k  4 . C. k  3 . Lời giải 23 23 11 Ta có: P  x. 3 x 2 . k x3  x 24  x. 3 x 2 . k x3  x 12  3 x 2 . k x3  x12 11 11 x 2 . k x3  x 4  k x3  x 4 2 Ví dụ 4: Cho biểu thức P  A. P  a 3 . 3 3  x k  x 4  k  4 . Chọn D.  a 2 3 . a1 a1 B. P  3  3 1 3 , với a  0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 . a D. P  C. P  a . Lời giải Ta có: P   a 2 3 . a1 1 3 a 3  1 3  a 2 3 .a 1 3 1 3  1 3 a  m a 2 3 .a 2 1 3 a  a 3 1 3 a  1 . Chọn B. a a 4 b a a .    với a; b  0 . Tìm m. Ví dụ 5: Cho biểu thức P  b a b b 3 1 a 3 . A. m  7 . 24 B. m  7 . 12 C. m   7 . 12 D. m   7 . 24 Lời giải Đặt x  1 7 1 1 7 3 3 3 3 4 4  a b   x 1 . Khi đó P  3 x 4 x 1 x  x x 1.x 2  x x 2  x.x 8  x 8  x 24 . b a 7 a b a  a  24 7 Do đó P  3 . 4 . Chọn A.   m b a b b 24 7 Ví dụ 6: Cho biểu thức với Q  6 a; b  0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? ab 2 a . b B. Q  A. Q  a . 1 a 6 .b 3 C. Q  ab . D. Q  a b . Lời giải 7 Ta có: Q  1 a 6 .b 3 6 ab 2 7  1 7 a 6 .b 3  1 2 6  ab  1 a 6 .b 3 1 6 a .b 2 6  a . Chọn A. Ví dụ 7: Cho x là số thực dương, viết biểu thức Q  x. 3 x 2 . 6 x dưới dạng lũy thừa với số hữu tỉ 2 3 5 36 A. Q  x . B. Q  x . C. Q  x . D. Q  x 2 . Lời giải 2 3 1 6 5 6 1 6 Ta có: Q  x. x . x  x.x .x  x .x  x . Chọn C. 3 2 6 Ví dụ 8: Cho biểu thức P  x. 4 x 2 . x3 với x  0 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 3 5 A. P  x 6 . 5 2 C. P  x 8 . B. P  x 3 . 3 D. P  x 4 . Lời giải 1 1 5  72  4  158  3 3 4 2 3 2 8 3 Ta có: P  x. x . x  x. x .x  x.  x    x   x . Chọn C.     3 4 3 2 a 2 .  a 2 .b3  .b 1 2 Ví dụ 9: Rút gọn biểu thức T  A. T  a 4 .b6 .  a 1.b  .a 5 .b2 3 B. T  a6 .b6 . với a, b là hai số thực dương. C. T  a 4 .b4 . Lời giải D. T  a6 .b4 . a 2 .  a 2 .b3  .b 1 2 Ta có: T   a .b  .a 3 1 Ví dụ 10: Biết rằng 5 xa x .b 2  a 2 .a 4 .b6 .b 1 a 2 .b5   a 6 .b 4 . Chọn D. a 3 .b3 .a 5 .b2 a 8 .b 2 b2  x9 với x  1 và a  b  3 . Tính giá trị của biểu thức P  a  b . A. P  1 . C. P  2 . B. P  3 . D. P  4 . Lời giải Ta có: xa 2 xb 2  x9  x a 2 b 2 x 1  x9   a 2  b 2  9   a  b  a  b   9  a  b  Ví dụ 11: Cho x, y  0 . Biết rằng A. 0. x. 4 3 x x 3  x m và y 2 . y. 3 B. 2. 9 9   3 . Chọn B. ab 3 1  y n . Tính m  n . 2 y D. 2. C. 1. Lời giải 1 3 Ta có: x. 4 8 2 1 1 4 x3 1  x. 4 3  x. x 3  x.x 3  x 3  x 6  m  . x 6 x x3 2 1 1 13 1 13 2 2 2 2 2 3 3 3 6 6  y . y . y  y . y . y  y . y  y . y  y n . 2 y 6 Lại có: y 2 . y. 3 Do đó: m  n  2 . Chọn D.  Ví dụ 12: Giá trị của biểu thức P  5  2 6  .5  2 6  2018 B. P  5  2 6 . A. P  5  2 6 . 2019 bằng: C. P  10  4 6 . D. P  10  4 6 . Lời giải    Ta có: 5  2 6 5  2 6  25  24  1 .  Do đó: P  5  2 6  .5  2 6  2018 2019   Ví dụ 13: Giá trị của biểu thức M  3  2 2    .3 2019 2 4  2018   . 5  2 6  5  2 6 . Chọn B. 2018 bằng:     C. 3  2 2 .21009 . B. 3  2 2 .21009 . A. 21009 .    52 6 52 6    Lời giải    Ta có: 3 2  4  2 3  2 2  M  3  2 2     Lại có: 3  2 2 3  2 2  32  2 2   Do đó: M  3  2 2 .21009 . Chọn C.  2  .  2  . 3  2 2  2019 2018   9  8  1 nên 3  2 2 2018 .  .3  2 2  2018  D. 3  2 2 . 2018  1. Ví dụ 14: Cho 2 x  5 . Giá trị của biểu thức T  4x1  22 x bằng: A. 504 . 5 B. 104 . 5 C. 104 . 25 D. 504 . 25 Lời giải Ta có: T  4 x 1  22 x  4 x.4  2 22 4 4 504 . Chọn A.   2 x  .4  x  4.52   x 2 2 5 5 2 x  2 x  3 Ví dụ 15: Cho 4  4  34 . Tính giá trị của biểu thức T  . 1  2 x 1  21 x x A. T  x 3 . 4 B. T  3 . 11 C. T  3 . 11 D. T  3 . 13 Lời giải Ta có: 4x  4 x  34  22 x  2  22 x  36   2 x  2 x   36  2 x  2 x  6 (Do 2x  2 x  0 ). 2 Khi đó: T  63 3 3 . Chọn C.   x x 1  2  2  2  1  2.6 11 Ví dụ 16: Cho hàm số f  x   A. T  0 . 9x , với a, b  9x  3 và a  b  1. Tính T  f  a   f  b  . B. T  1 . C. T  1 . D. T  2 . Lời giải 9 a 9 9 9  1 a  a  9 Ta có: T  f  a   f  b   f  a   f 1  a   a 9 3 9 3 9 3 9 3 9a 1 a a a 9a 9 9a 3    a  1 . Chọn B. a a a 9  3 9  3.9 9 3 9 3 Tổng quát: Cho hàm số f  x   ax ta có f  x   f 1  x   1 . ax  a 4x Ví dụ 17: Cho hàm số f  x   x . 4 2  1  Tính tổng S  f    2005  A. S  1002 .  2  f   ...   2005  B. S   2004  f   2005  3008 . 3  2005  f .  2005  C. S  1003 . D. S  Lời giải Sử dụng tính chất tổng quát: Với hàm số f  x   ax ta có f  x   f 1  x   1 . ax  a 2005 . 2   1  Khi đó S   f     2005   2004     2  f    f    2005     2005   1  1  ...  1  f 1  1002    1002   2003   f    ...   f    2005     2005   1003   f    f 1  2005   4 3008 . Chọn B.  6 3 1  x  1  x 1 x 1  x 1  Ví dụ 18: Rút gọn biểu thức Q  .    với x  1 ta được x  x  1  x 1 x  1  x  1  B. Q  2 x . A. Q  1 . D. Q  2 . C. Q  2 . Lời giải  Ta có: Và    2 x  1  x 1   x  2 1x  1  x  1  x  1  x  1  2 .   x 1  x  1  .  1x  1  2 x 1  x 1    2x  2 x2 1  2 x  2 x2 1  4 x .  x  1  x 1 . 1  Suy ra Q  . x  1  x 1 x 1  Ví dụ 19: Đơn giản biểu thức T  A. T  4 a .  x 1 x 1 2 1 4x  .  2 .Chọn C. x 2 a b a  4 ab ta được  4 a4b 4a4b C. T  4 a  4 b . B. T  4 b . D. T   4 b Lời giải  a  b Ta có: T  2 4 4 4 a b 4 2 4  a  4 4 a4b a b 4  4 a  4 b  4 a  4 b . Chọn B.  1  Ví dụ 20: Cho a, b là hai số thực khác 0. Biết rằng    125  A. 76 . 21 B. 2. a 2  4 ab C.   3  3 a 2 10 ab 625 4 . 21 . Tính tỉ số D. a . b 76 . 3 Lời giải  1  Ta có:    125  a 2  4 ab   3  a 2  4ab    3  3 a 2 10 ab 625  5 Ví dụ 21: Cho 9  9 A. P  10 .  43   5    3 a 2 10 ab 4 3 a 2  4 ab  3a 2 10 ab    5    5 3  4 3a2 10ab   4 3a2 10ab   9  a2  4ab   0 3 a ,b  0  21a 2  4ab   21a  4b  x  2 3 a  4 ab x  14, a 4  . Chọn C. b 21 6  3  3x  3 x  23 x 1 1 x 3 B. P  10 .  a a ( là phân số tối giản). Tính P  ab . b b C. P  45 . D. P  45 . Lời giải Ta có: 9x  9 x   3x  3 x   2  14  3x  3 x  4 . 2 Suy ra 6  3  3x  3 x  23 x 1 1 x 3  6  3  3x  3 x  2  3 3  3 x x   6  3.4 9    P  ab  45 . Chọn C. 2  3.4 5 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho 0  a  1 và biểu thức A. n  11 . 6 a 3 a được viết dưới dạng a n . Tìm n. 5 B. n  . 3 C. n  2 . 3 D. n  1 . 6 Câu 2: Cho biết Q  a 2 . 3 a 4 với a  0, a  1 . Khẳng định nào đúng? 7 3 5 3 A. Q  a . 11 6 7 4 B. Q  a . D. Q  a . C. Q  a . a  Câu 3: Cho 0  a  1 . Rút gọn P  3 4 2 a .a 3 2 . 17 23 B. P  a 2 . A. P  a9 . 7 C. P  a 2 . D. P  a 2 . 1 Câu 4: Rút gọn biểu thức với P  x 6 . 3 x 4 . 4 x5 x3 với x  0 . 112 5 211 13 B. P  x 60 . A. P  x 4 . D. P  x 60 . C. P  x18 . 9 16 Câu 5: Với x  0 , hãy rút gọn biểu thức P  x x x x x : x . 13 5 Câu 6: Biết A. M  18 . xa x C. P  x 48 . b2  x16 với x  1 và a  b  2 . Tính giá trị của biểu thức M  a  b B. M  14 . B. T  3 b b b về dạng b y . Tính T  6 x  12 y . 7 . 12  Câu 8: Giá trị của biểu thức P  1  3 D. M  6 . C. M  8 Câu 7: Cho a, b  0 , viết a . a về dạng a x và A. 121008 . D. P  x 32 . 2 2 3 A. T  17 . 1 9 B. P  x 32 . A. P  x 32 . D. T  C. T  14 .  3  3  2016 2016 bằng:  C. 1  3 B. 41008 . 7 . 6  1008 .  D. 3  3  1008 2 Câu 9: Cho a là một số dương, biểu thức a 3 a viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là 7 5 A. a 6 . 6 4 B. a 6 . D. a 7 . C. a 3 . Câu 10: Viết biểu thức Q  x . 3 x . 6 x5 với x  0 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ? 2 A. Q  x 3 . 5 B. Q  x 3 . 5 C. Q  x 2 . Câu 11: Cho số thực a dương. Rút gọn biểu thức P  a 4 a 3 a a . 5 7 D. Q  x 3 . . 13 11 1 1 B. P  a120 . A. P  a14 . D. P  a 60 . C. P  a 40 . 11 Câu 12: Viết biểu thức A  a a a : a 6 với a  0 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ? 21 B. A  a A. A  a 44 .  1 12 23 D. A  a C. A  a 24 . .  23 24 . m Câu 13: Biết A. m  2 . 15 5 b 3 a a    với a, b là các số thực dương. Tìm m. a b b B. m  4 . 15 C. m  2 . 5 D. m   2 . 15 5 Câu 14: Viết biểu thức P  A. P  a . a2a 2 3 a4 6 a5 ,  a  0  dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. C. P  a 4 . B. P  a5 . D. P  a 2 . 7 Câu 15: Cho a, b là hai số thực dương. Thu gọn biểu thức T  A. T  a . b2 C. T  B. T  ab . Câu 16: Với a  0 thì biểu thức P  a 7 1 .a 2 a  2 2 A. P  a5 . 2 2 2 3 ab 2 . b . a D. T  a . b được rút gọn là: C. P  a3 . B. P  a 4 . Câu 17: Cho x  0, y  0 . Viết biểu thức x . x D. P  a . 4 5 x  x và y : 6 y 5 y  y n . Tính m  n . 5 m 8 B.  . 5 11 . 6 6  7 4 5 6 A. a 6 .b C.  11 . 6 D. 8 . 5 Câu 18: Cho 5x  2 . Tính A  25x  52 x . A. A  13 . 2 B. A  Câu 19: Cho Cho 9 x  9 x  14, A. P  10 . 75 . 2 C. A  6  3  3x  3 x  23 x 1 1 x 3  33 . 2 D. A  29 . a a ( là phân số tối giản). Tính P  ab . b b B. P  10 . C. P  45 . D. P  45 . Câu 20: Cho a, b là các số thực thỏa 3.2a  2b  7 2 và 5.2a  2b  9 2 . Tính S  a  b . A. S  3 . B. S  2 . Câu 21: Cho hàm số f  x   A. 59 . 6 2x . Tổng f  0   2x  2 B. 10. C. S  4 . 1 f    ...   10  C. 19 . 2 D. S  1 .  18  f    10   19  f   bằng  10  D. 28 . 3  Câu 22: Giá trị của biểu thức P  3  3 8  A. 3  3 8  1009 .  13  3 8  2018 3 2018  C. 13  3 3 8 B. 192018 .  1009 .  D. 16  2 3 8 Câu 23: Viết biểu thức P  x5 . 3 x 2 . 5 x3  x  0  dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ 61 30 A. P  x . B. P  x 117 30 . C. P  x 113 30 . 83 30 D. P  x .  2018 . LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1 Câu 1: 1 2  13  2  43  2 3 a a   a.a    a   a 3 . Chọn C.     1 1 5  2 43  2  103  2 Câu 2: Q   a .a    a   a 3 . Chọn A.     Câu 3: P  a12 a Câu 4: P  12  a 7 2 1 6 4 3 x .x .x x 5 4 7 2 17 2  a . Chọn B. x  3 2 11 4 x 3 2 5 4  x . Chọn A. 3 Câu 5: 3 7 x x x x 2  x x x.x 4  x x x 4 7 15 15 31 31 31  x x.x 8  x x 8  x.x16  x16  x 32  P  x 32 . Chọn B. Câu 6: x16  xa 2 b2  x 2 a b  a  b  8 . Chọn C. 1 1 1 3 3 7  3 3  7 3 7 y  7 x Câu 7: a  a .a  a  x  ; b   b b 2    b.b 4    b 4   b12  b  . Chọn C.    6 12      2 3 7 6 1 2    Câu 8: P   1  3 3  3    Câu 9: a 2 3 2 3 1 2 7 6 1 3 5 6 5 3 2016   2 3  2016  121008 . Chọn A. a  a .a  a . Chọn B. 1 2 Câu 10: Q  x .x .x  x . Chọn B.  Câu 11: P  a 4 a a   4 3   a a2   1 5 1 1 1 1 11  5  3  5  11  5    a.a 8    a 8   a 40 . Chọn C.       1 1 11 7 11 3 2 23    3  2 11  7  2 11 Câu 12: A   a a 2  : a 6   a.a 4  : a 6   a 4  : a 6  a 8 : a 6  a 24 . Chọn D.         1 1 2  b3 a  5  b 2 15  b 15 2 a Câu 13: Ta có     3 3 .    2      m   . Chọn D.  a b  a  15 b a   m 5 Câu 14: Ta có P  4 a 2 .a 2 .a 3 a 5 6  a 5 . Chọn B.  76 16   23 62  a Câu 15: T   a : a  b : b   . Chọn D.    b a3 Câu 16: P  2  a5 . Chọn A. a Câu 17:  x  m 6 24 5 1 2  x .x .x  x Câu 18: A   5x   2 5 103 10 24 7   5 12  103 n 6 7 5 10 m ;  y   y :  y . y   y  n   . Chọn A. 60 60   25 33  . Chọn C. 5x 2 Câu 19:  3x  3 x   14  2  16  3x  3 x  4  2 a 6  3.4 9    . Chọn C. b 2  3.4 5 3  2a  2 2 a  2 Câu 20: Ta có:  . Chọn B.  b 2  2 b  1  2 Câu 21: Với a  b  2 f  a   f  b   Lưu ý: 2a 2b 2.2a b  2.2a  2.2b    1. 2a  2 2b  2 2a b  2.2a  2.2b  4 1 19 59   2...  P  f  0   f 1  9.1  . Chọn A. 10 10 6 Câu 22: P   3  2  5 2 2 3 2018 13  6 3 5 113 30 Câu 23: P  x .x .x  x 2018  192018 . Chọn B. . Chọn C.